elektrodynamika in 1 tydzień i,...

Elektrodynamika INsemestr zimowy 2019-20

Krzysztof Byczuk

Instytut Fizyki Teoretycznej, Wydział Fizyki, [email protected]

www.fuw.edu.pl/ byczuk28-01-2020

Ćwiczenia:prof. dr hab. Jerzy Kamińskidr hab. Katarzyna Krajewska

Pokazy:mgr Magdalena Grzeszczykmgr Jakub Kierdaszuk

Warunki zaliczenia• Zaliczenie normalne

1. Dwie kartkówki z zadań domowych (w ty-godniach 4-10 listopada 2019, 13-19 stycznia2020), 15p. każda - razem 30p.

2. Obecność (lista obecności) i aktywność naćwiczeniach - 5p.

3. Obecność (lista obecności) na wykładzie - 5p.

4. Kolokwium (18 listopada 2019, g. 9-13, salaB2.38Biof) - 30p.

5. Kolokwium (16 grudnia 2019, 9-13, salaB2.38Biof) - 30p.

6. Egzamin pisemny (3 luty 2019, 9-13, 1.01) -30p.

7. Egzamin ustny (sala 5.12), możliwość po-prawy oceny w pierwszym terminie

• Zaliczenie poprawkowe

1. Egzamin pisemny poprawkowy (17 luty 2019,9-13, 1.02)

2. Egzamin ustny poprawkowy (sala 5.12), moż-liwość poprawy oceny w drugim terminie

Wypadkowa ocena na podstawie zebranej liczbypunktów w każdym ze sposobów zaliczania po unor-mowaniu do 100 :

5+ za 99-100p.,5 za 90-98p.,4+ za 81-89p.,4 za 72-80p.,3+ za 62-71.,3 za 50-61p.,2 za 0-49p.

Uwaga: punkty z zaliczenia normalnego i poprawko-wego nie sumują się.

1 Tydzień I, 30/09-06/10/2019

1.1 WykładDzień rektorski, nie ma zajęć.

1.2 Pokazy

1.3 Zadania na ćwiczenia1. Wektory, składowe wektora, baza (wersory) karte-

zjańska, sferyczna i walcowa, iloczyny: skalarny,wektorowy, mieszany - przypomnienie podstawo-wych wiadomości o rzeczywistych wektorach wprzestrzeni trójwymiarowej, różne układy ortogo-nalne (kartezjański, sferyczny i walcowy), zamianaskładowych pomiędzy różnymi układami ortogo-nalnymi (na przykładach), geometryczna inter-pretacja różnych iloczynów pomiędzy wektorami,orientacja układu współrzędnych i reguła prawejdłoni. Elementarne przykłady liczbowe.

2. Pokazać, że ~A× ( ~B × ~C) = ~B( ~A · ~C)− ~C( ~A · ~B).

3. Gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan - przy-pomnienie definicji podstawowych operacji róż-niczkowania funkcji skalarnej i funkcji wektoro-wej (pól skalarnych i wektorowych). Pokazać różneoznaczenia. (Znaczenie tych operacji będziemyomawiać później na wykładzie i ćwiczeniach w ra-mach przykładów fizycznych). Elementarne przy-kłady na prostych polach skalarnych i wektoro-wych.

4. Pokazać, że

• ~∇(fg) = g~∇f + f ~∇g,• ~∇f(g) = df(g)

dg~∇g,

5. Pokazać, że

• ~∇× (f ~F ) = ~∇f × ~F + f ~∇× ~F ,

• ~∇ · (f ~F ) = (~∇f) · ~F + f ~∇ · ~F ,• ~∇ × (~∇U) = ~0 dla U dwukrotnie różniczko-

walnej w sposób ciągły,• ~∇ · (~∇× ~F ) = 0 dla ~F dwukrotnie różniczko-

walnego w sposób ciągły,• ~∇ · (~∇f) = 4f ,• ~∇× (~∇× ~F ) = ~∇(~∇ · ~F )−4~F .

6. Zapisać we współrzędnych walcowych i sferycz-nych

• gradient,• dywergencję,• rotację,• laplasjan.

oraz obliczyć:

• dywergencję pola ~v(r) = (r cos θ)~er +(r sin θ)~eθ + (r sin θ cos θ)~ez,

• gradient i laplasjan funkcji f(~r) = r(cos θ +sin θ sinφ).

1

1.4 Zadania domowe1. Pokazać, że ~A·( ~B× ~C) = ~B ·(~C× ~A) = ~C ·( ~A× ~B).

2. Pokazać, że ~∇(fg

)= g~∇f−f ~∇g

g2 oraz ∂f∂~n = (~∇f)·~n,

gdzie ~n jest wersorem.

3. Pokazać, że ~∇(~F × ~G) = ~G · (~∇× ~F )− ~F · (~∇× ~G).

4. Pokazać, że ~∇( ~A · ~B) = ~A× (~∇× ~B) + ~B × (~∇×~A) + ( ~A · ~∇) ~B + ( ~B · ~∇) ~A.

5. Pokazać, że ~∇× ( ~A× ~B) = ( ~B · ~∇) ~A− ( ~A · ~∇) ~B+~A(~∇ · ~B)− ~B(~∇ · ~A).

6. Obliczyć rotację pola ~v(r) = (r cos θ)~er +(r sin θ)~eθ + (r sin θ cos θ)~ez.

7. Obliczyć dywergencję i rotację pola ~v(~r) = ρ(2 +sin2 φ)~eφ + ρ sinφ cosφ~eφ + 3z~ez.

8. Obliczyć gradient i laplasjan funkcji f(~r) =ρ(sinφ+ cosφ) + ρz.

9. (Nieobowiązkowe, tylko dla chętnych) Wyprowa-dzić we współrzędnych sferycznych i walcowychwzory na

• gradient,

• dywergencję,

• rotację,

• laplasjan.

2 Tydzień II, 7-13/10/2019

2.1 WykładI. Pole ładunków

&1. Ładunek elektryczny - rodzaje ładunkówelektrycznych, sposoby ładowania ciał, przepływładunku przy ładowaniu, jednostka ładunku Co-ulomb [1C = 1A · 1s] w układzie SI, ładunekelementarny jako stała fizyczna (układ SI - maj2019) e = 1, 6021766208 · 10−19C, stała AvogadraNA = 6, 022140857 · 1023, prawo Faraday’a dla elek-trolizy, stała Faraday’a, zasada zachowania ładunku,gęstość ładunku ρ(~r) - pole skalarne, jednostka C/m3,gęstość powierzchniowa i gęstość liniowa, gęstośćładunku protonu oraz zjonizowanego gazu (plazmy).

&2. Pole elektryczne - ładunki jednoimienne sięodpychają, ładunki różnoimienne się przyciągają,oddziaływanie na odległość, pojęcie pola elektrycz-nego ~F (~r) = q ~E(~r), natężenie pola elektrycznego~E(~r), jednostka natężenia pola ~E [N/m], kieruneklinii sił pola elektrycznego wyznaczony przez siłędziałającą na ładunki dodatnie, prawo Coulombadla ładunku punktowego ~F = k(q1q2/r

2)(~r/r), stądnatężenie pola ~E = kq/r2(~r/r), stała k = 1/4πε0,ε0 = 8.854187817... · 10−12 C2/Nm2 przenikalnośćdielektryczna próżni, k ≈ 9 · 109Nm2/C2.

2.2 Pokazy

2.3 Zadania na ćwiczenia

1. Całki krzywoliniowe niezorientowane: Wyznaczyć∫Γ

z2

x2 + y2 dl,

gdzie Γ jest jednym zwojem linii śrubowej x =r cos t, y = r sin t, z = rt, i t ∈ [0, 2π].

2. Obliczyć siłę, z jaką jednorodna obręcz o masieMi promieniu R przyciąga masę punktową m poło-żoną w odległości d nad jej środkiem.

3. Całki krzywoliniowe zorientowane: Obliczyć całkę∮Γ

~F · d~l,

gdzie

• ~F = (y2,−x2) oraz Γ jest okręgiem (x−1)2 +(y − 1)2 = 1 zorientowanym dodatnio.

• ~F = (y2 − xy, x) oraz Γ jest łukiem y =√x,

0 ¬ x ¬ 1.

4. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego ~F =(y,−x) po łuku Γ będącym brzegiem obszarux2/3 + y2/3 ¬ a2/3, x ¬ 0 i y ¬ 0.

5. Całki krzywoliniowe zorientowane z pól potencjal-nych: Obliczyć ∫ B

A

~F · d~l,

gdzie ~F = (y sin z, x sin z, xy cos z) oraz punktyA = (1, 1, π/2) i B = (2, 2, 3π/2).

6. Obliczyć pracę w polu siły

~F = F0~r

r2

przy przemieszczaniu ciała pomiędzy punktamiA = (1, 1, 1) i B = (2, 4, 8). Na podstawie ana-lizy wymiarowej uzgodnić właściwe jednostki abyzadanie miało sens fizyczny.

7. Całki powierzchniowe niezorientowane: Obliczyć∫∫Σ

(x2 + y2 + z2)dS,

gdzie Σ jest powierzchnią boczną walca x2 + y2 =R2 i 0 ¬ z ¬ H.

8. Całki powierzchniowe zorientowane: Obliczyć∫∫Σ~F · d~S, gdzie ~F = (x, y, z) i Σ jest wewnętrzną

stroną półsfery x2 + y2 = R2, z ¬ 0.

9. Twierdzenie Gaussa: Obliczyć strumień pola ~F =(1 − 2x, 2y, 2z) przez powierzchnię stożka z =√x2 + y2 i płaszczyzny z = 4.

2

2.4 Zadania domowe

1. Niech ~R oznacza różnicę wektorów położeń międzyustalonym punktem (x′, y′, z′) a punktem (x, y, z),natomiast R oznacza długość wektora ~R. Znaleźć:

• ~∇R,• ~∇(1/R),

• ~∇Rn, dla dowolnego n całkowitego.

2. Pokazać bezpośrednim rachunkiem prawdziwośćtwierdzenia Gaussa o dywergencji dla pola wekto-rowego ~V = (xy)~ex + (2yz)~ey + (3zx)~ez i obszarucałkowania w postaci sześcianu o bokach długo-ści równych 2, którego jeden z wierzchołków leżyw punkcie (0, 0, 0) kartezjańskiego układu współ-rzędnych, a współrzędne pozostałych wierzchoł-ków są liczbami nieujemnymi.

3. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenieGaussa o dywergencji dla pola wektorowego ~V =r2 cos θ~er + r2 cosφ~eθ − r2 cos θ sinφ~eφ i bryły wkształcie 1/8 kuli o promieniu R i środku w po-czątku układu współrzędnych.

4. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenieStokesa o rotacji dla pola wektorowego ~V = y~ez ipowierzchni w kształcie trójkąta o wierzchołkachw punktach (a, 0, 0), (0, 2a, 0) i (0, 0, a) kartezjań-skiego układu współrzędnych.

