Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Fizikas nodaļa

Lekciju konspekts kursam vispārīgajā fizikā

Elektromagnētisms

As. prof. Andris Muižnieks Noformējums un grafika: Andris Muižnieks, Kaspars Lācis Rīga, 2003. Anotācija Šajā konspektā tiem jautājumiem, kas tiek aplūkoti kursa “Elektromagnētisms” lekcijās, tiek dots lekcijas faktoloģiskais materiāls (zīmējumi, formulas u.c. fakti), kas studentam ir obligāti jāzina. Materiāla izpratnei un pareizai interpretācijai jāapmeklē lekcijas un jāstudē mācību grāmatas. Tie eksāmena (programmas) jautājumi, kas netiek aplūkoti lekcijās un nav šajā konspektā, ir jāapgūst patstāvīgi.

2

Saturs 1. Elektrostatika .........................................................................................................4

1.1. Kulona likums.................................................................................................4 1.2. Elektriskais lauks ............................................................................................5 1.3. Gausa teorēma (G.T.) vakuumā .......................................................................6 1.4. Gausa teorēmas pielietošanas piemēri..............................................................7

2. Darbs, potenciāla enerģija un potenciāls elektriskajā laukā.....................................9 2.1. Darbs elektriskajā laukā ..................................................................................9 2.2. Potenciālā enerģija ..........................................................................................9 2.3. Potenciāls, potenciālu starpība jeb spriegums ................................................ 10

3. Vadītāji elektriskajā laukā .................................................................................... 11 3.1. Lādiņa izvietošanās, lauka intensitāte un potenciāls vadītājā.......................... 11

4. Līdzstrāva ............................................................................................................ 14 4.1. Elektriskā strāva............................................................................................ 14 4.2. Oma likums ķēdes posmam........................................................................... 15 4.3. Oma likums diferenciālā formā ..................................................................... 16 4.4. Strāvas darbs un jauda. Džoula – Lenca likums ............................................. 17 4.5. Elektrodzinējspēks (EDS).............................................................................. 18 4.6. Lādiņu atdalīšana strāvas avotos.................................................................... 18 4.7. Strāvas avota lietderības koeficients .............................................................. 19 4.8. Oma likums ķēdes posmam, kurā ir elektrodzinējspēks ................................. 20 4.9. Sazarotas ķēdes, Kirhofa likumi .................................................................... 21

5. Magnētiskie spēki un elektriskās strāvas magnētiskās .......................................... 24 5.1. Magnētiskais spēks........................................................................................ 24 5.2. Kustoša lādiņa magnētiskais lauks vakuumā.................................................. 24 5.3. Magnētiskais lauks ap strāvas elementu un strāvu.......................................... 25 5.4. Vielas relatīvā magnētiskā caurlaidība, magnētiskā lauka intensitātes vektors26 5.5. Riņķveida strāvas magnētiskais lauks un strāvas magnētiskais moments ....... 26 5.6. Konvekcijas strāvas magnētiskais lauks, Roulenda un Eihenvalda eksperimenti............................................................................................................................ 27 5.7. Magnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācija, cirkulācijas teorēma (C.T.) un lauka virpuļainais raksturs (solenoidāls lauks)...................................................... 28 5.8. Cirkulācijas teorēmas pielietojumi................................................................. 29 5.9. Spēks uz strāvas vadu ārējā magnētiskā laukā, strāvu mijiedarbība, Ampēra likums.................................................................................................................. 30

6. Elektromagnētiskā indukcija ................................................................................ 33 6.1. Elektromagnētiskās indukcijas parādība, Faradeja likums, Lenca likums ....... 33 6.2. Magnētiskās plūsmas maiņas iespējamie iemesli ........................................... 34 6.3. Elektromagnētiskā indukcija no elektronu teorijas viedokļa........................... 35 6.4. Elektromagnētiskā indukcija no enerģētiskā viedokļa .................................... 35

7. Dielektriķi elektriskajā laukā................................................................................ 37 7.1. Elektriskais dipola moments.......................................................................... 37 7.2. Dielektriķa polarizācija ................................................................................. 38 7.3. Polarizācijas vektora saistība ar virsmas polarizācijas lādiņa blīvumu............ 39 7.4. Elektriskais lauks dielektriķī.......................................................................... 40 7.5. Gausa teorēmas vispārinājums telpā ar dielektriskiem apgabaliem................. 41

8. Vielas magnētiskās īpašības ................................................................................. 42 8.1. Atoma magnētiskais moments ....................................................................... 42 8.2. Magnētiķu magnetizācija............................................................................... 42

3

8.3. Magnetizācijas vektora saistība ar virsmas magnetizācijas strāvas lineāro blīvumu ............................................................................................................... 43 8.4. Magnētiskais lauks magnētiķī........................................................................ 44 8.5. Cirkulācijas teorēmas vispārinājums telpā ar magnētiķu apgabaliem ............. 45

9. Elektromagnētiskais (EM) lauks, EM lauka enerģija un impulss, EM vilni........... 46 9.1. Maksvela vienādojumi (MV)......................................................................... 46 9.2. Nobīdes strāvas ............................................................................................. 47 9.3. Pamatojums nobīdes strāvu ieviešanai ........................................................... 48 9.4. Pilna EM uzdevuma shēma ........................................................................... 49 9.5. Elektromagnētiskā lauka enerģija, enerģijas plūsma, enerģijas plūsmas blīvums............................................................................................................................ 49 9.6. Elektromagnētiskā lauka impulsa blīvums ..................................................... 51 9.7. Elektromagnētiskie viļņi, viļņu vienādojumi.................................................. 52 9.8. Informācija par viļņa vienādojumu ................................................................ 53 9.9. Plaknisks EM vilnis....................................................................................... 54 9.10. Elektromagnētisko viļņu enerģijas blīvums, enerģijas plūsmas blīvums, impulsa blīvums, spiediens, masas blīvums.......................................................... 55 9.11. Elektromagnētisko viļņu izstarošana, dipols kā starotājs .............................. 57

4

1. Elektrostatika 1.1. Kulona likums Kulona likums vektoriālā un skalārā formā Ogistēns Kulons, 1785. g. Mūsdienu forma SI sistēmā:

+ +

F12 r12 F21

q q1 2

3120

122121 4 r

rqqF

πε

rr= , 1221 FF

rr−= , 2

0

21

4 r

qqF

πε= .

ε0=8.85*10-12 C2/(Nm2) – elektriskā konstante. Centrāls spēks. Superpozīcijas princips q

n

q1

qi

q2

q0

F1 F2

Fi

Fn

∑=

=n

iiFF

1

rr, kur iF

r izrēķina pēc Kulona likuma lādiņu pārim q0 un qi.

SI mērvienību sistēma

1m 1m

1mI I

F

Def. Strāvas mērvienība – ampērs (A). Ja F=2*10-7 N, tad I=1A.

I

∆t∆q

t

qI

∆∆

= , tIq ∆=∆ . Def. Lādiņa mērvienība - kulons (C) sAC 111 ⋅= .

5

Kulona likums homogēnā neierobežotā dielektriķī

20

21

4 r

qqF

επε= ,

kur ε − vielas relatīvā dielektriskā caurlaidība (rāda, cik reižu pavājināsies spēks vielā). Piemēri: vakuumam ε=1 (pēc definīcijas), gaisam ε=1.00059, ūdenim ε=81. 1.2. Elektriskais lauks Elektriskā lauka definīcija lādiņš lādiņš (tāldarbība) lādiņš lauks lādiņš (tuvdarbība)

q q0

Fr

Def. 0q

FE

rr

= - elektriskā lauka intensitātes vektors telpas punktā, kur atrodas lādiņš

q0. Punktveida lādiņa elektriskais lauks

30

0

4 r

rqqF

επε

rr= , 3

00 4 r

rq

q

FE

επε

rrr

== .

+

E

Superpozīcijas princips elektriskajam laukam Seko no superpozīcijas principa elektriskajam spēkam. q

n

q1

qi

q2

q0

E1 E2

Ei

En ∑=

=n

iiEE

1

rr

6

Piemērs: elektriskais lauks 2 pēc absolūtās vērtības vienādu, bet ar pretējām zīmēm, punktveida lādiņu sistēmai

-+

E+

E+

E-

E-

-+

E

Nepārtraukti lādiņu sadalījumi

∆q∆V

V

q

∆∆

=ρ

∆q∆S

S

q

∆∆

=σ

tilpuma blīvums C/m3 virsmas blīvums C/m2

∆q∆l

l

q

∆∆

=λ

lineārais blīvums C/m 1.3. Gausa teorēma (G.T.) vakuumā Elektriskā lauka plūsma caur virsmu S

dS

n

E

dS

EE

S

nr

- normāles vienības vektors.

dSnSdrr

= - virsmas elementa vektors. Def. ∫∫=S

SdENrr

- plūsma.

turpinot iegustam:

7

Gausa teorēma

dS

E

dSE q

n+k

q1

q1

qn+1

qn+i

qn

q3

qiS

vai

ρdV

V

S

dS E

∑∫∫=

=n

ii

S

qSdE10

1

ε

rr jeb qSdE

S 0

1

ε=∫∫

rr, kur ∑

=

=n

iiqq

1

Elektriskā lauka intensitātes plūsma caur noslēgtu virsmu S ir vienāda ar virsmas iekšpusē (tilpumā V) esošo lādiņu algebrisko summu, dalītu ar elektrisko konstanti.

G.T. pieraksts nepārtrauktam lādiņu sadalījumam: ∫∫∫∫∫ =VS

dVSdE ρε 0

1rr.

G.T. pielietošanas soļi: 1) Izmantojot sistēmas simetrijas īpašības tiek izveidots priekšstats par elektriskā

lauka kvalitatīvo raksturu; 2) Tiek izvēlēta piemērota noslēgta virsma; 3) Pielieto G.T. kvantitatīvi.

1.4. Gausa teorēmas pielietošanas piemēri Lielas vienmērīgi uzlādētas plāksnes lauks

dSE

dS

E

σ

E

E

dS

E

q

SG1

SG2

SC

S0

000

21

20 ESESESSdESdESdESdECSGSGSS

=++=++= ∫∫∫∫∫∫∫∫−−−

rrrrrrrr; σ0Sq = ,

02εσ

=E .

