E.YALÇINKAYA 1

ELASTİSİTE TEORİSİ (Stress-Strain)

Gerilme-Deformasyon İlişkisi

Doç.Dr. Eşref YALÇINKAYA

(3. Ders)

E.YALÇINKAYA 2

Stress - Gerilme

Gerilme; birim alana düşen kuvvettir:

Gerilme = kuvvet / alan

burada

kuvvet = kütle x ivme

Gerilme birimi :

[(kg)(m/s2)](1/m2) = N/m2 = Pa (pascal)

1 bar = 105 Pa=106 dyne/cm2

AF /

E.YALÇINKAYA 2

E.YALÇINKAYA 3

Gerilmeye bir örnek basınçtır.

Yerküre içinde hangi derinlikte basınç en büyüktür ?

24 km’de 0.6 GPa, 2900 km de ~135 GPa, yer içinin merkezinde ~ 350 GPa

Derin okyanus araştırma araçları niçin küçüktür ?

Stress - Gerilme

E.YALÇINKAYA 4

Bir cisim gerilme altında kaldığında, buna farklı şekillerde cevap verir :

Deforme olur (şekli veya hacmi değişir) – Bu çoğu kez elastik deformasyondur ve gerilme kalktığında cisim ilk haline döner. (Plastik deformasyonda, cisim orijinal haline dönemez.

Akar – Bu viskoz davranış biçimidir. Gerilme kalktığında cisim ilk haline dönemez. Duktil (ductile) davranış olarak ta bilinir.

Kırılır – Bu kırılgan davranış şeklidir ve sadece katı cisimlerde oluşur. Gerilme kalktığında cisim ilk haline dönemez.

Stress - Gerilme

E.YALÇINKAYA 3

E.YALÇINKAYA 5

Deformasyon ; uygulanan bir gerilme karşılığında cisim içinde meydana gelen şekil veya hacim değişikliğidir.

Deformasyon, birimsiz ve boyutsuzdur.

Strain - Deformasyon

E.YALÇINKAYA 6

Örnek : 5 cm uzunluğundaki bir lastiği çekerek uzunluğunu 6 cm yapabilirsiniz. Bu durumda deformasyon:

Deformasyon = 1 cm / 5 cm = 0.20 veya 20%

Deformasyonun birimi yoktur.

Strain - Deformasyon

E.YALÇINKAYA 4

E.YALÇINKAYA 7

Bazı materyaller küçük gerilmelerde çok büyük deformasyonlara uğrarken, bazıları ise büyük gerilmelerde çok küçük deformasyonlar gösterirler

Bu nedenle gerilme ve deformasyon arasındaki ilişki materyalin özelliğiyle (örneğin yoğunluk) ilgilidir

Bu stress-strain ilişkisi, materyalin rheology olarak tanımlanır.

Strain - Deformasyon

E.YALÇINKAYA 8

Elastik Enerji

Elastik bir cisim deforme olduğunda, kendisini deforme eden enerjiyi içinde depolar.

Bir fırsat verildiğinde depoladığı enerjiyi serbest bırakabilir.

Depremler, faylar etrafındaki kayalar içinde depolanan büyük deformasyon enerjilerinin açığa çıkması sonucu oluşur.

E.YALÇINKAYA 5

E.YALÇINKAYA 9

Elastik cisim

Bir kuvvetin etkisi altında deformasyona uğrayan ve kuvvet kaldırıldıktan sonra eski durumuna dönen cisme elastik cisim, böyle bir deformasyona da elastik deformasyon denir.

Lineer elastisite teorisinde deformasyon gerilmenin devamı süresine bağlı değildir ve gerilme ile deformasyon arasında doğrusal bir bağıntı vardır :

E

Gerilme Elastik

Parametre (Young modülü)

Deformasyon

Hooke Kanunu

E.YALÇINKAYA 10

Bir hacim elemanı yüzeyleri üzerinde gerilme dokuz bileşeni

ile tanımlanır :

z

y

x

zz

yz

xz

zx

xxyx

zy

yy

xy

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Gerilme ve Bileşenleri

E.YALÇINKAYA 6

E.YALÇINKAYA 11

Bu sebeple, daha önce tanımladığımız 9

gerilme bileşeninden sadece altısı birbirinden

bağımsızdır.