3 Tydzień III, 14-20/10/2019

3.1 Wykład

Dodatek: Elementy analizy pola - definicja pola, polaskalarne i wektorowe, przykłady, graficzne przedstawie-nie pola, izolinie, ekwipowierzchnie, linie pola wekto-rowego, zmiana pola skalarnego i definicja gradientu,symbol ∇ - nabla, interpretacja i kierunek gradientu,zmiana pola wektorowego, gradient pola wektorowego,dywergencja pola wektorowego jako ślad gradientupola wektorowego, definicja i interpretacja hydrodyna-miczna strumienia pola wektorowego Φ =

∮Σ ~v(~r) · d~S,

źródła i spływy (dreny) pola wektorowego, przykładstrumienia z polem 1/r2, dywergencja jako lokalnystrumień pola przez nieskończenie małą powierzchnię,twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego dla dywergencji∮

Σ~V (~r) · d~S =

∫V~∇ · ~v(~r), cdn.

3.2 Pokazy

E-11 Oddziaływania wzajemne ładunków, ładowanieprzez dotyk, tarcie i indukcję. E-2 Demonstracja ist-nienia różnych ładunków. E-3 Demonstracja zasady za-chowania ładunku. E-5 Przewodniki i dielektryki.

E-6-8 Pokaz lini sił pola elektrostatycznego: 1. po-między naładowanymi płytkami w płynnym dielek-tryku (rozdrobniony ryż na oleju rycynowym), 2. po-między naładowanymi kulami w powietrzu, 3. pomię-

1Symbole odnoszą się do proponowanych pokazów z książkiT. Dryński, Doświadczenia pokazowe z fizyki.

dzy naładowanymi tarczami w powietrzu, 4. wokół na-ładowanej dużej kuli w powietrzu, 5. wokół naładowa-nego studenta (ochotnika).


1. Typowe wartości ładunku w doświadczeniach zelektrostatyki Dwie lekkie kulki o masach 10gkażda i zawieszone na niciach o długościach 30cmw tym samym punkcie statywu naładowano przezdotknięcie szklaną pałeczką. W wyniku tego kulkioddaliły się od siebie na odległość 10cm. Znaleźćprzybliżoną wartość ładunku jakim została nała-dowana każda z kulek.

2. Ilustracja twierdzenia Earnshaw’a Cztery iden-tyczne ładunki dodatnie q umieszczono w wierz-chołkach kwadratu o boku a. W środku symetriikwadratu umieszczono ładunek ujemny Q, któryutrzymywał cały układ w równowadze. Znaleźćwartość ładunku Q. Zakładając, że ładunki q niemogą się poruszać, znaleźć kierunek siły działa-jącej na ładunek Q w przypadku przesunięcia goze środka symetrii: a) w kierunku jednego z ła-dunków q, b) w kierunku środka jednego z bokówkwadratu, c) wzdłuż osi symetrii układu prosto-padłej do płaszczyzny kwadratu. Na tej podstawieokreślić rodzaj równowagi ładunku Q. (Można za-chęcić studentów do samodzielnego poszukania do-wodu ogólnego twierdzenia Earnshaw’a z pierwszejpołowy XIX wieku (np. Wikipedia), mówiącego,że w statycznym polu elektrycznym w próżni nieistnieje punkt równowagi trwałej. Paradoks: Jeśliatomy i cząsteczki są zbudowane z ciał o ładun-kach dodatnich i ujemnych, to jak to jest możliwe,że są one stabilne?)

3. Pole elektryczne dipola - Ładunki Q o przeciwnychznakach znajdują się w odległości l. Znaleźć ogólnewyrażenie na natężenie pola elektrycznego w do-wolnym punkcie ~r. Znaleźć natężenie pola elek-trycznego na prostej, na której leżą te ładunki,zakładając, że punkt ~r leży bardzo daleko od ła-dunków (wyjaśnić znaczenie bardzo daleko). Zdefi-niować moment dipolowy p = Ql, podać jego jed-nostki i zapisać natężenie pola elektrycznego oddipola w zwartej postaci. Podać (bez wyprowadza-nia, będzie to zadaniem domowym) jak wyglądanatężenie pola od dipola elektrycznego wzdłuż sy-metralnej. Sformułować ogólny wynik (bez wy-prowadzeń) i omówić jego znaczenie. Zilustrowaćwynikami dla wybranych cząsteczek chlorowodórHCl, woda H2O, amoniak NH3 i inne.

3.4 Zadania domowe

1. Odległość między protonami w jądrze atomowymwynosi 3 · 10−15m = 3fm. Ile wynosi wartośćsiły Coulomba pomiędzy nimi? Ta siła jest równo-ważona przez oddziaływania jądrowe silne, któresprawiają, że jądro atomowe jest stabilne. Wy-obraźmy sobie, że siły jądrowe przestają nagle

3

działać w pewnej chwili. Z jakim przyspieszeniemi w którą stronę zaczną poruszać się rozszczepioneprotony? Masa protonu wynosi 1, 7 · 10−27kg. Dlaporównania znaleźć wartość siły grawitacji działa-jącej między protonami. Gdyby nagle siły elektro-statyczne i siły jądrowe znikły, to z jakim przy-spieszeniem zaczną poruszać się protony i w którąstronę?

2. Ładunki Q o przeciwnych znakach znajdują się wodległości l. Znaleźć natężenie pola elektrycznegona prostej symetrycznej do odcinka na której leżąte ładunki, zakładając, że punkt ~r leży bardzo da-leko od ładunków i wyjaśnić znaczenie bardzo da-leko. Zdefiniować moment dipolowy p = Ql, podaćjego jednostki i zapisać natężenie pola elektrycz-nego na symetralnej od dipola w zwartej postaci.Omówić wynik i porównać go z analogicznym za-daniem z ćwiczeń.

4 Tydzień IV, 21-27/10/2019

4.1 Wykład

cd., rotacja, jako część antysymetryczna gradientupola wektorowego, interpretacją rotacji, krąże-nie pola wektorowego po zamkniętej krzywejκ =

∮Γ ~v(~r) · d~l, rotacja jako lokalne krążenie po

nieskończenie małej pętli, twierdzenie Stokesa dlarotacji

∮Γ ~v(~r) · d~l =

∮Σ(~∇ × ~v(~r)) · d~S, przykłady w

Mathematica graficznej reprezentacji pól wirowych,2analiza pola wiru Rankina vθ(r) = (Γ/2πR2)r dlar ¬ R i vθ(r) = Γ/(2πr) dla r > R.

&2. Pole elektryczne - strumień pola Coulombow-skiego od ładunku punktowego, prawo Gaussa dlaładunku punktowego

∮~E · d~S = Q/4πε0, sprawdzenie,

że pole Coulombowskie jest bezźródłowe w przestrzeninie zawierającej ładunków, pole elektryczne dyskret-nego rozkładu ładunków, zasada superpozycji dla pólelektrycznych, pole elektryczne od ciągłego rozkładuładunków, całkowa i różniczkowa postać prawa Gaussa- pierwsze równanie Maxwella, sprawdzanie jednostek.

&3. Potencjał pola elektrycznego - prawo Stokesa dlapola Coulombowskiego, ~∇ × ~E = 0, potencjał Ve dlapola E = −~∇Ve, wyznaczanie potencjału z dokład-nością do stałej addytywnej, wybór stałej nazywamywyborem cechowania, wzór Ve = −

∫ ~r~r0~E(~r′) · d~l′ na

wyznaczanie potencjału z zadanego pola ~E, zasadasuperpozycji dla potencjałów, wyznaczenie potencjałudla pola Coulombowskiego, wybór cechowania tak, abypotencjał znikał w nieskończoności, w ogólności przytym samym cechowaniu mamy Ve =

∫∞~r

~E(~r′) · d~l′,wymiar potncjału, jednostka volt 1V = 1J/1C, jed-nostka natężenia pola elektrycznego N/C = V/m, na-pięcie elektryczne (różnica potencjału), jednostka na-pięcia volt, napiecie dla pola Coulombowskiego, praca

2Przykładowe programy w Mathematica są dostępne na stro-nie www.fuw.edu.pl/ byczuk.

pola przy przemieszczaniu ładunku, praca pola Co-ulombowskiego - różne przypadki i znaki pracy, ener-gia potencjalna pola elektrycznego Ep = qVe, fizyczneistnienie pola elektrycznego, graficzny obraz pola elek-trycznego i potencjału, powierzchnie ekwipotncjalne,zasady rysowania linii pola i linii ekwipotencjalnych,równanie Poissona, równanie Laplacea.


1. Pole elektryczne od płaszczyzny - Korzystając zprawa Gaussa (I prawo Maxwella) znaleźć natę-żenie pola elektrycznego ~E po obu stronach jed-norodnie naładowanej płaszczyzny ładunkiem σ0

na jednostkę powierzchni. Omówić linie sił tegopola i ich kierunki. Jest to ważny przykład polajednorodnego. Sprawdzić jednostki.

2. Pole elektryczne od podwójnych płaszczyzn - Ko-rzystając z prawa Gaussa znaleźć natężenie polaelektrycznego ~E w całej przestrzeni gdzie znaj-dują się dwie równoległe do siebie i oddalone od jednorodnie naładowane płaszczyzny przeciw-nymi ładunkami ±σ0 na jednostkę powierzchni.Omówić linie sił tego pola i ich kierunki. Jest toważny przykład pola jednorodnego w kondensato-rze. Sprawdzić jednostki.

3. Pole elektryczne naładowanej kuli - Korzystającz prawa Gaussa (I prawo Maxwella)

∮Σ~E · d~S =

ρ(~r)/ε0, gdzie ρ(~r) jest gęstością objętościową ła-dunku znaleźć natężenie pola elektrycznego ~E we-wnątrz i na zewnątrz jednorodnie naładowanejkuli o promieniu R ładunkiem Q. Wynik zapisaćprzy użyciu gęstości ρ i przy użyciu ładunku Q.Omówić związek z prawem Coulomba dla ładunkupunktowego. Sprawdzić jednostki.

4. Pole elektryczne wokół naładowanego drutu - Ko-rzystając z prawa Gaussa (I prawo Maxwella) zna-leźć natężenie pola elektrycznego ~E wytworzonegoprzez jednorodnie naładowany drut ładunkiem λna jednostkę długości. Sprawdzić jednostki.

4.3 Zadania domowe

1. Dla pola wiru Rankina ~v = vr~er+vθ~eθ+vz~ez, gdzievθ(r) = (Γ/2πR2)r dla r ¬ R i vθ(r) = Γ/(2πr)dla r > R, oraz vr = vz = 0 obliczyć: a) skła-dowe rotacji ~ω(~r), dla różnych r, b) krążenie pookręgu o promieniu r i środku w początku układuwspółrzędnych, c) krążenie po konturze otaczają-cym pole od r = r1 do r = r2 i θ = θ1 do θ = θ2.Omówić otrzymane wyniki.

2. Korzystając z prawa Gaussa znaleźć natężeniepola elektrycznego ~E w całej przestrzeni gdzieznajdują się dwie równoległe do siebie i odda-lone o d jednorodnie naładowane płaszczyznyjednoimiennymi ładunkami σ0 na jednostkę po-wierzchni. Omówić linie sił tego pola i ich kierunki.

4

3. Korzystając z prawa Gaussa znaleźć natężeniepola elektrycznego ~E wewnątrz i na zewnątrz jed-norodnie naładowanej sfery o promieniu R ładun-kiem Q.