8

Vienmērīgi uzlādētas lodes lauks

dS

E

S

r

0

R

q

E

rq

r

dS

E

E

Ārpusē: 24 rEdSEdSESdESSS

π⋅==⋅= ∫∫∫∫∫∫rr

; 204 r

qE

πε= .

Iekšpusē: 24 rEdSEdSESdE

SSS

π⋅==⋅= ∫∫∫∫∫∫rr

; 3

3

3

4,

3

4

R

qrVq rr

πρπρρ === , q

R

rqr 3

3

= ,

304 R

rqE

πε= .

Bezgalīgi gara vienmērīgi uzlādēta diega lauks

dS

E

dS

EE

dS

l

r

SG1

SC

SG2

lrlElqrlEdSEEdSSdESdESdESdECCCGG SSSSSS

λε

πλπ0

12,,2

21

=====++= ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫rrrrrrrr

rE

πελ20

= .

9

2. Darbs, potenciāla enerģija un potenciāls elektriskajā laukā 2.1. Darbs elektriskajā laukā

dl

F

1

2

q

q0

dr

r

α

α

r

r1

2

Elektriskā spēka veiktais darbs punktveida lādiņam q0 pārvietojoties lādiņa q elektriskajā laukā:

∫ ∫∫∫ =

−

⋅=

⋅=

⋅=⋅⋅==

2

1

2

1

2

10

02

2

1 0

02

0

02

1

12

1

4

1

44cos

r

qqdr

r

qqdr

r

qqdlFldFA

πεπεπεα

rr

−

⋅=

210

0 11

4 rr

qq

πε.

Darbs nav atkarīgs no ceļa formas, bet tikai no galapunktu novietojuma - potenciāls spēku lauks. No superpozīcijas principa seko, ka elektriskā spēka veiktais darbs, pārvietojoties punktveida lādiņam q0, nav atkarīgs no ceļa formas arī jebkuras formas lādiņa q gadījumā. 2.2. Potenciālā enerģija Potenciālo enerģijas W starpības (samazināšanās) starp diviem lādiņa q0 novietojumiem telpā tiek definēta kā elektrisko spēku veiktais darbs, lādiņam q0 pārvietojoties starp šiem stāvokļiem. Def. 2112 WWA −=

q

dl

F

1

2

W

W

q0

10

Potenciālās enerģijas absolūtā vērtība punktā P tiek definēta pieņemot, ka bezgalīgi tālu no ierobežotas lādiņu sistēmas potenciālā enerģija ir 0.

Pq

0

PW W =088

q

0=∞W , PPP WWWA =−= ∞∞ , tātad ∞= PP AW 2.3. Potenciāls, potenciālu starpība jeb spriegums Potenciāls punktā P

PW

q

ϕP

Pq0

Def. 0q

WPP =ϕ

Potenciālu starpība jeb spriegums: Def. 1112 ϕϕ −=U .

dl

E

1

2ϕ

ϕ

q

( ) ∫∫∫ ⋅=⋅=⋅==−=−=2

1

2

1 0

2

1012

021

02112

111ldEld

q

FldF

qA

qWW

qU

rrrr

rrϕϕ , tātad

ldEUrr

∫=2

1

12 .

Homogēnā laukā

E

1

2l

lEldEldEUrrrrrr

⋅=== ∫ ∫2

1

2

1

12 , tātad lEUrr

⋅=12 .

11

3. Vadītāji elektriskajā laukā 3.1. Lādiņa izvietošanās, lauka intensitāte un potenciāls vadītājā Vadītāja piemērs – metāls Ja ārēja elektriskā lauka nav:

kustīgi brīvie elektroniar makroskopiskolādiņa tilpuma blīvumu ρ

nekustīgs pozitīvujonu režžģis ar makroskopiskolādiņa tilpuma blīvumu ρ

tad rezultējošais makroskopiskais lādiņa tilpuma blīvums 0=+= −+ ρρρ . Ja vadītājs ievietots ārējā elektriskā laukā:

Ein

Eex

Ein

Eex

tad tā kā ir brīvie lādiņi, tad lādiņu pārdalīšanās turpināsies tik ilgi, kamēr vadītāja iekšienē rezultējošais elektriskais lauks kļūs 0:

0=+= inexrez EEErrr

.

12

Vadītāja ārējā elektriskā laukā īpatnības elektrostatiskā līdzsvara gadījumā 1. Vadītāja iekšienē rezultējošais elektriskais lauks ir 0. 2. Vadītāja iekšējiem un virsmas punktiem ir vienāds potenciāls.

1

2

3

ϕ2

ϕ3

ϕ1

q>0

dldl

E=0E

∫∫ =⋅=⋅=−2

1

2

1

21 00 ldldErrr

ϕϕ , tātad const321 ==== ϕϕϕϕ .

3. Ārpus vadītāja tā virsmas tiešā tuvumā rezultējošais elektriskais lauks ir perpendikulārs virsmai.

dϕ

ϕ=const

q>0dl

E=0

E

Potenciālam nav lēciena, ,0const,, ==⋅= ϕϕϕ dldEd

rr tātad ldE

rr⊥ jeb nE

rr|| .

4. Vadītāja iekšējos punktos rezultējošais makroskopiskais lādiņa tilpuma blīvums

)0(,0 =+== −+ ρρρρ , lādiņi izvietojas tikai uz virsmas kā virsmas lādiņi.

q>0E

E=0

ρ

S

dS

V

Tiek pielietota GT patvaļīgai noslēgtai virsmai vadītāja iekšienē:

∫∫ ∫∫∫=S V

dVSdE ρε 0

1rr, 0=∫∫∫

V

dVρ , 0=ρ .

13

5. Dobuma izveide vadītāja iekšienē neko nemaina, jo dobumam arī 0=ρ . Seko ekranēšanas iespēja.

q>0E

E=0

ρ=0ρ=0

dobums

6. Lādiņi izvietojas tikai uz ārējās virsmas, uz dobumu virsmām lādiņš nav.

q>0E

E=0

ρ=0

q

S

dS

V

ρ=0dobums

Tiek pielietota GT patvaļīgai noslēgtai virsmai, kas ietver dobuma virsmas fragmentu:

∫∫ =S

qSdE0

1ε

rr, 0=q .

14

4. Līdzstrāva 4.1. Elektriskā strāva Elektriskās strāvas definīcija

Er

+ brīvie elementārlādiņi strāva. Ja ir tikai pozitīvi brīvie elementārlādiņi:

E +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

dqdq t+dt

vE

I

v

t

+

Ja ir abu zīmju brīvie elementārlādiņi, tad:

+

-E

I

Strāvas blīvums

j

dS

dI v+

j

dS

S

Def. dS

dIj = , +↑↑ vj

rr, [ ] 2/ mAj = . Strāva caur virsmu S ∫∫=

S

S SdjIrr

.

Elektronu teorija

+

++

+

v

∆l

∆S

e-elementarladins

tSvenlSenq ∆∆=∆∆=∆ 00 , venSt

tSven

St

qj 0

0 =∆∆

∆∆=

∆∆∆

= , tātad venjrr

0= .

Def. dt

dqI = , [ ] AI = .

Def. dt

dqdqI

−+ += .

15

Skaitlisks piemērs:

1mm2

I=10A

27 /10 mAj = , savukārt ( )32823

0 /110605.0

500010024.6 m

MNn A ⋅≈⋅⋅=≈

ρ, tātad

)/(11010

10

106.1106

10 310

7

1928

7

0

smmen

jv ==≈

⋅⋅⋅== −

−.

4.2. Oma likums ķēdes posmam Oma likums un vadītāja pretestība

E

l

ϕ1

ϕ2

lEldEU ⋅==−= ∫2

1

21

rrϕϕ ,

l

UE = , kur U – spriegums.

Daudzos gadījumos praksē UI ~ , GUI = , kur G – elektrovadītspēja G

R1

= -

elektriskā pretestība.

R

UI = - Oma likums ķēdes posmam, 1827.g. G. Oms.

[ ] Ω== 11

1

A

VR (oms), [ ] SG 1

1

1=

Ω= (sīmenss).

Vispārējā gadījumā ( )UfI = - voltampēru raksturlīkne. I

U0

R2

R1

>

I

U0

I

U0

divelektrodu lampa Volta loks

Īpatnējā pretestība

j

l

S

Oms atklāja, ka S

lR ρ= , Def.

l

SR ⋅=ρ - materiāla īpatnējā pretestība.

16

[ ] m⋅Ω=ρ vai mm

mm⋅Ω=

⋅Ω −62

101 .

Vismazākā īpatnējā pretestība ir Ag un Cu. Piemēram mCu ⋅Ω⋅= −81069.1ρ .

Īpatnējā vadītspēja: Def. ρ

γ 1= , [ ]

m

S

m=

⋅Ω=

1γ .

Pretestība vadam ar mainīgu šķērsgriezuma laukumu

dlS

j0

l

l

∫=l

S

dlR

0

ρ

4.3. Oma likums diferenciālā formā

j

dSI

E

dl

R

UI = , jdSI = , EdlU = ,

dS

dlR ρ= ,

dSdl

EdljdS

/ρ= ,

tātad Ejρ1

= , jeb Ej γ= .

Iezemējuma pretestība

dS

l >>r0 0

0 0r r

S q -q

ρ h>>r 0

U

j

001 4 r

q

επεϕ = ,

002 4 r

q

επεϕ −

= ,

0021 2 r

qU

επεϕϕ =−= ,

02

00240 r

U

r

qE

rr==

= επε.

17

Pie r=r0: 02

1

r

UEj

ρρ== , UrdS

r

USdjI

SS

00

21

2π

ρρ=== ∫∫

rr,

γππρ

πρ

000 2

1

22 rrUr

U

I

UR ==

⋅== . Tātad ( )0lfR ≠ .

4.4. Strāvas darbs un jauda. Džoula – Lenca likums Elektrisko spēku veiktais darbs

+

+I

ϕ1

ϕ2U= -ϕ

1

ϕ2

tIUAtIqUqA ⋅=⋅=⋅= ,,

Jauda: Def. UIt

AN ⋅== , [ ] VAW

s

JN 111

1

1⋅=== .

Kilovatstunda: JhkW 6106.31 ⋅=⋅ . Džoula – Lenca likums

Siltuma daudzums RtIQ 2= (eksperimentāli).

