el problema del continuo en rené thom

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El problema del continuo en Ren ThomFernando Miguel Prez HerranzUniversidad de Alicante

Reception date / Fecha de recepcin: 23-02-2009Acceptation date / Fecha de aceptacin: 06-05-2009

Resumen.

Ren Thom ha propuesto el concepto topolgico de continuo como respuesta al concepto lgico de infinito. En este trabajo se mostrar que, frente a la definicin combinatoria de conjunto infinito propuesta por Cantor, la definicin porfiriana de continuo propuesta por Thom salva las paradojas de la teora de conjuntos y comporta consecuencias ontolgicas decisivas en el mbito del mundo morfolgico poniendo lmites, por ejemplo, a la evolucin ilimitadamente innovadora de Prigogine, etc.

Palabras clave: continuo, infinito, Prigogine, Ren Thom, topologa.

Abstract. The Question of Continuum in Ren Thom

Ren Thom has proposed the topologic concept continuum as a response to the logics concept infinity. In this paper we show that, as opposed to the combinatorial definition of infinite set proposed by Cantor, the porfirian definition of continuum proposed by Thom goes beyond the paradoxes of set theory and has decisive ontologic consequences for morphologic world, putting limits, for instance, to Prigogines unlimited innovative evolution, etc.

Key Words: Continuum, Infinite, Prigogine, Ren Thom, Topology.

Introduccin

Algunos matemticos, como Ren Thom (1917-2002), han sido muy reticentes con la popularidad escolar que adquiri la teora cantoriana de conjuntos. El ncleo de la crtica de Thom a la teora conjuntista se encuentra en un artculo sobre pedagoga de las matemticas, en el que aparece una idea que se ir desplegando a lo largo de su obra.1 La clave de la teora de conjuntos no tiene que desplazarse a la lgica, sino que hay que encontrarla en la ontologa misma; pues los problemas no nacen tanto de las paradojas (Russell) o de la indecibilidad (Gdel) como de que no haya lugar para ningn espacio sustrato. Thom

1 R. Thom, Matemticas modernas y matemticas de siempre, en J. Hernndez (sel.), La enseanza de las matemticas modernas, Alianza, Madrid, 1978, p. 124.

Fernando Miguel Prez Herranz62 Ontology Studies 10, 2010

utiliza un argumento ingenioso e intuitivo: un zorro que entra en el gallinero de un corral en busca de un suculento bocado gallinceo no lo hace porque use un silogismo similar a ste: Las gallinas estn en el gallinero; el gallinero est en la granja; luego las gallinas estn en el granja; el zorro sabe que las gallinas se encuentran en el gallinero mediante una intuicin espacial. El ejemplo es muy significativo, pues la (auto)evidencia del zorro a la que se acoge Thom se incorpora a un contexto etolgico (como otros que se han popularizado: El gato atrapa al ratn, Este gato es negro y blanco...). Y como hemos de suponer el zorro no estructura el espacio mtricamente al modo del ingeniero, el ente primordial o principio amorfo que va estructurndose mediante las herramientas del grupo mtrico, parece que nos hemos de remitir a otros invariantes topolgicos. El zorro intuye, pero no calcula. Pero qu ocurre con los seres humanos? Acaso no nos diferenciamos de los animales precisamente por el uso que hacemos del nmero, como tan sealadamente declar Kronecher? Thom afirmar que, antes que el nmero, es la geometra lo que caracteriza la creatividad humana. Los seres humanos, seres primordialmente lingsticos, han creado un lenguaje intermedio entre la intuicin topolgica y la formalizacin algebraica: la geometra eucldea.2 La obra de Euclides habra significado algo ms que ser la primera sistematizacin de las matemticas,3 pues habra construido el primer ejemplo de transcripcin de procesos espaciales bi o tridimensionales al proceso lgico unidimensional de la escritura. Thom replantea entonces los problemas gnoseolgicos que surgen de las relaciones entre el lenguaje unidimensional y las morfologas multidimensionales:

Quisiera aadir escribe Thom que el lenguaje de la geometra elemental ofrece una solucin al problema de expresar en una combinatoria unidimensional la del lenguaje una morfologa, una combinatoria multidimensional.4

Lo que importa al matemtico, y por extensin al ontlogo, no es tanto la generatividad como la comprensin y el sentido: Cmo son comprensibles entonces el infinito, el continuo y el espacio los conceptos nucleares de la teora de conjuntos? Qu sentido tiene el conjunto de los nmeros naturales o la hiptesis del continuo? Pueden separarse las matemticas de la informtica?, etc.

2 Elpensamientocientficosesepardelmgicodesdeelmomentoenquenaci laGeometra.Elnacimiento de laGeometra separ lamagia de la ciencia, ya que en el pensamientomgico sonposibles las acciones a distancia mediante la propagacin por similaridad. La propagacin porsimilaridad no existe en Fsica, R. Thom, Entrevista, El Basilisco, 13, 1982, p. 72.

3 F.M.PrezHerranz,EntreSamosyelMuseo:latravesaporelnmeroylaformageomtrica,J.L.GonzlezRecio(ed.),tomos, almas y estrellas. Estudios sobre la ciencia griega, Plaza y Valds Madrid / Mxico, 2007, pp. 353-398.