4. Znaleźć pole elektryczne wokół dwóch, nieskończe-nie długich prostoliniowych nici naładowanych ła-dunkami o gęstości liniowej λ1 i λ2. Przedyskuto-wać rozwiązanie i sprawdzić jednostki. Narysować,np. za pomocą programu Mathematica, linie tegopola w płaszczyźnie z = 0 dla różnych przypad-ków. Wsk. skorzystać z zasady superpozycji pól.

5. Znaleźć pole elektryczne wewnątrz i na zewnątrznieskończonego cylindra o promieniu R naładowa-nego ładunkiem powierzchniowym σ. Przedysku-tować rozwiązanie i sprawdzić jednostki.

6. Znaleźć pole elektryczne wewnątrz i na zewnątrznieskończonego walca o promieniu R naładowa-nego ładunkiem objętościowym o gęstości ρ. Prze-dyskutować rozwiązanie i sprawdzić jednostki.

5 Tydzień V, 28/10-03/11/2019

5.1 Wykład

&4. Pole elektryczne w przewodniku - ośrodek mo-dyfikuje pole, ładunki nieskompensowane w przewod-niku, ładunki dodatnie i ujemne umieszczają się napowierzchni przewodnika, grubość warstwy ładunku2−3 odległości atomowe, naładowany przewodnik ma-kroskopowy ma tylko powierzchniowy rozkład ładun-ków, przykład natężenia i potencjału pola elektrycz-nego jednorodnie naładowanej sfery, uogólnienie na do-wolne przewodniki, przewodnik jest obszarem ekwipo-tencjalnym, a natężenie pola elektrycznego wewnątrzprzewodnika znika, związek z powierzchniową gęsto-ścią ładunku a natężeniem pola na powierzchni prze-wodnika ~E = (σ/ε0)~n, rozkład ładunku na powierzch-niach o dużej krzywiźnie, przewodzące ostrza, E ∼ σ ∼1/R ∼ krzywizna, ładowanie przewodnika przez induk-cję, wielkość indukowanego ładunku, indukcja a prawoGaussa (Maxwell I), ładunek wyindukowany jest równyładunkowi który powoduje indukcję, osłony (ekrany)elektryczne, metoda obrazów, przykład: zastosowaniemetody obrazów do problemu pojedynczego ładunkuumieszczonego w pobliżu uziemionej płaszczyzny.

&5. Pole elektryczne w dielektryku - różnice mię-dzy przewodnikami a dielektrykami (izolatorami), brakswobodnych ładunków, możliwość przemieszczenia sięładunków na skali cząsteczkowej, mechanizm powsta-wanie dipoli elektrycznych w dielektrykach, pole elek-tryczne i potencjał od pojedynczego dipola elektrycz-nego, energia potencjalna dipola w polu elektrycznym,zachowanie się dipola w jednorodnym polu elektrycz-nym, moment siły działający na dipol, makroskopowapolaryzacja dielektryka, wektor polaryzacji i jego jed-nostka, ładunki w dielektrykach, związany ładunek po-wierzchniowy, cdn.

5.2 PokazyPokazy rozkładu ładunków w przewodniku:1. E-9, E-10 naładowana sfera,2. E-12 naładowany cylinder zakończony stożkiem,3. E-13 klatka Faradaya (różne wersje),4. E-14 siatka Kolbego,5. E-15 "wiatr elektryczny"wokół naładowanego ostrzawidoczny w płomieniu świecy,6. E-16 młynek Franklina (różne wersje),7. radio analogowe w klatce Faradaya.

Pokazy potencjału pola:E-17 Potencjał pola elektrycznego, sonda płomieniowa,E-18 Potencjał pola w kondensatorze, E-19 Potencjałnaładowanego przewodnika.

5.3 Zadania na ćwiczenia1. Potencjał pola elektrycznego i powierzchnie ekwi-

potencjalne - Przypomnieć co to jest potencjałpola ~E = −~∇Ve, Ve(~r) =

∫∞~r

~E(~r′) ·d~r′ oraz jako-ściowo omówić przebieg powierzchni ekwipoten-cjalnych dla prostych rozkładów ładunków punk-towych, np. ładunek punktowy, dipol, trzy ładunkipunktowe na jednej linii, 3 lub 4 ładunki punktowew wierzchołkach odpowiednich wielokątów forem-nych. Można skorzystać w programu Mathema-tica.

2. Potencjał i praca pola elektrycznego - Wyznaczyćpotencjał Ve (wykonując odpowiednie całki) oraznatężenie pola elektrycznego ~E (z gradientu Ve) wpunkcie P leżącym na osi pierścienia, którego po-wierzchniowa gęstość ładunku jest stała i wynosiσ. Wewnętrzny promień pierścienia wynosi R1, ze-wnętrzny R2, punkt P znajduje się w odległościd od płaszczyzny pierścienia. Na podstawie wy-niku ogólnego rozważyć: a) R1 → 0, b) R2 → ∞,c) R1 → 0 i R2 → ∞. Pokazać, że rozwiązanieprzypadku c) można otrzymać z rozwiązań przy-padków a) i b) korzystając z zasady superpozy-cji. Obliczyć pracę jaką należy wykonać przeno-sząc wzdłuż osi pierścienia ładunek Q umieszczonyw punkcie P i) do nieskończoności, ii) do środkapierścienia, w przypadku ogólnym i przypadkachgranicznych. Zbadać jednostki oraz zinterpretowaćznaki otrzymanych prac.

5.4 Zadania domowe1. W odległości r = 10m od dipola elektrycznego na

jego osi znajduje się ładunek Q = 1nC. Ładunekten przesunięto wzdłuż osi dipola o a = 10cm wy-konując przy tym praceW = 2×10−10J . Obliczyćmoment dipolowy p dipola. Sprawdzić jednostki.

2. Korzystając z rozwiązania zadania 2 z ćwiczeń wy-znaczyć wartość natężenia pola elektrycznego:

• w środku sfery o promieniu R, jeżeli połowasfery jest naładowana jednorodnie gęstościąpowierzchniową ładunku σ, a druga połowa sgęstością 3σ’

5

• w obszarze między równoległymi płaszczy-znami, jeżeli gęstość powierzchniowa ładunkuna jednej płaszczyźnie wynosi σ, a na drugiej−2σ,

• w obszarze między dwiema przecinającymisię płaszczyznami pod katem α, jeżeli gę-stość powierzchniowa ładunku wynosi σ naobu płaszczyznach,

• w punkcie leżącym na wspólnej osi dwóchrównoległych kół, jedno o promieniu R1 i gę-stości powierzchniowej ładunku σ, a drugieo promieniu R2 i gęstości powierzchniowej−2σ, odległość między kołami wynosi d,

• w dowolnym punkcie kulistego wydrążenia opromieniu R1 znajdującego się w jednorodnienaładowanej kuli o promieniu R2 > R1, jeżeligęstość objętościowa ładunku kuli wynosi ρ,a środek kulistego wydrążenia znajduje się wodległości d < R2 −R1 od środka kuli.

6 Tydzień VI, 04-10/11/2018

6.1 Wykład&5. Pole elektryczne w dielektryku - cd., związany ładu-nek objętościowy, realność istnienia ładunków związa-nych w spolaryzowanym dielektryku, prawo Gaussa dladielektryka (Maxwell I), definicja indukcji elektrycz-nej ~D, jednostki i fizyczna interpretacja, różniczkowai całkowa postać prawa Gaussa w dielektrykach, die-lektryki liniowe ~P ( ~E) = χε0 ~E + ..., podatność dielek-tryka, uogólnienie podatności dielektrycznej dla dielek-tryka nieizotropowego, tensor podatności dielektrycz-nej, stała dielektryczna ośrodka, przenikalność dielek-tryczna ośrodka, dla dielektryka linowego mamy:~D = ε0 ~E + ~P = ε0(1 + χ) ~E = κεo ~E = ε ~E,~E natężenie pola elektrycznego,~D indukcja pola elektrycznego,~P polaryzacja ośrodka,χ podatność dielektryczna ośrodka,κ względna przenikalność dielektryczna,ε przenikalność dielektryczna ośrodka,ε0 przenikalność dielektryczna próżni,przykłady liczbowe stałej dielektrycznej dla różnychmateriałów, przykład: siła Coulombowska w ośrodku,ogólny warunek dla natężenia pola elektrycznego nagranicy naładowanej powierzchni E1n − E2n = σ/ε0 iE1t = E2t, warunek dla indukcji elektrycznej na gra-nicy dwóch dielektryków D1n − D2n = σsw (σsw toładunek zewnętrzny na powierzchni granicznej), dlaσsw = 0 zachodzi D1n = D2n, E1n/E2n = κ2/κ1, dlaskładowej poprzecznej z σsw 6= 0 lub σsw = 0 mamyD1t/D2t = κ1/κ2, prawo załamania dla σsw = 0 wy-nosi tgα1/ tgα2 = κ1/κ2, energia pola elektrycznegoEp = (1/2)

∫VVe(~r)ρ(~r)dV = (1/2)

∫~D(~r) · ~E(~r)dV ,

gęstość energii pola ρE(~r) = (1/2) ~D(~r) · ~E(~r).&6. Kondensatory - Pojemność pojedynczego prze-

wodnika C = Q/Ve, jednostka pojemności farad F =C/V = C2/J , przykład: pojemność naładowanej kuli,kondensator jako układ gdzie pole elektrycznej jest w

ograniczonym obszarze, pojemność układu dwóch prze-wodników C = Q/U , pojemność dowolnego układuprzewodników Qi =

∑j CijVej , pojemność własna i

pojemność wzajemna, cdn.

6.2 Pokazy

Wpływ pola na przewodniki:E-20, 21, 22 ładowanie przez indukcję, zasada działa-nia maszyny elektrostatycznej.E-25 Generator van der Graaffa

Własności dielektryków:E-26 Polaryzacja dielektrykaE-27-30 siły działające na świeczkę, strumień cieczy,olej pod wpływem pola elektrycznego,E-33 "doświadczenie"Millikana.


1. Znaleźć potencjał oraz natężenie pola elektrycz-nego wytwarzane przez elektron w atomie wodoruznajdujący się w stanie podstawowym gdzie gę-stość objętościowa ładunku elektronu dana jestwzorem ρ(r) = − e

πa3 e− 2ra , gdzie e jest ładunkiem

elektronu, natomiast a jest promieniem pierwszejorbity Bohra. Porównać wyniki z wzorami dla ła-dunku punktowego i podać interpretację fizyczną.Podać liczbowe wartości potencjału i natężeniapola i ich jednostki w wybranych odległościach odjądra atomu. Jaką pracę należy wykonać aby do-dać z drugi elektron do układu przenosząc go znieskończoności do r = a, tzw. energia ładowania.Pole od jądra przyjąć jako czysto Coulombowskie.

2. Metoda obrazów - Znaleźć potencjał i natężeniepola elektrycznego nad uziemioną płaszczyzną je-śli w odległości d nad nią znajduje się ładunekpunktowy Q. Znaleźć rozkład i całkowitą war-tość indukowanego ładunku na płaszczyźnie. Zna-leźć wartość, kierunek i zwrot siły działającej naładunek Q. Podać liczbową wartość tej siły dlatypowego ładunku w elektrostatyce (zad. 3.3.1)i wybranej typowej odległości. Omówić wyniki iich znaczenie fizyczne oraz sprawdzić jednostki.(Przykład pojawił się na wykładzie, ale warto abystudenci samodzielnie i ze zrozumieniem go roz-wiązali).