Ja spēkā Oma likums, tad IUttR

URtIQ ===

22 .

Džoula – Lenca likums diferenciālā formā

dl

j

dSI

dQ

( ) ( ) dVtjdSdltjtdS

dljdSdRtdIdQ ρρρ 2222 ==== .

Īpatnējā termiskā jauda: Def. ρ2jdV

dQwT == .

Ja spēkā Oma likums Ej γ= , tad 22

2 EE

jwT γρ

ρ === .

18

4.5. Elektrodzinējspēks (EDS) Strāvas (elektroenerģijas) avots

E

Eex

q0

qFex F=q E0

U

ϕ ϕ1 2

1 2

q -q

0q

E

E

E

E

E

∫=−=2

1

21 ldEUrr

ϕϕ

Elektriskie spēki ārējā ķēdē veic darbu ( ) 0021012 >=−= UqqA ϕϕ .

Elektriskie spēki iekšējā ķēdē veic darbu ( ) 001212021 <−=−=−= UqAqA ϕϕ .

Neelektrostatiskas dabas ārējs (ex) spēks veic darbu 21,0 BAUqA += , kur 00 >Uq ir

darbs elektriskā lauka avotā pārvarēšanai, un 021, >BA raksturo berzi.

EDS: Def. 0q

A=E , [ ] V=E .

0

21,

0

21,0

0 q

AU

q

AUq

q

A BB +=+

==E .

Ja IrqrtIQAB 02

21, ==∆= , kur Def. r – EDS avota iekšējā pretestība, tad

IrU +=E . Ja IRU = , tad IrIR +=E un iegūstam:

Oma likums noslēgtai ķēdei : rR

I+

=E

.

4.6. Lādiņu atdalīšana strāvas avotos

exFr

- ārējs, neelektrostatiskas dabas spēks, piemēram, EM indukcija vai ķīmiskas

dabas spēki. Var ievest: 0/ qFE exex

rr= - ārējā spēku lauka intensitāte. Tad pilnais

spēks ( )EEqF ex

rrr+= 0 , un

( ) ∫∫∫∫ ∫ =+=+==L

ex

LL

ex

L L

ex ldEqldEqldEqldEEqldFArrrrrrrrrrr

0000 .

Tā kā 0q

A=E , tad ∫=

L

ex ldErr

E .

19

E

Eex

U

12

E

E

E

dl

dl L

Voltas stabs – pirmais pastāvīgās strāvas avots, A. Volta 1793. g. galvaniskie (ķīmiskie) elementi. Ķīmiskā elementa piemērs:

=+ +→ 442 2 SOHSOH

+Cu -Zn+0.77V -0.33V

H SO4+ =

V1.1=E 4.7. Strāvas avota lietderības koeficients

U

,r

R

E+ -

Ārējā ķēdē elektriskie spēki veic lietderīgo darbu ItUqUAl == . Iekšējā ķēdē zudumi rtIQ 2=∆ . Tātad pilnais darbs EItrtIIUtA =+= 2 . Lietderības koeficients

Def. A

Al=ηEEU

It

IUt== , kur U – spriegums uz strāvas avota spailēm, E – strāvas

avota EDS. Ja spēkā ir Oma likums, IRU = , tad ( ) RrrRI

IR

/1

1

+=

+=η .

R0

1

η

Ja r 0, tad η 1.

20

Lietderīgā jauda:

( )2

22

rR

RRINl

+==

E. Maksimālā vērtība pie:

( )0

4

222 =

+−

=∂∂

rR

Rr

R

Nl E R=r .

R0 =r

Nl

Rmax r

Nl 4

2

max,

E= ,

rI

2

E= .

Līniju lietderības koeficients

UG

N

NP

LR ,L

pateretajs

generators

RL, NL – līnijas pretestība un jaudas zudumi tajā. Kopējā jauda LP NNN += .

N

N

N

NN

N

N LLP −=−

== 1η . LL RIN 2= ; U

IRIUN L−=⇒= 1η ,

bet U

NI = , tātad 2

1U

NRL−=η .

Lai η būtu 1, jāpalielina U pie dotās N (pārvadāmā jauda) un RL (līnijas pretestība). Energopārvadē lieto pat 300000V. 4.8. Oma likums ķēdes posmam, kurā ir elektrodzinējspēks Parasts ķēdes posms

R1 2

U R

UI =

Ķēdes posms ar elektrodzinējspēku. Piemērs, ja EDS darbojas pretēji spriegumam:

R1 2

U

E+ + - -

E++= IrIRU , un rR

UI

+−

=E

.

Ja tajā pašā virzienā, tad: rR

UI

++

=E

.

21

Piemērs. EDS noteikšana ar kompensācijas metodi. xE

E

A+

+

-

-

ϕ

ϕ

1

2

Ja xUI E=−== 21,0 ϕϕ

4.9. Sazarotas ķēdes, Kirhofa likumi Kirhofs, 1847. g. Sazarotas ķēdes – ķēdes ar mezgliem.

1. Kirhofa likums

0=∑k

kI - strāvu algebriskā summa ir 0.

a) izvēlas mezglu; b) patvaļīgi izvēlas strāvu apzīmējumus un virzienus visos zaros, kas pieiet

mezglam; c) raksta algebrisko strāvu summu: ja pienāk mezglam tad ar “+” zīmi, ja aiziet,

tad ar “-“ zīmi, summai jābūt 0. Piemērs. 0231 =−+ III

I

II1

2

3

2. Kirhofa likums

∑ ∑=jk i

ikj KI E

a) izvēlas noslēgtu kontūru; b) izvēlas apejas virzienu tajā; c) uzraksta spriegumu kritumu uz pretestībām algebrisko summu kontūrā, pie

kam, ja apejas virziens sakrīt ar strāvas virzienu pretestībā, tad kj RI ņem ar

“+” zīmi, ja ne tad ar “-“ zīmi; d) uzraksta EDS algebrisko summu, pie kam, ja apejas virziens sakrīt ar EDS

virzienu, tad ar “+” zīmi, ja nē, tad ar “-“ zīmi. Pielīdzina abas summas.

22

Piemērs:

3E+ -

,r RI3 75

4E+ -

,r RI 486

kontura apejasvirziens

-

64685753 IrIRIRIrRI ki −−+=∑ un 34 EEE −=∑ i

tātad 6468575334 IrIRIRIr −−+=−EE . Shēmā atrod tik daudz neatkarīgas sakarības (gan mezglu punktiem 1. Kirhofa likuma pielietojumus, gan kontūriem 2. Kirhofa likuma pielietojumus), lai kopīgais lineāri neatkarīgo sakarību skaits būtu vienāds ar nezināmo strāvu skaitu. Atrisina lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu. Ja kādai strāvai Ik>0, tad izvēlētais virziens ir pareizs, ja Ik<0, tad patiesībā strāva plūst pretējā virzienā kā izvēlēts. Pielietojuma piemērs. Vadītāju paralēlā slēguma pretestība

E+ -

,r

R1

R2

Rj

Rn

I1

I2

Ij

InI

1. Kirhofa likums

021 =−−−− nj IIIII KK , tātad ∑=j

jII .

2. Kirhofa likums E=+ IrRI 11 tātad IrRI −= E11 .

Analoģiski rīkojoties:

−=

−=

−=−=

IrRI

IrRI

IrRI

IrRI

nn

jj

E

E

E

E

K

K22

11

jeb

( )

( )

−=

−=

nn R

IrI

RIrI

1

1

11

E

E

K

Summējot

( )∑∑ −=j jj

j RIrI

1E . Izmantojot 1. K. likumu ( )∑−=

j jRIrI

1E , un

23

E=+

∑Ir

R

I

j j

11

, r

R

EI

j j

+=

∑ 11

, tātad

∑=

j jR

R1

1, jeb ∑=

j jRR

11.

Pielietojuma piemērs. n vienādi virknē saslēgti strāvas avoti

1E+ -

,r1 jE+ -

,rj nE+ -

,rn

IR 2. Kirhofa likums

∑∑ =+ jj

jIrIR E , tātad rez

rez

rRnrR

nI

+=

+=

EE

1

1 un 1EE nrez = , 1nrrrez = .

Pielietojuma piemērs. n vienādi paralēli saslēgti strāvas avoti

1E+ -

,r1

1E+ -

,r1

1E+ -

,r1

I1

Ij

In

R

I

1. Kirhofa likums

01 =−++++ IIII nj KK jeb nIII ++= K1 .

2. Kirhofa likums

=+

=+

nnn IRrI

IRrI

E

E

L111

Tā kā nj III ==== KK1 , tad 1nII = , un 11 EEEE ===== nj KK , tātad

11 E=+ IRrn

I, vai

n

rR

I1

1

+=

E.

Acīmredzami, ka 1EE =rez un n

rrrez

1= .

24

5. Magnētiskie spēki un elektriskās strāvas magnētiskās īpašības 5.1. Magnētiskais spēks 1820.g. H. Ersteds atklāj strāvas vada mijiedarbību ar magnētadatu. Lādiņi miera stāvoklī Kulona likums. Lādiņi kustībā speciālā relativitātes teorija, izmainās Fr

. No mel FFFrrr

+= izdalīta spēka komponente mF , kas atkarīga no lādiņu kustības =

magnētiskais spēks. Aplūkojam speciālgadījumu

v

x

y

v

Fel

1

Fel

Fm

q

2q

Moduļiem (v<<c): 2

2021

4 r

vqqFm π

µ= ,

20

21

4 r

qqFel πε

= , un 2

22

00c

vv

F

F

el

m == εµ , kur

c – gaismas ātrums vakuumā 3*10-8 m/s. 5.2. Kustoša lādiņa magnētiskais lauks vakuumā Magnētiskā lauka indukcijas vektors

Def.

2

23

0

14c

vr

rvqB

−

×=

π

µ rrr Ja v<<c, tad 3

0

4 r

rvqB

πµ rrr ×

= - Lorenca formula.

B

B

B

B

B

r

r

rq>0

v

xy

z

B v(q>0)

No relativitātes teorijas seko:

2

23

201

14c

vr

rvqvqFm

−

××=

π

µ rrrr

kur 2270 /104 CNs−⋅= πµ - magnētiskā

konstante.

