el Átomo de hidrÓgeno - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6205/material/apuntes/atomo de...
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Dr. A. Ozols 1
Dr. Dr. AndresAndres OzolsOzols
Dra. María Rebollo Dra. María Rebollo
El ÁTOMO de El ÁTOMO de HIDRÓGENOHIDRÓGENO
FIUBA
2006
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Dr. A. Ozols 2
ESPECTROS DE HIDROGENOESPECTROS DE HIDROGENO
espectros de emisión
espectro de absorción
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Dr. A. Ozols 3
Regiones de visible y ultravioleta del espectro de emisiónJ. Balmer
2
2
14
nBnλ
=−
ESPECTROS DE HIDROGENOESPECTROS DE HIDROGENO
Secuencias de las líneas
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Modelo atómico de Modelo atómico de RutherfordRutherford
Ernest Rutherford (1871-1937) estudia los
rayos α (alfa) partículas con carga posita
rayos β (beta) chorros de electrones
rayos γ (gama) rayos γ ondas electromagnéticas
protónpartículas con carga positiva en el núcleo
Modelo planetario
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MODELO ATOMICO de BOHRMODELO ATOMICO de BOHR
El átomo de hidrógeno protón + electrón en órbita circular
Idea de cuantificación
La absorción o emisión de radiación por la materia ≡intercambios de energía en forma discontinua, por «saltos» o por cuantos.
Modelo atómico de Bohr(1911)
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Dr. A. Ozols 6
1º Las órbitas de los electrones en torno al núcleo son estacionarias, es decir, el electrón gira en ellas sin emitir ni absorber energía.
2º La emisión o la absorción de radiación por un átomo va acompañada de saltos electrónicos de una órbita a otra de diferente energía. La radiación emitida o absorbida tiene una frecuencia ν tal que verifica la ecuación
E2 – E1 = hν
donde E2 y E1 son las energías de las órbitas entre las cuales se produce la transición, siendo h la constante de Planck.
POSTULADOS de BOHRPOSTULADOS de BOHR
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POSTULADOS de BOHRPOSTULADOS de BOHR
3. Las leyes de la mecánica clásica permiten explicar el carácter circular de las órbitas electrónicas, pero no las transiciones de una órbita a otra.
L n=
4. No todas las órbitas circulares están permitidas para un electrón. Sólo aquellas que satisfacen la condición:
n = 1,2….
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"Ecuación de Onda“
MODELO ATÓMICO de MODELO ATÓMICO de SchrSchröödingerdinger
densidad de probabilidad
Orbital ≡ El volumen del espacio donde puede encontrar al electrón
con mayor probabilidad
Función de onda (ψ)
ψ2 es una medida de la probabilidad de encontrar al electrón en el espacio
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ÁTOMO DE HIDRÓGENO (ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER)
•Energía cinética del electrón2
2CpEm
=
•Energía Potencial (atracción electrostática del protón) 2
( ) ZkeV rr
= −
Z = 10
14
kπε
=
masa reducida e n
e n
m Mm M
µ =+
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el electrón
( )2 2 2 2
2
2
22
, , 222 x y z V V Ex y z
ϕ ϕµ
ϕ ϕ ϕϕ ϕ
µ ∂ ∂ ∂
= − + + + =− ∇ + ∂ ∂ ∂
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sen cossen sencos
x ry rz r
θ φθ φθ
===
2, ,x y z∇ 2
, ,r θ φ∇
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASTRANSFORMACIÓN DE COORDENADASen coordenadas esféricas
(4)
Z
X
Y
r
r senθ X= r sen cosθ φ
y= r sen senθ φ
z= r cosθθ
φ
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2 2 22
2 2 2 2
1 1 1sen ( )2 2 sen sen
r V r Er r r r
ϕ ϕ ϕθ ϕ ϕ
µ µ θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ecuación de Ecuación de SchrödingerSchrödinger con un Potencial Centralcon un Potencial Central
( )1
