ElasticidadProfesor: Matías Morales A.

Comportamiento de Huesos y Tejidos

La elasticidad de un cuerpo es su capacidad de elongarse o comprimirse sin sufrir daño o alteración. Un ejemplo clásico son los resortes, que en la medida que no los estiramos demasiado tienden a mostrar este comportamiento. En una escala microscópica la interacción entre átomos, moléculas o iones muestran comportamiento similar. Bajo pequeñas deformaciones todos estos materiales reaccionan en forma elástica. Se deforman sin sufrir alteraciones permanentes.

Si aumentamos la fuerza que aplicamos comenzaremos a dañar el material y crearemos deformaciones que son permanentes. Se habla aquí de rupturas o deformación plástica

Introducción

En clases anteriores, hemos aprendido las condiciones necesarias para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En forma sencilla, podemos citarlas de la siguiente forma:

Donde el término ‘F’ representa las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’ de un sistema coordenado ortogonal. Análogamente, el término ‘M’ está referido a los momentos que se ejercen en el cuerpo, en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’.

0xF 0yF 0zF

0xM 0yM 0zM

Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra en equilibrio, con cargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si le hacemos un corte transversal imaginario dividiéndolo en dos partes, observaremos que deben generarse fuerzas internas en su sección transversal para que pueda mantenerse en equilibrio.

Las fuerzas internas que se generan en la sección transversal se denominan esfuerzos. Para determinar éstos, se hace necesario definir las cargas que están ejercidas sobre dicha sección; esto se logra aplicando las condiciones de estática que recordamos líneas atrás. Tendremos entonces que, en la sección de interés, están aplicados una fuerza y un momento resultante (‘FR’ y ‘MR’ respectivamente).

Realicemos ahora una descomposición de la fuerza resultante sobre la sección de interés. Obtendremos una fuerza que es normal al plano de la sección; ésta es la carga axial (P). El resto de fuerzas están contenidas en el plano, y se llaman cortantes (V). Observe que la fuerza cortante total es la sumatoria vectorial de las fuerzas contenidas en el plano de la sección.

Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momento resultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de la sección; ésta representa el momento torsor (T). Las componentes restantes de momento están contenidas en el plano, y se denominan momentos flectores (M). La la sumatoria vectorial de todos los momentos contenidos en el plano resulta en el momento flector total en la sección.

En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre una sección transversal:

- Carga Axial. Es la componente normal al plano de la fuerza resultante sobre el mismo.

- Fuerza Cortante. Es la componente de la fuerza resultante contenida en el plano de la sección transversal.

- Momento Torsor. Es la componente normal al plano del momento resultante sobre el mismo.

- Momento Flector. Es la componente del momento resultante contenida en el plano de la sección transversal.

Esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro de cuerpos sometidos a cargas.

Concepto de EsfuerzoConcepto de Esfuerzo

Para brindar una definición matemática a este concepto, tomaremos un cuerpo cargado representando las fuerzas internas que en él aparecen. Elegiremos un diferencial de área de la sección transversal, en la que actúa una fuerza interna finita como se muestra.

Definiremos entonces como Esfuerzo Normal (σ) a la cantidad de fuerza por unidad de área actuando en dirección normal a ‘ΔA’. Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma:

Si ‘ΔFn’ “sale” de la sección transversal, el esfuerzo normal es de tracción y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal es de compresión y se escribe con signo negativo.

A

FLim n

A

0

Como el esfuerzo está integrado en unidades de fuerza sobre área, se expresa en Pa (N/m2) según el Sistema Internacional y en psi (Lbf/in2) según el Sistema Inglés.

El Esfuerzo Tangencial ó Cortante () es la cantidad de fuerza por unidad de área actuando en dirección tangencial a ‘ΔA’. Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma:

A

FLim t

A

0

A diferencia de ‘ΔFn’ , cuya dirección puede ser una sola, ‘ΔFt’ puede tener cualquier dirección en el plano.

El esfuerzo cortante tendrá la misma dirección y sentido de ‘ΔFt’.

Esfuerzo normal promedio en barras cargadas axialmente

La distribución de esfuerzos normales en una sección transversal de una barra cargada axialmente no es completamente uniforme. Sin embargo, para este caso específico, podemos definir un esfuerzo normal promedio en toda la sección transversal, sin temor a cometer un gran error con esta aproximación. Dicho esfuerzo viene dado por la siguiente expresión:

Donde ‘P’ es la carga axial y ‘A’ el área de sección transversal de la barra. Si la carga ‘P’ es de tracción, el esfuerzo normal es positivo y viceversa. Es importante recordar que, como el esfuerzo es normal, el área es perpendicular a la fuerza aplicada.

Fuerza de tracción/compresiónSección antes de la deformación

Esfuerzo (σ): Fuerza aplicada a un área A conocida.

