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El Teorema de Szemerédi via ultraproductos


Darío Alejandro GarcíaUniversidad de los Andes

3 de Diciembre de 2014Matemáticas por Estudiantes

Bogotá D.C.

Darío Alejandro García Universidad de los Andes El Teorema de Szemerédi via ultraproductos


El verdadero título debería ser:

ULTRAPRODUCTOS:

y (si alcanzamos) el Teorema de Szemerédi



Introducción

Combinatoria asintótica: Propiedades de estructuras finitas“suficientemente grandes”



Introducción

Combinatoria asintótica: Propiedades de estructuras finitas“suficientemente grandes”Objetivo: Supongamos que queremos probar que una propiedad Pes cierta para todas las estructuras “suficientemente grandes” enuna clase de estructuras finitas C (por ejemplo grupos, anillos,campos, grafos, etc.)



Introducción


Buscando una contradicción, suponemos que no. Entoncesexiste estructuras finitas 〈Mn : n ∈ N〉 tales que |Mn| ≥ n (ypor lo tanto las estructuras son cada vez más grandes) yninguna de ellas tiene la propiedad P.



Introducción



Con estas estructuras, construimos un contraejemplo infinitoM (El Ultraproducto de los Mn’s), que no tiene la propiedadP.



Introducción



Con estas estructuras, construimos un contraejemplo infinitoM (El Ultraproducto de los Mn’s), que no tiene la propiedadP.

Por otra parte, usando herramientas propias de matemáticainfinitaria, logramos probar que M debe satisfacer la propiedadP, encontrando así una contradicción.



Introducción

Ejemplo prototípico:

Teorema (Ramsey, 1930)

Para todo k ∈ N existe n tal que:

Cualquier coloreo de las aristas del grado completo Kn en dos

colores contienen un subconjunto monocromático de tamaño k.



Introducción






Por ejemplo, si k = 3 (triángulos monocromáticos), el mínimo n

necesario es n = 6.



Introducción







necesario es n = 6.

b

b

b

b

bDarío Alejandro García Universidad de los Andes El Teorema de Szemerédi via ultraproductos


Introducción







necesario es n = 6.

b

b

b

b

b

b

bb

b

b b



El Teorema de Szemerédi

Teorema (Teorema de Szemerédi)

Todo subconjunto de los enteros de densidad positiva contiene

progresiones aritméticas arbitrariamente largas.



El Teorema de Szemerédi

Teorema (Teorema de Szemerédi)

Todo subconjunto de los enteros de densidad positiva contiene

progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Teorema (Teorema de Szemerédi - versión finitaria)

Para todo δ > 0 y todo k ∈ N existe n ∈ N tal que:

Siempre que N ≥ n y A ⊆ [1,N] con|A|

N≥ δ, existen a ∈ A y

d ≥ 1 tales que

a, a + d , a + 2d , . . . , a + (k − 1)d︸︷︷︸

∈ A

progresión aritmética de longitud k



Ultraproductos

Ultraproductos



Ultraproductos

Filtros y ultrafiltros

Definición

Sea I un conjunto infinito de índices. Un filtro sobre I es una

colección F de subconjuntos de I que satisface:

(i) I ∈ F , ∅ 6∈ F .

(ii) Si A,B ∈ F entonces A ∩ B ∈ F .

(ii) Si A ∈ F y A ⊆ B ⊆ I entonces B ∈ F .



Ultraproductos

Filtros y ultrafiltros

Definición

Sea I un conjunto infinito de índices. Un filtro sobre I es una

colección F de subconjuntos de I que satisface:

(i) I ∈ F , ∅ 6∈ F .

(ii) Si A,B ∈ F entonces A ∩ B ∈ F .

(ii) Si A ∈ F y A ⊆ B ⊆ I entonces B ∈ F .

Definición

Un ultrafiltro sobre I es un filtro maximal U . Equivalentemente, es

un filtro U sobre I que además satisface la siguiente condición:

(iv) Para todo A ⊆ I , A ∈ U ó Ac = I − A ∈ U .



Ultraproductos

Ejemplos

Supongamos que I = N := ω.

Dado A ⊆ N no vacío, existe el filtro generado por A:

FA = 〈A〉 = {X ⊆ N : A ⊆ X}.



