4 ELEKTRIČNA KOLA NAIZMENIČNE STRUJE

Električna kola naizmenične struje su električna kola u kojima naponi i struje naizmenično menjaju svoj smer i intenzitet.

Naizmenične promene napona i struja možemo opisati pomoću njihovih trenutnih vrednosti.

4.1 NAIZMENIČNE VELIČINE

Najprostija naizmenična promena napona i struja je prostoperiodična promena.

Prostoperiodična promena se opisuje se sinusnim (kosinusnim) funkcijama.

( ) cos cos(2 )m mi t I t I f t

mI - amplituda, ( )m mI i t I

T - perioda ,

1/f T - frekvencija

2 / 2rad

T fs

- kružna učestanost

t rad - faza

U daljem tekstu, veličine koje se prostoperiodično menjaju nazivamo naizmenične veličine.

FAZNO POMERANJE

struja: ( ) cos( )mi t I t

struja fazno pomerena za početnu fazu : ( ) cos( )mi t I t

t - faza

, - početna faza

Fazno prednjačenje:

0 ,

0 0t t ,

Fazno kašnjenje:

0 ,

0 0t t

4.2 SREDNJA I EFEKTIVNA VREDNOST NAIZMENIČNE VELIČINE

SREDNJA VREDNOST

Srednja (jednosmerna) vrednost periodične funkcije:

0

1( )

T

srI i t dtT

Srednja vrednost prostoperiodične veličine:

2 /2 /

00 0

1 1 1( ) cos( ) sin

2 / 2

2sin( ) sin( 0) 0 0 0

2 2

tT

msr m

t

m m

II i t dt I t dt t

T

I I

EFEKTIVNA VREDNOST NAIZMENIČNE VELIČINE

Efektivna vrednost periodične struje je ona vrednost jednosmerne struje ( )I , koja na

otporniku R u toku jedne periode T oslobodi istu količinu toplote kao i naizmenična

struja ( )i t :

jednosmerna struja: 2Q RI T

naizmenična struja: 2

0

( )

T

Q Ri t dt

Efektivna vrednost periodične veličine ( )i t :

2

0

1( )

T

I i t dtT

2 2

0

( )

T

RI T Ri t dt

2 2

0

1( )

T

I i t dtT

2

0

1( )

T

I i t dtT

Efektivna vrednost prostoperiodične veličine:

2 / 2 /22 2 2 2

0 0 0

2 /2 /2 2 2 22 /

000

2 2 2 2 2

1 1 1 cos(2 )( ) cos ( )

2 / 2 2

2 1cos(2 ) sin(2 )

4 4 4 4 2

2sin(2 ) sin( 0) 0 0

2 8 2 8 2

T

mm

ttm m m m

tt

m m m m m

I tI i t dt I t dt dt

T

I I I It t dt t

I I I I I

Veza između amplitude i efektivne vrednosti prostoperiodične veličine iznosi:

2

0.70722

mm m

II I I 2mI I

Trenutna vrednost se može iskazati preo efektivne vrednosti:

( ) 2 cos( )i t I t

Instrumenti koji mere prostoperiodične veličine pokazuju njihove efektivne vrednosti.

2

mII

4.3 ELEMENTI KOLA U PROSTOPERIODIČNOM REŽIMU

idealni naponski generator, otpornik, kalem, kondenzator

4.3.1 IDEALNI NAPONSKI GENERATOR

ems : ( ) 2 cos( )ee t E t

Napon:

( ) ( ) 2 cos( )

( ) 2 cos( )

eu t e t E t

u t U t

U E

e

Trenutna snaga generatora:

( ) ( ) ( )p t u t i t

4.3.2 OTPORNIK

Strujno-naponska karakteristika otpornika:

( ) ( )u t Ri t

Za ( ) 2 cos( )i t I t

( ) 2 cos( ) 2 cos( )u t RI t U t

U RI ,

Fazna razlika napona i struje otpornika:

0 (napon i struja su u fazi)

Impedansa i admitansa otpornika:

/Z U I R , / 1/Y I U R S

Trenutna snaga otpornika:

2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( ) 2 cos ( ) 2 cos ( ) 1 cos(2 2 )

( ) cos(2 2 )

p t u t i t RI t RI t RI t

p t RI RI t

2RI - konstantni član i

2 cos(2 2 )RI t - prostoperiodični član čija je srednja vrednost jednaka nuli.

