elektromagnetska polja – zadaci za vježbu

BojanTrkulja

Elektromagnetskapolja zadacizavjebu

Zagreb,2012

UDBENICISVEUILITAUZAGREBUMANUALIAUNIVERSITATISSTUDIORUMZAGRABIENSIS

BojanTrkulja

ElektromagnetskapoljazadacizavjebuISBN9789531841719Recenzenti:Prof.dr.sc.eljkotihProf.dr.sc.LiviounjiObjavljivanjeovogsveuilinogprirunikaodobrio jeSenatSveuilitauZagrebuodlukombr:380061/117122

Ovo djelo je dano na koritenje pod licencom Creative Commons Imenovanje-Nekomercijalno-Bez prerada 3.0 Hrvatska.

ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu

2

Sadraj1.Vektorskaanaliza.................................................................................................................................4

1.1Vektorskanotacijaialgebra..........................................................................................................4

1.2Koordinatnisustavi........................................................................................................................6

1.3Skalarnopolje................................................................................................................................7

1.4Vektorskopolje..............................................................................................................................7

1.5Nabla(Hamiltonov)operatoriLaplaceovoperator......................................................................8

1.6Integralniteoremi..........................................................................................................................8

1.7Vektorskeoperacijeukoordinatnimsustavima............................................................................8

1.8Zadacizavjebu...........................................................................................................................10

2.Statikoelektrinopolje....................................................................................................................14

2.1Osnovneveliinestatikogelektrinogpolja..............................................................................14

2.2Coulombovzakon........................................................................................................................14

2.3Jakostelektrinogpolja...............................................................................................................15

2.4Gaussovzakon.............................................................................................................................16

2.5ElektrinitokiodnosvektoraDiE..............................................................................................17

2.6Elektrinipotencijal,radienergijaustatikomelektrinompolju.............................................17

2.7Metodaodslikavanjanauzemljenojvodljivojplohi....................................................................20

2.8Uvjetinagranicidvamaterijalaustatikomelektrinompolju..................................................20

2.9Konvencijaooznaavanju...........................................................................................................21

2.10Rijeeniprimjeri.........................................................................................................................21

2.11Zadacizavjebu.........................................................................................................................30

3.Magnetostatika.................................................................................................................................42

3.1Osnovneveliinestatikogmagnetskogpolja.............................................................................42

3.2BiotSavartovzakon.....................................................................................................................42

3.3Ampereovzakon..........................................................................................................................44

3.4Magnetskitok..............................................................................................................................45

3.5Gaussovzakonumagnetskompolju...........................................................................................45

3.6Uvjetinagranicidvamagnetskamaterijala................................................................................46

3.7Magnetskikrugovi.......................................................................................................................46

3.8Vektorskimagnetskipotencijal...................................................................................................48

3.9Sileustatikommagnetskompolju.............................................................................................49

3.10Energijastatikogmagnetskogpolja.........................................................................................50

3.11Prorauninduktiviteta...............................................................................................................51


3

3.12Proraunmeuinduktiviteta.....................................................................................................51

3.13Zadacizavjebu.........................................................................................................................60

4.Elektromagnetizam...........................................................................................................................74

4.1Faradayevzakonelektromagnetskeindukcije............................................................................74

4.2Maxwellovejednadbeudiferencijalnomobliku.......................................................................75

4.3Maxwellovejednadbeuintegralnomobliku.............................................................................75

4.4Relacijegrae..............................................................................................................................76

4.5PoyntingovteoremiPoyntingovvektor......................................................................................76

4.6Jednadberavnogvalaurealnimdielektricimaivodiima.........................................................76

4.7Jednadberavnogvalausredstvimabezgubitaka.....................................................................78

4.8Zadacizavjebu...........................................................................................................................82

Popisliterature......................................................................................................................................93


4

1. Vektorskaanaliza

1.1 Vektorskanotacijaialgebra

Uokviruovezbirkeuvodisesljedeanotacija.Zavektore,veliinekojeosimiznosaimaju zadan i smjer, koristi se podebljani kurziv, npr. vektor A. Jedinini vektor,oznaava semalim slovoma, je bezdimenzionalna veliina koja slui za obiljeavanjesmjera vektora. Tako se primjerice Kartezijev koordinatni sustav karakterizirajedininimvektorimaaxusmjeruosix,ayusmjeruosiyiazusmjeruosiz.OpenitovektorAmoemouKartezijevomkoordinatnomsustavupisatiuobliku:

.