4 R. Thom, Matemticas modernas y matemticas de siempre, op. cit., p. 154.

Ontology Studies 10, 2010 63El problema del continuo en Ren Thom

1. Cantor: La diagonal, los conjuntos combinatorios y el continuo

La cuestin del infinito arranca en la modernidad de una serie de aporas, entre las que se encuentra la paradoja atribuida a Galileo: no hay ms nmeros cuadrados que nmeros en general, pues a cada nmero entero puede hacrsele corresponder su cuadrado: n n2. Mas para evitar una paradoja hay que reconvertirla en una identidad. Podr seguirse la va de Cauchy al hacer que el acto sea finito o la de Dedekind, que el infinito sea acto. George Cantor (1845-1918)5 toma esta va que asume como postulado: los objetos infinitos se definen por propiedades aparentemente paradjicas; por ejemplo, aquellos que se ponen en correspondencia biunvoca con sus cuadrados, etc. Cantor establece una correspondencia entre los nmeros naturales (N), los nmeros pares (E), los cuadrados (N2), los enteros (Z) Y concluye que cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biunvoca con el conjunto de los nmeros naturales es un infinito enumerable; a este nuevo nmero Cantor lo llam transfinito6 y posee la cardinalidad 0. Es decir, que N, E, N

2 y Z tienen 0 elementos, conformando as los dos primeros esquemas de identidad: enumerabilidad y cardinalidad que salvan la paradoja de Galileo a la vez que comprometen a Cantor con una ontologa que privilegia lo discreto. A continuacin, Cantor establece otro esquema de identidad para los nmeros racionales (Q) expresables como cociente de nmeros enteros y aparentemente ms numerosos que los nmeros naturales - entre 0 y 1, por ejemplo, habra una infinidad de nmeros racionales-, a los que pone en correspondencia biunvoca con los naturales utilizando un ingenioso sistema de enumeracin que despliega los nmeros racionales en una tabla y los recorre diagonalmente mediante nmeros enteros. Cantor no se detiene aqu. Tomando como base estos esquemas de identidad - enumerabilidad y cardinalidad - y el despliegue de los nmeros en tabla, conforma un contexto de modelizacin o diorisms 7 que le permite formular el teorema del continuo. Despliguense los nmeros racionales en una serie de filas, identificadas cada una de ellas mediante una variable; tmese ahora el nmero que aparece en la diagonal de la tabla y cmbiese la cifra de cada fila-columna en una unidad; entonces se obtendr un nmero que

5 G.Cantor,Fundamentos para una teora general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta, edicindeJ.Ferreirs,Crtica,Barcelona,2006.

6 UnnmerotransfinitoseencuentraentrelofinitoyloAbsoluto.Losnmerostransfinitospuedensernumeradosporunordinal;estoesmuydecisivopuesenprimerlugar,laclasedetodoslosnmerosordinalesnopuedeserordenada(deah,loAbsoluto,quepuedeserreconocido,peronoconocido).Y,ensegundolugar,Cantorrestringelosnmerosinfinitosaaquellosquecompartesconlosfinitoslapropiedaddesercontados.Cantortrataradeescaparasdelacrticapostkantianaqueveraenelin-finitounailusintrascendental.M.Richir,Delillusiontranscendantaledanslathoriecantoriennedesensembles,PhilosophiesetSciences,EditionsdelUniversitdeBruxelles,1986.

7 El contexto de modelizacinesunconcepto intermedioentreelcontexto de descubrimiento y el contexto de justificacin,quevendraafuncionarcomoeldiorismsgeomtrico:formalaestructurasobrelaquecristalizanlosteoremas.


difiere de cada uno de los nmeros de la tabla en una unidad; tal nmero no se encuentra en la lista de los nmeros reales, es decir, existe un conjunto infinito, al menos, que no es enumerable: el conjunto de los nmeros reales. Este resultado, obtenido mediante reduccin al absurdo, establece un modelo en forma de tabla que toma el nombre de mtodo de diagonal de Cantor.8 Nosotros lo entendemos como un contexto de modelizacin, porque con l se btendrn teoremas de gran calado. En el contexto de modelizacin se aprecia cmo los nmeros son reemplazados por conjuntos de elementos9 y cmo el infinito es un conjunto. A partir de aqu, Cantor presenta los nmeros transfinitos como extensin autnoma y sistemtica de los nmeros reales R, que ahora le sirven de esquema de identidad, como antes le sirvi la enumerabilidad de los nmeros naturales N. La cuestin a la que hay que responder es: Qu cardinalidad tienen los nmeros reales? Cantor lanz la hiptesis de que esa cardinalidad era la del continuo e inicia as una va hacia la definicin de conjuntos combinatorios: la ordenacin (atributiva) de conjuntos de nmeros (distributivos). Demuestra que existen nmeros transfinitos mayores que 0 en cantidades increbles, por lo que el infinito matemtico es imposible de ser intuido, es opaco (teorema de Cantor:

). Cantor ha de compaginar el que haya infinitos puntos y que estn distribuidos de una manera determinada. Cmo introducir un orden en la indeterminacin por antonomasia que es el infinito? Cantor utiliza los principios de generacin y de orden, a los que incorpora un sistema operatorio, un lgebra del transfinito. En primer lugar, si se establece una regla de sucesin de enteros, S(n), obteniendo la serie 1, 2, 3 ... n, n+1,... entonces podemos imaginar un nuevo nmero que sea el primer nmero que sigue a la sucesin de nmeros naturales, o lmite al que tienden todos los nmeros , que es el primer conjunto bien ordenado, y adems el conjunto ms grande de todos los nmeros, el primer transfinito 0: el primer entero mayor que cualquier entero situado a continuacin de la sucesin completa de los nmeros ordinales ordinarios y que se convierte en matriz de todos los otros nmeros.10 Mediante este primer principio de formacin se pueden generar nuevos ordinales transfinitos sucesivos: +1, +2,..., +,... Al carecer esta serie de elemento mximo, puede imaginarse otro nmero ordinal 2, y as sucesivamente, que ser el primero despus de los nmeros hasta ahora obtenidos y

