el teorema de categorÍa de baire y aplicaciones · una trivialidad profunda. así caliﬁca t. w....

Título de la obra: EL TEOREMA DE CATEGORÍA DE BAIRE Y APLICACIONES

Autor: Wilman Brito

Editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes

Av. Andrés Bello, antiguo CALA. La Parroquia

Mérida, estado Mérida. Venezuela

Telefax (+58274) 2713210, 2712034, 2711955

e-mail [email protected]

http://www.ula.ve/cp

1a edición en CD-Rom. 2011

Reservados todos los derechos

© Wilman Brito

Diseño de portada: INNOVA. Diseño y Tecnología C.A.

Mérida, Venezuela, 2011

El Teorema de Categoría de Bairey

Aplicaciones

Wilman Brito

DEDICATORIA

A Claudia, mi esposa.

A mis hijos:

Sebastian, Rubén, Noelia, Diego, Andrea y Fabiola,

y a la memoria de mi amigo

Diómedes Bárcenas.

PRÓLOGO

Una trivialidad profunda. Así califica T. W. Körner [270] al Teorema de Categoría de Baire. Uno estáinclinado a pensar que la razón fundamental para tal declaración es que, aparte de su simple y elegantedemostración, pocos resultados comparten, como lo hace el Teorema de Categoría de Baire, el privilegio deintervenir, directa o indirectamente, en la demostración de una cantidad elevadísima de resultados muchosde los cuales son no triviales, algunos son un verdadero reto a la propia imaginación y muchos otros son,simplemente, espléndidos, hermosos. El contenido de estas notas muestran algunas de las formidables y, aveces, inimaginables aplicaciones que se apoyan en dicho teorema.

Como se puede entrever, el título de este libro indica una declaración de intenciones. A pesar de la in-mensa gama de aplicaciones que se sustentan sobre el Teorema de Categoría de Baire, existe un sorprendentevacío de un texto que se dedique exclusivamente a recoger gran parte de esas aplicaciones. Ese vacío no sellena con esta modesta contribución, pero es un paso hacia adelante. Por consiguiente, el primer objetivo deestas notas es presentar, con un tratamiento absolutamente informal, algunas de esas aplicaciones. Es impor-tante observar que en casi todos los textos de Análisis Funcional, del Análisis Real o la Topología cuandodesarrollan algunas de las aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire muestran, por su interés particu-lar, casi siempre los mismos resultados entre los que se encuentran, en el caso del Análisis Funcional, delos Teoremas de Acotación Uniforme, de la Aplicación Abierta o del Gráfico Cerrado y, en algunos casos,demostrar la existencia de un conjunto “abundante” de funciones continuas que poseen una serie de Fourierque diverge en un punto. Cuando se trata de la Topología o el Análisis, el ejemplo más emblemático es lademostración de la abundancia de las funciones continuas a valores reales definidas, digamos, sobre [0,1]que no poseen derivada finita en ningún punto de su dominio, mientras que en otros casos se dedican ademostrar la imposibilidad de expresar a Q, el conjunto de números racionales, como un Gδ-denso, o unademostración de que el conjunto ternario de Cantor es no numerable, etc. Esos ejemplos son enteramentecomprensibles y justificables, pero pueden sustentar la idea de que el ámbito de aplicaciones del menciona-do teorema se reduce a los ejemplos ya descritos y, tal vez, a otras pocas aplicaciones. Estas notas intentaconvencer al lector de lo contrario al ofrecer un abanico muchísimo más amplio de aplicaciones que, porlo general, no son fáciles de encontrar en casi ningún otro texto donde se aplica el Teorema de Categoríade Baire. Por supuesto, muchas otras aplicaciones, además de los “resultados clásicos”, son incorporadas enestas notas mostrándose, por supuesto, otras de data más reciente pero dejando, aun por fuera, muchísimasotras aplicaciones.

En su tesis doctoral “Sur les fonctions des variables réelles” [28], escrita en 1899, René Baire, después

IV

de introducir los conceptos de primera y segunda categoría al final del capítulo 2 escribe: el continuum cons-tituye un conjunto de segunda categoría, resultado que más tarde se conocerá como el Teorema de Categoríade Baire y por el cual Baire es famoso en la comunidad matemática. Poco tiempo antes, George Cantor habíademostrado que ningún conjunto numerable podía llenar totalmente un intervalo abierto; es decir, la totali-dad de los puntos de cualquier intervalo abierto es no numerable. Baire extiende este principio al demostrarque ningún conjunto de primera categoría enR (de los cuales, los subconjuntos numerables deR constituyenun caso particular) puede cubrir totalmente un intervalo abierto, es decir, el Teorema de Categoría de Bairees una generalización de mayor alcance que la no numerabilidad del conjunto de los números reales. El obje-tivo fundamental en la tesis de Baire era caracterizar aquellas funciones de dos variables que eran continuasen cada variable separadamente pero que podían ser o no continuas simultáneamente en ambas variables.Cauchy había afirmado en su famoso libro “Cours d’Analyse” (una afirmación falsa) que “si una funciónde dos variables es continua respecto a cada una de ellas, entonces dicha función es continua como funciónde ambas variables”. Casi al final de las primeras 27 páginas de su tesis, Baire había demostrado que esasfunciones (las funciones de dos variables que eran continuas en cada variable separadamente pero no con-tinuas simultáneamente en ambas variables) eran puntualmente discontinuas sobre cada conjunto perfecto.(Una función f es puntualmente discontinua con respecto a un conjunto cerrado F , si el conjunto de puntosde continuidad de f |F es denso en F). De hecho, Baire mostró que dichas funciones se pueden representarcomo límites puntuales de sucesiones convergentes de funciones continuas. Tales funciones serán conocidasposteriormente como funciones de la primera clase de Baire, término acuñado por Ch. J. de la Vallée Poussin(1866-1962) y denotadas por B1. Seguidamente Baire prueba que el conjunto de puntos de discontinuidadde cualquier función f ∈ B1 es de primera categoría y extiende dicho resultado mostrando que las familiasde las funciones derivadas, las semicontinuas y las de variación acotada están contenidas en B1. De estamanera, para todas esas clases de funciones, el conjunto de sus puntos de discontinuidad es “pequeño”. Unaelegante y agradable exposición histórica del trabajo de R. Baire la desarrolla Gilles Godefroy en [184].

Existen varias maneras de describir o determinar el tamaño de los conjuntos. Por ejemplo, en la Teoríade Conjuntos ellos se miden en términos de su cardinalidad y, por consiguiente, tanto los conjuntos finitosasí como los infinitos numerables son considerados pequeños, mientras que los conjuntos no numerablesson pensados como muy grandes. Esa manera de clasificar a tales conjuntos fue usado por primera vez porCantor para demostrar la existencia de los números trascendentes. En efecto, en primer lugar Cantor de-mostró que R, el conjunto de los números reales, era no numerable y, posteriormente, que el conjunto delos números algebraicos era numerable. Esos dos ingredientes le permitieron, finalmente, concluir que losnúmeros trascendente existen (sin mostrar ninguno de ellos) y que tales números, en comparación con losnúmeros algebraicos, son más numerosos. Similarmente, en la Teoría de la Medida e Integración, se usala noción de longitud o medida para describir el tamaño de los conjuntos. Los conjuntos de medida cero,así como uniones numerables de tales conjuntos, se piensan como conjuntos pequeños, mientras que los demedida positiva se consideran grandes. Observe que si λ es la medida de Lebesgue sobre [0,1], entoncescualquier subconjunto finito o infinito numerable de [0,1] tiene medida cero por lo que la noción de “con-junto pequeño” coincide en ambas teorías para los conjuntos finitos y los infinitos numerables. Sin embargo,existen en [0,1] conjuntos no numerables que poseen medida de Lebesgue cero como es el caso del conjuntoternario de Cantor. Esta distinción establece que la manera de cómo se mide el tamaño de los conjuntosen ambas teorías, al menos desde el punto de vista de los conjuntos no numerables, son distintos. Por otrolado, la noción de categoría de Baire ofrece otra perspectiva de medición de conjuntos pero desde la ópticatopológica. En este ambiente, los conjuntos nunca densos son considerados conjuntos pequeños. Cualquierconjunto que es unión numerable de estos conjuntos pequeños es llamado un conjunto de primera categoríao magro y, en consecuencia, también se le considera pequeño. Un conjunto que no es de primera categoríase le suele llamar de segunda categoría o no-magro. Intuitivamente, los conjuntos de segunda categoría son

V

conjuntos grandes o muy abundantes. Similar a la observación anterior existen conjuntos que son grandesdesde el punto de vista de la categoría de Baire pero que resultan ser pequeños en la Teoría de la Medida eIntegración y viceversa. Como veremos más adelante, el Teorema de Categoría de Baire resulta ser, en conse-cuencia, un resultado acerca del tamaño de los subconjuntos de un espacio métrico completo u otro espacioapropiado pero siempre sustentado sobre la noción de densidad. Existen en la literatura otras variedades deconjuntos pequeños que han sido estudiados con cierta profundidad como son, por ejemplo, los conjuntosσ-porosos o los conjuntos Gamma-nulos, también están los conjuntos de Gauss nulo y los Haar nulo, queson de especial interés, particularmente, en la Teoría de Probabilidades, etc.

El Teorema de Categoría de Baire constituye, sin lugar a dudas, una herramienta poderosa. Dicho teoremaofrece un método no constructivo para demostrar la existencia, pero sin exhibir ningún ejemplo concreto,de ciertos objetos que por lo general son muy difíciles de visualizar y, por supuesto, de construir. Unaformulación equivalente de dicho teorema en espacios topológicos es la siguiente: Un espacio topológicoX es llamado un espacio de Baire si cualquier colección numerable de subconjuntos abiertos densos en Xposee intersección densa. ¿Cómo se aplica el método de categoría de Baire? Pues bien, supongamos quequeremos demostrar la existencia de un objeto matemático x satisfaciendo alguna propiedad P(x). El métodode categoría consiste, esencialmente, en encontrar un espacio métrico completo adecuado X (o algún otroespacio de Baire “suficientemente bueno”) y mostrar que el conjunto {x ∈ X : P(x)} es abundante en X ; ode modo equivalente, que el conjunto {x ∈ X : P(x) no se cumple} es de primera categoría en X . Esto nosólamente muestra que existe un x tal que P(x) se cumple, sino que en el espacio X “casi todos” los elementosx tienen, desde el punto de vista topológico, la propiedad P(x).