Srednja (aktivna) snaga otpornika

2

0 0

2

0

0

2 2

1 1( )

1cos(2 2 )

1

T T

R

T

P p t dt RI dtT T

RI t dtT

RI T RIT

2

RP RI

4.3.3 KALEM

Strujno-naponska karakteristika kalema: ( )

( )di t

u t Ldt

Za ( ) 2 cos( )i t I t

( )( ) 2 sin( ) 2 cos( / 2)

2 cos( ) 2 cos( )

LX

L

U

di tu t L LI t L I t

dt

X I t U t

LU X I , LX L - otpornost kalema, / 2

Fazna razlika napona i struje kalema:

/ 2 (napon prednjači struji za / 2 )

Impedansa i admitansa kalema:

/ LZ U I L X , / 1/Y I U L S

Trenutna snaga kalema:

2 2

2 2

2

( ) ( ) ( ) 2sin( )cos( ) sin(2 2 )

sin(2 2 ) sin(2 2( / 2))

sin(2 2 )

p t u t i t LI t t LI t

LI t LI t

LI t

Trenutna snaga ima dvostruko veću učestanost.

Srednja snaga kalema:

2

/2

0sin(2 2 ) 0

/ 2

T

L

LIP t dt

T

0LP

Magnetna energija kalema:

2( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2L

di t d dp t u t i t L i t Li t W t

dt dt dt

21( ) ( )

2LW t Li t

4.3.4 KONDENZATOR

Strujno-naponska karakteristika kondenzatora: ( )

( )C

du ti t C

dt

Za ( ) 2 cos( )u t U t

( )( ) 2 sin( ) 2 cos( / 2)

2 cos( / 2 ) 2 cos( / 2)1 /

2 cos( )

C

C

X

du ti t C CU t CU t

dt

U Ut t

C X

I t

/ CI U X , 1/CX C - otpornost kondenzatora, / 2

Fazna razlika napona i struje kondenzatora:

/ 2 (napon kasni za strujom za / 2 )

Impedansa i admitansa kondenzatora:

/ 1/Z U I C , /Y I U C S

Trenutna snaga kondenzatora:

2

2

( ) ( ) ( ) 2sin( )cos( )

sin(2 2 )

p t u t i t CU t t

CU t

Trenutna snaga ima dvostruko veću učestanost (dvostruko manju periodu).

Srednja snaga kondenzatora:

2

/2

0sin(2 2 ) 0

/ 2

T

C

CUP t dt

T

0CP

Električna energija kondenzatora:

2( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2C

du t d dp t u t i t Cu t Cu t W t

dt dt dt

21( ) ( )

2CW t Cu t

Strujno-naponska karakteri-

stika

Veza između

efektivnih vrednosti napona i

struje

Impedansa

Fazna razlika između

napona i struje

( )

Snaga i energija

Otpornik u Ri U RI R 0

2

RP RI

2

RW RI t

toplotna

Kalem i

u Ldt

LU X I LX L

2

0LP

21( ) ( )

2LW t Li t

magnetna

Kondenzator du

i Cdt

CU X I 1

CXC

2

0CP

21( ) ( )

2CW t Cu t

električna

4.4 ANALIZA KOLA POMOĆU TRENUTNIH VREDNOSTI

Za kola promenljivih struja važe Kirhofovi zakoni.

Primer. Posmatrajmo rednu vezu otpornika i kalema prikazanu na slici.

