elektromagnetski model za izračun raspodjele struje zemljospoja
TRANSCRIPT
S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Zdenko Balaž
ELEKTROMAGNETSKI MODEL ZA IZRAČUN
RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA
DOKTORSKA DISERTACIJA
Split, 2014.
S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Zdenko Balaž
Elektromagnetski model za izračun raspodjele
struje zemljospoja
DOKTORSKA DISERTACIJA
Split, 2014.
ii
Doktorska disertacija izrađena je na Zavodu za elektroenergetiku,
Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu.
Znanstveno područje: Tehničke znanosti
Znanstveno polje: Elektrotehnika
Znanstvena grana: Elektroenergetika
Mentor: prof. dr. sc. Slavko Vujević
Ukupan broj numeriranih stranica: 195
Ukupan broj slika: 105
Ukupan broj tablica: 42
Ukupan broj jednadžbi: 213
Ukupan broj korištenih bibliografskih jedinica: 78
iii
Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije:
Prof. dr. sc. Rino Lucić, FESB Split - predsjednik
Prof. dr. sc. Slavko Vujević, FESB Split - mentor
Prof. dr. sc. Sead Berberović, FER Zagreb - član
Izv. prof. dr. sc. Petar Sarajčev, FESB - Split - član
Doc. dr. sc. Ivica Jurić-Grgić - član
Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije:
Prof. dr. sc. Rino Lucić, FESB Split - predsjednik
Prof. dr. sc. Slavko Vujević, FESB Split - mentor
Prof. dr. sc. Sead Berberović, FER Zagreb - član
Izv. prof. dr. sc. Petar Sarajčev, FESB - Split - član
Doc. dr. sc. Ivica Jurić-Grgić - član
Disertacija obranjena dana: ____.____. ____.
iv
ELEKTROMAGNETSKI MODEL ZA IZRAČUN RASPODJELE
STRUJE ZEMLJOSPOJA
SAŽETAK
U ovom je doktorskom radu opisan izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun
raspodjele struje zemljospoja u elektroenergetskim postrojenjima, koji je utemeljen na
primjeni tehnike konačnih elemenata na integralnu formulaciju problema. Sastavnice
elektromagnetskog modela mogu se nalaziti u homogenom tlu ili pak u zraku. Gušenje i
fazno zakretanje elektromagnetskog vala približno se uzima u račun korištenjem prigušno-
faznog faktora. Razvijeni elektromagnetski model može uzeti u račun cjelovitu
elektromagnetsku spregu između sastavnica elektromagnetskog modela. Sve međusobno
elektromagnetski spregnute sastavnice elektromagnetskog modela tvore jedan konačni
element. Sastavnice elektromagnetskog modela su: uzemljivač razmatrane
transformatorske stanice, uzemljivači susjednih transformatorskih stanica, energetski
transformatori, metalni stupovi i uzemljivači stupova nadzemnih elektroenergetskih
vodova, zaštitna užad i fazni vodiči nadzemnih elektroenergetskih vodova, metalni ekrani i
fazni vodiči podzemnih energetskih kabela, uzemljivački vodiči položeni iznad podzemnih
kabelskih vodova i ostali vodljivi dijelovi. Na temelju poznatih struja zemljospoja u
susjednim transformatorskim stanicama, iz kojih se napaja transformatorska stanica
pogođena zemljospojem, u svakoj od susjednih transformatorskih stanica formira se jedan
ili više nadomjesnih trofaznih naponskih izvora. Na taj se način u račun uzimaju tokovi
snaga u elektroenergetskom sustavu. Pojedini dio elektroenergetskog sustava može se
nadomjestiti pomoću impedancije, koja tvori zasebni konačni element. Na temelju
razvijene teorijske podloge, razvijen je i računalni program EMFCD, koji je prvenstveno
namijenjen za izračun raspodjele struje zemljospoja. Međutim, ovaj računalni program
može poslužiti i za naprednu analizu strujnih i naponskih prilika na nadzemnim i
kabelskim elektroenergetskim vodovima.
KLJUČNE RIJEČI
Raspodjela struje zemljospoja, elektroenergetska postrojenja, elektromagnetski model,
elektromagnetska sprega, tehnika konačnih elemenata
v
AN ELECTROMAGNETIC MODEL FOR COMPUTATION OF
GROUND FAULT CURRENT DISTRIBUTION
SUMMARY
In this doctoral thesis, an electromagnetic model for computation of ground fault current
distribution in electric power substations is developed. Electromagnetic model is based on
applying the finite element technique to an integral equation formulation in the frequency
domain. Electromagnetic model components can be located in homogeneous soil or in air.
Attenuation and phase shift of electromagnetic wave is approximately taken into account
using attenuation - phase shift factor. The electromagnetic model can take into account
complete electromagnetic coupling between its components. All electromagnetically
coupled electromagnetic model components constitute a single finite element. The
electromagnetic model components are: grounding grid of observed substation; grounding
grids of adjacent substations; power transformers; metal towers and tower grounding grids
of overhead power lines; shield wires and phase conductors of overhead power lines; metal
screens and phase conductor of underground power cables; grounding wires laid over
underground power cable lines and other conductive parts. Using known ground fault
currents of adjacent substations, from which power substation hit by ground fault is
supplied, in each of the adjacent substations one or more equivalent three-phase voltage
sources are formed. In such a way the power flow in electric power system is taken into
account. A single part of electric power system can be modeled by equivalent impedance,
which constitutes a separate finite element. Based on developed theoretical background,
software package EMFCD is developed, which is primarily designed for computation of
ground fault current distribution. However, this software package can also be used for
advanced analysis of current and voltage conditions on overhead power lines and
underground power cables.
KEYWORDS
Ground fault current distribution, electric power substations, electromagnetic model,
electromagnetic coupling, finite element technique
vi
Najiskrenije zahvaljujem mentoru
prof. dr. sc. Slavku Vujeviću na
svestranoj podršci i pomoći tijekom
mojeg doktorskog studija, suradnji
na znanstvenim projektima i
podršci tijekom izrade ove
disertacije.
vii
SADRŽAJ
1. UVOD .................................................................................................................................... 1
2. SASTAVNICE ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ZA IZRAČUN
RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA ...................................................................... 4
3. JEDNADŽBE POTENCIJALA HARMONIJSKOG ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ............................................................................................................................. 6
4. APROKSIMACIJA STRUJA I POTENCIJALA CILINDRIČNIH
SEGMENATA VODIČA ................................................................................................... 8
5. ZNAČAJKE DVOSLOJNOG MODELA SREDSTVA................................................. 11
6. APROKSIMACIJA RASPODJELE POTENCIJALA U DVOSLOJNOM
SREDSTVU ........................................................................................................................ 12
6.1. Skalarni električni potencijal cilindričnog segmenta vodiča................................. 12
6.1.1. Cilindrični segment vodiča u tlu..................................................................... 14
6.1.2. Cilindrični segment vodiča u zraku ............................................................... 16
6.2. Skalarni električni potencijal ekvipotencijalne metalne ploče.............................. 19
6.3. Vektorski magnetski potencijal cilindričnog segmenta vodiča ............................. 22
6.3.1. Cilindrični segment vodiča u tlu..................................................................... 24
6.3.2. Cilindrični segment vodiča u zraku ............................................................... 25
7. VLASTITE I MEĐUSOBNE IMPEDANCIJE SASTAVNICA
ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ........................................................................ 27
7.1. Poprečne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča.................................. 27
7.1.1. Poprečne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu..................... 28
7.1.2. Poprečne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu ........................... 32
7.1.3. Poprečne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča .............. 38
7.2. Uzdužne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča................................... 40
7.2.1. Uzdužne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu...................... 40
7.2.2. Uzdužne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu ............................ 47
7.2.3. Uzdužne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča ............... 49
viii
7.3. Poprečne impedancije kružnih metalnih ploča ...................................................... 50
7.3.1. Poprečne impedancije ploča u neograničenom sredstvu.............................. 50
7.3.2. Poprečne impedancije ploča u dvoslojnom sredstvu .................................... 54
7.4. Međusobna poprečna impedancija metalne ploče i pravocrtnog segmenta vodiča.......................................................................................................................... 58
7.4.1. Međusobna impedancija metalne ploče i segmenta vodiča u
neograničenom sredstvu.................................................................................. 58
7.4.2. Međusobna impedancija metalne ploče i segmenta vodiča u homogenom
tlu....................................................................................................................... 59
7.5. Poprečne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela ............................... 62
7.5.1. Vlastita poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela u
homogenom neograničenom sredstvu............................................................ 64
7.5.2. Međusobna poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela
u homogenom neograničenom sredstvu......................................................... 65
7.6. Uzdužne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela................................. 66
7.6.1. Vlastita uzdužna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela .......... 66
7.6.2. Međusobna uzdužna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela.... 68
7.7. Poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnih kabela................... 68
8. SUSTAVI JEDNADŽBI ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ............................... 76
8.1. Lokalni sustav jednadžbi konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica ...... 76
8.2. Lokalni sustav jednadžbi induktivno spregnutih sastavnica ................................ 77
8.3. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora ................ 79
8.4. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora ................. 83
8.5. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog trofaznog transformatora..................... 88
8.6. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog trofaznog transformatora ...................... 92
8.7. Lokalni sustav jednadžbi nadomjesne impedancije............................................... 96
8.8. Lokalni sustav jednadžbi trofaznog simetričnog naponskog izvora .................... 97
8.9. Lokalni sustav jednadžbi nadomjesnog trofaznog simetričnog trošila ................ 99
8.10. Nepotpuni i potpuni globalni sustav jednadžbi .................................................... 101
ix
9. IZRAČUN RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA ............................................ 103
10. RAČUNALNI PROGRAM EMFCD.......................................................................... 107
10.1. Opis računalnog programa .................................................................................... 107
10.1.1. Učitavanje i ispis ulaznih podataka ........................................................... 108
10.1.2. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi
elektromagnetski spregnutih sastavnica i njihovo asembliranje ............ 109
10.1.3. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi ostalih sastavnica elektromagnetskog modela i njihovo asembliranje .............. 109
10.1.4. Zadavanje narinutih globalnih struja i referentnih (nultih)
potencijala globalnih čvorova .................................................................... 110
10.1.5. Rješavanje globalnog sustava jednadžbi................................................... 110
10.1.6. Izračun uzdužnih i poprečnih struja elektromagnetski
spregnutih sastavnica.................................................................................. 110
10.1.7. Izračun struja koje ulaze u čvorove ostalih sastavnica
elektromagnetskog modela ......................................................................... 111
10.1.8. Izračun potencijala u odabranim točkama na površini tla ..................... 111
10.1.9. Ispis izlaznih podataka................................................................................ 111
10.2. Područje primjene računalnog programa ............................................................ 112
11. PRIMJER IZRAČUNA ................................................................................................ 113
11.1. TS 110/35/10 (20) kV Drniš – 110 kV naponska razina ....................................... 113
11.2. TS 110/35/10 (20) kV Drniš – 35 kV naponska razina ......................................... 115
11.3. TS 110/35/10 (20) kV Drniš – 10 (20) kV naponska razina ................................. 115
11.4. Nadomjesne impedancije dugih nadzemnih vodova ............................................ 116
11.5. Elektromagnetski model - ulazni podaci............................................................... 118
11.6. Elektromagnetski model - izlazni rezultati ........................................................... 136
11.7. Usporedba rezultata izračuna ................................................................................ 143
12. ZAKLJUČAK ................................................................................................................. 151
LITERATURA ..................................................................................................................... 153
ŽIVOTOPIS
BIOGRAPHY
x
POPIS TABLICA
Tablica 7.1. Koordinate Gaussovih integracijskih točaka i pripadne težinske funkcije .......... 54
Tablica 8.1. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ............................... 90
Tablica 8.2. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ............................... 91
Tablica 8.3. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Dy5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ............................... 91
Tablica 8.4. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0d5 i
lokalnih čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ................. 93
Tablica 8.5. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5y0 i
lokalnih čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ................. 94
Tablica 8.6. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5d5 i
lokalnih čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ................. 95
Tablica 11.1. Nadomjesne impedancije dugih pasivnih nadzemnih elektroenergetskih
vodova ............................................................................................................... 117
Tablica 11.2. Osnovni ulazni podaci ..................................................................................... 120
Tablica 11.3. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače transformatorskih stanica ........... 121
Tablica 11.4. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače stupova 10 (20) kV nadzemnog
voda .................................................................................................................. 121
Tablica 11.5. Koordinate nadomjesnih uzemljivača dvosustavnih stupova 110 kV
nadzemnog voda počevši od TS 110/35/10 (20) kV Drniš ............................. 122
Tablica 11.6. Duljine raspona dvosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda počevši od TS
110/35/10 (20) kV Drniš ................................................................................. 122
Tablica 11.7. Koordinate nadomjesnih uzemljivača jednosustavnih stupova 110 kV
nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35
kV Knin............................................................................................................ 123
Tablica 11.8. Koordinate nadomjesnih uzemljivača jednosustavnih stupova 110 kV
nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS
220/110/30 kV Bilice....................................................................................... 124
xi
Tablica 11.9. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od
TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35 kV Knin.................................. 125
Tablica 11.10. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od
TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 220/110/30 kV Bilice........................ 126
Tablica 11.11. Koordinate segmenata bakrenih uzemljivačkih užadi................................... 127
Tablica 11.12. Osnovni ulazni podaci za 35 kV jednožilne kabele ....................................... 128
Tablica 11.13. Osnovni ulazni podaci za 10 (20) kV jednožilne kabele................................ 128
Tablica 11.14. Koordinate segmenata 35 kV jednožilnih kabela.......................................... 129
Tablica 11.15. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 1. dio...................... 130
Tablica 11.16. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 2. dio...................... 131
Tablica 11.17. Ulazni podaci za dvoslojne fazne vodiče Al/Fe 240/40 mm2......................... 132
Tablica 11.18. Ulazni podaci za dvoslojne OPGW vodiče AA/ACS 92/43 mm2 ................... 132
Tablica 11.19. Ulazni podaci za nadomjesne jednočvorne impedancije .............................. 133
Tablica 11.20. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora
priključenog na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog u
dalekoj točki nultog potencijala .................................................................... 135
Tablica 11.21. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora
priključenog na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog na
uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice .............................................................. 135
Tablica 11.22. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora
priključenog na 110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljenog u
dalekoj točki nultog potencijala..................................................................... 135
Tablica 11.23. Osnovni izlazni podaci u ovisnosti o tom na kojoj se fazi dogodio
zemljospoj ...................................................................................................... 136
Tablica 11.24. Raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela137
Tablica 11.25. Potencijali i struje uzemljivača transformatorskih stanica i 10 (20) kV
stupova........................................................................................................... 137
Tablica 11.26. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen
na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen u dalekoj točki
nultog potencijala .......................................................................................... 142
xii
Tablica 11.27. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen
na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen na uzemljivač TS
220/110/30 kV Bilice ..................................................................................... 142
Tablica 11.28. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen
na 110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljen u dalekoj točki nultog
potencijala ..................................................................................................... 142
Tablica 11.29. Najvažniji izlazni podaci izračunati korištenjem triju računalnih programa144
Tablica 11.30. Usporedba raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD....................................... 145
Tablica 11.31. Usporedba potencijala uzemljivača izračunatih korištenjem računalnih
programa EMFCD i FCD ............................................................................. 146
Tablica 11.32. Usporedba jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD ....................................... 147
Tablica 11.33. Usporedba raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC ............................... 148
Tablica 11.34. Usporedba potencijala uzemljivača izračunatih korištenjem računalnih
programa EMFCD i FCD-WC...................................................................... 149
Tablica 11.35. Usporedba jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC................................ 150
xiii
POPIS SLIKA
Slika 4.1. Cilindrični ks-ti segment vodiča tankožičane aproksimacije koji se koristi u
matematičkom modelu............................................................................................... 8
Slika 4.2. Aproksimacija uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta vodiča .......................... 9
Slika 4.3. Uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta i pripadni lokalni čvorovi ................... 9
Slika 5.1. Dvoslojni model sredstva ....................................................................................... 11
Slika 6.1. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu .................. 13
Slika 6.2. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom tlu ..................................................... 14
Slika 6.3. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose
raspodjeli potencijala u tlu ..................................................................................... 15
Slika 6.4. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koji uzrokuju potencijal u
zraku........................................................................................................................ 16
Slika 6.5. Cilindrični segmenta vodiča u zraku ..................................................................... 17
Slika 6.6. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose
raspodjeli potencijala u zraku................................................................................. 18
Slika 6.7. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koji uzrokuju potencijal u tlu .... 18
Slika 6.8. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom neograničenom sredstvu.... 19
Slika 6.9. Kružna metalna ploča ukopana u homogeno tlo paralelno površini tla .................. 21
Slika 6.10. Kružna metalna ploča i njena kvazistatička slika koji doprinose raspodjeli
potencijala u zraku.................................................................................................. 21
Slika 6.11. Kvazistatička slika kružne metalne ploče koja uzrokuju potencijal u zraku .......... 22
Slika 6.12. Cilindrični segment vodiča, njegova uzdužna struja i njegov jedinični vektor
smjera...................................................................................................................... 23
Slika 6.13. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom tlu ..................................................... 24
Slika 6.14. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u zraku uslijed uzdužne
struje ks-tog segmenta koji se nalazi u tlu .............................................................. 25
Slika 6.15. Cilindrični segmenta vodiča u zraku ..................................................................... 25
Slika 6.16. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u tlu uslijed uzdužne
struje ks-tog segmenta koji se nalazi u zraku.......................................................... 26
xiv
Slika 7.1. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu .................. 28
Slika 7.2. Dva jednaka međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu ......................................................................................... 29
Slika 7.3. Dva međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu – opći slučaj paralelnosti................................................ 29
Slika 7.4. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom neograničenom
sredstvu .................................................................................................................... 31
Slika 7.5. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu dvoslojnog sredstva i njegova
refleksijska slika....................................................................................................... 33
Slika 7.6. Cilindrični segment vodiča u zraku dvoslojnog sredstva i njegova refleksijska
slika .......................................................................................................................... 34
Slika 7.7. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva i refleksijska slika is-
tog segmenta ............................................................................................................ 35
Slika 7.8. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstva i refleksijska slika
is-tog segmenta ........................................................................................................ 36
Slika 7.9. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u tlu a is-
ti segment u zraka .................................................................................................... 37
Slika 7.10. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u zraku a
is-ti segment u tlu .................................................................................................... 38
Slika 7.11. Dva vodiča u snopu ................................................................................................. 38
Slika 7.12. Tri simetrično raspoređena vodiča u snopu............................................................ 38
Slika 7.13. Četiri simetrično raspoređena vodiča u snopu ....................................................... 39
Slika 7.14. Cilindrični segmenta vodiča i njegov jedinični vektor smjera u homogenom
neograničenom sredstvu .......................................................................................... 40
Slika 7.15. Poprečni presjek punog cilindričnog vodiča........................................................... 41
Slika 7.16. Poprečni presjek šupljeg cilindričnog vodiča ........................................................ 41
Slika 7.17. Poprečni presjek punog dvoslojnog cilindričnog vodiča ..................................... 41
Slika 7.18. Poprečni presjek šupljeg dvoslojnog cilindričnog vodiča.................................... 41
Slika 7.19. Poprečni presjek pravokutnog vodiča ................................................................... 42
xv
Slika 7.20. Dva jednaka međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu ......................................................................................... 45
Slika 7.21. Dva različita međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu ......................................................................................... 45
Slika 7.22. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom neograničenom
sredstvu................................................................................................................... 46
Slika 7.23. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva ................................. 47
Slika 7.24. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstva ............................ 48
Slika 7.25. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u zraku
a is-ti segment u tlu ................................................................................................ 48
Slika 7.26. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u tlu a
is-ti segment u zraku .............................................................................................. 49
Slika 7.27. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom neograničenom sredstvu
kompleksne provodnosti κ ...................................................................................... 50
Slika 7.28. Dvije paralelne kružne metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu ..... 51
Slika 7.29. Podjela p-te ploče za potrebe 2D numeričko-analitičke integracije...................... 52
Slika 7.30. Horizontalna udaljenost integracijske točke p-te ploče od središta q-te ploče...... 53
Slika 7.31. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva.......... 54
Slika 7.32. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva i
njezina kvazistatička refleksijska slika ................................................................... 55
Slika 7.33. Kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu ................................................ 56
Slika 7.34. Odslikavanje q-te kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu.................... 57
Slika 7.35. Cilindrični segment vodiča i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u
homogenom neograničenom sredstvu..................................................................... 58
Slika 7.36. Cilindrični segment vodiča i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u
homogenom tlu dvoslojnog sredstva...................................................................... 60
Slika 7.37. Cilindrični segment vodiča, ekvipotencijalna kružna metalna ploča i njena
refleksijska slika s obzirom na površinu tla........................................................... 60
Slika 7.38. Cilindrični segment vodiča u zraku i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u
homogenom tlu dvoslojnog sredstva...................................................................... 61
xvi
Slika 7.39. Jednožilni kabel XHE 49 ...................................................................................... 62
Slika 7.40. Jednožilni kabel XHEh 91 ..................................................................................... 63
Slika 7.41. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom
sredstvu kad je prvi sloj šuplji vodič .................................................................. 64
Slika 7.42. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom
sredstvu kad je prvi sloj puni vodič .................................................................. 65
Slika 7.43. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom
sredstvu kad je prvi sloj šuplji vodič .................................................................. 67
Slika 7.44. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom
sredstvu kad je prvi sloj puni vodič .................................................................... 67
Slika 7.45. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštem............................................................. 69
Slika 7.46. Trožilni kabel s jednim zajedničkim metalnim ekranom ........................................ 69
Slika 7.47. Trožilni kabel XHE49 s metalnim ekranima oko faznih vodiča i zajedničkom
metalnom armaturom.............................................................................................. 70
Slika 7.48. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštem nadomješten faznim vodičem u
središtu kabela (oznake slojeva kao na Slici 7.45) ................................................. 71
Slika 7.49. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštem nadomješten faznim vodičem u
središtu kabela čiji je polumjer jednak razmaku između središta dvaju faznih
vodiča (oznake slojeva kao na Slici 7.45) ............................................................... 72
Slika 7.50. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten
jednim faznim vodičem sa svojim ekranom u središtu kabela(oznake slojeva kao
na Slici 7.47) ........................................................................................................... 73
Slika 7.51. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten
faznim vodičem u središtu kabela čiji je polumjer jednak razmaku središta
dvaju faznih vodiča (oznake slojeva kao na Slici 7.47) ......................................... 73
Slika 7.52. Trožilni kabel s olovnim ekranom oko svakog faznog vodiča, zajedničkim
olovnim ekranom i armaturom koja se uzemljuje ................................................... 75
Slika 8.1. Namotaji dvonamotnog jednofaznog transformatora .............................................. 79
Slika 8.2. Nadomjesna shema dvonamotnog jednofaznog transformatora .............................. 80
Slika 8.3. Potencijali i struje lokalnih čvorova dvonamotnog jednofaznog transformatora.... 82
Slika 8.4. Namotaji tronamotnog jednofaznog transformatora................................................ 83
xvii
Slika 8.5. Nadomjesna shema tronamotnog jednofaznog transformatora ............................... 84
Slika 8.6. Potencijali i struje lokalnih čvorova tronamotnog jednofaznog transformatora..... 87
Slika 8.7. Spoj transformatora Yy0 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima......... 90
Slika 8.8. Spoj transformatora Yd5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima ........ 90
Slika 8.9. Spoj transformatora Dy5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima........ 91
Slika 8.10. Spoj transformatora Yy0d5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima... 93
Slika 8.11. Spoj transformatora Yd5y0 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima... 94
Slika 8.12. Spoj transformatora Yd5d5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima .. 95
Slika 8.13. Nadomjesna impedancija spojena između svoja dva lokalna čvora ...................... 96
Slika 8.14. Nadomjesna impedancija spojena između lokalnog čvora i daleke zemlje............ 97
Slika 8.15. Trofazni simetrični četveročvorni naponski izvor u elektromagnetskom modelu .. 97
Slika 8.16. Trofazni simetrični tročvorni naponski izvor u elektromagnetskom modelu ......... 98
Slika 8.17. Nadomjesno trofazno simetrično tročvorno trošilo................................................ 99
Slika 8.18. Nadomjesno trofazno simetrično četveročvorno trošilo....................................... 100
Slika 10.1. Dijagram toka računalnog programa EMFCD za izračun raspodjele struje
zemljospoja............................................................................................................ 107
Slika 11.1. Jednopolna shema DV 110 kV Bilice - Drniš - Knin............................................ 113
Slika 11.2. Trasa DV 110 kV Bilice - Drniš - Knin ............................................................... 114
Slika 11.3. Transformatorske stanice 35/10(20) kV napajane iz TS 110/35/10(20)kV
Drniš...................................................................................................................... 115
Slika 11.4. Načelni prikaz sastavnica elektromagnetskog modela TS 110/35/10(20)kV
Drniš za proračun raspodjele struje zemljospoja ................................................. 119
Slika 11.5. Prikaz međusobnog položaja jednožilnih kabela kabelske trojke u trolistu........ 119
Slika 11.6. Skica dvosustavnog i jednosustavnog stupa 110kV nadzemnog voda................ 133
Slika 11.7. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Knin ............................................................................. 138
Slika 11.8. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Knin............................................................................. 138
xviii
Slika 11.9. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Bilice........................................................................... 139
Slika 11.10. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Bilice........................................................................... 139
Slika 11.11. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča 110
kV nadzemnog voda Drniš - Knin....................................................................... 140
Slika 11.12. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači
stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin .................................................. 140
Slika 11.13. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča
110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice .............................................................. 141
Slika 11.14. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači
stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice................................................. 141
xix
POPIS OZNAKA
a stranica pravokutnog vodiča duž koordinatne osi x (Giacolettov izraz za
jediničnu unutarnju impedanciju); polumjer kružne metalne ploče
pa polumjer p-te kružne metalne ploče ukopane u tlo
qa polumjer q-te kružne metalne ploče ukopane u tlo
aks komponenta jediničnog vektora ks-tog segmenta duž koordinatne osi x
A(a,r,z) izraz za izračun skalarnog električnog potencijala kružne metalne ploče
Ar
fazor vektorskog magnetskog potencijala
p
ic,isA koeficijenti matrice poprečne veze sastavnica – lokalni čvor
u
ic,isA koeficijenti matrice uzdužne veze sastavnica – lokalni čvor
[ ]pA matrica poprečne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih
lokalnih čvorova
[ ]uA matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih sastavnica konačnog
elementa i njihovih lokalnih čvorova
[ ]TuA transponirana matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih čvorova
b stranica pravokutnog vodiča duž koordinatne osi y (Giacolettov izraz za
jediničnu unutarnju impedanciju)
ib veličina potrebna za formiranje matrice [ ]M kod numeričkog modela
točkastog izvora harmonijske struje u horizontalno složenom
višeslojnom sredstvu
bks komponenta jediničnog vektora ks-tog segmenta duž koordinatne osi y
Br
fazor vektora magnetske indukcije
iB&r
fazor vektora magnetske indukcije u i-tom sloju višeslojnog sredstva
xx
iziyix B,B,B x, y i z komponenta ukupnog vektora magnetske indukcije u i-tom sloju
višeslojnog sredstva, respektivno
ks
iz
ks
iy
ks
ix B,B,B x, y i z komponenta vektora magnetske indukcije od ks-tog segmenta,
respektivno
Bi efektivna vrijednost ukupne magnetske indukcije u i-tom sloju višeslojnog
sredstva
cks komponenta jediničnog vektora ks-tog segmenta duž koordinatne osi z
kC funkcija u izrazu za izračun međusobnih impedancija cilindričnih
segmenata vodiča u homogenom neograničenom sredstvu (k=1, 2,…,4)
ksC centar u osi ks-tog segmenta
isC centar u osi is-tog segmenta
pC centar (središte) p-te ploče s globalnim koordinatama
qC centar (središte) q-te ploče
d duljina između središta dva jednaka cilindrična paralelna segmenta vodiča u
homogenom i neograničenom sredstvu
duljina između središta bilo koja dva fazna vodiča u trožilnom kabelu
D razmak između paralelnih ravnina u kojima leže segmenti za primjer
izračuna međusobne poprečne impedancije dva neparalelna cilindrična
segmenta
e baza prirodnog logaritma
jkE element matrice [ ]E u j-tom retku i k-tom stupcu
Er
fazor vektora jakosti električnog polja
[ ]E matrica u sustavima jednadžbi za određivanje nepoznatih koeficijenata
15...,,2,1k,ikk
=βα &&
[ ]p
E pseudoinverzna matrica matrice [ ]E
f frekvencija izmjenične struje, Hz
f prigušno-fazni faktor općenito u aproksimaciji raspodjele potencijala
xxi
if element vektora desne strane sustava jednadžbi za određivanje nepoznatih
jezgra-funkcija
ksf prigušno-fazni faktor koji aproksimira prigušenje potencijala i zakretanje
njegove faze kod proračuna poprečnih impedancija segmenata golih vodiča
u homogenom neograničenom i dvoslojnom sredstvu
is,ksf prigušno-fazni faktor između ks-tog i is-tog segmenta u postupku proračuna
vlastitih i međusobnih (uzdužnih i poprečnih) impedancija segmenata u
homogenom neograničenom i dvoslojnom sredstvu
p,ksf prigušno-fazni faktor između ks-tog segmenta i p-te ploče u postupku
proračuna međusobne impedancije ploče i segmenta
q,pf prigušno-fazni faktor između p-te i q-te kružne metalne ploče u postupku
proračuna međusobne impedancije ploča
i
ksF (u,v) funkcija definirana u lokalnom koordinatnom sustavu segmenta, a
predstavlja analitičko rješenje integrala koji se pojavljuje u izrazima za
skalarni električni potencijal i vektorski magnetski potencijal. Uvedena je
kod proračuna električnog i magnetskog polja u homogenom
neograničenom i dvoslojnom sredstvu.