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

yxxy

zxxz

zyyzDenge durumunda, net moment sıfırdır ;

E.YALÇINKAYA 12

z

y

x

zz

yz

xzzy

yy

xy

zy

yy

xy

zz

yz

xz

Yüzeye dik olan bileşenler :Normal gerilmeler ( xx , yy , zz)

Yüzeye paralel olan bileşenler :Kayma gerilmeleri ( xy , xz , yx , yz , zx , zy)

E.YALÇINKAYA 7

E.YALÇINKAYA 13

z

y

x

zz

xx

yy

z

y

x

zz

xx

yy

Normal gerilmeler pozitif ise; Çekme (tension) gerilmeleri

Normal gerilmeler negatif ise; Basınç (compression) gerilmeleri

E.YALÇINKAYA 14

zzyyxx İzotropik gerilme

zzyyxx Anizotropik gerilme

Gerilmeler negatif ise; hidrostatik basınç hacimsel daralma Gerilmeler pozitif ise; hacimsel genleşme

Şekil değişimi

E.YALÇINKAYA 8

E.YALÇINKAYA 15

Deformasyon (Strain) ve Bileşenleri

Deformasyon ; uygulanan bir gerilme karşılığında cisim içinde meydana gelen şekil veya hacim değişikliğidir.

E.YALÇINKAYA 16

O

O

x

x+u

x

x+ u

L M

L’ M’

O noktasında sabitlenmiş bir elastik

ip x yönünde gerilirse L noktası u

kadar yer değiştirip L’ noktasına; M

noktası ise u+ u kadar yer değiştirip

M’ noktasına gelir.

x yönündeki deformasyon xx

;

xx =

LM uzunluğundaki değişim

orijinal LM uzunluğu

x

u

x

xux

LM

LMMLxx

x → 0 durumunda ;

x

uxx

E.YALÇINKAYA 9

E.YALÇINKAYA 17

u

x

x

uxx

x → 0 durumunda ;

x

uxx

z

w

y

v

zz

yy

E.YALÇINKAYA 18

u

z

w

x

2

1

212

xz

Kayma (shear) deformasyonu;

)(tan 11 açıçılarküçükçokx

w

)(tan 22 açıçılarküçükçokz

u

)(2

1

2

121xzxz

)(2

1

z

u

x

wxz

boyutlar → 0 durumunda ;

E.YALÇINKAYA 10

E.YALÇINKAYA 19

E.YALÇINKAYA 20

y

u

x

v

x

w

z

u

y

w

z

v

z

y

x

Dönme deformasyonları ;

A D

BC

C’

D’

B’

x2

1

x2

1

z

y

E.YALÇINKAYA 11

E.YALÇINKAYA 21

Böylece, bir nokta için

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u,,,,,,,,

gibi dokuz büyüklük bilinirse komşu noktaların

rölatif yerdeğiştirmeleri hesaplanabilir. Strain

katsayıları aşağıdaki gibi tanımlayalım :

E.YALÇINKAYA 22

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

E.YALÇINKAYA 12

E.YALÇINKAYA 23

0x

u

0x

u

Tek eksenli genleşme

Tek eksenli sıkışma

000

000

003

000

000

003

E.YALÇINKAYA 24

Basit kayma

Pure kayma

0y

u

0x

v

y

u

E.YALÇINKAYA 13

E.YALÇINKAYA 25

Dönme

0x

v

y

u

E.YALÇINKAYA 26

Bu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ;

1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (xx

, yy

, zz

)

2. Şekil değişimi (xy

, yx

, xz

, zx

, yz

, zy

)

3. Dönme (x,

y,

z)

E.YALÇINKAYA 14

E.YALÇINKAYA 27

Dilatasyon Dilatasyon; birim hacime tekabül eden hacim artmasıdır;

V

V

V 0lim

z

w

y

v

x

u

zzyyxx

E.YALÇINKAYA 28

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

STRESS STRAIN

E Hooke Kanunu

Orantı sabiti

E.YALÇINKAYA 15

E.YALÇINKAYA 29

Gerilme – Deformasyon Bağıntıları

Elastik cisimlerde gerilme ile deformasyon arasındaki

ilişki Hook Kanunu ile tanımlanır. Hook kanununa

göre deformasyon uygulanan gerilme ile doğru

orantılıdır ;

zyxjiE ijij ,,,,

Buna göre, elastik cismin içinde herhangi bir noktada

gerilmenin bağımsız altı bileşeninden herbiri

strain’nin altı bileşeninin bir fonksiyonudur ;

E.YALÇINKAYA 30

xyzxyzzzyyxxxx cccccc 161514131211

xyzxyzzzyyxxyy cccccc 262524232221

xyzxyzzzyyxxzz cccccc 363534333231

xyzxyzzzyyxxyz cccccc 464544434241

xyzxyzzzyyxxzx cccccc 565554535251

xyzxyzzzyyxxxy cccccc 666564636261

Cmn

katsayılarına malzemenin elastik sabitleri denir.