(1.1)VeliinavektoraAodreenajeizrazom:

| | , (1.2)ajedininivektorusmjeruvektoraAmoemoodreditiizrazom:

| |

(1.3)

Zbrajanjeioduzimanjevektoraizvodisepremajednadbi:

(1.4)Vrijede zakoni asocijativnosti, distributivnosti i komutativnosti u vektorskimoperacijama:

(1.5)

Pritomjekskalarnakonstanta.Skalarni produkt dva vektoraA iB je skalarna veliina, odreena veliinomvektora ikosinusommanjegkutaizmeunjih:

| || |cos , (1.6)


5

UKartezijevomkoordinatnomsustavuvrijedi: , (1.7)jer je skalarni produkt dva jedinina vektora u istom smjeru jednak , a urazliitimsmjerovima VektorskiproduktdvavektoraAiBjevektorskaveliina,odreenaveliinomvektoraisinusommanjegkutaizmeunjih: | || |sin , . (1.8)Pritomje jedininivektorusmjerenokomitonaravninukojurazapinjuvektoriAiB.UKartezijevomsustavukoristimozaizraunvektorskogproduktaizraz:

. (1.9)

Smjervektora moemoodreditipravilomdesneruke.Kaiprstdesnerukepostavimousmjervektora ,asrednjiprstu .Tadapalacpokazujesmjervektora ,premaslici1.1.

Slika1.1Pravilodesneruke

B

A

an


6

1.2 KoordinatnisustaviZaproblemekojisuusvojojgeometrijipravokutniuputnojekoristitivespomenuti

Kartezijevkoordinatnisustav.Meutim,problemizakojejegeometrijaosnosimetrina(cilindrina) ili centralno simetrina (sferna) bi rjeavanjem u Kartezijevom sustavupostalibespotrebnokompleksni.Utusvrhuuvodimodvanovakoordinatnasustava,cilindriniisferni.Ucilindrinom

je sustavu toka odreena sa skupom koordinata , , , a u sfernom sa skupomkoordinata , , .Kutovimoguimativrijednostiuintervalima:0 2 , 0 ,Definicijakoordinatazasvatrisustavaprikazanajeslikom1.2.

Slika1.2Prikazkoordinatnihsustava

Slika1.3DiferencijalnielementuKartezijevomkoordinatnomsustavu

Slika1.4Diferencijalnielementucilindrinomkoordinatnomsustavu sin

Slika1.5Diferencijalnielementusfernomkoordinatnomsustavu

dr

rd

z

x

y

z z

x

y y

xx

y

z

P(x,y,z)z

r

P , , P , ,

r

z

x

ydx

dydz

P

z

xy

P

dzrd

z

xy

drrsin()d

P


7

1.3SkalarnopoljeAkosvakojtokiprostorailidijelaprostoraPpridruimobrojanuvrijednost(skalar),

,takvopridruivanjenazivamoskalarnimpoljem.Primjerskalarnogpoljajepoljegustoe,temperature,elektrinogpotencijala(slika1.5).

Slika1.5ElektrinipotencijaluokolininabijenekugleradijusaR

1.4VektorskopoljeAkosvakojtokiprostoraPpridruimovektorA:

,timejedefiniranovektorskopolje.Primjerivektorskogpoljasupolje tekuinekojastruji (slika1.6),elektrinopolje imagnetskopolje(slika1.7).

Slika1.6PoljefluidaSlika1.7Poljepermanentnogmagneta

R

N

S

[V]

x[m]

y[m]


8

1.5Nabla(Hamiltonov)operatoriLaplaceovoperatorNabla operator je simboliki vektor koji se koristi kod prostornog diferenciranja, a njegovaupotrebapojednostavljujeraunanjeuvektorskojanalizi.Zaoperatoregradijenta,divergencijeirotacijezaskalarnufunkciju ivektorskufunkciju vrijedi:

(1.10)

Laplaceovoperatorjeskalarnikvadratnablaoperatora. (1.11)Laplaceov operator pridruuje skalarnim i vektorskim funkcijama sumu drugih parcijalnihderivacija.1.6IntegralniteoremiGaussovteorem:

(1.12)

VolumenVokruenjezatvorenomplohomSnakojojjedefinirananormalan.Stokesovteorem

(1.13)

PovrinaSobrubljenajezatvorenomkrivuljomcnakojojjedefinirandiferencijalnielementdl.1.7Vektorskeoperacijeukoordinatnimsustavima

Kartezijevkoordinatnisustav

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

BojanTypewritten Text






9

Cilindrinikoordinatnisustav

1

(1.18)

1 1

(1.19)

1 1

(1.20)

1 1

(1.21)

Sfernikoordinatnisustav

1 1

(1.22)

1 1 1

(1.23)

1 1 1

1

(1.24)

1 1 1

(1.25)


10

1.8Zadacizavjebu1.1 Dvasuradijvektorarir'zadanaslikom.OdreditevektorR=rr'ijedininivektor

aRusmjeruvektoraR.