8 G.Cantor,SobreunacuestinelementaldelateoradeconjuntosenLavine,Comprendiendo el infinito,FCE.,Mxico,2005,pp.115-118.

9 Cf.,D.Berlinski,Ascenso infinito,Debate,Barcelona,2006,p.162.10 Elnmeropuedeconsiderarsecomounlmitealquetiendelavariable,almodoenque

elirracional(2)puedeconsiderarseellmitedeunavariable.Sedefinecomo:lasucesincompleta de los nmeros naturalesN. El primer conjunto bien ordenado, lamatriz detodoslosdems.Elprimernmeroquesiguealasucesin.Elelementominimaldeunconjuntobienordenadoquevendradespusdelosenteros.Ellmitealquetiendenlosnmerosnaturales.


+. A esta regla la denomina segundo principio de formacin que permite la definicin de un nuevo nmero que se considera lmite de los primeros, inmediatamente superior a ellos. Aplicando ambos principios, se puede definir una jerarqua de nmeros ordinales transfinitos progresivamente mayores: 11

2+1, 2+2 /.../ 2 + =3 /.../ = , +1 /.../ + +1 /.../ /.../ /.../

La formacin de nuevos nmeros carece de final. Pero, entonces, qu diferencia podra haber entre los nmeros de la primera y la segunda clase? Cantor introduce un tercer principio: principio de detencin o limitacin, que produce ciertos cortes. As hay que distinguir las potencias (o cardinalidad) de los distintos nmeros transfinitos. El concepto de potencia (o cardinalidad) de un conjunto relaciona el conjunto derivado (conjunto de todos los puntos lmite) y conjunto denso (entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros): Dos conjuntos M y N son de la misma potencia si a todo elemento de M corresponde un elemento de N y recprocamente. El conjunto-potencia de un conjunto dado cualquiera (el conjunto formado por todos sus subconjuntos) tiene mayor potencia que el mismo conjunto de partida: A


conjunto infinito P(0) tenemos que 20 > 0. Al cardinal de P(0) se le denota por c, el

conjunto de los conjuntos de los nmeros naturales, que pueden escribirse en un sistema de base 2, como secuencias infinitas de 1s y 0s. Cantor demuestra que el nmero mayor que podemos obtener ser 20 que tiene precisamente la potencia del continuo. El problema del continuo es, por tanto, un problema de control de la jerarqua inducida por ese poder de auto-trascendencia de la trascendencia, como ve muy bien Salanskis: Puede asignarse el lugar del continuo en la jerarqua del infinito que la teora permite postular?12 Pero Cohen demuestra en 1963 que ello depender de la eleccin de determinados axiomas o de su negacin.

* * *De este rpido repaso por la obra cantoriana, se sigue que, desde el punto de vista ontolgico, Cantor defiende la prioridad ontolgica de lo discreto; y desde el punto de vista gnoseolgico, que el concepto de continuo es resultado de un proceso generativo que produce totalidades combinatorias y que tiene como contexto de modelizacin la diagonal de Cantor. Las crticas ontolgicas a Cantor proceden de los poskantianos que consideran el infinito como una ilusin trascendental (por ejemplo, M. Richir). Las crticas gnoseolgicas se corresponden a la formacin de las paradojas. Desde esta perspectiva, defender que el mtodo de la diagonal puede ser muy frtil o bloquear por entero la investigacin y convertirse en mero pseudocontexto de modelizacin. Cmo es esto? Depender de cmo se entiendan las totalidades que resultan de los procesos de generacin y orden: si se entienden como totalidades lgicas (distributivas), conduce a las paradojas. Pero si se entienden como totalidades combinatorias, el mtodo diagonal es frtil; en este ltimo sentido lo defienden dos investigadores muy relevantes: el matemtico Shaughan Lavine13 y el filsofo Alain Badiou.14 Veamos:

a) Planteamiento conjuntista. Lavine insiste en que Cantor distingue entre colecciones combinatorias, que eligen sus elementos de manera arbitraria y obedecen a los principios de buen orden y el axioma de eleccin (conjuntos de Cantor); y colecciones lgicas, que eligen sus elementos en virtud de una regla y admiten el axioma de comprehensin o abstraccin (conjuntos de Frege-Russell).15 Cantor se adelanta a esta objecin, como se puede comprobar en la carta a Jourdain del 9 de julio de 1904:

12 Cf.J.M.Salanskis,L hermneutique formelle. Linfini-Le Continu - LEspace,CNRS,Pars,1991.13 S.Lavine,Comprendiendo el infinito,FCE.,Mxico,2005.14 A.Badiou,Le nombre et les nombres, Seuil, Paris, 1990 ;El ser y el acontecimiento, Manatial,

BuenosAires,1999.15 Zermelo utilizar el axioma de eleccin para salvar este resultado que descarta el axioma de

comprehensindeFrege,PeanoyRussell.LeyenCantorsignificabuenaordenacin,conteo...Zermelo,adems,demostrqueerancompatibleselaxiomadeeleccin y el axioma del conjunto potencia(pg.131y181).Unmltipleestannumerosocomootro(delamismapotencia)siexisteunacorrespondenciaentreambosmltiplesunoauno(dosconjuntosposeenlamismapotencia o son