İzotrop, yani elastik davranışı istikamete bağlı

olmayan bir elastik cisim için bağımsız elastik

sabitlerin sayısı ikiye iner ; , . Lame sabitleri

olarak adlandırılan bu iki bağımsız elastik sabit

kullanılarak gerilme-deformasyon ilişkileri tekrar

yazılırsa;

E.YALÇINKAYA 16

E.YALÇINKAYA 31

xxzzyyxxxx 2)2(

yyzzyyxxyy 2)2(

zzzzyyxxzz 2)2(

yzyz

zxzx

xyxy

Yukarıda verilen ilişkiler ileride sismik dalgaları

tanımlarken kullanılacaktır. Aynı zamanda, sismik

dalga hızlarının elastik sabitlere bağlı olduğunu

göreceğiz. İzotrop bir ortam içinde sismik dalga

hızları yayıldıkları yöne bağımlı değildir.

E.YALÇINKAYA 32

; “rijidite (katılık)” veya “kayma modülü”; elastik

izotrop bir cismin kayma gerilmesine ( ör. xy

) karşı

direnci olarak tanımlanabilir.

Yüksek değerine sahip bir cisim uygulanan kayma

gerilmesine çok küçük bir kayma deformasyonu ile

karşılık verir. Sıfır rijidite değeri kayma

gerilmelerinin oluşmadığı sıvı ortamlara karşılık

gelir.

Yerkabuğu için rijidite değeri yaklaşık ; 3 x 1011

dyne/cm2 dir. Çelik için ise ; 8 x 10

11 dyne/cm

2 dir.

xy

xy

E.YALÇINKAYA 17

E.YALÇINKAYA 33

Diğer bir elastik sabit “sıkışmazlık” veya “bulk

modülü - k” dür.

3

2Pk

Bir cismin hacim değişikliğine karşı direnci olarak

tanımlanabilir. Uygulanan bir basınç altında büyük

k değeri daha küçük bir hacim değişikliğine işaret

eder. Sıvı içinde k= dir.

K G Demir 1.7 x 1011Pa 0.8 Bakır 1.33 0.5 Silikon 0.98 0.7 Kuvars 0.3 0.47 Buz 0.073 0.025

E.YALÇINKAYA 34

“Poisson oranı – v ” bir cisim üzerinde enine daralmanın

boyuna uzamaya oranı olarak tanımlanır.

)(2xx

yyv

0 ile 0.5 arasında değişir. Hiç sıkışmayan ve tam sıkışan

sırasıyla. Sünger çok küçük bir poisson oranına sahip iken

metal bir silindir yüksek poisson oranına sahiptir. Düşük

poisson oranı aynı zamanda malzemenin yüksek oranda

potansiyel enerji depolayabildiğinin göstergesidir. Bazalt=0.25,

Kireçtaşı=0.32 Cam=0.24, Sünger=0.10 ..

E.YALÇINKAYA 18

E.YALÇINKAYA 35

“Young modülü – E ” bir cisim üzerinde boyuna

gerilmenin boyuna deformasyona oranı olarak

tanımlanır. Kabuk kayaları için E ≈ 1011

pascal.

)23(

xx

xxE

Elastik sabitler E, v ve k basit deneylerle kolayca

ölçülebilmeleri nedeniyle mühendislikte sık

kullanılan sabitlerdir. Sismik dalga yayılımı için ise

ve , bazen de k daha yaygındır.

Çoğu sismolojik problem = kabul edilerek

basitleştirilir. Böyle bir cisim Poisson katısı olarak

bilinir ve yerküre için uygun bir yaklaşımdır. Bu

durumda Poisson oranı 0.25 değerine, Young

modülü E = (5/2) , bulk modülü k = (5/3) ‘e eşit

olur.