Ahora explicaremos cómo hemos organizado la presentación de estas notas. En el capítulo 1 se intro-ducen algunos pre-requisitos necesarios, pero insuficientes, para darle cierta coherencia, armonía e indepen-dencia a los resultados objeto de estudios. Posteriormente se introducen las nociones de conjuntos de primeray segunda categoría y se prueban algunos resultados relacionados con esas nociones, entre los cuales se en-cuentra, por supuesto, el trivialmente profundo Teorema de Categoría de Baire para varios clases importantesde espacios de Baire tales como los espacios métricos completos, los localmente compactos y, en general,para una categoría más amplia conocida como los espacios Čech-completos. Similarmente, se prueba que elmétodo de categoría de Baire también es aplicable a los espacios Oxtoby-completos, etc. Ya en éste capítulose comienzan a dibujar algunas de las extraordinarias consecuencias que se obtienen por medio el Teore-ma de Categoría de Baire al mostrarnos algunos hechos aparentemente excepcionales e insospechados. Elcapítulo 2 es, por su amplitud y variedad, el más interesante. Las aplicaciones del Teorema de Categoría deBaire comienzan, en primer lugar, con una galería de monstruos, es decir, examinando ciertos objetos que enprincipio se consideran como excepcionalmente raros y, a veces, extravagantes pero que tales objetos consti-tuyen, de hecho, la regla y no la excepción. Algunos de esos resultados generaron, en sus comienzos, ciertasreacciones adversas que les permitieron a algunos matemáticos “alejarse con horror y temor de esas plagaslamentables”, pero a otros les causó una especie de alegría contagiosa en busca de otros monstruos ocul-tos. En todo caso, lo que esos resultados muestran es el triunfo del método de categoría de Baire en revelarabundantes objetos ocultos con apariencia insólita y, a veces, inimaginables. La mayoría de esas aplicacionesabarcan áreas fundamentalmente del Análisis Real y Complejo incluyendo Teoría de la Medida, así comoen la Teoría de los Espacios de Banach y de los Operadores Lineales Acotados entre ellos. Por ejemplo, enel transcurso de estas notas tratamos de mostrar cómo el Teorema de Categoría de Baire aparece como unaherramienta importante en la demostración de resultados vinculados con: Principios Variacionales, AnálisisDiferencial en Espacios de Banach, Dentabilidad, Fragmentabilidad, Juegos Topológicos, Funciones Analíti-cas, Series Trigonométricas y de Fourier, etc. El último capítulo es una breve incursión al hermoso, sutil ydelicado resultado conocido con el nombre de El Teorema Grande de Baire. En dicho capítulo se tratanciertos aspectos de las funciones de la primera clase de Baire, la caracterización clásica de tales funciones,

VI

así como algunas (muy pocas) aplicaciones en el ámbito de los espacios de Banach. Tangencialmente nosinvolucramos con ciertos índices y sus relaciones con las funciones de la primera clase de Baire.

Finalmente queremos hacer notar, en primer lugar, que lo extenso de estas notas se debe fundamental-mente al esfuerzo que se ha hecho para que dicha exposición sea lo más autocontenida posible tratando, enlo posible, de demostrar gran parte de los resultados enunciados y utilizados, aunque en algunos casos, muypocos, se provee sólo un bosquejo de la demostración y, en consecuencia, se hace imprescindible pedirleal lector que en la bibliografía recomendada al final del libro consulte los resultados no demostrados enestas notas. Por otro lado, existe una sección marcada con dos asteriscos, la última del Capítulo 2, que nopresenta ninguna demostración. El único interés en incluirlas es el de informar brevemente al lector sobreciertos resultados actuales e importantes vinculados en, cierta medida, con el Teorema de Categoría de Bairey que tratan sobre ciertos conjuntos que sin poseer una estructura lineal, contienen subespacios lineales quea veces resultan ser muy grandes. En segundo lugar, muchos otros aspectos que tienen que ver, directa oindirectamente, con el Teorema de Categoría de Baire no han sido incluidos por diversas razones. Por ejem-plo, los relacionados con las versiones computables del Teorema de Categoría de Baire, así como la nociónde porosidad en la Teoría de los Espacios Métricos, la noción de prevalencia en espacios de Banach y surelación con otras nociones en la Teoría de la Medida e Integración y otros campos del quehacer matemáticono aparecen en estas notas. Los libros de John C. Oxtoby [345] (el clásico por excelencia en este tema), R.P. Boas [56], N. L. Carothers [84], A. B. Kharazishvili [253], A. M. Bruckner [76], B. S. Thomson, J. B.Bruckner y A. M. Bruckner [426], así como la tesis de Sara H. Jones [241], el artículo de Haworth-McCoy[208], y algunos otros que no mencionamos, tratan temas que no hemos incluidos en estas notas. Las tesis deIvan Bergman [49] y fundamentalmente la de Johan Thim [424] también son ampliamente recomendadas.

Quiero expresar mis más profundas gracias al profesor y amigo Diómedes Bárcenas quien se nos fueasí, de improviso, dejándonos con una tristeza que uno no sabe dónde ubicarla y un profundo dolor. En laprimera versión de estas notas, el Dr. Bárcenas las leyó completamente haciéndome llegar sus observacionesque me parecieron muy pertinentes y que, por supuesto, incorporé con sumo entusiasmo. La versión casifinal de las mismas, la que ahora tenemos a mano, fueron sometidas a un riguroso y meticuloso escrutiniopor parte del Dr. Dick van Dulst convirtiendo su lectura en algo más comprensible y agradable. Tenemosla firme convicción que su intervención ha sido determinante en la fase final de la misma y de un enormebeneficio en su presentación. Muchos resultados fueron corregidos, otros desincorporados y algunos vueltosa rehacer. A ellos un ℵα de gratitud. Eso no significa que no puedan seguir existiendo posibles errores uomisiones que, dicho sea de paso, son de mi entera responsabilidad, pero de ninguna manera imputables nial Dr. van Dulst ni al Dr. Bárcenas. Aunque tenemos que ceder a la tentación de las siempre necesarias y,a veces, inagotables ampliaciones y correcciones cuando se escribe unas notas tan extensas, debemos, sinembargo, agradecer a quien, por algún medio, me haga saber sobre omisiones o errores encontrados en elmismo para, en un futuro (si tal cosa es posible), mejorar las mismas. Gracias por adelantado.

Como comentario final debemos decir que lo único que aspiramos con la publicación de estas notas esque algún lector encuentre algo de interés en ellas y pueda divertirse disfrutando de la trivialidad profundadel Teorema de Categoría de Baire paseándose por sus, a veces simples, y en ocasiones profundas, perosiempre hermosas y poderosas, aplicaciones.

W.B.E-mail: [email protected] de Los AndesMérida - Venezuela

ÍNDICE GENERAL

Prólogo III

1. El Teorema de Categoría de Baire 11.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. El Axioma de Elección, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales

y la Hipótesis del Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Espacios normados y de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6. Conjuntos de primera y segunda categoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7. El Teorema de Categoría de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8. Algunas formas equivalentes de los espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.9. Primeras consecuencias del Teorema de Categoría de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.10. Conjuntos tipo-Cantor que sólo poseen números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.11. Espacios completamente metrizables y Čech-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.11.1. ‖ ◮ Espacios completamente metrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.11.2. ‖ ◮ Espacios Čech-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.11.3. ‖ ◮ Espacios Oxtoby-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.11.4. ‖ ◮ Espacios topológicos con un subespacio denso completamente metrizable . . . . 74

1.12. Puntos de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.12.1. ‖ ◮ El Teorema genérico de Baire-Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.12.2. ‖ ◮ Funciones cuyos puntos de continuidad es nunca-denso . . . . . . . . . . . . . 931.12.3. ‖ ◮ Espacios de Baire y funciones exclusivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971.12.4. ‖ ◮ Funciones que son continuas sobre un conjunto Gδ-denso . . . . . . . . . . . . 100

1.13. El Teorema de Categoría de Baire y el Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.14. El Teorema de Categoría de Baire y el Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.15. El Teorema de Categoría de Baire y conjuntos de Luzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VIII ÍNDICE GENERAL

2. Aplicaciones del Teorema de Categoría de Baire 1132.1. Galería de monstruos: funciones y otros objetos raros pero abundantes . . . . . . . . . . . . 113

2.1.1. ‖ ◮ Funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.1.2. ‖ ◮ Funciones continuas nunca rectificables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.1.3. ‖ ◮ Convolución de funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . 1252.1.4. ‖ ◮ Funciones diferenciables nunca monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.1.5. ‖ ◮ Funciones continuas nunca Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.1.6. ‖ ◮ Funciones continuas nunca monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.1.7. ‖ ◮ Funciones nunca monótonas de la 2a especie y de tipo no monótonas . . . . . . 1402.1.8. ‖ ◮ Funciones que no cruzan líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.1.9. ‖ ◮ Funciones continuas con un conjunto denso de máximos locales propios . . . . 1492.1.10. ‖ ◮ Funciones continuas con un conjunto no numerable de ceros . . . . . . . . . . . 1512.1.11. ‖ ◮ Funciones cuyos puntos de discontinuidad son c-densos . . . . . . . . . . . . . 1552.1.12. ‖ ◮ Funciones de clase C ∞ nunca analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572.1.13. ‖ ◮ Funciones analíticas nunca prolongables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.1.14. ‖ ◮ Series de Fourier siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682.1.15. ‖ ◮ Series universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762.1.16. ‖ ◮ Series condicionalmente convergentes en R y abundantes reordenamientos . . . 1892.1.17. ‖ ◮ Series con signos alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952.1.18. ‖ ◮ Números de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992.1.19. ‖ ◮ Aproximaciones diofánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2.2. Otras aplicaciones en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072.2.1. ‖ ◮ Algunas aplicaciones clásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072.2.2. ‖ ◮ Diferenciabilidad en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2422.2.3. ‖ ◮ Norma LUR, compacidad débil y puntos más lejanos . . . . . . . . . . . . . . . 2572.2.4. ‖ ◮ Dentabilidad, la PRN y densidad de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2602.2.5. ‖ ◮ Abundantes medidas que no poseen átomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2732.2.6. ‖ ◮ El Teorema de Vitali-Hahn-Saks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2882.2.7. ‖ ◮ El Teorema de Acotación Uniforme de Nikodým . . . . . . . . . . . . . . . . . 2932.2.8. ‖ ◮ Abundantes medidas de control: Rybakov-Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . 2962.2.9. ‖ ◮ Fragmentabilidad y espacios de Asplund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002.2.10. ‖ ◮ Fragmentabilidad y compacidad débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172.2.11. ‖ ◮ Fragmentabilidad y cuasi-continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192.2.12. ‖ ◮ Fragmentabilidad y principios variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.2.13. ‖ ◮ El juego de Banach-Mazur y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3302.2.14. ‖ ◮ El juego de Banach-Mazur y Principios de selección . . . . . . . . . . . . . . . 3402.2.15. ‖ ◮ El juego de Banach-Mazur y límite puntual de funciones cuasi-continuas . . . . 3432.2.16. ‖ ◮ El juego de Banach-Mazur-Oxtoby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3462.2.17. ‖ ◮ El juego de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3532.2.18. ‖ ◮ El juego de Kenderov-Moors y fragmentabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552.2.19. ‖ ◮ El juego de Banach-Mazur y problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . 3622.2.20. ‖ ◮ El Teorema Grande de Namioka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3692.2.21. ‖ ◮ Las propiedades de Namioka y co-Namioka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3752.2.22. ‖ ◮ El juego de Christensen-Saint Raymond y la propiedad de Namioka . . . . . . . 3862.2.23. ‖ ◮ El juego de Banach-Mazur y aplicaciones cuasi-continuas . . . . . . . . . . . . 3922.2.24. ‖ ◮ Densidad de funciones con un máximo fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