Ultraproductos

Ejemplos



FA = 〈A〉 = {X ⊆ N : A ⊆ X}.

Observación: Este tipo de filtros son ultrafiltros únicamente siA = {n} para algún n ∈ N.



Ultraproductos

Ejemplos



FA = 〈A〉 = {X ⊆ N : A ⊆ X}.

Observación: Este tipo de filtros son ultrafiltros únicamente siA = {n} para algún n ∈ N. Estos ultrafiltros se denominanultrafiltros principales.



Ultraproductos

El filtro de Fréchet:

F = {X ⊆ N : N− X es finito.}

El filtro de Fréchet no es un ultrafiltro, ya que ni A = 2N niAc = (2N)c están en F .



Ultraproductos

El filtro de Fréchet:

F = {X ⊆ N : N− X es finito.}

El filtro de Fréchet no es un ultrafiltro, ya que ni A = 2N niAc = (2N)c están en F .Sin embargo, usando el Lema de Zorn, todo ultrafiltro puedeextenderse a un ultrafiltro. Es claro que un ultrafiltro es no principalsi y sólo si extiende al filtro de Fréchet.



Ultraproductos

Definición (Lenguaje de primer orden)

Un lenguaje de primer orden es una colección L que contiene

símbolos de constante, símbolos de función y símbolos de relación.

Una L-estructura es un conjunto con unos elementos, funciones y

relaciones destacados que corresponden a los símbolos en L.

Grupos: LGrupos = {e; ∗}

Anillos: LAnillos−ord = {0, 1; +, ·;<}

Grafos: LGrafos. = {R}



Ultraproductos

Definición (Lenguaje de primer orden)

Un lenguaje de primer orden es una colección L que contiene

símbolos de constante, símbolos de función y símbolos de relación.

Una L-estructura es un conjunto con unos elementos, funciones y

relaciones destacados que corresponden a los símbolos en L.

Grupos: LGrupos = {e; ∗}

Anillos: LAnillos−ord = {0, 1; +, ·;<}

Grafos: LGrafos. = {R}

El grupo (Z; 0; +) es una LGrupos -estructura, con + : Z2 → Z

una función binaria.

El anillo ordenado (R; 0, 1; +, ·;<) es unaLAnillos−ord -estructura donde , por ejemplo, <⊆ R

2 es unarelación binaria.



Ultraproductos

Definición (Ultraproducto)

Sean 〈Mi : i ∈ I 〉 una colección de estructuras en un mismo

lenguaje y U un ultrafiltro sobre I .

Definimos el ultraproducto

M =∏

U

Mi :=∏

i∈I

Mi

/

∼U

donde la relación ∼U está dada por:

(ai : i ∈ I ) ∼U (bi : i ∈ I ) si y sólo si {i ∈ I : ai = bi} ∈ U .



Ultraproductos

Podemos dotar a M de una L-estructura, de la siguiente manera:

Si c ∈ L es un símbolo de constante, entonces

cM := [cMi ]U

Si f ∈ L es un símbolo de función n-aria, entonces definimos

f M([a1

i ]U , . . . , [ani ]U ) := [f Mi (a1

i , . . . , ani )]U .

Si R ∈ L es un símbolo de relación n-aria, entonces

RM := {([a1

i ]U , . . . , [ani ]U ) : (a

1

i , . . . , ani ) ∈ RMi U -casi siempre}



Ultraproductos

Teorema de Łoś

Teorema (Jerzy Łoś, 1955)

Sea 〈Mi : i ∈ I 〉 una colección de L-estructuras y U un ultrafiltro

sobre I .

Para toda L-fórmula ϕ(x1, . . . , xn), tenemos que

∏

U

Mi |= ϕ(a1, . . . , an)

si y sólo si

{i ∈ I : Mi |= ϕ(ai1, . . . , a

in)} ∈ U



Ultraproductos

Teorema de Łoś

Teorema (Jerzy Łoś, 1955)

Sea 〈Mi : i ∈ I 〉 una colección de L-estructuras y U un ultrafiltro

sobre I .