i
ksF funkcija pridružena slici segmenta, a predstavlja analitičko rješenje
integrala koji se pojavljuje u izrazima za skalarni električni potencijal i
vektorski magnetski potencijal. Uvedena je kod proračuna električnog i
magnetskog polja u homogenom neograničenom i dvoslojnom sredstvu.
g redni broj integracijske točke za Gaussovu numeričku integraciju
ig razlika između
if i dvostruke vrijednosti
iG
iG element vektora desne strane sustava jednadžbi za određivanje nepoznatih
jezgra-funkcija
Gg težinski faktor za g-tu integracijsku točku Gaussove numeričke integracije
ih debljina i-tog sloja n-slojnog modela
jH težinska funkcija Gaussove integracijske točke
Hr
fazor vektora jakosti magnetskog polja, redni broj sloja izolacije u
kabelu i redni broj integracije
is redni broj is-ti segment
r
is refleksijska slika is-tog segmenta
I fazor jakosti struje koju okrugla metalna ploča ispušta u okolno tlo
dvoslojnog sredstva ili homogeno neograničeno sredstvo
xxii
ksI jakost struje koja ulazi u ks-ti čvor skupa nepovezanih segmenata
uc
KksI uzdužna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta
uc
PksI uzdužna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta
pc
KksI poprečna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta
pc
PksI poprečna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta
c
KksI ukupna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta
c
PksI ukupna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta
u
ksI uzdužna struja ks-tog segmenta
p
ksI poprečna struja ks-tog segmenta
ksnsI + jakost struje koja ulazi u (ns+ks)-ti čvor skupa nepovezanih
segmenata
p
isI jakost poprečne struje is-tog segmenta
p
ksI jakost poprečne struje ks-tog segmenta
pc
ksI jakost poprečne struje koja ulazi u početni čvor ks-tog segmenta
pc
ksnsI + jakost poprečne struje koja ulazi u krajnji čvor ks-tog segmenta
u
isI jakost uzdužne struje is-tog segmenta
u
ksI jakost uzdužne struje ks-tog segmenta
uc
ksI jakost uzdužne struje koja ulazi u početni čvor ks-tog segmenta
uc
ksnsI + jakost uzdužne struje koja ulazi u krajnji čvor ks-tog segmenta
GiI i-ta komponenta vektora GI&
f1I fazor struje višenaponske strane transformatora
f2I fazor struje srednjenaponske strane transformatora
f3I fazor struje niženaponske strane transformatora
f2I′ fazor struje srednjenaponske strane transformatora reduciran na
višenaponsku stranu
f3I′ fazor struje niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku
stranu
dI vektor doprinosa zadanih strujnih izvora uslijed induktivne sprege faznih
vodiča i drugih sastavnica razmatranog konačnog elementa
xxiii
dgI globalni vektor doprinosa zadanih naponskih i strujnih izvora nepotpunog
globalnog sustava
ngI vektor struja narinutih u globalne čvorove
cI vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog trošila
cI vektor struja lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora
vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog dvonamotnog ili
tronamotnog transformatora, vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove
nadomjesne impedancije, vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove
trofaznog simetričnog naponskog izvora, vektor struja koje ulaze u lokalne
čvorove trofaznog simetričnog trošila
fI vektor poznatih uzdužnih struja faznih vodiča kojima teku struje
zemljospoja
fcI vektor struja lokalnih čvorova transformatora
pI vektor poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice
konačnog elementa
pcI vektor poprečnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore
konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice konačnog elementa
uI vektor uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa
ucI vektor uzdužnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore
međusobno induktivno spregnute sastavnice konačnog elementa j redni broj
imaginarna jedinica
10 J,J kompleksna Besselova funkcija prve vrste nultog, odnosno prvog reda
Jr
fazor vektora gustoće ukupne struje
sJ
r
fazor vektora gustoće ukupne struje vanjskih (nezavisnih) izvora
k redna abecedna oznaka
kf k-ti segment faznog vodiča jednožilnog kabela
ks oznaka, k-ti segment
r
ks refleksijska slika k-tog segmenta
0tk faktor kvazistatičke transmisije u zraku
1tk faktor kvazistatičke transmisije u sredstvu provodnosti 1κ
xxiv
0rk faktor kvazistatičke refleksije u zraku
1rk faktor kvazistatičke refleksije u sredstvu provodnosti 1κ
K krajnja točka segmenta vodiča
Kks krajnja točka ks-tog segmenta
l duljina cilindričnog segmenta vodiča
ksl duljina ks-tog cilindričnog segmenta gledana duž geometrijske osi
segmenta, duljina ks-tog segmenta faznog vodiča ili ekrana kabela
isl duljina is-tog cilindričnog segmenta gledana duž geometrijske osi
segmenta
kfl duljina k-tog cilindričnog segmenta faznog vodiča kabela
kel duljina k-tog cilindričnog segmenta ekrana kabela
m ukupni broj slojeva izolacije preko metalnog ekrana u jednožilnom kabelu
M oznaka za središte, središnju točku (npr. segmenta)
jksM srednja točka j-te slike ks-tog segmenta
[ ]M matrica u sustavu jednadžbi iz kojeg se određuju nepoznate
jezgra-funkcije
n ukupni broj slojeva izolacije iznad ekrana u jednožilnom kabelu
Ns ukupni broj segmenata
Nsi ukupni broj izoliranih segmenata
nN Neumannove funkcije prve vrste n-tog reda
p oznaka za p-tu ploču
rp oznaka za refleksijsku sliku p-te ploče
tp oznaka za transmisijsku sliku p-te ploče
12p prijenosni omjer dvonamotnog jednofaznog transformatora
2,1p prijenosni omjer između višenaponske i srednjenaponske strane
tronamotnog jednofaznog transformatora
3,1p prijenosni omjer između višenaponske i niženaponske strane tronamotnog
jednofaznog transformatora
P početna točka segmenta
xxv
Pks početna točka ks-tog segmenta
)(P d,ksl funkcija za izračun vlastite poprečne impedancije cilindričnog segmenta
vodiča u homogenom neograničenom sredstvu
q oznaka za q-tu ploču; oznaka za kvazistatički
r koordinatna os cilindričnog koordinatnog sustava; radijalna
koordinata točke u cilindričnom koordinatnom sustavu
jr koordinatna j-te Gaussove integracijske koordinatne točke u cilindričnom
koordinatnom sustavu
0r polumjer punog vodiča; polumjer segmenta vodiča
cr udaljenost između središta ukopanih metalnih ploča
e
ir unutarnji polumjer i-tog sloja oko metalnog ekrana jednožilnog kabela
e
1ir+
vanjski polumjer i-tog sloja oko metalnog ekrana jednožilnog kabela
f
ir unutarnji polumjer i-tog sloja između faznog vodiča i ekrana jednožilnog
kabela
jr lokalna koordinata j-te Gaussove integracijske točke u cilindričnom
koordinatnom sustavu ploče (r, z)
e
1nr + vanjski polumjer jednožilnog kabela
e
1r vanjski polumjer metalnog ekrana jednožilnog kabela
f
1r vanjski polumjer faznog vodiča jednožilnog kabela
f
1mr + unutarnji polumjer metalnog ekrana jednožilnog kabela
ks,isr međusobna udaljenost između točaka na osima segmenata
ur unutarnji polumjer cilindričnog vodiča
vr vanjski polumjer cilindričnog vodiča
R udaljenost između izvora i točke promatranja
RC udaljenost između središnjih točaka is-tog i ks-tog segmenta kod proračuna
prigušno-faznog faktora
RC-0 udaljenost duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenta kad se segmenti
nalaze u tlu i zraku (dio udaljenosti u zraku do spoja s tlom)
RC-1 udaljenost duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenta kad se segmenti
nalaze u zraku i tlu (dio udaljenosti u tlu do spoja sa zrakom)
α
gkR , β
gk
R udaljenost između g-te integracijske točke ks-tog segmenta i točke
promatranja, kod proračuna jakosti električnog polja
s skraćenica za segment, indeks za naziv
xxvi
fnS nazivna snaga jedne faze trofaznog dvonamotnog transformatora
(zamišljenog jednofaznog transformatora)
2,1fnS manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i srednjenaponskog namota
jednofaznog dvonamotnog transformatora
3,1fnS manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i niženaponskog namota
jednofaznog dvonamotnog transformatora
3,2fnS manja snaga od nazivnih snaga srednjenaponskog i niženaponskog namota
jednofaznog dvonamotnog transformatora
nS nazivna snaga trofaznog transformatora
,s is0
r
jedinični vektor tangencijalan na površinu is-tog segmenta
ks0sr
jedinični vektor tangencijalan na površinu ks-tog segmenta
t udaljenost od ordinate v lokalnog koordinatnog sustava do točke izvora;
vrijeme
T točka promatranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sustavu
u apscisna os lokalnog koordinatnog sustava, lokalna koordinata Gaussove
integracijske točke lokalna koordinata točke promatranja T, nezavisna
varijabla
ks
gu lokalna koordinata Gaussove integracijske točke za ks-ti segment
ku postotni napon kratkog spoja transformatora
nU linijski nazivi napon opskrbnog namota transformatora
fn1U efektivna vrijednost nazivnog napona višenaponske strane transformatora
fn2U efektivna vrijednost nazivnog napona SN strane transformatora
fn3U efektivna vrijednost nazivnog napona niženaponske strane transformatora
f1U fazor napona višenaponske strane transformatora
f2U fazor napona srednjenaponske strane transformatora
f3U fazor napona niženaponske strane transformatora
f2U′ fazor napona srednjenaponske strane transformatora reduciran na
višenaponsku stranu
f3U′ fazor napona niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku
stranu
n1U nazivni linijski napona višenaponskog namota trofaznog dvonamotnog
transformatora
n2U nazivni linijski napona niženaponskog namota trofaznog dvonamotnog
transformatora
xxvii
fn3U efektivna vrijednost nazivnog napona niženaponske strane transformatora
U vektor uzdužnih napona segmenata
nfU matrični zapis faznih napona transformatora
v ordinatna os lokalnog koordinatnog sustava
lokalna koordinata točke promatranja T
V partikularno rješenje homogene Helmholtzove diferencijalne jednadžbe u
cilindričnom koordinatnom sustavu uz 0r =
V volumen homogenog izotropnog neograničenog sredstva u rješenju
jednadžbe skalarnog električnog potencijala
kj w,w j-ti, odnosno, k-ti nepromjenjivi parametar, 25...,,2,1k,j = kod numeričkog
proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora harmonijske struje u
višeslojnom sredstvu
W partikularno rješenje homogene Helmholtzove diferencijalne jednadžbe u
cilindričnom koordinatnom sustavu uz 0r =
jW funkcija analitičke integracije kod izračuna međusobne impedancije kružnih
metalnih ploča u homogenom neograničenom sredstvu
x koordinatna os pravokutnog koordinatnog sustava; globalna koordinata
točke; globalna koordinata točke promatranja T
xm globalna koordinata srednje točke M općenitog segmenta
ks
gx globalna koordinata Gaussove integracijske točke za ks-ti segment
ks
Kx globalna koordinata krajnje točke ks-tog segmenta, odnosno krajnje točke
slike ks-tog segmenta Kks
ks
Mx globalna koordinata srednje točke ks-tog segmenta, odnosno srednje točke
slike ks-tog segmenta Mks
ks
Px globalna koordinata početne točke ks-tog segmenta, odnosno početne točke
slike ks-tog segmenta Pks
y koordinatna os pravokutnog koordinatnog sustava; globalna koordinata
točke; globalna koordinata točke promatranja T
ym globalna koordinata srednje točke M općenitog segmenta
ks
gy globalna koordinata Gaussove integracijske točke za ks-ti segment
ks
Ky globalna koordinata krajnje točke ks-tog segmenta, odnosno krajnje točke
slike ks-tog segmenta Kks
ks
My globalna koordinata srednje točke ks-tog segmenta, odnosno srednje točke
slike ks-tog segmenta Mks
xxviii
ks
Py globalna koordinata početne točke ks-tog segmenta, odnosno početne točke
slike ks-tog segmenta Pks
[ ]GY matrica admitancija globalnog sustava
[ ]pY matrica vlastitih i međusobnih poprečnih admitancija lokalnih čvorova
međusobno konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog
elementa
[ ]uY matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih admitancija lokalnih čvorova
međusobno induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa
z koordinatna os pravokutnog koordinatnog sustava
globalna koordinata točke
globalna koordinata točke promatranja T
koordinatna os cilindričnog koordinatnog sustava
aksijalna koordinata točke u cilindričnom koordinatnom sustavu
cz vertikalna udaljenost između središta dviju paralelnih ploča u homogenom
neograničenom sredstvu
jz lokalna koordinata j-te Gaussove integracijske točke u cilindričnom
koordinatnom sustavu ploče (r,z)
pz koordinatna os p-te ploče pravokutnog koordinatnog sustava za slučaj
ukopanih ploča u homogenom neograničenom sredstvu
qz koordinatna os q-te ploče pravokutnog koordinatnog sustava za slučaj
ukopanih ploča u homogenom neograničenom sredstvu
ks
gz globalna koordinata g-te Gaussove integracijske točke za ks-ti segment
ks
Kz globalna koordinata krajnje točke ks-tog segmenta, odnosno krajnje točke
slike ks-tog segmenta Kks
is
Mz globalna koordinata srednje točke is-tog segmenta
ks
Mz globalna koordinata srednje točke ks-tog segmenta, odnosno srednje točke
slike ks-tog segmenta Mks
ks
M jz globalna koordinata srednje točke j-te slike ks-tog segmenta
jksM
ks
Pz globalna koordinata početne točke ks-tog segmenta, odnosno početne točke
slike ks-tog segmenta Pks
1
ksZ jedinična unutarnja impedancija ks-tog segmenta
p
ks,ksZ vlastita poprečna impedancija ks-tog segmenta u homogenom i
neograničenom sredstvu
xxix
p
ks,isZ međusobna poprečna impedancija između is-tog i ks-tog segmenta u
homogenom i neograničenom sredstvu
p
ks,ks
qZ kvazistatička vlastita poprečna impedancija ks-tog segmenta u homogenom
i neograničenom sredstvu
p
ks,is
qZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija između is-tog i ks-tog
segmenta u homogenom i neograničenom sredstvu
u
ks,ksZ vlastita uzdužna impedancija ks-tog segmenta u homogenom i
neograničenom sredstvu
u
ks,isZ međusobna uzdužna impedancija između is-tog i ks-tog segmenta u
homogenom i neograničenom sredstvu
p
j,ks ks
Z međusobna poprečna impedancija između ks-tog segmenta i j-te slike ks-tog
segmenta
p
j,ks
q
ks
Z međusobna kvazistatička impedancija između ks-tog segmenta i njegove
j-te slike
p
is,ksZ međusobna poprečna impedancija između ks-tog segmenta (koji se nalazi u
zraku ili tlu dvoslojnog sredstva) i is-tog segmenta (koji se nalazi u zraku
ili tlu dvoslojnog sredstva)
p
is,ks
qntZ međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog segmenta i
transmisijske slike is-tog segmenta u homogenom neograničenom sredstvu
p
is,ks
qnZ međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog i is-tog segmenta u
homogenom neograničenom sredstvu
p
is,ks
nZ međusobna poprečna impedancija ks-tog i is-tog segmenta u homogenom
neograničenom sredstvu
p
ks,ks
nZ vlastita poprečna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u homogenom
neograničenom sredstvu
p
ks,ks
qnZ vlastita kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u
homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti zraka 0κ
p
ks,ks
qnr
Z međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog
segmenta i njegove refleksijske slike u homogenom neograničenom
sredstvu kompleksne provodnosti tla 1κ
1
ksZ unutarnja impedancija po jedinici duljine segmenta u homogenom
neograničenom sredstvu (puni, pravokutni ili cilindrični vodič)
u
ks,ksZ vlastita uzdužna impedancija ks-tog segmenta koji se nalazi u tlu ili zraku
dvoslojnog sredstva
xxx
u
is,ksZ međusobna uzdužna impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog segmenta u
dvoslojnom sredstvu
u
ks,ks
nZ vlastita uzdužna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u homogenom
neograničenom sredstvu
u
is,ks
nZ međusobna uzdužna impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog segmenta u
homogenom neograničenom sredstvu
u
is,ks
qnZ kvazistatička međusobna uzdužna impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog
segmenta u homogenom neograničenom sredstvu
mZ poprečna impedancija transformatora
p
p,p
nZ vlastita poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče u
homogenom neograničenom sredstvu
p
p,p
qnZ kvazistatička vlastita poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne
metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu
p
q,p
nZ međusobna poprečna impedancija p-te i q-te ekvipotencijalne kružne
metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu
p
q,p
qnZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te i q-te ekvipotencijalne
kružne metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu
p
p,p
qn
rZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne
kružne metalne ploče i njene refleksijske slike u homogenom
neograničenom sredstvu
p
q,p
qn
rZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne
kružne metalne ploče i refleksijske slike q-te metalne ploče u homogenom
neograničenom sredstvu
p
p,ksZ međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne
ploče i ks-tog cilindričnog segmenta vodiča u homogenom tlu dvoslojnog
sredstva
p
p,ks
nZ međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne
ploče i ks-tog cilindričnog segmenta vodiča u homogenom neograničenom
sredstvu
u
kf,kf
nZ vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča jednožilnog
kabela u homogenom neograničenom sredstvu
p
kf,kf
nZ vlastita poprečna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča jednožilnog
kabela u homogenom neograničenom sredstvu
u
ke,ke
nZ vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta metalnog ekrana jednožilnog
kabela u homogenom neograničenom sredstvu
xxxi
e1
keZ jedinična unutarnja impedancija segmenta ekrana jednožilnog kabela u
homogenom neograničenom sredstvu
p
ke,ke
nZ vlastita poprečna impedancija k-tog segmenta metalnog ekrana jednožilnog
kabela u homogenom neograničenom sredstvu
u
kf,kf
qnZ kvazistatička vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča
jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu
p
kf,kf
qnZ kvazistatička vlastita poprečna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča
jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu
u
ks,kf
qnZ kvazistatička međusobna uzdužna impedancija k-tog segmenta faznog
vodiča i ks-tog segmenta ekrana jednožilnog kabela u homogenom
neograničenom sredstvu
u
ke,ke
qnZ kvazistatička vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta metalnog ekrana
jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu
p
p,ks
qnZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija ks-tog cilindričnog
segmenta vodiča i p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče i u homogenom
neograničenom sredstvu
p
p,ks
qnr
Z kvazistatička međusobna poprečna impedancija ks-tog cilindričnog
segmenta vodiča i refleksijske slike p-te ekvipotencijalne kružne metalne
ploče i u homogenom neograničenom sredstvu
pks,ks
qnZ vlastita kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta
vodiča u homogenom neograničenom sredstvu
p
ks,ks
qnr
Z međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog
segmenta vodiča i njegove refleksijske slike u homogenom
neograničenom sredstvu
p
is,ks
qnt
Z međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog
segmenta vodiča i njegove transmisijske slike u homogenom
neograničenom sredstvu
1Z impedancija višenaponskog namota transformatora
'
2Z impedancija srednjenaponskog namota transformatora reducirana na
višenaponsku stranu
'
3Z impedancija niženaponskog namota transformatora reducirana na
višenaponsku stranu
12Z impedancija kratkog spoja transformatora reducirana na višenaponsku
stranu
xxxii
[ ]pZ matrica vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija konduktivno i
kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog elementa
[ ]VpZ matrica poprečnih impedancija segmenata vodiča uzemljivača u slučaju
višeslojnog sredstva
[ ]fsZ matrica međusobnih uzdužnih impedancija između faznih vodiča i drugih
induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elementa
[ ]uZ matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih impedancija induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa
[ ]VuZ matrica uzdužnih impedancija segmenata vodiča uzemljivača u slučaju
višeslojnog sredstva
kα nepoznati k-ti koeficijent kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala
točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu
ks
kα nepoznati k-ti koeficijent za ks-ti segment
ks
k
is
kgg
, αα nepoznati k-ti koeficijent za g-tu Gaussovu integracijsku točku za is-ti,
odnosno ks-ti segment
α vektor nepoznatih koeficijenata 15...,,2,1k,k
=α kod numeričkog
proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora harmonijske struje u
višeslojnom sredstvu
kβ nepoznati k-ti koeficijent kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala
točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu
ks
kβ nepoznati k-ti koeficijent za ks-ti segment
ks
k
is
kgg
, ββ nepoznati k-ti koeficijent za g-tu Gaussovu integracijsku točku za is-ti,
odnosno ks-ti segment
β vektor nepoznatih koeficijenata 15...,,2,1k,k
=β kod numeričkog
proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora harmonijske struje u
višeslojnom sredstvu
γ valna konstanta sredstva
0γ valna konstanta zraka u dvoslojnom sredstvu
1γ valna konstanta tla u dvoslojnom sredstvu
ksis ,ΓΓ krivulja integracije koja se nalazi u osi is-tog odnosno ks-tog segmenta,
'
ks
'
is ,ΓΓ krivulja integracije koja se nalazi na površini is-tog odnosno ks-tog
segmenta
δ Diracova delta-funkcija
Δ Laplaceov diferencijalni operator
xxxiii
∇ Hamiltonov operator
ε permitivnost sredstva
0ε permitivnost vakuuma
rε relativna permitivnost sredstva
riε relativna permitivnost i-tog sloja horizontalno složenog modela višeslojnog
sredstva
η udaljenost promatrane točke na osi segmenta od ishodišta u paralelnoj
ravnini
pη početna točka ks-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj
ravnini za slučaj izračuna međusobnih impedancija dva neparalelna
cilindrična segmenta
kη konačna točka ks-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj
ravnini za slučaj izračuna međusobnih impedancija dva neparalelna
cilindrična segmenta
ϑ promjenjivi parametar kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala
točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu
ksϑ promjenjivi parametar za ks-ti segment
ks
gϑ promjenjivi parametar za g-tu Gaussovu integracijsku točku za ks-ti
segment
iΘ nepoznata jezgra-funkcija i-tog sloja kod numeričkog proračuna raspodjele
potencijala točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu
Θ vektor izračunatih vrijednosti jezgra-funkcije i
Θ u 25 uzorkovanih točaka
kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora harmonijske
struje u višeslojnom sredstvu
κ kompleksna provodnost sredstva
0κ kompleksna provodnost zraka
1κ kompleksna provodnost tla u dvoslojnom sredstvu
λ varijabla integracije u izrazu za opće rješenje Helmholtzove diferencijalne
jednadžbe
jλ recipročna vrijednost veličine ju
µ permeabilnost sredstva
0µ permeabilnost vakuuma
rvµ relativna permeabilnost vodiča (segmenta)
vµ permeabilnost vodiča (segmenta)
xxxiv
iν veličina potrebna za formiranje sustava jednadžbi iz kojeg se određuju
nepoznate jezgra-funkcije kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala
točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu
π Ludolfov broj
ρ specifični električni otpor tla
iρ specifični električni otpor i-tog sloja horizontalno složenog modela
višeslojnog sredstva
σ specifična električna vodljivost sredstva
iσ specifična električna vodljivost i-tog sloja
vσ specifična električna vodljivost vodiča (segmenta)
ϕ fazor skalarnog električnog potencijala; skalarni električni potencijal točke
promatranja u homogenom i neograničenom sredstvu prouzročen
točkastim izvorom harmonijske struje; opće rješenje Helmholtzove
diferencijalne jednadžbe
hϕ homogeno rješenje Helmholtzove diferencijalne jednadžbe
iϕ funkcija raspodjele potencijala za i-ti sloj horizontalno složenog modela
višeslojnog sredstva
ks
iϕ doprinos ks-tog segmenta potencijalu razmatranog i-tog sloja horizontalno
složenog modela višeslojnog sredstva
pϕ partikularno rješenje Helmholtzove diferencijalne jednadžbe
φ koordinatna os cilindričnog koordinatnog sustava
Φ linearna aproksimacija raspodjele potencijala ϕ po površini segmenta
iΦ nepoznata jezgra-funkcija i-tog sloja horizontalno složenog modela
višeslojnog sredstva kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala
točkastog izvora harmonijske struje
ksΦ potencijal ks-tog lokalnog čvora
isNs+Φ potencijal (Ns+ks)-tog lokalnog čvora
Φ vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore sve
međusobno konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice
elektromagnetskog modela
fΦ vektor potencijala lokalnih čvorova transformatora
gΦ vektor potencijala globalnih čvorova cjelokupnog sustava
χ promjenjivi parametar kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala
točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu
xxxv
ksχ promjenjivi parametar za ks-ti segment
ks
gχ promjenjivi parametar za g-tu Gaussovu integracijsku točku za ks-ti
segment
iΧ nepoznata jezgra-funkcija i-tog sloja horizontalno složenog modela
višeslojnog sredstva kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala
točkastog izvora harmonijske struje
Θ vektor izračunatih vrijednosti jezgra-funkcije i
Χ u 25 uzorkovanih točaka
kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora
harmonijske struje u višeslojnom sredstvu
iΨ dio općeg rješenja Helmholtzove diferencijalne jednadžbe; nepoznata
jezgra-funkcija i-tog sloja horizontalno složenog modela višeslojnog
sredstva kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora
harmonijske struje
iΨ jezgra-funkcija pridružena i-tom sloju višeslojnog modela
ω kružna frekvencija
pξ početna točka is-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj ravnini
za slučaj izračuna međusobnih impedancija dva neparalelna cilindrična
segmenta
kξ konačna točka is-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj
ravnini za slučaj izračuna međusobnih impedancija dva neparalelna
cilindrična segmenta
1
1. UVOD
U slučaju zemljospoja u elektroenergetskim postrojenjima ili u njihovoj blizini, potrebno je
izračunati raspodjelu struje zemljospoja po svim pasivnim metalnim dijelovima koji su
povezani na uzemljivač tog postrojenja. Na taj način procjenjuje se struja koju uzemljivač
postrojenja odvodi u tlo tijekom zemljospoja, a koja je mjerodavna za dimenzioniranje
uzemljivača.