3. Znaleźć potencjał i natężenie pola elektrycznegowytwarzanego przez ładunek punktowy q odległy od od uziemionej kuli przewodzącej o promieniu R.Z jaką siłą przewodząca kula nienaładowana przy-ciąga ten ładunek? Jak powyższe wyniki się zmie-niają gdy przewodząca kula nie jest uziemiona?

4. Energia pola elektrycznego - Wyznaczyć energięelektrostatyczną kuli o promieniu R, której prze-strzenna gęstość ładunku jest stała i wynosi ρ.Znaleźć wartość tej energii dla promieni i ładun-ków z zadania 3.3.1.

6

6.4 Zadania domowe

1. Znaleźć potencjał oraz natężenie pola elektrycz-nego wytwarzane przez elektron w atomie wodoruznajdujący się w pierwszym stanie wzbudzonymgdzie gęstość objętościowa ładunku elektronu danajest wzorem ρ(r) = − e

32πa3 e− ra (2 − r

a )2, gdzie ejest ładunkiem elektronu, natomiast a jest promie-niem pierwszej orbity Bohra. Porównać wyniki zwzorami dla ładunku punktowego.

2. Jaki potencjał i pole elektryczne wytwarzają na-stepujące układy ładunków i uziemionych płasz-czyzn przewodzących:

• ładunek punktowy i dwie prostopadłe płasz-czyzny,

• dipol ustawiony równolegle do płaszczyzny,

• dipol ustawiony prostopadle do płaszczyzny.

Ładunki, odległości między nimi i płaszczyznamisą dane. Znaleźć potencjały i pola w dużej odle-głości.

3. Znaleźć potencjał i natężenie pola elektrycznegowytwarzanego przez ładunek punktowy q odległyo d od przewodzącej kuli o promieniu R i nałado-wanej ładunkiem Q. Z jaką siłą ta kula przyciągaten ładunek?

7 Tydzień VII,11-17/11/2019

7.1 Wykład

&6. Kondensatory - cd., przykład: kondensator kuli-sty o promieniach sfer R1 i R2, przykład: kondensatorpłaski, łączenie kondensatorów równoległe i szeregowe,baterie kondensatorów, pojemność kondensatora z die-lektrykiem, zmiana napięcia kondensatora przy usta-lonym ładunku po wsunięciu dielektryka, energia kon-densatora próżniowego i kondensatora z dielektrykiem.

II. Pole prądów

&1. Prąd elektryczny - prąd elektryczny jako upo-rządkowany ruch ładunków elektrycznych, ruch ładun-ków dodatnich w stronę spadku potencjału w prze-wodniku, definicja natężenia prądu elektrycznego I =dq(t)/dt, amper A = C/s- jednostka natężenia prądu,makroskopowa definicja wektora gęstości prądu elek-trycznego ~j = (dI/dSn)~v0 gdzie ~v0 jest wersorem pręd-kości cząstek, mikroskopowe wyrażenia na na wektorgęstości prądu ~j = qn~v i na natężenie prądu I = ~j · ~S,natężenie prądu jako strumień pola gęstości prąduI(t) =

∮Σ~j(~r, t) · d~S, przykład: prędkość unoszenia

(dryfu) elektronów w miedzi, zasada zachowania ła-dunku i równanie ciągłości ∂ρ(~r, t)/∂t+ ~∇ ·~j(~r, t) = 0,stan stacjonarny i bezźródłowość pola gęstości prądu,cdn.


1. Pole elektryczne i energia w dielektryku - Sfera me-talowa o promieniu R1 otoczona jest kulistą war-stwą linowego dielektryka o przenikalności dielek-trycznej ośrodka ε i grubości d oraz drugą sferą opromieniu R2 R1 + d umieszczoną współśrod-kowo. Ładunek mniejszej sfery wynosi Q > 0. Wy-znaczyć potencjał, natężenie pola elektrycznego iindukcję elektryczną w tym układzie. Jaka jestjego energia elektrostatyczna? Jakie jest zachowa-nie pól E i D na granicy ośrodków? Jaki jest roz-kład polaryzacji dielektryka i rozkład powierzch-niowych i objętościowych ładunków polaryzacyj-nych.

2. Okładki dużego próżniowego kondensatora pła-skiego, między którymi odległość wynosi d, po-łączone są przewodnikiem. Pomiędzy okładkamiznajduje się metalowa płyta o ładunku elektrycz-nym Q. Znaleźć całkowity ładunek, jaki przepły-nie przez przewód, jeśli płytkę przesuniemy o odle-głość x w kierunku prostopadłym do okładek. Czyładunek zmieni się jeśli kondensator wypełnimyciekłym dielektrykiem o względnej przenikalnościκ? Opór przewodnika przyjąć R = 0.

7.3 Zadania domowe

1. Wyznaczyć energię elektrostatyczną sfery o pro-mieniu R naładowanej ładunkiem, którego gęstośćpowierzchniowa jest stała i wynosi σ. Znaleźć war-tość tej energii dla promieni i ładunków z zadania3.3.1.

2. Nieskończona metalowa powierzchnia jest nałado-wana ładunkiem o stałej gęstości powierzchnio-wej σ. Po jednej stronie powierzchni znajduje sięwarstwa liniowego dielektryka o grubości d1 i oprzenikalności dielektrycznej ośrodka ε1, a po dru-giej stronie znajduje się warstwa liniowego dielek-tryka o grubości d2 i o przenikalności dielektrycz-nej ośrodka ε2. Wyznaczyć potencjał, natężeniepola elektrycznego i indukcję elektryczną w tymukładzie. Jaka jest jego całkowita energia elektro-statyczna i dlaczego? Jaka jest energia całkowitazawarta w sześcianie o bokach długości L ustawio-nych tak, że jego dwie ściany są równoległe do na-ładowanej płaszczyzny? Jak ta energia na sześcianzależy od ustawienia sześcianu względem nałado-wanej płaszczyzny? Jakie jest zachowanie pól Ei D na granicy ośrodków? Jaki jest rozkład pola-ryzacji dielektryków i rozkład powierzchniowych iobjętościowych ładunków polaryzacyjnych.

3. Znaleźć pojemność i energię kulistego kondensa-tora wypełnionego dielektrykiem o względnej prze-nikalności κ(r) = κ0a

2/r2, a > 0. Promienie okła-dek wynoszą R1 i R2 (R1 < R2).

4. Pole elektryczne w pobliżu powierzchni Ziemi mapostać ~E(~R) = −A~r/r, gdzie A = 130V/m.

7

Znaleźć gęstość powierzchniową ładunku na po-wierzchni Ziemi, całkowity ładunek Ziemi, poten-cjał powierzchni Ziemi oraz jej pojemność. Pro-mień Ziemi R = 6370km.

8 Tydzień VIII, 18-24/11/2019

8.1 Wykład

&1. Prąd elektryczny - cd. pierwsze prawo Kirchhoffajako zasada zachowania ładunku w węźle obwodu elek-trycznego, prawo Ohma I = U/R, bodziec-reakcja,jednostka oporu elektrycznego (rezystancji, ang. resi-stance) om Ω = V/A = Js/C2 taka sama jak jednostkah/e2, gdzie h jest stałą Plancka, G = 1/R przewod-ność (konduktancja, ang. conductance), opór właściwyρw (resystywność, ang. resistivity), przewodność wła-ściwa σ = 1/ρw (konduktywność, ang. conductivity),przykłady przewodności dla różnych materiałów, zależ-ność oporności właściwej od temperatury dla przewod-ników i dielektryków, inny zapis prawa ham U = RI,przykład: dzielnik napięć, łączenie oporników szere-gowe i równoległe, opór zastępczy, zakres stosowalno-ści prawa Ohma, definicja ruchliwości µ = vdryf/E,jednostka ruchliwości m2/V s, przykład: ruchliwość wmiedzi, ruchliwości metali, elektrolitów i gazów, róż-niczkowe prawo Ohma ~j = σ ~E, uogólnienie na układynieizotropowe i niejednorodne, pole w przewodniku zestałym prądem, ciągłość składowej normalnej gęstościprądu na granicy dwóch przewodników, skok składo-wej normalnej pola elektrycznego E1n/E2n = σ2/σ2,ciągłość składowej stycznej pola elektrycznego, prawozałamania tgα2/ tgα1 = σ2/σ1, ciepło Joule’s i prawoJoule’s P = IU = U2/R = I2R, Q = Pt = IUt =(U2/R)t = I2Rt, obwód RC i rozładowywanie konden-satora.

8.2 Pokazy

Własności kondensatorów:E-34, 35, 36, 38, 39, 40 pojemność przewodnika, gro-madzenie ładunku w kondensatorach,E-37 butelka Leidejska.

E44 - koniecznosc istnienia ładunkow swobodnychi napiecia aby płyna prad elektryczny na przykła-dzie ogrzewanego szkła wmontowanego w obwod elek-tryczny, E48 - spadek potencjału wzdłuz przewodnikaz pradem, E51 - sprawdzenie prawa Ohma, E52 - zale-znosc oporu od temperatury, E55 - I prawo Kirchhoffadla rozgałezien obwodu elektrycznego.


1. Przewodnik kulisty jako model kropki kwantowej- Metaliczna kropka kwantowa jest to mikrosko-powe ziarno metalu, np. glinu (Al), które możebyć umieszczone na dielektrycznym podłożu i po-łączone z elektrodami. Problemy:

• Oszacować pojemność pojedynczej kropkikwantowej z glinu o średnicy ∼ 10nm.

• Oszacować pojemność tej kropki względempodłoża jeśli jest umieszczona od uziemionejpłaszczyzny przewodzącej w odległości 1nm ioddzielona od niej warstwą dielektryka tlen-kowego o przenikalności względnej κ = 8. Po-równać z przykładem poprzednim.

• Oszacować zmianę napięcia na tej kropce jeślidodamy do niej dokładnie jeden elektron wtych dwóch opisanych powyżej przypadkach.

• Ile wynosi względna zmiana liczby elektro-nów swobodnych w tej kropce po dodaniujednego elektronu?

• W doświadczeniu rozmiar kropki szacowanyjest ze znajomości zmierzonej pojemności.Oszacować promień kropki i jej objętość jeśliwyznaczona pojemność wynosi C ≈ 8aF?

• Przyjmijmy, że spolaryzowana kropka posia-dała ładunek Q0 i że została naładowana nelektronami. Znaleźć zmianę energii układupo dodaniu jednego kolejnego elektronu.

Problem ten i jego dalsze rozwinięcia, motywo-wany prawdziwym eksperymentem, jest opisany wT. Tinkham, Am. J. Phys. 64, 343 (1996).

2. Pojemność kondensatora- Wyznaczyć pojemnośćkondensatora płaskiego, który wypełniony jestdielektrykiem o względnej przenikalności κ(x), bę-dącą ciągłą funkcją odległości od okładek konden-satora. Odległość między okładkami wynosi d, aich pole powierzchni S. Znaleźć jawny wynik gdyκ(x) = κ0(1 + x/d).