E.YALÇINKAYA 36

L

L+ L

b b- b

LL

AFE

xx

xx

/

/

F

F

P

V

V- V

VV

Pk

/

AF

xy

xy /

LL

bbv

xx

yy

/

/

E.YALÇINKAYA 19

E.YALÇINKAYA 37

Stress ve strain’e göre elastik davranış;

E

Shear Stress’e göre elastik davranış;

GS

Hacim değişimindeki orantı sabiti ise;

00 /)( VVVK

Uzama deformasyonu

Kayma deformasyonu

Hacimsel deformasyonu

E.YALÇINKAYA 38

3 Boyutlu Dalga Denklemleri

2

2

22

2 ),(1),(

t

txu

x

txu

2/1)/(

)(),( vtxftxu

Bir Boyutlu Dalga

denklemi ve çözümü

E.YALÇINKAYA 20

E.YALÇINKAYA 39

dyy

xy

xy

dxx

xxxx

xx

xy

z

y

x

dz

dy

dx

dydzdydzdxxt

udxdydz

Fma

xxxx

xx )(2

2

dxdzdxdzdyy

xy

xy

xy )(

dxdydxdydzz

xzxz

xz )(

zyxt

u xzxyxx

2

2

zyxt

v yzyyyx

2

2

zyxt

w zzzyzx

2

2

Üç Boyutlu Dalga

denklemleri

E.YALÇINKAYA 40

Bu denklemeler gerilme-deformasyon ve deformasyon-

yerdeğiştirme ilişkileri kullanılarak yerdeğiştirmelere göre

yazılabilir :

uxt

u 2

2

2

)(

vyt

v 2

2

2

)(

wzt

w 2

2

2

)(

Üç Boyutlu Dalga

denklemleri

(yerdeğiştirmelere göre)

2

2

2

2

2

22

zyx

Laplace operatörü

z

w

y

v

x

u

zzyyxx

Dilatasyon

E.YALÇINKAYA 21

E.YALÇINKAYA 41

Bu denklemeler, izotrop, tam elastik bir katı içinde üç

boyutlu hareket denklemlerini temsil ederler. Bu

denklemeler ortam içerisinde iki tür dalga yayılımını

belirlerler. Bunlar gerekli işlemlerden sonra ;

2

2

2 2

t

Bu denklem dilatasyonunun ( +2 / )1/2

hızı ile ortam içerisinde yayıldığını

gösterir ki bu P dalgası yayılma hızıdır. ;

kayma ve rotasyonun (dönme) olmadığı

hacimsel bir deformasyonu tanımlar.

xx

t

2

2

2Bu denklem ortam içerisinde x ekseni

boyunca x rotasyonunun ( / )

1/2 hızı ile

yayıldığını gösterir ki bu S dalgası yayılma

hızıdır. Tanecik hareketi dalga yayılım

yönüne dik bir düzlem içinde sınırlıdır. x

deformasyonunu hatırlayınız.

E.YALÇINKAYA 42

E.YALÇINKAYA 22

E.YALÇINKAYA 43

İki farklı dalga türünün yayılması düzlem dalga hali gözönüne

alınarak basitçe gösterilebilir. Dalganın x yönünde yayıldığını

düşünürsek u, v, ve w yerdeğiştirmeleri ;

2

2

2

2

)2

(x

u

t

u

2

2

2

2

)(x

v

t

v

2

2

2

2

)(x

w

t

w

Görüldüğü gibi x yayılma

doğrultusundaki yerdeğiştirme VP

hızı ile, buna dik yöndeki

yerdeğiştirmeler ise VS hızı ile

yayılırlar.

E.YALÇINKAYA 44

X

Z

Y

P

S

Sıvı içinde = 0 ve k = olduğu için sadece dilatasyon dalgası

(P dalgası) VP = (k/ )

1/2 hızı ile yayılır.

2/1

2P dalgası

2/1

S dalgası

E.YALÇINKAYA 23

E.YALÇINKAYA 45

Üç boyutlu dalga denkleminin çözümü

Üç boyutlu bir ortamda bir O merkezinden küresel yayılan

dalga durumunda (küresel koordinatlarda) denklem çözümü :

)(1

)(1

),( 21 ctrfr

ctrfr

tru

Küresel yayılan dalgalarda görüldüğü gibi dalga genliği r-1 ile

orantılı olarak azalır.

Üç boyutlu bir ortamda düzlemsel yayılan dalga durumunda

denklem çözümü :

)()(),( 21 ctxfctxftxu

E.YALÇINKAYA 46

Bir eksene göre simetrik yayılan, yani silindirik olarak

yayılan dalga durumunda çözüm :

)(1

)(1

),( 22/112/1ctrf

rctrf

rtru

Silindirik dalga için dalga cephesi r ile orantılı genişlerken

dalga genliği r-1/2

ile orantılı olarak azalır.