Esta imposibilidad descansa en lo siguiente: Una multiplicidad inconsistente, debido a que no puede ser comprendida como un todo, como una sola cosa, no puede ser utilizada como elemento de una multiplicidad. Solo las cosas completas, solo los conjuntos, pueden ser tomados como elementos de una multiplicidad; no as las multiplicidades inconsistentes, porque est en su naturaleza que nunca puedan ser concebidas como objetos completos y realmente existentes.16

Los conjuntos de Cantor darn lugar a las famosas paradojas al confundir ambas colecciones. La coleccin combinatoria se ha de entender como una totalidad atributiva (en el sentido usado por la escolstica) cuyas partes se vinculan distributivamente y, por lo tanto, las propiedades intensionales se unen disyuntivamente, de manera que una parte del conjunto puede definirse por la negacin de otras partes (por ejemplo: este hombre habla castellano, pero no ingls). Ahora bien, la definicin de conjunto de Rusell es puramente lgica (distributiva): lo que se dice del todo se dice de cada una de las partes, por lo que las caractersticas del todo se conservan en todas y cada una de ellas (relaciones sim tricas y transitivas). Para Russell, una clase puede ser definida como la totalidad de los trminos que satisfacen alguna funcin proposicional , que es el principio de comprensin o de abstraccin. Define las clases como objetos lgicos y la pertenencia como relacin lgica, de manera que un nmero se transforma en una clase (lgica) el 2 es la clase de todas las parejas, lo que le conduce a la teora de los tipos: a cada conjunto atributo le corresponde su propia extensin, es decir, todos los objetos para los que ese atributo es predicable. O de otra forma: toda condicin (proposicin) determina una clase, la clase compuesta por los individuos que satisfacen esa condicin. La denuncia inmediata de Poincar fue que las paradojas se producen por las definiciones impredicativas o autorreferenciales. Pero si queremos que todos los elementos se hallen sujetos a una regla, entonces se puede encontrar un error en el mtodo de la diagonal de Cantor: Si el argumento de Cantor demuestra que no existe un nmero cardinal mximo y si el nmero mximo es precisamente el nmero mximo, puesto que todas las clases estn incluidas en las clases de individuos, as como si los nmeros ordinales estn bien ordenados, entonces existe un ordinal mximo, el tipo de orden de la clase de todos los nmeros ordinales. Esto se puede entender como la negacin de la identidad entre ser y lenguaje.17 Ahora bien, si el teorema de Cantor dice que no existe un nmero cardinal mximo, es porque se lo permite la definicin de coleccin combinatoria (por ejemplo, un conjunto es tal y tal, pero no tal y tal). Mas, si se introduce una regla para cada elemento o subconjunto y se toma la propiedad estar incluido, ha de existir la clase mxima que pertenece (y no

semejantesextensivamentesiexisteentreellosunacorrespondenciabiunvoca).16 CartadeCantoraJourdaindel9dejuliode1904enLavine,op. cit.,pg.115.17 EnloquecoincideconBadiou:excesodelsersobreelsaber.EstaidentidadprocedequizdelRigveda

yseformulaconParmnides:Queserypensaresunamismacosa.


pertenece) a la totalidad combinatoria. La clase de clases combinatorias dice Lavine slo aparentemente es una parte propia de s misma: cuando se consideran los conjuntos contables, no los arbitrarios. Es decir, las paradojas se producen al incorporar a las colecciones un lenguaje de control, un sujeto lgico-lingstico humano. Por eso Cantor se escabulla diciendo que los conjuntos infinitos slo pueden ser contados por un sujeto infinito operatorio: Dios.18 Lavine muestra que en un dominio infinito existen ms colecciones combinatorias que lgicas. Y como los conjuntos combinatorios obedecen al axioma de buen orden y al axioma de eleccin, se permite justamente elegir un elemento de cada subconjunto de un conjunto no vaco de manera arbitraria, sin seguir una regla. Para Cantor, concluye Lavine, la ley que afecta a los conjuntos no tiene que ver con reglas o funciones proposicionales, sino con conteo, enumeracin o buena ordenacin.19 b) Planteamiento filosfico. Badiou, desde una perspectiva filosfica y en su particular lenguaje, ha expuesto tambin esta misma idea. Rechaza que el ser sea lo Uno. El ser siempre se presenta como multiplicidad y el Uno slo es una construccin operatoria (cuenta-por-uno); la multiplicidad anterior a toda operacin es inconsistente; una vez estructurada, la multiplicidad es consistente o una situacin. Por eso, dice Badiou, que la nica teora que nos permite pensar lo mltiple en tanto que mltiple (multiplicidad inconsistente) es la teora de conjuntos de Cantor. Distingue Badiou entre el ser presentado (o estructural) y el representado (o metaestructural), a los que hace corresponder con las dos relaciones fundamentales de la teora de conjuntos: la pertenencia [e], entre un individuo y el conjunto, y la inclusin [], entre unos conjuntos y otros.20 Lo que significa que [e] y [] no se encuentran en el mismo nivel conceptual. Si se hace esto, entonces tienen lugar las paradojas, pues ya se presupone que nada de lo mltiple puede exceder una lengua bien hecha. Pero en el caso de los conjuntos infinitos son estructuras disjuntas que, al ponerse en el mismo nivel, confunden las estructuras atributivas [e] con las distributivas []. Y adems, al incorporar la inclusin sobre la pertenencia, la totalidad atributiva de los mltiples queda definida por otra totalidad distributiva, la inclusin, formando una multiplicidad que es combinatoria. Y que va mucho ms all de la posibilidad de ser controlada por el lenguaje. El criterio es que siempre hay un exceso de partes sobre la pertenencia. 21