Za točniji izračun raspodjele struje zemljospoja potrebno je uzeti u račun mnoštvo
utjecajnih čimbenika jer u raspodjeli struje zemljospoja sudjeluju: uzemljivač razmatrane
transformatorske stanice, uzemljivači susjednih transformatorskih stanica, transformatori,
metalni stupovi i uzemljivači stupova nadzemnih elektroenergetskih vodova, zaštitna užad
nadzemnih elektroenergetskih vodova, ekrani elektroenergetskih kabela, goli vodiči položeni
iznad kabelskih vodova i ostali vodljivi dijelovi. S obzirom na složenost problema, nije
prikladno računati raspodjelu struje zemljospoja korištenjem programskih paketa
namijenjenih za numeričko modeliranje sustava mrežastih uzemljivača [1]. Međutim, mnogi
su autori pribjegli drastičnom pojednostavljenju ovog problema zanemarujući vrlo važne
utjecajne čimbenike. Analitički izrazi za izračun raspodjele struje zemljospoja duž nadzemnog
voda dani su u radovima [2-5], a analitički izrazi za izračun raspodjele struje zemljospoja duž
kabelskog voda dani su u radu [6]. Nešto naprednije metode za izračun raspodjele struje
zemljospoja problem svode na rješavanje električnih mreža [7-15]. U radu [2] u potpunosti je
zanemarena elektromagnetska sprega između vodljivih dijelova koji sudjeluju u raspodjeli
struje zemljospoja. Metode razvijene u radovima [3-5] i [8-15] uzimaju u račun samo
induktivnu spregu između faznih vodiča i zaštitne užadi za pojedini raspon nadzemnog voda.
U radovima [6-7] induktivno su spregnuti fazni vodiči i ekrani pojedinog kabelskog voda.
Međutim, nijedna od ovih metoda ne uzima u račun konduktivnu spregu između uzemljivača
transformatorskih stanica, uzemljivača stupova nadzemnih vodova i svih ostalih vodljivih
dijelova koji su u izravnom kontaktu s tlom. Kapacitivna sprega je, također, u potpunosti
zanemarena.
U normi IEEE Std. 80-2000 [16], preporuča se da se raspodjela struje zemljospoja vrlo
grubo procijeni korištenjem grafova prikazanih u radu [17], a ti grafovi su dobiveni
numeričkim izračunom po metodi razvijenoj u radu [10].
U normativnom dokumentu HRN HD 637 S1 [18], na koji ukazuje Pravilnik o tehničkim
zahtjevima za elektroenergetska postrojenja nazivnih izmjeničnih napona iznad 1 kV (NN
105/10.), raspodjela struje zemljospoja računa se približno korištenjem jednostavnih
analitičkih izraza, koji daju vrlo grubu procjenu struje koju odvodi uzemljivač
elektroenergetskog postrojenja. Isto vrijedi i za direktivu ITU-T 270-9 [19]. Normativni
2
dokument HRN HD 637 S1 još je uvijek na snazi u Republici Hrvatskoj, ali su 2012. godine
objavljene i dvije norme HRN EN 61936-1 i HRN EN 50522 koje su zamjena za HRN HD
637 S1.
U širom svijeta korištenom programskom paketu CDEGS [20], raspodjela struje
zemljospoja računa se pomoću modula SPLITS [21-22]. Teorijska podloga programskog
modula SPLITS nastala je nadogradnjom metode razvijene u radu [9] tako što je omogućeno
da budu uzeti u račun svi fazni vodiči i pasivni vodiči (zaštitna užad i/ili ekrani kabela)
pojedine dionice elektroenergetskog voda te da ti vodiči budu međusobno kapacitivno i
induktivno spregnuti. Međutim, ni u programskom modulu SPLITS ne uzima se u račun vrlo
važna konduktivna sprega između uzemljivača transformatorskih stanica, uzemljivača stupova
nadzemnih vodova i svih ostalih vodljivih dijelova koji su u izravnom kontaktu s tlom.
U radu [23], razvijena je metoda kod koje se uzima u račun konduktivna sprega između
uzemljivača transformatorske stanice i uzemljivača stupova nadzemnih vodova tako što se ti
uzemljivači nadomještaju kružnim metalnim pločama na površini homogenog tla. Kod ove
metode koriste se redukcijski faktori nadzemnih vodova te se na taj način približno uzima u
račun i induktivna sprega između faznih vodiča i zaštitnog užeta za pojedini raspon
nadzemnog voda, uz pretpostavku da su vodovi homogeni, tj. da su svi rasponi nadzemnih
vodova iste duljine te da su otpori svih uzemljivača stupova nadzemnih vodova međusobno
jednaki. Kod ove metode trostruka nulta struja po fazi nadzemnog voda jest ulazni podatak
dobiven proračunom kratkog spoja [24].
U radu [25], razvijen je numerički model za izračun raspodjele struje zemljospoja kod
kojeg se uzemljivači transformatorskih stanica i uzemljivači stupova nadzemnih vodova
predstavljaju svojim impedancijama. U račun je uzeta i induktivna sprega između faznih
vodiča i zaštitnih užadi pojedinog raspona nadzemnog voda. Osim toga, moguće je uzeti u
račun i induktivnu spregu faznih vodiča i zaštitnih užadi dionica paralelno vođenih nadzemnih
vodova. Induktivna se sprega računa korištenjem Carsonovih formula [26-27]. I kod ove
metode trostruka nulta struja po fazi nadzemnog voda jest ulazni podatak dobiven
proračunom kratkog spoja kao i u radu [24].
Nedvojbeno postoji potreba za točnijim modeliranjem raspodjele struje zemljospoja jer svi
dosad razvijeni analitički i numerički modeli nisu uzeli u račun sve utjecajne čimbenike na
zadovoljavajući način. Svi dosad razvijeni modeli nisu uzeli u račun cjelovitu
elektromagnetsku spregu između vodiča koji sudjeluju u raspodjeli struje zemljospoja. Pod
cjelovitom elektromagnetskom spregom podrazumijeva se konduktivna, kapacitivna i
induktivna sprega. Osim toga, u nekim slučajevima potrebno je uzeti u račun i impedancije i
vrstu spoja transformatora koji utječu na raspodjelu struje zemljospoja.
3
Ako se primijeni tehnika konačnih elemenata, moguće je razviti numerički model koji će
udovoljiti svim prethodno postavljenim zahtjevima. Budući da će takav model uzimati u
račun cjelovitu elektromagnetsku spregu između vodiča, takav se numerički model može
nazvati elektromagnetskim modelom za izračun raspodjele struje zemljospoja.
Za razvoj elektromagnetskog modela za izračun raspodjele struje zemljospoja, utemeljenog
na primjeni tehnike konačnih elemenata, prvo važno polazište jest numerički model razvijen u
radu [25], koji je zasnovan na metodi potencijala čvorova. Drugo važno polazište su mnoge
teorijske i numeričke spoznaje stečene tijekom izrade doktorske disertacije [28], koja je
izrađena pod mentorstvom mentora ove disertacije. Treće i najvažnije polazište jest hibridni
model za izračun raspodjele struje zemljospoja opisan u radu [29], koji je zasnovan na
primjeni tehnike konačnih elemenata, a može se opisati kao kombinacija elektromagnetskog
modela i modela prijenosnog voda.
4
2. SASTAVNICE ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ZA
IZRAČUN RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA
Sastavnice elektromagnetskog modela za izračun raspodjele struje zemljospoja mogu biti:
• Uzemljivač središnje transformatorske stanice u kojoj se dogodio zemljospoj ili u čijoj
se blizini dogodio zemljospoj,
• Uzemljivači susjednih transformatorskih stanica,
• Uzemljivači stupova nadzemnih vodova,
• Segmenti zaštitnih užadi nadzemnih vodova,
• Segmenti faznih vodiča nadzemnih vodova,
• Segmenti metalnih ekrana energetskih kabela,
• Segmenti faznih vodiča energetskih kabela,
• Segmenti vanjskih metalnih plašteva i armatura energetskih kabela,
• Segmenti golih vodiča ukopanih iznad kabelskih vodova (uzemljivačke užadi),
• Segmenti golih vodiča ukopanih između uzemljivača stupova nadzemnih vodova,
• Stupovi nadzemnih vodova,
• Transformatori,
• Naponski izvori,
• Strujni izvori,
• Nadomjesne impedancije povezane na uzemljivače transformatorskih stanica,
• Induktivno spregnuti fazni vodiči nadzemnih vodova sa zadanim strujama,
• Induktivno spregnuti fazni vodiči kabelskih vodova sa zadanim strujama.
Praktično je u elektromagnetskom modelu uzeti u obzir samo one fazne vodiče koji
napajaju mjesto zemljospoja. Sastavnice koje su međusobno kapacitivno i konduktivno
spregute tvore zasebni konačni element. Slično, sastavnice koje su međusobno induktivno
spregnute, također, tvore zasebni konačni element.
Osnovne značajke elektromagnetskog modela razvijenog u ovoj disertaciji su:
• Uzemljivači transformatorskih stanica i stupova dalekovoda mogu se nadomjestiti
ekvipotencijalnim metalnim pločama na površini homogenog tla,
5
• Pojedini uzemljivač može se, po potrebi, modelirati detaljno, tj. kao skup vodiča
ukopanih u tlo,
• Svi ili samo izabrani vodljivi dijelovi u tlu i zraku mogu biti međusobno
elektromagnetski spregnuti,
• Moguće je za pojedine dijelove sustava isključiti neku od sastavnica cjelovite
elektromagnetske sprege,
• Fazni vodiči nadzemnih i kabelskih vodova uključeni su u elektromagnetski model,
• Dio sustava moguće je nadomjestiti impedancijom utvrđenom mjerenjem ili pak
posebnim proračunom,
• U elektromagnetski model mogu se uključiti i transformatori, uz uvažavanje vrste
spoja transformatora,
• U račun se mogu uzeti struje jednopolnog kratkog spoja izračunate u literaturi [24], a
na temelju njih se mreža povezana na pojedinu razmatranu transformatorsku stanicu
može nadomjestiti trofaznim simetričnim naponskim izvorima,
• Svi vodovi koji nisu izravno uzeti u račun, a istog su naponskog nivoa kao i
razmatrani vod i spojeni su na iste sabirnice, na temelju struje jednopolnog kratkog
spoja izračunate u literaturi [24], mogu se nadomjestiti trofaznim simetričnim
naponskim izvorom uzemljenim u dalekoj točki,
• Svi vodovi koji nisu izravno uzeti u račun, a nisu istog naponskog nivoa kao i
razmatrani vod te su spojeni na sabirnice razmatranog voda preko transformatora
kojem je uzemljena neutralna točka, na temelju struje jednopolnog kratkog spoja
izračunate u literaturi [24], nadomještaju se trofaznim simetričnim naponskim izvorom
uzemljenim u razmatranoj transformatorskoj stanici,
• Uzima se da elektromotorne sile nadomjesnih trofaznih simetričnih naponskih izvora
imaju efektivnu vrijednost za 10 % veću od nazivnog faznog napona razmatranog
voda, a na temelju poznate struje jednopolnog kratkog spoja, u slučaju nastanka
zemljospoja, lako se izračuna unutarnja impedancija pojedine faze nadomjesnog
trofaznog simetričnog naponskog izvora.
6
3. JEDNADŽBE POTENCIJALA HARMONIJSKOG
ELEKTROMAGNETSKOG MODELA
Maxwellove diferencijalne jednadžbe za izmjenično harmonijski promjenjivo
elektromagnetsko polje u nepokretnom vodljivom sredstvu mogu se napisati u sljedećem
obliku:
sJEJH
rrrr
+⋅κ==×∇ (3.1)
BjEvv
⋅ω⋅−=×∇ (3.2)
0B =∇v
(3.3)
gdje je:
Jv
- fazor vektora gustoće ukupne struje,
s
Jv
- fazor vektora gustoće ukupne struje vanjskih (nezavisnih) izvora,
κ - kompleksna provodnost (specifična električna vodljivost) sredstva,
ω - kružna frekvencija,
Hv
- fazor vektora jakosti magnetskog polja,
Ev
- fazor vektora jakosti električnog polja,
Bv
- fazor vektora magnetske indukcije,
∇ - Hamiltonov operator,
j - imaginarna jedinica.
Neka su moduli fazora efektivne vrijednosti pripadnih veličina. Kružna je frekvencija
opisana izrazom:
f2 ⋅π⋅=ω (3.4)
gdje je f frekvencija.
Neka je sredstvo linearno i izotropno. Kompleksna provodnost takvog sredstva opisana je
izrazom:
ε⋅ω⋅+σ=κ j (3.5)
gdje je σ vodljivost sredstva, a ε dielektričnost sredstva. Vrijedi da je dielektričnost
sredstva:
r0
ε⋅ε=ε (3.6)
gdje je 1210854,8
0
−
⋅=ε F/m dielektričnost zraka, dok je εr relativna dielektričnost sredstva.
7
Iz Maxwellovih jednadžbi (3.1) – (3.3), lako se dobiju sljedeće Helmholtzove nehomogene
diferencijalne jednadžbe potencijala [28], [30]:
κ
∇=ϕ⋅γ−ϕ∆ s2
Jv
(3.7)
s
2JAA
0
vvv
⋅µ−=⋅γ−∆ (3.8)
gdje je:
A
r
- fazor vektorskog magnetskog potencijala,
ϕ - fazor skalarnog električnog potencijala,
γ - valna konstanta sredstva,
Δ - Laplaceov diferencijalni operator.
7104
0
−
⋅π⋅=µ H/m – permeabilnost razmatranog sredstva (zraka ili tla).
Valna konstanta razmatranog sredstva opisana je sljedećim izrazom:
κµ⋅ω⋅=γ ⋅
0j (3.9)
U linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu volumena V, rješenje
jednadžbe skalarnog električnog potencijala (3.7) glasi:
dVR
eJ
4
1R
V
s⋅⋅∇⋅
κ⋅π⋅−=ϕ
⋅γ−
∫v
(3.10)
dok rješenje jednadžbe vektorskog magnetskog potencijala (3.8) glasi:
dVR
eJ
4A
R
V
s
0⋅⋅⋅
π⋅
µ=
⋅γ−
∫vv
(3.11)
gdje je R udaljenost između točke izvora i točke promatranja.
Jednadžba (3.10) jest partikularno rješenje Helmholtzove jednadžbe (3.7), a jednadžba
(3.11) partikularno rješenje Helmholtzove jednadžbe (3.8).
8
4. APROKSIMACIJA STRUJA I POTENCIJALA
CILINDRIČNIH SEGMENATA VODIČA
U matematičkom modelu koriste se cilindrični segmenti vodiča (Slika 4.1), za koje vrijede
sljedeće pretpostavke:
• Duljina segmenta vodiča ( l ) je mnogo veća od njegovog polumjera (0r ),
• Vanjski polumjer vodiča je mnogo manji od valne duljine,
• Pojedini segment može biti šupalj ili pun,
• Struja unutar segmenta ima samo uzdužnu komponentu,
• Uzdužna struja je koncentrirana u osi segmenta i teče od početne točke segmenta
prema krajnjoj točki segmenta ,
• Segment sa svog plašta jednoliko ispušta poprečnu struju u okolno sredstvo,
• Kod izračuna raspodjele potencijala oko segmenta vodiča, segment iz svoje osi
jednoliko ispušta poprečnu struju,
• Potencijal je konstantan po poprečnom presjeku segmenta vodiča,
• Uzdužni potencijal (potencijal kod uzdužnog sustava jednadžbi) linearno se
mijenja duž osi vodiča,
• Poprečni potencijal segmenta (potencijal segmenta kod poprečnog sustava
jednadžbi) aproksimira se po metodi srednjeg potencijala [28], [31-32].
Dakle, u ovom se radu vodiči koji sudjeluju u raspodjeli struje zemljospoja aproksimiraju
skupom cilindričnih segmenata. Segmenti imaju svoju početnu i krajnju točku, a za sve
segmente vodiča vrijedi tankožičana aproksimacija.
Slika 4.1. Cilindrični ks-ti segment vodiča tankožičane aproksimacije koji se koristi u
matematičkom modelu
9
Iz pretpostavke da segment jednoliko ispušta poprečnu struju u okolno sredstvo (Slika 4.2),
slijedi da se uzdužna struja mijenja linearno duž osi segmenta, a ta uzdužna struja je po
pretpostavci konstantna duž osi segmenta. Logičan zaključak je da se linearno promjenjiva
uzdužna struja aproksimira svojom srednjom vrijednošću [28], [33].
Slika 4.2. Aproksimacija uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta vodiča
Iz pretpostavke da je uzdužna struja segmenta aproksimirana srednjom vrijednošću
linearno promjenjive uzdužne struje, slijedi da segment u čvorovima (lokalni čvorovi
segmenta; P-početna i K-krajnja točka segmenta) predaje točno 1/2 poprečne struje koja se
jednoliko ispušta u okolno sredstvo. Drugim riječima, poprečna struja segmenta koja se
ispušta duž plašta segmenta dijeli se na dva jednaka dijela koji se smještaju u lokalne čvorove
segmenta.
U daljnjem razmatranju, za potrebe tehnike konačnih elemenata, sustav uzdužnih struja
može se odvojiti od sustava poprečnih struja kao što je to prikazano na Slici 4.3. Drugim
riječima, Slika 4.3. grafički ilustrira princip prelaska sa uzdužne i poprečne struje ks-tog
segmenta na uzdužne i poprečne struje dvaju lokalnih čvorova ks-tog segmenta.
Slika 4.3. Uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta i njegovi pripadni lokalni čvorovi
10
Struje prikazane na Slikama 4.2 i 4.3 imaju sljedeće značenje:
• u
ksI - uzdužna struja ks-tog segmenta,
• pksI - poprečna struja ks-tog segmenta,
• uc
PksI - uzdužna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta,
• uc
KksI - uzdužna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta,
• pcPksI - poprečna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta,
• pcKksI - poprečna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta,
• c
PksI - ukupna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta,
• c
KksI - ukupna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta.
U skladu s oznakama i prikazanom orijentacijom struja na Slici 4.3, za uzdužne i poprečne
struje lokalnih čvorova ks-tog segmenta vrijede sljedeći izrazi:
u
ks
uc
Pks II = (4.1)
u
ks
uc
Kks II −= (4.2)
pks
pcKks
pcPks
I2
1II ⋅== (4.3)
pcPks
ucPks
cPks III += (4.4)
pcKks
ucKks
cKks III += (4.5)
11
5. ZNAČAJKE DVOSLOJNOG MODELA SREDSTVA
U ovom se radu koristi dvoslojni model sredstva (Slika (5.1). Ustvari, neograničeni prostor
se dijeli na dva linearna homogena izotropna poluprostora, od kojih jedan ispunjava zrak, dok
drugi ispunjava homogeno tlo.
Slika 5.1. Dvoslojni model sredstva
Značajke sredstva (zraka i tla) su provodnost, dielektričnost i permeabilnost. Može se uzeti
da je provodnost zraka jednaka nuli. Otpornost tla (recipročna vrijednost provodnosti tla)
poprima vrijednosti od nekoliko Ωm do nekoliko tisuća Ωm. Iznos provodnosti za jednu vrstu
tla se znatno mijenja s vlažnošću zbog ovisnosti o rastvorljivosti prisutnih soli. Što je vlažnost
tla veća, otpornost je manja i obratno. Na iznos provodnosti tla utječe temperatura. Kad
temperatura padne značajno ispod nule, tlo se ledi do nekih dubina, pri čemu se provodnost
naglo smanjuje, odnosno otpornost tla poprima visoke vrijednosti.
Redovito se uzima da su dielektričnost i permeabilnost zraka jednake kao i u slučaju
vakuuma. Dielektričnost tla ovisi o vrsti tla i količini prisutne vlage. Ona se povećava s
prisutnošću vlage u tlu. Dielektričnost tla varira u daleko manjem rasponu no provodnost tla.
Može se uzeti da je magnetska permeabilnost tla jednaka magnetskoj permeabilnosti zraka,
odnosno da je njihova relativna magnetska permeabilnost 1r=µ .
12
6. APROKSIMACIJA RASPODJELE POTENCIJALA U
DVOSLOJNOM SREDSTVU
6.1. Skalarni električni potencijal cilindričnog segmenta vodiča
Segment cilindričnog vodiča u tlu može biti segment golog vodiča ili pak segment
izoliranog vodiča, a takav vodič može biti: vodič mrežastog uzemljivača središnje
transformatorske stanice koji se aproksimira mrežom cilindričnih vodiča, goli vodič ukopan
iznad kabelskih vodova, goli vodič ukopan između uzemljivača stupova nadzemnih vodova,
metalni ekran energetskog kabela, fazni vodič energetskog kabela te vanjski metalni plašt
energetskog kabela. Cilindrični segment vodiča u zraku, u pravilu, nema dodatne izolacije, a
takav vodič može biti: zaštitno uže nadzemnog voda, fazni vodič nadzemnog voda ili vodič
kojim se modelira stup nadzemnog voda.
Prema prethodno prezentiranoj teoriji, u linearnom homogenom izotropnom
neograničenom sredstvu, rješenje Helmholtzove jednadžbe skalarnog električnog potencijala
(3.7) opisano je izrazom (3.10). Za cilindrični ks-ti segment vodiča (Slika 6.1), podvrgnut
tankožičanoj aproksimaciji vrijedi da je:
ksks
pks
ksks
uks
s dI
dI
dVJ ll
ll
v⋅−=⋅
∂
∂=⋅∇ (6.1)
gdje je:
p
ksI - poprečna struja ks-tog segmenta,
u
ksI - uzdužna struja ks-tog segmenta,
ks
l - duljina ks-tog segmenta.
Nakon što se izraz (6.1) uvrsti u izraz (3.10) dobije se da je raspodjela potencijala oko
ks-tog segmenta u linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu opisana
izrazom:
∫Γ
⋅γ−
⋅⋅⋅κ⋅π⋅
=ϕ
ks
ks
R
ks
pks
dR
eI
4
1l
l (6.2)
gdje je R udaljenost između točke izvora na osi segmenta i točke promatranja. Krivulja
integracije ks
Γ poklapa se s osi promatranog ks-tog segmenta. Valna konstanta sredstva γ
opisana je izrazom (3.9).
13
Izraz (6.2) aproksimira se tako da je raspodjela potencijala oko ks-tog segmenta u
linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu opisana izrazom:
∫Γ
⋅γ−⋅⋅⋅
κ⋅π⋅⋅=ϕ
ks
Cks
ksks
pksR
dR
1I
4
1e l
l (6.3)
gdje je RCks udaljenost između središnje točke segmenta i točke promatranja. Izraz (6.3) lako
se može prevesti u novi oblik:
ksks
pks
ks FI
4
1f ⋅⋅
κ⋅π⋅⋅=ϕ
l (6.4)
gdje je:
CksR
ks ef⋅γ−
= (6.5)
prigušno-fazni faktor koji aproksimira prigušenje potencijala i zakretanje njegove faze, dok
je:
−+
−+
++
++
== ∫Γ
2u
2uv
2u
2uv
lnR
dF
ks2
ks2
ks2
ks2
ksks
ks ll
ll
l (6.6)
pri čemu su (u, v) lokalne koordinate točke promatranja T(x, y, z), u lokalnom cilindričnom
koordinatnom sustavu ks-tog segmenta (Slika 6.1).
Slika 6.1. Cilindrični segment vodiča u homogenom neograničenom sredstvu
14
6.1.1. Cilindrični segment vodiča u tlu
Neka se cilindrični segment vodiča nalazi u tlu dvoslojnog sredstva (Slika 6.2). U tom
slučaju treba definirati izraze za raspodjelu potencijala kojeg stvara poprečna struja
razmatranog ks-tog segmenta u tlu i u zraku. Koristi se metoda odslikavanja tako da se
odslika kvazistatički izvor struje u odnosu na površinu tla, a gušenje i fazno zakretanje
potencijala aproksimira se korištenjem tzv. prigušno-faznog faktora [28], [33-34]. Zasebno se
razmatraju raspodjela potencijala u tlu i raspodjela potencijala u zraku.
Slika 6.2. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu
Raspodjeli potencijala u tlu doprinose poprečna struja razmatranog segmenta i poprečna
struja kvazistatičke slike tog segmenta (Slika 6.3) pa izraz koji opisuje raspodjelu potencijala
u tlu glasi:
( )iks1rks
ks
pks
1ks FkF
I
4
1f ⋅+⋅⋅
κ⋅π⋅⋅=ϕ
l (6.7)
gdje je u ovom slučaju prigušno-fazni faktor opisan izrazom:
11
R
ks 0
Cks1 j;ef κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ− (6.8)
15
dok je faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom:
01
01
1rkκ+κ
κ−κ
= (6.9)
Veličina Fks navedena u izrazu (6.7) opisana je izrazom (6.6), dok je istovrsna veličina iksF
koja je pridružena slici ks-tog segmenta opisana izrazom:
∫Γ
=
iks
i
ksi
ks
R
dF
l (6.10)
gdje je iR udaljenost između točke izvora na osi slike segmenta i točke promatranja.
Sukladno tome, krivulja integracije i
ksΓ nalazi se u osi slike promatranog ks-tog segmenta.
Slika 6.3. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose raspodjeli
potencijala u tlu
Raspodjelu potencijala u zraku uzrokuje poprečna struja kvazistatičke slike razmatranog
segmenta, koja se preklapa sa stvarnim segmentom (Slika 6.4), pa izraz koji opisuje
raspodjelu potencijala u zraku glasi:
ks1tks
pks
ks FkI
4
1f
0
⋅⋅⋅κ⋅π⋅
⋅=ϕl
(6.11)
16
gdje je u ovom slučaju prigušno-fazni faktor opisan izrazom:
0000
0Cks01Cks1 j;j;ef 11
RR
ks κµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅
−−⋅γ−⋅γ−
(6.12)
dok je faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom:
01
01r1t
2k1k
κ+κ
κ⋅=−= (6.13)
Veličina Fks navedena u izrazu (6.10) opisana je izrazom (6.6) jer se, u ovom slučaju, slika
segmenta preklapa sa stvarnim segmentom pa se preklapaju i krivulje integracije.
Slika 6.4. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koja uzrokuje potencijal u zraku
6.1.2. Cilindrični segment vodiča u zraku
Neka se segment vodiča nalazi u zraku dvoslojnog sredstva (Slika 6.5). Segment vodiča u
zrak ispušta poprečnu struju koja je jednaka pomačnoj struji jer je u zraku provodna struja
jednaka nuli. U tom slučaju treba definirati izraze za raspodjelu potencijala kojeg stvara
poprečna struja razmatranog ks-tog segmenta u zraku i u tlu. Koristi se metoda odslikavanja
tako da se odslika kvazistatički izvor struje u odnosu na površinu tla, a gušenje i fazno
zakretanje potencijala aproksimira se korištenjem tzv. prigušno-faznog faktora [28], [33-34].
Zasebno se razmatraju raspodjela potencijala u zraku i raspodjela potencijala u tlu.