Rj. 2 ; 23

16

16

1.2 ZatokuT(2,1,3)zadanuuKartezijevomkoordinatnomsustavuodredikoordinateucilindrinomisfernomkoordinatnomsustavu.Rj. 2,236; 0,464; 3 ; 3,742; 0,641; 0,464

1.3 Zazadanevektorskefunkcije 2 i odrediteutokiT(3;1;1):

a) ABb) A+Bc) d)

Rj.a) 7 b) 2 5 c) 5d) 7

1.4 Integracijom odredite povrinu S definiranu u sfernom koordinatnom sustavu s

1,5m; 0 2 ; .Rj.7,07m2

x

y

z

r

r'

R

(4,3,3)

(2,2,2)


11

1.5 Integracijom odredite u cilindrinom koordinatnom sustavu volumen V podrujadefiniranogs1m 3m; ; 1m 2m.Rj.6,28m3

1.6 Za zadane vektore 2 3 2 i 2 odredite projekciju

vektoraB na vektorA imanji kut izmeu vektora primjenom relacije za skalarniproduktvektoraAiB.Rj.0,485;101,42

1.7 Zavektoreizzadatka1.6odreditemanjikutizmeuvektoraAiBprimjenomizraza

zavektorskiprodukt.Rj.101,42(napomena:primjenomvektorskogproduktadobivajusedvarjeenja78,58 i 101,42 zbog svojstava funkcije sinus, od kojih je samo jedno tono.Primjenomskalarnogproduktakaou6.zadatkudobivasejednorjeenje.Rezultatjelakoprovjeritiskiciranjemvektora.)

1.8 Neka je vektor 2 1 . Odredite vektor u toki (7; 5; 1) i

njegovuprojekcijunavektor 2 3 2 .Rj. 7, 5, 1 7 6 ;

1.9 Odreditepovrinudijelavaljkasteplohe,odreenesradijusomr=3m,visinomh=2m

ikutem10 100.Rj.S=3m2

1.10 Za vektor 5 i vektor 4 odredite takav da je kut izmeu

vektoraAiBjednak45.Rj. 4

1.11 Odreditejedininivektorizmeutoaka(2;5;2)i(14;5;3).

Rj. 1.12 Zakojesuvrijednostiivektori:

2 2 4 i 2 paralelni?

Rj. 1; 1.13 Za koje su vrijednosti vektori 2 2 2 i 2

meusobnookomiti?Rj. 3


12

1.14 Neka je zadano skalarno polje . Odredite gradijent polja ,utoki(2;1;1).

Rj.1 1 1 1.15 Zadanojevektorskopolje 2 .Odreditejedininivektor utoki

(2;30;2)uKartezijevomsustavu.Rj.0,8 0,46 0,37

1.16 Zavektorskopoljeizzadatka1.15odreditepovrinuzakojuvrijedi| | 8.

Rj.r=1,3cilindrinaploha.1.17 U toki P prostora dva su vektora definirana u sfernom koordinatnom sustavu

jednadbama 2 3 5 i 1 5 3 . Odredite skalarnukomponentuvektoraBusmjeruvektoraA.Rj.5,19

1.18 Odreditevektorkoji jeutokiPokomitnaravninukojuodreujuvektoriA iB iz

zadatka1.17.Rj.0,914 0,057 0,4

1.19 Izrazite vektorsko polje u koordinatama cilindrinog

sustavautokiP 6, 60, 4 .Rj. 93 9 12

1.20 Unutarsfereradijusa0,2mnalazisenabojvolumnegustoe .Odredite

ukupninabojunutarsfere.Rj.Q=0,394C

1.21 Odreditegradijentpolja , , 2 6 11.

Rj. 2 6 6 1.22 Odreditegradijentpolja , , sin 4.

Rj. cos 1.23 Odreditegradijentpolja , , 2rcos 5 2.

Rj.2 cos 2 sin .

1.24 Odredite gradijent skalarnog polja , , 3 u toki (2; 1; 1) usmjeruvektora2 2 Rj.


13

1.25 Odredite linijski integral vektorskog polja , , poduiniodtokeA(0;1;2)doB(1;0;2).Rj.1,5

1.26 Odredite linijski integral vektorskog polja , , 2 2 2 po

krunomlukuodtokeA(1;0;1)doB(0;1;1).Sreditekrunoglukajeutoki(0;0;1).Rj.4

1.27 Odreditetokvektorskogpolja , , 4 2 2 krozjedininu

kocku0 , , 1.Rj.2

1.28 Odreditedivergencijuvektorskogpolja:

, , cos 3 sin 3 Rj.2 sin 3

1.29 Odreditedivergencijuvektorskogpolja , , 2 sin utokix=0,8.

Rj.1,371.30 Odrediterotorvektorskogpolja , , 3 .

Rj. 3 1.31 Odrediterotorvektorskogpolja , , 5 cos 2 .

Rj. 1.32 Odredite linijski integralvektorskogpolja , , 2 pozatvorenoj

krivuljiodreenojtokama(0;0;0),(1;0;0)i(0;1;0).Smjerobilaskadefiniranjeredoslijedomtoaka.Rj.


14

2.Statikoelektrinopolje

2.1OsnovneveliinestatikogelektrinogpoljaStatiko elektrino polje uvjetovano je postojanjem raspodjele mirujuih elektrinihnabojakaoizvorapoljauprostoru.U Tablici 2.1. nalazi se podsjetnik vanijih veliina u statikom elektrinom polju injihovihiznosaukolikojerijeokonstantama.