Poznata je struja 0

( ) 2 cos( 0 )i t I t

, odrediti napon ( )u t

Trenutne vrednoste napona:

( ) ( ) 2 cosRu t Ri t RI t ,

( ) 2 sinL

diu t L LI t

dt

( ) ( ) ( ) cos si2 2 nR R Ru t u t I LIu t t t

Opšti oblik trenutnog napona ( )u t :

2 cos( ) 2 cos( ) cos si2 sin nu t U UU t t t

cosRI U , sinLI U

Efektivna vrednost napona:

2cos , sin /RI U LI U 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ( ) )U RI LI R L I

2 2( )U I R L

Impedansa redne veze R i L

2 2( )U

Z R LI

Fazna razlika napona u i struje i :

sin sin

tan ,cos cos

U U L

U U R

tan

L

R

0

arctanL

R

Konačni izraz za napon:

2 2( ) 2 ( ) cos( arctan )L

u t I R L tR

Zaključak: Analiza čak i prostijih kola naizmenične struje je komplikovana.

4.5 ANALIZA KOLA POMOĆU FAZORA

Nepokretni vektor A :

f.o. - fazna osa

cosa A - projekcija A na faznu osu

Obrtni vektor A rotira u pozitivnom matematičkom

smeru konstantnom brzinom i sa početnom fazom 0

Naziva se obrtni fazor i obeležava se sa A .

Projekcija obrtnog fazora na faznu osu predstavlja trenutnu vrednost prostoperiodične veličine:

0 0cos( ) 2 cos( )mA t A t

Položaj fazora u proizvoljnom trenutku vremena je

jednoznačno određen položajem fazora u trenutku 0t .

Oznaka fazora: 0( )A A

( )U U , ( )I I

f. o.

f. o.

f. o.

nepokretni vektor

obrtni vektor

obrtni fazor

4.5.1 FAZORSKI DIJAGRAMI OTPORNIKA, KALEMA I KONDENZATORA

,U I Impeda-nsa

Fazori Oznake

OTPORNIK: u Ri

U RI R 0

zelena boja:

f.o.

plava boja:

I I

crvena boja:

U U

KALEM:

iu L

dt LU X I

LX L 2

KONDENZA-TOR:

dui C

dt

CU X U

1CX

C

2

f.o.

f.o.

f.o.

4.5.2 REDNA VEZA OTPORNIKA, KALEMA I KONDENZATORA

Neka je ( ) 2 cos( ), 0i t I t , 0 0 , ( ) 2 cos( )u t U t

R L CU U U U

2 2( )R L CU U U U , arctan L C

R

U U

U

, 2 2( 1/ )Z R L C

1

arctan arctanL C

LX X C

R R

, cosR Z , sinL CX X Z

f.o.

f.o.

Redna rezonansa, 1/L C

2 2( 1/ )Z R L C R

0L L C L C

IU X I LI U U U U RI

C

1

arctan 0

LC

R

1/L C 1

rLC

rezonantna učestanost

Pretežno induktivno kolo, 1/L C

L CU U , 1/ 1/ rL C LC , 0

Pretežno kapacitivno kolo, 1/L C

L CU U , 1/ 1/ rL C LC , 0

4.5.3 PARALELNA VEZA OTPORNIKA, KALEMA I KONDENZATORA

Neka je ( ) 2 cos( ), 0u t U t , 0 0 , ( ) 2 cos( )i t I t

R L CI I I I

2 2( )R C LI I I I , arctan arctanC L L C

R R

I I I I

I I

2 21/ 1/ ( 1/ )Z R C L , 1/ 1/ 1/

arctan arctan1/ 1/

C LX X L C

R R

f.o

.

f.o.

Paralelna rezonansa (antirezonansa), 1/L C

2 21/ 1/ ( 1/ ) 1/Z R C L R

/L CI I I U R

1/

arctan 01/

L C

R

1/L C 1

rLC

(antirezonantna učestanost)

Pretežno kapacitivno kolo, 1/L C

C LI I , 1/ 1/ rL C LC , 0

Pretežno induktivno kolo, 1/L C

C LI I , 1/ 1/ rL C LC , 0

4.6 ANALIZA KOLA POMOĆU KOMPLEKSNIH BROJEVA

4.6.1 KOMPLEKSNI BROJEVI

Algebarski oblik kompleksnog broja

z a jb

Realni i imaginarni deo kompleksnog broja

Rea z i Imb z

Modul i argument kompleksnog broja

2 2z z a b

arg arctanb

za

Trigonometrijski oblik

(cos sin )z z j

Eksponencijalni oblik

jz ze

4.6.2 PREDSTAVLJANJE FAZORA KOMPLEKSNIM BROJEM

Svaki fazor se može predstaviti jednim kompleksnim brojem.