ÍNDICE GENERAL IX

2.2.25. ‖ ◮ Orbitas y operadores hipercíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4022.2.26. ‖ ◮ Abundantes bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4232.2.27. ‖ ◮ Abundantes operadores diagonales e irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 4282.2.28. ‖ ◮ Abundantes operadores que poseen un vector cíclico en común . . . . . . . . . 4512.2.29. ‖ ◮ Abundantes operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

2.3. Espacios vectoriales en conjuntos excepcionalmente raros ∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 4602.3.1. ‖ ◮ Funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4602.3.2. ‖ ◮ Funciones continuas con infinitos ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.3.3. ‖ ◮ Funciones siempre sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.3.4. ‖ ◮ Funciones continuas que interpolan sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.3.5. ‖ ◮ Funciones K-lineales discontinuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4632.3.6. ‖ ◮ Funciones con un conjunto denso de puntos de discontinuidades removibles . . 4632.3.7. ‖ ◮ Funciones que poseen un número finito de puntos de continuidad . . . . . . . . 4632.3.8. ‖ ◮ Funciones cuyas derivadas son no acotadas sobre un intervalo cerrado . . . . . . 4642.3.9. ‖ ◮ Funciones no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4642.3.10. ‖ ◮ Funciones casi-siempre continuas pero no Riemann-integrables . . . . . . . . . 4642.3.11. ‖ ◮ Funciones Riemann-integrables que no son Lebesgue-integrables . . . . . . . . 4652.3.12. ‖ ◮ Funciones continuas con un único máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4662.3.13. ‖ ◮ Operadores hipercíclicos y supercíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4662.3.14. ‖ ◮ Funciones nunca cuasi-analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4672.3.15. ‖ ◮ El Teorema de Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4672.3.16. ‖ ◮ Series de Fourier siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4682.3.17. ‖ ◮ Series de Dirichlet siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4682.3.18. ‖ ◮ Funciones de clase C∞ nunca analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

3. El Teorema Grande de Baire 4713.0. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4713.1. El Teorema Grande de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

3.1.1. ‖ ◮ Funciones de la primera clase de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4743.1.2. ‖ ◮ El Teorema Grande de Baire - Una prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

3.2. Algunos ejemplos de funciones que pertenecen a B1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.3. Aplicaciones del Teorema Grande de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4983.4. Índices de Szlenk, de Bourgain y de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

3.4.1. ‖ ◮ Índice de Szlenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5123.4.2. ‖ ◮ Índice de Bourgain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5143.4.3. ‖ ◮ Índice de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

X ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO 1

EL TEOREMA DE CATEGORÍA DE BAIRE

Introducción

Las aplicaciones clásicas del Teorema de Categoría de Baire sustentan la idea de que dicho teoremaes uno de los tantos resultados importantes en matemáticas. Que ello sea verdad no añade nada nuevo, sinembargo, dicho resultado va más allá del simple hecho de considerarlo como un teorema importante. Aunquesu demostración es simple, su amplio abanico de aplicaciones, como intentaremos probarlo en estas notas, esinmenso. Tal vez por esa razón Körner [270] lo califica como una trivialidad profunda. Por ejemplo, su áreade influencia en la demostración de un número significativo de resultados importantes e interesantes se hacesentir en el análisis clásico, en topología, en ecuaciones diferenciales, en la teoría de números, en el análisisconvexo, en el análisis funcional, en probabilidades, en análisis armónico, etc. Constituye, de hecho, unmétodo poderoso para probar, no sólo la existencia de ciertos objetos cuyas construcciones son, en muchascasos, tremendamente difíciles, sino la abundancia de tales objetos. Sin embargo, y este es uno de los retosque hay que sortear con éxito, existe un cierto grado de dificultad en relación con el método de Categoría deBaire el cual consiste en “encontrar” el espacio métrico completo adecuado o, en su defecto, algún espaciode Baire apropiado donde dicho método es aplicable. Ocasiones tendremos de exhibir numerosos ejemplosdonde tal método es aplicado tales como la existencia de funciones continuas que no son diferenciables enningún punto de su dominio, así como funciones diferenciables que siempre oscilan en cualquier subintervalode su dominio, etc.

Antes de entrar de lleno en los pormenores del Teorema de Categoría de Baire y algunas de sus aplica-ciones, será necesario revisar de manera sucinta algunas nociones básicas de Teoría de Conjuntos, Funcionesy Espacios Topológicos que asumiremos, corriendo el riesgo de equivocarnos, que el lector conoce. Sinembargo, parte de la teoría de los Espacios de Banach y, en particular, de los Espacios de Hilbert que senecesitan en estas notas no se desarrollan en esta sección aunque se discuten brevemente en ciertas porcionesdel mismo. En todo caso, la bibliografía al final de estas notas pueden servir al lector de ayuda para conocer(y ver su demostración) de algunos de los resultados en las que no se provee ninguna prueba.

2 Cap. 1 El Teorema de Categoría de Baire

1.1. Conjuntos y funciones

‖ ◮ Conjuntos

En esta sección revisaremos brevemente algunas propiedades básicas de conjuntos y funciones que sonde interés para el desarrollo de estas notas. Comúnmente, un conjunto se describe como una colección (oreunión) de objetos de cualquier naturaleza llamados los elementos o miembros del conjunto pero evitandodefinir lo que es una colección o lo que es un objeto con el sólo propósito de eludir la aparición de lasdenominadas paradojas de la Teoría de Conjuntos. Por tal motivo, en estas notas, los términos “conjunto” y“elemento” permanecerán sin ser definidos y serán aceptados como entidades fundamentales confiando enque el lector posee una noción, o sentimiento intuitivo, de lo que es un “conjunto” y lo que es “elemento deun conjunto”. Los elementos que forman parte de un conjunto particular, digamos X , serán denotados porel símbolo “x ∈ X” que se lee: “x es un elemento o miembro de X”, o también se dirá que “x pertenecea X .” Análogamente, el enunciado “x 6∈ X” significa que “x no pertenece a X”, o “x no es un miembro oelemento de X”.

En general, usaremos letras minúsculas tales como a,b,c, . . . ,x,y,z,α,β,γ, . . . para indicar los miembroso elementos de un conjunto, y letras mayúsculas A,B,C, . . . ,X ,Y,Z,A,B,C, . . . ,A,B,C, etc., para designarconjuntos. Si los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos (los cuales serán representados por letrasmayúsculas), entonces dicho conjunto será llamado una familia, o una colección de conjuntos e indicadocon una letra tipo gótica A,B,C, etc., o una letra de tipo caligrafía A,B,C, etc.

Si A y B son conjuntos, el enunciado “A ⊆ B”, que se lee: A es un subconjunto de B, o también A estácontenido o A es una parte de B, significa que todo elemento de A pertenece al conjunto B aunque puedenexistir elementos de B que no estén en A. Por otro lado, decir que A no es un subconjunto de B, en notaciónA * B, significa que existe al menos un elemento de A que no es miembro de B. Como suele suceder enmuchas partes de las matemáticas, existen convenciones que resultan ser muy adecuadas. Por ejemplo, enla Teoría de Conjuntos, postular la existencia de un conjunto que no posee elementos es una de ellas. A talconjunto se le llama el conjunto vacío y denotado por /0. El conjunto vacío está caracterizado por la siguientepropiedad: “x ∈ /0” nunca se satisface, cualquiera que sea x. Es importante destacar que, una vez admitido laexistencia del conjunto vacío, siempre se cumple que /0 ⊆ X , para cualquier conjunto X . En efecto, suponerque /0* X significa que existe algún x ∈∅ tal que x 6∈ X , pero como x ∈∅ nunca se satisface, entonces elloobliga a sentenciar que /0 ⊆ X . De esto último se deduce que el conjunto vacío es único. Un método usualde obtener subconjuntos de un conjunto dado es el siguiente: se parte de un conjunto X y se considera unapropiedad P referente a los elementos de X la cual puede o no ser cierta para algunos o todos los miembrosde X . En este sentido, cualquier conjunto de la forma A = {x ∈ X : P(x) es cierta} define un subconjunto deX . Dado un conjunto X , indicaremos por P(X) el conjunto de las partes de X , es decir,

P(X) ={

A : A ⊆ X}.

Observe que A ∈ P(X) si, y sólo si, A ⊆ X . Diremos que A es igual a B, en notación, “A = B”, si ocurreque A ⊆ B y B ⊆ A. Si la relación A = B no se cumple, entonces diremos que A y B son distintos y lodenotaremos por A 6= B. La notación “A $ B” significa que A ⊆ B pero A 6= B, que se expresa diciendo queA es un subconjunto propio de B. La diferencia A\B es el conjunto formado por todos los elementos de Aque no son miembros de B, esto es,

A\B ={

x : x ∈ A y x 6∈ B}.

En el caso particular en que X es un conjunto fijo y A ⊆ X , entonces a X \A se le llama el complemento deA (relativo a X ) y también denotado por Ac.

Sec. 1.1 Conjuntos y funciones 3

Dados los conjuntos A y B, la unión e intersección de ambos conjuntos denotados por A∪B y A∩B,respectivamente, se definen como:

A∪B ={

x : x ∈ A ó x ∈ B}

y A∩B ={

x : x ∈ A y x ∈ B}.

En el caso particular en que A∩B = ∅, entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntos. Similarmente,el producto cartesiano A×B se define por

A×B ={(a,b) : a ∈ A, b ∈ B

}.

Puesto que no existe ninguna limitación para restringirnos a dos conjuntos en las definiciones de unióne intersección, podemos considerar uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos. Sea entonces A unafamilia de conjuntos, definimos la unión e intersección, respectivamente, de dicha familia como

⋃

A∈AA =

{x : x ∈ A para algún A ∈ A

}y

⋂

A∈AA =

{x : x ∈ A para todo A ∈ A

},

Con frecuencia, escribiremos⋃

A y⋂

A como sinónimos para la unión e intersección de la familia A,respectivamente. Si A es una familia numerable, digamos A = {A1,A2, . . .}, entonces, en lugar de escribir⋃

A∈AA, usaremos la notación⋃∞

n=1 An. Lo mismo se hace con la intersección, es decir, escribiremos⋂∞

n=1 Anen lugar de

⋂A∈AA. Como antes, si ocurre que A∩B = ∅ para cada par de conjuntos A,B en A, entonces

diremos que A es una familia disjunta o que los conjuntos de A son disjuntos dos a dos.Suponga ahora que X es un conjunto no vacío y que A es una familia de subconjuntos de X . Si ocurre

que X =⋃

A∈AA, entonces diremos que A es un cubrimiento de X . Si la familia A es disjunta y, además, esun cubrimiento de X , entonces se dice que A es una partición de X .

Algunas propiedades importantes sobre familias de conjuntos y que se usan frecuentemente son las si-guientes. Sean A,B familias de conjuntos. Entonces se verifica que:

( ⋃

A∈AA)∩( ⋃

B∈BB)

=⋃

(A,B)∈A×B

(A∩B

)

y

( ⋂

A∈AA)∪( ⋂

B∈BB)

=⋂

(A,B)∈A×B

(A∪B

).