Oznaka Veliina Mjernajedinica Dielektrinostvakuuma 8,8541012 F/m Relativnadielektrinost 1

Q Elektrininaboj C Linijskagustoanaboja C/m

Povrinskagustoanaboja C/m2 Volumnagustoanaboja C/m3E Jakostelektrinogpolja V/mD Gustoaelektrinogtoka C/m2C Elektrinikapacitet F Elektrinipotencijal Ve Elektrinitok C

Tablica2.1.VanijeveliineustatikomelektrinompoljuSljedeejednadbeizakoniopisujustatikoelektrinopoljeuprostoru.2.2CoulombovzakonSila izmeu dva naboja proporcionalna je umnoku iznosa naboja, a obrnuto jeproporcionalnakvadratuudaljenostiizmeudvanaboja(slika2.1).

Slika2.1Coulombovzakon

Q1 Q2

R12

F12aR12


15

SilakojomnabojQ1djelujenanabojQ2odreenajeuvakuumujednadbom:

4

(2.1)

Pritomje jedininivektorusmjerenodnabojaQ1premanabojuQ2.2.3JakostelektrinogpoljaJakostelektrinogpoljautokiprostorajednakajesilinajedininipozitivninaboj:

lim

(2.2)

Zatokastinabojvrijedi:

4

(2.3)

Pritom jeRudaljenost odnabojado tokeukojoj se raunapolje, dok je jedininivektorusmjerenodizvorapolja,naboja,dotokeukojojseraunapolje.Vrijedi princip superpozicije za statiko elektrino polje u linearnim, izotropnim ihomogenimsredstvima:

4

(2.4)

Elektrinopoljevolumnerazdiobenaboja(slika2.2)raunasenasljedeinain:

Slika2.2Elektrinopoljevolumneraspodjelenaboja

ElektrinopoljediferencijalnogdijelanabojadQje:

4

Uz elektrinopoljevolumneraspodjelenabojaje:

1

4

(2.5)

R

dE

dQ


16

Analognozaplonuraspodjelunabojakoristisezaizraunelektrinogpoljaizraz:

1

4

(2.6)

Zalinijskuraspodjelunabojaseelektrinopoljeraunaprema:

1

4

(2.7)

2.4GaussovzakonTokvektoragustoeelektrinogtokaDkrozbilokojuzatvorenuplohuSuslobodnomprostorujednakjenabojukojisenalaziunutarzatvoreneploheS.UintegralnojformulacijiGaussovsezakonmoezapisatiuobliku:

,

(2.8)

Vektor jejedininivektornormalenaplohuS.UdiferencijalnomoblikuGaussovzakonglasi:

. (2.9)KoristeiGaussovintegralniteoremzavektorskopoljeA(jednadba1.12):

uz uvjet neprekidnosti A, te postojanja i neprekidnosti i prvih derivacija vektorskogpoljaAmoemoGaussovzakonformuliratiiuobliku:

(2.10)


17

2.5ElektrinitokiodnosvektoraDiETokvektoraDimaizvorupozitivnomnabojuQ1,aponorunegativnomnabojuQ2(slika2.3). Smjer silnica elektrinog polja je od pozitivnog prema negativnom naboju.Zatvorenekrivuljeuokolininabojanaslici2.3oznaavajuekvipotencijalneplohe.

Slika2.3SilniceiekvipotencijalneplohezasustavdvajutokastihnabojaTokevektoragustoeelektrinogtokakroznekuplohuSmoeseizraunatiizrazom:

.

(2.11)

Slika2.4TokedobivaseintegracijomokomitekomponentevektoraDnaplohuS

JakostelektrinogpoljaEivektorgustoeelektrinogtokaDulinearnom,izotropnomihomogenom(LIH)sredstvupermitivnostipovezanisuizrazima:

(2.12)

2.6Elektrinipotencijal,radienergijaustatikomelektrinompoljuNeka se tokasti naboj q nalazi u prostoru u kojem postoji elektrino polje jakostiE.Tadaelektrinopoljedjelujenanabojqsilomiznosa:

, (2.13)kaonaslici2.5.

D

Q

nS


18

Slika2.5Tokastinabojuvanjskomelektrinompolju

NabojuravnoteidrivanjskasilaFvjednakogiznosakaoiFe,asuprotnogsmjera.

Diferencijalniradvanjskesilekojijepotrebnouloitiupomicanjenabojazaudaljenostdljednakje:

Statiko elektrino polje je konzervativno polje. Integral neovisan je o putuintegracije,krivuljic.Iztogslijedidajeintegraljakostielektrinogpoljapobilokojojzatvorenojkonturi(slika2.6)aibjednaknuli.