Fazori Kompleksni brojevi

4.6.3 KOMPLEKSNI PREDSTAVNICI PROSTOPERIODIČNIH VELIČINA

Trenutna vrednost napona i struje

( ) 2 cos( )u t U t , ( ) 2 cos( )i t I t

Kompleksni napon i struja jU Ue jI Ie

f.o.

4.6.4 ANALIZA KOLA U KOMPLEKSNOM DOMENU

I i II Kirhofov zakon za trenutne vrednosti struja i napona:

( ) 0j

j

i t u jednom čvoru,

( ) 0k

k

u t duž zatvorene putanje

I i II Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku:

0j

j

I u jednom čvoru,

0k

k

U duž zatvorene putanje

gde su jI kompleksna struja u j-toj grani, a kU kompleksni napon k-te grane u kolu.

Primer. 1 2 3( ) ( ) ( ) 0i t i t i t 1 2 3 0I I I

1 2 3( ) ( ) ( ) 0u t u t u t 1 2 3 0U U U

4.6.5 KOMPLEKSNI NAPON I STRUJA, KOMPLEKSNA IMPEDANSA

Kompleksni napon i struja

jU Ue - kompleksni napon

U - efektivna vrednost napona, - fazni pomeraj napona

jI Ie - kompleksna struja

I - efektivna vrednost struje, - fazni pomeraj struje

Kompleksna impedansa

( )j

j j

j

U Ue UZ e Ze

I Ie I

Realni i imaginarni deo impedanse

cos sin cos sinj

R X

Z Ze Z j Z j Z R jX

Aktivna i reaktivna otpornost

cosR Z - aktivna otpornost, sinX Z - reaktivna otpornost

/Z U I - moduo kompleksne impedanse

- argument kompleksne impedanse

Otpornik: 0e jZ R R , U RI

Kalem: /2 /2e ej j

LZ X L L j j L , U j L I

Kondenzator: /2 /21 1 1 1e e ( )j j

CZ X j jC C C j C

, 1

U Ij C

Veza između kompleksnih

napona i struje

Kompleksna Impedansa

Z

Eksponencijalni oblik kompleksne

impedanse

Z

Kompleksna admitansa

1Y

Z

Otpornik U RI R R 1

R

Kalem U j L I

j L 2

j

Le

1 1

jj L L

Kondenzator 1

I j CU

U Ij C

1 1

jj C C

21 j

eC

j C

4.6.6 KOMPLEKSNA, AKTIVNA, REAKTIVNA I PRIVIDNA SNAGA PRIJEMNIKA

Kompleksna snaga prijemnika

*S UI - kompleksna saga

( )

*

cos sin cos sin

j

j j j

S

P Q

S UI Ue Ie UI e Se

S j S j S

P jQ

S P jQ

S UI - prividna snaga

2 2S S P Q

Aktivna snaga prijemnika

cos cosP UI S

Reaktivna snaga prijemnika

sin sinQ UI S

Ostali izrazi za kompleksnu snagu

* 2*

*

U US UI U

Z Z

2

*

US

Z

* * 2S UI Z I I ZI ,

2S ZI

4.6.7 FAKTOR SNAGE PRIJEMNIKA

Faktor snage prijemnika

coscos

P Sk

S S

cosk

0 1k

1k - za čisto otporničke prijemnike

0k - za čisto reaktivne prijemnike (kalem i kondenzator)

