électrotechniques

Les circuits lectriques en rgime sinusodal triphas

1 Systmes triphass symtriques

1.1 Introduction

Le systme est symtrique si les valeurs efficaces des grandeurs sinusodales sont gales et si le

Par convention, on appelle systme direct un systme dans le diagramme des phaseurs est ordonn dans le sens trigonomtrique ngatif (sens horaire). Dans un systme direct, les

grandeurs passent par un maximum dans lordre de numrotation.

Dans le cas contraire, le systme est dit inverse. On appelle homopolaire un systme dans lequel toutes les grandeurs sont en phase. Pour un systme triphas direct (de tension) dordre 1, on a :

V1 = V

2-j2 pp /3

V3 = Vexp[-j4pp/3] = Ve [1] Le diagramme des phaseurs pour un systme triphas direct est le suivant :

V1

V3

V2

Les formes dondes des tensions instantanes sont reprsentes ci-dessous :

-1

-0,5

0

0,5

1

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

V1 V2 V3

En tout instant, la somme des trois tensions est nulle : V1 + V2 + V3 = V(1 + e

-j2 pp /3 + e-j4 pp /3) = 0 [2]

V = Vexp[-j2pp/3] = Ve -j4pp /3

mme frquence, dphases les unes par rapport aux autres.

dphasage entre deux grandeurs conscutives vaut 2/3

3 3

Un systme triphas est un ensemble de 3 grandeurs (tensions ou courants) sinusodales de


1.2 Dfinitions

Un circuit triphas est quilibr quand la source et la charge sont toutes les deux quilibres. Une source triphase est quilibre lorsque les trois tensions gnres sont de mme amplitude

Une charge triphase est quilibre lorsque toutes les impdances de chacune des trois phases

sont identiques en module et en argument. Il en rsulte que dans un circuit quilibr, les trois courants de ligne sont de mme amplitude et

1.3 Systmes triphass en tension

1.3.1 Dfinitions

Le modle simplifi usuel dune source de tension triphas comprend trois sources

PH2

IN

N

V3

1 2

V2

1 2

PH3

U23

I3

U12

N

I2

V3N

V2N

V1N

U31

V1

1 2I1 PH1

Chaque source correspond une phase. Le point commun aux trois sources est appel le neutre. On appelle ligne lensemble des conducteurs transmettant lnergie. Elle comporte, en triphas,

trois conducteurs de phase complts ventuellement par un conducteur de retour du courant

appel conducteur de neutre. On appelle tensions simples les trois tensions V 1, V 2, V 3, de module V, mesures entre chaque

conventionnellement par V1N, V2N, V3N. On appelle tensions composes les trois tensions mesures entre deux conducteurs de phase :

U13, U21, U32.

monophases connectes en toile, cest dire avec un point commun :

conducteur de phase et le point neutre de la source triphase. On les dnote

et dphases de 2/3 lune par rapport lautre.

dcals de 2/3 lun par rapport aux autres.


1.3.2 Relations entre tensions simples et tensions composes

En application de la loi de Kirchhoff sur les tensions, les relations suivantes entre tensions simples et tensions composes peuvent tre tablies :

12 1 2

23 2 3

31 3 1-j4 pp /3 j5 pp /6

On peut aussi mettre lquation [3] sous la forme :

U12 = V1 - V2 = 3 V1ej pp /6

U23 = V2 - V3 = 3 V2 ej pp /6

U31 = V3 - V1 = 3 V3 ej pp /6 [4]

Les tensions composes forment donc galement un systme triphas symtrique en avance de

6 par rapport aux tensions simples.

Le diagramme des phaseurs est le suivant :

U31

V2

V1

V3 U12

U23

tensions simples : U = 3 V [5]

1.3.3 Intrt du triphas

faudrait trois fois deux conducteurs (aller et retour) avec un rseau monophas, ou deux conducteurs passant le triple du courant. Lconomie sur la section de conducteur est vidente. Un rseau triphas est priori plus conomique quun rseau monophas. De plus un systme triphas permet de crer un champ magntique tournant dans les moteurs

triphass.