* * *

18 IgnasiJanhacereferenciaatrestiposdelinfinitoactual:a) Absoluto:Dios;b) Transfinito:infinitoconcreto,queocurreenlanaturalezacreada;c) Nmeros transfinitos:infinitoabstracto,quepuedesercomprendidoporlanaturalezahumana.

19 Axioma de eleccin:Sielconjuntoesfinito,nohayproblema.Porejemplo:seaelconjuntodecircunscripciones.Sea( f)unafuncindeeleccinqueseleccionaundelegado()decadamltiplepertenecientea.Todosesosdelegadosconstituyenunadelegacin(losdiputadosaCortes).Ahorabien,quocurrirasielconjuntoesinfinito?Qusignificaunamayora?...

20 DistincindebidaaPeano(1889).21 A.Badiou,El ser y el acontecimiento, op. cit., p. 115.


As pues, tanto por la va matemtica de Lavine como por la va filosfica de Badiou, se refuerza la va tcnica de la axiomtica de Zeremelo-Fraenkel-Von Neuman. Y, sin embargo, hay algo que no nos deja satisfechos en estos dos proyectos: Por una parte, qu sentido puede tener el concepto de totalidad combinatoria infinita? Y, por otra, cmo puede hacerse presente lo visible la cuenta por uno desde lo infinito? Me parece que la filosofa de Thom, desde cierta perspectiva, responde a estos dos interrogantes que surgen del planteamiento cantoriano. Por una lado, en la parte crtica, muestra las insuficiencias de la definicin de nmero como adicin de entidades en la teora de conjuntos: No se puede eliminar la dependencia del contexto, porque elimina el sentido, la significatividad. Y, quiz sorprendentemente para algunos, Thom se acoge a la filosofa de Aristteles.22; por el otro, la parte constructiva, la propuesta de una ontologa regional de cuo topolgico y que he llamado en otras ocasiones Semntica topolgica, el paso del infinito a las formas mundanas.

2. La posicin crtica de Thom frente a la teora de conjuntos

Thom utiliza entonces un argumento trascendental para enfrentarse a la teora de conjuntos: Cules son las condiciones de posibilidad de las morfologas, que nos permiten tener conocimiento del mundo, salvando la significatividad de las matemticas? La teora de conjuntos cantoriana impedira responder adecuadamente: por su falta de espacio sustrato, y por la irrupcin brusca de las figuras morfolgicas, con su inexplicable semanticidad. Crtica que arrastra tanto al fundamento logicista del concepto de conjunto como a su fundamento generativo-sintactista.

2.1. Reivindicacin del espacio sustrato

La crtica ms radical de Thom contra la teora de conjuntos, como ya hemos indicado, procede de la ausencia de espacio-sustrato en la teora de conjuntos. Una ausencia que aparece en un trabajo pionero de Cantor en el que mostraba la falta de dimensiones espaciales ante el escndalo de Kronecker, que quiere impedir la publicacin del artculo al mostrar una correspondencia biunvoca entre los puntos de una superficie y los de una lnea.23 Como las correspondencias de Cantor eran discontinuas poda realizar esta operacin que, ontolgicamente, conducira a un mundo-migma casi (o sin casi) vdico, en el que todas

22 ParaAristteles,elinfinitopertenecealacategoradecantidad;portanto,noseidentificaconDios.Elapeiron esunfalsoinfinitoyDiosesunasustanciacuyosatributostienenqueverconlatotalidad,laplenitudolaeternidad,peronoconelinfinito.P.Zellini,Breve historia, op. cit., p. 73.

23 J.Dauben,Eldesarrollodelateoradeconjuntos,enI.Grattan-Guinness(comp.),Del clculo a la teora de conjuntos, 1630-1910, Alianza, Madrid, 1984, p. 242.


las formas no seran ms que apariencias. Pero Thom defender el espacio-sustrato con pasin y determinacin:

La teora de conjuntos es una teora sin espacio-substrato, que combina puntos no localizados, aunque hay junto al concepto de propiedad caracterstica de un conjunto, el embrin de la nocin de pregnancia. Tengo la conviccin de que buena parte de las dificultades de la teora de conjuntos y su disolucin delirante en el transfinito cantoriano son debidas a esta ausencia de espacialidad. Intentar imaginar espacialmente sobre el modelo de los diagramas de Venn un conjunto que se contiene a s mismo como elemento.24

Es muy interesante ver cmo se transforma este problema de los diagramas de Venn en un abierto topolgico con frontera.25 Vase la figura 1:

Thom, siguiendo a Einstein, considera que el espacio engendra la materia. El espacio, contra Descartes, nunca est engendrado por un mecanismo generativo, por el grupo aditivo R3 de las traslaciones. De ah el inters de Thom por Aristteles, pues al hacer que la sustancia tenga como predicado el lugar, se ve obligado a multiplicar las materias. Y justamente lo comn que tienen las materias es el continuo: 1) Porque la materia primera admite contrarios. 2) Porque las magnitudes continuas y los nmeros naturales se comportan de manera inversa: Si toda entidad continua puede ser sometida a sustracciones sin agotarse, todo nmero natural sometido a sustracciones se agota, esto es: N n = 0. El continuo es el sustrato esencial de toda movilidad; slo si no hubiese movilidad, si todo fuese reposo, no habra rasgos diferenciales entre el lugar de la cosa y la forma de la cosa. Vctor Gmez Pin ha estudiado esplndidamente el vnculo entre Aristteles y Thom, lo que nos excusa de insistir en l.26 Esta crtica se hace extensiva a la definicin de nmero como conjunto que propone Dedekind y a su mtodo de cortaduras, que intenta ofrecer un fundamento a la aritmtica independientemente del espacio y del tiempo:

24 R.Thom,Leproblmedesontologiesrgionals,Apologie du Logos (AL), Hachette, Paris, 1990, p. 462.

25 Abierto,nocinqueremitealocalidad,intermediaentreelvacoyelsustratoentero.Local:disociadodefigura;aunquetodafiguraseencuentraenunlugar,nodefineallugar.Elabierto topolgico es la interpretacindelolocal(engeometramoderna).

26 V.GmezPin explica esplndidamente esteprocesoquevade las categoras a la abstraccin enAristtelesenLa tentacin pitagrica, Sntesis, Madrid, 1998, cap. 4.


Al decir que la aritmtica (lgebra, anlisis) es slo una parte de la lgica, estoy manifestando ya que considero el concepto de nmero como algo completamente independiente de las representaciones o intuiciones del espacio y del tiempo, como algo que es ms bien un resultado inmediato de las puras leyes del pensamiento.27

Thom cuestiona la definicin por complecin de Cauchy o por cortaduras de Dedekind la recta real es un objeto construido a partir de los enteros, los racionales, porque es muy poco constructiva; y, sobre todo, presupone un mecanismo generativo infinito (la adicin de los enteros y los racionales), mientras que la intuicin psicolgica del continuo que sacamos de la contemplacin del espacio amorfo o del transcurso del tiempo en nuestro flujo de consciencia no nos revela ningn esqueleto algebraico subyacente.28 Y propone la inversin misma del proyecto de Dedekind, que construye el continuo a partir del numerable; al contrario, dir Thom, es el infinito numerable lo que queda justificado por inmersin en el continuo.29 Y, ms todava, Thom considera que el cuerpo de los reales es sugerido por el clculo diferencial y no preexiste a ste.30 La posicin de Thom vendra a significar un vuelco a la concepcin de Dedekind, que parte de la insuficiencia de los axiomas euclidianos y advierte que la tendencia a considerar el espacio como un continuo es injustificable. Todas las construcciones geomtricas que intervienen en los Elementos de Euclides podran adaptarse a un espacio puramente racional, cuya discontinuidad pasara de hecho inadvertida:

En mi opinin, la mencionada base no es suficiente, a menos que adems de los principios eucldeos se aada el punto clave de mi escrito, la esencia de la continuidad, en modo alguno contenido en ellos [en los Elementos de Euclides].31

27 Dedekind, Qu son y para qu sirven los nmeros?, op. cit., p. 97.28 R.Thom,Unedfinitioncontinuedunombre,op. cit.,p.163.29 Unaautnticainversin,dirayo,(...)Segnelpuntodevistatradicional,elcontinuoseconstruyea

partirdelnumerableporcomplecinomedianteelprocedimientodeDedekind.Peroyopiensoqueesalrevs:elinfinitonumerableesloquequedajustificadoporsuinmersinenelcontinuo.R.Thom,Palabras y catstrofes (PyC),Tusquets,Barcelona,1986,p.152.

30 Esta anterioridad del continuo que postulamos va en contra de la va tradicional que hace de larectarealunobjetoconstruidoapartirdelosenteros,luegodelosracionales(porlascortaduras de DedekindolacomplecindeseriedeCauchy).Meesforzarenmostrarquelaestructuraalgebraicadelcuerpodelosrealesnopreexistealclculodiferencial,sinoquees,alcontrario,sugeridoporesteltimo.R.Thom,Lesrelsetlecalculdiffrentiel,AL,p.316.

31 Y contina un poco ms abajo: El concepto de nmero, como proporcin entre magnitudeshomogneas,nollegarentoncesnuncamsalldeloracional()PeronuncaseencuentraenEuclides,nienotroescritorposterior,larealizacindesemejantecomplecin,oseaelconceptodedominiodemagnitudescontinuo()Teniendotodoestoencuentasigoafirmandoquelosprincipioseucldeossolos, sin apelacin al principio de continuidad, que no est contenido en ellos, son incapaces defundarunateoracompletadelosnmerosrealescomoproporcionesdemagnitudesR.Dedekind, Qu son y para qu sirven los nmeros?, op. cit.,pp.162-164.