0 1k - veza otpornika sa kalemovima i/ili kondenzatorima

4.6.8 REDNA, PARALELNA I MEŠOVITA VEZA ELEMENATA KOLA

1 2e nZ Z Z Z

1 2

1 1 1 1

e nZ Z Z Z

4.7 REŠAVANJE SLOŽENIH KOLA U KOMPLEKSNOM DOMENU

4.7.1 KIRHOFOVI ZAKONI

0j

j

I , 0k

k

U

4.7.2 ODREĐIVANJE NAPONA IZMEĐU DVE TAČKE

Kao i kod kola stalnih struja, napon između tačaka 1 i 2 može se odrediti po formuli:

1

12

2

,U E Z I

4.7.3 METOD KONTURNIH STRUJA

11 1 12 2 1 1

12 1 22 2 2 2

1 1 2 2

k k

k k

k k k k k k

k k n kn k

k k n kn k

n k n k n n kn kn

Z I Z I Z I E

Z I Z I Z I E

Z I Z I Z I E

4.8 TROFAZNA ELEKTRIČNA KOLA

4.8.1 JEDNOFAZNI I VIŠEFAZNI ELEMENTI

Jednofazni (monofazni) elementi (generatori, prijemnici)

imaju po dva priključka međusobno se povezuju dvožičnim vodovima

Višefazni (polifazni) elementi (generatori, prijemnici)

imaju više od dva priključka sastavljani od više jednofaznih elemenata

U praksi se koriste trofazni simetrični sistemi sa 3 simetrično raspodeljene faze.

polifazni generator polifazni prijemnik

4.8.2 SIMETRIČAN TROFAZNI SISTEM

4.8.2.1 Simetrični trofazni generator

Dobija se vezivanjem tri kalema, koji se nazivaju faze, pod sledećim uslovima:

- kalemi su simetrično raspoređeni u prostoru,

- efektivne vrednosti napona kalemi su jednake,

- fazne razlike dve uzastopne ems su jednake i iznose 02 3 120rad .

Trenutne vrednosti napona na krajevima faza iznose:

1 1( ) 2 cos( )e t E t , često se usvaja 1 0

2 1( ) 2 sin( 2 3)e t E t

3 1( ) 2 sin( 2 3)e t E t

odakle sledi:

1 2 3( ) ( ) ( ) 0e t e t e t

Prethodni sistem ems naziva se simetrični direktni sistem ili kraće simetrični sistem.

stalni

magnet

kalemovi

Kompleksne vrednosti napona faza:

11

jE Ee

, često se usvaja 1 0

1( 2 /3) 2 /3

2 1

j jE Ee E e

1( 2 /3) 2 /3

3 2

j jE Ee E e

odakle sledi:

1 2 3 0E E E

Načini vezivanja faza generatora:

- trougao i

- zvezda.

Jednostavnosti radi, u narednom delu razmatramo idealne trofazne generatore (bez

unutrašnjih impedansi, 0gZ ).

Idealni trofazni generator vezan u trougao

Fazni naponi:

1

1 1

j

f f fU E U e U

, usvaja se 1 0 2 /3

2 2

j

f fU E U e 2 /3

3 3

j

f fU E U e

fU - efektivna vrednost faznog napona

Linijski (međufazni) naponi:

1AB fU U U 2 /3 2 /3

2

j j

BC f ABU U Ue U e 2 /3 2 /3

3

j j

CA f ABU U Ue U e

U - efektivna vrednost linijskog napona

II kirhofov zakon za trougao:

A

B

C

+

+

+

Veza između efektivnih

vrednosti linijskih i faznih

napona

fU U

2 /3 2 /31

0 0

j j

AB BC CA AB

AB

U U U U e e

U

Idealni trofazni generator vezan u zvezdu

Fazni naponi: 1

1

j

A f fU E U e U

, usvaja se 1 0 2 /3 2 /3

2

j j

B f AU E U e U e 2 /3 2 /3

3

j j

C f AU E U e U e

fU - efektivna vrednost faznog napona

Linijski (međufazni) naponi

2 /3 2 /3 /6

/6 /6

1 3

3

j j j

AB A B A A A f

j j

f

U U U U U e U e U e

U Ue e

2 /3 2 /3 /2 /2 /233j j

f

j j j

BC B C A A AU U U U e U e U e e UeU

2 /3 5 /6 5 /6 5 /63 3j j j j

CA C A A A fAU U U U e U U e e eU U

U - efektivna vrednost linijskih napona: 3fU U

+

+ +

0

A

B

C

N

Fazorski dijagram napona

/6

/2

5 /6

3

3

3

j

AB

j

BC

j

C

f

A

f

f

U e

U e

U e

U

U

U

Efektivne vrednosti linijskih i faznih napona u elektroenergetskom sistemu

Niskonaponska gradska mreža:

linijski napon je 400 U V

fazni napon je 230 fU V

Napomena. Učestanost u elektroenergetskim sistemima:

kod nas i u svim evropskim zemljama 50 f Hz

u nekim drugim zemljama (na primer, SAD) je 60 f Hz

4.8.2.2 Simetrični trofazni prijemnik

1 2 3pj

p p p p PZ Z Z Z Z e

,

pZ impedansa, p - faza prijemnika

Veza prijemnika u zvezdu

Linijske struje su jednake faznim strujama

1p

p

jf fAp A j

p pP

U UUI I e

Z ZZ e

2 /3

( 2 /3 ) 2 /3

2 1p

p

jjf f jB

p B pj

p pP

U e UUI I e I e

Z ZZ e

2 /3

(2 /3 ) 2 /3

3 1p

p

jjf f jC

p C pj

p pP

U e UUI I e I e

Z ZZ e

Efektivne vrednosti faznih struja prijemnika: /p f pI I U Z

A

B

C

N

0

+

+

+

0j

A f fU U e U 2 /3j

B fU U e 2 /3j

C fU U e

Fazorski dijagram

Struja neutralnog provodnika:

2 /3 2 /3

2 /3 2 /31 0 0

N A B C

j j

A A A

j j

A A

I I I I

I I e I e

I e e I

Neutralni provodnik se može izostaviti!

U praksi, sistem nikada nije potpuno uravnotežen,

u neutralnom provodniku postoji struja, ali je ona obično znatno manja od struja u fazama voda

Veza prijemnika u trougao

pj

P PZ Z e

Fazne struje:

1p pj jAB

p f

p p p

U U UI e I e

Z Z Z

2 /3(2 /3 ) (2 /3 ) 2 /3

2 1p p

p

jj j jBC

p f pj

p pP

U Ue UI e I e I e

Z ZZ e

1

1

( 2 /3)(2 /3 ) ( 2 /3) 2 /3

3 1p

p

jj j jCA

p f pj

p pP

U Ue UI e I e I e

Z ZZ e

/f pI U Z - efektivna vrednost fazne struje

U - efektivna vrednost linijskog napona

A

B

C +

+

+

0j

ABU Ue 2 /3j

BCU Ue 2 /3j

CAU Ue

Linijske struje:

( /6 )2 /3 2 /3 /6

1 3 1 1 1 11 3 3 pjj j j

A p p p p p p fI I I I I e I e I e I e

( 5 /6 )2 /3 2 /3 5 /6

2 1 1 1 1 11 3 3 pjj j j

B p p p p p p fI I I I e I I e I e I e

2 /3 2 /3 2 /3 2 /3 3 /2

3 2 1 1 1 1

( 3 /2 )

3

3 p

j j j j j

C p p p p p p

j

f

I I I I e I e I e e I e

I e

3 3 /f pI I U Z - efektivne vrednosti linijskih struja

U - efektivna vrednost linijskog napona

Kod prijemnika vezanog u trougao, efektivna vrednost linijskih struja je 3

puta veća od efektivne vrednosti faznih struja.

4.8.2.3 Vezivanje trofaznih elemenata

Trofazno kolo čine bar jedan trofazni generator, trofazni vod i trofazni prijemnik.

U kolu mogu biti vezani i monofazni elementi.