17
Slika 6.5. Cilindrični segment vodiča u zraku
Raspodjeli potencijala u zraku doprinose poprečna struja razmatranog segmenta i poprečna
struja kvazistatičke slike tog segmenta (Slika 6.6) pa izraz koji opisuje raspodjelu potencijala
u tlu glasi:
( )iksrks
ks
pks
ks FkFI
4
1f
0
0
⋅+⋅⋅κ⋅π⋅
⋅=ϕl
(6.14)
gdje je u ovom slučaju prigušno-fazni faktor opisan izrazom:
000
Cks0 j;efR
ks κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ− (6.15)
dok je faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom:
0
0
0
1
11rr kk
κ+κ
κ−κ=−= (6.16)
U izrazu (6.14), veličina Fks opisana je izrazom (6.6), dok je istovrsna veličina iksF koja je
pridružena slici ks-tog segmenta opisana izrazom (6.10).
18
Slika 6.6. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose raspodjeli
potencijala u zraku
Slika 6.7. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koja uzrokuje potencijal u tlu
Raspodjelu potencijala u tlu uzrokuje poprečna struja kvazistatičke slike razmatranog
segmenta (Slika 6.7), koja se preklapa sa stvarnim segmentom, pa izraz koji opisuje
raspodjelu potencijala u tlu glasi:
kstks
pks
ks FkI
4
1f
0
1
⋅⋅⋅κ⋅π⋅
⋅=ϕl
(6.17)
19
gdje je u ovom slučaju prigušno-fazni faktor ksf opisan izrazom (6.12), dok je faktor
kvazistatičke transmisije opisan izrazom:
01
10r0t
2k1k
κ+κ
κ⋅=−= (6.18)
6.2. Skalarni električni potencijal ekvipotencijalne metalne ploče
Skalarni električni potencijal ekvipotencijalne metalne ploče u homogenom
neograničenom linearnom izotropnom sredstvu (Slika 6.8) opisan je izrazom [35]:
( )
( ) ajzajzr
ajzajzrn
a8j
If
22
22
⋅−+⋅−+
⋅++⋅++⋅
κ⋅⋅π⋅⋅⋅=ϕ l (6.19)
gdje je I fazor jakosti struje koju ploča ispušta u okolno sredstvo, a je polumjer ploče, κ je
kompleksna provodnost sredstva, dok su r i z koordinate cilindričnog koordinatnog sustava.
Izvorni izraz za kvazistatičku raspodjelu potencijala naveden u literaturi [35] nadopunjen je
prigušno-faznim faktorom koji se u ovom slučaju može aproksimirati izrazom:
C
22Rzr
eef⋅γ−+⋅γ−
== (6.20)
gdje je RC udaljenost između centra metalne ploče i točke promatranja.
Slika 6.8. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom neograničenom sredstvu
20
Izraz (6.19) može se preinačiti u jednostavniji oblik:
|z|
tana4
If
atan
a4
If 11 β
⋅κ⋅⋅π⋅
⋅=α
⋅κ⋅⋅π⋅
⋅=ϕ −− (6.21)
gdje je:
( )2
za4AAz,r,a
222⋅⋅++
=α=α (6.22)
( )2
za4AAz,r,a
222 ⋅⋅++−=β=β (6.23)
222azrA −+= (6.24)
U posebnom slučaju za r = 0 raspodjela potencijala duž osi z opisana je izrazom:
( )|z|
atan
a4
Ifz 1−
⋅κ⋅⋅π⋅
⋅=ϕ=ϕ (6.25)
dok je u slučaju z = 0, r ≥ a raspodjela potencijala duž osi r opisana izrazom:
r
asin
a4
If
ar
atan
a4
If)r( 1
22
1 −−
⋅κ⋅⋅π⋅
⋅=
−
⋅κ⋅⋅π⋅
⋅=ϕ=ϕ (6.26)
Neka je metalna ploča ukopana u homogeno tlo paralelno površini tla na dubinu h (Slika
6.9) . U ovom slučaju, izrazi za raspodjelu potencijala u tlu i u zraku mogu se dobiti pomoću
metode odslikavanja.
21
Slika 6.9. Kružna metalna ploča ukopana u homogeno tlo paralelno površini tla
Za metalnu ploču ukopanu u homogeno tlo, raspodjeli potencijala u tlu doprinose struja
koju ploča ispušta u tlo i struja kvazistatičke slike ploče (Slika 6.10) pa izraz koji opisuje
raspodjelu potencijala u tlu glasi:
( ) ( )
+α⋅+
−α⋅
κ⋅⋅π⋅⋅=ϕ −−
hz,r,a
atank
hz,r,a
atan
a4
If
1
1r
1
1
(6.27)
gdje je koeficijent kvazistatičke refleksije 1rk opisan izrazom (6.9), a prigušno-fazni faktor
,f u ovom slučaju, opisan je izrazom:
( )
C
22Rhzr
eef⋅γ−−+⋅γ−
== (6.28)
Slika 6.10. Kružna metalna ploča i njena kvazistatička slika koje doprinose
raspodjeli potencijala u tlu
22
Raspodjelu potencijala u zraku uzrokuje struja kvazistatičke slike razmatrane metalne
ploče, koja se preklapa sa stvarnom pločom (Slika 6.11), pa izraz koji opisuje raspodjelu
potencijala u zraku glasi:
( )hz,r,a
atank
a4
If
1
1t
0−α
⋅⋅⋅κ⋅⋅π⋅
⋅=ϕ− (6.29)
gdje je faktor kvazistatičke transmisije 1tk opisan izrazom (6.13), dok je, u ovom slučaju,
prigušno-fazni faktor opisan izrazom:
0000
0C01C1 j;j;ef 11
RRκµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅
−−⋅γ−⋅γ−
(6.30)
Slika 6.11. Kvazistatička slika kružne metalne ploče koja uzrokuje potencijal u zraku
Prema dosad uvedenim pretpostavka, metalne ploče koje nadomještaju uzemljivače
transformatorskih stanica jesu ekvipotencijalne, a to znači da one nemaju uzdužne
komponente struje. To znači da ekvipotencijalne metalne ploče ne stvaraju vektorski
magnetski potencijal, već samo skalarni električni potencijal. Drugim riječima, nadomjesne
metalne ploče nisu induktivno spregnute s ostalim sastavnicama elektromagnetskog modela.
6.3. Vektorski magnetski potencijal cilindričnog segmenta vodiča
Prema prethodno prezentiranoj teoriji, u linearnom homogenom izotropnom
neograničenom sredstvu, rješenje Helmholtzove jednadžbe vektorskog magnetskog
potencijala (3.8) opisano je izrazom (3.11). Za cilindrični ks-ti segment vodiča podvrgnut
tankožičanoj aproksimaciji vrijedi da je:
23
ksksukss 0
sdIdVJr
lv
⋅⋅=⋅ (6.31)
gdje je:
u
ksI - uzdužna struja ks-tog segmenta,
ks
l - duljina ks-tog segmenta,
ks0sr
- jedinični vektor smjera ks-tog segmenta (Slika 6.12).
Slika 6.12. Cilindrični segment vodiča, njegova uzdužna struja i njegov jedinični vektor
smjera
Prema Slici 6.12, uzdužna struja u
ksI segmenta i jedinični vektor smjera ks0
sr
segmenta
usmjereni su od početne točke segmenta Pks prema krajnjoj točki segmenta Kks. Neka to
vrijedi za sve segmente.
Uvrštenjem (6.31) u (3.11), dobije se da je raspodjela vektorskog magnetskog potencijala
uslijed uzdužne struje ks-tog segmenta u neograničenom linearnom homogenom izotropnom
sredstvu permeabilnosti 0
µ opisana izrazom:
∫Γ
⋅γ−
⋅⋅π⋅
⋅µ⋅=
ks
0
0 ks
Ru
ksks d
R
e
4
IsA lrv
(6.32)
gdje je R udaljenost između točke izvora na osi segmenta i točke promatranja. Krivulja
integracije ks
Γ nalazi se u osi promatranog ks-tog segmenta (Slika 6.12). Valna konstanta
sredstva γ opisana je izrazom (3.9).
Izraz (6.32) aproksimira se tako da je raspodjela vektorskog magnetskog potencijala oko
ks-tog segmenta u linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu opisana
izrazom:
24
∫Γ
⋅γ−⋅⋅
π⋅
µ⋅⋅=
⋅
ks
0Cks
0 ks
uksR
ks dR
1
4
IesA l
rv (6.33)
gdje je RCks udaljenost između središnje točke segmenta i točke promatranja.
6.3.1. Cilindrični segment vodiča u tlu
Neka se cilindrični segment vodiča nalazi u tlu dvoslojnog sredstva (Slika 6.13). U tom
slučaju treba definirati izraze za raspodjelu vektorskog magnetskog potencijala kojeg stvara
uzdužna struja razmatranog ks-tog segmenta u tlu i u zraku. Uzima se da u ovom slučaju
nema kvazistatičkog odslikavanja jer je permeabilnost tla jednaka permeabilnosti zraka.
Utjecaj heterogenosti cjelokupnog sredstva uzima se pomoću prigušno-faznog faktora na isti
način kao i u slučaju izračuna skalarnog električnog potencijala. Zasebno se razmatraju
raspodjela vektorskog magnetskog potencijala u tlu i raspodjela vektorskog magnetskog
potencijala u zraku.
Slika 6.13. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu
Raspodjela vektorskog magnetskog potencijala uslijed uzdužne struje razmatranog ks-tog
segmenta i u zraku i u tlu formalno je opisana istim izrazom:
ks
u
ksksks F
4
IfsA
0
0⋅
π⋅
µ⋅⋅=
⋅r
v
(6.34)
25
gdje je veličina ksF opisana izrazom (6.6), dok je prigušno-fazni faktor ksf u slučaju kad se
raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u tlu opisan izrazom (6.5), a kad se
raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u zraku (Slika 6.14) izrazom (6.12).
Slika 6.14. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u zraku uslijed
uzdužne struje ks-tog segmenta koji se nalazi u tlu
6.3.2. Cilindrični segment vodiča u zraku
Neka se cilindrični segment vodiča nalazi u zraku dvoslojnog sredstva (Slika 6.15). Kroz
segment vodiča u zraku protječe uzdužna struja koja stvara vektorski magnetski potencijal u
zraku i u tlu. I u ovom se slučaju razmatraju raspodjela vektorskog magnetskog potencijala u
zraku i u tlu.
Slika 6.15. Cilindrični segment vodiča u zraku
26
Raspodjela vektorskog magnetskog potencijala uslijed uzdužne struje razmatranog ks-tog
segmenta i u zraku i u tlu formalno je opisana istim izrazom (6.34), gdje je prigušno-fazni
faktor u slučaju kad se raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u zraku opisan
izrazom (6.15), a kad se raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u tlu (Slika
6.16), prigušno-fazni faktor opisan je izrazom (6.12).
Slika 6.16. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u tlu uslijed
uzdužne struje ks-tog segmenta koji se nalazi u zraku
27
7. VLASTITE I MEĐUSOBNE IMPEDANCIJE SASTAVNICA
ELEKTROMAGNETSKOG MODELA
Modeliranje tehnikom konačnih elemenata i to Galjerkin-Bubnovovom metodom,
primjenjuje se na integralnu formulaciju problema u frekvencijskoj domeni. Prema tehnici
konačnih elemenata, svaki se vodič dijeli na cilindrične segmente konačne duljine, a
uzemljivači transformatorskih stanica i stupova nadzemnih vodova mogu se nadomjestiti
ekvipotencijalnom kružnom metalnom pločom. Vlastite i međusobne impedancije segmenata
vodiča i nadomjesnih kružnih metalnih ploča računaju se po Galjerkin-Bubnovovoj metodi,
koja se u slučaju vlastitih i međusobnih impedancija cilindričnih segmenata vodiča svodi na
metodu srednjeg potencijala, koja je poseban slučaj Galjerkin-Bubnovove metode. Sukladno
tome, uvedena je i aproksimacija struje segmenta, odnosno definirane su uzdužne i poprečne
struje segmenata, uz korištenje tankožičane aproksimacije. Ekvipotencijalne metalne ploče
imaju, upravo zbog svoje ekvipotencijalnosti, samo poprečnu komponentu struje koju
ispuštaju u okolno tlo.
U slučaju izračuna vlastitih i međusobnih impedancija segmenata cilindričnih vodiča,
važno je uzeti u obzir da vodiči mogu biti u izravnom kontaktu s tlom (goli vodiči), ili su pak
od tla odvojeni s jednim ili više izolacijskih slojeva, gdje neki od unutarnjih slojeva može biti
vodljiv. Razvijeni elektromagnetski model omogućuje da vodiči i u zraku mogu imati jedan ili
više izolacijskih slojeva, ali su, u pravilu, razmatrani vodiči u zraku goli.
Goli puni vodič može biti i pravokutnog poprečnog presjeka kao što je npr. pocinčana
čelična traka. Segmenti takvih vodiča mogu se nadomjestiti cilindričnim segmentima po
kriteriju istog opsega [36-37].
7.1. Poprečne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča
Cilindrični segment golog vodiča u tlu može biti: vodič mrežastog uzemljivača središnje
transformatorske stanice ako se njen mrežasti uzemljivač aproksimira mrežom cilindričnih
vodiča umjesto nadomjesnom kružnom metalnom pločom, vodič ukopan iznad kabelskih
vodova, vodič ukopan između uzemljivača stupova nadzemnih vodova, vanjski metalni plašt
energetskog kabela kao i bilo koji goli puni ili šuplji vodič ukopan u tlo koji je povezan na
uzemljivački sustav središnje transformatorske stanice. Cilindrični segment vodiča u zraku, u
pravilu, nema dodatne izolacije, a takav vodič može biti: zaštitno uže nadzemnog voda, fazni
vodič nadzemnog voda ili pak vodič kojim se modelira stup nadzemnog voda.
28
7.1.1. Poprečne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu
Vlastita poprečna impedancija cilindričnog segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu opisana je izrazom [28]:
( )0r,P
2
1ZZ ks2
ks
pks,ks
qnpks,ks
nl
l
⋅
⋅κ⋅π⋅
== (7.1)
gdje je:
v v v
vln)v,(P 22
22
++−++
⋅= lll
ll (7.2)
Slika 7.1. Cilindrični segment vodiča u homogenom neograničenom sredstvu
U posebnom slučaju paralelnosti dvaju segmenata iste duljine (Slika 7.2), njihova
međusobna impedancija u homogenom neograničenom sredstvu opisana je sljedećim
izrazom:
( ) pks,is
nks2
ks
is,ksp
is,ksqn
is,ksp
is,ksn
Zd,P2
1fZfZ ≡⋅
⋅κ⋅π⋅
⋅=⋅= l
l
(7.3)
gdje je, u ovom slučaju, prigušno-fazni faktor ks-tog i is-tog segmenta opisan izrazom:
κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ−
0j;ef d
is,ks (7.4)
U izrazu (7.3), član ( )d,P ksl opisan je izrazom (7.2), dok je:
29
( ) pks,is
qnks2
ks
pis,ks
qnZd,P
2
1Z ≡⋅
⋅κ⋅π⋅
= l
l
(7.5)
kvazistatička međusobna poprečna impedancija dvaju paralelnih cilindričnih segmenata
vodiča u homogenom neograničenom sredstvu.
Slika 7.2. Dva jednaka međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu
Opći slučaj paralelnosti dvaju cilindričnih segmenata vodiča u homogenom neograničenom
sredstvu prikazan je na Slici 7.3. Neka se is-ti segment promatra u lokalnom koordinatnom
sustavu (u, v) ks-tog segmenta. U tom sustavu krajnje točke is-tog segmenta su: T1(u1, vis) i
T2(u2, vis).
Slika 7.3. Dva međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu - opći slučaj paralelnosti
30
Izraz za međusobnu poprečnu impedanciju paralelnih cilindričnih segmenata vodiča u
homogenom neograničenom sredstvu (Slika 7.3) glasi [38]:
( ) pks,is
n4321
ksisis,ks
pis,ks
qnis,ks
pis,ks
nZCCCC
4
1fZfZ ≡−−+⋅
⋅⋅κ⋅π⋅
⋅=⋅=
ll (7.6)
gdje je:
2
is
2
kk
2
is
2
kkk vwwvwlnwC +−
++⋅= (7.7)
2uw
ks21
l+= (7.8)
2uw
ks12
l−= (7.9)
2uw
ks13
l+= (7.10)
2uw
ks24
l−= (7.11)
dok je, u ovom slučaju, prigušno-fazni faktor:
κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ−
0
C j;efR
is,ks (7.12)
gdje je, RC udaljenost između središnjih točaka is-tog i ks-tog segmenta.
Prema (7.6), kvazistatička međusobna poprečna impedancija dvaju cilindričnih segmenata
vodiča u homogenom neograničenom sredstvu, u općem slučaju paralelnosti (Slika 7.3), glasi:
( ) pks,is
qn4321
ksis
pis,ks
qnZCCCC
4
1Z ≡−−+⋅
⋅⋅κ⋅π⋅
=
ll (7.13)
Ako su dva cilindrična segmenta vodiča neparalelna (međusobno kosa ili okomita), onda
uvijek postoji jedan i samo jedan par međusobno paralelnih ravnina u kojima ti segmenti leže
(Slika 7.4). U posebnom slučaju, te dvije ravnine se mogu preklopiti pa tada neparalelni
segmenti leže u istoj ravnini.
31
Slika 7.4. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu
Međusobna poprečna impedancija neparalelnih cilindričnih segmenata vodiča u
homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti κ (Slika 7.4), definirana po
metodi srednjeg potencijala, opisana je izrazom [38]:
pks,is
n
ks,isksisis,ks
pis,ks
qnis,ks
pis,ks
nZ
r
dd
4
1fZfZ
K
P
K
P
≡η⋅ξ
⋅⋅κ⋅π⋅⋅=⋅= ∫∫
η
η
ξ
ξll
(7.14)
gdje, prema Slici 7.4, vrijedi da je međusobna udaljenost između točaka na osima segmenata:
α⋅η⋅ξ⋅−+η+ξ= cos2Dr222
ks,is (7.15)
dok je D razmak između međusobno paralelnih ravnina u kojima leže segmenti, α kut između
pravaca na kojima leže segmenti, ξ udaljenost promatrane točke na osi is-tog segmenta od
ishodišta 1O , η udaljenost promatrane točke na osi ks-tog segmenta od ishodišta 2O .
Nakon provedene dvostruke integracije naznačene u izrazu (7.14), može se dobiti sljedeći
izraz poznat pod imenom Cejtlinova formula [38]:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksis
is,ks
pis,ks
qnis,ks
pis,ks
n
,A,A,A,A4
1f
ZfZ
ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅⋅⋅κ⋅π⋅
⋅=
⋅=
ll
(7.16)
32
gdje je:
( ) ( )
α⋅
+η+ξ⋅
α⋅
+
+α⋅η−ξ⋅η++α⋅ξ−η⋅ξ=ηξ
2tg
D
rtgarc
sin
D2
rcoslnrcosln),(A
ks,is
ks,isks,is
(7.17)
dok je prigušno-fazni faktor is,ksf opisan izrazom (7.12).
Prema (7.16), kvazistatička međusobna poprečna impedancija dvaju cilindričnih
neparalelnih segmenata vodiča u homogenom neograničenom sredstvu (Slika 7.4), glasi:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksis
pis,ks
qn,A,A,A,A
4
1Z ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅
⋅⋅κ⋅π⋅=
ll (7.18)
7.1.2. Poprečne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu
Ako se cilindrični segment vodiča nalazi u homogenom tlu dvoslojnog sredstva i primijeni
se metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.5), onda je vlastita poprečna impedancija
segmenta opisana sljedećim izrazom:
p
ks,ks
qn1r
pks,ks
qnpks,ks r
ZkZZ ⋅+= (7.19)
gdje je:
p
ks,ksqnZ - vlastita kvazistatička impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u
homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti tla 1κ ,
p
ks,ks
qnr
Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i njegove
refleksijske slike u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne
provodnosti tla 1κ ,
1rk - faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.9).
33
Slika 7.5. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu dvoslojnog sredstva
i njegova refleksijska slika
Ako se cilindrični segment vodiča nalazi u zraku dvoslojnog sredstva i primijeni se metoda
kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.6), onda je vlastita poprečna impedancija segmenta
opisana sljedećim izrazom:
p
ks,ks
qn0r
pks,ks
qnpks,ks r
ZkZZ ⋅+= (7.20)
gdje je:
p
ks,ksqnZ - vlastita kvazistatička impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u
homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti zraka 0κ ,
p
ks,ks
qnr
Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i njegove
refleksijske slike u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne
provodnosti zraka 0κ ,
0rk - faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.16).
34
Slika 7.6. Cilindrični segment vodiča u zraku dvoslojnog sredstva
i njegova refleksijska slika
Ako se dva segmenta nalaze u tlu dvoslojnog sredstva i primijeni se metoda kvazistatičkog
odslikavanja (Slika 7.7), onda je njihova međusobna impedancija opisana izrazom:
pks,is
p
is,ks
qn1r
pis,ks
qnis,ks
pis,ks Z ZkZfZ
r≡
⋅+⋅= (7.21)
gdje je:
p
is,ksqnZ - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog i is-tog segmenta u
homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti tla 1κ ,
p
is,ks
qnr
Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i refleksijske
slike is-tog u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne
provodnosti tla 1κ ,
1rk - faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.9).
Prigušno-fazni faktor is,ksf naveden u izrazu (7.21) opisan je izrazom:
11R
is,ks 0
C1 j;ef κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ− (7.22)
gdje je RC udaljenost između središta ks-tog i is-tog segmenta.
35
Slika 7.7. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva
i refleksijska slika is-tog segmenta
Ako se dva segmenta nalaze u zraku dvoslojnog sredstva i primijeni se metoda
kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.8), onda je njihova međusobna impedancija opisana
izrazom:
pks,is
p
is,ks
qn0r
pis,ks
qnis,ks
pis,ks Z ZkZfZ
r≡
⋅+⋅= (7.23)
gdje je:
p
is,ksqnZ - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog i is-tog segmenta u
homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti zraka 0κ ,
p
is,ks
qnr
Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i refleksijske
slike is-tog u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne
provodnosti zraka 0κ ,
0rk - faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.16).
Prigušno-fazni faktor is,ksf naveden u izrazu (7.23) opisan je izrazom:
00R
is,ks 0
C0 j;ef κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ− (7.24)
gdje je RC udaljenost između središta ks-tog i is-tog segmenta koji se nalaze u zraku (Slika
7.8).
36
Slika 7.8. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstva
i refleksijska slika is-tog segmenta
Ako se ks-ti cilindrični segment nalazi u tlu, a is-ti cilindrični segment u zraku dvoslojnog
sredstva i primijeni se metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.9), onda je njihova
međusobna impedancija opisana izrazom:
pks,is
p
is,ks
qn0tis,ks
pis,ks Z ZkfZ
t≡⋅⋅= (7.25)
gdje je:
p
is,ks
qnt
Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i transmisijske
slike is-tog segmenta u homogenom neograničenom sredstvu
kompleksne provodnosti tla 1κ ,
0tk - faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom (6.18).
Prigušno-fazni faktor is,ksf naveden u izrazu (7.25) opisan je izrazom:
1100RR
is,ks 00
1C10C0 j;j;ef κµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅
−−⋅γ−⋅γ−
(7.26)
gdje su udaljenosti RC-0 i RC-1 duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenata definirane na
Slici 7.9.
37
Ako se ks-ti cilindrični segment nalazi u zraku, a is-ti cilindrični segment u tlu dvoslojnog
sredstva i primijeni se metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.10), onda je njihova
međusobna impedancija opisana izrazom:
pks,is
p
is,ks
qn1tis,ks
pis,ks Z ZkfZ
t≡⋅⋅= (7.27)
gdje je:
p
is,ks
qnt
Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i transmisijske
slike is-tog segmenta u homogenom neograničenom sredstvu
kompleksne provodnosti zraka 0κ ,
1tk - faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom (6.13).
Prigušno-fazni faktor is,ksf naveden u izrazu (7.27) opisan je izrazom (7.26), gdje su
udaljenosti RC-0 i RC-1 duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenata definirane Slikom 7.10.
Slika 7.9. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti
segment u tlu a is-ti segment u zraku
38
Slika 7.10. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment
u zraku i is-ti segment u tlu
7.1.3. Poprečne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča
Kod visokonaponskih nadzemnih vodova svaka pojedina faza može imati dva ili više
cilindričnih vodiča u snopu. U računalnom programu EMRAST, razvijenom u ovoj disertaciji,
moguće je uzeti u račun dva vodiča u snopu (Slika 7.11), tri simetrično raspoređena vodiča u
snopu (Slika 7.12) i četiri simetrično raspoređena vodiča u snopu (Slika 7.13).
Slika 7.11. Dva vodiča u snopu
Slika 7.12. Tri simetrično raspoređena vodiča u snopu
39
Slika 7.13. Četiri simetrično raspoređena vodiča u snopu
Međusobne poprečne impedancije snopa vodiča i ostalih sastavnica elektromagnetskog
modela računaju se tako da se segment snopa vodiča nadomjesti segmentom jednog
nadomjesnog vodiča u središtu snopa. Vlastita poprečna impedancija ks-tog segmenta snopa
vodiča računa se prema sljedećem izrazu:
n
ZVZV
Z
n
2i
pi
p
pks,ks
111 ∑=
+
= (7.28)
gdje je:
n - ukupan broj vodiča u segmentu snopa vodiča,
p11
ZV - vlastita poprečna impedancija segmenta vodiča broj 1 u ks-tom segmentu snopa
vodiča,
pi1ZV - međusobna poprečna impedancija segmenta vodiča broj 1 i segmenta i-tog vodiča
u ks-tom segmentu snopa vodiča.
40
7.2. Uzdužne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča
Uzdužne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča računaju se na sličan način kao i
poprečne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča. Razlika je u tome što u ovom
slučaju treba uzeti u račun i usmjerenje segmenta i unutarnju impedanciju segmenta kao što je
prikazano na Slici 7.14.
Slika 7.14. Cilindrični segment vodiča i njegov jedinični vektor smjera u homogenom
neograničenom sredstvu
7.2.1. Uzdužne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu
Neka je vlastita uzdužna impedancija cilindričnog segmenta vodiča u homogenom i
neograničenom sredstvu jednaka vlastitoj uzdužnoj kvazistatičkoj impedancija cilindričnog
segmenta vodiča u homogenom i neograničenom sredstvu dobivenoj po Galjerkin-
Bubnovovoj metodi [28]:
( )0
0 r,P2
jZZZ ksks1ks
uks,ks
qnuks,ks
nll ⋅
π⋅
µ⋅ω⋅+⋅== (7.29)
gdje je 1
ksZ unutarnja impedancija po jedinici duljine segmenta, dok je )r,(P0ksl opisano
izrazom (7.2).
Jedinična unutarnja impedancija segmenta ovisi o tome je li segment dio punog
cilindričnog vodiča (Slika 7.15), dio šupljeg cilindričnog vodiča (Slika 7.16), dio punog
dvoslojnog cilindričnog vodiča (Slika 7.17), dio šupljeg dvoslojnog cilindričnog vodiča (Slika
7.18) ili pak dio pravokutnog vodiča (Slika 7.19).