Labās vītnes skrūves likums

25

Lorenca spēks

Magnētiskais spēks BvqFm

rrr×= , pilnais spēks mel FFF

rrr+= , tātad BvqEqF

rrrr×+= .

Moduļiem ( )BvqvBFm

rr,sin⋅= .

Spēka orientācija: kreisās rokas likums. FrBr

un Frvr

0=dt

dv.

Mērvienība, tā kā ( ) [ ] ( )teslaTsmC

NB

Bvqv

FB =

⋅=

⋅=

/,

,sinrr . Ja v<<c, tuvināti var

elektriskos un magnētiskos laukus uzskatīt par neatkarīgiem.

v

x

y

v

1

Fm

q

2q

F=0m

2

1

5.3. Magnētiskais lauks ap strāvas elementu un strāvu Magnētiskais lauks ap strāvas elementu

+

v

dq

dl

+ + +

v

dldt = ,

dl

vdq

dt

dqI

⋅== , vdqIdl ⋅= ,

Def. vdqlIdrr

= , kur lIdr

- elementārais strāvas elements.

BI

dl

r

dB Laplasa formula: 30

4 r

rlIdBd

πµ

rrr ×

= .

Modulis: ( )rldr

IdldB

rr,sin

4 20

πµ

= .

Vektora orientācija: Br ld

r, Br rr

, labās vītnes skrūves likums.

Paradokss (norāda uz impulsa elektromagnētiskajam laukam eksistenci):

26

Magnētiskais lauks ap bezgalīgi garu, taisnu strāvas vadu

dl

r

B

dα

α

rdα

α

α

α

1

2

2

1

R

L

I

B I

∫=L

BdBrr

, ∫ ∫==L L r

IdldBB

20

4

sin

παµ

, αsin

Rr = ,

αα

αα

2sinsin

Rdrddl == ,

( )2100

22

20 coscos

4sin

4sin

sinsin

4

2

1

2

1

ααπ

µαα

πµ

αααα

πµ α

α

α

α

−==⋅

⋅⋅= ∫∫ R

Id

R

I

R

RdIB

Bezgalīgi garam vadam 01 =α un πα =2 , tad

B

IB

πµ4

0= - Bio-Savāra likums.

5.4. Vielas relatīvā magnētiskā caurlaidība, magnētiskā lauka intensitātes vektors Vielas klātbūtne var pastiprināt vai pavājināt magnētisko lauku, 0BB µ= (B0 – kā būtu vakuumā, B – ja telpa ir nepārtraukti aizpildīta ar magnētisku vielu), µ – vielas relatīvā magnētiskā caurlaidība. Paramagnētiķi - 1>≈µ , diamagnētiķi - 1<≈µ , ferromagnētiķi - 1>>µ . Tiek ievests palīgvektors – magnētiskā lauka intensitāte:

Def. 0µµ

BH

rr

= . Piemēram, Bio-Savāra likums tad ir: r

IH

π2= . [H]=A/m.

5.5. Riņķveida strāvas magnētiskais lauks un strāvas magnētiskais moments

I

L

r0

90o

B M

dB

Bdl

Magnētiskais lauks riņķa centrā

20

0

4 r

IdldB

πµ

= ,

0

02

0

002

0

0

24

2

4 r

I

r

rIdl

r

IdBB

L L

µπ

πµπµ

==== ∫ ∫ ,

02r

IH = .

27

Strāvas magnētiskais moments

IS M

n

S Def. SInISMrrr

== Magnētiskais lauks uz riņķa ass attālumā no x no riņķa plaknes

I

L

dl

r0

B

dB

dB||

x

r

β β

20

4 r

IdldB

πµ

= , 3

000|| 4

sinr

Idlr

r

rdBdBdB

πµ

β === ,

( ) 23

20

2

200

300

||

4

2

4 rx

rIdl

r

IrdBB

L L +=== ∫ ∫

π

πµπ

µ,

( ) 23

20

2

0 2

4 rx

MB

+=

rr

πµ

Ja x>>r0, tad 30

4

2

x

MB

πµr

r= , t.i. nav tieši atkarīgs no r0.

5.6. Konvekcijas strāvas magnētiskais lauks, Roulenda un Eihenvalda eksperimenti

1) Strāva vados - vadīšanas strāva. 2) Lādiņa mehāniska, makroskopiska pārvietošanās – konvekcijas strāva.

+++++++

++

-------

--

B

B

N S

II

1878.g. Roulends kvalitatīvi. 1901.g. Eihenvalds kvantitatīvi.

28

5.7. Magnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācija, cirkulācijas teorēma (C.T.) un lauka virpuļainais raksturs (solenoidāls lauks) Magnētiskā lauka līnijas (pretstatā elektriskā lauka līnijām) ir noslēgtas.

I

+

EB q

Magnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācija Ļoti garš, taisns strāvas vads perpendikulāri zīmējuma plaknei

β

Bdl

Idα

L

r

IdI

rdr

IBrdBdlldB

LL L LL

000

22cos µα

πµ

απ

µαβ ===== ∫∫ ∫ ∫∫

rr. Tātad IldB

L

0µ∫ =rr

.

Šī izteiksme der arī ja kontūrs nav plaknē un vads ir liekts. Redzam, ka Br

nav

potenciāls lauks, jo potenciālam laukam, piemēram, Er

spēkā vienmēr ir 0=∫L

ldErr

.

Cirkulācijas teorēma (vairāku strāvu gadījumā) integrālā formā

dl

SI1 Ii In

In+1

L

n

+ -

B ∑∫

=

=n

ii

L

IldB1

0µrr

Magnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācija pa noslēgtu kontūru ir vienāda ar to strāvu algebrisko summu (pareizinātu ar magnētisko konstanti), kuras sķērso virsmu, kas ir uzstiepta uz aplūkojamā kontūra. (Strāvu algebriskā summa ir atkarīga no kontūra izvēlētā apiešanas virziena un atbilstošā normāles virziena).

∑∫=

=n

ii

L

IldH1

rr.

29

Cirkulācijas teorēma diferenciālā formā

dl

S

j

L

j j

dS

∫∫ ⋅=S

SdjIrr

, tad ∫∫∫ ⋅= SdjldBL

rrrr0µ un no Stoksa teorēmas seko

∫∫∫∫ ⋅=⋅ SdjSdBrotS

rrrr0µ , un jBrot

rr0µ= , jeb jHrot

rr= .

Lauka virpuļainais raksturs (solenoidalitāte)

Tā kā Laplasa formulā Br rr

un lauka līnijas ir noslēgtas, seko: 0=∫∫S

SdBrr

.

S

B

B

C.T. pielietošanas soļi:

1) Izmantojot sistēmas simetrijas īpašības tiek izveidots priekšstats par magnētiskā lauka kvalitatīvo raksturu;

2) Tiek izvēlēts piemērots noslēgts kontūrs; 3) Pielieto C.T. kvantitatīvi.

5.8. Cirkulācijas teorēmas pielietojumi Bezgalīgi garš solenoīds (spole)

I

iekspuse summejas,homogens lauks B

arpuse kompensejasB=0

- --

- -

``

BI

dl

L

∆l

∆n

Diferenciālā formā: 0=Bdivr

Secinājums: dabā nav magnētisko lādiņu.

Konturam L : nIldBL

∆=∫ 0µrr

, nIlB ∆=∆ 0µ , tatad

InB 00µ= , kur l

nn

∆∆

=0 - vadu skaits uz garuma

vienību.

30

Toroīds

dlBB

r2

rr1

LB

S

nIldBL

0µ=∫rr

, kur n – vijumu skaits. nIrB 02 µπ = , un r

nIB

πµ2

0= .

Taisns bezgalīgi garš vads

I

j

dl

dl

r

rr0

BBin

BBexLL in

LL ex

r0

B

r0

0

0

2 r

I

πµ

~r ~ 1r

Iekšpusē: 2

0r

Ij

π= ,

20

20 r

IrldB

inL

in ππµ=∫

rr,

20

2

02r

rIrBin µπ = , 2

0

0

2 r

IrBin π

µ= .

Ārpusē: IldBexL

ex 0µ=∫rr

, IrBex 02 µπ = , r

IB

πµ2

0= - Bio-Savāra likums.

5.9. Spēks uz strāvas vadu ārējā magnētiskā laukā, strāvu mijiedarbība, Ampēra likums Spēks uz strāvas elementu

+v

dq

dl

B

dF

I

++

BvdqFdrrr

×= , lIdvdqrr

= , BlIdFdrrr

×= - Ampēra spēks.

Moduļiem: ( )BldIdlBdFrr

,sin= . Orientācija: Fr ld

r, FrBr

. Kreisās rokas likums.

31

Homogēnā laukā taisns vada posms

I

l

B

BlIBldIBlIdFdFLLL

rrrrrrrr×=×

=×== ∫∫∫ , tātad BlIF

rrr×= .

( )BlIlBFrr

,sin= . 2 gari paralēli vadi vakuumā

I I1 2

∆F12

∆F21

r

BB1

∆l

r

IB

πµ2

101 , 1221 BlIF ⋅∆=∆ ,

r

lIIF

πµ

2210

21

∆=∆ - Ampēra likums. 2112 FF ∆=∆

↑↑ - pievelkas, ↑↓ - atgrūžas . 1A definīcija: Ja pie ml 1=∆ F=2*10-7 N, tad I=1A. Magnētiskā spēka salīdzinājums ar elektrisko spēku Ja 2 gariem paralēliem vadiem vakuumā 21 III == , tad

r

I

l

FFm π

µ2

20=

∆∆

= , bet savukārt vI λ= , kur λ - kustīga lādiņa lineārais blīvums uz

garuma vienību. Tāpēc r

vFm π

λµ2

220= , un

rEFel

0

2

2πελλ == , tādejādi:

2

2

20

220

2

2

c

v

r

rv

F

F

el

m ==λπ

πελµ, jo

200

1

c=εµ , kur c – gaismas ātrums.

Parasti v<<c, tātad Fm<<Fel, bet Fel tiek kompensēts, jo vadītāji ir neitrāli.