La crtica de tipo ms tcnico a las cortaduras de Dedekind se prolonga como crtica tica (pedaggica). Pues la ausencia de semanticidad en los mtodos operatorios sintcticos de la generatividad de los nmeros compromete a la educacin, es decir, a la inteligibilidad. Por eso me parece que la conexin con la filosofa aqu es bsica. El xito de la empresa generativa ha permitido desarrollar las matemticas en diferentes campos cientficos, fundamentalmente en la fsica, aunque en los ltimos aos tambin ha afectado a las ciencias humanas y en particular a la lingstica y a la biologa molecular. El proyecto de investigacin de Chomsky se bas precisamente en la capacidad generativa de la sintaxis de las lenguas. De tal modo que Chomsky, por ejemplo, slo considera dotada de propiedades generativas a la Sintaxis, dejando la Semntica, que excede la estructura de los autmatas, a cargo de las Ideas Innatas, con una muy ingrata consecuencia: de los lmites internos de los formalismos se pasa a una tesis ontolgica que slo sera legtima si hubiera sido fundada en las descripciones formales como ontolgicamente determinantes, lo que no es el caso de las Gramticas Generativas.32 Es una crtica a quienes, por extensin, defienden la generatividad de cualquier otra entidad, por ejemplo, la teora informacional del ADN o la teora generativo-transformacional de Chomsky.33 Y, por ltimo, Thom cuestiona la va logicista de Frege-Russell y su proyecto fundamentalista. Thom observar que ha sido una pretensin aberrante la de que la matemtica pudiera basarse en s misma o en la lgica. Un eslogan al que contrapone el apotegma de que todo lo riguroso es insignificante. En su lectura de Gonseth, Thom se pregunta cmo es posible que la matemtica sea a la vez significante y rigurosa. Por un lado, y frente al reproche de psicologismo por parte de los formalistas, niega que las matemticas puedan reducirse a lgica, que sean una tautologa. (Contra las matemticas estructuralistas, abstractas: Quiz pueda defenderse este punto de vista, pero para m la tendencia a pensar que el ser precede a la nada es irresistible. El elemento precede a la relacin. No hay relacin sin elemento y la visin de los estructuralistas (que definen la relacin intrnseca sin tener en cuenta los elementos) me parece sofisticada y sin demasiado fundamento. Mi universo es un mundo de objetos y de cosas y el no ser slo se presenta,

32 Searle, por ejemplo, escribe: El elementoms dbil de la gramtica deChomsky es elcomponentesemntico,comolmismoadmiterepetidamente(...)LarevolucindeChomskyesengranmedidaunarevolucinenelestudiodelasintaxis(pp.38y45)enG.Harman(comp.), Sobre Noam Chomsky: Ensayos crticos, Alianza, Madrid, 1981.

33 Parailleurs, lapossibilitquaune languedegnrerune infinitdephrases tirentbienplusaucaractreouvertdulexique(richedetouteslespossibilitsdeluniverssmantique)qulavaritdesconstructionssyntactiquesdontonavitefaitletour,aumoinsdansleursgrandstraits.Cestcetteauto-limitationdescapacitsgnrativesdelasyntaxequidemande explication Ren Thom, Modles mathmatiques de la morphogense (MMM), ChristianBourgois,Pars,1980,p.164.


es verdad, en la medida en que aparece la variabilidad). 34 Por otro, observa que, al igual que el formalismo se destruye a s mismo por el teorema de Gdel, las matemticas del Caos, al iterar distintos sistemas de ecuaciones en los ordenadores, producen estructuras caticas y muestran cmo el determinismo se destruye a s mismo. Y, en fin, considera que en matemticas los problemas de la verdad y del error son de poca importancia; la historia revela que los errores se detectan antes o despus. Ante el formalismo y el construccionismo intuicionista, Thom defiende una postura plenamente inmanentista:

Creo que esos grandes teoremas [que se adaptan a un nmero muy grande de situaciones] extraen su importancia de analogas formales que se hunden mucho ms profundamente en la constitucin misma de las estructuras psquicas de la especie humana, aquellas que determinan la manera propia en la que el espritu organiza la realidad.35

3. Del continuo al mundo

El continuo, desde el punto de vista de la gnoseologa, es posterior a lo discreto. As, Thom podr decir que la descomposicin discreta de los procesos naturalmente continuos en hechos aislados no es ms que una ilusin del espritu;36 pero ontolgicamente el continuo es anterior. De manera que lo infinito no llega a lo real sino inmerso en lo continuo.37 Mas, cmo se hace presente entonces el mundo? Veamos muy rpidamente tres contextos: morfolgico, lingstico y matemtico.

a) Las morfologas:38 El continuo tiene que estar cargado de estratos, de hipergneros, de gneros que se van distribuyendo por el espacio-tiempo segn estructuras morfolgicas. As se podrn ir describiendo las morfologas mundanas desde la formacin de aglomerados polvorientos, explicacin que es matemticamente equivalente al anlisis de la formacin de las singularidades de las custicas,39 pasando por la estructuracin de las capas geolgicas, hasta los organismos, los animales y el ser humano. El programa de Thom rechaza una teora de la evolucin resuelta por puros mecanismos de supervivencia y presta atencin a la morfologa, tal como hace en la actualidad el programa Evodevo,40 que tiene presente los lmites impuestos por las formas que toman su fuerza de los genes

34 R.Thom,DeterminismoeinnovacinenA.VV.,Proceso al azar,Tusquets,Barcelona,1986,p.69.

35 R.Thom,Ralitnaveetralitscientifique,fotocopiado.36 R. Thom, Semiofsica, op. cit., p. 41.37 R. Thom, Semiofsica, op. cit., p. 83.38 R.Thom,Surlorigineetlastabilitdessymetries,AL,pp.269-278.39 V.I. Arnold, Teora de catstrofes,Alianza,Madrid,1987,p.67.40 JaumeBaguyJordiGarca-Fernndez(coords.),Journal of Developmental Biology,volumen47,

nmero7/8,2003.Seencuentraen:http://www.ijdb.ehu.es/03078contents.htm.