0 (2.14)

Slika2.6Konzervativnoststatikogelektrinogpolja

ElektrinipotencijaltokastognabojaQ,utokiTublizininabojajeradkojijepotrebnouloitidasejedininipozitivninabojdovedeizbeskonanostiuT.

4 41 1

4

Potencijalprostorneraspodjelenaboja(Slika2.7)utokiTodreenjejednadbom:

4

(2.15)

Fv Fe

Eq

T1T2

a

b


19

Slika2.7Potencijalprostorneraspodjelenaboja

JakostelektrinogpoljaEiskalarnipotencijalpovezanisujednadbom: (2.16) Elektrinopolje jednako jenegativnomgradijentu elektrinogpotencijala, toznaidasmjerelektrinogpoljaodgovarasmjeruopadanjaelektrinogpotencijala.Energija statikog elektrinog polja skupine tokastih naboja moe se odrediti izjednadbe:

12 (2.17)

Pritom oznaavapotencijalsvihostalihnabojanamjestunabojai.Ukolikojerijeoprostornojdistribucijinabojaenergijaseraunaintegralom:

12

(2.18)

EnergijuizraenuprekovektoraEiDraunamouLIHsredstvupremaizrazima:

12

12

12

(2.19)

Unelinearnomsredstvu:

12 (2.20)

Rd

dQ

T


20

2.7MetodaodslikavanjanauzemljenojvodljivojplohiProblemekojiukljuujutokastenaboje,linijske,ploneilivolumneraspodjelenabojaublizini uzemljenih vodljivih ploha mogue je rijeiti primjenom metode odslikavanja(slika2.8).

Slika2.8Metodaodslikavanjazatokastinaboj

Sustav koji ine tokasti naboj Q1 i uzemljena ravnina =0 (slika 2.8 a), moe sepojednostavitikakojeprikazanonaslici2.8b)uvoenjemodslikanognabojaQ'2kojimje nadomjetena ravnina =0. Iznos odslikanog naboja Q'2 na uzemljenoj ravnini ustatikom elektrinom polju jednak je iznosu originalnog naboja Q1, a suprotnog jepredznaka.

Odslikani naboj nalazi se na jednakoj udaljenosti d od ravnine odslikavanja kao ioriginalni naboj. Problem raunanja polja u okolini originalnog naboja Q1 (lijevipoluprostor na slici 2.8 a) moemo jednostavno rijeiti superpozicijom doprinosaoriginalnogiodslikanognaboja.2.8UvjetinagranicidvamaterijalaustatikomelektrinompoljuNagranicidvajumaterijalarazliitihsvojstava(slika2.9)zakomponentevektorajakostielektrinogpoljaigustoeelektrinogtokavrijedi:Tangencijalnekomponentejakostielektrinogpoljasujednakeuobasredstva:

(2.21)Komponenta vektora gustoe elektrinog toka D okomita na granicu na granici semijenjazaiznosgustoeslobodnognabojanagranici.

(2.22)

=0a) b)

d d d'


21

Slika2.9Uvjetinagranici2.9Konvencijaooznaavanjur radijvektortokeukojojraunamopoljer' radijvektordiferencijalnogelementaizvoraR vektorudaljenostitokepromatranjaroddiferencijalnogelementaizvorar'takoda

vrijediR=rr'2.10RijeeniprimjeriPrimjer2.1Odrediteelektrinopoljetapaduljine1mpremaslici,nabijenoglinijskim

nabojemgustoe1nC/mutokiT(r=0,25m;z=0,25m).

Slika2.10Poljeuokolininabijenogtapa

Radi jednostavnosti u raunukoristimo cilindrini koordinatni sustav (r; ;z), jer je itapcilindrinegeometrije.NekajeLduljinatapa.Ucilindrinomkoordinatnomsustavuradijvektordiferencijalnogelementaizvoraje:

,radijvektortokeukojojraunamopoljeje:

1

2

n12

dz'z'

R

dE

z

r

T(r,,z)


22

,ivrijedi: ,

| | ,

,

Elektrinopoljeraunamopremaizrazu:

14

14

,

,

Sreivanjemprethodnogizrazadobivamoposmjerovima:

4 ,

,

4

,

,

Konano:

42

2

2

21m, 0,25m, 0,25m, 1 nCm 59,53

Vm

42 2

1m, 0,25m, 0,25m, 1 nCm 14,05Vm


23

Primjer2.2Kruniprsten zanemarivogpoprenogpresjeka, radijusa2m,prema slici,nabijen je nabojem linijske gustoe =1nC/m. Odredite jakost elektrinog polja utokiT(0;1m)naosiprstena.