También se cumplen las Leyes de Morgan: si X es un conjunto no vacío y A ⊆ P(X), entonces

X \⋃

A∈AA =

⋂

A∈A

(X \A

)y X \

⋂

A∈AA =

⋃

A∈A

(X \A

).

Algunas de las definiciones formuladas anteriormente constituyen una parte de los denominados Axio-mas de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, ha-bitualmente referidos como ZF y que evitan la famosa paradoja de Bertrand Russell. Los demás axiomas opropiedades en ZF no formuladas explícitamente en estas notas se pueden consultar, por ejemplo, en [240],o [230].

Confiamos en que el lector ha tenido, o posee, cierta experiencia con el sistema de los números realesR así como también con el sistema de los números complejos C por lo que no le dedicaremos tiempo a su


construcción. En particular, asumiremos familiaridad con Z, el conjunto de todos los números enteros, conN, el conjunto de todos los números enteros positivos, con Q, el conjunto de todos los números racionalesy su complemento, I = R \Q, el conjunto de todos los números irracionales. El símbolo K denotará indis-tintamente R o bien C, mientras que N0 = N∪{0}. Recordemos que un conjunto A de R se dice acotadosuperiormente (respectivamente, inferiormente) si existe una constante M tal que x ≤ M (respectivamente,M ≤ x) para todo x ∈ A. Diremos que A es acotado si él es acotado tanto superiormente así como inferior-mente. También se dice que A tiene o posee un supremo finito a0 ∈ R, que escribiremos como, a0 = sup A,si las siguientes dos condiciones se cumplen:

(1) x ≤ a0 para todo x ∈ A, y(2) si a ∈ R es tal que x ≤ a para todo x ∈ A, entonces a0 ≤ a.La condición (2) puede ser reemplazada por

(2′) Dado ε > 0, existe x ∈ A tal que a0 − ε < x.El ínfimo, ı́nfA, se define de manera similar. La siguiente propiedad fundamental, conocida con el nombrede Axioma del Supremo, se cumple: cualquier conjunto A de R acotado superiormente (inferiormente)posee un supremo (ínfimo). Si A no está acotado superiormente (inferiormente), escribiremos sup A = +∞(ı́nfA = −∞).

‖ ◮ Funciones

.Sean X ,Y conjuntos no vacíos. Una relación de X en Y es un subconjunto R de X×Y . Cualquier elemento(x,y) de R se indicará por el símbolo xRy. Si X = Y , entonces a la relación R se le llama relación binaria.

Recordemos que una relación de equivalencia sobre un conjunto X es una relación binaria R sobredicho conjunto que es reflexiva, simétrica

((x,y) ∈R⇒ (y,x) ∈R, para todo x,y ∈ X

)y transitiva. Cuando

(x,y) ∈ R, escribiremos (x ∼ y) mod R y diremos que x y y son R-equivalentes o equivalentes módulo R.Cuando no exista ninguna posibilidad de un mal entendido, escribiremos x ∼ y en lugar de (x ∼ y) mod R.La clase de equivalencia de x módulo R es el conjunto Cx = {y ∈ X : (x ∼ y) mod R}. Puesto que x ∈ Cxpara todo x ∈ X , resulta que las clases de equivalencias forman una partición de X , es decir, X =⋃x∈X Cx y,cualesquiera sean x,y ∈ X , se verifica que Cx = Cy o bien Cx ∩Cy =∅. Al conjunto

X/R ={

Cx : x ∈ X},

se le llama el conjunto cociente de X por la relación R. Observe que si x,y ∈Cz, entonces Cx = Cy = Cz, estoes, todos los elementos de una misma clase dan origen a clases idénticas. La función Q : X → X/R definidapor Q(x) = Cx para cada x ∈ X , se le llama la aplicación cociente o canónica. Q es claramente sobreyectiva.

Una función, o aplicación, de X en Y es una relación f de X en Y con la propiedad adicional de que si(x,y) y (x,z) están en la relación, entonces y = z, es decir, para cada x ∈ X existe exactamente uno, y sólo unelemento y ∈ Y , al que denotaremos por f (x), tal que (x, f (x)) ∈ f . Siguiendo la tradición, a la función f laexpresaremos, en lo sucesivo, con el símbolo f : X →Y . Al conjunto X se le llama el dominio de la funciónf , mientras que a Y se le llama el contradominio de f . Dos funciones f : X →Y y g : X ′ →Y ′ son igualessi X = X ′, Y = Y ′ y f (x) = g(x) para todo x ∈ X . El conjunto

Gra( f ) ={(x, f (x)) ∈ X ×Y : x ∈ X

}

es llamado el gráfico de la aplicación f : X →Y . Si f : X →Y es una función y A ⊆ X , entonces la imagende A por f , es el conjunto

f (A) ={

f (x) ∈Y : x ∈ A}.

Sec. 1.1 Conjuntos y funciones 5

Por otro lado, si B ⊆ Y , la imagen inversa de B por f , es el conjunto

f−1(B) ={

x ∈ X : f (x) ∈ B}.

Es fácil ver que si A ⊆ P(X), entonces

f( ⋃

A∈AA)

=⋃

A∈Af (A), f

( ⋂

A∈AA)

⊆⋂

A∈Af (A).

Observe que la inclusión anterior puede ser propia. En efecto, si existen elementos x,y ∈ X con x 6= y perosatisfaciendo f (x) 6= f (y), entonces tomando A = {x} y B = {y}, se tiene que A∩B =∅, de donde f (A∩B) =∅, mientras que f (A)∩ f (B) = { f (x)}.

Para la imagen inversa se cumple que si B ⊆ P(Y ), entonces

f−1( ⋃

B∈BB)

=⋃

B∈Bf−1(B) y f−1

( ⋂

B∈BB)

=⋂

B∈Bf−1(B).

Si B ⊆ Y , también es válida la siguiente igualdad:

f−1(Y \B

)= X \ f−1(B).

Más aun, dado A ⊆ X , se tiene que A ⊆ f−1( f (A)), mientras que si B ⊆ Y , entonces f ( f−1(B)) ⊆ B.Una función f : X → Y se llama inyectiva si dados x,y ∈ X arbitrarios, f (x) = f (y) implica que x = y.

Otros sinónimos de la palabra inyectiva que comúnmente se usan son biunívoca y uno a uno. La función fse dice que es sobreyectiva, o simplemente sobre, si Y = f (X), es decir, si para cada y ∈ Y existe un x ∈ Xtal que y = f (x). Si f es tanto inyectiva así como también sobreyectiva, entonces la llamaremos biyectiva.

Observe que, para que ocurra la igualdad f−1( f (A)) = A cualquiera que sea A ⊆ X , es necesario ysuficiente que f sea inyectiva. Similarmente, f es sobreyectiva si, y sólo si, f ( f−1(B)) = B para todo B ⊆Y .

Si f : X →Y y g : Y → Z son funciones, entonces podemos definir la función compuesta g◦ f : X → Zcomo (g◦ f )(x) = g( f (x)) para todo x ∈ X . Sea A un subconjunto de X . La aplicación i : A → X , definida pori(x) = x para todo x ∈ A, se llama la aplicación inclusión de A en X . En el caso particular cuando A = X , laaplicación inclusión de X en X , se llama la función identidad y será indicada por Id : X → X . Cada funciónbiyectiva f : A → B da origen a otra función biyectiva, llamada la inversa de f y denotada por f−1 : B → Atal que f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = Id.

Sean f : X → Y una función y A un subconjunto no vacío de X . La restricción de f al subconjunto Aes la aplicación f |A : A → Y definida por ( f |A)(x) = f (x) para todo x ∈ A. Nótese que f |A = f ◦ i, dondei : A → X es la inclusión de A en X . Por otro lado, dada una función g : A →Y , toda aplicación f : X →Y talque g = f |A se llama una extensión de g al conjunto X . La función χA : X → R definida por

χA(x) =

{1 si x ∈ A,0 si x 6∈ A

se le denomina la función característica de A.

‖ ◮ Familias indexadas, productos cartesianos

.Sea J un conjunto no vacío cuyos elementos llamaremos índices. Dado un conjunto arbitrario X , cual-quier función x(·) : J → X es llamada una familia de elementos de X (con índices en J si es necesario


enfatizar el conjunto de índices). La imagen de cada elemento α ∈ J por medio de x(·) se denotará por xα yla función x(·) se indicará por el símbolo (xα)α∈J . Cuando J = N, entonces cualquier familia de elementosde X con índices en N se llamará una sucesión en X y se denotará por (xn)∞n=1,(yn)

∞n=1,(zn)

∞n=1, etc.

Suponga ahora que ∅ 6= A ⊆ P(X) y que x(·) : J → A es una aplicación sobreyectiva. Por definición,para cada conjunto A ∈ A existe un índice α ∈ J tal que x(α) = A al que denotaremos por Aα. En este caso,la colección A se identifica con la familia de conjuntos {Aα : α ∈ J}, lo que frecuentemente escribiremoscomo A= (Aα)α∈J . En este caso escribiremos

⋃α∈J Aα en lugar de

⋃A∈AA y lo mismo para la intersección. Si

J =N, usaremos la notación A = (An)∞n=1 a la que llamaremos una sucesión de conjuntos. Una sucesión deconjuntos (An)∞n=1 se dice que es creciente (respectivamente, decreciente) si An ⊆ An+1 (respectivamente,An ⊇ An+1) para todo n ∈ N. Si las inclusiones son todas estrictas, entonces diremos que la sucesión esestrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente).

Sea (Aα)α∈J una familia cualquier de conjuntos. Se define el producto cartesiano de esta familia comoel conjunto de todas las funciones x que tienen dominio J tal que x(α) = xα ∈ Aα para cada α ∈ J, es to es,

∏α∈J

Aα =

{x(·) : J →

⋃

α∈JAα∣∣∣ x(α) = xα ∈ Aα para cada α ∈ J

}.

Cada función x ∈ ∏α∈J Aα es llamada una función de elección para la familia (Aα)α∈J . Si ocurre que todoslos Aα son iguales, digamos, Aα = A para todo α ∈ J, entonces el producto cartesiano ∏α∈J Aα se denotarábrevemente por AJ. En el caso particular en que J = {1, . . . ,n} para algún n ∈N, escribiremos An en lugar deAJ. Similarmente, si J =N, pondremos AN como un sinónimo de AJ . En general, escribiremos ∏∞n=1 An comosinónimo de ∏n∈N An. El conjunto Kn es llamado el espacio Euclideano de dimensión n (o n-dimensional)y si X es un conjunto arbitrario, entonces KX denota el conjunto de todas las funciones f : X →R. De interéses el producto cartesiano ∏α∈J Aα donde Aα = {0,1} para todo α ∈ J. A éste producto lo denotaremos por2N, el cual consiste de todas las sucesiones de 0’s y 1′s.