Para toda L-fórmula ϕ(x1, . . . , xn), tenemos que

∏

U

Mi |= ϕ(a1, . . . , an)

si y sólo si

{i ∈ I : Mi |= ϕ(ai1, . . . , a

in)} ∈ U

“Un afirmación es cierta en el ultraproducto M =∏

U Mi si y sólo sies cierta para U -casi todos los modelos Mi ”



Ultraproductos

Ejemplos de Ultraproductos

Los números hiperreales

Sea I = N, Mn = (R; 0,+, <) para cada n ∈ N y U un ultrafiltrono principal sobre N.Definimos R

∗ :=∏

U Mn.



Ultraproductos




∗ :=∏

U Mn.

El mapa ϕ : R → R∗, ϕ(r) := [r , r , . . .]U es una inmersión de

grupos ordenados. Por abuso de notación, el elemento[r , r , . . .]U ∈ R

∗ es denota como r .



Ultraproductos




∗ :=∏

U Mn.

El mapa ϕ : R → R∗, ϕ(r) := [r , r , . . .]U es una inmersión de

grupos ordenados. Por abuso de notación, el elemento[r , r , . . .]U ∈ R

∗ es denota como r .

El orden en R∗ es denso:

Sea ϕ = ∀x , y(x < y → ∃z(x < z ∧ z < y). Esta es unaL = {0,+, <}-fórmula, y como {n ∈ N : Mn |= ϕ} = N ∈ U ,tenemos por el Teorema de Łoś que R

∗ |= ϕ. Por lo tanto,(R∗, <) es denso.



Ultraproductos




Ultraproductos


Existen elementos infinitesimales:Sabemos que 0 = [0, 0, 0, . . .]U y sea an = 1

n:= [ 1

n, 1

n, 1

n, . . .]U .

Sea ǫ = [1, 1

2, 1

3, . . . , 1

n, . . .]U . Por Teorema de Łoś, 0 < ǫ < 1

n

PARA TODO n ∈ N!!.En particular, R∗ es no arquimediano.



Ultraproductos


Existen elementos infinitesimales:Sabemos que 0 = [0, 0, 0, . . .]U y sea an = 1

n:= [ 1

n, 1

n, 1

n, . . .]U .

Sea ǫ = [1, 1

2, 1

3, . . . , 1

n, . . .]U . Por Teorema de Łoś, 0 < ǫ < 1

n

PARA TODO n ∈ N!!.En particular, R∗ es no arquimediano.

También existen elementos infinitos, como por ejemplo

α = [1, 2, 3, . . .]U =1

ǫ.



Ultraproductos


Ultraproductos de campos

Sea I = P el conjunto de los números primos, y para cada primo p,

sea Fp = Fpalg

en el lenguaje L = {0, 1,+, ·}. Sea U un ultrafiltrono principal sobre P, y considere F =

∏

U Fp .



Ultraproductos




sea Fp = Fpalg


∏

U Fp .

F es algebraicamente cerrado: Considere para cada n ∈ N, lafórmula

θn := ∀a0∀a1 · · · ∀an∃z(an · zn + · · · a1 · z + a0 = 0).



Ultraproductos




sea Fp = Fpalg


∏

U Fp .


θn := ∀a0∀a1 · · · ∀an∃z(an · zn + · · · a1 · z + a0 = 0).

F tiene característica 0: Considere la fórmula

ϕn := 1 + 1 + · · · 1︸︷︷︸

n−veces

6= 0



Ultraproductos




sea Fp = Fpalg


∏

U Fp .


θn := ∀a0∀a1 · · · ∀an∃z(an · zn + · · · a1 · z + a0 = 0).

F tiene característica 0: Considere la fórmula

ϕn := 1 + 1 + · · · 1︸︷︷︸

n−veces

6= 0

Un argumento diferente muestra que la carnalidad de F es 2ℵ0 , y

así, por el Teorema de Steinitz C ∼=∏

U Fpalg



La técnica


Para todo k ∈ N existe n tal que: Todo grafo completo 2-coloreado

con n-vértices tiene un subconjunto monocromático de tamaño k.