41
Slika 7.15. Poprečni presjek punog cilindričnog vodiča
Slika 7.16. Poprečni presjek šupljeg cilindričnog vodiča
Slika 7.17. Poprečni presjek punog dvoslojnog cilindričnog vodiča
Slika 7.18. Poprečni presjek šupljeg dvoslojnog cilindričnog vodiča
42
Slika 7.19. Poprečni presjek pravokutnog vodiča
Jedinična unutarnja impedancija punog cilindričnog vodiča (Slika 7.15) opisana je
sljedećim izrazom [39-40]:
( )
( )1
10
1 rkJ
rkJ
r2
1kZ
1v
1
ks
⋅
⋅
⋅
⋅π⋅
⋅
σ
= ; 4
j
vv ef2k
π
⋅−
⋅σ⋅µ⋅⋅π⋅= (7.30)
gdje je 1r polumjer vodiča, σv provodnost vodiča, µv permeabilnost vodiča, f frekvencija
struje, ( )10rkJ ⋅ Besselova funkcija prve vrste nultog reda, dok je ( )
1rkJ1 ⋅ Besselova funkcija
prve vrste prvog reda. Besselova funkcija prve vrste n-tog reda, za ,Nn∈ opisana je izrazom
[41-42]:
( )( )∑
∞
=
⋅+
+⋅
⋅
⋅−=⋅0m
m2n
m
n!mn!m
2
rk
)1(rkJ (7.31)
Jedinična unutarnja impedancija šupljeg cilindričnog vodiča (Slika 7.16) opisana je
izrazom [39-40]:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0110
10000
1 rkNrkJrkNrkJ
rkJrkNrkNrkJ
r2
1kZ
1111
111
v
1
ks
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅
⋅π⋅
⋅
σ
= (7.32)
gdje je ( )10rkN ⋅ Neumannova funkcija nultog reda, dok je ( )
1rkN1 ⋅ Neumannova funkcija
prvog reda. Neumannova funkcija n-tog reda, poznata i kao Besselova funkcija druge vrste
n-tog reda, za ,Nn∈ opisana je izrazom [41-42]:
43
( ) ( )
( )( )
( )m2n1n
0m
m
1t
m2n
0m
m
nn
2
rk
!m
!1mn1
nt
1
t
1
2
rk
!mn!m
11
1
rkJ0,577215662
rkln
2rkN
⋅+−−
=
=
⋅+∞
=
⋅⋅
−−⋅
π−
++⋅
⋅⋅
+⋅−⋅
π−
⋅⋅
+
⋅⋅
π=⋅
∑
∑∑ (7.33)
Jedinična unutarnja impedancija dvoslojnog punog cilindričnog vodiča (Slika 7.17) i
dvoslojnog šupljeg cilindričnog vodiča (Slika 7.18) opisana je izrazom [43]:
( ) ( )( ) ( )221
220
2
21
ks
rkNBrkJA
rkNBrkJA
r2
1kZ
122
022
2 ⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅π⋅
⋅
σ
= (7.34)
gdje je za puni dvoslojni cilindrični vodič:
( ) ( ) ( ) ( )120111121110rkNrkJ
krkNrkJ
kA
2
2
1
1⋅⋅⋅⋅
σ
−⋅⋅⋅⋅
σ
= (7.35)
( ) ( ) ( ) ( )121110111120rkJrkJ
krkJrkJ
kB
1
1
2
2⋅⋅⋅⋅
σ
−⋅⋅⋅⋅
σ
= (7.36)
dok je za šuplji dvoslojni cilindrični vodič:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )121011110110011
120011111111011
rkNk
rkNrkJrkNrkJ
rkNk
rkNrkJrkNrkJA
1
1
2
2
⋅⋅
σ
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅
σ
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
(7.37)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )121011110110011
120011111111011
rkJk
rkNrkJrkNrkJ
rkJk
rkNrkJrkNrkJB
1
1
2
2
⋅⋅σ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅σ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=
(7.38)
44
Jedinična unutarnja impedancija pravokutnog ks-tog vodiča (Slika 7.19) opisana je
izrazom [44-45]:
( )
1
1m
2v
21
ksv
)v(th
u
)u(th
1m2
1
ba32Z
−
∞
=
+⋅
−⋅⋅⋅σ⋅
π= ∑ (7.39)
gdje je:
( ) 2
22
a2
1m2bu γ+
⋅
⋅π⋅−⋅
⋅= (7. 40)
( ) 2
22
b2
1m2av γ+
⋅
⋅π⋅−⋅
⋅= (7.41)
4j
vv ef2
π
⋅
⋅σ⋅µ⋅⋅π⋅=γ (7.42)
pri čemu su a i b poluduljine stranica pravokutnika, σv provodnost vodiča, µv permeabilnost
vodiča, f frekvencija struje, dok je γ valna konstanta vodiča.
U posebnom slučaju paralelnosti dvaju jednakih segmenata (Slika 7.20), međusobna
uzdužna impedancija segmenata opisana je izrazom:
( ) ( )d,P2
jssfZfZ ksksisis,ks
uis,ks
qnis,ks
uis,ks
n 0
00l
rr⋅
π⋅
µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=⋅= (7.43)
gdje je is,ksf prigušno-fazni faktor opisan izrazom (7.4), dok je kvazistatička međusobna
impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog segmenta vodiča u homogenom i neograničenom
sredstvu opisana izrazom:
( ) ( )d,P2
jssZ ksksis
uis,ks
qn 0
00l
rr⋅
π⋅
µ⋅ω⋅⋅⋅= (7.44)
pri čemu je ( )d,P ksl opisan izrazom (7.2).
45
Slika 7.20. Dva jednaka međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča
u homogenom neograničenom sredstvu
U općem slučaju paralelnosti dvaju segmenata vodiča (Slika 7.21), is-ti se segment
promatra u lokalnom koordinatnom sustavu (u, v) ks-tog segmenta, gdje su krajnje točke
is-tog segmenta T1(u1, vis) i T2(u2, vis). U ovom slučaju, međusobna uzdužna impedancija
ks-tog i is-tog segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu opisana je izrazom.
( ) ( )4321ksisis,ksu
is,ksqn
is,ksu
is,ks CCCC4
jssfZfZ 0
00−−+⋅
π⋅
µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=⋅=
rr
(7.45)
gdje su Ck ; k = 1, 2, 3, 4 opisani izrazima (7.7) – (7.11), dok je prigušno-fazni faktor is,ksf
opisan izrazom (7.12).
Slika 7.21. Dva različita međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom
neograničenom sredstvu
Prema (7.45), kvazistatička uzdužna impedancija dvaju različitih cilindričnih segmenata
vodiča u homogenom neograničenom sredstvu u općem slučaju paralelnosti opisana je
izrazom:
46
( ) ( )4321ksisu
is,ksqn CCCC
4
jssZ 0
00−−+⋅
π⋅
µ⋅ω⋅⋅⋅=
rr
(7.46)
Za slučaj dvaju neparalelnih cilindričnih segmenata vodiča (Slika 7.22), uzdužna
impedancija u homogenom neograničenom sredstvu opisana je izrazom:
( ) uks,is
ks,isksisis,ks
uis,ks
qnis,ks
uis,ks Z
r
dd
4
jssfZfZ
K
P
K
P
0
00≡
η⋅ξ⋅
π⋅
µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=⋅= ∫∫
η
η
ξ
ξ
rr
(7.47)
gdje je značenje oznaka isto kao i u slučaju međusobne poprečne impedancije neparalelnih
segmenata opisane izrazom (7.14).
Slika 7.22. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom i
neograničenom sredstvu
Slijedi da je međusobna uzdužna impedancija dvaju neparalelnih segmenta vodiča u
homogenom i neograničenom sredstvu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksisis,ks
uis,ks
qnis,ks
uis,ks
,A,A,A,A4
jssf
ZfZ
0
00ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅
π⋅
µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=
⋅=
rr (7.48)
47
gdje je A(ξ,η) opisano izrazom (7.17), dok je prigušno-fazni faktor is,ksf opisan izrazom
(7.12).
Prema (7.48), kvazistatička međusobna uzdužna impedancija dvaju neparalelnih
cilindričnih segmenta vodiča u homogenom i neograničenom sredstvu opisana je izrazom:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksisu
is,ksqn ,A,A,A,A
4
jssZ 0
00ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅
π⋅
µ⋅ω⋅⋅⋅=
rr
(7.49)
7.2.2. Uzdužne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu
Uz prethodno uvedene aproksimacije, vlastita uzdužna impedancija cilindričnog segmenta
vodiča u dvoslojnom sredstvu kad je segment u tlu ili u zraku opisana je izrazom:
uks,ks
qnuks,ks ZZ = (7.50)
gdje je uks,ks
qn Z kvazistatička uzdužna impedancija u neograničenom sredstvu.
Ako se dva segmenta nalaze u dvoslojnom sredstvu, onda je njihova međusobna
impedancija opisana izrazom:
uks,is
uis,ks
qnis,ks
uis,ks Z ZfZ ≡⋅= (7.51)
Ako su oba segmenta u tlu (Slika 7.23), onda je prigušno-fazni faktor opisan izrazom:
11R
is,ks 0
C1 j;ef κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ− (7.52)
gdje je RC udaljenost između središta ks-tog i is-tog segmenata definirana Slikom 7.23.
Slika 7.23. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva
48
Ako su oba segmenta u zraku (Slika 7.24), onda je prigušno-fazni faktor opisan izrazom:
00R
is,ks 0
C0 j;ef κµ⋅ω⋅=γ= ⋅
⋅γ− (7. 53)
Slika 7.24. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstava
Ako su segmenti u različitim sredstvima (Slika 7.25 i 7.26), onda je prigušno-fazni faktor
opisan izrazom:
1100RR
is,ks 00
1C10C0 j;j;ef κµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅
−−⋅γ−⋅γ−
(7.54)
gdje su RC-0 i RC-1 udaljenosti od središta segmenata do površine tla duž spojnice između
središta segmenata.
Slika 7.25. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment
u zraku a is-ti segment u tlu
49
Slika 7.26. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment
u tlu a is-ti segment u zraku
7.2.3. Uzdužne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča
Kod visokonaponskih nadzemnih vodova svaka pojedina faza može imati dva ili više
cilindričnih vodiča u snopu. U računalnom programu moguće je uzeti u račun dva vodiča u
snopu (Slika 7.11), tri simetrično raspoređena vodiča u snopu (Slika 7.12) i četiri simetrično
raspoređena vodiča u snopu (Slika 7.13)
Međusobne uzdužne impedancije snopa vodiča i ostalih sastavnica elektromagnetskog
modela računaju se tako da se segment snopa vodiča nadomjesti segmentom jednog vodiča u
središtu snopa. Vlastita uzdužna impedancija ks-tog segmenta snopa vodiča računa se prema
sljedećem izrazu:
n
ZVZV
Z
n
2i
ui
u
uks,ks
111 ∑=
+
= (7.55)
gdje je:
n - ukupan broj vodiča u segmentu snopa vodiča,
u
11ZV - vlastita uzdužna impedancija segmenta vodiča broj 1 u ks-tom segmentu snopa
vodiča,
u
i1ZV - međusobna uzdužna impedancija segmenta vodiča broj 1 i segmenta i-tog vodiča,
koji pripadaju razmatranom ks-tom segmentu snopa vodiča.
50
7.3. Poprečne impedancije kružnih metalnih ploča
7.3.1. Poprečne impedancije ploča u neograničenom sredstvu
Vlastita poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče, polumjera pa u
homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti κ (Slika 7.27) opisana je
izrazom [46]:
κ⋅⋅
==
p
p
p,p
qnp
p,p
n
a8
1ZZ (7.56)
Slika 7.27. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom neograničenom sredstvu
kompleksne provodnosti κ
Gustoća struje koju ploča s obje strane ispušta u okolno homogeno i neograničeno sredstvo
opisana je izrazom [46]:
IN
raa2
IJ
22
⋅=
−⋅⋅π⋅
= (7.57)
gdje je, prema nazivlju metode konačnih elemenata za ploču postavljenu u cilindrični
koordinatni sustav:
22raa2
1N
−⋅⋅π⋅
= (7.58)
oblikovna funkcija.
51
Neka su dvije kružne međusobno paralelne metalne ploče p i q, različitih polumjera pa i
,aq smještene u homogenom i neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti κ , čiji su
centri horizontalno udaljeni za RC i vertikalno udaljeni za c
z (Slika 7.28).
Slika 7.28. Dvije paralelne kružne metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu
Lako se dobije da je međusobna impedancija ploča u homogenom neograničenom sredstvu
po Galjerkin-Bubnovovoj metodi opisana izrazom [47]:
pp,q
n
S
cqq,ppq,p
qnq,p
pq,p
n ZdS),z,r,a(PNfZfZ
p
≡⋅κ⋅⋅=⋅= ∫∫ (7.59)
gdje je:
( )( )z,a,ra
tana4
1,z,r,aP
1
α
⋅
κ⋅⋅π⋅
=κ− (7.60)
dok je veličina α opisana izrazom (6.22), N izrazom (7.50), a prigušno-fazni faktor opisuje
izraz:
C
2
c
2
c Rγzrγ
qp, eef⋅−+⋅−
== (7.61)
gdje je RC udaljenost između središta razmatranih ploča.
52
Za potrebe 2D numeričko-analitičke integracije po površini p-te ploče površine Sp
naznačene u izrazu (7.59), polovica p-te ploče podijeljena je na 25 dijelova u polarnom
koordinatnom sustavu (ρ, ϑ), a svakom od tih dijelova pridružena je po jedna integracijska
točka tako da duž osiju ρ i ϑ ima po 5 integracijskih točaka. Dakle, integracijske točke su
( )ji , ϑρ i = 1, 2, ..., 5; j = 1, 2, ..., 5 (Slika 7.29).
Slika 7.29. Podjela p-te ploče za potrebe 2D numeričko-analitičke integracije
Vrijedi da je:
ii
ua ⋅=ρ (7.62)
jj u⋅π=ϑ (7.63)
gdje su ui i uj , i = 1, 2, ..., 5; j = 1, 2, ..., 5 koordinate Gaussovih integracijskih točaka u
lokalnom 1D koordinatnom sustavu prikazane u Tablici 7.1.
Horizontalna udaljenost pojedine integracijske točke ( )ji , ϑρ ploče p od središta ploče q
(Slika 7.30) opisana je izrazom:
jci2c
2iij cosr2rr ϑ⋅⋅ρ⋅−+ρ= (7.64)
gdje je rc horizontalna udaljenost središta ploča.
53
Slika 7.30. Horizontalna udaljenost integracijske točke p-te ploče od središta q-te ploče
Korištenjem numeričko-analitičke integracije, izraz (7.59) poprima oblik [47]:
pp,q
n5
1i
5
1j
ijcijqq,ppq,p
qnq,p
pq,p
n ZWH),z,r,a(PfZfZ ≡⋅⋅κ⋅=⋅= ∑ ∑= =
(7.65)
gdje je ),z,r,a(P cijq κ opisan izrazom (7.60), dok je:
2
p
ei
2
p
sii
a1
a1d2NW
ei
si
ρ−−
ρ−=ρ⋅ρ⋅π⋅⋅= ∫
ρ
ρ
(7.66)
gdje su granice integrala:
k
i
1kpei Ha
=
∑⋅=ρ (7.67)
ipeisi Ha ⋅−ρ=ρ (7.68)
Analitičkom integracijom izraza (7.66) dobije se sljedeći izraz:
ρ
−−ρ
−=
p
ei
2
p
si
2
ia
1
a
1W (7.69)
U Tablici 7.1 dane su koordinate Gaussovih integracijskih točaka ju i njima pripadne
težinske funkcije jH za j =1, 2, …, 5 za lokalni 1D koordinatni sustav.
54
Tablica 7.1. Koordinate Gaussovih integracijskih točaka
i njima pripadne težinske funkcije
j ju jH
1
7
1025
6
1
2
1⋅+⋅−
1800
7013322 ⋅−
2
7
1025
6
1
2
1⋅−⋅−
1800
7013322 ⋅+
3
2
1
225
64
4
7
1025
6
1
2
1⋅−⋅+
1800
7013322 ⋅+
5
7
1025
6
1
2
1⋅+⋅+
1800
7013322 ⋅−
Prema izrazu (7.65), kvazistatička međusobna impedancija kružnih metalnih ploča u
homogenom i neograničenom sredstvu opisana je izrazom:
pp,q
qn5
1i
5
1j
ijcijqpq,p
qnZWH),z,r,a(PZ ≡⋅⋅κ=∑ ∑
= =
(7.70)
7.3.2. Poprečne impedancije ploča u dvoslojnom sredstvu
Neka je p-ta ekvipotencijalna kružna metalna ploča polumjera ap ukopana u tlo na dubini
hp (Slika 7.31).
Slika 7.31. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva
55
Ako se primijeni metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.32), vlastita poprečna
impedancija p-te ploče koja se nalazi u tlu dvoslojnog sredstva opisana je izrazom:
p
p,p
qn1r
pp,p
qnpp,p r
ZkZZ ⋅+= (7.71)
gdje je:
p
p,p
qnZ - kvazistatička vlastita poprečna impedancija p-te ploče u homogenom
neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti tla 1
κ opisana izrazom
(7.56),
p
p,p
qnr
Z - kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te ploče i njene
refleksijske slike u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne
provodnosti tla 1κ opisana izrazom (7.70),
1rk - faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.9).
Slika 7.32. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva i
njezina kvazistatička refleksijska slika
Međutim, u ovom slučaju, zbog simetričnog položaja slike ploče u odnosu na ploču, vrijedi
jednostavniji izraz od izraza (7.59) za međusobnu kvazistatičku poprečnu impedanciju ploče i
njene refleksijske slike [47]:
∑=
⋅κ⋅=
5
1j
jpjpp,p
qn W),h2,r,a(PZ r (7.72)
56
gdje je:
aur jj ⋅= (7.73)
∫ −−−=⋅⋅⋅⋅=
a
ejr2
1a
sjr2
1
r
r
drrπ2NW
ej
sj
j (7.74)
k
j
1kej Har
=
∑⋅= (7.75)
jejsj Harr ⋅−= (7.76)
I u ovom slučaju, koordinate Gaussovih integracijskih točaka ju i njima pripadne težinske
funkcije jH navedene su u Tablici 7.1.
Neka su dvije metalne ploče ukopane u homogeno tlo te neka su ploče paralelne u
odnosu na površinu tla (Slika 7.33). Neka je pC centar (središte) ploče p, a qC centar
(središte) ploče q:
( )pppp z,y,xC = (7.77)
( )qqqq z,y,xC = (7.78)
Slika 7.33. Kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu
57
Međusobna impedancija ploča u homogenom tlu lako se dobije iz izraza za međusobnu
impedanciju dviju ploča u homogenom i neograničenom sredstvu, uz korištenje metode
odslikavanja (Slika 7.34).
Slika 7.34. Odslikavanje q-te kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu
Konačni izraz za međusobnu impedanciju ploča u homogenom tlu glasi:
( )r
q,p
qn1rq,p
qnq,pq,p
nZkZfZ ⋅+⋅= (7.79)
gdje je:
q,p
qnZ - kvazistatička međusobna impedancija kružnih metalnih ploča u homogenom i
neograničenom sredstvu opisana izrazom (7.70),
r
q,p
qnZ - kvazistatička međusobna impedancija p-te kružne metalne ploče i
refleksijske slike q-te metalne ploče u homogenom i neograničenom sredstvu
opisana izrazom (7.72),
1rk - faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.9).
Prigušno-fazni faktor opisan je izrazom
c1 Rq,p ef
⋅γ−= (7.80)
gdje je:
( ) ( ) ( )2qp2
qp2
qp2c
2cc hhyyxxzrR −+−+−=+= (7.81)
međusobna udaljenost između središta ploča.
58
7.4. Međusobna poprečna impedancija metalne ploče i pravocrtnog
segmenta vodiča
7.4.1. Međusobna impedancija ploče i segmenta vodiča u neograničenom sredstvu
Neka se ks-ti cilindrični segment vodiča i p-ta ekvipotencijalna kružna metalna ploča
polumjera ap nalaze u homogenom i neograničenom sredstvu (Slika 7.35). Njihova
međusobna poprečna impedancija opisana je izrazom:
( ) j
n
1j
jjpp,ksp
p,ksqn
p,ksp
p,ksn
H,z,r,aPfZfZ ⋅κ⋅=⋅= ∑=
(7.82)
gdje su ( )jj z,r lokalne koordinate j-te Gaussove integracijske točke u cilindričnom
koordinatnom sustavu ploče (r, z) prema Slici 7.29, dok je jH težinski faktor j-te
integracijske točke dan u Tablici 7.1.
Slika 7.35. Cilindrični segment vodiča i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom
neograničenom sredstvu
Lokalne koordinate ( )jj z,r Gaussovih integracijskih točaka mogu se izračunati iz
globalnih koordinata Cp(xp, yp, zp) središta p-te metalne ploče i globalnih koordinata
Gaussovih integracijskih točaka koje su opisane izrazima:
( ) ksKjksPjj xuxu1x−−
⋅+⋅−= (7.83)
( ) ksKjksPjj yuyu1y−−
⋅+⋅−= (7.84)
( ) ksKjksPjj zuzu1z−−
⋅+⋅−= (7.85)
59
gdje je P(xP, yP, zP) početna točka ks-tog segmenta, K(xK, yK, zK) konačna točka ks-tog
segmenta, dok su uj lokalne koordinate Gaussovih integracijskih točaka dane u Tablici 7.1.
Prema izrazu (7.82), kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta
vodiča i p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče opisana je izrazom:
( ) j
n
1j
jjpp
p,ksqn
H,z,r,aPZ ⋅κ⋅= ∑=
(7.86)
7.4.2. Međusobna impedancija ploče i segmenta vodiča u homogenom tlu
Ako se ks-ti cilindrični segment vodiča i p-ta ekvipotencijalna kružna metalna ploča nalaze
u homogenom tlu dvoslojnog sredstva (Slika 7.36) i ako se primijeni metoda kvazistatičkog
odslikavanja (Slika 7.37), njihova međusobna impedancija opisana je izrazom:
( ⋅+⋅= p
p,ks
qn1r
pp,ks
qnp,ks
pp,ks r
ZkZfZ (7.87)
gdje je:
p
pks,
qnZ - kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta vodiča i
p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče opisana izrazom (7.86),
p
pks,
qnr
Z - kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog vodiča i
refleksijske slike p-te metalne ploče u homogenom i neograničenom sredstvu
Prigušno-fazni faktor opisan je izrazom
c1 Rp,ks ef
⋅γ−= (7.88)
gdje je RC međusobna udaljenost između središta p-te ploče i središta ks-tog segmenta, dok je
1rk faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.9).
60
Slika 7.36. Cilindrični segment vodiča i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u
homogenom tlu dvoslojnog sredstva
Slika 7.37. Cilindrični segment vodiča, ekvipotencijalna kružna metalna ploča i njena
refleksijska slika s obzirom na površinu tla
Ako se ks-ti cilindrični segment vodiča nalazi u zraku, a p-ta ekvipotencijalna kružna
metalna ploča u homogenom tlu dvoslojnog sredstva i ako se primijeni metoda kvazistatičkog
odslikavanja (Slika 7.38), njihova međusobna impedancija opisana je izrazom:
p
p,ks
qn1tp,ks
pp,ks t
ZkfZ ⋅⋅= (7.89)
61
gdje je:
p
pks,
qnt
Z - kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog vodiča i
transmisijske slike p-te metalne ploče u homogenom i neograničenom
sredstvu, opisana izrazom (7.86) za 0κ
1tk - faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom (6.13),
p,ksf - prigušno-fazni faktor.
U izrazu (7.89) prigušno-fazni faktor opisan je izrazom:
0C01C1 RRp,ks ef −−
⋅γ−⋅γ−= (7.90)
Slika 7.38. Cilindrični segment vodiča u zraku i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u
homogenom tlu dvoslojnog sredstva
62
7.5. Poprečne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela
Na Slici 7.39 prikazani su svi slojevi jednožilnog visokonaponskog kabela vrste XHE 49
koji ima vanjski izolacijski plašt.
Slika 7.39. Jednožilni kabel XHE 49
Dijelovi kabela prikazanog na Slici 7.39 su:
1 - Vodič koji može biti zbijeno aluminijsko ili bakreno uže,
2 - Ekran vodiča od poluvodljivog sloja na vodiču,
3 - Izolacija od umreženog polietilena (XLPE),
4 - Ekran izolacije od ekstrudiranog poluvodljivog sloja na izolaciji,
5 - Unutarnji separator od poluvodljivih bubrivih traka,
6 - Metalni ekran od bakrene žice s kontraspiralom od bakrene trake,
7 - Vanjski separator od poluvodljivih bubrivih traka,
8 - Laminirani plašt od aluminijske ili bakrene trake s kopolimerom,
9 - Vanjski plašt od membranske polietilenske (HDPE) zaštite.
Osim izolacijskih i poluvodljivih slojeva, jednožilni kabel, u općem slučaju, može imati
jedan ili više metalnih ekrana (Slika 7.40), jedan fazni vodič te jedan ili više slojeva metalne
armature [48]. Za analizu i razvoj elektromagnetskog modela u prvom koraku uzima se da je
jednožilni kabel goli vodič koji ima polumjer jednak vanjskom polumjeru kabela. U drugom
se koraku uzima da samo poprečna struja metalnog ekrana i poprečna struja faznog vodiča
teče od ekrana ili faznog vodiča prema rubu kabela, tj. da se poprečne struje drugih segmenata
vodiča, koji ne pripadaju razmatranom segmentu kabela, ne mogu probiti do metalnih ekrana i
faznog vodiča razmatranog segmenta kabela.
63
Slika 7.40. Jednožilni kabel XHEh 91
Dijelovi kabela prikazanog na Slici 7.40 su:
1 - Vodič koji može biti zbijeno aluminijsko ili bakreno uže,
2 - Ekran vodiča od poluvodljivog sloja na vodiču,
3 - Izolacija od umreženog polietilena (XLPE),
4 - Ekran izolacije od ekstrudiranog poluvodljivog sloja na izolaciji,
5 - Metalni ekran od bakrene žice s kontraspiralom od bakrene trake obložen
vodonepropusnim slojem,
6 - Plašt od poluvodljivog polietilena (PE),
7 - Dodatna električna zaštita od pokositrene bakrene žice u dva sloja.
U razvijenom elektromagnetskom modelu, raspodjela skalarnog električnog potencijala
uslijed poprečnih struja vodiča segmenta jednožilnih kabela računa se na isti način kao i za
segmente golih vodiča (podpoglavlje 6.1). Pritom raspodjeli potencijala u okolnom sredstvu
doprinose poprečne struje svih vodiča razmatranog segmenta jednožilnog kabela.
Što se tiče vlastitih i međusobnih impedancija, izolacijski, poluvodljivi i vodljivi slojevi
jednožilnog kabela utječu samo na izračun vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija
vodiča razmatranog segmenta jednožilnog kabela. Osim toga, kvazistatičke slike segmenata
vodiča jednožilnih kabela na isti način doprinose vlastitim i međusobnim poprečnim
impedancijama kao da se radi o kvazistatičkim slikama golih vodiča. To vrijedi i za
međusobne poprečne impedancije segmenata vodiča koji pripadaju različitim segmentima
jednožilnih kabela, tj. njih u elektromagnetskom modelu razmatramo kao da se radi o golim
vodičima u homogenom neograničenom sredstvu pa se njihove međusobne impedancije
računaju prema izrazima (7.6) – (7.18)
Važno je napomenuti da su u elektromagnetski model za izračun raspodjele struje
zemljospoja uključeni samo fazni vodiči zračnih vodova i kabela kojima teče dio struje
zemljospoja, odnosno fazni vodiči čije struje napajaju mjesto kvara.
64
7.5.1. Vlastita poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela u
homogenom neograničenom sredstvu
Neka se za segment jednožilnog kabela razmatra ukupno n izolacijskih, poluvodljivih ili
vodljivih slojeva te neka se segment kabela nalazi u homogenom neograničenom sredstvu
kompleksne provodnosti κ (Slike 7.41 i 7.42). U općem slučaju, razmatrani segment
jednožilnog kabela može imati jedan fazni vodič i proizvoljan broj metalnih ekrana i metalnih
armatura. Ako se u elektromagnetskom modelu razmatra i fazni vodič segmenta jednožilnog
kabela, onda je fazni vodič prvi sloj razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela, koji se
numerički modelira kao puni ili pak kao šuplji vodič. Ako se u elektromagnetskom modelu ne
razmatra fazni vodič segmenta jednožilnog kabela, onda je unutarnji metalni ekran prvi sloj
razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela (Slika 7.41). U posebnom slučaju, kad se
razmatra fazni vodič i kad se segment faznog vodiča numerički modelira kao puni cilindrični
vodič, unutarnji polumjer razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela r0 = 0 (Slika 7.42).