1.2. El Axioma de Elección, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden,Ordinales, Cardinales y la Hipótesis del Continuo

‖ ◮ El Axioma de Elección

.El Axioma de Elección es un axioma de la teoría de conjuntos que postula la existencia de ciertos ob-jetos sin dar ninguna indicación de cómo obtenerlos. Desde su aparición ha resultado ser un axioma muycontroversial. Su aceptación, en términos generales, se sustenta sobre la creencia de que nuestra percepciónsobre los conjuntos finitos se puede ampliar a los conjuntos infinitos, pero más allá de eso, el principal ar-gumento para su aceptación es que dicho axioma es tremendamente útil. Muchos resultados importantesy fundamentales en Análisis Real, Topología, Análisis Funcional, Algebra, etc. se pueden demostrar si seacepta, sin limitaciones, el Axioma de Elección. Una muestra de ello se puede ver, por ejemplo, en el librode H. Herrlich: Axiom of Choice [215]. Entre las numerosas formas equivalentes del Axioma de Elecciónque existen, tal vez una de las más populares sea el siguiente:

Axioma de Elección (AC). Si (Xα)α∈J es una familia de conjuntos tal que Xα es no vacío paratodo α ∈ J, entonces existe al menos una función de elección para la familia (Xα)α∈J .

Lo anterior se puede expresar diciendo que: dada cualquier colección (Xα)α∈J de conjuntos no vacíos, elproducto cartesiano ∏α∈J Aα es no vacío, lo que cotidianamente se traduce en afirmar que, dada cualquier

Sec. 1.2 El Axioma de Elección, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales y la Hipótesisdel Continuo 7

colección (Xα)α∈J de conjuntos no vacíos uno puede elegir, de cada Xα, un único punto xα para formar unnuevo conjunto. Es un hecho ya establecido que el Axioma de Elección es independiente de los axiomas dela Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) en el sentido de que ni la verdad, ni la falsedad de dichoaxioma puede ser demostrado en ZF. Añadiéndole a la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel el Axiomade Elección se obtiene una Teoría de Conjuntos mucho más amplia y poderosa denominada brevementeZFC. El uso del Axioma de Elección muchas veces se oculta y, aunque sea obvio para el experto, puedeno ser percibido por el principiante. De hecho, grandes matemáticos tales como Borel y Lebesgue que eranacérrimos detractores de tal axioma, lo usaron inconscientemente en la prueba de algunos teoremas. Porejemplo, Lebesgue lo utilizó para demostrar que uniones numerables de conjuntos medibles son medibles,mientras que Borel se valió de él para demostrar la existencia de funciones continuas f : R→ R las cualesno pueden ser representadas como series dobles de polinomios.

‖ ◮ El Lema de Zorn

.Entre las numerosas y variadas formas equivalentes del Axioma de Elección, se encuentra el así llamadoLema de Zorn, un resultado formulado por M. Zorn en 1935 [456] y que resulta ser extremadamente útilen varias ramas del quehacer matemático. Por ejemplo, el Lema de Zorn es fundamental para demostrarresultados importantes tales como: el Teorema de Hahn-Banach, el Teorema de Krein-Milman, el Teoremadel Ultrafiltro, la prueba de la existencia de una base de Hamel en cualquier espacio vectorial no trivial, etc.Recordemos que una relación binaria sobre un conjunto X no es otra cosa que cualquier subconjunto R deX ×X . La relación binaria R se dice que es un orden parcial si ella es(a) reflexiva: (x,x) ∈ R para todo x ∈ X ,(b) antisimétrica: si (x,y) y (y,x) están en R, entonces x = y,

(c) transitiva: si (x,y) y (y,z) están en R, entonces (x,z) ∈ R.Escribiremos � para denotar un orden parcial sobre X . Un conjunto X equipado con un orden parcial � esllamado un conjunto parcialmente ordenado y denotado por (X ,�). Dos elementos x,y en un conjuntoparcialmente ordenado se dicen que son comparables si x � y o y � x. Un conjunto parcialmente ordenadoen el cual cualquier par de elementos son comparables es llamado un conjunto totalmente (o linealmente)ordenado y a dicho orden se le denomina un orden total o lineal. Una cadena en un conjunto parcialmenteordenado es un subconjunto que está totalmente ordenado. En un conjunto parcialmente ordenado (X ,�) larelación x ≺ y significa que x � y pero x 6= y. Con frecuencia escribiremos y � x como sinónimo de x � y.

Sea (X ,�) un conjunto parcialmente ordenado y sea A ⊆ X . Un elemento x ∈ X es una cota superior deA si a � x para todo a ∈ A. Si x0 es una cota superior de A y si cualquier otra cota superior x de A satisfacex0 � x, entonces se dice que x0 es el supremo de A. Un elemento x0 ∈ X se dice que es el máximo o elelemento más grande en X si x � x0 para todo x ∈ X . Por otro lado, un elemento x0 ∈ X se dice que esun elemento maximal en X si no existe y ∈ X para el cual x0 ≺ y, es decir, si el único elemento x ∈ X quesatisface x0 � x es el propio x0. Observe que un elemento maximal no tiene porque ser más el grande detodos: más aun, lo que no le está permitido a un elemento maximal es ser menor que cualquier otro elementodel conjunto. Por ejemplo, sea X = {x ∈ R2 : ‖x‖2 ≤ 1}, es decir, X es la bola cerrada unitaria con la normaeuclideana. Sobre X defina el siguiente orden parcial �: si x,y ∈ X , x � y si, y sólo si, x ∈ Iy, dondeIy es el segmento radial que va desde el origen al punto y. Es claro que cualquier par de vectores x,y ∈ Xno son comparables si ellos están sobre segmentos radiales distintos. De esto se sigue que cualquier vectorv ∈ {x ∈ R2 : ‖x‖2 = 1} es maximal pero no es un máximo. Las definiciones de ínfimo, mínimo y minimalse definen de modo enteramente similar. La demostración del próximo resultado se puede ver, por ejemplo,en [215].


Lema 1.2.1 (Lema de Zorn). Sea (X ,�) un espacio parcialmente ordenado. Si cualquier cadena en Xposee una cota superior, entonces X posee un elemento maximal.

Con mucha frecuencia, el Lema de Zorn se utiliza cuando F es una familia de subconjuntos de un con-junto dado X ordenados por la relación de inclusión ⊆ con la propiedad de que cualquier cadena C ⊆ F, suunión

⋃C, también esté en F. (Observe que

⋃C es una cota superior para C con respecto a ⊆). En este caso

particular, el Lema de Zorn se expresa del modo siguiente:

Corolario 1.2.1 (Principio Maximal de Hausdorff). Sea F una familia de subconjuntos no vacíos de unconjunto no vacío X. Suponga que los elementos de F están ordenados por la relación de inclusión ⊆ y quepara cualquier cadena C⊆ F, se cumpla que su unión ⋃C también está en F. Entonces F posee un elementomaximal.

‖ ◮ Principio del Buen-Orden

.Entre los conjuntos infinitos, el conjunto de los números naturales con su orden natural (N,≤) es un con-junto que disfruta del denominado principio del buen-orden, el cual establece que cualquier subconjuntono vacío de N contiene un primer elemento, es decir, el elemento más pequeño (o mínimo) del subconjunto.Si pudiéramos extender dicho principio a cualquier conjunto no vacío con un orden establecido abrigaríamosla esperanza de poder trabajar con cualquier conjunto bien ordenado del mismo modo conque trabajamoscon N y, por supuesto, eso nos conduciría a extender nuestra manera tradicional de contar más allá de losnaturales y, por supuesto, dispondríamos de una extensión del proceso de inducción matemática. Por talesmotivos, el principio del buen orden es una propiedad que pudiéramos pensar como altamente deseada.

Sea (X ,�) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que � es un buen-orden en X o que X estábien-ordenado por � si cualquier subconjunto no vacío A de X posee un primer elemento, es decir, unelemento x ∈ A es el primer elemento o el elemento mínimo en A si x � a para todo a ∈ A. Observe queun buen-orden � sobre un conjunto X automáticamente lo convierte en un conjunto totalmente ordenado.En efecto, si x,y ∈ X , entonces el conjunto A = {x,y} posee, por ser � un buen orden sobre X , un primerelemento, es decir, o bien x� y, o bien y� x. Por esta razón uno puede suponer que un conjunto bien ordenadoes un par (X ,�), donde X un conjunto totalmente ordenado y � es un buen-orden en X . Si (X ,�) y (X ′,�′)son conjuntos bien-ordenados, entonces una función f : X → X ′ se dice que es un orden-isomorfismo sif es biyectiva y f (x) ≺ f (y) siempre que x ≺′ y. En este caso diremos que X y Y son orden-isomorfos o,simplemente, isomorfos.

El orden lexicográfico es un ejemplo de un buen-orden en el producto cartesiano de dos conjuntos bien-ordenados. Recordemos su definición. Sean (A,4A) y (B,4B) dos conjuntos parcialmente ordenados. Elorden lexicográfico, también conocido como el orden del diccionario, es una relación de orden � definidasobre el producto cartesiano A×B del modo siguiente: para todo (a,b),(a′,b′) ∈ A×B,

(a,b) � (a′,b′) ⇐⇒ a 4A a′ o bien (a = a′ ∧ b 4B b′)

Nótese que la regla que define a � es la misma regla que se utiliza para ordenar las palabras en cualquierdiccionario. De allí su nombre.

Suponga ahora que (A,4A) y (B,4B) son dos conjuntos bien-ordenados y que el producto cartesiano A×B está provisto del orden lexicográfico �. Sea X un subconjunto no vacío de A×B. Observe que el conjuntoX1 = {a ∈ A : (a,b) ∈ X} por ser no vacío en A, posee un primer elemento, llamémoslo a0 (recuerde queestamos asumiendo que (A,4A) es un conjunto bien-ordenado). De modo enteramente similar, el conjuntoX2 = {b ∈ B : (a0,b) ∈ X} posee, en B, un primer elemento, digamos b0. Resulta claro, por la definición del


orden lexicográfico, que (a0,b0) es el primer elemento de X y, por lo tanto, A×B con el orden lexicográfico� es un conjunto bien-ordenado. Es fácil ver que si n ∈ N y si (Ai,4i) es un conjunto bien-ordenado parai = 1, . . . ,n, entonces uno puede, recursivamente, definir el orden lexicográfico � en el producto cartesiano∏i=1 Ai y entonces hacer de éste un conjunto bien-ordenado.

Sea (X ,�) un conjunto parcialmente ordenado. Para cada x ∈ X , defina

S(x) = {y ∈ X : y ≺ x}.

Al conjunto S(x) se le llama un segmento inicial determinado por x.

Teorema 1.2.1 (Principio del Buen-Orden). Cualquier conjunto no vacío puede ser bien-ordenado.

Prueba. Sea X un conjunto no vacío y sea

F ={

(A,4A) : A ⊆ X y 4A es un buen-orden sobre A}.