La técnica

La estrategia



La técnica

1. Descripción del problema en primer orden

Considere el lenguaje L = {E ,A,R} donde E es una relaciónbinaria describiendo la relación del grafo y A,R son relacionesbinarias (A para arista Azul, R para arista Roja).Tenemos las siguientes propiedades:

(Grafo completo)

{

∀x , y(x = y → ¬E (x , y))

∀x , y(¬(x = y) → E (x , y))

(2-coloreado)

{

∀x , y(¬(x = y) → (A(x , y) ∨ R(x , y))

∀x , y(¬(x = y) → (R(x , y) ↔ ¬A(x , y)))



La técnica

La propiedad que queremos probar es que existe un conjuntomonocromático de tamaño k , esto es:

P := ∃x1, . . . , xk

∧

i<j

xi 6= xj ∧

∧

i<j

R(xi , xj) ∨∧

i<j

A(xi , xj )



La técnica

Contraejemplos finitos

Si el Teorema de Ramsey no se cumpliera, entonces existe un k fijotal que, para cada n, existe un grado completo 2-coloreadoGn = ([1, . . . , n],E ,A,R) tal que

1 |Gn| ≥ n

2 Gn |= ¬P.

Sea U un ultrafiltro no principal sobre N, y G =∏

U Gn.



La técnica

Transferencia al infinito

Por Teorema de Łoś, las siguientes propiedades se cumplen en G :

G es un grafo completo 2-coloreado.

G es infinito: Considere la fórmula Seaφm := ∃x1, . . . , xm

(∧

i<j xi 6= xj

)

que dice que “existen al

menos m elementos”.

G |= ¬P, G no contiene subconjuntos monocromáticos detamaño k .



La técnica

Uso de herramientas infinitarias

En este caso, la herramienta por excelencia es el uso decardinalidades infinitas vs. cardinalidades finitas.



La técnica



bx1



La técnica



bx1

E2b b b · · ·



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·x3



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·x3

⊆

E4b b b · · ·



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·x3

⊆

E4b b b · · ·x4



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·x3

⊆

E4b b b · · ·x4

⊆

E5b b b · · ·



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·x3

⊆

E4b b b · · ·x4

⊆

E5b b b · · ·x5



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·x3

⊆

E4b b b · · ·x4

⊆

E5b b b · · ·x5 . . ....



La técnica



bx1

E2b b b · · ·x2

⊆

E3b b b · · ·x3

⊆

E4b b b · · ·x4

⊆

E5b b b · · ·x5 . . ....

E2k+1b b b · · ·x2k+1



Demostración del Teorema de Szemerédi

Demostración del

Teorema de Szemerédi




Teorema (Teorema de Szemerédi - versión finitaria)

Para todo δ > 0 y todo k ∈ N existe n ∈ N tal que:

Siempre que N ≥ n y A ⊆ [1,N] con|A|

N≥ δ, existen a ∈ A y

d ≥ 1 tales que

a, a + d , a + 2d , . . . , a + (k − 1)d︸︷︷︸

∈ A

progresión aritmética de longitud k




Supongamos que el resultado no es cierto, entonces existen δ > 0 yk ∈ N fijos, tales que:Para cada n existen N ≥ n y AN ⊆ [1,N] con:

|AN | ≥ δ · N

No existen a ∈ AN y d ≥ 1 tales quea, a + d , a + 2d , . . . , a + (k − 1)d ∈ A.




Descripción en primer orden

Considere el lenguaje L que admite la existencia de “dos mundosdistintos”:

Un mundo llamado G, con un lenguaje LG = {+,A} (funciónbinaria, relación 1-aria).

Un mundo llamado OF, con lenguaje LOF = {+, ·, 0, 1, <}.

Además, para cada fórmula φ(x ; y ) en el lenguaje LG, una funciónmφ : G|y | → OF.




Estructuras finitas

Para cada n ∈ N, sea N ≥ n contradiciendo Szemerédi.




Estructuras finitas


Podemos ver a AN como subconjunto del grupo cíclicoZ/(2N + 1)Z ∼= ([1, . . . , 2N + 1],+) y hacemosGn = ([1, ..., 2N + 1],+,AN ). Esta será el mundo G de laestructura Mn.




Estructuras finitas



Sea Rn = (R, 0, 1,+, ·, <). Este será el mundo OF de laestructura Mn.




Estructuras finitas



Sea Rn = (R, 0, 1,+, ·, <). Este será el mundo OF de laestructura Mn.