U slučaju kad se za razmatrani fazni vodič segment faznog vodiča numerički modelira kao
šuplji cilindrični vodič, unutarnji polumjer razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela
r0 > 0 i vrijedi Slika 7.41.
Slika 7.41. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu
kad je prvi sloj šuplji vodič
65
Slika 7.42. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu
kad je prvi sloj puni vodič
Vlastita poprečna impedancija kv-tog vodiča segmenta jednožilnog kabela može se opisati
izrazom izvorno dobivenim korištenjem metode srednjeg potencijala [31-32], [49]:
( ) ( ) ( )
∑+=
−
⋅κ⋅π⋅
−
+
⋅κ⋅π⋅
==
n
1ikvi2kvi
ikv1ikv
2kv
nkvpkv,kv
qnpkv,kv
n
2
r,Pr,P
2
r,PZZ
l
ll
l
l
(7.91)
gdje je ( )v,P l opisan izrazom (7.2), dok je ikv redni broj sloja razmatranog dijela segmenta
jednožilnog kabela koji pripada kv-tom vodiču.
7.5.2. Međusobna poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela u
homogenom neograničenom sredstvu
Međusobna poprečna impedancija kd-tog i kg-tog vodiča (kd < kg) razmatranog segmenta
jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu (Slike 7.43 i 7.44) opisana je
izrazom:
pkd,kg
qnpkg,kg
npkg,kd
qnpkg,kd
nZZZZ ≡== (7.92)
Dakle, međusobna poprečna impedancija kd-tog segmenta donjeg vodiča i kg-tog
segmenta gornjeg vodiča, koji pripadaju istom segmentu jednožilnog kabela u homogenom
neograničenom sredstvu, jednaka je vlastitoj poprečnoj impedanciji gornjeg segmenta vodiča
u homogenom neograničenom sredstvu.
66
7.6. Uzdužne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela
Kao i kod izračuna poprečnih impedancija segmenata jednožilnih kabela, u prvom koraku
uzima se da je jednožilni kabel goli vodič koji ima polumjer jednak vanjskom polumjeru
kabela. U razvijenom elektromagnetskom modelu, raspodjela vektorskog magnetskog
potencijala uslijed uzdužnih struja segmenata jednožilnih kabela računa se na isti način kao i
za segmente golih vodiča (podpoglavlje 6.3). Pritom raspodjeli vektorskog magnetskog
potencijala u okolnom sredstvu doprinose uzdužne struje svih vodiča razmatranog segmenta
jednožilnog kabela.
Što se tiče vlastitih i međusobnih impedancija, permeabilnosti izolacijskih, poluvodljivih i
vodljivih slojeva razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela utječu samo na izračun
vlastitih i međusobnih impedancije segmenata vodiča koji pripadaju istom segmentu
jednožilnog kabela. To znači da uzdužne struje segmenata metalnih ekrana i faznih vodiča
koji pripadaju različitim segmentima jednožilnih kabela na isti način doprinose vlastitim i
međusobnim uzdužnim impedancijama kao da se radi o golim vodičima u homogenom
neograničenom sredstvu.
7.6.1. Vlastita uzdužna impedancija segmenata vodiča jednožilnih kabela
Neka se za segment jednožilnog kabela razmatra ukupno n izolacijskih, poluvodljivih ili
vodljivih slojeva različitih permeablinosti te neka se segment kabela nalazi u homogenom
neograničenom sredstvu permeabilnosti µ0 (Slike 7.43 i 7.44). U općem slučaju, razmatrani
segment jednožilnog kabela može imati jedan fazni vodič i proizvoljan broj metalnih ekrana i
metalnih armatura. Ako se u elektromagnetskom modelu razmatra i fazni vodič segmenta
jednožilnog kabela, onda je fazni vodič prvi sloj razmatranog dijela segmenta jednožilnog
kabela, koji se numerički modelira kao puni ili pak kao šuplji vodič. Ako se u
elektromagnetskom modelu ne razmatra fazni vodič segmenta jednožilnog kabela, onda je
unutarnji metalni ekran prvi sloj razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela (Slika 7.43).
U posebnom slučaju, kad se razmatra fazni vodič i kad se segment faznog vodiča numerički
modelira kao puni cilindrični vodič, unutarnji polumjer razmatranog dijela segmenta
jednožilnog kabela r0 = 0 (Slika 7.44). U slučaju kad se razmatra fazni vodič i kad se segment
faznog vodiča numerički modelira kao šuplji cilindrični vodič, unutarnji polumjer
razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela r0 > 0 i vrijedi Slika 7.43.
67
Slika 7.43. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom
sredstvu kad je prvi sloj šuplji vodič
Slika 7.44. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom
sredstvu kad je prvi sloj puni vodič
Vlastita uzdužna impedancija kv-tog segmenta vodiča razmatranog segmenta jednožilnog
kabela može se opisati izrazom izvorno dobivenim korištenjem metode srednjeg potencijala:
68
( ) ( ) ( )
∑+=
−
π⋅
−⋅µ⋅ω⋅+
π⋅µ⋅ω⋅+
⋅==
⋅
n
1ikvi
ikv1ikvi
nkv
kv1kv
ukv,kv
qnukv,kv
n
2
r,Pr,Pj
2
r,Pj
ZZZ
0
lll
l
(7.93)
gdje je ( )v,P l opisan izrazom (7.2), dok je ikv redni broj sloja razmatranog dijela segmenta
jednožilnog kabela koji pripada kv-tom vodiču, a jedinična unutarnja impedancija segmenta
kv-tog vodiča 1kvZ opisana je izrazom (7.31).
7.6.2. Međusobna uzdužna impedancija segmenata vodiča jednožilnih kabela
Međusobna uzdužna impedancija kd-tog i kg-tog vodiča (kd < kg) razmatranog segmenta
jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu (Slike 7.43 i 7.44) opisana je
izrazom:
ukd,kg
qnkg
1kg
ukg,kg
nukg,kd
qnukg,kd
nZZZZZ ≡⋅−== l (7.94)
Dakle, međusobna uzdužna impedancija segmenata vodiča, koji pripadaju istom segmentu
jednožilnog kabela, u homogenom neograničenom sredstvu jednaka je vlastitoj uzdužnoj
vanjskoj impedanciji gornjeg segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu.
Drugim riječima, međusobna uzdužna impedancija segmenata vodiča, koji pripadaju istom
segmentu jednožilnog kabela, u homogenom neograničenom sredstvu jednaka je vlastitoj
uzdužnoj impedanciji gornjeg segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu
umanjenoj za unutarnju impedanciju tog gornjeg segmenta vodiča.
7.7. Poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnih kabela
Trožilni kabeli mogu imati različite izvedbe s obzirom na metalni ekran koji sudjeluje u
raspodjeli struje zemljospoja. Najčešće su izvedbe trožilnih kabela:
• Kabel s vanjskim olovnim plaštom koji je ujedno i jedini metalni ekran (Slika 7.45),
• Kabel sa zajedničkim metalnim ekranima (Slika 7.46),
• Kabel s metalnim ekranima oko svakog od tri fazna vodiča (Slika 7.47), i
zajedničkim metalnim ekranima ili zajedničkim metalnim armaturama.
69
Slika 7.45. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštom
Dijelovi kabela prikazanog na Slici 7.45 su:
1 - Vodič od bakrenog ili aluminijskog zbijenog užeta,
2 - Slojevi izolacije oko vodiča,
3 - Izolacija s unutarnjom ispunom,
4 - Izolacija prvog sloja,
5 - Slojevi završne izolacije,
6 - Olvni plašt koji je i jedini metalni ekran,
Slika 7.46. Trožilni kabel s jednim zajedničkim metalnim ekranom
70
Dijelovi kabela prikazanog na Slici 7.46 su:
1 - Vodič od bakrenog ili aluminijskog zbijenog užeta,
2 - Slojevi izolacije oko vodiča,
3 - Izolacija s unutarnjom ispunom,
4 - Izolacija prvog sloja,
5 - Slojevi završne izolacije,
6 - Zajednički metalni ekran,
7 - Slojevi izolacije iza ekrana,
8 - Vanjski plašt izolacije.
Slika 7.47. Trožilni kabel XHE49 s metalnim ekranima oko faznih vodiča i zajedničkom
metalnom armaturom
Dijelovi kabela prikazanog na Slici 7.47 su:
1 - Vodič od zbijenog bakrenog užeta,
2 - Ekran vodiča od poluvodljivog sloja na vodiču,
3 - Izolacija od umreženog polietilena (XLPE),
4 - Ekran izolacije od poluvodljivog sloja na vodiču,
5 - Električna zaštita / ekran od bakrene trake, uzdužno i poprečno vodonepropusne,
6 - Unutarnji plašt od polietilenske (PE-HD) izolacije,
7 - Armatura od čelične okrugle žice, vodonepropusne izvedbe,
8 - Vanjski plašt od polietilenske (PE-HD) izolacije.
71
Vlastite i međusobne poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnog kabela s
vanjskim olovnim plaštom koji je ujedno i jedini metalni ekran računaju se tako da se:
• Vanjski metalni plašt razmatra kao goli šuplji vodič,
• Kod izračuna vlastite impedancije pojedinog segmenta faznog vodiča i međusobne
impedancije faznog vodiča i vanjskog metalnog plašta istog segmenta kabela koriste
jednadžbe izvedene za jednožilni kabel, tj. razmatrani fazni vodič i njegova vlastita
izolacija smještaju se u središte kabela (Slika 7.48),
• Kod izračuna međusobne impedancije segmenata dvaju faznih vodiča istog segmenta
kabela ta se impedancija računa kao vlastita vanjska impedancija segmenta faznog
vodiča jednožilnog kabela kojemu je polumjer jednak razmaku između središta faznih
vodiča d, a oko njega se nalaze cilindrični slojevi sa značajkama slojeva trožilnog
kabela (Slika 7.49).
Vlastite i međusobne poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnog kabela s
jednim zajedničkim metalnim ekranom računaju se po istom pravilu kao i vlastite i
međusobne poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnog kabela s vanjskim
olovnim plaštom. Razlika je jedino u tome što zajednički metalni ekran nije goli vodič.
Slika 7.48. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštom nadomješten faznim vodičem u središtu
kabela (oznake slojeva kao na Slici 7.45)
72
Slika 7.49. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštom nadomješten faznim vodičem u središtu
kabela čiji je polumjer jednak razmaku između središta dvaju faznih vodiča
(oznake slojeva kao na Slici 7.45)
Vlastite i međusobne poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnog kabela s
metalnim ekranima oko svakog od tri fazna vodiča računaju se tako da:
• Kod izračuna vlastite impedancije segmenta pojedinog metalnog ekrana, vlastite
impedancije pojedinog faznog vodiča i međusobne impedancije faznog vodiča i njemu
pripadnog metalnog ekrana koriste jednadžbe izvedene za jednožilni kabel, a
razmatrani fazni vodič, njegov metalni ekran i njegova vlastita izolacija smještaju se u
središte kabela (Slika 7.50),
• Kod izračuna međusobne impedancije segmenata dvaju faznih vodiča koji pripadaju
istom segmentu kabela ta se impedancija računa kao vlastita vanjska impedancija
segmenta faznog vodiča jednožilnog kabela kojemu je polumjer jednak razmaku
između središta faznih vodiča d, a oko njega se nalaze cilindrični slojevi sa
značajkama zajedničkih slojeva faznih vodiča trožilnog kabela (Slika 7.51),
• Međusobne impedancije jednog faznog vodiča i metalnog ekrana drugog faznog
vodiča jednake su međusobnoj impedanciji dvaju faznih vodiča,
• Međusobne impedancije dvaju metalnih ekrana jednake su međusobnim
impedancijama dvaju faznih vodiča.
73
Slika 7.50. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten jednim
faznim vodičem sa svojim ekranom u središtu kabela (oznake slojeva kao na Slici 7.47)
Slika 7.51. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten faznim
vodičem u središtu kabela čiji je polumjer jednak razmaku središta dvaju faznih vodiča
(oznake slojeva kao na Slici 7.47)
74
U posebnom slučaju kad trožilni kabel ima metalne ekrane oko svakog od tri fazna vodiča
koji ne napajaju mjesto zemljospoja, fazni vodiči se mogu zanemariti pa se tada, radi
simetrije, sva tri metalna ekrana mogu nadomjestiti jednim metalnim ekranom, a vlastite
impedancije nadomjesnog ke-tog segmenta metalnog ekrana opisane su izrazima:
3
Z2ZZZ
ptmedj
nptvl
np
ke,keqnp
ke,ken
⋅+
== (7.95)
3
Z2ZZZ
utmedj
nutvl
nu
ke,keqnu
ke,ken ⋅+
== (7.96)
gdje je:
−
ptvl
nZ vlastita poprečna impedancija segmenta metalnog ekrana trožilnog kabela,
−
ptmedj
nZ međusobna poprečna impedancija dvaju metalnih ekrana istog segmenta
trožilnog kabela,
−
utvl
nZ vlastita uzdužna impedancija segmenta metalnog ekrana trožilnog kabela,
−
utmedj
nZ međusobna uzdužna impedancija dvaju metalnih ekrana istog segmenta
trožilnog kabela.
U praksi se može pojaviti i slučaj podmorskog trožilnog kabel s jednim ili više olovnih
ekrana i vanjskom metalnom armaturom koja se uzemljuje na oba kraja i praktično je u
izravnom električnom kontaktu s morem jer je oko nje morem natopljena mehanička zaštita,
koja se u elektromagnetskom modelu zanemaruje. Pritom je moguće i da svaki od faznih
vodiča ima svoj dodatni olovni ekran (Slika 7.52). Vlastite i međusobne poprečne i uzdužne
impedancije ovakvih trožilnih kabela s dva ili više zajednička metalna ekrana i eventualno s
dodatnim metalnim ekranima faznih vodiča računaju se po istim pravilima kao i vlastite i
međusobne poprečne i uzdužne impedancije trožilnog kabela s vanjskim olovnim plaštom,
odnosno kao vlastite i međusobne poprečne i uzdužne impedancije jednožilnog kabela s dva
metalna ekrana. Dakle, ista logika vrijedi bez obzira na ukupan broj i razmještaj metalnih
ekrana, gdje se pod metalnim ekranom podrazumijeva i svaka na oba kraja uzemljena
armatura. To znači da se metalna armatura uzemljena na oba kraja, u elektromagnetskom
modelu, razmatra kao da je i ona metalni ekran uzemljen na oba kraja.
75
Slika 7.52. Trožilni kabel s olovnim ekranom oko svakog faznog vodiča, zajedničkim olovnim
ekranom i armaturom koja se uzemljuje
76
8. SUSTAVI JEDNADŽBI ELEKTROMAGNETSKOG MODELA
8.1. Lokalni sustav jednadžbi konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica
U elektromagnetskom su modelu konduktivno i kapacitivno spregnuti cilindrični segmenti
vodiča i nadomjesne metalne ploče. Cilindrični segmenti vodiča mogu pripadati golim
vodičima u tlu ili zraku te izoliranim vodičima (kabelima) ukopanim u tlo. Za dvoslojno
sredstvo, kojeg tvore zrak i homogeno tlo, potpuni lokalni sustav jednadžbi za poprečne struje
lokalnih čvorova međusobno konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog
elementa glasi [28]:
[ ] pcpIY =Φ⋅ (8.1)
[ ] [ ] [ ] [ ]p1pTpp AZAY ⋅⋅=
−
(8.2)
gdje je:
[ ]pY - matrica vlastitih i međusobnih poprečnih admitancija lokalnih čvorova međusobno
konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog elementa,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore sve međusobno
konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,
pcI - vektor poprečnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore
konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice konačnog elementa,
[ ]pZ - matrica vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija konduktivno i kapacitivno
spregnutih sastavnica konačnog elementa,
[ ]pA - matrica poprečne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih
čvorova.
Neka je ukupan broj međusobno konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica
konačnog elementa nps te neka su označene prirodnim brojevima od 1 do nps. Neka je
ukupan broj lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore konduktivno i kapacitivno
spregnute sastavnice konačnog elementa npc te neka su označeni prirodnim brojevima od 1
do npc. Koeficijenti matrice poprečne veze, sastavnica – lokalni čvor, opisani su sljedećim
izrazom:
77
=
inace 0
cvorti-icpripadakojemsegmentsastavnicata-isjeako2
1
cvorti-icpripadakojojlocapsastavnicata-isjeako1
Apic,is (8.3)
Prema tehnici konačnih elemenata [50], iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi (8.1)
slijedi nepotpuni lokalni sustav jednadžbi za poprečne struje lokalnih čvorova konduktivno i
kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog elementa koji glasi:
[ ] 0Yp
=Φ⋅ (8.4)
8.2. Lokalni sustav jednadžbi induktivno spregnutih sastavnica
U elektromagnetskom su modelu induktivno spregnuti samo cilindrični segmenti vodiča
koji mogu pripadati golim vodičima u tlu ili zraku te izoliranim vodičima (kabelima)
ukopanim u tlo. Za dvoslojno sredstvo, kojeg tvore zrak i homogeno tlo, potpuni lokalni
sustav jednadžbi za uzdužne struje lokalnih čvorova međusobno induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa glasi [25]:
[ ] ucu
IY =Φ⋅ (8.5)
[ ] [ ] [ ] [ ]u1uTuuAZAY ⋅⋅=
−
(8.6)
gdje je:
[ ]uY - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih admitancija lokalnih čvorova međusobno
induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore međusobno
induktivno spregnute sastavnice konačnog elementa,
ucI - vektor uzdužnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore
međusobno induktivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,
[ ]uZ - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih impedancija induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa,
[ ]uA - matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa
i njihovih lokalnih čvorova.
78
Neka je ukupan broj međusobno induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa nus
te neka su označene prirodnim brojevima od 1 do nus. Neka je ukupan broj lokalnih čvorova
konačnog elementa kojeg tvore međusobno induktivno spregnute sastavnice nuc te neka su
označeni prirodnim brojevima od 1 do nuc. Koeficijenti matrice uzdužne veze, sastavnica –
lokalni čvor, opisani su sljedećim izrazom:
−−
−
=
inace 0
sastavniceteiscvorkrajnjicvorti-cijeako1
sastavniceteiscvorpocetnicvorti-cijeako1
Auic,is (8.7)
Prema tehnici konačnih elemenata, iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi (8.5) slijedi
nepotpuni lokalni sustav jednadžbi za uzdužne struje lokalnih čvorova induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa koji glasi:
[ ] 0Yu
=Φ⋅ (8.8)
Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi (8.8) i potpuni lokalni sustav jednadžbi (8.5) vrijede za
elektromagnetski model u kojem su fazni vodiči kojima teku struje zemljospoja i
transformatori sastavnice modela. Međutim, ako postoji potreba da se u izračunu koriste
drugim algoritmom izračunate struje zemljospoja koje teku faznim vodičima ili samo nulta
komponenta tih struja, onda nepotpuni lokalni sustav jednadžbi glasi:
[ ] [ ] [ ] [ ] dfsf1
uT
uuIIZZAY =⋅⋅⋅=Φ⋅
−
(8.9)
gdje je:
[ ]uY - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih admitancija lokalnih čvorova međusobno
induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa bez pripadnih faznih vodiča,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore induktivno
spregnute sastavnice bez pripadnih faznih vodiča,
[ ]uZ - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih impedancija induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa bez pripadnih faznih vodiča,
[ ]uA - matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa
i njihovih lokalnih čvorova bez pripadnih faznih vodiča,
79
[ ]sfZ - matrica međusobnih uzdužnih impedancija između faznih vodiča i drugih
induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elementa,
fI - vektor poznatih uzdužnih struja faznih vodiča kojima teku struje zemljospoja,
dI - vektor doprinosa zadanih strujnih izvora uslijed induktivne sprege faznih vodiča i
drugih sastavnica razmatranog konačnog elementa.
Ako se u izračun raspodjele struje zemljospoja ulazi s poznatim strujama zemljospoja,
možemo reći da imamo zadane nezavisne strujne izvore. U tom slučaju, nema potrebe u
elektromagnetski model uključivati transformatore. Induktivna sprega između faznih vodiča
kojima teku struje zemljospoja i cilindričnih segmenata vodiča ostalih sastavnica konačnog
elementa uzima se u račun korištenjem jednadžbi (8.9). Konduktivna i kapacitivna sprega
između faznih vodiča kojima teku struje zemljospoja i cilindričnih segmenata vodiča ostalih
sastavnica konačnog elementa se zanemaruje.
8.3. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora
Jednofazni se dvonamotni transformator (Slika 8.1) može prikazati pomoću nadomjesne
sheme (Slika 8.2), gdje je 1Z impedancija višenaponske strane transformatora, 2Z′
impedancijama niženaponske strane transformatora reducirana na višenaponsku stranu, dok je
mZ poprečna impedancija transformatora. Nadalje je f1U fazor napona višenaponske strane
transformatora, f2U fazor napona niženaponske strane transformatora, f2U′ fazor napona
niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku stranu, f1I fazor struje
višenaponske strane transformatora, f2I fazor struje niženaponske strane transformatora, dok
je f2I′ fazor struje niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku stranu.
Slika 8.1. Namoti dvonamotnog jednofaznog transformatora
80
Slika 8.2. Nadomjesna shema dvonamotnog jednofaznog transformatora
Iz nadomjesne sheme prikazane na Slici 8.2, pomoću metode napona čvorova lako se
dobije sustav linearnih jednadžbi za tri naznačena čvora. Nakon eliminacije jednadžbe
unutarnjeg čvora 3, dobije se sljedeći sustav linearnih jednadžbi [51]:
=
⋅
−⋅
⋅−
⋅−
−⋅
⋅'
f2
f1
'
f2
f1
'
2
'
2
'
21
'
2111
I
I
U
U
Z
1B
Z
1
ZZ
1
ZZ
1
Z
1B
Z
1
B
1 (8.10)
gdje je:
m
'
21 Z
1
Z
1
Z
1B ++= (8.11)
dok je prijenosni omjer transformatora:
fn2
fn1
2
12,1
U
U
N
Np ≈= (8.12)
gdje je N1 ukupan broj zavoja višenaponskog namota transformatora, N2 ukupan broj zavoja
niženaponskog namota transformatora, fn1
U efektivna vrijednost nazivnog napona
višenaponske strane transformatora, a fn2
U efektivna vrijednost nazivnog napona
niženaponske strane transformatora. Niženaponske veličine reducirane na višenaponsku
stranu transformatora opisane su izrazima:
2f2,12f UpU ⋅=′ (8.13)
81
2,1
2f2f
p
II =′ (8.14)
222,12 ZpZ ⋅=′ (8.15)
Nakon uvrštenja izraza (8.12) – (8.14) u izraz (8.9), dobije se sustav jednadžbi koji u
matričnom zapisu glasi:
[ ]
=
⋅f2
f1
f2
f1n
I
I
U
UY (8.16)
gdje je matrica admitancija namota transformatora [51]:
[ ]
−
′⋅−
⋅−
−⋅
⋅=
=
'
2
'
2
2
2,1
21
2,1
'
21
2,1
11
n
22
n
21
n
12
n
11n
Z
1B
Z
p
ZZ
p
ZZ
p
Z
1B
Z
1
B
1
YY
YYY (8.17)
Ako se uzme da je impedancija poprečne grane beskonačna ( )∞→m
Z , onda slijedi da je:
[ ]
−
−⋅=
=
2
2,12,1
2,1
12n
22
n
21
n
12
n
11n
pp
p1
Z
1
YY
YYY (8.18)
gdje je:
2112 ZZZ ′+= (8.19)
impedancija kratkog spoja reducirana na višenaponsku stranu transformatora. Ako je zadan
postotni naponi kratkog spoja uk dvonamotnog jednofaznog transformatora, onda se
impedancija kratkog spoja aproksimira pomoću izraza:
100S
UujZ
fn
2
fn1k12
⋅
⋅
⋅= (8.20)
gdje je Sfn nazivna snaga dvonamotnog jednofaznog transformatora. Ako je poznat faktor
snage kratkog spoja, onda se iz njega može izračunati i kut impedancije kratkog spoja. Lako
se vidi da je izraz (8.20) utemeljen na pretpostavci da je faktor snage kratkog spoja jednak
nuli.
82
Da bi se dobio potpuni lokalni sustav jednadžbi jednofaznog dvonamotnog transformatora,
napone i struje namota transformatora treba zamijeniti s potencijalima i strujama lokalnih
čvorova transformatora (Slika 8.3), gdje lokalni čvorovi 1 i 2 pripadaju višenaponskom
namotu, a lokalni čvorovi 3 i 4 niženaponskom namotu transformatora.
Slika 8.3. Potencijali i struje lokalnih čvorova dvonamotnog jednofaznog transformatora
Korištenjem matrice veze namot - lokalni čvor, iz sustava jednadžbi (8.10) lako se dobije
potpuni lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora koji glasi [51]:
=
Φ
Φ
Φ
Φ
⋅
−−
−−
−−
−−
fc
4
fc
3
fc
2
fc
1
f
4
f
3
f
2
f
1
n
22
n
22
n
21
n
21
n
22
n
22
n
21
n
21
n
12
n
12
n
11
n
11
n
12
n
12
n
11
n
11
I
I
I
I
YYYY
YYYY
YYYY
YYYY
(8.21)
ili kraće pisano:
[ ] fcffIY =Φ⋅ (8. 22)
gdje je [ ]fY matrica admitancija lokalnih čvorova transformatora, fΦ vektor potencijala
lokalnih čvorova transformatora, a fcI vektor struja lokalnih čvorova transformatora.
Prema tehnici konačnih elemenata, iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi (8.21) slijedi
nepotpuni lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora opisan
matričnom jednadžbom:
[ ] 0Y ff =Φ⋅ (8. 23)
83
8.4. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora
Jednofazni se tronamotni transformator (Slika 8.4) može prikazati pomoću nadomjesne
sheme (Slika 8.5), gdje je 1Z impedancija višenaponske strane transformatora, 2Z′
impedancijama srednjenaponske strane transformatora reducirana na višenaponsku stranu, 3Z′
impedancijama niženaponske strane transformatora reducirana na višenaponsku stranu dok je
mZ poprečna impedancija transformatora. Nadalje je
f1U fazor napona višenaponske strane
transformatora, f2U fazor napona srednjenaponske strane transformatora, f3U fazor napona
niženaponske strane transformatora, f2U′ fazor napona srednjenaponske strane transformatora
reduciran na višenaponsku stranu, 3f
U′ fazor napona niženaponske strane transformatora
reduciran na višenaponsku stranu, f1
I fazor struje višenaponske strane transformatora, f2
I
fazor struje srednjenaponske strane transformatora, f3
I fazor struje niženaponske strane
transformatora, f2
I′ fazor struje srednjenaponske strane transformatora reduciran na
višenaponsku stranu, dok je 3fI′ fazor struje niženaponske strane transformatora reduciran na
višenaponsku stranu.