2 2 2 2r x y z= + +V(r) tiene simetría esférica -potencial central
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2 2 22
2 2 2 2
1 1 1sen ( )2 2 sen sen
r V r Er r r r
ϕ ϕ ϕθ ϕ ϕ
µ µ θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
separación de variables ( , , ) ( ) ( ) ( )r R rϕ θ φ θ φ= Θ Φ
SEPARACIÓN de VARIABLESSEPARACIÓN de VARIABLES
reemplazando y dividiendo toda la ecuación por ( , , )rϕ θ φ
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multiplicando por:2
22
2 senrµθ−
agrupando: 1- términos dependientes de r y θ en el primer miembro 2- términos dependientes de φ en segundo miembro
[ ]2 2 2
2 22 2
1 2 sen sen 1sen ( ) senR rr E V rR r r
µ θ θθ θ
θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ + − + = − ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂
2 22
2 2 2
1 1 1 1 1sen2 sen
( )s
0en
Rr
Vrr
rr R
Eθµ θ θ θ θ φ
∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ − + + ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂ + − =
separación de variablesseparación de variables
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( )( ) [ ] ( )2 2 2
2 2 22 2
1 2 sen sen 1sen ( ) senR r rr E V r m
R r r rθµ θ θ
θ θθ θ φ
∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ Φ+ − + = − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂
Para la función Φ:
22
2
( ) 0mφφ
∂ Φ+ Φ =
∂
ime φ±Φ =
para cada valor de φ, debe haber un solo valor de Φ
( ) ( 2 ) φ φ πΦ = Φ +
2 1ime π± = 0, 1, 2, 3, ........m = ± ± ±
separación de variablesseparación de variables
( 2 ) im ime eφ φ π± ± +=
Número cuántico magnético
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[ ]2 2 2
2 2 22 2
1 2 sen sen 1sen ( ) senR rr E V r mR r r
µ θ θθ θ
θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ + − + = − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂
[ ]2 2
2 2 22
1 2 sen sensen ( ) sen 0R rr E V r mR r r
µ θ θθ θ
θ θ∂ ∂ ∂ ∂Θ + − + − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂
separación de variablesseparación de variables
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[ ]2 2
22 2
1 2 1( ) sen 0sen sen
R r mr E V rR r r
µθ
θ θ θ θ∂ ∂ ∂ ∂Θ + − + − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂
β β−
( ) ( )2
2
1 ( )sen 0sen sen
m θθθ β θ
θ θ θ θΘ∂ ∂ Θ − + Θ = ∂ ∂
Ecuación de Legendre
separación de variablesseparación de variables
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Las soluciones: funciones de Legendre (cos )mlP θ
soluciones finitas ⇔ ( 1)l lβ = + 0, 1, 2, 3, ....l =
( ) sen (cos )(cos )
mmm
l lm
dP Pd
θ θ θθ
=
ECUACIÓN de LEGENDREECUACIÓN de LEGENDRE
( ) ( )2
2
1 ( )sen 0sen sen
m θθθ β θ
θ θ θ θΘ∂ ∂Θ − + Θ = ∂ ∂
Polinomios de Legendre
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Dr. A. Ozols 18
21 (cos 1)(cos )2 ! (cos )
l l
l l ldP
l dθ
θθ
−=
Por lo tanto: ml ≥
)cos()(cos
cos)(cos)(cos
1321
1
22
1
0
−=
=
=
θθ
θθ
θ
P
PP
Con la cte. de normalización :
(2 1)( )!( ) ( )2( )!
mlm l
l l m Pl m
θ θ+ −
Θ =+
Número cuántico orbital
ECUACIÓN de LEGENDREECUACIÓN de LEGENDRE
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FUNCIÓN DE ONDA ANGULARFUNCIÓN DE ONDA ANGULAR = ARMÓNICOS ESFÉRICOSARMÓNICOS ESFÉRICOS
( )1( , ) ( ) ( )
2
mml lm mY θ φ θ φ
π
−= Θ Φ
),( φθmlY función ortonormal ⇔ ''
''
* sen),(),( mmllml
ml ddYY δδφθθφθφθ
π π
=∫∫2
0 0
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Dr. A. Ozols 20
FUNCIÓN DE ONDA RADIALFUNCIÓN DE ONDA RADIAL
[ ]2
22
1 2 ( ) 0R rr E V rR r r
µβ
∂ ∂ + − − = ∂ ∂
( 1)l lβ = +2
( ) keV rr
= −
2 22
2 2 2
1 ( ) 2 ( 1) ( )( ) 0d R r r ke l l R rr E R rr dr r r r
µ ∂ + + + − = ∂
Ecuación de Laguerre
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Dr. A. Ozols 21
Las soluciones polinomios de Laguerre asociadas con un conjunto discreto de valores de energía.