Puesto que cualquier conjunto finito está bien ordenado por cualquier orden lineal o total, resulta que F 6=∅.Sobre F se define el orden parcial - declarando que: (A,4A) - (B,4B) si

(1) A ⊆ B,(2) 4A y 4B coinciden sobre A y,

(3) si x ∈ B\A, entonces a 4B x para todo a ∈ A.Sea ahora C una cadena en F y definamos C =

⋃{A : (A,4A) ∈ C}. Sobre C se define el orden 4C del modosiguiente: x 4C y si, y sólo, si existe un (A,4A) ∈ C tal que x,y ∈ A, en cuyo caso, x 4A y. Es fácil verque el ordenamiento 4C está bien definido y es un buen orden sobre C. Por esto, (C,4C) ∈ F y es claroque (C,4C) es una cota superior para C. Por consiguiente, por el Lema de Zorn, el conjunto F posee unelemento maximal, digamos, (A0,4). Afirmamos que A0 = X . En efecto, suponga por un momento queA0 6= X y sea x cualquier elemento en X \A0. Ordene el conjunto B0 = A0 ∪{x} con el mismo orden queposee A0 estipulando, además, que a 4 x para todo a ∈ A0. Entonces (B0,4) es un elemento de F tal que(A0,4) - (B0,4), lo que evidentemente contradice la maximalidad de (A0,4). Por esto A0 = X y 4 es unbuen-orden sobre X . �

Se puede demostrar que el Axioma de Elección, el Lema de Zorn y el Principio del Buen-Orden sontodos equivalente (véase, por ejemplo, [240]).

‖ ◮ Números ordinales

.Mientras que el cardinal de un conjunto mide la cantidad de elementos que él posee, el ordinal de unconjunto bien-ordenado mide su “longitud”. Siguiendo a John von Neumann diremos que:

Definición 1.2.1. Un número ordinal es un conjunto bien-ordenado α con la propiedad de que S(ξ) = ξ,para todo ξ ∈ α.

Esta definición es equivalente a afirmar que X es transitivo, es decir, si a ∈ x ∈ X , entonces a ∈ X y,además, que X está totalmente ordenado por la relación ∈. Con esta definición podemos escribir, con elorden usual, 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0,1}, . . . , n + 1 = {0,1,2, . . . ,n}, . . . , es decir, cada número naturales un número ordinal finito. De conformidad con la notación estándar denotaremos por ω0 el conjunto bien-ordenado de los números naturales N0. En general, si α es un ordinal, entonces α+1 := α∪{α} también es


un ordinal llamado el sucesor inmediato de α. En lo que sigue escribiremos α+ = α+ 1. Similarmente, sepuede demostrar de que si A es un conjunto de ordinales, entonces

⋃A es igualmente un ordinal. Un ordinal

sin un sucesor inmediato es llamado un ordinal límite, es decir, α es un ordinal límite si α =⋃

β≺α β.Usando la definición de sucesor inmediato, podemos continuar generando ordinales numerables del modosiguiente:

ω+0 = ω0 + 1, (ω0 + 1)+ = ω0 + 2, · · ·

En esta escala, después de ω0,ω0 +1,ω0 +2, . . ., viene ω0 +ω0 = ω02. Similarmente, después de ω02,ω02+1,ω02+2, . . . viene ω02+ω0 = ω03. Si se continúa con este mecanismo indefinidamente se logra construiruna gigantesca cantidad de ordinales cada uno de los cuales es, por definición, un ordinal numerable:

ω0, . . . ,ω02, . . .ω03 . . . ,ω20, . . . ,ω20 + 1, . . .ω

20 + 2, . . . ,ω

20 + ω0, . . . ,ω

20 + ω0 + 1, . . . ,

ω20 + ω0 + 2, . . . ,ω20 + ω02, . . . ,ω

30, . . . ,ω

ω00 , . . . ,ω

ωω000 , . . .

Es importante destacar que ninguno de los ordinales: ω0,ω02, . . . ,ω20, . . . ,ωω00 , . . . posee un predecesor in-

mediato. Cada uno de ellos es, por supuesto, un ordinal límite.Se puede demostrar que todos los números ordinales isomórficos entre sí, son iguales. Esto permite que

cualquier par de números ordinales puedan ser comparados, esto es, si α y β son números ordinales y sidefinimos

α ≤ β si, y sólo si, α ∈ β ó α = β,

resulta que para cualesquiera dos números ordinales α y β, se cumplirá una, y sólo una, de las siguiente tresposibilidades: α < β, α = β ó β < α. A la relación de orden ≤ la llamaremos el orden canónico de losnúmeros ordinales. Es un hecho ya establecido que:

(a) Si A es cualquier conjunto de números ordinales, entonces (A,≤) está bien-ordenado.

(b) Cualquier conjunto bien-ordenado es isomórfico a único número ordinal.

Sea β un número ordinal tal que ω0 < β y sea X un conjunto arbitrario. Similar a la definición de sucesiónen X , por una sucesión transfinita de tipo β en X entenderemos cualquier aplicación ϕ : S(β) → X . Elelemento de X asignado al número ordinal α < β es denotado por xα en lugar de ϕ(α), y la sucesión transfinitaen sí misma es denotada por x1,x2, . . . ,xα, . . . ,α < β, o brevemente por (xα)α


Prueba. Suponga que A 6= X . El subconjunto B := X \A de X es no vacío y, gracias al hecho de X está bienordenado, B posee un primer elemento, llamémoslo x0. Sin embargo, como S(x0) ⊆ X , nuestra hipótesis nosrevela que x0 ∈ A, lo cual contradice el hecho de que x0 6∈ A. Por esto, A = X . �

Existe una forma alternativa de expresar el resultado anterior que guarda una estrecha similitud con elPrincipio de Inducción clásico. Puesto que S(β) es un conjunto bien ordenado para cada ordinal β, enton-ces existe un principio de inducción por cada ordinal. Sea β un ordinal y sea A un subconjunto de S(β)satisfaciendo las siguientes propiedades:

(1) 1 ∈ A,(2) α+ 1 ∈ A, siempre que α ∈ A y, finalmente,(3) α ∈ A siempre que S(α) ⊆ A, para cualquier ordinal limite α < β.

Entonces A = S(β).

Otro hecho que con frecuencia usaremos es el siguiente: Suponga que X es cualquier conjunto no vacío.Por el Principio del Buen-Orden existe un conjunto bien ordenado (D,4) que sirve como un conjunto deíndices para los elementos de X, es decir, a X lo podemos representar como X =

{xα : α ∈ D

}.

‖ ◮ Cardinalidad

.La noción anterior de números ordinales se introdujo como conjuntos estándar para comparar conjuntosbien-ordenados por medio de isomorfismos. Si la relación de orden no es nuestra prioridad, entonces laherramienta principal para comparar conjuntos es la noción de equipotencia. Dos conjuntos X y Y se diceque son equipotentes, o que ellos poseen el mismo números de elementos, si existe una función biyectivaf : X → Y . Escribiremos X ∼ Y para denotar que X y Y son equipotentes. Un extraordinario resultado deCantor establece que:

Teorema 1.2.3 (Cantor). Cualquier conjunto arbitrario X es equipotente a un subconjunto propio de P(X),pero no es equipotente a P(X).

Prueba. Decir que X no es equipotente a P(X) significa que ninguna función f : X → P(X) puede sersobreyectiva. Para ver esto, sea x ∈ X . Entonces f (x) es un subconjunto de X que puede o no contener ax. Considere ahora el conjunto F = {x ∈ X : x 6∈ f (x)}. Afirmamos que no existe x ∈ X tal que F = f (x).Suponga por un momento que existe algún x0 ∈ X para el cual F = f (x0) y observe que: x0 ∈ F si, y sólo si,x0 6∈ f (x0) = F . Esta contradicción establece que f no puede ser sobreyectiva y, en consecuencia, X y P(X)no son equipotentes. Más aun, si definimos f (x) = {x} para todo x ∈ X , resulta que f es inyectiva y, así, Xes equipotente a un subconjunto propio de P(X) y concluye la prueba. �

Sea ahora α un número ordinal. Por el Teorema de Cantor el conjunto potencia P(α) posee las siguientesdos propiedades:

(a) α es equipotente a un subconjunto propio de P(α), y(b) α no es equipotente a P(α).

Por el Principio del Buen-Orden, el conjunto P(α) admite un buen-orden. Sea ω∗ el número ordinal delconjunto bien-ordenado P(α) y considere el conjunto Fα = {β ∈ ω∗ : β ∼ α}. Si ς es cualquier númeroordinal tal que ς ∼ α, entonces ς < ω∗ pues, en caso contrario, tendríamos que ς = ω∗ lo que nos indicaríaque P(α) es equipotente a un subconjunto de α, lo cual es imposible. Se sigue ahora del carácter transitivo deω∗ que ς ∈ ω∗. De allí que el conjunto Fα es el conjunto de todos los números ordinales que son equipotentesa α. Lo anterior justifica la siguiente definición.


Definición 1.2.2. Un número cardinal es un número ordinal α tal que α ≤ β para todo β ∈ Fα, donde Fα esel conjunto de todos los números ordinales que son equipotentes a α.

Claramente cualquier número natural es un número cardinal finito. Es interesante observar, por lo vistoanteriormente, que N0, el conjunto de los números naturales, admite dos representaciones: una como ω0,el primer ordinal infinito y la otra como ℵ0, el primer cardinal infinito. Como cualquier conjunto bien-ordenado es isomórfico a único número ordinal, resulta que cualquier conjunto X es equipotente a úniconúmero cardinal que denotaremos por card(X). Por otro lado, del Teorema de Cantor se sigue que

ℵ0 < card(P(N)) = 2ℵ0 = c,

donde 2ℵ0 = c denota el cardinal de R.

‖ ◮ La Hipótesis del Continuo

.Un aleph, ℵ, es el número cardinal de un conjunto infinito bien-ordenado. Puesto que todo subconjuntode un conjunto bien-ordenado hereda esa propiedad, es decir, sigue siendo bien-ordenado, resulta que:

Cualquier cardinal infinito menor que un ℵ es un ℵ.

Teniendo en cuenta que, en presencia del Axioma de Elección, todos los conjuntos están bien-ordenados,entonces todos los cardinales infinitos son alephs. En particular, el conjunto (A,≤) de todos los alephs estábien-ordenado. Consideremos ahora el conjunto Z0 formado por todos los ordinales cuya cardinalidad esℵ0. No es difícil ver que Z0 es no-numerable. Definimos entonces ℵ1 como el cardinal de Z0. En general,si para cada n ∈ N, el cardinal ℵn ha sido definido, entonces ℵn+1 es el cardinal del conjunto Zn de todoslos ordinales de cardinalidad ℵn. El cardinal ℵω0 es el cardinal de

⋃∞n=1 Zn y se continúa la construcción de

cada ℵα para cada ordinal α > ω0.Se sigue de la definición de ℵ1 que ℵ1 ≤ 2ℵ0 . En su Continuum Hypothesis, G. Cantor estableció su

famosa conjetura:

Hipótesis del Continuo (CH). 2ℵ0 = ℵ1

Es decir, en la sucesión infinita de cardinales transfinitos ℵ0,ℵ1,ℵ2 . . ., la Hipótesis del Continuo afirmaque 2ℵ0 = ℵ1. Esta hipótesis también se puede formular en los siguientes términos: teniendo en cuenta queℵ0 < 2ℵ0 = c, ¿existirá algún conjunto infinito A ⊆R tal que ℵ0 < card(A) < c? La Hipótesis del Continuoes la que afirma que un tal conjunto A no existe, en otras palabras: si A es un subconjunto infinito de R,entonces card(A) = ℵ0, o bien card(A) = c.