+ +

+ +

+ +

+ +

- -

- -

- -

- -

+ +

+ +

+ +

+ +

- -

- -

- -

- -

nekustigijoni

v

F+

F-

Fm

F+ F-=-

32

Vispārīgas strāvas kontūru formas gadījums, Ampēra likums diferenciālā formā)

dl

dl2

1 dF21

dB12

r12

I

I

1

2

312

121012

4 r

rlIdBd

πµ rr

r ×= , 122221 BdldIFd

rrr×= ,

( )3

12

121212021

4 r

rldldIIFd

πµ rrr

r ××= ,

analogi ( )3

21

212121012

4 r

rldldIIFd

πµ rrr

r ××=

Vispārīgā gadījumā 2112 FdFdrr

≠ .

Noslēgtiem kontūriem gan ir spēkā: 2112 FFrr

−= .

33

6. Elektromagnētiskā indukcija 6.1. Elektromagnētiskās indukcijas parādība, Faradeja likums, Lenca likums

v

v

Fel

1

F

Fm

q

2q

+

+

Faradeja likums 1831.g. M. Faradejs atklāj elektromagnētiskās indukcijas parādību.

S

L

dS

BB B

n

Eizveletais konturaapiesanas virziens un attieciga normale

- - -

- - -``

dt

dΦ−=E - Faradeja likums.

Magnetiskās plūsmas caur virsmu S izmaiņas ātrums laikā ir vienāds ar elektrodznējspēku (EDS), kas tiek inducēts kontūrā L, uz kura šī virsma ir uzstiepta. Ja 0>E , EDS darbojas izvēlētajā kontūra apiešanas virzienā. Ja 0<E , tad pretēji. Lenca likums

L

B

E

aug

Bind

Iind Lenca likums ir viens no Faradeja likuma secinājumiem: EDS kontūrā tiek inducēts

tādā virzienā, lai tam atbilstošā inducētā strāva radītu tādu magnētisko lauku indBr

, kas

censtos kompensēt arējā lauka Br

izmaiņu (t.s. magnētiskā lauka inerce).

Tā kā elm FFrr

↑↓ Fm var kalpot elektrisko

lādiņu atdalīšanai enerģijas avotos kā EDS.

Magnētiskā lauka plūsma caur virsmu S:

Def. ∫∫=ΦS

SdBrr

.

Sdr

virzienu (uz vienu vai otru pusi) nosaka n

r virziens, bet to nosaka izvēlētais

kontūra apiešanas virziens.

34

6.2. Magnētiskās plūsmas maiņas iespējamie iemesli 1) Kontūrs nekustīgs, mainās magnētiskais lauks a) tuvina (att.) vai attālina magnētu b) ieslēdz (att.) vai izslēdz strāvu

V

E

B

S N

|B| aug

V

E

B |B| aug

2) Mainās kontūra laukums

S

BB

n

Et1 t2

B

3) Kontūrs griežas

dS

V

B

dS

dS

B

E Ja ir vairāki vijumi (spole)

B

1 i n

dt

d

dt

d

dt

d n

ii

i

i

ii

Φ−=Φ−=

Φ−== ∑∑∑EE , nΦ - kopējā plūsma.

Ja Φ=Φ==Φ==Φ ni KK1 , tad Φ=Φ nn un dt

dn

Φ−=E .

Piemeram:

V

B

v

vadosas sliedites vadoss stienitis`` `` --

E

35

6.3. Elektromagnētiskā indukcija no elektronu teorijas viedokļa

v

y

z

F

q1

x

x`y`

z`

B

K`K

0

Lorenca spēks nekustīgā atskaites sistēmā K ir BvqFrrr

×= . Atskaites sistēmā K’, kurā lādiņa ātrums v’=0 nav iemesla magnētiskajam spēkam. Novērotājs spēku

FFFrrr

≈′′ ( , ja )cv << sistēmā K’ interpretēs kā elektrisko spēku, tātad kā kāda

papildus elektriskā lauka E ′r

parādīšanos. Šis E ′r

parādās, ja pārvietojas magnētiskā lauka avoti, kuru ātrums sistēmā K’ ir v

r− . Tātad BvE

rrr×−=′ . Piemērs:

B

v

x0

+

lFmS

Aplūkojam stienīti un tikai moduļus:

( ) ( )dt

dB

dt

dSB

dt

lxdlB

dt

dxvBllE

Φ==

⋅===′=E t.i., Faradeja indukcijas likums.

Mēs: speciālā relativitātes teorija un Kulona likums magnētiskais spēks elektromagnētiskās indukcijas parādība. Vēsturiski: Kulona likums, magnētiskais spēks un elektromagnētiskās indukcijas parādība speciālā relativitātes teorija. 6.4. Elektromagnētiskā indukcija no enerģētiskā viedokļa

B

v

x0

lF

S

EI

I

0

+-

dx

Ampera speks- -

Bldxdvdtdxdt

dxv =Φ== ,, .

36

Ampēra spēka veiktais darbs: Φ=== IdIBldxFdxdA . Šo darbu un zudumus pretestībās nodrošināja EDS darbs Idtdq 00 EE = . No enerģijas

nezūdamības likuma izriet: RdtIIdIdt 20 +Φ=E , tātad

Rdt

dE

I

Φ−

=0

inddt

dE=

Φ var tikt uzskatīts, kā EDS, kas darbojas pretī.

Praksē: līdzstrāvas elektromotoriem, ja v mazs, dt

dΦ mazs, indE mazs, I liels un seko,

ka liels spēks un griezes moments. Paradokss Lorenca spēks darbu nevar veikt ( mF

rvr

), bet inducētais E var ķēdē veikt darbu.

-

B

B

Fm

F1m

Fa

v

v1

mma FvFvF 11

rrrrr→→→→ , evBFm = . BevF m 11 = . Apskatām sistēmā veiktos

darbus: mF veic darbu dtevBvdtvFdA mm 11 == , bet mF1 : BvdtevvdtFdA mm 111 −=−= .

Kopējais Lorenca spēka veiktais darbs: 01 =+= mm dAdAdA . Tātad Lorenca spēks tikai nosacīti “pagriež” Fa darbu ķēdē.

37

7. Dielektriķi elektriskajā laukā 7.1. Elektriskais dipola moments Elektriskā dipola momenta definīcija

-

+q

-ql

+

p

Ja atoma elektriskais dipola moments ir atšķirīgs no 0, tad atoms orientējas ārējā elektriskā laukā exE

r tā, ka tā dipola moments ir vērsts exE

r virzienā.

exE

-

+

p

F

F

Speku paris F pagriez atomu sadi

- --````

-

+

exE

atE

atE exE

Sekojoši, atoma dipola elektriskais lauks atEr

pavājina uzlikto lauku exEr

. Dipola elektriskais lauks

-

+

p

l

α

A

rE

αE

E

r

1r

2r

lr >>

Atvasinot: απε

ϕ

α

cos4

23

0r

p

rEr =

∂∂

−=,

απεα

ϕα sin

4

13

0r

p

rE

r

=

∂∂

−=, un

1cos34

23

0

22 +⋅=+= απεα

r

pEEE r

.

Ja 0=α , 3

04

2

r

pE

πε= . Ja o90=α ,

304 r

pE

πε= .

Divi punktveida lādini ar qqq == −+ .

Def. lqprr

= - elektriskais dipola moments.

Potenciālam: 104 r

q

πεϕ =+

, 204 r

q

πεϕ =− ,

12

12

02010 444 rr

rrq

r

q

r

q −=−=

πεπεπεϕ

.

Ja lr >>

=

=−2

12

12 cos

rrr

lrr α, tad

απεπε

αϕ cos44

cos2

02

0 r

p

r

ql==

.

38

7.2. Dielektriķa polarizācija Inducētā polarizācija (nepolāras molekulas)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

exE

Orientācijas polarizācija (polāras molekulas)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

exE

++++

+ + + +

++++

+ + + +

Spontānā polarizācija (piem., segnetoelektriķi), kad dielektriķa paraugs ir polarizēts bez ārējā elektriskā lauka ( 0=exE

r). Spontānā polarizācija neveidojas vienmēr, jo

starp lādiņiem darbojas ne tikai pievilkšanās, bet arī atgrūšanās spēki, kas cenšas polarizāciju izjaukt. Bez tam molekulu termiskās svārstības cenšas polarizāciju izjaukt.

+

++

+sekme polarizaciju- -

jauc polarizaciju-

Polarizācija samazina elektrisko lauku dielektriķī, jo uz dielektriķa virsmas rodas virsmas polarizācijas lādiņa blīvums.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

exE

σ <0p σ >0pρ =0p

pexrez EEE −=

pE

Acīmredzami, polarizācijas pakāpi nosaka rezultējošais elektriskais lauks dielektriķa iekšienē.

39

Polarizācijas vektors Tiek aplūkots makroskopiski mazs, bet mikroskopiski liels tilpuma elements V∆ .

∆V

p2

p1

pi

pn

7.3. Polarizācijas vektora saistība ar virsmas polarizācijas lādiņa blīvumu

ρ =0-ρ ++

nepolarizeta molekula-

Nepolarizētā dielektriķi negatīvo lādiņu makroskopiskais tilpuma blīvums −ρ aizņem

to pašu telpu, ko pozitīvo lādiņu blīvums +ρ . Tā kā ρρρ == +− , tad makroskopiski

nekāda lādiņu blīvuma nav: 0=+ −+ ρρ . Polarizācijas rezultātā lādiņi savstarpēji nobīdās atbilstoši pārvietojuma vektoram l

v.

++++++++++

-

+

P

n

lq

l

ll

n

lpolarizeta molekula-

Katrai molekulai dipolmoments ir lqprr

= . Tāpēc polarizācijas vektors (n0 – molekulu

koncentrācija): llqnPrrr

ρ== 0 . Tātad: ρ

nn

Pl = .

Virsmas polarizācijas lādiņa blīvums uz sānu virsmas labajā puse:

nn

np PP

l === ρρ

ρσ

Def. V

p

P Vi

∆=

∑∆

rr

- polarizācijas vektors.

40

7.4. Elektriskais lauks dielektriķī

Lineārais tuvinājums: rezEPrr

κε 0= , kur Def. κ - dielektriskā uzņēmība.

Aplūkojam plakanu kondensatoru ar dielektriķi iekšpusē. .

+++++

-----

++++++++++-

---------

exEpE

rezE

kondensatoraplates

Polarizācijas lādiņa virsmas blīvums nreznp EP ,0κεσ == rada savu elektrisko lauku

abilstoši lauka formulai starp divām platēm nreznrezp

p EE

E ,0

,0

0

κε

κεεσ

=== .