1.3.4 Remarque

rsulte que celui des tensions composes est de 415 V. Dans le rseau dalimentation franais, le module des tensions simples est de 240 V. Il en

Un rseau triphas permet dalimenter des rcepteurs laide de trois conducteurs alors quil

Lquation [4] permet dtablir que le module des tensions composes est 3 fois celui des

U = V - V = V(e - 1) = 3 Ve [3]

-j2pp /3 -j4pp /3 -jpp /2 U = V - V = V(e - e ) = 3 Ve

-j2pp /3 jpp /6 U = V - V = V(1 - e ) = 3 Ve


Lorsquon caractrise un rseau triphas par une seule tension, il sagit toujours de la tension compose. On parle ainsi de rseau triphas 415 V.

1.3.5 Couplage dune source triphas Couplage toile

Z

I3V3

1 2

Z

I2N

V2

1 2

V1

1 2

IN

Z

N'

I1

La tension aux bornes de chaque impdance est gale la tension simple.

de la charge. Le circuit tant quilibr, on a : V1 + V2 + V3 = 0 et I1 + I2 + I3 = 0. Puisque les courants ont

une somme nulle, on peut supprimer le conducteur de neutre et raliser une forte conomie ! Couplage triangle

V1

1 2

U23

ZI32

U31

Z

I21Z

V2

1 2

I1

I2

V3

1 2

On voit apparatre deux types de courant : - les courants en ligne I1, I2, I3 - les courants dans le triangle I21, I32, I13

U12

I13 I3

La tension aux bornes de chaque impdance est gale la tension compose.

Lorsque la source triphase est couple en toile, les courants de ligne sont gaux aux courants


Les courants dans le triangle I 21, I 32, I 13 forment un systme quilibr :

I21 = I I32 = Ie-j2 pp /3 I13 = Ie -j4 pp /3 [6] En application de la loi de Kirchhoff sur les courants, les relations suivantes peuvent tre

tablies : I1 = I21 I13 = 3 I21e-j pp /6

I2 = I32 I21 = 3 I32e-j pp /6

I3 = I13 I32 = 3 I13e-j pp /6 [7] Lquation [7] permet dtablir que le module des courants de ligne est 3 fois celui des courants du triangle : Ii = 3 Ii j [8]

2 Charge en toile ou en triangle

2.1 Charge triphase quilibre

(mme module et mme argument) : Z = Ze j jj que lon appelle les 3 phases de lutilisateur. Ces trois impdances peuvent tre connectes en toile ou en triangle.

2.2 Dfinitions Les trois tensions de phase de la charge sont les tensions aux bornes de chaque impdance : Vz1, Vz2, Vz3. Les trois courants de phase de la charge sont les courants traversant chaque impdance : Iz1, Iz2, Iz3. Dans un systme symtrique charge quilibre, les trois tensions aux bornes de chaque

impdance ont mme module ainsi que les trois courants traversant chaque impdance :

z ZVz

2.3 Connexion en toile Dans le montage toile (symbolis par le signe Y), les trois impdances de la charge triphase

tensions simples :

Z

V1

1 2

V3

1 2

Vz2

Iz2

Z

Z

Vz3

I3

N N'

V2

1 2I2

Vz1

Iz3

Une charge (utilisateur) triphase quilibre est caractrise par 3 impdances identiques

I = [9]

ont un point commun N, appel point neutre de la charge, et sont alimentes par les trois

I1 Iz1


Si la charge est quilibre, les tensions aux bornes de chaque impdance se confondent avec les tensions simples de la source dalimentation et possdent le mme module :

V z1 = V 1 ; V z2 = V 2 ; V z3 = V 3 [11] On en dduit les courants traversant chaque impdance :

Iz1 = I1 = ZVz1 =

ZV1 = Z

V e-j jj

Iz2 = I2 = ZVz2 =

ZV2 = Z

V ej(- jj -2 pp /3)

Iz3 = I3 = ZVz3 =

ZV3 = Z

V ej(- jj -4 pp /3) [12]

Dans un montage toile, les courants de ligne se confondent avec les courants de phase de la

charge. Le diagramme des phaseurs est le suivant :

I1 I2

I3

V1

V3

V2

Le courant de retour entre les points neutres de la charge et de la source vaut :

IN = Iz1 + Iz2 + Iz3 = ZV e-j jj [1 + e-j2 pp /3 + e-j4 pp /3] = 0 [13]

Dans le cas dune source symtrique avec charge quilibre, il nest pas ncessaire de relier le point neutre de la charge celui de la source.