Slika 8.4. Namoti tronamotnog jednofaznog transformatora
84
Slika 8.5. Nadomjesna shema tronamotnog jednofaznog transformatora
Iz nadomjesne sheme prikazane na Slici 8.5, pomoću metode napona čvorova lako se
dobije sustav linearnih jednadžbi za četiri naznačena čvora. Nakon eliminacije jednadžbe
unutarnjeg čvora 4, dobije se sljedeći sustav linearnih jednadžbi:
′
′=
′
′⋅
′−⋅
′′⋅′−
′⋅−
′⋅′−
′−⋅
′⋅−
′⋅−
′⋅−
−⋅
⋅
3f
2f
1f
3f
2f
1f
333231
3222
'
21
312111
I
I
I
U
U
U
Z
1C
Z
1
ZZ
1
ZZ
1
ZZ
1
Z
1C
Z
1
ZZ
1
ZZ
1
ZZ
1
Z
1C
Z
1
C
1 (8.24)
gdje je:
m
'
3
'
21 Z
1
Z
1
Z
1
Z
1C +++= (8.25)
dok je prijenosni omjer transformatora 2,1
p opisan izrazom (8.12), a prijenosni omjer
transformatora 3,1
p sljedećim izrazom:
fn3
fn1
3
13,1
U
U
N
Np ≈= (8.26)
85
gdje je N1 ukupan broj zavoja višenaponskog namota transformatora, N3 ukupan broj zavoja
niženaponskog namota transformatora, fn1U efektivna vrijednost nazivnog napona
višenaponske strane transformatora, a 3fnU efektivna vrijednost nazivnog napona
niženaponske strane transformatora.
Srednjenaponske veličine reducirane na višenaponsku stranu transformatora opisane su
izrazima (8.12) - (8.14). Niženaponske veličine reducirane na višenaponsku stranu
transformatora opisane su izrazima:
3f1,33f UpU ⋅=′ (8.27)
1,3
3f3f
p
II =′ (8.28)
321,33 ZpZ ⋅=′ (8.29)
Nakon uvrštenja izraza (8.12) – (8.14) i izraza (8.26) – (8.28) u izraz (8.24), dobije se
sustav jednadžbi koji u matričnom zapisu glasi:
[ ]
=
⋅=
⋅
'
3f
'
2f
1f
'
3f
'
2f
1f
n
'
3f
'
2f
1f
n
33
n
32
n
31
n
23
n
22
n
21
n
13
n
12
n
11
I
I
I
U
U
U
Y
U
U
U
YYY
YYY
YYY
(8.30)
gdje je matrica admitancija namota transformatora:
[ ]
−⋅
⋅
⋅−
⋅−
⋅
⋅−
−⋅
⋅−
⋅−
⋅−
−⋅
⋅=
'3
'3
23,1
'3
'2
3,12,1
'31
3,1
'3
'2
3,12,1
'2
'2
22,1
'21
2,1
'31
3,1
'21
2,1
11
n
Z
1C
Z
p
ZZ
pp
ZZ
p
ZZ
pp
Z
1C
Z
p
ZZ
p
ZZ
p
ZZ
p
Z
1C
Z
1
C
1Y (8.31)
86
Ako se uzme da je impedancija poprečne grane beskonačna ( )∞→m
Z , onda slijedi da je:
'
3
'
21 Z
1
Z
1
Z
1C ++= (8.32)
Ako su zadani postotni naponi kratkog spoja uk12, uk13 i uk23 tronamotnog jednofaznog
transformatora, onda se pripadne reaktancije računaju iz izraza:
100S
UuX
2,1fn
2fn112k
12⋅
⋅
= (8. 33)
100S
UuX
3,1fn
2fn113k
13⋅
⋅
= (8.34)
100S
UuX
3,2fn
2fn123k
23⋅
⋅
= (8.35)
gdje je Sfn1,2 manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i srednjenaponskog namota, Sfn1,3
manja od nazivnih snaga višenaponskog i niženaponskog namota, a Sfn2,3 manja od nazivnih
snaga srednjenaponskog i niženaponskog namota tronamotnog jednofaznog transformatora.
Impedancije pojedinog namota, uz pretpostavku da su faktori snage kratkog spoja jednaki
nuli, opisane su izrazima:
( )2313121 XXX2
jZ −+⋅= (8.36)
( )231312
'
2 XXX2
jZ +−⋅= (8.37)
( )231312
'
3 XXX2
jZ ++−⋅= (8.38)
Da bi se dobio potpuni lokalni sustav jednadžbi jednofaznog tronamotnog
transformatora, napone i struje namota transformatora treba zamijeniti s potencijalima i
strujama lokalnih čvorova transformatora (Slika 8.6), gdje lokalni čvorovi 1 i 2 pripadaju
višenaponskom namotu, lokalni čvorovi 3 i 4 srednjenaponskom namotu transformatora, a
lokalni čvorovi 5 i 6 niženaponskom namotu transformatora.
87
Slika 8.6. Potencijali i struje lokalnih čvorova tronamotnog jednofaznog transformatora
Korištenjem matrice veze namot - lokalni čvor, iz sustava jednadžbi (8.30) lako se dobije
potpuni lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora koji glasi:
=
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
⋅
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
fc
6
fc
5
fc
4
fc
3
fc
2
fc
1
f
6
f
5
f
4
f
3
f
2
f
1
n
33
n
33
n
32
n
32
n
31
n
31
n
33
n
33
n
32
n
32
n
31
n
31
n
23
n
23
n
22
n
22
n
21
n
21
n
23
n
23
n
22
n
22
n
21
n
21
n
13
n
13
n
12
n
12
n
11
n
11
n
13
n
13
n
12
n
12
n
11
n
11
I
I
I
I
I
I
YYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
(8.39)
ili kraće pisano:
[ ] fcffIY =Φ⋅ (8.40)
gdje je [ ]fY matrica admitancija lokalnih čvorova transformatora, fΦ vektor potencijala
lokalnih čvorova transformatora, a fcI vektor struja lokalnih čvorova transformatora.
88
Prema tehnici konačnih elemenata, iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi (8.39) slijedi
nepotpuni lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora opisan
matričnom jednadžbom:
[ ] 0Y ff =Φ⋅ (8.41)
8.5. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog trofaznog transformatora
Trofazni se dvonamotni transformator u fizikalnom smislu može prikazati kao tri
dvonamotna jednofazna transformatora, gdje jednofazni transformator tvore jednofazni
namoti na istom stupu trofazne jezgre. U američkoj izvedbi trofazni transformator tvore tri
zasebna jednofazna transformatora, što daje formalno isti numerički model transformatora. U
oba slučaja, nepotpuni lokalni sustav jednadžbi trofaznog transformatora dobije se
asembliranjem nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi (8.22) triju dvonamotnih jednofaznih
transformatora. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi trofaznog dvonamotnog transformatora
glasi:
[ ] 0Y tr =Φ⋅ (8.42)
gdje je [ ]trY matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora,
Φ vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora. Potpuni
lokalni sustav jednadžbi trofaznog dvonamotnog transformatora glasi:
[ ] ctrIY =Φ⋅ (8.43)
gdje je c
I vektor struja lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora. Naravno,
sve struje lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora ulaze u čvorove.
Pritom vrijedi da je:
3
SS nfn = (8.44)
gdje je Sfn nazivna snaga jedne faze trofaznog dvonamotnog transformatora (zamišljenog
jednofaznog transformatora), a Sn nazivna snaga trofaznog transformatora.
Na natpisnoj pločici trofaznog dvonamotnog transformator dani su nazivni linijski naponi
višenaponskog i niženaponskog namota: U1n i U2n. Prijenosni omjer pripadnih jednofaznih
89
transformatora opisan izrazom (8.11) može se izraziti pomoću nazivnih napona trofaznog
transformatora u ovisnosti o vrsti spoja transformatora:
DdiYyspojzaU
U
U
U
N
Np
n2
n1
fn2
fn1
2
12,1 =≈= (8.45)
YdspojzaU3
U
U
U
N
Np
n2
n1
fn2
fn1
2
12,1
⋅
=≈= (8.46)
DyspojzaU
U3
U
U
N
Np
n2
n1
fn2
fn1
2
12,1
⋅
=≈= (8.47)
Najčešće korištene vrste spoja trofaznih dvonamotnih mrežnih, distribucijskih i
generatorskih transformatora su: Yy0, Yd5, Dy5. Ako se uzme u obzir i način uzemljenja
neutralne točke transformatora, onda ove vrste spoja mogu biti: YNyn0, YNy0, Yyn0, Yy0,
Dyn5, Dy5, YNd5 i Yd5. Međutim, nepotpuni lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog
trofaznog transformatora ne ovisi o načinu uzemljenja neutralne točke transformatora.
• Transformator spoja Yy0 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima
prikazani su na Slici 8.7.
• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0 i lokalnih čvorova
njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.1.
• Transformator spoja Yd5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima
prikazani su na Slici 8.8.
• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd0 i lokalnih čvorova
njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.2.
• Transformator spoja Dy5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima
prikazani su na Slici 8.9.
• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Dy5 i lokalnih čvorova
njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.3.
90
Slika 8.7. Spoj transformatora Yy0 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima
Tablica 8.1. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora
Slika 8.8. Spoj transformatora Yd5 i njegov nadomjesni element
sa svojim lokalnim čvorovima
Namot Višenaponski Niženaponski
Faza Lokalni
čvor 1
Lokalni
čvor 2
Lokalni
čvor 3
Lokalni
čvor 4
1 1 4 5 8
2 2 4 6 8
3 3 4 7 8
91
Tablica 8.2. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora
1 1 4 7 5
2 2 4 5 6
3 3 4 6 7
Slika 8.9. Spoj transformatora Dy5 i njegov nadomjesni element
sa svojim lokalnim čvorovima
Tablica 8.3. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Dy5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora
1 1 2 7 4
2 2 3 7 5
3 3 1 7 6
Namot Višenaponski Niženaponski
Faza Lokalni
čvor 1
Lokalni
čvor 2
Lokalni
čvor 3
Lokalni
čvor 4
Namot Višenaponski Niženaponski
Faza Lokalni
čvor 1
Lokalni
čvor 2
Lokalni
čvor 3
Lokalni
čvor 4
92
8.6. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog trofaznog transformatora
Trofazni se tronamotni transformator u fizikalnom smislu može prikazati kao tri
tronamotna jednofazna transformatora, gdje jednofazni transformator tvore jednofazni namoti
na istom stupu trofazne jezgre. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi trofaznog transformatora
dobije se asembliranjem nepotpunih lokalnih sustava triju pripadnih jednofaznih tronamotnih
transformatora opisanih matričnom jednadžbom (8.40). Nepotpuni i potpuni lokalni sustavi
jednadžbi tronamotnog trofaznog transformatora formalno imaju isti oblik kao i u slučaju
trofaznog dvonamotnog transformatora, tj. opisani su izrazima (8.2) i (8.3). Pritom vrijedi da
je:
3
SS;
3
SS;
3
SS
3,2n3,2fn
3,1n3,1fn
2,1n2,1fn === (8.48)
gdje je 2,1nS manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i srednjenaponskog namota
trofaznog tronamotnog transformatora, 3,1nS manja od nazivnih snaga višenaponskog i
niženaponskog namota trofaznog tronamotnog transformatora, a 3,2nS manja od nazivnih
snaga srednjenaponskog i niženaponskog namota trofaznog tronamotnog transformatora.
Na natpisnoj pločici trofaznog tronamotnog transformator dani su nazivni linijski naponi
višenaponskog, srednjenaponskog i niženaponskog namota: U1n, U2n i U3n. Prijenosni omjer
p1,2 pripadnog jednofaznog transformatora opisan je izrazima (8.5) – (8.7) u ovisnosti o vrsti
spoja trofaznog transformatora, dok se prijenosni omjer p1,3 opisan izrazom (8.6) može
izraziti pomoću nazivnih linijskih napona trofaznog transformatora u ovisnosti o vrsti spoja
transformatora slično kao i prijenosni omjer p1,2.
Najčešće korištene vrste spoja trofaznih tronamotnih mrežnih, distribucijskih i
generatorskih transformatora su: Yy0d5, Yd5y0, Yd5d5. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi
tronamotnog trofaznog transformatora ne ovisi o načinu uzemljenja neutralne točke
transformatora.
• Transformator spoja Yy0d5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim
čvorovima prikazani su na Slici 8.10.
• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0d5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.4.
• Transformator spoja Yd5y0 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim
čvorovima prikazani su na Slici 8.11.
93
• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5y0 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.5.
• Transformator spoja Yd5d5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim
čvorovima prikazani su na Slici 8.12.
• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5d5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.6.
Slika 8.10. Spoj transformatora Yy0d5 i njegov nadomjesni element
sa svojim lokalnim čvorovima
Tablica 8.4. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0d5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora
Namot Višenaponski Srednjenaponski Niženaponski
Faza Lokalni
čvor 1
Lokalni
čvor 2
Lokalni
čvor 3
Lokalni
čvor 4
Lokalni
čvor 5
Lokalni
čvor 6
1 1 4 5 8 11 9
2 2 4 6 8 9 10
3 3 4 7 8 10 11
94
Slika 8.11. Spoj transformatora Yd5y0 i njegov nadomjesni element
sa svojim lokalnim čvorovima
Tablica 8.5. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5y0 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora
Namot Višenaponski Srednjenaponski Niženaponski
Faza Lokalni
čvor 1
Lokalni
čvor 2
Lokalni
čvor 3
Lokalni
čvor 4
Lokalni
čvor 5
Lokalni
čvor 6
1 1 4 7 5 8 11
2 2 4 5 6 9 11
3 3 4 6 7 10 11
95
Slika 8.12. Spoj transformatora Yd5d5 i njegov nadomjesni element
sa svojim lokalnim čvorovima
Tablica 8.6. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5d5 i lokalnih
čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora
Namot Višenaponski Srednjenaponski Niženaponski
Faza Lokalni
čvor 1
Lokalni
čvor 2
Lokalni
čvor 3
Lokalni
čvor 4
Lokalni
čvor 5
Lokalni
čvor 6
1 1 4 7 5 10 8
2 2 4 5 6 8 9
3 3 4 6 7 9 10
Važno je napomenuti da prethodno opisani modeli dvonamotnih i tronamotnih trofaznih
transformatora ne uzimaju u račun sva elektromagnetska zbivanja u trostupnoj i peterostupnoj
jezgri trofaznih transformatora u slučaju nastanka zemljospoja. Drugim riječima, prethodno
opisani modeli dvonamotnih i tronamotnih trofaznih transformatora puno bolje uvažavaju
elektromagnetska zbivanja u jezgri transformatora u slučajevima kada trofazne transformatore
tvore tri jednofazna transformatora.
96
8.7. Lokalni sustav jednadžbi nadomjesne impedancije
Dio sustava, u elektromagnetskom modelu, može biti opisan pomoću nadomjesne
impedancije povezane između dva globalna čvora mreže kojima su pridružena dva lokalna
čvora nadomjesne impedancije (Slika 8.13). Takva impedancija može nadomjestiti npr.
impedanciju spojenu između neutralne točke transformatora i uzemljivača transformatorske
stanice ili pak metalni stup nadzemnog voda. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi takve
nadomjesne impedancije glasi:
[ ] 0
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
Y
2
1
=
Φ
Φ⋅
−
−
=Φ⋅ (8.49)
Slika 8.13. Nadomjesna impedancija spojena između svoja dva lokalna čvora
Dio sustava, u elektromagnetskom modelu, može biti opisan pomoću nadomjesne
impedancije povezane između globalnog čvora mreže i referentnog potencijala u
beskonačnosti (daleke zemlje). Takvoj impedanciji pridružen je samo jedan lokalni čvor
(Slika 8.14). Takva impedancija može nadomjestiti npr. vodljive dijelove povezane na
uzemljivač susjedne transformatorske stanice čija elektromagnetska sprega sa sastavnicama
elektromagnetskog modela nije uzeta u račun. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi takve
nadomjesne impedancije glasi:
[ ] 0Z
1Y =Φ⋅
=Φ⋅ (8.50)
97
Slika 8.14. Nadomjesna impedancija spojena između lokalnog čvora i daleke zemlje
Zemljospoj će se u elektromagnetskom modelu ostvariti pomoću dvočvorne impedancije koja
je jednaka prijelaznom otporu na mjestu zemljospoja. Naravno, zemljospoj može biti
istovremeno i na dva ili više mjesta.
8.8. Lokalni sustavi jednadžbi trofaznog simetričnog naponskog izvora
Dio elektroenergetskog sustava, u elektromagnetskom modelu, može se nadomjestiti
trofaznim četveročvornim simetričnim naponskim izvorom (Slika 8.15).
Slika 8.15. Nadomjesni trofazni simetrični četveročvorni naponski izvor
Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi četveročvornog naponskog izvora prikazanog na Slici
8.15 opisan je matričnom jednadžbom:
98
[ ] d
3
2
1
4
3
2
1
I
0
Z
E
Z
E
Z
E
Z
3
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
Z
100
Z
10
Z
10
Z
100
Z
1
Y =
=
Φ
Φ
Φ
Φ
⋅
−−−
−
−
−
=Φ⋅ (8.51)
gdje je dI vektor doprinosa zadanih naponskih izvora.
Može se javiti potreba da se dio elektroenergetskog sustava, u elektromagnetskom modelu,
nadomjesti trofaznim tročvornim simetričnim naponskim izvorom (Slika 8.16).
Slika 8.16. Nadomjesni trofazni simetrični tročvorni naponski izvor
Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi tročvornog naponskog izvora prikazanog na Slici 8.16
opisan je matričnom jednadžbom:
[ ] d
3
2
1
3
2
1
I
Z
E
Z
E
Z
E
Z3
2
Z3
1
Z3
1
Z3
1
Z3
2
Z3
1
Z3
1
Z3
1
Z3
2
Y =
=
Φ
Φ
Φ
⋅
⋅⋅−
⋅−
⋅−
⋅⋅−
⋅−
⋅−
⋅
=Φ⋅ (8.52)
Za simetrične trofazne izvore može se uzeti da je:
99
oo
11 120j13
120j-12
jjn1 eEE;eEE;eEe
3
UcE
⋅⋅ϕ⋅ϕ⋅⋅=⋅=⋅=⋅
⋅
= (8.53)
gdje je Un linijski nazivni napon mreže, dok je c naponski faktor [24]. U pravilu se uzima da
je naponski faktor c = 1,1.
Unutarnja impedancija tročvornih i četvoročvornih naponskih izvora Z računa se
korištenjem sljedećeg izraza:
1k1k
n
I
E
I3
UcZ
′′=
′′⋅
⋅= (8. 54)
gdje je 1kI ′′ doprinos dijela elektroenergetskog sustava ukupnoj struji zemljospoja u
transformatorskoj stanici na koju se naponski izvor priključuje, a koji je izračunat u literaturi
[24]. Dakle, taj dio elektroenergetskog sustava se nadomješta trofaznim simetričnim
naponskim izvorom.
8.9. Lokalni sustavi jednadžbi nadomjesnog trofaznog simetričnog trošila
Transformatori središnje transformatorske stanice, a po potrebi i transformatori susjednih
transformatorskih stanica koji ne napajanju mjesto zemljospoja, u elektromagnetskom
modelu, mogu se opteretiti nadomjesnim trofaznim tročvornim simetričnim trošilom (Slika
8.17).
Slika 8.17. Nadomjesno trofazno simetrično tročvorno trošilo
Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi nadomjesnog trofaznog tročvornog simetričnog trošila
prikazanog na Slici 8.17 opisan je matričnom jednadžbom:
100
[ ] 0
Z3
2
Z3
1
Z3
1
Z3
1
Z3
2
Z3
1
Z3
1
Z3
1
Z3
2
Y
3
2
1
=
Φ
Φ
Φ
⋅
−−
−−
−−
=Φ⋅ (8.55)
Transformatori središnje transformatorske stanice, a po potrebi i transformatori susjednih
transformatorskih stanica koji ne napajanju mjesto zemljospoja, u elektromagnetskom
modelu, mogu se opteretiti i nadomjesnim trofaznim četveročvornim simetričnim trošilom
čija se impedancija računa iz podataka trošila (Slika 8.18).
Slika 8.18. Nadomjesno trofazno simetrično četveročvorno trošilo
Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi nadomjesnog trofaznog četveročvornog simetričnog
trošila prikazanog na Slici 8.18 opisan je matričnom jednadžbom:
[ ] 0
Z
3
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
Z
100
Z
10
Z
10
Z
100
Z
1
4
3
2
1
=
Φ
Φ
Φ
Φ
⋅
−−−
−
−
−
=Φ⋅Υ (8.56)
101
8.10. Nepotpuni i potpuni globalni sustav jednadžbi
Elektromagnetski model za izračun raspodjele struje zemljospoja tvori više konačnih
elemenata. Konačni elementi mogu biti:
• Konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,
• Induktivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,
• Trofazni transformatori,
• Nadomjesne impedancije,
• Trofazni tročvorni i četveročvorni simetrični naponski izvori,
• Nadomjesna trofazna tročvorna trošila.
Prije zadavanja ulaznih podataka, definira se koje su sastavnice međusobno spregnute
konduktivno i kapacitivno, a koje induktivno. Moguće je imati jedan ili više skupova
međusobno spregnutih sastavnica. O tom ovisi i ukupan broj konačnih elemenata. Sve
međusobno spregnute sastavnice pripadaju istom konačnom elementu. Naravno, sa stanovišta
točnosti proračuna, najbolje je uzeti da sve konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice
elektromagnetskog modela pripadaju samo jednom konačnom elementu te da sve induktivno
spregnute sastavnice elektromagnetskog modela pripadaju drugom konačnom elementu.
U tehnici konačnih elemenata, u globalnom su sustavu konačni elementi povezani u
čvorovima koji se zovu globalni čvorovi. Dakle, globalni čvorovi su čvorovi skupa
međusobno povezanih konačnih elemenata, a lokalni čvorovi su čvorovi konačnih elemenata.
Vezu između globalnih čvorova i lokalnih čvorova konačnih elemenata definira matrica
veze između globalnih čvorova i lokalnih čvorova. Nepotpuni globalni sustav jednadžbi
dobiva se asembliranjem (pribrajanjem) nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi svih konačnih
elemenata. Nepotpuni globalni sustav jednadžbi glasi:
[ ] dgggIY =Φ⋅ (8.57)
gdje je:
[ ]gY - matrica admitancija globalnih čvorova cjelokupnog sustava,
gΦ - vektor potencijala globalnih čvorova cjelokupnog sustava,
dgI - globalni vektor doprinosa zadanih naponskih i strujnih izvora.
102
Ako su za jedan ili više globalnih čvora zadane u njih izvana narinute struje, odnosno
nezavisni strujni izvori, onda se globalni sustav jednadžbi upotpunjuje uključivanjem tih
narinutih struja u nepotpuni globalni sustav jednadžbi (8.57) tako da potpuni globalni sustav
jednadžbi glasi:
[ ] ngdgggIIY +=Φ⋅ (8.58)
gdje je ngI vektor struja narinutih u globalne čvorove.
Osim struja narinutih u globalne čvorove, mogu biti propisani i potencijali nekih globalnih
čvorova. Budući da je u razvijenom elektromagnetskom modelu potencijal daleke zemlje
jednak nuli, onda se mora propisati samo potencijal jednog od čvorova na svakom
nadomjesnom trofaznom trošilu spojenom na namot transformatora koji nije izravno povezan
na središnju transformatorsku stanicu. Najlakše je uzeti da su propisani potencijali jednaki
nuli. Tek kad se u sustav jednadžbi (8.57), prema pravilima tehnike konačnih elemenata [29],
[50] uključe i propisani potencijali globalnih čvorova, dobije se preinačeni potpuni globalni
sustav jednadžbi čija su rješenja potencijali globalnih čvorova. Iz potencijala globalnih
čvorova, lako je korištenjem matrica veze između lokalnih i globalnih čvorova pojedinog
konačnog elementa izračunati fazore potencijala lokalnih čvorova.
103
9. IZRAČUN RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA
Nakon što su rješenjem potpunog globalnog sustava jednadžbi izračunati potencijali svih
globalnih čvorova, korištenjem matrice veze, lako se mogu odrediti potencijali lokalnih
čvorova pojedinog konačnog elementa. Idući korak jest izračun raspodjele struja zemljospoja
iz lokalnih sustava jednadžbi konačnih elemenata što uključuje izračun:
• Poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica razmatranog
konačnog elemenata,
• Uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elemenata,
• Struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog transformatora,
• Struje koje ulaze u lokalne čvorove nadomjesnih impedancija,
• Struje koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog naponskog izvora,
• Struje koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog trošila.
Struja mjerodavna za dimenzioniranje uzemljivača središnje transformatorske stanice jest
poprečna struja nadomjesne kružne ploče uzemljivača središnje transformatorske stanice. Ako
se uzemljivač središnje transformatorske stanice modelira detaljno, tj. ako se aproksimira
skupom cilindričnih segmenata vodiča, onda je struja mjerodavna za dimenzioniranje
uzemljivača središnje transformatorske stanice ukupna poprečna struja svih cilindričnih
segmenata vodiča tog uzemljivača.
Sustav jednadžbi za izračun poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnutih
sastavnica razmatranog konačnog elemenata slijedi iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi
(8.1) i (8.2) i glasi:
[ ] [ ] Φ⋅⋅=− p1pp
AZI (9.1)
gdje je:
pI - vektor poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog
elementa,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore konduktivno i
kapacitivno spregnute sastavnice,
[ ]pZ - matrica vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija konduktivno i kapacitivno
spregnutih sastavnica konačnog elementa,
104
[ ]pA - matrica poprečne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih
čvorova opisana izrazom (8.3).
Sustav jednadžbi za izračun uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica razmatranog
konačnog elemenata, bez nezavisnih strujnih izvora, slijedi iz potpunog lokalnog sustava
jednadžbi (8.5) i (8.6) i glasi:
[ ] [ ] Φ⋅⋅=− u1uu
AZI (9.2)
gdje je:
uI - vektor uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore induktivno
spregnute sastavnice,
[ ]uZ - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih impedancija induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa,
[ ]uA - matrica uzdužne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih
čvorova opisana izrazom (8.7).
Sustav jednadžbi za izračun uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica razmatranog
konačnog elemenata, koji uključuje nezavisne strujne izvore, sukladno nepotpunom lokalnom
sustavu jednadžbi (8.9) glasi:
[ ] [ ] [ ] ( )fsfu1uuIZAZI ⋅−Φ⋅⋅=
−
(9.3)
gdje je:
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore induktivno
spregnute sastavnice bez pripadnih faznih vodiča,
[ ]uZ - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih impedancija induktivno spregnutih
sastavnica konačnog elementa bez pripadnih faznih vodiča,
[ ]uA - matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa
i njihovih lokalnih čvorova bez pripadnih faznih vodiča,
[ ]sfZ - matrica međusobnih uzdužnih impedancija između faznih vodiča i drugih
induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elementa,
105
fI - vektor poznatih uzdužnih struja faznih vodiča kojima teku struje zemljospoja.
Sustav jednadžbi za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog dvonamotnog ili
tronamotnog transformatora, sukladno matričnoj jednadžbi (8.42) glasi:
[ ] Φ⋅=trc
YI (9.4)
gdje je:
c
I - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog transformatora,
[ ]trY - matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog transformatora,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog transformatora.
Matrična jednadžba za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove dvočvorne ili
jednočvorne nadomjesne impedancije, sukladno matričnim jednadžbama (8.49) i (8.50) glasi:
[ ] Φ⋅= YIc (9.5)
gdje je:
cI - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove nadomjesne impedancije,
[ ]Y - matrica admitancija lokalnih čvorova nadomjesne impedancije,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova nadomjesne impedancije.
Sustav jednadžbi za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog
četveročvornog ili tročvornog naponskog izvora, sukladno matričnim jednadžbama (8.51) i
(8.52) glasi:
[ ] dcIYI −Φ⋅= (9.6)
gdje je:
cI - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog naponskog
izvora,
[ ]Y - matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog simetričnog naponskog izvora,
106
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog simetričnog naponskog izvora,
dI - vektor doprinosa zadanih naponskih izvora.