3. Jak zmieni się pojemność przewodzącej kuli opromieniu R, gdy zbliżymy do niej na odległośćD = 10R uziemioną płaszczyznę przewodzącą?

4. Energia kondensatora - Okładki kondensatora opojemności C naładowano do napięcia U i połą-czono równolegle z okładkami identycznego kon-densatora, lecz nienaładowanego. Obliczyć zmianęenergii układu kondensatorów wywołaną połącze-niem. Dlaczego energia układu się zmieniła?

8.4 Zadania domowe

1. Znaleźć pojemności zastępcze dla układów bate-rii kondensatorów przedstawionych na poniższychrysunkach 1 i 2.

Rysunek 1:

8

Rysunek 2:

2. Znaleźć pojemność kondensatora płaskiego wypeł-nionego kilkoma warstwami dielektryków o róż-nych podatnościach względnych κi (na rysunkuoznaczonych jako εi). Grubości warstw d1 (dla die-lektryka κ1) i d2 oraz pola S1 i S2, jak na rysunku3, są dane.

Rysunek 3:

9 Tydzień IX, 25/11-01/12/2018

9.1 Wykład

&2. Siła elektromotoryczna i prawa Kirchhoffa - de-fincja siły elektromotorycznej SEM, przykład SEM wgeneratorze van der Graaffa, pochodznie SEM: mech-niczne, chemiczne, świetlne, cieplne, ilościowa charak-terystyka SEM jako praca na jednostkę ładunku, pracaprzy przeniesieniu ładunku Q między (1) i (2) W12 =Q(Ve1−Ve2)+QE12, uogólnione napięcie między punk-tami U12 = Ve1−Ve2 +E12, praca dla obwodu zamknię-tego W = Q

∮~Ezew · d~l, SEM w obwodzie zamkniętym

E = W/Q =∮~Ezew · d~l, przykład: SEM siły odśrod-

kowej, uogólnione prawo Ohma jako wyraz zasady za-chowania energii IR12 = (Ve1 − Ve2 + E12, przykład:ładowanie kondensatora w obwodzie z opornikiem i z

SEM, opór wewnętrzny źródła SEM, moc wydzielanana oporze wewnętrznym, pierwsze prawo Kirchhoffajako zasada zachowania ładunku

∑ni=1 Ii = 0, dru-

gie prawo Kirchhoffa jako zasada zachowania energii∑k Ek =

∑iRiIi, konwencja znaków SEM Ei i prądów

Ik, przykłady oczek i zastosowania konwencji znaków,łączenie ogniw SEM szeregowe i równoległe.

&3. Pole magnetyczne - źródłem pola magnetycz-nego są prądy ładunków, brak monopoli magnetycz-nych, doświadczenie Oersteda, oddziaływanie na siebieprzewodników z prądem, linie pola magnetycznego wo-kół prostego przewodnika, magnesu sztabkowego, so-lenoidu, konwencje dotyczące znaku (nazwy) biegunówmagnetycznych i orientacji linii pól magnetycznych, re-guła prawej dłoni dla pętli w prądem, siła Lorentza~F = q~v× ~B, indukcja pola magnetycznego, tesla - jed-nostka indukcji magnetycznej 1T = V s/m2, przykład:klasyczne zjawisko Halla, halotron, strumień indukcjipola magnetycznego, prawo Gaussa dla indukcji polamagnetycznego (drugie prawo Maxwella)

∮~B · d~S = 0

lub ~∇ · ~B = 0, pole ~B bezźródłowe (solenoidalne) cooznacza brak monopoli magnetycznych, reguła prawejdłoni dla iloczynu wektorowego, siły Lorentza i dla linipola wokół przewodnika z prądem, cdn.

9.2 PokazyE-49 zjawiska towarzyszące płynięciu prądów (cieplne,chemiczne, magnetyczne), E-56 (lub E57 lub E5) prawoJoule’a, E65 (lub E62 lub E64) zjawisko termoelek-tryczne, sila SEM termoelektryczna.

9.3 Zadania na ćwiczenia1. Upływność kondensatora - Rzeczywisty dielektryk

ma pewną skończoną przewodność. Dlatego wy-znaczmy opór kondensatora kulistego o promie-niach a i b (a < b) wypełnionego dielektrykiemo przenikalności wzglednej κ i przewodności wła-ściwej σ. Zbadać przypadek graniczny pojedynczejkuli.

2. Teoria Drudego przewodnictwa metali - Omówićklasyczną teorię przewodnictwa elektronowego wmetalach (teoria Dudego), gdzie elektrony mająmasę m, gęstość n i poruszają się w polu elek-trycznym zgodnie z równaniem dynamiki New-tona md~v/dt = −m~v/τ + e ~E, gdzie τ jest śred-nim czasem pomiędzy zderzeniami (czasem re-laksacji) elektronu z innymi elektronami, drgają-cymi jonami i domieszkami. Znaleźć wyrażenia naprzewodność σ, oporność ρw oraz na ruchliwośćµ. W typowym metalu w niskich temperaturachτ = τ0 + aT 2, gdzie τ0 pochodzi od rozpraszaniana domieszkach, a aT 2 pochodzi od rozpraszaniana skutek oddziaływania pomiędzy elektronami.Jaka jest oporność resztkowa ρw(T = 0) i jaki jestwykres ρw(T )? W wysokich temperaturach domi-nuje rozpraszanie na drgających termicznie jonachi τ(T ) = bT . Jaki jest całościowy obraz ρw(T )?

3. Łączenie oporów - Jednakowe oporniki o oporzeR = 1Ω każdy połączono jak na rysunku 4. Obli-

9

czyć opory zastępcze układu między punktami Ai B oraz B i C.

Rysunek 4:

9.4 Zadania domowe

1. Rzeczywisty dielektryk ma pewną skończoną prze-wodność. Dlatego wyznaczmy opór na jednostkędługości kondensatora cylindrycznego o promie-niach a i b (a < b) wypełnionego dielektrykiem oprzenikalności względnej κ i przewodności właści-wej σ. Zbadać przypadek graniczny pojedynczegowalca.

2. Dwie kule metalowe o promieniu a znajdują się wośrodku o przewodności właściwej σ. Znaleźć war-tość oporu elektrycznego pomiędzy kulami odda-lonymi od siebie o d (d 2a). Oporność właściwametali jest zaniedbywalna.

3. Jaki powinien być opór Rx, aby opór zastępczyukładu oporników na rysunku 5 nie zależał odwielkości oporu R0?

10 Tydzień X, 02-08/12/2018

10.1 Wykład

&3. Pole magnetyczne - c.d., względność pola magne-tycznego, na przykładzie omówienie sił działającychna ruchomy ładunek względem laboratoryjnego układuodniesienia i względem poruszającego się z ładunkiemukładu odniesienia, wyprowadzenie z rozważań STWwzoru na siłę Lorentza i na indukcję wokół przewod-nika z prądem B = µ0I/2πr, gdzie µ0 = 1/ε0c2 jeststałą przenikalności magnetycznej próżni, wartość ijednostka µ0 = 4π · 10−7N/A2, natężenie pola magne-tycznego ~H, związek ~B = µ0 ~H, prawo Gaussa dla na-tężenia pola magnetycznego

∮~H ·d~S = 0 lub ~∇· ~H = 0,

Rysunek 5:

pole ~H bezźródłowe (solenoidalne), siła Ampera ododcinka przewodnika z prądem d~F = Id~l × ~B, cał-kowita siła Ampera od przewodnika z prądem ~F =I∫

Γ d~l × ~B, momenty sił działające na ramkę z prą-

dem w stałym jednorodnym polu magnetycznym, mo-ment magnetyczny ~pm i jego jednostka, przykład: mo-del planetarny atomu wodoru i związek jego momentumagnetycznego z momentem pędu, współczynnik gi-romagnetyczny, magneton Bohra i jego wartość, wy-padkowy moment magnetyczny atomu wieloelektrono-wego w modelu planetarnym, podział substancji madiamagnetyki, paramagnetyki i ferromagnetyki, defini-cja namagnesowania (magnetyzacji) ~M =

∑~pm/V ,

jednostka namagnesowania [A/m], polaryzacja sub-stancji w zewnętrznym polu magnetycznym ~H, in-dukcja magnetyczna "wewnętrzna", indukcja magne-tyczna wypadkowa ~B = µ0 ~H+µ0 ~M , liniowy magnetyk~M = χ ~H, stąd mamy ~B = µ0(1 + χ) ~H = µrµ0 ~H =µ ~H, gdzie χ podatność magnetyczna, µr przenikalnośćmagnetyczna względna, µ przenikalność magnetycznaośrodka, paramagnetyk χ > 0, diamagnetyk χ < 0,histereza magnetyczna, pozostałość magnetyczna, polekoercji, gęstość energii i praca przemagnesowania, cdn.

10.2 Pokazy

I Pole magnetyczne od magnesów trwałych: a. liniepola magnetycznego od magnesów E-89 b. nierozdziel-

10

ność biegunów magnetycznych E-91 c. indukcja magne-tyczna E-90;II Pole magnetyczne od przewodników z prądem: a. do-świadczenie Oersteda E-49 (2) oraz E-106 b. linie polamagnetycznego wokół przewodnika z prądem E-107 c.prawo Biota-Savarta E-108;III magnesy - elektromagnesy: E-11, E-112, E-113.


1. Prawo Ohma, oporność właściwa - Z dwóch żela-znych przewodów utworzono okręgi o promieniachr1 = 10cm i r2 = 20cm i połączono jak na rysunku6. Źródło napięcia wytwarza między A i B napięcieU = 0, 01V . Jakie przekroje powinny mieć prze-wody, by w każdym z nich płynął prąd o natężeniuI = 1mA? Obliczyć opór między punktami A i B.Opór właściwy żelaza wynosi ρw = 10−7Ωcm.

Rysunek 6:

2. Na rysunku 7 przedstawiono nieskończony układoporników podłączonych do zacisków A i B. Obli-czyć opór zastępczy tego układu.

3. Prawo Joule’s w obwodach z prądem stałym - Dwiegrzałki o mocach P1 = 400W i P2 = 500W na na-pięcie U = 110V połączono szeregowo. Jaki opor-nik R należy dołączyć szeregowo do grzałek, bymożna je było bezpiecznie włączyć do sieci o na-pięciu 2U = 220V ?

4. W układzie na rysunku 8 siłe SEM wynoszą E1 =5V i E2 = 4V , a ich opory wewnętrzne r1 = 1Ωi r2 = 0, 7Ω. Opór R1 = 3Ω. Jak należy dobraćpozostałe opory, aby nie płyną prąd przez źródłoE2? Czy przy tak dobranych oporach usunięcie zukładu jednego lub obu elementów przez które niepłynie prąd (R2 i E2), spowoduje zmianę natężeniaprądu płynącego przez E1?

Rysunek 7:

Rysunek 8:

10.4 Zadania domowe1. Obliczyć opór zastępczy Rz układu pięciu oporni-

ków połączonych jak na rysunkach 9 a, b, i c, jeżelikażdy z oporników ma opór R.