Tipos de Esfuerzo

Tracción Compresión Flexión Corte Torsión

Fuerzas de Compresión Dos fuerzas iguales y opuestas se aplican sobre el hueso. El máximo estrés se produce en un plano perpendicular a la línea de

carga. Como consecuencia el hueso tiende a acortarse y ensancharse. P.e. Aplastamiento cuerpos vertebrales. Los extremos del material son empujados para contraer al mismo.

COMPRESIÓN

Fuerzas de Tracción Dos fuerzas iguales se aplican en sentido contrario sobre el hueso. El máximo estrés se produce en un plano perpendicular a la línea de

carga. Como consecuencia el hueso tiende a alargarse y hacerse más

estrecho. P.e Arrancamiento de la apófisis estiloides del 5° metatarsiano, por tracción

del tendón del peroneo lateral corto, o calcáneo cerca de la inserción del ten´dón de Aquiles. (h esponjoso).

Los extremos del material son estirados hacia afuera para alargar al objeto.

TRACCIÓN

Fuerzas de Cizallamiento La fuerza se aplica perpendicular a la superficie del hueso. El máximo estrés se produce en un plano paralelo a la línea de carga. La estructura se deformará internamente de forma irregular. El hueso cortical soporta mejor la compresión que la tracción y la tracción

mejor que el cizallamiento. P.e. Fractura intercondílea de fémur. Esfuerzo de Corte: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que tienden a

cortarlo o desgarrarlo. En este caso, la superficie de corte es perpendicular a la fuerza aplicada.

CORTE

Fuerzas de Flexión Las fuerzas aplicadas sobre el hueso hacen que éste se doble sobre

su eje mayor y aparecen fuerzas de compresión en el lado de la aplicación de la fuerza y de tracción en el lado opuesto.

P.e. Fractura en el antebrazo al caer y poner la mano en el suelo. Esfuerzo de Flexión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que

tienden a doblarlo. En este caso, una parte del cuerpo se comprime y la otra se tracciona.

FLEXIÓN

Fuerzas de Torsión La fuerza aplicada tiende hacer rotar alrededor de su eje Aparecen fuerzas de cizallamiento que se distribuyen a lo largo de

toda estructura. P.e. Fractura espiroidea de tibia, que se produce cuando se

esquía al caer rotando sobre un pie fije anclado en el esquí. Esfuerzo de Torsión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que

tienden a retorcerlo. Un caso es cuando se usa una llave para abrir una puerta.

Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector, momento torsor.

Solicitación

• Esfuerzo Normal

• Esfuerzo Cortante

• Momento Flector

• Momento Torsor

Efecto

Alargamiento

Deslizamiento

Giro de Flexión

Giro de Torsión

N

V

Mf

Mt

Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos

Solicitación

• Esfuerzo Normal

• Esfuerzo Cortante

• Momento Flector

• Momento Torsor

N

V

Mf

Mt

Deformaciones

Los cuerpos completamente rígidos no existen. Todo elemento se deforma ante la presencia de cargas sobre él, aunque sea en una proporción muy pequeña.

Si aplicamos una carga axial de tracción a un cuerpo, observaremos que éste tenderá a alargarse en el sentido de dicha carga.

Si la carga fuese de compresión, el cuerpo se acortaría en la dirección de la carga.

Se llama Alargamiento, al cambio de longitud que experimenta un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. Según la figura presentada anteriormente, se puede plantear así:

A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nos será muy útil en el estudio de los materiales: la Deformación Unitaria Normal (ε). Esta se establece de la siguiente forma:

Es importante mencionar que, como el Alargamiento y la Deformación Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptos están íntimamente relacionados con los esfuerzos normales.

0LLL f

0

0

0 L

LL

Lf

Diagrama Tensión-Deformación

Ensayamos a tracción una probeta de un determinado material. Para distintos valores de la carga medimos la tensión () y la deformación unitaria (ε) producidas. Representando gráficamente, se obtiene el siguiente diagrama.

Conceptos Tensión-Deformación1)Zona Elástica: Es la parte donde al retirar la carga el material regresa a

su forma y tamaño inicial.

2)Zona de Fluencia: Región en donde el material se comporta plásticamente; es decir, en la que continúa deformándose bajo una tensión “constante”.

3)Zona de Endurecimiento: Zona en donde el material retoma tensión para seguir deformándose; va hasta el punto de tensión máxima.

4)Zona de Estricción: En éste último tramo el material se va poniendo menos tenso hasta el momento de la fractura.

5)Límite proporcional: Tensión máxima para la cual la deformación es proporcional a la tensión.

6)Módulo de Elasticidad (E): Relación entre la tensión y la deformación del acero. Válida hasta el límite proporcional.

7)Tensión de Fluencia: Tensión para la cual el material se comporta plásticamente, el cual fluye a un valor constante de tensión.

8)Límite Elástico: Tensión máxima para la cual la deformación es completamente recuperable. Pasado ese valor, queda una deformación permanente.

9.Deformación (Unitaria) Elástica

• Deformación restaurable, debido a un esfuerzo aplicado. Se presenta tan pronto como se aplica la fuerza, permanece mientras se aplica el esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira la fuerza.