Slika2.11.Kruniprstennabijennabojemgustoe

Radijvektordiferencijalnogelementaizvoraje:,

Radijvektortokeukojojraunamopoljeje:,

ivrijedi: ,

| | ,

,

Elektrinopoljeje:1

41

4

RastavimolielektrinopoljepokomponentamanaEriEz:

4 0

jerjenpr.pretvorbomuKartezijevkoordinatnisustavevidentno(slika2.12):

cos sin 0

T(0;z)z

R

r0 d


24

Slika2.12.Rastavljanjejedininogvektoraarnaaxiay

Integralisinusneikosinusnefunkcijeuintervaluargumenta[0,2]jednakjenuli.Jakostelektrinogpoljauaksijalnomjesmjeru:

4 2 2m, 1m, 1nCm

10,1 Vm

Primjer2.3Krunidiskradijusa1mpremaslicinabijenjenabojempovrinskegustoe=2 .OdreditejakostelektrinogpoljautokiT(0;2m)naosiprstena.

Slika2.12.Disknabijennabojemgustoe

Disk se sastoji od diferencijalnih prstena debljine dr'. Elektrino polje na osi prstenarijeenojeuPrimjeru2.2ipostojisamouaksijalnomsmjeru,pajerezultat:

2

potrebno integrirati po radijusu diska kako bi se izraunalo ukupno elektrino poljediska.Gustoanabojadiojepovrinskegustoenabojakojisenalazinaprstenudebljinedr.

x

y

ar

cos()

sin()

T(0;z)z

R

r0

r' dr'


25

Elektrinopoljediskaje:

2 21

1m, 2 nCm , z 2m 11,9Vm

Primjer2.4Odredite jakostelektrinogpoljauokolinisfereradijusaRunutarkojesenalazinabojQjednolikorasporeenpovolumenu.PrimjenomGaussovogzakonamoeserijeitiovakavproblem:

ZaGaussovuplohuiproblempremaslici2.13vrijedi: ploharadijusarokruujeukupannabojQusferiradijusaR, problem je centralno simetrian i jakost elektrinog polja E ima iskljuivo

radijalansmjer, iznosjakostielektrinogpoljajejednakusvakojtokiGaussoveploheradijusar.

Slika2.13NabojunutarsfereradijusaR

Vrijedi:

sin 4

4

4

r

R


26

Poljeizvansfereidentinojesituacijiukojojjecijelinabojkoncentriranusreditusfere,daklejednakojekaousluajutokastognabojaistogiznosaQusreditusfere.Primjer2.5 Unutar dugakog cilindra radijusaR nalazi se naboj prostorne gustoe

koja se s udaljenosti od osi cilindra mijenja po zakonu , pri emu je kkonstanta.Odreditejakostelektrinogpoljaunutarcilindra.

Gaussovaploharadijusarprikazana jenaslici2.14crtkanomlinijom.NabojQ'unutarGaussoveploheje:

KakobismoodredilijakostelektrinogpoljaunutarcilindrapotrebnojeizraunatinabojQ'. Integracijom funkcije gustoe naboja po volumenu odreenomGaussovomplohomdobijeseQ':

2 3

Slika2.14NabojvolumnegustoeunutarcilindraradijusaR

Jakost elektrinog polja zbog osne simetrije ima samo radijalni smjer i jednaka je poiznosuusvimtokamanaudaljenostirodosi:

2

2

2 32 3

3

r

R

l


27

Primjer2.6OdreditekapacitetdvijukoncentrinihsfernihljuskiradijusaR1iR2.Neka jenaunutranjoj ljuscinaboj+Q,anavanjskojnabojQ. Jakostelektrinogpoljaizmeudvijuljuskijednakajekaozatokastinaboj:

4

Dabismoodredilikapacitetpotrebnojeodreditinaponizmeudvijuljuski:

41 4

1 1

Konanokapacitettrebaodreditikoritenjemizraza:41 1

Primjer2.7DvasetokastanabojaQ1=1nCiQ2=2nCnalazeutokamaT1(1m;0;2m)iT2(2m;0;1m) iznaduzemljenevodljiveplohepostavljeneuravninuz=0,premaslici.Odrediteomjerpotencijala utokamaA(2m;3m;5m)iB(3m;0;0,5m).

Slika2.15Odslikavanjetokastihnaboja

NabojiQ1iQ2sepremaslici2.15odslikavajuuQ1'iQ2'kojisenalazenaistojudaljenostiodravninez=0isuprotnogsupredznaka:Q1'(1m;0;2m)=1nC,Q2'(2m;0;1m)=2nC,

Q1

Q2

=0x

z

Q1'Q2'


28

UkupnipotencijalutokamaAiBzbrojjedoprinosaoriginalnihiodslikanihnaboja.RadijvektorinabojaitoakaAiBsu:

2 2

2 2

2 3 5 3 0,5

Potencijal toke A moe se dobiti koristei princip superpozicije i izraz za potencijaltokastognaboja :

14 1,81V

PotencijaltokeBje:1

4 6,89V

Omjerpotencijalaje:

0,26

Primjer2.8OdreditejakostelektrinogpoljautokiAzageometrijuizPrimjera2.7.Elektrinopoljeraunamoprema:

4 4

KoristeiizrazezaradijvektoreizPrimjera2.7vrijedi:


29

14

0,09 0,52 0,40 Vm

0,66 Vm

Primjer2.9Nekajeuprostoruzadanoelektrinopolje:

Vm

Odrediteradelektrinesilekojiseobavipripomicanjujedininogpozitivnognabojaiztoke(0;0;0)dotoke(1m;1m;0)poparabolinojputanji , 0.Diferencijalnidioputadljednakje:

2

Potrebnojeodtoke(0;0;0)dotoke(1m;1m;0)izraunatikrivuljniintegral:

Vrijedi: 2 2 2 2

Radpripremjetanjunabojaiztoke 0;0;0 utoku(1m;1m;0)je:

2 , ,

, ,

, ,

, ,24

8 10 J


30

Primjer 2.10 Neka se u sreditu sferne dielektrine ljuske unutranjeg radijusa R1 ivanjskogradijusaR2nalazitokastinabojiznosaq=3nC.OdreditevektorpolarizacijePudielektrikurelativnedielektrinosti 2,2.

Slika2.16Tokastinabojunutardielektrineljuske

Elektrinapolarizacijaudielektrikudobivaseizjednadbe:

Jakost elektrinog polja E i vektor gustoe elektrinog toka D u dielektriku su zacentralnosimetrinisluajodreeniuprimjeru2.4:

4 ,

4 4 4 11

1,3 10.

2.11Zadacizavjebu

2.1 Dvabeskonanodugalinijskanabojasjednolikoraspodijeljenomgustoomiznosa2nC/m lee u ravnini x=0 paralelno s osi z, na lokacijama y1=+3m i y2=3m.Odreditejakostelektrinogpoljatoki(5m;0;10m).Rj.10,57V/m

2.2 Nabojplonegustoe=5104r1[C/m2]rasporeenjenakrunomdiskuradijusa5m.Odreditejakostelektrinogpoljanaosidiskautokiudaljenoj4modravninenakojojleidisk.Rj.5,51MV/m

R1

R2

rq


31

2.3 Odredite elektrini tok kroz sferu radijusa 3m, ako ona obuhvaa naboj gustoe=5sin2()r2[C/m3],kojisenalaziizmeudvijekoncentrinesfereradijusaR1=1miR2=2m.Rj.31,42C

2.4 Ukupni naboj 30nC rasporeen je jednoliko po disku radijusa 1m. Odredite

potencijalutokinaosidiska2mudaljenojodravninediska.Rj.127,03V

2.5 Natokastinabojiznosaq1=300nC,kojisenalaziutoki(1m;1m;3m),djelujesilaF=8ax8ay4az[mN],uzrokovananabojemq2utoki(3m;3m;2m).Odrediteq2.Rj.40,05C

2.6 Naboj jednolikegustoe0,3nC/m2rasporeen jeporavninizadanoj jednadbom2x3y+z=6[m].Odreditexkomponentujakostielektrinogpoljauishoditu.Rj.9,05V/m

2.7 ZazadanivektorgustoeelektrinogtokaD=10x3axCm2odrediteelektrinitok

kojiprolazipovrinom2m2okomitomnaxos,nax=2m.Rj.160C

2.8 UcilindrinomkoordinatnomsustavujakostelektrinogpoljazadanajeuoblikuE=5r2 ar V/m za 0 < r 2m i E=2.5r1 ar V/m za r > 2m. Odredite razlikupotencijalaUABizmeutoakaA(1m;0;0)iB(4m;0;0),priemujetokazadanauobliku(r;;z).Rj.4,23V

2.9 Osamjednakihnabojaiznosa100nCsvaki,postavljenojenakrunicuradijusa5mtako da su svimeusobno jednako udaljeni. Odredite silu na naboj iznosa 20nC,smjetenutokinaosikrunice,kojijeodravninekruniceudaljen2m.Rj.1,84N

2.10 Linijskinabojgustoe5nCm1leinaxosi.Odrediteykomponentuvektoragustoe

elektrinogtokautoki(3m;3m;1m).Rj.0,239nCm2

2.11 etirijednakanabojaiznosaQ=20nCsvaki,nalazeseutokama(4m;0;0),(4m;0;0), (0;4m;0) i (0; 4m;0).Odredite iznossilenanaboj iznosa100nCsmjetenutoki(0;0;3m).Rj.1,73N


32

2.12 Nabojlinijskegustoe30nC/mrasporeenjepozosiodz=8mdoiodz=8mdo+.Odreditejakostelektrinogpoljautoki(3m;0;0).Rj.11,45V/m

2.13 Nabojlinijskegustoe1nCm1jejednolikorasporeenporubovimakvadratakoji

jezadanvrhovima(3m;3m;0),(3m;3m;0),(3m;3m;0),(3m;3m;0).Odreditepotencijalutoki(0;0;5m).Rj.35,53V

2.14 Nabojplonegustoe=109cos2C/m2rasporeenjepokrunomdiskuradijusa

4m.Odreditejakostelektrinogpoljautokinaosidiskaudaljenojoddiska2m.