Rysunek 9:

2. Obliczyć opór zastępczy Rz układu oporników narysunku 10, jeżeli oporniki mają opory r = 1Ω iR = 2Ω.

3. Z drutu oporowego utworzono prostokąt z jedną

11

Rysunek 10:

przekątną jak na rysunku 11. Po przyłączeniu źró-dła prądu do A i C przez krótsze boki prostokątapłynie prąd o natężeniu I = 1mA, przez dłuższezaś prąd o natężeniu n = 9/8 razy niejszym, aspadek napięcia między B i D wynosi U = 5V .Obliczyć opór R między A i C oraz opory RAB iRBC boków prostokąta.

Rysunek 11:

4. Na rysunku 12 przedstawiono nieskończony układoporników podlączonych do zacisków A i B. Obli-czyć opór zastępczy tego układu.

5. Znaleźć natężenia prądów płynących przez źródłanapięcia i przez opory w obwodach na rysunku 13.Opory wewnętrzne SEM zaniedbać.

11 Tydzień XI, 09-15/12/2019

11.1 Wykład

&3. Pole magnetyczne - c.d., prawo Ampera∮

Γ~H ·d~l =∑

i Ii, gdzie Ii prądy przepływające przez kontur Γ,krążenie pola magnetycznego, prawo Ampera dla in-dukcji magnetycznej

∮Γ~B · d~l = µ0

∑i Ii, różniczkowa

Rysunek 12:

Rysunek 13:

postać prawa Ampera ~∇ × ~H = ~j oraz ~∇ × ~B = µ0~j,definicja wektorowego potencjału magnetycznego ~B =~∇× ~A, swoboda wyboru cechowania ~A′ = ~A+ ~∇h, ~B =~∇× ~A′ = ~∇× ~A, cechowanie Londona ~∇ · ~A = 0, wy-miar potencjału wektorowego [A] = V s/m = Wb/m],strumień pola magnetycznego Φm =

∫Σ~B · d~S =∫

Γ~A · d~l, równanie Poissona dla potencjału wektoro-

wego ∇2 ~A = −µ0~j, ogólne rozwiązanie dla przewod-nika z prądem ~A(~r) = (µ0/4π)

∫Id~l′/|~r − ~r′|, prawo

Biota-Savarta ~B = (µ0I/4π)∫d~l′ × (~r − ~r′)/|~r − ~r′|3,

ciekawostka: niezmiennik topologiczny Gaussa 4πn =∮ ∮d~l · d~l′ × (~r − ~r′)/|~r − ~r′|3, gdzie n jest krotnością

zawinięcia jednej pętli w drugą,3 warunki zszycia dlaindukcji magnetycznej i natężenia pola magnetycznegona granicy dwóch ośrodków, prawo załamania.

&4. Pole elektromagnetyczne - Doświadczenie Fara-daya, względny ruch magnesu i cewki powoduje po-wstawanie SEM w obwodzie, siła elektromotorycznaindukcji, wyprowadzenie wzoru E = −dΦm/dt, siłaelektromotoryczna indukcji jest konsekwencją siły Lo-rentza, cdn.

11.2 Pokazy

I. Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prą-dem: ruch przewodnika z prądem w polu magnetycz-nym E-118, odchylenie pręta w polu magnetycznym E-119, rotacja przewodnika w polu magnetycznym E-121,model działania galwanometru z ruchomą zwojnicą E-125, model silnika elektrycznego E-126.II. Działanie wzajemne przewodników z prądem: od-działywanie przewodników równoległych E-127, przy-

3A.C. Hirshfeld, Am. J. Phys. 66, 1060 (1998).

12

ciąganie wzajemne zwojów spirali E-128, stolik Am-pera E-129, wzajemne działanie dwóch zwojnic E-130.


Proszę przypomnieć studentom o najbliższym kolo-kwium.

1. Prądy zmienne w czasie, rozładowywanie konden-satora - W układzie przedstawionym na rysunku14 kondensatory C1 i C2 zostały naładowane ła-dunkami Q1 i Q2. Jak będzie zmieniać sie w cza-sie natężenie prądu płynącego przez opornik R porównoczesnym zamknięciu obu kluczy? Jaka ener-gia wyzwoli się na oporniku?

Rysunek 14:

2. Obwód z kondensatorem i SEM - Znaleźć zależnośćod czasu natężenia prądu płynącego przez opór R iładunku na kondensatorze w obrodzie na rysunku15, gdy w chwili t = 0 zamknięto klucz.

Rysunek 15:

3. Prawo Joule’s w obwodzie z kondensatorem- Okładki naładowanego kondensatora zostałyzwarte opornikiem o regulowanej oporności. Jakpowinien zmieniać się opór, aby prąd rozładowa-nia kondensatora był stały? Ile ciepła wydzieli sięna oporniku od chwili początkowej aż do całkowi-tego rozładowania kondensatora?

4. Siła Lorentza - W wielkim zderzaczu LHC wCERN protony rozpędzone do energii 7 TeV po-ruszają się w tunelu o długości 27 km. Przyjmu-jąc, że tunel ma kształt okręgu znaleźć wartość in-dukcji pola magnetycznego B, jaka jest potrzebna

do takiego zakrzywienia toru ruchu. Porównać tęwartość do wartości indukcji magnetycznej Ziemi.Przy okazji omówić jakościowo zasadę działaniaakceleratora cząstek. Jakie pole zakrzywia tor ru-chu, a jakie napędza cząstki do coraz to większychprędkości, i jak to jest realizowane?

5. Obliczyć skok linii śrubowej, po której porusza sięproton, wlatujący w stałe i jednorodne pole ma-gnetyczne o indukcji ~B z prędkością ~v skierowanąpod katem α do linii pola magnetycznego. Jakajest częstość cyklotronowa i zinterpretować jej zna-czenie oraz sprawdzić jednostki.

6. Wektor natężenia pola elektrycznego ~E skiero-wany jest wzdłuż osi z, a wektor indukcji ma-gnetycznej ~B wzdłuż osi x. Elektron o ładunku−e i masie me w chwili t = 0 spoczywa w po-czątku układu współrzędnych. Wyznaczyć tor ru-chu cząstki i go omówić. Jak zmieni się tor ruchu,gdyby cząstką był proton? Porównać częstości cy-klotronowe dla elektronu i protonu. Powiązać pro-blem w tym zadaniu z klasycznym efektem Halladla prądu elektronów, omówionym na wykładzie.

11.4 Zadania domowe1. Okładki naładowanego kondensatora zostały

zwarte opornikiem R. Pojemność kondensatorabyła regulowana w taki sposób, aby natężenieprądu rozładowania było stałe. Ponieważ różniąpotencjałów między okładkami kondensatorajest równa spadkowi napięcia na oporniku, więcprzy I = const. na podstawie prawa Ohmawnioskujemy, że w opisanej sytuacji rozładowanienastępuje przy U = const.. Energia jaka wydzielisię na oporniku, jest więc równa UIt = UQ,gdzie t jest to czas rozładowania, a Q ładunekjaki przepłynął w czasie t. Z drugiej strony, wchwili początkowej energia kondensatora wyno-siła UQ/2. Skąd wzięła się nadwyżka energiiwydzielonej na oporniku?

2. Proton i elektron wpadają pod tym samym ką-tem w jednorodne i stałe pole magnetyczne. Ob-liczyć stosunek promieni linii śrubowych, po któ-rych porusza się proton i elektron w przypadkugdy: 1) elektron i proton są rozpędzane w poluelektrycznym o takiej samej co do wartości róż-nicy potencjałów, 2) elektron i proton wpadają wpole magnetyczne z takimi samymi prędkościami.Skąd wynika różnica?

3. W jednorodnym i stałym polu magnetycznym ztego samego punktu wylatują dwie identycznecząstki z takimi samymi prędkościami lecz różnieskierowanymi. Prędkość pierwszej cząstki tworzykąt ostry α, a drugiej cząstki kąt ostry β. W jakimnajkrótszym czasie tmin po pierwszej cząstce po-winna wylecieć cząstka druga, aby nastąpiło zde-rzenie, jeśli kąty α i β leżą w jednej płaszczyźniew chwili początkowej. Okres obiegu cząstki wy-nosi T . Znaleźć wartość tmin dla α = arc cos 0.6,β = arc cos 0.8 oraz T = 10−5s.

13

12 Tydzień XII, 16-22/12/2019

12.1 Wykład&4. Pole elektromagnetyczne - cd., energia w zjawiskuindukcji elektromagnetycznej, prawo Ohma z SEMindukcji elektromagnetycznej, reguła Lentza i jejmanifestacja w różnych sytuacjach, różniczkowe prawoFaradaya, prawo Faradaya za pomocą potencjałów,indukcyjność obwodu, współczynnik samoindukcji(indukcji własnej) L, prawo Faradaya dla samoin-dukcji E = −LdI/dt, przykład: obwód RL, indukcjawzajemna, współczynnik indukcji wzajemnej, energiamagnetyczna w układach z indukcją magnetyczną,energia magnetyczna wyrażona za pomocą pól ~A,~B i ~H, gęstość energii pola magnetycznego, prądprzesunięcia Maxwella ~jP = ∂ ~D/∂t, uogólnienie prawaAmpera na przypadek prądów zmiennych w czasie.

&5. Równania Maxwella - Pełna postać równań Ma-xwella w postaci całkowej∮

~D · d~S = Q,∮~B · d~S = 0,∮

~E · d~l = −dΦmdt

+∑i

E(i)zew,∮

~H · d~l =dΦedt

+∑i

Ii,

i różniczkowej~∇ · ~D = ρe,

~∇ · ~B = 0,

~∇× ~E = −∂~B

∂t,

~∇× ~H = ~j +∂ ~D

∂t,

prawa uzupełniające

~D = εrε0 ~E = ε0 ~E + ~P ,

~B = µrµ0 ~H = µ0 ~H + µ0 ~M,

prawo Ohma~j = σ ~E,

gęstość energii pola elektromagnetycznego

ρE =12

( ~D · ~E + ~B · ~H),

streszczenie znaczenia tych praw.

III. Drgania w obwodach elektrycznych i faleelektromagnetyczne

&1. Drgania elektryczne w układzie LC - defini-cja układu LC jakościowe omówienie dlaczego poja-wia się oscylacja ładunku na kondensatorze, II prawoKirchhoffa dla obwodu LC i jego rozwiązanie, częstośćdrgań własnych ω = 1/

√LC, okres drgań własnych

T = 2π√LC, cdn.

12.2 Pokazy

1. Otrzymywanie prądów indukcyjnych: Ruch wza-jemny zwojnicy i magnesu E-144, Ruch wzajemnydwóch zwojnic E-145, lub E-146, lub E-147.

2. Reguła Lenza: Odpychanie i przyciąganie pierście-nia E-149, Wciągani i wyciąganie magnesu ze zwojnicyE-150.

3. Zjawisko samoindukcji: Prądy samoindukcji przyzamykaniu i otwieraniu obwodu E-152, Wartość siłyelektromagnetycznej samoindukcji E-153.

4. Prądy wirowe w bryłach metalicznych: Hamowa-nie wychyleń wahadła E-155, Hamowanie wirującej tar-czy E-156, Spadanie monety między biegunami elektro-magnesu E-157, Ogrzewanie brył metalicznych przezprądy wirowe E-159.