0
0 0
2 2( ) L ( )lr
nanl nl nl
r rR r A ena na
− =
02nEEn
= −
rn y la En coinciden con las obtenidas en el átomo de Bohr
ECUACIÓN DE LAGUERREECUACIÓN DE LAGUERRE
l ≤ n-1
a0 (radio de Bohr)2
0nr a n=n número cuántico principal
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SOLUCIÓN GENERAL del ÁTOMO de HIDRÓGENOSOLUCIÓN GENERAL del ÁTOMO de HIDRÓGENO
( , , ) ( ) ( ) ( )nlm nlm nl lm mr N R rϕ θ φ θ φ= Θ Φn, l y m números cuánticos.
lm ≤
( , , , ,1, 2,3,.....0, 1, 2,......... 1 0, 1, 2,........
, ) (2 1)
s p d f g etorbitnl nm l
c n valoresl valora
se
el s
== −= ± +± ±
=
La solución completa ( , , )niE t
nml nlm r eϕ θ φ−
Ψ =
l ≤ n-1
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Dr. A. Ozols 23
transiciones dipolareseléctricas
0; 1l 1 m∆ = ±
∆ = ±
REGLAS de SELECCIÓNREGLAS de SELECCIÓN
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Dr. A. Ozols 24
PROBABILIDAD RADIALPROBABILIDAD RADIAL
P(r)dr: probabilidad de encontrar al electrón entre r y r +dr
drr
El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es:
2 sen dV r d dθ θ φ=2
2
0 02
2
0 02
2 2
0 0
( ) * sen
( )* * ( ) se
n
( ) * se
n
m mnl l nl l
m mnl l l
P r dr dr r d d
dr R r Y R r Y r d d
dr R r r Y Y d d
π π
π π
π π
ϕ ϕ θ θ φ
θ θ φ
θ θ φ
= =
= =
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ 2 2( ) ( )nlP r R r r=
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Dr. A. Ozols 25
R(r)
FUNCIONES RADIALES
2 2( ) ( )nlP r R r r=
DENSIDAD DE PROBABILIDAD RADIAL
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Dr. A. Ozols 26
orbital s(n = 1, l=0, m=0)
Orbitales atómicos
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Dr. A. Ozols 27
Orbitales atómicos
orbital p (n = 2, l=1, m=0)
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Dr. A. Ozols 28
Orbitales atómicos
orbital d(n = 3, l=2, m=0)
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Dr. A. Ozols 29
MOMENTO ANGULARMOMENTO ANGULAR
L r p= ×
ˆp p i→ = − ∇ˆ ( )
i j kL r i i x y z
x y z
= × − ∇ = −∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
ˆ sen cot cos
ˆ cos cot sen
ˆ
x
y
z
Li
Li
Li
φ θ φθ φ
φ θ φθ φ
φ
∂ ∂= − − ∂ ∂
∂ ∂= − − ∂ ∂
∂=
∂
22 2 2 2 2
2 2
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ sensen senx y zL L L L θ
θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ = + + = − + ∂ ∂ ∂
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Dr. A. Ozols 30
2 2ˆ ( 1)nml nmlL l lϕ ϕ= + 2 ; L L 2 ( 1)L L l l= = +
ˆz mnl mnlL mϕ ϕ= zL m=
l=2
6L =
Imposible determinar con precisiónla dirección del impulso angular
MOMENTO ANGULARMOMENTO ANGULAR
constantes de movimiento
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Dr. A. Ozols 31
SPIN DEL ELECTRÓNSPIN DEL ELECTRÓN
1. Stern-Gerlach observan desdoblamiento de las líneas espectrales
2. Pauli debe existir un 4º. número cuántico.
3. Goudsmit y Uhlenbeck, número cuántico ms asociado spin
.(momento angular intrínseco del electrón)
s : número cuántico de la cantidad de movimiento total del spin
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Dr. A. Ozols 32
habrá 2s+1 valores de ms, como sólo se observan 2
1 12 1 2 2 2ss s m+ = ⇒ = ⇒ = ±
3( 1)4
12z s
S s s
S m
= + =
= = ±
S
z
zS
SPIN DEL ELECTRÓNSPIN DEL ELECTRÓN
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NÚMEROS CUÁNTICOS Y TABLA PERIÓDICA
PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI: dos electrones no pueden ocuparel mismo estado cuántico
n: número cuántico principal: 1, 2, 3, ….
l: número cuántico orbital: 0, 1, 2 ….(n-1)
m: número cuántico magnético o azimutal: 0, ±1, ±2, …. ±l
ms: número cuántico de spin: ±1
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CONFIGURACIONES ELECTRONICAS (4 números cuánticos)CONFIGURACIONES ELECTRONICAS (4 números cuánticos)
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Dr. A. Ozols 35
siete periodos
nueve grupos
TABLA PERIÓDICA de los ELEMENTOSTABLA PERIÓDICA de los ELEMENTOS