Bet no superpozīcijas principa: nrezexpexnrez EEEEE ,, κ−=−= . No tā seko, ka

εκexex

rez

EEE =

+=

1, kur ieved apzīmējumu: Def. εκ =+1 - vielas relatīvā

dielektriskā caurlaidība. Tātad plakanā kondensatorā ievietojot dielektriķi, tā lauks tiek pavājināts ε reizes. Turpmāk lietosim apzīmējumu: rezEE = . Tā kā palīgvektors – elektriskā lauka

indukcijas vektors tiek definēts sekojoši: EDrr

εε 0= , tad:

( ) PEEDrrrr

+=+= 00 1 εκε .

Gadījumā, ja 0≠Pdivr

, var parādīt, ka rodas arī polarizācijas tilpuma lādiņa blīvums.

41

7.5. Gausa teorēmas vispārinājums telpā ar dielektriskiem apgabaliem Dielektriskas vielas apgabalu klātbūtne rada polarizācijas lādiņus, kas izmaina

rezultējošo lauku Er

. Tomēr arī šim izmainītajam laukam var formulēt Gausa teorēmu.

- - ----

+++

+ ++

----

q>0

E

ε1

+

ε2

dSE

P

εi

VS

makroskopisks ladins-```

ll

n

E=0

l - - - - - -

+ + + + + +

P

+ | |=| |ρ ρ

ρrez=0

virsmas elements dS

virsma S

plans vielasslanitis

-- -

n

n

-

0=+ −+ ρρ

S

Polarizācijas rezultātā virsmas elementu dS šķērsoja un tilpumā V iegāja lādiņš

+⋅⋅− ρnldS . Tā kā ldPrr

+= ρ un dSlSdldSdP n++ == ρρrrrr

, tad iegājušais lādiņš ir

SdPrr

− .

Kopumā tilpumā V ieiet lādiņi ∫∫−S

SdPrr

.

Pielietojam Gausa teorēmu vakuumam:

−= ∫∫∫∫

SS

SdPqSdErrrr

0

1

ε, [ ] qSdPE

S

=+∫∫rrr

0ε , tātad

qSdES

=∫∫rr

εε 0 jeb izmantojot palīgvektoru qSdDS

=∫∫rr

.

Ir nepareizi rakstīt qSdES εε 0

1=∫∫

rr, jo tas der tikai speciālgadījumos, piemēram,

neierobežotā dielektriskā vidē.

42

8. Vielas magnētiskās īpašības 8.1. Atoma magnētiskais moments Ja vielas atoma paša magnētiskais moments ir atšķirīgs no 0, tad atoms orientējas

ārējā magnētiskā laukā exBr

tā, ka tā magnētiskais moments atMr

ir vērsts exBr

virzienā. Tādā gadījumā atomārās strāvas Iat magnētiskais lauks atBr

pastiprina uzlikto

lauku.

Speku paris F pagriez atomu sadi

- --``

F

F

exBexB

exB

atM

atS

I at

atatat SIM ⋅=

exB

Iat

atB

8.2. Magnētiķu magnetizācija Ja atoma magnētiskais moments ir atšķirīgs no 0 (paramagnētiķi).

exB

atM atM

haotiska orientacija,magnetizacijas nav

--

vienada orientacija,viela ir magnetizeta

- --

Ir iespējama arī spontānā magnetizācija (feromagnētiķi), kad materiāla paraugs ir

magnetizēts bez ārēja magnētiskā lauka ( 0=exBr

). Spontānā magnetizācija neveidojas

vienmēr, jo starp atomārām strāvām darbojas spēki, kas ne tikai veicina orientāciju, bet arī cenšas to izjaukt. Bez tam, atomu termiskās svārstības cenšas magnetizāciju izjaukt.

preteji orientetas stravasatgruzas, jauc magnetizaciju

- - -- -`

vienadi orientetas stravaspievelkas,veicina orientaciju

- - --

43

Ja atoma paša magnētiskais moments ir 0 (diamagnētiķi), tad vielai magnetizējoties

exat BMrr

↑↓ un magnētiskais lauks vielā ir samazināts.

Magnetizācijas vektors Tiek aplūkots makroskopiski mazs, bet mikroskopiski liels tilpuma elements V∆ .

M2M1

Mi Mn

8.3. Magnetizācijas vektora saistība ar virsmas magnetizācijas strāvas lineāro blīvumu

Atoma magnētisko momentu atMr

reprezentējam sekojoši:

atM

atV

atM

atV

Iat

atS

Vat – tilpums vielā uz vienu atomu, 0

1

nVat = , kur 0n - atomu koncentrācija.

Ja vielā visi atomi vienādi magnetizēti, tad atMnJrr

0= , jeb atat SInJ 0= .

∆l

∆n

atS

Iat

magnetika virsmasfragments

-`

Iat Iat

materiala ieksiene stravas kompensejas

- -- -

`

No zīmējuma seko, ka virsmas magnetizācijas strāvas lineārais blīvums im ir:

JSnIl

lSnI

l

nIi atat

atatatm =⋅=

∆∆⋅

=∆

∆⋅= 0

0 , tātad

Jim = , t.i. virsmas magnetizācijas strāvas blīvums ir vienāds ar magnetizāciju.

Def. V

MJ V

iat

∆=

∑∆

,

r

r - magnetizācijas vektors.

44

8.4. Magnētiskais lauks magnētiķī

Lineārs tuvinājums: 0µ

κexBJrr

= , κ - vielas magnētiskā uzņēmība (susceptibilitāte).

Aplūkojam garu cilindrisku magnētiķi ārējā magnetiskā laukā exBr

, tad

exB

mB

mi

0µκ

exm BJi == .

No spoles ar lineāro strāvas blīvumu im magnētiskā lauka formulas seko, ka magnetizācijas strāva rada lauku: κµ exmm BiB == 0 .

No superpozīcijas principa magnētiskajam laukam magnētiķī iegūstam:

( ) µκκ exexexexmexrez BBBBBBB =+=+=+= 1 , kur µκ =+1 vielas relatīvā magnētiskā caurlaidība. Tātad: µexrez BB = .

Turpmāk lietosim apzīmējumu: rezBB

rr= . Palīgvektoram H

r (magnētiskā lauka

intensitāte) seko:

( )

JB

BBBBBBBBBH

rez

exrezmrezmrezexrezrez

rr

rrrrrrrrrr

−=

=−=−=−

==+

==

0

00000000 1

µ

µκ

µµµµµκµµµ.

jeb JB

H rezr

rr

−=0µ

.

45

8.5. Cirkulācijas teorēmas vispārinājums telpā ar magnētiķu apgabaliem Magnētisku vielu apgabalu klātbūtne rada no makroskopiskā viedokļa fiktīvas magnetizācijas strāvas, kas izmaina rezultējošo lauku B

r. Tomēr arī šim izmainītajam

laukam var formulēt cirkulācijas teorēmu.

I

L

S

µ1

µ2

µi

BJ

dl

Jmi

dl L S

dl 0 dl

α

Magnetizācijas rezultātā līnijas L elementa ld

r tiešā tuvumā parādās strāva mdI , kas

šķērso virsmu S: αcos0 ⋅⋅=⋅= dlidlidI mmm , kur mi - magnetizācijas strāvu lineārais

blīvums. Tā kā Jim = un αcos⋅⋅= dlildJ m

rr, tad caur virsmu S plūst papildus strāva

∫∫ =LL

m ldJdIrr

.

Pielietojam cirkulācijas teorēmu vakuumam:

[ ] IldJBldJIldBLLL

=−

+= ∫∫∫

rrrrrrr00 , µµ . Tātad

IldB

L

=∫ µµ0

rr

, jeb izmantojot palīgvektoru IldHL

=∫rr

.

Ir nepareizi rakstīt IldBL

µµ0=∫rr

, jo tas der tikai speciālgadījumos, piemēram,

neierobežotā magnētiskā vidē.

46

9. Elektromagnētiskais (EM) lauks, EM lauka enerģija un impulss, EM vilni 9.1. Maksvela vienādojumi (MV) 1860.g. - 1873.g. Dž. K. Maksvels MV integrālā formā 1. Elektromagnētiskā indukcija

∫∫∫ ∂∂

−=SL

SdBt

ldErrrr

2. Magnētiskā lauka solenoidalitāte (magnētiskā lauka līnijas ir noslēgtas un nevar virsmas iekšpusē aprauties)

∫∫ =S

SdB 0rr

3. Cirkulācijas teorēma magnētiskajam laukam pilnās strāvas gadījumā

( )∫ ∫∫

∂∂

+=

L S

SdEt

jldB rrrrr

εεµµ 0

0

4. Gausa teorēma (jeb Kulona likums)

∫∫∫∫∫ =VS

dVSdE ρεεrr

0

.

S

L

B

dS

dlE

B

.

S

B

B

dS B

.

dlS

j

L

j

dS

t

E

∂∂ εε0

t

E

∂∂ εε0

B

.

S dS E

V ρ

EE

47

MV diferenciālā formā

1. dt

BErot

rr ∂

−=

2. 0=Bdivr

3. ( )Et

jB

rotrr

r

εεµµ 0

0 ∂∂

+=

4. ( ) ρεε =Edivr

0

Komplektu µµ0

Br

var aizstāt ar palīgvektoru Hr

, attiecīgi Er

εε 0 ar Dr

.

9.2. Nobīdes strāvas

Izņemot locekli ( )Et

rεε 0∂

∂ 3. vienādojumā viss pārējais 1873. g. bija eksperimentālo

faktu vispārinājums. Locekli:

Def. ( ) nbjEt

rr=

∂∂ εε 0 - nobīdes strāvas blīvums, no teorētiskiem apsvērumiem ieveda

Maksvels. Pateicoties šim loceklim varēja parādīt tādas EM parādības kā EM viļņi iespējamību. Pieraksta formas nobīdes strāvas blīvumam:

( ) ( )t

P

t

E

t

PE

t

DE

tjnb ∂

∂+

∂∂

=∂

+∂=

∂∂

=∂∂

=rrrrr

rr0

00 ε

εεε .

Pilnās strāvas blīvums Def. nbp jjj

rrr+= , kur j

r - vadītspējas strāvas blīvums.

