Elektricna kola i nasumicnesetnje

Jelena Mrdak

IS Petnica

Prvi problem

p(x) = 12 +

12 ·

12 · p(x)

p(x) = 23

Pojmovi

Potencijal je funkcija v : V (G ) → R+.

v(uzemljenje) = 0

v(izvor) = 1

Napon izmedu dve tacke x i y je razlika

njihovih elektricnih potencijala.

Uxy = v(x)− v(y)

Struja je funkcija i : E (G )+ → R koja

zadovoljava uslov

(x , y) ∈ E (G )+, ixy = −iyx .

Otpor je funkcija R : E (G ) → R+.

Otpor grane x , y ∈ E (G ) je Rxy .

Provodnost grane x , y je reciprocna

vrednost otpora te grane.

Cxy =1

Rxy

Provodnost cvora x je suma provodnosti

grana koje izviru iz njega.

Cx =∑

y∈N(x)

Cxy

Omov zakon. Struja duz grane x , y u

smeru (x , y), ixy , zadovoljava sledece:

ixy =v(x)−v(y)

Rxy

Kirhofov zakon. Zbir struja koje ulaze u

cvor jednak je zbiru struja koje izlaze iz

njega. Ekvivalentno:∑

y∈N(x)

ixy = 0.

i3 + i2 = i1 + i4

Prvi problem

G je uzemljenje. S je izvor sa potencijalnom

razlikom 1v u odnosu na uzemljenje. Otpor

svake grane je 1Ω. Naci v(x) i v(y).

Kirhofov zakon:

0 = ixS + ixy

=v(x)− v(S)

RxS

+v(x)− v(y)

Rxy

= v(x)− v(S) + v(x)− v(y)

v(x) = v(S)+v(y)2

v(y) = v(x)+v(G )2

v(x) = 23, v(y) =

13

Grafovi i elektricna kola

G je tezinski graf i wxy tezina grane x , y.

Nalazimo se u cvoru x . Nasumicno biramo

susedni cvor y ∈ N(x) sa verovatnocomwxy

wxi

pomeramo se u taj cvor, itd.

S i G su dva razlicita cvora grafa G .

p(x) je verovatnoca da nasumicno setajuci iz

cvora x dodjemo u S , a da nijednom nismo

bili u G .

Teorema. p(x) = v(x), ako pretvorimo graf

G u elektricno kolo, gde je:

G uzemljenje,

napon izmedu S i G 1v ,

svaka grana x , y grafa G zamenjena

otpornikom provodnosti wxy .

Dokaz.

• Pocetni uslovi su isti

• p(x) i v(x) su resenja istog sistema

linearnih jednacina S

• S ima jedinstveno resenje• Maksimalna i minimalna vrednost

funkcije p je u granicnim tackama (S i G )• Postoji jedinstveno resenje sistema

• p(x) i v(x) su resenja istog sistema linearnih j-na

0 =∑

y∈N(x)

v(x)−v(y)Rxy

= v(x)·

(

∑

y∈N(x)

1Rxy

)

−∑

y∈N(x)

v(y)Rxy

v(x) ·

(

∑

y∈N(x)

1Rxy

)

=∑

y∈N(x)

v(y)Rxy

v(x)Cx =∑

y∈N(x)

Cxyv(y)

v(x) =∑

y∈N(x)

Cxy

Cxv(y)

p(x) =∑

y∈N(x)

wxy

wxp(y)

• Maksimalna i minimalna vrednost funkcije p je ugranicnim tackama

p(x) je maksimum i x je unutrasnja tacka.

p(x) =∑

y∈N(x)

wxy

wxp(y) ≤

∑

y∈N(x)

wxy

wxp(x) = p(x)

p(x) = p(y)

p je konstantna funkcija.

Ako je p(S) = p(G ), tada jep(S) = p(x1) = · · · = p(xn) = p(G ).

Ako je p(S) 6= p(G ), tada su oni maksimum iminimum.

• Postoji jedinstveno resenje sistema

p(x1) =wx1S

wx1

p(S) +wx1x2

wx1

p(x2) + · · ·+wx1xn

wx1

p(xn) +wx1G

wx1

p(G )

p(x2) =wx2S

wx2

p(S) +wx2x1

wx2

p(x1) + · · ·+wx2xn

wx2

p(xn) +wx2G

wx2

p(G )

p(xn) =wxnS

wxnp(S)+

wxnx1

wxnp(x1)+· · ·+

wxnxn−1

wxn−1

p(xn−1)+wxnG

wxnp(G )

gde je wij = 0 ako ne postoji grana izmedu i i j

1 −wx1x2

xx1· · −

wx1xn

xx1

−wx2x1

xx21 · · −

wx2xn

xx2· · ·· · ·

−wxnx1

xxn−

wxnx2

xxn· · 1

p(x1)

p(x2)··

p(xn)

=

wx1S

wx1

p(S) +wx1G

wx1

p(G )

wx2S

wx2

p(S) +wx2G

wx2

p(G )

··

wxnS

wxnp(S) + wxnG

wxnp(G )

Za p(S) = p(G ) = 0, resenje je 0 vektor i ono jejedinstveno =⇒ matrica sistema je invertibilna.

Zakljucak, za p(S) = 1 i p(G ) = 0 postojijedinstveno resenje.

Efektivni otpor

Reff =v(S)− v(G )

iS=

1

iS

Reff = R1 + R2 + R3

1Reff

= 1R1+ 1

R2+ 1

R3

Verovatnoca da zavrsimo u crnoj rupi

iS =∑

y∈N(S)

(v(S)− v(y)) · CSy

=∑

y∈N(S)

(v(S)− v(y)) ·CSy

CS

· CS

= CS · (v(S)∑

y∈N(S)

CSy

CS

−∑

y∈N(S)

v(y)CSy

CS

)

= CS · (v(S)−∑

y∈N(S)

v(y)CSy

CS

)

= CS · pesc

Setanje po kocki

is =1

Reff= 6

5

pesc =isCs

= 3 = 25

Setanje po n-kocki

Reff =

n−1∑

k=0

1(

nk

)

(n − k)

iS = 1Reff

CS = n

pesc =iSCS

= 1

n·n−1∑

k=0

1(nk)(n−k)

n = 3 : pesc =13·56

= 25

Teorema o promeni otpora

Teorema. Ako se jedan otpornik u kolu

poveca, tada se efektivni otpor kola ne moze

smanjiti. Ako se jedan otpornik smanji, tada

se efektivni otpor ne moze povecati.

Secenjem zica se efektivni otpor povecava, ili

ne menja.

Spajanjem cvorova se efektivni otpor

smanjuje, ili ne menja.

Setnja u Z2

Reff ≥n∑

i=0

18n+4

pesc ≤iSCS

= 1

4·n∑

i=0

18n+4

n→∞−−−→ 0

pesc = 0

Setnja u Z3

Narandzaste tacke su na rastojanjur−1∑

i=0

2i od

koordinatnog pocetka.

r−ta tacka je na rastojanju 2r − 1.

Dve poluprave se ne mogu seci u

narandzastim tackama.

Reff ≤1

3

(

1 +2

3+

(

2

3

)2

+ · · ·+

(

2

3

)r−1)

=1

3·(23)

r − 123 − 1

r→∞−−−→ 1

pesc =iS

CS

=1

CS · Reff

≥1

3

(pesc ∼ 0.63)

Setnja u Zd, d > 2

Reff ≤1

d − 2

pesc =1

CS · Reff≥

d − 2

d

Hvala na paznji.