Homeobox,41 y la teora del equilibrio punteado de S. J. Gould y N. Eldredge.42 Thom se opone tanto a la evolucin ilimitadamente innovadora, como defiende Prigogine y su escuela, una mezcla de neodarwinismo y termodinmica irreversible;43 como a las teoras de la infinitud o del principio de plenitud, de un universo en el que hubiera ejemplares de todas las variantes de gneros de cosas vivas: Todo lo virtual se har realidad, porque el mundo es mejor cuntas ms cosas contenga (implcito en algunas formas de conciencia ecolgica).44 Para Thom, las formas del mundo son accidentales a partir de constricciones morfolgicas. Ms bien es un mundo que se repite mucho ms de lo que en principio estamos dispuestos a creer. Geoffroy de Saint-Hilaire empieza a ser resultar vencedor en aquel debate que tanto entusiasmara a Goethe.45

b) De la etologa al lenguaje. Thom defiende la aparicin de lo simblico como una manera que tienen los organismos de abordar la identidad de un ser: la identidad espaciotemporal localizacin, representada por sustantivos y la identidad semntica comprensin de un concepto, representada por adjetivos. Para explicarlo ha construido un modelo de estructuras simuladoras del psiquismo de las presas, mediante el grafo lazo de apresamiento.46 La propia actividad neurolgica del animal realiza un modelo del espacio que lo rodea, un mapa motriz que le permite controlar sus propios desplazamientos, capturar presas o huir de los predadores (las formas genticas son suministradas por el patrimonio de la especie y determinan un comportamiento bien definido). El paso del animal al ser humano se produce por la aparicin del lenguaje que, a diferencia del animal o del beb, que se lleva los objetos

41 GarcaBellido,A.Ripoll,P.yMorata,G.:DevelopmentalcompartmentalizationofthewingdiskofDrosophila,Nature New Biology, 245 (1973), 251-253.

42 StephenJayGould,La estructura de la teora de la evolucin,Tusquets,Barcelona,2004.43 Crticaqueseencuentra,porejemplo,enRalitnaveetralitscientifique.44 Cf.Lovejoy,La gran cadena del ser, cap. IV.45 Qupiensa usted de este gran suceso?exclam al verme.Ha sobrevenido la erupcin del

volcn.Esttodoardiendo,yyanosetratadeunasesinapuertascerradas!()Unaterriblehistoria!repliqu.PeroenlascircunstanciasdeFrancia,yconunministeriosemejante,slopodaacabarconeldestierrodelafamiliareal.Parecequenonosentendemos,queridoreplicGoethe.Nohablodeesasgentes;setratadecosascompletamentedistintas.MerefieroalaluchaentreCuvieryGeoffroydeSaint-Hilaire, tan interesantepara laciencia,yquehaestalladopblicamenteante laAcademia...AhorahaentradotambindecididamenteanuestroladoGeoffroydeSaint-Hilaire,contodossusdiscpulosypartidariosfranceses.Esteacontecimientotieneparamunvalorincalculable,yconraznreciboconjbilolavictoriafinaldeunacausaalaqueheconsagradolavida,yqueesprofundamentema.J.PEckermann,Conversaciones con Goethe en los ltimos aos de su vida, vol.3,Calpe,col.Popular,1920,pp.314-316.

46 R. Thom, Estabilidad estructural y morfognesis,Gedisa,Barcelona,1987,pp.306yss.Esbozo de semiofsica, op. cit., pp. 87 y ss.


a la boca permite al ser humano apropiarse de seres intermediarios entre los objetos exteriores y las formas genticas, que son los conceptos.47

c) Los nmeros reales: El continuo se enfrenta radicalmente al mecanismo generativo infinito, y no slo desde la perspectiva gnoseolgica, sino desde la puramente operatoria y ontolgica.48 Thom cuestiona a quienes defienden la generatividad del nmero, hasta el punto de que la propia suma debe encuadrarse en el continuo: La definicin de la suma, como yo la entiendo, corresponde a la situacin en que se da la catstrofe elemental de captura de un pozo de potencial por parte de otro, como en la cspide ... Es en parte como aquello que se les enseaba a los nios: para sumar los huevos de dos cestos se pone el contenido de uno en el otro: Todo est ah ya: la adicin se define recurriendo a un proceso fundamentalmente continuo y slo artificialmente se realiza una operacin definida en forma abstracta y discreta.49 La cuestin da un giro total. Se trata de justificar el lgebra y el anlisis, no a partir de los nmeros naturales o de los enteros, sino a partir de entidades continuas. Thom demostrar que los nmeros reales son nmeros de rotacin de hojaldrados50 sobre el toro topolgico; de esta manera se enfrenta Thom al continuo en sentido sustantivo: el continuo de la recta real.

47 R. Thom, Estabilidad estructural y morfognesis,op.cit.,pg.320.48 R.Thom,Laphilosophienaturelle,unequtedelintelligible,enAL,p.498.Thomafirmaquela

dificultadfilosficaprocededequenoexisteinterpretacinontolgicaalgunadelasoperacionesalgebraicas,demaneraqueslopuedeprocederseporadivinacin.

49 R. Thom, PyC, p. 152.50 Feuilletage/hojaldrado/foliacin.

Fernando Miguel Prez HerranzEl problema del continuo en Ren Thom

el problema del continuo en rené thom

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