1. Prawo Ampera i prawo Biota-Savarta - Z prawaAmpera znaleźć natężenie pola magnetycznegow odległości r od nieskończenie długiego i nie-skończenie cienkiego przewodnika prostoliniowgo,przez który płynie prąd o natężeniu I. Z prawaBiota-Savarta wyznaczyć indukcję pola magne-tycznego oraz sprawdzić jednostki w obu przypad-kach.

2. Siła Ampera - Znaleźć siłę na jednostkę długościz jaką oddziałują dwa nieskończone przewodnikirównoległe do siebie i oddalone o odległość d jeślipłyną w nich prądy I1 i I2. Czy siła działająca najeden z nich może być większa?

3. Znaleźć natężenie pola magnetycznego w odległo-ści r od nieskończenie długiego przewodnika pro-stoliniowgo o przekroju kołowym o promieniu a,przez który płynie prąd o natężeniu I.

4. Wyznaczyć natężenie pola magnetycznego wpunkcie leżącym na prostej przechodzącej przezśrodek okręgu utworzonego z przewodnika, prosto-padłej do płaszczyzny wyznaczonej przez okrąg.Promień okręgu wynosiR, a przez przewodnik pły-nie prąd o natężeniu I.

5. Po płaszczyźnie XY płynie prąd o gęstości ~σ =σ0~ex. Znaleźć indukcję pola magnetycznego wokółpłaszczyzny.

6. Znaleźć natężenie pola magnetycznego w soleno-idzie mającym n zwojów na jednostkę długości,przez który płynie prąd o natężeniu I.

12.4 Zadania domowe

1. Prąd stały i natężeniu I płynie wzdłuż długiegoprzewodnika w kształcie walca o promieniu a. Zna-leźć indukcję magnetyczną wewnątrz i na zewnątrzwalca, jeśli: a) prąd płynie tylko po powierzchniwalca, b) gęstość prądu jest proporcjonalna ro od-ległości od osi walca.

14

2. Przez cienką płaską próbkę rozciągającą się od z =−a do z = a płynie jednorodny prąd objętościowyo gęstości ~j = jo~ex. Znaleźć indukcję magnetycznąwewnątrz i na zewnątrz próbki.

3. Przez dwa długie współosiowe solenoidy płynąprądy o tym samym natężeniu I, ale przeciwnieskierowane. Wewnętrzny solenoid o promieniu ama na zwojów na jednostkę długości, a zewnętrznysolenoid o promieniu b > a ma nb zwojów na jed-nostkę długości. Znaleźć indukcję magnetyczną wcałej przestrzeni.

4. Przez dwa współśrodkowe półokręgi o promieniachR1 i R2 < R1 płynął prądy o natężeniu I. Znaleźćdługość wektora indukcji magnetycznej w środkutych okręgów, jeśli: a) półokręgi leżą w tej samejpłaszczyźnie, b) półokręgi leżą w płaszczyznachwzajemnie do siebie prostopadłych. Jak pole bę-dzie zależało od kierunku, w którą płynął prądy?Zaniedbujemy efekty związane ze sposobem do-prowadzenia prądów do tych układów.

13 Tydzień XIII, 6-12/01/2020

13.1 Wykład

&1. Drgania elektryczne w układzie LC - cd., energiaobwodu drgającego LC.

&2. Drgania elektryczne z tłumieniem w obwodzieRLC - definicja obwodu RLC, fizyczne źródło tłumie-nia w tym obrodzie, II prawo Kirchhoffa i jego roz-wiązanie, logarytmiczny dekrement tłumienia, częstośćdrgań własnych, granice słabych tłumień, tłumień kry-tycznych i silnych tłumień.

&3. Rezonans elektryczny w obwodzie szeregowymRLC - obwód szeregowy RLC z sinusoidalnie zmiennąSEM E = E0 sin Ωt, II prawo Kirchhoffa i postać roz-wiązania tego równania na ładunek na kondensatorze,prąd w obwodzie RLC, dyskusja zachowania się ampli-tudy natężenia prądu, warunek rezonansu elektrycz-nego, przesunięcie fazowe w funkcji częstości SEM, im-pedancja (opór pozorny), definicja oporu OhmowegoRR = R, oporu indukcyjnego RL = ΩL i oporu pojem-nościowego RC = 1/ΩC, interpretacja prądów i spad-ków napięć w obwodzie szeregowym RLC, przesunię-cia fazowe napięć na oporniku UR = RI o φ = 0,cewce UL = −LdI/dt o φ = π/2 i kondensatorzeUC = (1/C)

∫Idt o φ = −π/2 względem płynącego

zmiennego prądu, naszkicowanie metody wskazorów dorozwiązywania problemów obwodów z prądem zmien-nym na przykładzie szeregowego i równoległego ob-wodu RLC, symetria relacji pomiędzy U , Φm, I i Q:U = dΦm/dt,I = dQ/dt,R = dU/dI,L = dΦm/dI,C = dQ/dU ,M = dΦm/dQ,oraz idea istnienia memrystoru - opornik z pamię-cią M(Q), czwarty nieliniowy element układów elek-

trycznych charakteryzujący się oporem, który zależyod wcześniejszego ładunku na tym elemencie.

13.2 Zadania na ćwiczenia1. Duży kondensator płaski o jednorodnym rozkła-

dzie ładunków z gęstościami ±σ porusza się zprędkością v (skierowaną wzdłuż jednego z bo-ków okładek). Znaleźć indukcję magnetyczną po-między okładkami i na zewnątrz. Znaleźć siłę ma-gnetyczną na jednostkę powierzchni, działającą nagórną okładkę. Przy jakiej wartości prędkości siłata zrównoważy siłę elektryczną?

2. Znaleźć potencjał wektorowy nieskończonego sole-noidu o n zwojach na jednostkę długości i promie-niu R, przez który płynie prąd o natężeniu I. Wy-znaczyć indukcje magnetyczną w całej przestrzeni.Wskazać, że klasycznie jedynie indukcja magne-tyczna, a nie potencjał wektorowy, jest możliwydo obserwacji. W mechanice kwantowej będzie ina-czej.

13.3 Zadania domowe1. Dwie nieskończone linie proste, naładowane gęsto-

ścią liniową λ każda, oddalone od siebie o d, poru-szają się ze stałą prędkością v równoległą do linii.Jak duża musi być prędkość v aby równoważyć siłęelektryczną?

2. Nieskończony solenoid o liczbie zwojów n na jed-nostkę długości, przez który płynie prąd o natęże-niu I wypełniony jest substancją o podatności ma-gnetycznej χ. Znaleźć indukcję magnetyczną we-wnątrz solenoidu.

14 Tydzień XIV, 13-19/01/2020

14.1 Wykład&4. Fale elektromagnetyczne - heurystyczne omówieniekonieczności istnienia fal elektromagnetycznych roz-chodzących się w próżni jako konsekwencja równań Ma-xwella, wytwarzanie fal elektromagnetycznych, otwie-ranie obwodu RLC z sinusoidalnie zmienną SEM, wy-promieniowywanie fali w antenie półfalowej, strukturafali elektromagnetycznej, prędkość rozchodzenia się falielektromagnetycznej w próżni i w ośrodkach dielek-trycznych i magnetycznych.

&5. Teoria Maxwella fal elektromagnetycznych - wy-prowadzenia równań falowych dla pól w postaci ~E =~E(y, t) oraz ~H = ~H(y, t)

∂2Ez(y, t)∂y2 =

1v2

∂2Ez(y, t)∂t2

,

∂2Hx(y, t)∂y2 =

1v2

∂2Hx(y, t)∂t2

,

gdzie v = 1/√ε0εrµ0µr, dygresja na temat równa-

nia falowego i własności jego rozwiązań oraz wielko-ści opisujące fale płaskie: okres, częstość, częstotliwość,

15

liczba (wektor) falowy, długość fali, rozwiązanie rów-nań falowych dla pól elektromagnetycznych Ez(y, t) =E0 sin(ky − ωt) i Hx(y, t) = H0 sin(ky − ωt), sens sta-łych k i ω, związek pomiedzy polem E i polem H, opórfalowy ośrodka, gęstość energii fali płaskiej ρE , stru-mień mocy fali, gęstość strumienia energii S = ρEc,wektor Poyntinga, wektor Poyntinga dla fal płaskich,zasada zachowania energii i równanie ciągłości dla ener-gii, wektor Poyntinga w postaci ~S = ~E × ~H z, śred-nia po okresie gęstość energii pola elektromagnetycz-nego, średnia po okresie wektora Poyntinga, natężeniepromieniowania, pęd fali elektromagnetycznej, wypro-wadzenie wzoru na pęd, ciśnienie promieniowania dlapodłoża doskonale pochłaniającego i całkowicie odbi-jającego, cdn.

14.2 Pokazy

A. Samoindukcja:1. SEM samoindukcji E-152 lub 153,2. bezwładność prądu w układzie RL E-154.B. Prądy zmienne:1. generatory prądów zmiennych E-161, E-162 lub cojest dostępne na pracowni aby omówić ideę,2. przebieg prądów zmiennych, oscyloskop E-166,3. opór indukcyjny w układzie RL E-166,4. opór pojemnościowy w układzie RC E-167 lubE-168,5. rezonans w układzie LC E-169, E-170, E-171 lubE-172,6. przesunięcie w fazie E-174,7. transformator E-176, E-177 lub E-178,8. drgania tłumione W-27 lub W-28.


1. a) Sfera o promieniu R, jednorodnie naładowanaz gęstością powierzchniową σ, obraca się ze stałąprędkością kątową ~ω. Znaleźć potencjał wektorowyw całej przestrzeni. Stąd wyznaczyć indukcję ma-gnetyczną. b) Znaleźć pole magnetyczne jednorod-nie namagnesowanej kuli. W obu przypadkach do-stajemy pole dipola magnetycznego. Omówić ja-kościowo, podając gotowe wyniki całek.

2. Przez długi metalowy pręt o promieniu R płynieprąd o natężeniu I. Znaleźć natężenie pola ma-gnetycznego, indukcję magnetyczną i magnetyza-cję wewnątrz i na zewnątrz pręta. Podatność ma-gnetyczna χ jest dana. Sprawdzić warunki brze-gowe na powierzchni pręta. Sprawdzić jednostki.

3. Metalowy dysk o promieniu a obraca się z prędko-ścią kątową ω wokół pionowej osi w jednorodnympolu magnetycznym o indukcji ~B skierowanym kugórze. Obwód elektryczny zamyka opornik R po-łączony z jednej strony z osią, na której obracasię dysk, a z drugiej z ruchomym kontaktem śli-zgającym się na brzegu dysku. Znaleźć natężenieprądu płynącego przez opornik. Wyjaśnić fizycznepochodzenie SEM.

14.4 Zadania domowe

1. Wyjaśnić pochodzenie pola elektrycznego i magne-tycznego wewnątrz wirującego dysku nadprzewo-dzącego (oporność właściwa ρ = 0, a podatnośćmagnetyczna χ = −1) jako skutek odpowiedniosiły odśrodkowej i siły Coriolisa.4

15 Tydzień XV, 20-26/01/2020

15.1 Wykład

&5. Teoria Maxwella fal elektromagnetycznych - cd.,fotometria, definicje natężenia światła, jednostki kan-dela, strumienia świetlnego, jednostki lumen, luminacjioraz oświetlenia powierzchni i jednostki luks.