Pilnai strāvai

( ) nb

S

nb

SS

nb

S

pP IISdjSdjSdjjSdjI +=+=+== ∫∫∫∫∫∫∫∫rrrrrrrrr

, kur I – vadītspējas strāva,

Inb – nobīdes strāva. Maksvels parādīja, ka lauku Br

nosaka nevis I, bet IP. Tā kā Ej σ= , tad ja f (frekvence) 0 un ∞→σ , jjnb << un nbj var neievērot –

kvazistacionārais tuvinājums.

48

9.3. Pamatojums nobīdes strāvu ieviešanai

Cirkulācijas teorēma magnētiskajam laukam formā ∫∫∫ =SL

SdjldBrrrr

0µ noved pie

pretrunas, ja aplūko pārtrauktu strāvas ķēdi, piemēram, kondensatora gadījumā.

E

q+ q-

jjj

I

S1S3

S2

dS1

dS2

dS3

dl

B

L

Pielietojam cirkulācijas teorēmu: virsmai S1 IldB

L

0µ=∫rr

, virsmai S2 0=∫L

ldBrr

. Tā ir

pretruna, jo cirkulācijas teorēma atļauj patvaļīgi izvēlēties virsmu, kas uzstiepta uz kontūra L, rezultātam būtu jābūt neatkarīgam no izvēlētās virsmas. Šis piemērs ierosina cirkulācijas teorēmu izmainīt tā, ka integrālī pa virsmu tiktu ņemts vērā gan

jr

(svarīgi virsmai S1), gan arī kaut kādā veidā Er

(svarīgi virsmai S2). Acīmredzami,

ka ∫∫=1S

SdjIrr

, ∫∫−=3S

SdjIrr

, ∫∫−=S

SdjIrr

, kur 23 SSS += - kopējā noslēgtā virsma.

Pielietojam Gausa teorēmu noslēgtai virsmai 23 SSS += : ∫∫∫∫∫ +==VS

qdVSdE ρεεrr

0 .

No lādiņa nezūdamības seko dt

dqI += , tātad ∫∫∫∫ =−

SS

SdEdt

dSdj

rrrrεε 0 un

( )00 =+ ∫∫∫∫

SS

dSdt

EdSdj

rrr εε

.

1. integrālis tiek saukts par no virsmas S izplūstošo vadītspējas strāvu I. 2. integrālis tiek saukts par no virsmas S izplūstošo nobīdes strāvu Inb.

( )Edt

d rεε 0 tiek saukts par nobīdes strāvas blīvumu.

IP=I+Inb tiek saukta par pilno strāvu. Tātad visas pilnās strāvas ir noslēgtas. Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojums:

( ) 00 =

+∫∫

S

SdEdt

dj

rrrεε .

49

Pielietojot diverģences teorēmu

( ) 00 =

+∫∫∫V

dVEdt

djdiv

rrεε , ( ) 00 =+ E

dt

djdiv

rrεε , bet ( ) ρεε =Ediv

r0 , tāpēc

0=+dt

djdiv

ρr - lādiņa nezūdamības likums diferenciālā formā.

Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojumu var pārrakstīt sekojoši kondensatora gadījumam:

( )00 =+ ∫∫∫∫

SS

Sddt

EdSdj

rr

rr εε,

( )00

1

=+− ∫∫∫∫SS

Sddt

EdSdj

rr

rr εε,

( )∫∫=

2

0

S

Sddt

EdI

rr

εε

Acīmredzami, cirkulācijas teorēma dos vienādus rezultātus gan S1, gan S2, ja cirkulācijas teorēmā vadītspējas strāvas vietā tiks lietota pilnā strāva. 9.4. Pilna EM uzdevuma shēma

9.5. Elektromagnētiskā lauka enerģija, enerģijas plūsma, enerģijas plūsmas blīvums No MV var tīri matemātiski izvest sekojošu integrālu sakarību patvaļīgai noslēgtai virsmai S pa tilpumu V (skat. Platacis. Elektrība):

[ ] ∫∫∫∫∫∫∫∫ +⋅×=

+∂∂

−VSV

dVEjSdHEdVHBDE

t

rrrrrrrrr

2

Materiālās sakarības, piem.,

Ejrr

σ= u.c., lādiņa nezūdamības

likums ļauj iegūt ρ un jr

Atrisinot MV no ρ

un jr

iegūst Er

un Br

( )BvEqFrrrr

×+= Lorenca spēks

amFrr

= mehānikas kustības vienādojumi ļauj iegūt ρ un j

r

lauku avoti ρ un j

r

50

Locekļu analīze

Atgādinām, ka EDrr

εε 0= un µµ0

0BH

rr

= .

1. loceklis raksturo kaut kāda skalāra lieluma 2

HBDErrrr

+ integrāļa pa tilpumu V

izmaiņu laikā.

2. loceklis ir kaut kāda vektora HErr

× plūsma caur virsmu S.

3. loceklis: ∫∫∫=V

V dVEjNrr

. Lorenca spēka mehāniskā jauda vienai lādētai daļiņai ir

[ ] vEqvBvqEqvFNrrrrrrrr

=⋅×+=⋅= . Kāda telpas punkta apkārtnē, kur ir lādētas daļiņas

ar koncentrāciju n0, EM spēka jaudas tilpuma blīvums ir EjvEqnNnrrrr

== 00 (jo

vqnjrr

0= ). Ja Ejrr

ir EM spēka jaudas tilpuma blīvums, tad NV ir mehāniskā jauda, ko

EM lauks tilpumā V piešķir daļiņām. Mehānikā ar darba palīdzību definē spēku lauka potenciālo enerģiju W, kuras starpība starp diviem stāvokļiem W1 – W2 vienāda ar spēku veikto darbu sistēmai pārejot no 1. stāvokļa uz 2. stāvokli. Šeit veidojam līdzīgas definīcijas:

1. Def. 22

0

2

02

µµεε

ϖ

BE

HBDE

rr

rrrr +=

+= ir EM lauka enerģijas tilpuma blīvums. EM

lauka enerģija tilpumā V tad ir ∫∫∫=V

dVW ω .

2. Def. µµ0BEHEPrrrrr

×=×= ir EM lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektors -

Pointinga vektors. Enerģijas plūsma laika vienībā WΦ caur virsmu S ir tad

∫∫=ΦS

W SdPrr

.

3. Def. ∫∫∫=V

V dVEjNrr

ir EM lauka spēku veiktā darba jauda tilpumā V.

Jaunajos apzīmējumos enerģijas nezūdamības likums ir:

VW Ndt

dW+Φ=− . Diferenciālā formā: EjPdiv

t

rrr⋅+=

∂∂

−ϖ

.

51

dS

S

P

V

E

B

2

HBDE +=ω

F

v

9.6. Elektromagnētiskā lauka impulsa blīvums Ja kādā telpas daļā mijiedarbojas EM lauks un materiālas lādētas daļiņas (piem., punktveida lādiņi qi ar masu mi), tad Lorenca spēka iedarbībā var mainīties daļiņu impulsi. Aplūkojam kāda telpas punkta mazu apkārtni ar tilpumu V∆ un n daļiņām tajā. Katrai daļiņai i spēkā

( )niBvqEq

dt

vmdiii

ii ,,1, Krrrr

=×+= .

Summējam visus šos vienādojumus un izdalām ar V∆ :

BV

vqE

V

q

V

vm

dt

d iii

ii

iii r

rr

r

×∆

+∆

=

∆

∑∑∑.

Kreisā puse ir sistēmas kopējais mehāniskais impulss dalīts ar tilpumu, tātad tas ir

impulsa blīvums, ko sauksim par materiālo impulsa blīvumu matkr

. ρ=∆

∑V

qi

i

- lādiņu

makroskopiskais tilpuma blīvums. jV

vqi

ii rr

=∆

∑ - makroskopiskais strāvas blīvums.

Tātad:

( ) BjEkdt

dmat

rrrr×+= ρ .

Izmantojot MV var šī vienādojums labo pusi tīri matemātiski pārveidot tā, lai tajā būtu tikai vektori E

r un B

r. Pēc šiem pārveidojumiem var iegūt sekojošu integrālu

izteiksmi patvaļīgai noslēgtai virsmai S ar tilpumu V:

∫∫∫∫∫ =

+

∂∂

SdTdVc

Pk

t ik

V

mat

rr

r2 ,

kur ][ HEPrvr

×= - Pointinga vektors un Tik ir Maksvela spriegumu tenzors, kas ir

sarežģīta izteiksme no vektoriem Er

un Br

:

Piemēram, EM lauka enerģijas samazināšanās tilpumā V ir vienāda ar EM spēku veikto darbu (uz lādētām daļiņām) tilpumā V plus Pointinga vektora plūsmas caur virsmu S integrālis pa laiku

52

( )22

2BEBBEET ik

kikiik

rr+−+=

δ.

No šīs sakarības secinām, ka vektoru 2c

Pkmat

rr

+ var definēt par sistēmas (EM lauks un

materiālās daļiņas) kopējo impulsa blīvumu, kur matkr

ir materiālais impulsa blīvums.

Def. 2c

Pkem

rr

= tiek definēts par elektromagnētiskā lauka impulsa blīvumu.

Tā kā HEPrrr

×= ir Pointinga vektors, tad:

BEBE

c

Pkem

rrrrr

r×=

×== 000

02

εεµµ

.

k

dS

S

T

V

ik

mat emk

9.7. Elektromagnētiskie viļņi, viļņu vienādojumi Viļņa vienādojuma iegūšana no Maksvela vienādojumu sistēmas

→∂∂

→∂∂

Bt

E

Et

B

rr

rr

EM viļņu iespējamība

Aplūkojam telpu bez lauka avotiem ( 0,0 == jr

ρ ), µε , - const., tad:

( )( )

=

∂∂

=

=∂∂

−=

0

0

0

00

Ediv

Et

Brot

Bdiv

t

BErot

r

rr

r

rr

εε

εεµµ

Uz 1. vienādojumu iedarbojoties ar “rot” un izmantojot 3. vienādojumu iegūstam:

53

( ) ( )2

2

00t

EBrot

tErotrot

∂∂

−=∂∂

−=r

rrµεµε .

Tā kā ( ) ( )

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=2

2

2

2

2

2

z

E

y

E

x

EEdivgradErotrot

rrrrr

,

seko

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

002

2 1

z

E

y

E

x

E

t

Errrr

εµµε.

