el triángulo: vértices, ángulos y lados
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El triángulo: vértices, ángulos y lados. Los vértices y ángulos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C. B. c. a. Los lados se nombran con letras minúsculas: a, b, c (en posición opuesta a los vértices). C. A. b. B. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Matemáticas. 1º E.S.O.
C
El triángulo: vértices, ángulos y lados
Propiedad: los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo
llano(ángulo de 180º)
Los vértices y ángulos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C
Los lados se nombran con letras minúsculas: a, b, c (en posición opuesta a los
vértices)
A + B + C = 180º
A
B
a
b
c
AB
C
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Tipos de triángulos según sus ángulos
Acutángulo: los tres ángulos son
agudos
Rectángulo: uno de los ángulos es recto
(90º)
Obtusángulo: uno de los ángulos es
obtuso
AgudosObtuso
90º
Matemáticas. 1º E.S.O.
En un triángulo rectángulo, al lado mayor se le llama
hipotenusa y a los otros dos catetos
Catetos
Hipotenusa
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Tipos de triángulos según sus lados
Equilátero: los tres lados son iguales
Isósceles: dos lados iguales y uno
desigual
Escaleno: los tres lados desiguales
a a
a
a a
b
a b
c
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Matemáticas. 1º E.S.O.
A
B
C
a
b
c
El triángulo: alturas y ortocentro
Ortocentro: punto donde se cortan las
alturas
Altura: perpendicular a un
lado que pasa por el vértice opuesto
Matemáticas. 1º E.S.O.
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Matemáticas. 1º E.S.O.
CA
B
a
b
c
El triángulo: mediatrices y circuncentro
Circuncentro: punto donde se cortan las
mediatrices
Mediatriz: recta perpendicular a cada lado
que pasa por su punto medio
El circuncentro es el centro de la
circunferencia circunscrita, que pasa
por cada uno de los vértices del triángulo
Circunferencia circunscrita
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Matemáticas. 1º E.S.O.
CA
B
a
b
c
El triángulo: medianas y baricentro
Baricentro: punto donde se cortan las medianas
Mediana: recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto
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Matemáticas. 1º E.S.O.
El triángulo: bisectrices e incentro
Incentro: punto donde se cortan las bisectrices
Bisectriz: recta que pasa por un vértice y divide al
ángulo en dos partes iguales
El incentro es el centro de la circunferencia
inscrita
CA
B
a
b
c
Circunferencia inscrita
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Teorema de Pitágoras
Matemáticas. 1º E.S.O.
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos
ab
c
a2 = b2 + c2
a2
b2
c2
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Matemáticas. 1º E.S.O.
b2
64 cuadraditos
Teorema de Pitágoras (continuación)Matemáticas. 1º
E.S.O.
a2
100 cuadraditos
b2
64 cuadraditos
c2
36 cuadraditos= +
c2
16
cu
ad
rad
itos
=a2
100 cuadraditos
20 cuadraditos
+
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Matemáticas. 1º E.S.O.Los cuadriláteros: clasificación
Cuadriláteros son los polígonos que
tienen cuatro lados
Cuadrilátero convexo
Cuadrilátero cóncavo
Clasificación de los cuadriláteros convexos
Trapezoides: no tienen lados paralelos
Trapecios: sólo tienen dos lados paralelos
Paralelogramos: tienen los cuatro lados
paralelos dos a dos
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Matemáticas. 1º E.S.O.
DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS TENEMOS:
PARALELOGRAMOS NO PARALELOGRAMOS
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Matemáticas. 1º E.S.O.Los paralelogramos: clasificación
Romboide: paralelogramo más general, con dos pares de lados
paralelos
Rombo: paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales
Rectángulo: paralelogramo que tiene los cuatro ángulos
rectos
Cuadrado: paralelogramo que tiene los cuatro lados
iguales y los cuatro ángulos rectos
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Piensa un poco
1. Tiene los cuatro lados iguales:
a) Sólo el cuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo
2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos:
a) El cuadrado c) El rombob) El rectángulo y el romboide
3. Sus cuatro ángulos son iguales :
a) El cuadrado b) El cuadrado, el rombo y el rectángulo
c) El cuadrado y el rectángulo
4. Sus diagonales son perpendiculares: a) El cuadrado c) El cuadrado y el romboide c) El cuadrado y el rombo
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Área de los paralelogramos
Rectángulo y romboide
h
bÁrea = base altura
A = b h
l
Cuadrado
Área = lado lado
A = l l = l2
Rombo
D
d
2
d×D=A
2
menordiagonal×mayordiagonal=Área
b
h
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Área del triángulo
DA
B Cb
h
El área del paralelogramo ABCD es, como sabemos
Área = base altura
A = b h
Por tanto, como el triángulo ABC es la mitad
2
hbA
2
alturabasetriángulodelÁrea
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Área del trapeciob
B
h
b
B
h
b
h
B
B + b
Área del paralelogramo = = base altura = (B + b)
h
2
h×)b+B(=A
2
altura×)menorbase+mayorbase(=trapeciodelÁrea
Por tanto, como el trapecio es la mitad
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Área de un polígono regular
Todo polígono regular puede descomponerse en triángulos iguales
Como 6 L (6 veces el lado) es el perímetro del hexágono, resulta
El área del hexágono será el área de uno de los triángulos multiplicada por 6
A la altura de cada triángulo se le llama apotema del
polígono
2
aL6
2
aL6regularhexágonodelÁrea
Observa el hexágono, trazamos los radios y
obtenemos seis triángulos equiláteros.
2abtriángulodelÁrea El área de cada
triángulo será
b
a
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Sustituyendo 6 x L por el perímetro, nos dará la fórmula del área del
hexágono
L
a
apotema
2
aL6
2
aL6regularhexágonodelÁrea
2
apotemaperímetroregularhexágonodelÁrea
Por tanto, el área del hexágono y de cualquier polígono regular, será
2aP
2apotemaPerímetroA
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Matemáticas. 1º E.S.O.
La circunferencia y el círculo
Circunferencia: lugar geométrico de los puntos que están a la misma
distancia (radio) de uno fijo (centro)
Círculo: superficie encerrada en el interior de una
circunferencia
centro
radio
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Matemáticas. 1º E.S.O.
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Matemáticas. 1º E.S.O.
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Matemáticas. 1º E.S.O.
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Longitud de la circunferencia y de un arco de circunferencia
La longitud de la circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el
número , o lo que es lo mismo, al
doble del radio por el número .r
longitud = l = 2 · · r
Aplicando una sencilla regla de tres la longitud de un arco que abarque x
grados es:
360
x·r·π·2=larco
larco
xº
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Matemáticas. 1º E.S.O.
Área del círculo
Observa que cuanto mayor es el número de lados del polígono inscrito
en un círculo, más se aproxima el área del polígono al área del círculo
r r
Imagina el círculo como un polígono de muchos, muchos lados. Su perímetro sería la longitud de la circunferencia (2 · · r) y su apotema el
radio (r). Por tanto:
2
radiolongitud
2
apotemaperímetrocírculodelÁrea
2r2
rr2círuclodelÁrea
De este modo se tiene
2rA