2.4 Connexion en triangle

Dans le montage toile (symbolis par le signe D), les trois impdances de la charge triphase sont alimentes par les trois tensions composes de la source triphase et forment un circuit ferm sur lui-mme. La charge en montage triangle na pas de point neutre :

U23

Z

Vz1

Z

N

I3

U31

Iz1V1

1 2

Vz3V3

1 2

Vz2

Z

Iz3

I1

U12V2

1 2

Les tensions aux bornes de chaque impdance se confondent ici avec les tensions composes de la source dalimentation et possdent le mme module : Vz1 = U12 ; Vz2 = U23 ; Vz3 = U31 [14] On en dduit les courants traversant chaque impdance :

Iz1 = ZVz1 =

ZU12 = Z

V3 e-j jj

Iz2 = ZVz2 =

ZU23 = Z

V3 ej(- jj -2 pp /3)

Iz3 = ZVz3 = Z

U31 = ZV3

ej(- jj -4 pp /3)

[15]

Les courants de ligne sont obtenus en appliquant la loi de Kirchhoff sur les courants :

I1 = Iz1 Iz3 = 3 Iz1e-j pp /6

I2 = Iz2 Iz1 = 3 Iz2e-j pp /6

I3 = Iz3 Iz2 = 3 Iz3e-j pp /6 [16]

courants traversant la charge connecte en triangle : I = 3 Iz [17]

2.5 Schma monophas quivalent Lorsquun circuit triphas est quilibr, on cherche ntudier quune phase sachant que ce qui

3 3

monophass. On peut donc considrer un circuit triphas quilibr comme la juxtaposition de 3 circuits

Lquation [16] permet dtablir que le module des courants de ligne est 3 fois celui des

I2 Iz2

se passe dans les deux autres est identique ou prs. 2 4


Charge connecte en toile

Z

V1

1 2I1

Z

V2

1 2

Z

V

12

Z

I3

N'N

V3

1 2

I2

I

tablies : VN VN = V1 Z.I1 VN VN = V2 Z.I2 VN VN = V3 Z.I3 Do 3( VN VN ) =( V1 + V2 + V3 ) Z(I1 + I2 + I3) Puisque V1 + V2 + V3 = 0 et I1 + I2 + I3 = 0, on alors VN = VN. Les points neutres sont donc quipotentiels, on peut alors crire : V1 = Z.I1 V2 = Z.I2 V3 = Z.I3 On peut tudier une phase en nayant pas tenir compte des deux autres laide du schma monophas quivalent. Charge connecte en triangle

U23

I3

Vz1

U12

Iz1I

I1V1

1 2

ZZ/3

Vz3

U31Iz2

V2

1 2

Z

Vz2

Iz3

Z

NI2

V3

1 2

V

12

Les relations [15] et [16] permettent dcrire :

I = 3 Iz = Z3V

=

3ZV

=

ZV

Y

Y 3Z

On peut remplacer limpdance en triangle Z D par limpdance en toile quivalente Z Y.

En application de la loi de Kirchhoff sur les tensions, les relations suivantes peuvent tre

Z = [18]


3 Puissance en rgime triphas

3.1 Puissance absorbe par une charge triphase La puissance absorbe par une charge triphase est la somme des puissances absorbes par chaque phase. Pour la puissance instantane :

1 1 2 2 3 3

Pour la puissance active :

1 1 1 2 2 2 3 3 3 Pour la puissance ractive : Q = V1I1sinjj1 + V2I2sinjj2 + V3I3sinjj3 [21]

3.2 Puissance dans un systme triphas charge quilibre

Dans le cas dune charge quilibre alimente par des tensions formant un systme symtrique, les valeurs instantanes des tensions et des courants dans les phases de la charge sont : v1(t) = V 2 cos wwt

v2(t) = V 2 cos(wwt - 3 )

v3(t) = V 2 cos(wwt - 3)

i1(t) = I 2 cos(wwt - jj)

2

3 3 En remplaant dans [19], il vient :

p(t) = 3VIcos jj + VI[cos(2wwt - jj)

3 3 Or, la somme des fonctions trigonomtriques du terme entre crochets est nulle, on a alors la relation fondamentale suivante : p(t) = P = 3VIcos jj [24] La puissance instantane est constante (pas de composante pulsante) et gale la puissance active. Le triphas a fait donc disparatre la puissance fluctuante, cest l sa proprit fondamentale ! Pour la puissance ractive, on obtient : Q = 3VIsinjj [25]