Analoģiski iegūst

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

002

2 1

z

B

y

B

x

B

t

Brrrr

εµµε.

Šāda tipa vienādojumam (viļņa vienādojums) eksistē viļņa veida atrisinājumi. Tātad elektromagnētiskais lauks var izplatīties telpā viļņu veidā – elektromagnētiskie viļņi.

Viļņa fāzes ātrums: εµµε 00

1=v .

No mHmF /10257.1,/10854.8 6

012

0−− ⋅=⋅= µε , seko, ka vakuumā

smcv /1031 8

00

⋅≈==µε

.

Tā kā šis ātrums sakrita ar optiski izmērīto gaismas ātrumu, Maksvels secināja, ka gaisma arī ir EM vilnis.

Vielā εµc

v = .

Mērvienību pārbaude: [ ]2

222

00m

s

mAmA

mN

mmN

sAsA

mA

mT

mV

C

m

H

m

F=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅

=⋅=µε .

9.8. Informācija par viļņa vienādojumu

2

22

2

2

x

fv

t

f

∂∂

=∂∂

- šāda tipa vienādojumu sauc par viļņa vienādojumu.

Kā viļņa vienādojuma atrisinājums der jebkura sekojoša tipa funkcija:

−==

v

xtggtxf )(),( ξ , kur

v

xt −=ξ .

Šo faktu pārbaudām ievietojot f(x,t) viļņa vienādojumā:

22

2

2

2

2

2

2

2 1,

)1(,,

v

g

x

f

v

g

x

fg

t

fg

t

f

ξξξξ ∂∂

=∂∂−

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

, tādejādi

54

22

22

2

2 1

v

gv

g

ξξ ∂∂

=∂∂

un redzam, ka viļņa vienādojums izpildās.

Piemērs

v

x

y

0xA1 xA2

v1t 2t

v( - )2t 1t

1A2A

Viļņa izskatu apraksta funkcija ( )ξg . Aplūkojam laika momentu t1. Viļņa forma telpā

ir

−

v

xtg 1 . Pirmā maksimuma stāvoklis ir xA1. Pēc kāda laika intervāla laika

momentā t2 viļņa forma telpā ir ( )

−=

v

xtgg 2ξ . Funkcijai g pirmais maksimums

būs pie tās pašas ξ vērtības, tātad vtt

xx

v

xt

v

xt AAAA =

−−

⇒−=−12

1211

22 . Redzam, ka

parametrs v patiešām ir viļņa pārvietošanās ātrums – fāzes ātrums. 9.9. Plaknisks EM vilnis Aplūkojam plakanisku EM vilni, kas izplatās x ass virzienā un kura viļņa fronte sakrīt ar y-z plakni (t.i. y un z virzienos nekas nemainās). 1) No 4. MV:

0=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

z

E

y

E

x

E zyx , tātad seko 0=∂

∂x

Ex .

Tātad Ex x-ass virzienā nemainās. Tāpēc EM vilnim Ex=0, jo pieņēmām, ka vilnis

izplatās tieši x-ass virzienā. Analoģiski secinām, ka Bx=0. Abi vektori Er

un Br

ir perpendikulāri viļņa izplatīšanās virzienam, tātad EM vilnis ir šķērsvilnis. Viļņa

šķērsviļņa raksturs izriet no tā, ka telpā bez ρ un jr

gan Er

, gan Br

ir solenoidāli.

2) Pieņemam, ka y-ass vērsta tā kā Er

vektors. Tad no 1. MV:

t

B

y

E

x

Ek

x

E

z

Ej

z

E

y

Ei xyzxyz

∂∂

−=

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

rrrr

, un seko, ka

kt

B

t

B

z

Ek zy

rr

r

∂∂

−=∂∂

−=∂

∂. Tātad B

r vektoram “jāguļ” uz z-ass, t.i. B

rEr

, pie kam

t

B

x

Ezy

∂∂

−=∂

∂, un ∫ ∂

∂−= dt

x

EB y

z .

55

3) Harmoniskā gadījumā

−=

−= x

vtE

v

xtEE mmy

ωωω sinsin , kur fπω 2= un kf

f

v==

⋅=

λπ

λπω 22

,

kur k – viļņu skaitlis.

Tātad ( )kxtEE my −= ωsin . Atrodam Bz: ( ) ( )kxtkEx

Em

y −−=∂

∂ωcos , un

( ) ( )v

Ekxt

kEdtkxtkEdt

x

EB mm

my

z =−=−=∂

∂−= ∫∫ ω

ϖω sincos .

Kopsavilkums:

( )( )kxtBB

kxtEE

mz

my

−=

−=

ω

ω

sin

sin, kur

v

EB m

m = , tātad, ja Ey>0, tad arī Bz>0.

x

y

z

vE

B 9.10. Elektromagnētisko viļņu enerģijas blīvums, enerģijas plūsmas blīvums, impulsa blīvums, spiediens, masas blīvums EM viļņa enerģijas blīvums

EM lauka enerģijas blīvums ir 2

HBDErrrr

+=ω (palīgvektori ED

rrεε 0= un

µµ0

0BH

rr

= ).

EM vilnim ir spēkā Ev

EB ⋅== µεµε 00 jeb EH ⋅=⋅ εεµµ 00 . Tad izmantojot

simetrisku pierakstu, kas ērtāks izteiksmēs

( ) EHHE ⋅=+= µεµεµµεεω 002

02

02

1 rr

EM viļņa plūsmas blīvums

Tā kā vilnis izplatās (pārvietojas) ar ātrumu εµεµ 00

1=v , tad caur viļņa izplatīšanās

virzienam perpendikulāru laukuma vienību laika vienībā izplūst enerģija

EHEHvP =⋅⋅==µεµε

µεµεω00

00

1.

56

Tas ir enerģijas plūsmas blīvums jeb Pointinga vektora modulis. EM vilnī vHErrr

,, ir savstarpēji perpendikulāri un veido labās skrūves sistēmu. Tas atbilst Pointinga

vektora definīcijai HEPrrr

×= . Plakniskam vilnim:

( )kxtHEP mm −= ω2sin .

Vidējais laikā enerģijas plūsmas blīvums: ( ) mm

T

mm HEdtkxtT

HEP2

1sin

1

0

2 =−= ∫ ϖ .

Ja vilnis izplatās vakuumā, tad mm HE 00 µε = un 2

0

02

0

0

2

1

2

1mm HEP

εµ

µε

== .

Piemērs. Caur 1m2 izplūst 100J liela enerģija sekundē (jauda 100W). Elektriskā lauka intensitāte vilnī ir

( )mVPEm 2751085.8

10410022

12

7

0

0 =⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅=−

−πεµ

.

EM viļņa impulsa blīvums un spiediens

Tā kā EM lauka impulsa blīvums ir 2c

Pk

rr

= , un EM vilnim ir spēkā cP ⋅= ω (ω -

EM viļņa enerģijas blīvums), tad EM vilnim impulsa blīvums ir cc

ck

ωω=

⋅=

2.

∆ ∆x=c t

∆Sω,k

c

EM viļņa spiediens ir cktS

tcSk

St

k

S

Fp ⋅=

∆⋅∆∆⋅⋅∆⋅

=∆⋅∆

∆=

∆∆

= .

Tā kā EM vilnim c

kω

= , tad spiediens ir ω=p .

. x

v

0

Pω

Tātad, ja EM lauks tiek absorbēts ķermenī ar virsmu, kas ir perpendikulāra viļņa virzienam, tad ķermeņa virsma saņem viļņa nesto impulsu. EM viļņa tilpuma xS ∆⋅∆ impulss ir

xSkk ∆⋅∆⋅=∆ .

57

EM viļņa masas blīvums

Impulss speciālajā relativitātes teorijā ir vmkrr

= , kur m – relatīvistiskā masa, tāpēc impulsa tilpuma blīvums ir vk δ= , kur δ - masas blīvums. Šo pielietojot EM vilnim vakuumā, iegūstam (c – viļņa izplatīšanās ātrums): ck EMδ= . Tā kā EM vilnim

ck

ω= , seko 2cδω = , un 2c

ωδ = . Noteiktam tilpumam: 2mcW = .

9.11. Elektromagnētisko viļņu izstarošana, dipols kā starotājs Paātrināta lādiņa kustība EM viļņu izstarošana (izplatās vakuumā ar gaismas ātrumu c) lādiņš tiek bremzēts. Lai process turpinātos, ārējiem spēkiem jāveic darbs bremzēšanas spēka pārvarēšanai, kas vienāds ar izstarotā EM viļņa enerģiju. Var parādīt, ka starojuma jauda 2~ aqN star ⋅ .

Aplūkojam oscilējošu dipola momentu:

( )tqxtpp ωω sinsin 00 == .

Dipola tiešā tuvumā pastāv:

1) elektriskais lauks θsin~3r

pEd ,

2) magnētiskais lauks θsin~3r

qvBd ,

3) virpuļains elektriskais lauks ( )tpt

I

t

BE ωθω sinsin~~~ 0

2

∂

∂

∂

∂,

4) virpuļains magnētiskais lauks ( )tpB ωθω sinsin~ 02 .

E un B izplatās vakuumā ar ātrumu c viļņu veidā, kuru viļņa garums: ωπλ c

f

c 2== .

Tā kā EM viļņi pārnes enerģiju, tad stacionārā starošanas procesā caur katru iedomātu sfēru ap dipolu centrā un ar rādiusu r izplūst laika vienībā vienāda enerģija. Tāpēc:

rBEunconstrBE

1~~,4 2 =⋅⋅ π . Ja λ>>r (viļņu zona), tad E>>Ed, B>>Bd un

( )tr

pE ω

θωsin

sin~ 0

2

, ( )tr

pB ω

θωsin

sin~ 0

2

.

.

-

+

0x

0x

+q

-q

θr

p

58

θE

B

P

r

θ

P max

Dipola starojuma virziena diagramma

Enerģijas plūsmas blīvums: ( )tr

pP ω

θω 22

220

4

sinsin

~ .

Laikā vidējā vērtība: 2

220

4 sin~

r

pP

θω.

Kopējā laika vienībā izstarotā enerģija = dipola starojuma intensitāte:

2

420

0

0

12 c

pI

πω

εµ

⋅= .