&6. Fale elektromagnetyczne w ośrodkach - ogólnerównania falowe dla pól elektrycznych i magnetycz-nych, prędkość rozchodzenia się fali w ośrodku v = c/n,współczynnik załamania n =

√εrµr, warunki brzegowe

dla pól na granicy dwóch ośrodków o różnych współ-czynnikach załamania, odbicie i przejście fali elektro-magnetycznej przy padaniu prostopadłym, współczyn-nik przejścia T i odbicia R, zasada zachowania R+T =1, cdn.

15.2 Pokazy

Własności falowe promieniowania elektromagnetycz-nego:1. odbicie fal W-42,2. załamanie fal w dielektrykach W-43,3. interferencja fal W-44,4. polaryzacja fal W-45,5. fale stojące W-46 lub W-49 lub W-52,6. długość fali w dielektryku W-50,7. załamanie fali,8. prędkość światła,9. widmo światła, pryzmat,10. wiatraczek do pokazu ciśnienia fali elektromagne-tycznej.


1. Obwód RLC - W obwodzie RLC (szeregowo włą-czone są opornik, kondensator i cewka indukcyjna)sformułować i rozwiązać równanie równanie IIprawa Kirchhoffa dla obszaru parametrów, w któ-rym występują oscylacje R2/4L < 1/C. Spraw-dzić jednostki występujących stałych. Ze znale-zionej funkcji q(t) opisującej ładunek na okładcekondensatora znaleźć natężenie prądu w układzieoraz spadek napięcia na oporniku. Omówić zmianęenergii układu w czasie, tj. przemiany energiielektrycznej w magnetyczną oraz zanik całkowi-tej energii pola elektromagnetycznego. (Problemwyznaczenia q(t) zrobiłem na tablicy na wykła-dzie więc jeśli studenci ten etap mają opanowanyto wystarczy go streścić).

4R.G. Rystephanick, Am. J. Phys. 44, 647 (1976).

16

2. Obwód LRC z SEM Źródło sinusoidalnie zmien-nej SEM o częstości ω oraz opornik, kondensatori cewka indukcyjna połączone są równolegle, rysu-nek 16c w zadaniach domowych. Wyznaczyć war-tość impedancji tego układu. Narysować jej modułw zależności od częstości.

3. Fale elektromagnetyczne Na wykładzie wyprowa-dziliśmy równania falowe na pole elektryczne i ma-gnetyczne które mogą zależeć od (y, t), patrz wy-kład XIV. Pokazać, że pola Ez(y, t) = E0 sin(k1y±ω1t+φ1) oraz Hx(y, t) = H0 sin(k2y±ω2t+φ2) sąrozwiązaniami tych równań falowych. Zauważyć,że analogiczne rozwiązania można zapisać za po-mocą funkcji kosinus cos(ky ± ωt+ φ) lub funkcjiwykładniczych ei(ky±ωt+φ). Pokazać z równań Ma-xwella, że parametry k1 = k2, ω1 = ω2 i φ1 = φ2.Omówić jak wygląda przebieg tych funkcji: zmianapola w czasie w ustalonym punkcie y, zmiana poło-żenia w czasie punktu o ustalonej fazie. Jakie jestznaczenie wielkości k, ω i φ? Jaka jest prędkośćfazowa fali przy ustalonym k i ω? Jaka jest dłu-gość i okres fali przy ustalonym k i ω? Sprawdzićjednostki.

4. Fale elektromagnetyczne - przykład liczbowy Pła-ska fala elektromagnetyczna o długości 12m roz-chodzi się w próżni w kierunku osi x. Obliczyćnatężenie pola elektrycznego tej fali w punkciex = 4m, jeśli wiadomo, że w tej samej chwili poleelektryczne osiąga swą największą wartość równa14V/m w punkcie x0 = 5m. Jakie są wartości na-tężenia pola magnetycznego w tych dwóch punk-tach?

5. Światłość czyli jak kupować żarówki - Żarówkaelektryczna ma moc P = 400W . Wiedząc, żesprawność świetlna żarówki (to znaczy stosunekstrumienia światła wysyłanego przez żarówkę domocy tej żarówki) wynosi η = 0, 1lm/W , obliczyćświatłość żarówki. Zakładamy, że żarówka promie-niuje równomiernie we wszystkich kierunkach. Po-dać typowe parametry jakie można znaleźć na opa-kowaniu żarówek i wyjaśnić ich znaczenie. Wsk.przypomnieć co to są kandela, lumen i steradian.

15.4 Zadania domowe1. Znaleźć wartość impedancji i narysować zależność

jej modułu od częstości dla obwodów przedstawio-nych na rysunku 16 (poza przypadkiem c, którybył omówiony na ćwiczeniach).

2. Czy można tak dobrać wartości oporów R1 i R2,aby impedancja obwodu na rysunku 17 była rze-czywista dla całego zakresu częstości?

3. Pokazać, że całkowity strumień magnetyczny prze-chodzący przez powierzchnię otoczoną obwodembezoporowym R = 0 nie może ulec zmianie. Wsk.Wyobrazić sobie nadprzewodzący pierścień w ze-wnętrznym polu magnetycznym i zbadać jaki jestwpływ zmiany zewnętrznego pola w czasie na na-tężenie prądu płynącego w pierścieniu.

Rysunek 16:

Rysunek 17:

4. Transformator - Nawijając na wspólnym rdzeniuferromagnetycznym dwa uzwojenia o liczbach zwo-jów N1 i N2, otrzymujemy transformator służącydo zmiany napięcia i natężenia prądu zmiennego.Omówić zasadę działania tego urządzenia i wypro-wadzić wzór na przekładnie transformatora. Podaćprzykłady zastosowań transformatorów w naszymotoczeniu.

5. Obwód LR z SEM - Rozważyć obwód RL (szere-gowo połączony jest opornik z cewką indukcyjną)do którego włączono źródło stalej siły elektromo-torycznej E . Wyznaczyć zmianę prądu w przy-padku gdy: a) zamykamy obwód, b) otwieramyobwód. Dlaczego w rzeczywistych układach prądnie zmienia się skokowo?

6. Z równań Maxwella bez ładunków i prądów wy-prowadzić równania falowe w ogólnej postaci

∇2 ~E = ε0µ0εrµr∂2E

∂t2,

∇2 ~H = ε0µ0εrµr∂2H

∂t2.

Pokazać, że równania z zadania 3 z ćwiczeń sąszczególnym przypadkiem. Wyprowadzić wyraże-nie na prędkość fali v = 1/

√ε0µ0rµr i sprawdzić

jednostki. Jak wyniki te wyglądają w próżni? Wsk.~∇ × (~∇ × ~A) = ~∇(~∇ · ~A) − 4 ~A oraz w próżni~∇ · ~A = 0, gdzie ~A = ~E lub ~H.

7. Strumień energii i pęd fali elektromagnetycznej -Natężenie światła słonecznego padającego na po-wierzchnię Ziemi wynosi około 1300W/m2. Jakieciśnienie wywiera światło na powierzchnię Ziemi,jeśli ta całkowicie je pochłania? Jak zmieni się wy-nik, gdy powierzchnia jest całkowicie odbijająca?Jaką część ciśnienia atmosferycznego stanowi to ci-śnienie? Sprawdzić jednostki. Wsk. Wektor Poyn-tinga, gęstość strumienia energii pola elektroma-gnetycznego, wektor natężenia promieniowania,

17

~S = ~E × ~H, a gęstość pędu pola elektromagne-tycznego ~P = ~S/c2.

8. Żarówka 100W znajdje się 30cm nad stołem. Ja-kie jest natężenie światła na stole pionowo podżarówką? Jakie jest ciśnienie promieniowania nastole pod żarówką gdy stół jest doskonale czarnyi gdy jest doskonale odbijający. Podać wyniki wliczbach z jednostkami i porównać z typowymciśnieniem atmosferycznym. Jaka musiałaby byćmoc żarówki aby ciśnienie promieniowania byłoporównywalne z ciśnieniem atmosferycznym?

9. Źródło światła zielonego o mocy 1W wywołujewrażenie wzrokowe strumienia 685lm. Obliczyćenergię przenoszoną w ciągu 60s, jeżeli wrażenieodpowiada strumieniowi 1370lm.

10. Światłość świecy w kierunku poziomym wynosi1cd. W odległości 2m ustawiono pionowo płytę opowierzchni 2m2. Zakładają, że rozkład promie-niowania w kierunku tej powierzchni jest izotro-powy oraz uwzględniając, że kąt bryłowy wyzna-czony przez powierzchnię jest mały w porówna-niu z pełnym kątem bryłowym, obliczyć strumieńświetlny przez powierzchnie i jej oświetlenie.

16 Tydzień XVI, 27/01-02/02/2020

16.1 Wykład&6. Fale elektromagnetyczne w ośrodkach - cd., odbi-cie i przejście fali przy padaniu ukośnym, trzy prawa:1. wektory falowe fali padającej, odpitej i przechodzą-cej leżą na jednej płaszczyźnie, 2. kąt padania jestrówny kątowi odbicia, 3. prawo załamania (Snella)sin θT / sin θI = n1/n2, rozwiązania Fresnela i ich dys-kusja, kąt Brewstera, całkowite wewnętrzne odbicie.

&7. Interferencja fal elektromagnetycznych - co tojest interferencja fal, prawo składania fal, przykład in-terferencji dla dwóch nieskończenie długich równole-głych źródeł promieniowania, warunki na interferencjękonstruktywną i destruktywną, fale spójne, źródła falspójnych, interferometr Macha-Zehndera.

&8. Dyfrakcja światła - co to jest dyfrakcja, ugięcieświatła na małych centrach rozpraszających, obraz dy-frakcyjny, zasada Huyghensa, rozwiązanie Fresnela dladyfrakcji ma małym otworze, analiza obrazu dyfrakcyj-nego, zależność dyfrakcji od wielkości szczeliny.

Literatura• J. Ginter, Elektromagnetyzm

• * D.J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki5

• * D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawyfizyki, vol. 3 i 4

• * A. Januszajtis, Fizyka dla politechnik, vol. 2 i 3.

• * E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm

• A.H. Piekara, elektryczność i magnetyzm

• * A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fi-zyki tom 2, cz.2

Zadania• * A. Henel, W. Szuszkiewicz, Zadania i problemyz fizyki, cz. 2

• W.W. Batygin, I.N. Toptygin, Zbiór zadań z elek-trodynamiki

• J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiórzadań z fizyki, vol. 1 i 2.

Inne• A. Blinowska, A. Blinowski, W. Gorzkowski, Fale,cząstki, atomy

• T. Dryński, Doświadczenia pokazowe z fizyki

• D. Fleisch, A student guide to Maxwell’s equations

• J. Gaj, Elektryczność i magnetyzm

• W. Gorzkowski, A. Szymacha, Pola i ruch

• B.K. Poczelin, Analiza wektorowa dla inżynierów

• M. Gewert, Z. Skoczylas, Elementy analizy wekto-rowej - Teoria, przykłady, zadania

5Pozycje oznaczone * są podstawowe.

18

elektrodynamika in 1 tydzień i,...

Documents