Muchos resultados interesantes e importantes son posibles si se acepta dicha hipótesis. En 1938 KurtGödel demostró la consistencia del sistema ZFC + CH. Paul Cohen, en 1964, demostró la consistencia delsistema ZFC + ¬CH.

‖ ◮ Construcción de ω1, el primer ordinal no numerable.Sea X un conjunto no numerable y suponga que X está bien-ordenado por la relación ≤. Entonces existe

un conjunto Ω ⊆ X tal que:(1) Ω es no numerable, y

(2) para cada α ∈ Ω, el conjunto S(α) = {β ∈ Ω : β < α} es numerable.

Sec. 1.3 Espacios métricos 13

Para demostrar esto, considere el conjunto

S ={

α ∈ X : S(α) es no numerable},

donde S(α) = {β ∈ X : β < α}. Nuestro conjunto S puede, o no, ser vacío. Si S 6= ∅, entonces el Principiodel Buen-Orden nos garantiza que S posee un primer elemento, llamémoslo ω1 y la prueba termina una vezque hallamos definido Ω = S(ω1). En efecto, como ω1 ∈ S, tenemos que:(a) S(ω1) es no numerable, y además,

(b) por ser ω1 es el ordinal más pequeño para el cual (a) se cumple, se sigue que si α ∈ Ω = S(ω1), es decir,α < ω1, entonces S(α) es numerable .

If S =∅, defina W = X ∪{X} y extienda el orden ≤ de X al nuevo conjunto W declarando que α < X paracualquier α ∈ X . Si ahora hacemos ω1 = X y Ω = S(ω1), vemos que las conclusiones (a) y (b) dadas arribason inmediatas.

A ω1 se le conoce con el nombre de el primer ordinal no numerable, mientras que a los elementos delconjunto Ω0 = Ω\{ω1} se les llaman ordinales numerables. Observe que card(ω1) = ℵ1. El hecho de queΩ posee un primer elemento nos permite pensar a N0 como un subconjunto de Ω identificando al número 0con el primer elemento de Ω y, recursivamente, identificando cada n ∈ N, n > 0, con el primer elemento deΩ\{0,1,2, . . . ,n−1} de modo que se preserve el orden de los naturales.

‖ ◮ Conjunto de Bernstein

.El Principio del Buen-Orden permite construir ciertos conjuntos extraños en R. Por ejemplo, existe unsubconjunto no vacío B de R tal que él y su complemento intersectan cualquier conjunto cerrado no nume-rable de R. Tal conjunto se conoce con el nombre de Monstruo de Bernstein o, simplemente, conjunto deBernstein. Veamos su construcción. Considere la familia F de todos los subconjuntos cerrados no numera-bles de R. Por el Principio del Buen-Orden podemos indexar a dicho conjunto con los números ordinalesmenores que ω1, esto es, F = {Fα : α < ω1}. Usaremos inducción transfinita para construir a B. Para elloes necesario, invocando de nuevo el Principio del Buen-Orden, que asumamos que R está bien-ordenadoy, por consiguiente, que cada Fα también lo está. Sean p1,q1 los primeros dos elementos de F1. Para cada1 < α < ω1, suponga que pβ,qβ han sido definidos para todo β < α. Puesto que

⋃β


(1) d(x,y) ≥ 0 para todo x,y ∈ X ,(2) d(x,y) = 0 si, y sólo si, x = y,

(3) d(x,y) = d(y,x) para todo x,y ∈ X ,(4) d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z) para todo x,y ∈ X .

El par (X ,d), donde X es un conjunto y d es una métrica sobre X , es llamado un espacio métrico. Si lacondición d(x,y) = 0 no siempre implica que x = y y todas las demás se cumplen, entonces diremos que des una pseudo-métrica y, en consecuencia, diremos que (X ,d) es un espacio pseudo-métrico. Si (X ,d) esun espacio métrico y Y es un subconjunto no vacío de X , entonces la restricción de d a Y ×Y es una métricasobre Y que seguiremos denotando por d. El espacio métrico (Y,d) se le denomina subespacio métrico de(X ,d). Aquí están algunos ejemplos de espacios métricos.

(a) Una de las métricas más simples que se puede definir sobre cualquier conjunto no vacío X es la métricadiscreta d definida, para todo x,y ∈ X , por

d(x,y) =

{1, si x 6= y0, si x = y.

El espacio métrico (X ,d) se le conoce con el nombre de espacio métrico discreto.

(b) Si 1 ≤ p < ∞, la función dnp :Kn ×Kn → R definida por

dnp((xi)

ni=1,(yi)

ni=1

)=

(n

∑i=1

∣∣xi − yi∣∣p)1/p

para todo (xi)ni=1,(yi)ni=1 ∈Kn es una métrica sobreKn. A tales espacios lo denotaremos por ℓnp. Si p = ∞,

la métrica dn∞ :Kn ×Kn → R se define por

dn∞((xi)

ni=1,(yi)

ni=1

)= máx

1≤ i≤n

∣∣xi − yi∣∣

para todo (xi)ni=1,(yi)ni=1 ∈Kn. Como antes, escribiremos ℓn∞ en lugar de (Kn,‖·‖∞).

En general, si 1 ≤ p < ∞, indicaremos por ℓp el espacio vectorial de todas las sucesiones (xn)∞n=1 denúmeros reales o complejos que son p-sumables, es decir, que satisfacen

∞

∑n=1

∣∣xn∣∣p < ∞,

dotado de la métrica

dp((xn)

∞n=1,(yn)

∞n=1

)=

(∞

∑n=1

∣∣xn − yn∣∣p)1/p

,

mientras que si p = ∞, entonces ℓ∞ denota el espacio vectorial de todas las sucesiones acotadas deescalares (reales o complejos), es decir, (xn)∞n=1 ∈ ℓ∞ si, y sólo si, existe una constante no negativa K talque |xn| ≤ K para todo n ∈N, provisto de la métrica del supremo

d∞((xn)

∞n=1,(yn)

∞n=1

)= sup

n∈N

∣∣xn − yn∣∣.

Dos subespacios realmente importantes de ℓ∞ son

c ={(xn)

∞n=1 ∈ ℓ∞ : lı́mn→∞ xn existe

}y c0 =

{(xn)

∞n=1 ∈ ℓ∞ : lı́mn→∞ xn = 0

}.

Sec. 1.3 Espacios métricos 15

(c) Si X es un conjunto no vacío, denotaremos por (B∞(X),d∞) el espacio métrico de todas las funcionesf : X →R que son acotadas, es decir, existe una constante K f ∈R+ tal que | f (x)| ≤ K f para todo x ∈ X ,donde d∞ : X ×X → R se define por

d∞( f ,g) = supx∈X

∣∣ f (x)−g(x)∣∣

para todo f ,g ∈ B∞(X). En el caso particular en que X = N ó X = {1,2, . . . ,n} para cualquier n ∈ N,entonces B∞(N) = ℓ∞ y B∞({1,2, . . . ,n}) = ℓn∞.

(d) Para cada n ∈N, sea (Xn,dn) un espacio métrico y considere el producto cartesiano X = ∏∞n=1 Xn. Enton-ces las aplicaciones d,ρ : X ×X → R definidas para cada par x = (xn)∞n=1 y y = (yn)∞n=1 de elementosde X por

d(x,y) =∞

∑n=1

mı́n{dn(xn,yn),1}2n

y ρ(x,y) =∞

∑n=1

12n

· dn(xn,yn)1+ dn(xn,yn)

, (P)

representan, cada una, una métrica sobre X .

Fijemos un espacio métrico (X ,d). Los conjuntos

U(x,r) ={

y ∈ X : d(x,y) < r}, B(x,r) =

{y ∈ X : d(x,y) ≤ r

}

yS(x,r) =

{y ∈ X : d(x,y) = r

}.

los llamaremos, respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera con centro x y radio r > 0.Un subconjunto G ⊆ X se dice que es abierto si para cada x ∈ G, existe un r > 0 tal que U(x,r) ⊆ G. Unsubconjunto F de X se dice que es cerrado si X \F es abierto. No es difícil demostrar que tanto c, así comoc0 son cerrados en ℓ∞.

Sea A un subconjunto de X . Un punto x ∈ A es un punto interior de A si existe un r > 0 tal queU(x,r) ⊆ A. El conjunto de todos los puntos interiores de A será denotado por int(A) y llamado el interiorde A. Es fácil ver que int(A) es un conjunto abierto y que si U es un subconjunto abierto de A, entoncesU ⊆ int(A)⊆ A, es decir, int(A) es el conjunto abierto más grande contenido en A. En particular, A es abiertosi, y sólo si, A = int(A). La clausura de A, que indicaremos con el símbolo A, es el conjunto cerrado máspequeño conteniendo a A, esto es, si F es un subconjunto cerrado de X con A ⊆ F , entonces A ⊆ A ⊆ F .Se sigue que A es cerrado si, y sólo si, A = A. Un subconjunto A de X es denso en X si A = X . Un puntox ∈ X es un llamado un punto frontera de A si para cualquier r > 0, la bola abierta U(x,r) contiene puntostanto de A así como de X \A. El conjunto de todos los puntos frontera de A lo escribiremos por Fr(A) y lonombraremos la frontera o el borde de A.

Si x ∈ X y A es un subconjunto no vacío de X , la distancia entre x y A se define como

dist(x,A) := ı́nf{

d(x,a) : a ∈ A}.

Se puede comprobar, sin mucha dificultad, que

(a) dist(x,A) = dist(x,A),

(b) dist(x,A) = 0 si, y sólo si, x ∈ A, y(c)

∣∣dist(x,A)−dist(y,A)∣∣≤ d(x,y) cualesquiera sean x,y ∈ X .


Diremos que A es acotado en X , si existe una constante M ≥ 0 tal que d(x,y) ≤ M para todo x,y ∈ A. Si Aes acotado en X , el diámetro de A se define mediante el número

diam(A) := sup{

d(a,b) : a,b ∈ A}.

Pondremos diam(A) = ∞ si el conjunto A no sea acotado en X .Si (xn)∞n=1 es una sucesión en X y x0 ∈ X , diremos que (xn)∞n=1 converge a x0, en notación lı́mn→∞ xn = x0

o, brevemente, xn → x0, si para cada ε > 0, existe un N ∈ N tal que d(xn,x0) < ε para todo n ≥ N. Es fácilver que si F es un subconjunto de X , x ∈ F si, y sólo si, existe una sucesión (xn)∞n=1 en F tal que xn → x0. Enparticular, F es cerrado si, y sólo si, siempre que (xn)∞n=1 es una sucesión en F que converge a algún x0 ∈ X ,entonces x0 ∈ F .