Rj.15,61V/m2.15 UsfernomkoordinatnomsustavupostojipoljeE=16r2arV/m.OdreditenaponUAB

izmeutoakaA(2m;;/2)iB(4m;0;),priemusutokezadanekao(r;;).Rj.4V

2.16 Trinaboja iznosa10nCsvakinalazeseu tokama(0;0;0), (1m;0;0) i (1m;1m;1m).Odrediteiznossilenanabojq2=20nCsmjetenutoki(0;0;1m).Rj.2,82N

2.17 Linijski naboj jednoliko je rasporeen po pravcu i lei na x osi Kartezijevog

koordinatnog sustava.Odreditepostotnidioelektrinog tokakojiprolazidijelomravniney=6mza1mz1m.Rj.5,26%

2.18 Tokastinabojiznosa18nCsmjetenjeuishoditesfernogkoordinatnogsustava.

Odreditetokkojiprolazipovrinom4m2koncentrinesfereradijusa3m.Rj.2nC

2.19 Naboj plone gustoe =3(x2+y2+1)3/2 [nC/m2] rasporeen je po pravokutniku

2x2,2y2[m]uravniniz=0.Odreditejakostelektrinogpoljautoki(0;0;1m).Rj.431,41V/m

2.20 Zazadanufunkciju linijskegustoenaboja(x,y,z)=x+3yz [C/m],odrediteukupni

nabojnaduiniod(2m;1m;2m)do(4m;4m;5m).Rj.32,8C

2.21 Linijskinabojgustoe0,1C/mparalelanjesosiziprolazitokom(3m;3m;0).

Odreditejakostelektrinogpoljautoki(3m,0,5m).Rj.240ax+120ayV/m


33

2.22 Ravnina y=2m nabijena je nabojem povrinske gustoe (1/(100)) [C/m2].Odreditejakostelektrinogpoljauprostoru.Rj.E=180ayV/m;y>2mE=180ayV/m;yRodsfere,priemujeRradijussfere.Rj. 2

2.32 Odrediteraspodjelupotencijalazasferuizzadatka2.31.

Rj.2

2.33 Beskonano dugaki cilindar radijusa 1m ispunjen je nabojem gustoe . Ako je

potencijal na povrini cilindra 0 = 1V, odredite raspodjelu potencijala unutarcilindra.Rj. 1

41 2

2.34 Naboj linijske gustoe 5 C/m lei na z osi cilindrinog koordinatnog sustava.

OdrediterazlikupotencijalaizmeutoakaA(1m;;4m)iB(3m;;4m). Rj.UBA=98,74kV2.35 Za zadanu funkciju potencijala V u slobodnom prostoru odredite

energijupohranjenuukocki0 , , 1m. Rj. J2.36 ElektrinopoljeizmeudvasuosnacilindrinavodiaradijusaR1=1cmiR2=3cm

zadano je izrazom 105 Vm . Odredite energiju pohranjenu u 1m duinevodia.

Rj.0,3J2.37 Uprostorujejakostelektrinogpoljazadanaucilindrinomkoordinatnomsustavu

jednadbom .Odrediteenergijupohranjenuuvolumenuodreenoms0 , 0 3 .

Rj.1,24 10 32.38 Zazadanu funkcijupotencijala 3 2 4 2 V uslobodnomprostoruodredite

energijupohranjenuudijeluprostora1 , , 3m. Rj.15,3nJ2.39 Uz zadano elektrino polje 2 5 [V/m] u materijalu (1),

dielektrinosti 1 2,kojisenalaziuprostoruz>0,odredite jakostelektrinogpoljaumaterijalu2,uprostoruz N

82.23607, 0.463648, 3.

:1

2H-Bz Yy + By ZzL,

1

2HBz Xx - Bx ZzL,

1

2H-By Xx + Bx YyL>

0

0

8Bx, By, Bz0.5*L1

2*Pi*rIntegrate@J@rD*r, 8r, 0, r0

4.Elektromagnetizam

Primjer4.2

ClearAll@"Global`*"D

B@x_, y_, t_D := 0.1*SinBp*x

2F*CosB

p*y

2F*Sin@377* tD

H*Odredite integral f= BS*LIntegrate@B@x, y, tD, 8x, 0, 1

Zadatak4.1

ClearAll@"Global`*"DEE@x_D := 2 x*1000;e = 8.854*10^-12;

H*Gustoa energije w=0.5 e*E^2*Lw = 0.5*e*EE@4D^20.000283328

Zadatak4.2


k = 5;

e0 = 8.854*10^-12;

er = 1.5;

w =k

e0 *er

3.7647767487388`*^11w

2*Pi

3.764781011

3.764781011

5.991831010

Zadatak4.9


EE@z_, t_D := 810*Sin@w* t - b*zD, -15*Sin@w* t - b*zD, 0

elektromagnetska polja – zadaci za vježbu

Documents