A

B

C

N

4.8.2.4 Snage simetričnih trofaznih prijemnika

Snaga prijemnika vezanog u zvezdu

Kompleksna snaga trofaznog prijemnika je:

2 2 2 2 2

* * *3 3 3

3 3

p p

p

p p

j jf f f f f f

fj

p p p p pp

j j

f

U U U U U US e U e

Z Z Z Z ZZ e

U Ie UIe

3 3 cos( ) sin( )

3 cos( ) 3 sin( )

pj

p p

p p

S UIe UI j

UI j UI

P j Q

Aktivna snaga trofaznog prijemnika:

3 cos( ) 3 cos( )f p pP U I UI

A

B

C

N

0

+

+

+

Rekativna snaga trofaznog prijemnika:

3 sin( ) 3 sin( )f p pQ U I UI

Prividna snaga trofaznog prijemnika:

3 3 3pj

fS S UIe UI U I

3 fS U I

Može se pokazati da trenutna snaga ovog prijemnika iznosi:

1 2 3

1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

3 cos( ) 3 cos( )

p p p p p p

p f p

p t p t p t p t

u i u i u i

UI U I

Ukupna trenutna vrednost snage trofaznog simetričnog prijemnika je konstantna i nezavisna od vremena.

Ona je jednaka aktivnoj snazi: ( )p t P

Snaga prijemnika vezanog u trougao

Kompleksna snaga:

2 2 2 2 2

* * *3 3 3

3 3

p p

p

p p

j j

j

p p p p pp

j j

f

U U U U U US e U e

Z Z Z Z ZZ e

UI e UIe

3 3 cos( ) sin( ) 3 cos( ) 3 sin( )pj

p p p pS UIe UI j UI j UI

Aktivna, reaktivna i prividna snaga iznose:

Re 3 cos( ) 3 cos( )p f pP S UI UI

Im 3 sin( ) 3 sin( )p f pQ S UI UI

3 3fS S UI UI

Dobijaju se isti izrazi za snage kao i kod prijemnika vezanog u zvezdu. Međutim to ne znači sa su snage prijemnika vezanog u zvezdu i trougao jednake.

Odnos snaga prijemnika vezanog u trougao i zvezdu

2

2

2

3 cos( )

3

3 cos( )

p

p

f f

p

p

U

ZP U

UP U

Z

2

2

2

3 sin( )

3

3 sin( )

p

p

f f

p

p

U

ZQ U

UQ U

Z

2

2

2

3

3

3

p

f f

p

U

ZS U

US U

Z

Aktivna, reaktivna i prividna

snaga tri puta je veća u

slučaju prijemnika vezanog

u trougao u odnosu na

prijemnik vezan u zvezdu.

4.8.3 TROFAZNI NESIMETRIČNI PRIJEMNIK VEZAN U ZVAZDU

U slučaju nesimetričnog prijemnika vezanog u zvezdu, koji je priključen na

simetrični trofazni sistem imamo:

1 2 3p p pZ Z Z

11 1 1 1

j

p pZ R jX Z e , 2

2 2 2 2

j

p pZ R jX Z e , 3

3 3 3 3

j

p pZ R jX Z e

Jačine struja u fazama prijemnika

1

1

1

1

1 1

j

f f

p j

p p

U U eI

Z Z e

1

2

( 2 /3)

2

2

2 2

j

f f

p j

p p

U U eI

Z Z e

1

3

( 2 /3)

3

3

3 3

j

f f

p j

p p

U U eI

Z Z e

, 1 2 3 0N p p pI I I I

Uobičajeno je da se početna

faza prvog faznog napona

usvaja za nulu:

1 0

Snage nesimetričnog trofaznog prijemnika:

1 2 3

1 2 3

2 2 2 2 2 2

* * *

1 2 3 1 2 3

2

1 2 3

1 1 1

p p p

p p p

f f f f f f

j j j

p p p p p p

j j j

f

p p p

U U U U U US

Z Z Z Z e Z e Z e

U e e eZ Z Z

S S

ReP S

ImQ S