La puissance apparente totale vaut :

S = 3VI [26]

p(t) = v (t)i (t) + v (t)i (t) + v (t)i (t) [19]

P = V I cosjj + V I cosjj + V I cosjj [20]

2 2

2

2

i (t) = I 2 cos(wwt - jj - )

4

3 i (t) = I 2 cos(wwt - jj - ) [22] 4

+ cos(2wwt - jj - ) + cos(2wwt - jj + )] [23]


3.3 Puissance complexe en triphas

Quels que soient le couplage de la source dalimentation et de la charge, lexpression de la puissance complexe absorbe par une charge triphase est :

1 1*

2 2*

3 3*

Dans le cas dune charge quilibre alimente par des tensions formant un systme symtrique,

les valeurs complexes des tensions et des courants dans les phases de la charge sont : V1 = V

V2 = Ve-j2 pp /3

V3 = Ve-j4 pp /3

I1* = Ie+j jj

I2* = Ie+j(jj + 2pp /3)

I3* = Ie+j(jj + 4pp /3) [28]

En remplaant dans [27], il vient : S = 3VIe +j jj [29] On peut alors exprimer les autres puissances : P = Re{ S } = 3VIcosjj [30] Q = Im{ S } = 3VIsinjj [31]

3.4 Thorme de Boucherot

conservation relve du principe gnral de conservation de lnergie :

P = k

P k [32]

La puissance ractive, condition quil ny ait pas de changement de frquence, se conserve au mme titre que la puissance active : Q =

kQ k [33]

La puissance ractive nest pas une puissance au sens physique du terme, elle na donc aucune raison priori de se conserver, et elle se conserve en fait que sil ny a pas de changement de frquence (elle ne se conserve pas dans le cas dun redresseur par exemple).

Dans un circuit triphas fonctionnant en rgime sinusodal la puissance active se conserve, sa

S = P + jQ = V I + V I + V I [27]


3.5 Mesure des puissances active et ractive en triphas quilibr

3.5.1 Appareil de mesure

tre considr comme un appareil combinant un voltmtre et un ampremtre.

W

I

V

La rsistance entre les bornes du circuit courant est trs faible, tandis que celle entre les bornes

de tension est trs leve.

3.5.2 Mthode de mesure utilisant un seul wattmtre Cette mthode nest valable que pour une charge triphase quilibre. Le schma de montage est le suivant :

V1

1 2

Z

V2

1 2

Z

N N'

*W

I3

I2

ZI1

V3

1 2

V1

Mesure de la puissance active W = Re{ V1I1* } = VIcosj P = 3W = 3VIcosj Un wattmtre unique, aliment par un courant de ligne et la tension simple correspondante,

le conducteur de neutre nexiste pas. Mesure de la puissance active Le montage ci-dessus ne permet pas de mesurer la puissance ractive moins dutiliser une pince multimtrique avec loption varmtre.

mesure donc P/3. Cest la mthode dite du point neutre artificiel , car dans la majorit des cas

Pour mesurer la puissance active dans un circuit, on utilise un wattmtre. Un wattmtre peut


3.5.3 Mthode de mesure utilisant deux wattmtres

Cette mthode nest valable que pour une charge triphase quilibre. Le schma de montage est le suivant :

W1 Z

U23V3

1 2

I1

V2

1 2

Z

*

V1

1 2

N N'

I3

U13

*

I2W2 Z

Mesures

W1 = Re{U13I1*}et W2 = Re{U23I2*}

13 1 3-jp/6

23 2 3-jp/2

I1* = Ie+jj et I2* = Ie+j(j + 2p/3) Donc

W1 = Re{ 3 VIe+j(j - p/6)} = 3 VIcos(j - p/6)

W2 = Re{ 3 VIe+j(j + p/6)} = 3 VIcos(j + p/6) Puissance active P = W1 + W2 = 3VIcosj Puissance ractive

W1 W2 = UIsinj = 3

Q

Q = 3 [W1 W2] = 3VIsinj Argument

tanj = PQ = 3

WWWW

1 2

21+-

U = V - V = 3 Ve et U = V - V = 3 Ve Or

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