Una sucesión (xn)∞n=1 en X se llama sucesión de Cauchy si, para cada ε > 0, existe un N ∈ N tal qued(xn,xm) < ε para todo m,n ≥ N. Un hecho importante que hay que destacar referente a las sucesiones deCauchy es que si (xn)∞n=1 es de Cauchy en X , entonces se puede determinar la existencia una subsucesión(nk)∞k=1 de enteros positivos tal que d(xnk ,xnk+1) < 2

−k para todo k ∈ N. Toda sucesión convergente es deCauchy, sin embargo, el recíproco no es, en general, válido. Si una sucesión de Cauchy en X , digamos(xn)∞n=1,posee alguna subsucesión convergente a algún punto x ∈ X , entonces la sucesión (xn)∞n=1 es en sí mismaconvergente y converge, además, al punto x. Un espacio métrico en donde toda sucesión de Cauchy convergea un elemento de dicho espacio, es llamado un espacio métrico completo.

Cualquier espacio métrico discreto es completo, de hecho, todos los espacios métricos definidos enlos ejemplos anteriores son completos, salvo, por supuesto, el del producto cartesiano. En este caso, si(Xn,dn)∞n=1 es una familia numerable de espacios métricos, entonces el producto cartesiano

(∏∞n=1 Xn,d

)

es completo si, y sólo si, cada (Xn,dn) es completo.Un espacio métrico (X ,d) se llama separable si contiene un subconjunto denso numerable. Es fácil

ver que un espacio métrico (X ,d) es separable si, y sólo si, X es 2˚ numerable, lo cual significa que Xposee una base numerable, es decir, existe una colección numerable C de subconjuntos abiertos de X talque todo abierto no vacío U de X se puede expresar como una unión de elementos de C. Más aun, si Xes un espacio métrico separable, entonces X es de Lindelöf. Esto último significa que, si C es cualquiercubrimiento abierto de X , es decir, una familia de subconjuntos abiertos no vacíos de X tal X =

⋃V∈CV ,

entonces existe una subcolección numerable de C, digamos, C0 ={

Vn ∈ C : n ∈ N}

que también cubre a X ,esto es, X =

⋃∞n=1Vn.

Sea (X ,d) un espacio métrico. Una sucesión ( fn)∞n=1 de funciones a valores reales definidas sobre X sedice que converge uniformemente sobre X a una función f si para cada ε > 0, existe un entero N ∈ N conla propiedad de que si n ≥ N, entonces se cumple que

∣∣ fn(x)− f (x)∣∣ < ε

para todo x ∈ X .El siguiente test para la convergencia uniforme de una serie dada debido a K. Weierstrass, es muy con-

veniente (véase, por ejemplo, [386], Theorem 7.10, p. 148).

M-Test de Weierstrass. Sea ( fn)∞n=1 una sucesión de funciones a valores reales definidas sobre unespacio métrico (X ,d). Suponga que, para cada n ∈ N, existe una constante no negativa Mn tal que

∣∣ fn(x)∣∣ ≤ Mn para todo x ∈ X .

Si ∑∞n=1 Mn < ∞, entonces la serie ∑∞n=1 fn converge uniformemente sobre X .

Sec. 1.4 Espacios topológicos 17

Si (X ,d) es un espacio métrico, denotaremos por (C(X),d∞) el subespacio vectorial de (B∞(X),d∞)formado por todas las funciones continuas y acotadas f : X →R. En este caso, (C(X),d∞) resulta ser cerradoen (B∞(X),d∞) y, en consecuencia, un espacio métrico completo, pues (B∞(X),d∞) es completo.

Dado un espacio métrico arbitrario (X ,d), si dicho espacio no es completo, entonces siempre se puedeconstruir un espacio métrico completo

(X̂ , d̂

)y una aplicación ϕ con las siguientes propiedades:

(a) la aplicación ϕ : X → X̂ es una isometría de X sobre ϕ(X) y ϕ(X) es denso en X̂ ,(b) el espacio métrico completo

(X̂ , d̂

)es, salvo isometría, único; es decir, si

((X̃ , d̃

),ψ)

es otra com-pletación de (X ,d), entonces existe una única isometría f : X̂ → X̃ tal que f ◦ϕ = ψ.

Al par((

X̂ , d̂),ϕ)

lo llamaremos la completación de (X ,d). En la práctica, casi siempre ocultamos laisometría ϕ, identificamos a X con su imagen ϕ(X) y simplemente decimos que

(X̂ , d̂

)es la completación

de (X ,d). En este caso, d̂ coincide con d sobre X ×X .

1.4. Espacios topológicos

Los conjuntos abiertos son las piezas fundamentales en la teoría de los espacios métricos. La abstrac-ción de las propiedades básicas de tales conjuntos conduce a la construcción de una nueva área de estudiodenominada “los espacios topológicos”.

Definición 1.4.1. Sea X un conjunto no vacío y suponga que τ es una colección no vacía de subconjuntosde X. Diremos que τ es una topología sobre X siempre que se cumplan las siguientes propiedades:

(a) ∅,X ∈ τ,(b) si {Uα : α ∈ J} es cualquier colección de elementos de τ, entonces

⋃α∈J Uα ∈ τ, y

(c) si para cualquier k ∈N, U1, . . . ,Uk ∈ τ, entonces⋂k

i=1Ui ∈ τ.

Los elementos de cualquier topología τ son llamados conjuntos abiertos o simplemente τ-abiertos. Unespacio topológico es un par (X ,τ), donde X es un conjunto no vacío y τ es una topología sobre X . Confrecuencia hablaremos de un espacio topológico X sin mencionar la topología τ cuando sobre dicho conjuntono se ha definido explícitamente ninguna otra topología.

Cualquier subconjunto no vacío Y de un espacio topológico (X ,τ) puede ser considerado en sí mismocomo un espacio topológico definiendo la topología τY sobre Y del modo siguiente: τY :=

{U ∩Y : U ∈ τ

},

esto es,G ∈ τY si, y sólo si, existe U ∈ τ tal que G = U ∩Y.

En este caso se dice que (Y,τY ) es un subespacio de (X ,τ) y a τY se le llama la topología inducida por τ.En un espacio topológico (X ,τ), un subconjunto G de X se llama un entorno de un punto x ∈ X si existe unconjunto abierto U tal que x ∈U ⊆ G. El conjunto G se dice que es un entorno abierto de un punto x ∈ Xsi G, además de ser un entorno de x, es un conjunto abierto. Se puede demostrar que un conjunto G ⊆ X esabierto si, y sólo si, para cada x ∈ G, existe un entorno abierto Vx de x tal que Vx ⊆ G. Un subconjunto Fde un espacio topológico (X ,τ) se llama conjunto cerrado si X \F es un conjunto abierto. Se sigue de laspropiedades de los conjuntos abiertos que:

(a) ∅ y X son conjuntos cerrados,

(b) si {Fα : α ∈ J} es cualquier colección de subconjuntos cerrados de X , entonces⋂

α∈J Fα es cerrado, y


(c) si para cualquier k ∈N, F1, . . . ,Fk son conjuntos cerrados, entonces⋃k

i=1 Fi también es cerrado.

Sea (X ,τ) un espacio topológico y suponga que E es un subconjunto de X . La unión de todos los con-juntos abiertos contenidos en E es llamado el interior de E y denotado por intτ(E) o τ− int(E). Observeque si E no contiene ningún subconjunto abierto, entonces intτ(E) = ∅. En cualquier caso, intτ(E) es elconjunto abierto más grande contenido en E . Escribiremos int(E) cuando no exista ninguna otra topologíaexplícitamente definida sobre X . Similarmente, la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienena E es llamado la clausura de E y denotado por E τ. Observe que E τ siempre existe. En efecto, la familiaF :{

F ⊆ X : E ⊆ F, F cerrado}

es no vacía pues X pertenece a F y gracias a que la intersección arbitrariade conjuntos cerrados es cerrado, resulta que E

τ=⋂

F∈FF . Como antes, si el contexto es claro, es decir,si no existe otra topología definida sobre X , escribiremos simplemente E en lugar de E

τ. Se tiene entonces

que E es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a E . Cualquier punto x ∈ E es llamado un punto declausura de E .

Teorema 1.4.1. Sea (X ,τ) un espacio topológico y suponga que E es un subconjunto de X.

(1) x ∈ E si, y sólo si, V ∩E 6=∅ para cualquier conjunto abierto V conteniendo a x.

(2) Si E ⊆ Y ⊆ X, entonces E τY = E τ ∩Y .

Prueba. Ejercicio.

Para cada x ∈ X , denote por Nx la familia de todos los conjuntos abiertos que contienen a x. Según elresultado anterior vemos que

E ={

x ∈ X : V ∩E 6=∅ para todo V ∈ Nx}.

Un resultado que es particularmente útil es el siguiente:

Lema 1.4.1. Sean (X ,τ) un espacio topológico y U un subconjunto abierto no vacío de X. Si A ⊆ X es talque U ∩A = ∅, entonces U ∩A = ∅. En particular, si U y V son abiertos no vacíos y disjuntos, entoncesU ∩V =∅= U ∩V .

Prueba. Suponga que A es un subconjunto de X para el cual U ∩A =∅, pero que U ∩A 6=∅. Sea x ∈U ∩A.Entonces x ∈U y x ∈ A. Ahora bien, como x ∈ A, del Teorema 1.4.1 se sigue que cualquier entorno abiertode x intersecta a A; en particular, siendo U un entorno abierto de x (pues x ∈U ), tenemos que U ∩A 6=∅, loque constituye una flagrante violación a nuestra hipótesis. �

Observe que el Lema 1.4.1 también se puede reescribir en la forma:

U ∩A 6=∅ si, y sólo si, U ∩A 6=∅.

Definición 1.4.2. Sea (X ,τ) un espacio topológico y sea D un subconjunto de X. Diremos que D es densoen X si D = X.

Notemos que D = X significa que el conjunto cerrado más pequeño que contiene a D es X . En general,si A y B son subconjuntos de X se dice que A es denso en B si B ⊆ A. Esto último también se puede expresardiciendo que si V es un abierto no vacío de X tal que V ∩B 6= ∅, entonces V ∩A 6= ∅. En efecto, si fueraV ∩A =∅, entonces el Lema 1.4.1 nos diría que V ∩A =∅ y, en consecuencia, como B ⊆ A, tendríamos queV ∩B =∅, lo cual es contradictorio.

Una condición equivalente a la definición de densidad que no hace referencia a ningún punto del espacioy que usaremos frecuentemente es la siguiente:

Sec. 1.4 Espacios topológicos 19

Teorema 1.4.2. Sean (X ,τ) un espacio topológico Hausdorff y D un subconjunto de X. Entonces, D es densoen X si, y sólo si, para cada subconjunto abierto no vacío U de X, U ∩D 6=∅.

Prueba. Supongamos, en primer lugar, que D es denso en X y sea U un subconjunto abierto no vacío deX . Si fuera U ∩D =∅, entonces F := X \U sería un conjunto cerrado conteniendo a D y, en consecuencia,D ⊆ F , lo que contradice la densidad de D, ya que F = X \U $ X .

Recíprocamente, suponga que U ∩D 6=∅ para cada subconjunto abierto no vacío U de X . Si fuera D 6= X ,entonces U := X \D sería un conjunto abierto no vacío que satisface U ∩D =∅. Esta contradicción estableceque D = X . �

Una primera consecuencia del resultado anterior es el siguiente.

el teorema de categorÍa de baire y aplicaciones · una trivialidad profunda. así caliﬁca t. w....

Documents