Si φ(x ; y ) es una fórmula en el lenguaje LM con|x | = r , |y | = s, entonces:

mφ : Msn −→ Rn = R

b = (b1, . . . , bs ) 7−→|{a ∈ M r

n : Mn |= φ(a; b)}|

|Mn|r




En estas estructuras, tenemos que:





(Gn,+) es un grupo para cada n ∈ N.






Gn |= mA ≥ δ·N2N+1

≥ δ2− ǫn, donde limn→∞ǫn = 0.






Gn |= mA ≥ δ·N2N+1

≥ δ2− ǫn, donde limn→∞ǫn = 0.

Gn |= ¬∃a, d

(

d 6= 0 ∧k−1∧

i=0

A(a + id)

)




Transferencia al infinito

Sea M =∏

U Mn = (∏

U Gn;R∗). Existe una forma natural de

inducir un espacio de medida sobre Gn de la siguiente manera:Si φ(x , y ) es una LG-fórmula, definimos

φ(G ; b) := {x ⊆ G : G |= φ(x , b)}

µ(φ(G ; b)) = st(mφ(b)).

Esto define una medida finitamente aditiva sobre G , y por elTeorema de Extensión de Carateódory, se puede extender a unaúnica medida sobre la σ-álgebra generada por los conjuntosdefinibles.




Así, tenemos:

G es un grupo.

A ⊆ G no contiene progresiones aritméticas de longitud k .

µ(A) = st(mA) ≥δ2− ǫn para cada n, y como son números

reales, µ(A) ≥ δ2.




Herramientas infinitarias





Teoría de la medida: medidas producto, Teorema de Fubini,integración de funciones que son combinación de funcionescaracterísticas y coeficientes racionales.





Teoría de la medida: medidas producto, Teorema de Fubini,integración de funciones que son combinación de funcionescaracterísticas y coeficientes racionales.

Análisis Funcional: Espacios L2, valores esperados de funcionesmedibles, etc.




Para r ≤ k , definimos las fórmulas Hr (x1, . . . , xk) así:

Si r < k ,

Hr (x1, . . . , xk) := A

∑

i<k,i 6=r

i · xi + r

xk −∑

i<k,i 6=r

xi

Si r = k ,

Hk(x1, . . . , xk) := A

[∑

i<k

i · xi

]




Lemma

Si µk es la medida inducida en Gk , entonces

µk

⋂

i≤k

Hi

> 0

.

Usa las herramientas descritas anteriormente. En particular, valoresesperados de funciones sobre la σ-álgebra B0 generada por lossubconjuntos definibles de G k definidos por fórmulas que sólomencionan menos de k-variables




Existe (a1, . . . , ak) ∈⋂

i≤k Hi tal que ak 6=∑

i<k ai .




Existe (a1, . . . , ak) ∈⋂


i<k ai .

Tome a :=∑

i<k i · ai y d = ak −∑

i<k ai 6= 0.




Existe (a1, . . . , ak) ∈⋂


i<k ai .

Tome a :=∑


i<k ai 6= 0.

Tenemos que G |=∧

i<k A(a + id):Para i = 0

a :=∑

i<k

i · ai ∈ A Porque Hk(a1, . . . , ak) vale en G




Existe (a1, . . . , ak) ∈⋂


i<k ai .

Tome a :=∑


i<k ai 6= 0.

Tenemos que G |=∧

i<k A(a + id):Para i = 0

a :=∑

i<k

i · ai ∈ A Porque Hk(a1, . . . , ak) vale en G

Para 1 ≤ i < k :

a + rd :=

(∑

i<k

i · ai

)

+ r

(

ak −∑

i<k

ai

)

=

∑

i<k,i 6=r

i · ai

+ r

ak −∑

i<k,i 6=r

ai

∈ A

Porque Hr (a1, . . . , ak) vale en G



Referencias

Referencias

I. Goldbring. H. Towsner. An approximate logic for measures.Preprint. arXiv:1106.2854v1 [math.LO]. June 2011.

E. Hrushovski. Stable group theory and approximate subgroups.Preprint. arXiv:0909.2190v4 [math.LO]. May 2011.

H. Towsner. A model theoretic proof of Szemerédi Theorem.Preprint. arXiv:1002.4456v3 [math.LO]. January 2011.


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