10.Deformación Plástica

• Deformación permanente de un material, cuando se quita el esfuerzo, el material no regresa a su forma original.

Histéresis Elástica

Ley de Hooke

Para materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente bajos niveles, el esfuerzo y la deformación son proporcionales

La constante E es conocida como el Módulo de Elasticidad, o Módulo de Young. Es una medida de la rigidez de un material.

Es medida en MPa y puede valer de ~4.5 x 104 a 4 x 107 Mpa

Si la deformación es elástica, la relación esfuerzo-deformación es llamada

Ley de Hooke

σ = E ε

σ = Esfuerzo Sus unidades son [N/m2] ó [Pa]E = Módulo de Young o de Rigidez o de Elasticidad Sus unidades son [N/m2] ó [Pa]ε = Deformación Es adimensional [m/m]

Rigidez.- Medida cualitativa de la deformación elástica producida en un

material. Un material rígido tiene un valor de módulo de elasticidad alto.

Comprimir y Tensionar Las dos formas simples de deformar un cuerpo es la compresión y la tensión. Cada

vez que nos ponemos de pie todo nuestro esqueleto es comprimido por efecto de nuestro propio peso. En forma similar si nos colgamos de una barra, son nuestros huesos y las articulaciones que los unen las que son tensionadas.

Si calculamos una fuerza tendremos que la ley de Hook implica que la fuerza será igual a

en donde dx es la elongación. La ecuación no solo depende de la elongación, depende de la proporción entre elongación y largo del cuerpo L. Eso significa que tendremos la misma fuerza (para igual modulo de elasticidad E y sección A) si mantenemos constante la proporción de elongación y largo. La deformación en que el material tiene un comportamiento elástico depende del material. En el caso de hueso es del orden de 0.008 o sea un 0.8%.

Esfuerzo Cortante (τ) El Esfuerzo Cortante es usado en aquellos casos donde se

aplican fuerzas puramente torsionantes a un objeto y se denota por el símbolo τ.

La fórmula de cálculo y las unidades permanecen iguales como en el caso de esfuerzo de tensión.

Se diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la dirección de la fuerza aplicada (paralela para cortante y perpendicular para tensión).

Esfuerzo Cortante y Deformación

Deformación de Corte o Cizalle (γ) es definida como la tangente del ángulo θ y, en esencia, determina qué extensión del plano fue desplazado.

Esfuerzo Cortante y Deformación

El Esfuerzo Cortante y la Deformación se relacionan de manera similar, pero con una constante de proporcionalidad diferente.

La constante G es conocida como el Módulo de Corte y relaciona el Esfuerzo Cortante con la deformación en la región elástica.

Coeficiente de Poisson (ν)

Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante, se crea una deformación acompañante en la misma dirección.

Como resultado de esta elongación, habrá constricciones en las otras dos direcciones.

El Coeficiente de Poisson (ν) es la relación entre las deformaciones lateral y axial.

Algunos Conceptos

1. Ductilidad: Es la habilidad de un material para deformarse antes de fracturarse.

• Es una característica muy importante en el diseño, puesto que un material dúctil es usualmente muy resistente a cargas por impacto.

• Tiene además la ventaja de “avisar” cuando va a ocurrir la fractura, al hacerse visible su gran deformación.

• Materiales Dúctiles: Materiales Dúctiles: Todo material que pueda estar sometido a deformaciones unitarias grandes antes de su rotura. Tiene cuatro comportamientos distintos al ser cargado. Ellos son el comportamiento elástico, la fluencia o cedencia, el endurecimiento por deformación y la estricción.

Algunos Conceptos2.Elasticidad: Es la habilidad que tiene un material que ha sido deformado de

alguna manera para regresar a su estado y tamaño original, cuando cesa la acción que ha producido la deformación.

• Cuando el material se deforma permanentemente, de tal manera que no pueda regresar a su estado original, se dice que ha pasado su límite elástico.

3. Fragilidad: Es lo opuesto de ductilidad.

• Un material frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura aún en cargas estática sin previo aviso.

• Tanto la fragilidad como la ductilidad de un material son mediadas arbitrarias, pero puede decirse que un material con un alargamiento mayor de 5% es dúctil y menor de 5% es frágil.

• Materiales Frágiles: Exhiben poca o ninguna fluencia antes de su rotura y se fracturan repentinamente.

4. Plasticidad: Es la habilidad de un material para adoptar nuevas formas bajo la presión y retener esa nueva forma.

Concepto de Fatiga Ósea Un hueso se fractura cuando la carga aplicada excede a su

resistencia. También se puede fracturar con cargas menores pero REPETIDAS. A esta fractura se le conoce como Fractura por fatiga. El hueso se fatiga rápidamente cuando la carga cuando la carga se

acerca al punto de rotura. Es muy importante la frecuencia de la aplicación de las fuerzas.