Sustav jednadžbi za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog tročvornog
simetričnog trošila, sukladno matričnoj jednadžbi (8.55) glasi:
[ ] Φ⋅= YIc (9.7)
gdje je:
cI - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog trošila,
[ ]Y - matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog simetričnog trošila,
Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog simetričnog trošila.
107
10. RAČUNALNI PROGRAM EMFCD
10.1. Opis računalnog programa
Slika 10.1. Dijagram toka računalnog programa EMFCD za izračun raspodjele struje zemljospoja
108
Na temelju izvorno razvijenog elektromagnetskog modela opisanog u disertaciji razvijen je
fortranski računalni program EMFCD za izračun raspodjele struje zemljospoja. Dijagram toka
programa prikazan je na Slici 10.1, a svaka od stavki je u nastavku ovog poglavlja ukratko opisana.
10.1.1. Učitavanje i ispis ulaznih podataka
Kao što je uobičajeno, na početka računalnog programa učitavaju se i ispisuju ulazni podaci, a
to su u ovom slučaju:
• Osnovni ulazni podaci: ukupan broj jednadžbi globalnog sustava, otpornost tla, relativna
dielektričnost tla, frekvencija napona i struje;
• Ulazni podaci za nadomjesne metalne ploče ukopane u tlo;
• Ulazni podaci za segmente ukopanih cilindričnih vodiča;
• Ulazni podaci za segmente ukopanih pravokutnih vodiča;
• Ulazni podaci za segmente ukopanih šupljih cilindričnih vodiča;
• Ulazni podaci za segmente jednožilnih kabela;
• Ulazni podaci za segmente trožilnih kabela vrste 1 - aktivni fazni vodiči, postoje samo
zajednički metalni ekrani;
• Ulazni podaci za segmente trožilnih kabela vrste 2 - aktivni fazni vodiči, postoje vlastiti
metalni ekrani faznih vodiča, a mogu postojati i zajednički metalni ekrani;
• Ulazni podaci za segmente trožilnih kabela vrste 3 - pasivni fazni vodiči, postoje vlastiti
metalni ekrani faznih vodiča koji su matematički združeni, a mogu postojati i zajednički
metalni ekrani;
• Ulazni podaci za segmente induktivno spregnutih jednožilnih i trožilnih kabela;
• Ulazni podaci za segmente nadzemnih cilindričnih vodiča;
• Ulazni podaci za segmente induktivno spregnutih nadzemnih faznih vodiča;
• Ulazni podaci za dvočvorne impedancije;
• Ulazni podaci za jednočvorne nadomjesne impedancije;
• Ulazni podaci za trofazne četveročvorne naponske izvore;
• Ulazni podaci za trofazna simetrična tročvorna i četveročvorna trošila;
• Ulazni podaci za trofazne dvonamotne transformatore;
• Ulazni podaci za trofazne tronamotne transformatore;
109
• Ulazni podaci za globalne čvorove u kojima su zadani nulti potencijali;
• Ulazni podaci za struje narinute u globalnim čvorovima;
• Ulazni podaci za točke na površini tla u kojima se računa potencijal.
10.1.2. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi elektromagnetski
spregnutih sastavnica i njihovo asembliranje
Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD izvršava sljedeće
radnje:
• Izračun vlastitih i međusobnih impedancija svih poprečno (konduktivno i kapacitivno)
spregnutih sastavnica elektromagnetskog modela;
• Izračun vlastitih i međusobnih impedancija svih uzdužno (induktivno) spregnutih sastavnica
elektromagnetskog modela;
• Invertiranje matrice poprečnih impedancija poprečno spregnutih sastavnica
elektromagnetskog modela;
• Invertiranje matrice uzdužnih impedancija uzdužno spregnutih sastavnica
elektromagnetskog modela;
• Formiranje matrice admitancija lokalnih čvorova elektromagnetski spregnutih sastavnica i
njeno asembliranje u nepotpuni globalni sustav jednadžbi;
• Formiranje vektora desne strane nepotpunog lokalnog sustava jednadžbi elektromagnetski
spregnutih sastavnica i njegovo asembliranje u nepotpuni globalni sustav jednadžbi.
10.1.3. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi ostalih sastavnica
elektromagnetskog modela i njihovo asembliranje
Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD formira i
asemblira nepotpune lokalne sustave jednadžbi za:
• Dvočvorne impedancije;
• Jednočvorne nadomjesne impedancije;
• Trofazne četveročvorne naponske izvore;
• Trofazna simetrična tročvorna i četveročvorna trošila;
• Trofazne dvonamotne transformatore;
• Trofazne tronamotne transformatore.
110
Nakon asembliranja ovih nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi u nepotpuni globalni sustav
jednadžbi, završen je postupak formiranja nepotpunog globalnog sustava jednadžbi.
10.1.4. Zadavanje narinutih globalnih struja i referentnih (nultih)
potencijala globalnih čvorova
Nepotpuni globalni sustav jednadžbi se upotpunjava tako da se u globalni sustav jednadžbi
uključe:
• Struje narinute u globalne čvorove;
• Nulti potencijali globalnih čvorova.
Time je u potpunosti formiran potpuni globalni sustav jednadžbi, odnosno kraće rečeno formiran
je globalni sustav jednadžbi.
10.1.5. Rješavanje globalnog sustava jednadžbi
Globalni se sustav linearnih jednadžbi rješava korištenjem fortranskih podprograma iz biblioteke
LAPACK - Linear Algebra PACKage koji su razvijeni za izračun inverzne kompleksne matrice i za
rješavanje kompleksnog sustava linearnih jednadžbi. Ovaj vrlo učinkoviti algoritam zasnovan je na
LU faktorizaciji kompleksne matrice s parcijalnim pivotiranjem. Rješenjem globalnog sustava
jednadžbi dobiju se skalarni električni potencijali svih globalnih čvorova.
10.1.6. Izračun uzdužnih i poprečnih struja elektromagnetski spregnutih sastavnica
Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD izvršava sljedeće
radnje:
• Izračun skalarnih električnih potencijala lokalnih čvorova poprečno spregnutih sastavnica
elektromagnetskog modela;
• Izračun poprečnih struja poprečno spregnutih sastavnica elektromagnetskog modela;
• Izračun skalarnih električnih potencijala lokalnih čvorova uzdužno spregnutih sastavnica
elektromagnetskog modela;
• Izračun uzdužnih struja uzdužno spregnutih sastavnica elektromagnetskog modela.
111
10.1.7. Izračun struja koje ulaze u čvorove ostalih sastavnica elektromagnetskog modela
Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD računa struje koje
ulaze u lokalne čvorove sljedećih sastavnica elektromagnetskog modela:
• Dvočvornih impedancija;
• Jednočvornih nadomjesnih impedancija;
• Trofaznih četveročvornih naponskih izvora;
• Trofaznih simetričnih tročvornih i četveročvornih trošila;
• Trofaznih dvonamotnih transformatora;
• Trofaznih tronamotnih transformatora.
10.1.8. Izračun potencijala u odabranim točkama na površini tla
Ako postoji potreba, mogu se izračunati skalarni električni potencijali u odabranim točkama na
površini tla.
10.1.9. Ispis izlaznih podataka
Na kraju računalnog programa EMFCD ispisuju se izlazni podaci za:
• Nadomjesne metalne ploče ukopane u tlo;
• Segmente ukopanih cilindričnih vodiča;
• Segmente ukopanih pravokutnih vodiča;
• Segmente ukopanih šupljih cilindričnih vodiča;
• Segmente jednožilnih kabela;
• Segmente trožilnih kabela vrste 1 - aktivni fazni vodiči, postoje samo zajednički metalni
ekrani;
• Segmente trožilnih kabela vrste 2 - aktivni fazni vodiči, postoje vlastiti metalni ekrani faznih
vodiča, a mogu postojati i zajednički metalni ekrani;
• Segmente trožilnih kabela vrste 3 - pasivni fazni vodiči, postoje vlastiti metalni ekrani
faznih vodiča koji su matematički združeni, a mogu postojati i zajednički metalni ekrani;
• Segmente nadzemnih cilindričnih vodiča;
112
• Dvočvorne impedancije;
• Jednočvorne nadomjesne impedancije;
• Trofazne četveročvorne naponske izvore;
• Trofazna simetrična tročvorna i četveročvorna trošila;
• Trofazne dvonamotne transformatore;
• Trofazne tronamotne transformatore;
• Skalarne električne potencijale u odabranim točkama na površini tla.
10.2. Područje primjene računalnog programa
Razvijeni računalni program prvenstveno je namijenjen za izračun raspodjele struje zemljospoja.
Međutim, ovaj računalni program može poslužiti i za napredni analizu strujnih i naponskih prilika
na nadzemnim i kabelskim elektroenergetskim vodovima. Tako je tijekom izrade ove doktorske
disertacije razvijeni računalni program korišten i za rješavanje elektroenergetske problematike
povezane s gradnjom hrvatskih autocesta [52-59].
Razvijeni računalni program korišten je i u opširnoj studiji za izradu pravila i mjera sigurnosti
prilikom rada na elektroenergetskim vodovima za naručitelja HEP, Operator prijenosnog sustava
d.o.o., Prijenosno područje Split [60]. U dvadeset sedam poglavlja studije, obrađen je 231 primjer
pogonskih stanja, kvarova i radova na 35 kV, 110 kV i 220 kV vodovima, i to na nadzemnim
vodovima, kabelskim vodovima i podmorskim kabelima. Posebno je analiziran utjecaj konduktivne
sprege.
Osim toga, obradom i razvrstavanjem dobivenih rezultata kreirane su vlastite baze znanja i baze
podataka korištene za razvoj ekspertnih sustava [61], prema obradama srodnih ekspertnih sustava
[62].
113
11. PRIMJER IZRAČUNA
Izračun raspodjele struje zemljospoja proveden je za transformatorsku stanicu TS
110/35/10 (20) kV Drniš, koja je puštena u rad 29. kolovoza 2000. godine u povodu 105.
obljetnice Hrvatske elektroprivrede. Izgradnja tog objekta imala je za cilj poboljšanje
kvalitete i stabilnosti opskrbe električnom energijom svih gospodarskih i drugih subjekata
Distribucijskog područja Elektre Šibenik [63]. Izgradnjom postrojenja naponske razine 35 kV
zamijenjena je dotrajala i nepouzdana TS 35/10 kV Kalun, a uključenjem TS 110/35/10 (20)
kV Drniš u 110 kV naponsku mrežu širem je području osigurano kvalitetnije
elektroenergetsko napajanje [64].
11.1. TS 110/35/10 (20) kV Drniš - 110 kV naponska razina
Transformatorska stanica TS 110/35/10 (20) kV Drniš uključena je u 110 kV mrežu preko
jednosustavnog T nadzemnog voda DV 110 kV Bilice – Drniš – Knin, koji je nastao
presjecanjem jednosustavnog nadzemnog voda DV 110 kV Bilice – Knin. Drugim riječima,
sada postoje dva nadzemna voda DV 110 kV Bilice – Drniš, oznake D 106, i DV 110 kV
Drniš – Knin, oznake D 178 (Slika 11.1). Trase ovih vodova prikazane su na Slici 11.2.
Slika 11.1. Jednopolna shema DV 110 kV Bilice – Drniš – Knin
Uvod u TS 110/35/10 (20) kV Drniš izveden je po načelu ulaz-izlaz korištenjem
dvosustavnih stupova. Ukupna duljina nadzemnog voda D106 Bilice – Drniš iznosi 32,010
km, a nadzemnog voda D178 Drniš – Knin 25,253 km. Stupovi nadzemnog voda Bilice –
Knin su čelično-rešetkasti jednosustavni, oblika glave stupa jela, a uvod 2x110 kV u TS
110/35/10 (20) kV Drniš je izveden dvosustavnim čelično-rešetkastim stupovima, oblika
glave bačva [65 - 67].
114
Slika 11.2. Trasa DV 110 kV Bilice – Drniš – Knin
Dvosustavni dio nadzemnog voda – uvod 2x110 kV u TS 110/35/10 (20) kV Drniš ima
ukupno 25 dvosustavnih stupova, od kojih je 19 nosnih stupova i 6 zateznih stupova.
Nakon 25 zajedničkih dvosustavnih stupova trasa nadzemnog voda odvaja se prema TS
110/35 kV Knin i TS 220/110/30 kV Bilice. Na jednosustavnom dijelu nadzemnog voda
prema TS 110/35 kV Knin ima ukupno 60 jednosustavnih stupova tipa jela, od kojih je 51
nosni stup i 9 zateznih stupova. Na jednosustavnom dijelu nadzemnog voda prema TS
220/110/30 kV Bilice ima ukupno 82 jednosustavnih stupova tipa jela. Izolatorski lanci su
stakleni kapasti izolatori tipa U 120 BS. Uzemljenje stupova je izvedeno uzemljivačem u
obliku prstena od pocinčane čelične trake 25×4 mm. Fazni vodiči su Al/Fe užad nazivnog
presjeka 240/40 mm2, dok su zaštitna užad s optičkim nitima od aluminijske legure tipa
AA/ACS OPGW nazivnog presjeka 92/43 mm2.
115
11.2. TS 110/35/10 (20) kV Drniš - 35 kV naponska razina
Transformatorska stanica TS 110/35/10 (20) kV Drniš, na naponskoj razini 35 kV,
projektirana je i opremljena sa sedam polja, H1-H7 [68-70]. Srednjenaponsko 35 kV
napajanje mreže ostvareno je preko dva odvoda prstenaste konfiguracije i s jednim linijskim
odvodom. Transformator 110/35 kV, snage 16 MVA, spoja Yy0d5, priključen je na polje H5,
a s polja H2, H6 i H7 napajaju se transformatorske stanica 35/10 (20) kV: TS Unešić, TS
Oklaj i TS Kosovo (Slika 11.3). Polje H1 je rezervno polje. Izlazi iz transformatorske stanice
kabelskim vodom, vrste XHE 49-A, 185/25 mm2, duljine 900 m prelaze u 35 kV nadzemne
vodove. Na polje H3 spojen je transformator 35/10 (20) kV, snage 8 MVA, spoja Dyn5.
Transformator je spojen preko polja J9 na 10 (20) kV sabirnice.
Slika 11.3. Transformatorske stanice TS 35/10 (20) kV napajane iz
TS 110/35/10 (20) kV Drniš
11.3. TS 110/35/10(20)kV Drniš - 10 (20) kV naponska razina
Transformatorska stanica TS 110/35/10 (20) kV Drniš na 10 (20) kV sabirnicama ima dvije
sekcije s 24 polja, J1-J17 i J18-J24, iz kojih se napaja razgranata distribucijska mreža grada
Drniša i okolnih mjesta s ukupno 175 distribucijskih transformatorskih stanica [71-73].
Transformator 110/10 (20) kV, snage 20 MVA, spoja Yy0d5, priključen je na polje J18. Svih
jedanaest 10 (20) kV izlaza, odvoda za distribucijske trafosformatorske stanice izvedeno je
kabelski. Svi kabeli su jednožilni vrste XHE 49-A, 150/25 mm2.
116
Srednjenaponska su 10 (20) kV polja kabelski izlazi iz TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema
distribucijskim transformatorskim stanicama TS 10 (20)/0,4 kV:
• Miljevci,
• Girk – Kalun,
• Pakovo Selo,
• TOF,
• Pazar,
• Fenčevina,
• Varoš – Badanj,
• Kričke – Kljaci,
• Trbounje – Razvođe,
• Farma,
• RS Promina.
Osim toga, jedna rezervna kabelska trojka duga 900 m položena je između TS
110/35/10 (20) kV Drniš i bivše TS 35/10 kV Kalun. Ekrani te kabelske trojke, koji su
uzemljeni na oba kraja, također, su uzeti u račun. Zbog relativno kratke duljine, 10 (20) kV
kabelski izvodi Miljevci i TOF nisu uzeti u račun.
11.4. Nadomjesne impedancije dugih nadzemnih vodova
Pasivni nadzemni vodovi mogu se detaljno modelirati, a ako se radi o dugim nadzemnim
vodovima, onda se takvi nadzemni vodovi ili njihov dio mogu modelirati nadomjesnom
impedancijom opisanom sljedećim izrazom [74]:
4
1
Z
R
2
1
RZ
r
s
s
e
++
= (11.1)
gdje je RS otpor uzemljivača stupa nadzemnog voda, a rZ impedancija nadomjesnog raspona
zaštitnog užeta nadzemnog voda s povratnim putem kroz zemlju.
Jedinična impedancija zaštitnog užeta nadzemnog voda s povratnim putem kroz zemlju,
opisana je sljedećim izrazom:
µ+
ρ⋅
π⋅µ⋅ω
⋅+µ⋅ω
+=4fr
658ln
2j
8RZ r001
u
1 (11.2)
117
gdje je:
f = 50 Hz − frekvencija struje i napona,
ω = 2⋅π⋅f − kružna frekvencija,
0
µ = 4⋅π⋅ 710
−
− permeabilnost tla,
r
µ = 30 − relativna permeabilnost vodiča,
ρ = 800 Ωm − otpornost (specifični električni otpor) tla,
r − vanjski polumjer vodiča,
j − imaginarna jedinica,
1
uR − jedinični uzdužni otpor vodiča.
Impedancija nadomjesnog raspona zaštitnog užeta nadzemnog voda računa se prema izrazu:
r1r ZZ l⋅= (11.3)
gdje je r
l srednja duljina raspona nadzemnog voda.
Koristeći izraze (11.1) do (11.3), lako se mogu izračunati nadomjesne impedancije triju
pasivnih 35 kV nadzemnih vodova (Drniš − Unešić, Drniš − Kosovo i Drniš − Oklaj) i
pasivnog 10 (20) kV nadzemnog voda Drniš − RS Promina. Izračunate nadomjesne
impedancije dugih pasivnih nadzemnih elektroenergetskih vodova dane su u Tablici 11.1.
Tablica 11.1. Nadomjesne impedancije dugih pasivnih nadzemnih elektroenergetskih vodova
Nadzemni vod s
R
[Ω] r
l [m]
rZ
[Ω] e
Z
[Ω]
Drniš − Unešić 35 207 0,913873536+j⋅0,175083 5,2623627 ∠ 4,98276o
Drniš − Kosovo 35 215 0,94919232+j⋅0,18184948 5,3547891 ∠ 4,974396o
Drniš − Oklaj 35 285 1,25823168+j⋅0,2410563 6,0887760 ∠ 4,907112o
Drniš − RS Promina 40 89 0,55491037+j⋅0,0762522 4,4622192 ∠ 3,681219
Zaštitno uže 35 kV nadzemnih vodova je od čelika poprečnog presjeka 35 mm2, a zaštitno
uže 10 (20) kV nadzemnog voda Drniš − RS Promina od čelika poprečnog presjeka 25 mm2.
118
U izračunu je uzeto da vanjski polumjer vodiča za Če 35 mm2 iznosi 3,75 mm, dok je
jedinični uzdužni otpor vodiča 4,3655⋅10-3 Ω/m. Za Če 25 mm2 uzeto je da vanjski polumjer
vodiča iznosi 3,15 mm, dok je jedinični uzdužni otpor vodiča 6,1856⋅10-3 Ω/m.
11.5. Elektromagnetskog model - ulazni podaci
Sastavnice elektromagnetskog modela za izračun raspodjele struje zemljospoja TS
110/35/10 (20) kV Drniš su (Slika 11.4):
• Uzemljivači 110 kV transformatorskih stanica,
• Uzemljivači 10 (20) kV transformatorskih stanica i 10 (20) kV stupova,
• Fazni vodiči, zaštitna užad, stupovi i uzemljivači stupova 110 kV nadzemnih vodova,
• Ekrani 35 kV jednožilnih kabela,
• Ekrani 10 kV jednožilnih kabela,
• Uzemljivačka užad iznad kabelskih vodova,
• Nadomjesne impedancije 35 kV nadzemnih vodova,
• Nadomjesna impedancija 10 (20) kV nadzemnog voda,
• Nadomjesna impedancija dijela 10 (20) kV kabelske mreže grada Drniša.
U elektromagnetskom modelu uzemljivači trafostanica i stupova modeliraju se kružnim
metalnim pločama ukopanim na dubini od 0,8 m, paralelno u odnosu na površinu tla.
Jednožilni kabeli se dijele na segmente. Fazni vodiči i zaštitna užad nadzemnih vodova
modeliraju se segmentima nadzemnih cilindričnih vodiča.
Uzemljivačka bakrena užad položena iznad kabelskih vodova modeliraju se segmentima
ukopanih cilindričnih vodiča. U zajedničkom rovu položeno je jedno uzemljivačko uže i jedan
ili više 10 (20) kV i/ili 35 kV kabelskih vodova (Slika 11.4). Kabelske trojke su položene u
trolistu (Slika 11.5). Elektromagnetski se model kompletira dvočvornim impedancijama,
nadomjesnim jednočvornim impedancijama te trofaznim naponskim izvorima i zadanim
nultim potencijalima globalnih čvorova.
119
Slika 11.4. Načelni prikaz sastavnica elektromagnetskog modela TS 110/35/10 (20) kV Drniš
za izračun raspodjele struje zemljospoja
2r
r r h
Slika 11.5. Prikaz međusobnog položaja jednožilnih kabela kabelske trojke u trolistu
120
Osnovni ulazni podaci računalnog programa EMFCD, opisanog u prethodnom poglavlju,
dani su u Tablici 11.2, odakle slijedi da je u izračunu uzeto da je otpornost (specifični
električni otpor) tla 800 Ωm te da je relativna dielektričnost tla 9.
Tablica 11.2. Osnovni ulazni podaci
Ukupan broj globalnih čvorova 868
Frekvencija struje i napona [Hz] 50
Otpornost tla [Ωm] 800
Relativna dielektričnost tla 9
Ukupan broj uzemljivača 175
Ukupan broj uzemljivača 110 kV transformatorskih stanica 3
Ukupan broj uzemljivača stupova 110 kV voda 167
Ukupan broj uzemljivača dvosustavnih 110 kV stupova 25
Ukupan broj uzemljivača jednosustavnih 110 kV stupova 142
Ukupan broj uzemljivača TS 10 (20) / 0,4 kV 2
Ukupan broj uzemljivača stupova 10 (20) kV voda 2
Ukupan broj segmenata Cu uzemljivačkog užeta 36
Ukupan broj segmenata jednožilnih kabela 114
Ukupan broj segmenata 35 kV jednožilnih kabela 27
Ukupan broj segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela 87
Ukupan broj tipova nadzemnih vodiča 2
Ukupan broj segmenata nadzemnih vodiča 751
Ukupan broj segmenata faznih vodiča 582
Ukupan broj segmenata zaštitnih užadi 169
Ukupan broj dvočvornih impedancija 4
Ukupan broj nadomjesnih jednočvornih impedancija 7
Ukupan broj trofaznih naponskih izvora 3
Ukupan broj čvorova sa zadinim nultim potencijalom 2
121
Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače transformatorskih stanica dani su u Tablici 11.3.
Uzemljivači TS 220/110/30 kV Bilice, TS 110/35/10 (20) kV Drniš i TS 110/35 kV Knin
modelirani su kružnim metalnim pločama polumjera 80 m ukopanim na dubini od 0,8 m.
Uzemljivači dviju u račun izravno uzetih TS 10 (20)/0,4 kV modelirani su kružnim metalnim
pločama polumjera 8 m ukopanim na dubini od 0,8 m. Ishodište koordinatnog sustava (x, y, z)
nalazi se na površini tla iznad središta nadomjesnog uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš.
Tablica 11.3. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače transformatorskih stanica
Naziv transformatorske stanice Globalni
čvor
x
[m]
y
[m]
Polumjer
[m]
TS 110/35/10 (20) kV Drniš 7 0 0 80
TS 110/35 kV Knin 426 20.017,355 7.539,659 80
TS 220/110/30 kV Bilice 758 -21.319,791 7.726,335 80
Bivša TS 35/10 kV Kalun 829 -330 -858,27 80
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 830 -685 -1.818,1 8
TS 10 (20)/0,4 kV Trbounje - Razvođe 837 718 292 8
Uzemljivači dvaju u račun uzetih stupova 10 (20) kV nadzemnih vodova modelirani su
kružnim metalnim pločama polumjera 2,5 m ukopanim na dubini od 0,8 m (Tablica 11.4).
Tablica 11.4. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače stupova 10 (20) kV nadzemnog voda
Prvi stup 10 (20) kV zračnog voda
prema
Globalni
čvor
x
[m]
y
[m]
Polumjer
[m]
TS 10 (20)/0,4 kV Fenčevina 767 245,535 -125 2,5
TS 10 (20)/0,4 kV Farma 768 848,6 -121,779 2,5
Uzemljivači 110 kV stupova modelirani su kružnim metalnim pločama polumjera 10 m
ukopanim na dubini od 0,8 m. Koordinate nadomjesnih uzemljivača dvosustavnih stupova
110 kV nadzemnog voda dane su Tablici 11.5, a koordinate jednosustavnih stupova 110 kV
nadzemnog voda dane su Tablicama 11.7 i 11.8. Duljine raspona dvosustavnog dijela 110 kV
122
nadzemnog voda dane su u Tablici 11.6, a duljine raspona jednosustavnih dijelova 110 kV
nadzemnog voda dane su u Tablici 11.9 i 11.10.
Tablica 11.5. Koordinate nadomjesnih uzemljivača dvosustavnih stupova 110 kV nadzemnog
voda počevši od TS 110/35/10 (20) kV Drniš
Redni
broj
x
[m]
y
[m]
Redni
broj
x
[m]
y
[m]
1 34,89 95,85 14 1.397,49 3.839,58
2 102,26 280,97 15 1.521,65 4.180,69
3 204,87 562,88 16 1.645,80 4.521,80
4 310,90 854,18 17 1.759,69 4.834,72
5 431,63 1.185,89 18 1.873,59 5.147,64
6 559,89 1.538,28 19 1.992,61 5.474,65
7 645,73 1.774,14 20 2.111,63 5.801,66
8 748,34 2.056,05 21 2.230,66 6.128,68
9 850,95 2.337,95 22 2.349,68 6.455,69
10 937,82 2.576,64 23 2.468,70 6.782,70
11 1.040,42 2.858,55 24 2.587,72 7.109,72
12 1.159,45 3.185,56 25 2.688,62 7.386,92
13 1.278,47 3.512,57
Tablica 11.6. Duljine raspona dvosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda
počevši od TS 110/35/10 (20) kV Drniš
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
1 102 8 300 15 363 22 348
2 197 9 300 16 363 23 348
3 300 10 254 17 333 24 348
4 310 11 310 18 333 25 295
5 353 12 300 19 348
6 375 13 348 20 348
7 251 14 348 21 348
123
Tablica 11.7. Koordinate nadomjesnih uzemljivača jednosustavnih stupova 110 kV
nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35 kV Knin
Redni
broj
x
[m]
y
[m]
Redni
broj
x
[m]
y
[m]
1 2.841,36 7.539,66 31 11.210.35 7.539,66
2 3.086,36 7.539,66 32 11.524.35 7.539,66
3 3.366,36 7.539,66 33 11.835.35 7.539,66
4 3.636,36 7.539,66 34 12.129.35 7.539,66
5 3.925,36 7.539,66 35 12.450.35 7.539,66
6 4.211,35 7.539,66 36 12.776.35 7.539,66
7 4.502,35 7.539,66 37 13.113.35 7.539,66
8 4.796,35 7.539,66 38 13.423.35 7.539,66
9 5.080,35 7.539,66 39 13.653.35 7.539,66
10 5.398,35 7.539,66 40 13.985.35 7.539,66
11 5.709,35 7.539,66 41 14.298.35 7.539,66
12 6.014,35 7.539,66 42 14.627.35 7.539,66
13 6.317,35 7.539,66 43 14.958.35 7.539,66
14 6.569,35 7.539,66 44 15.297.35 7.539,66
15 6.796,35 7.539,66 45 15.602.35 7.539,66
16 7.055,35 7.539,66 46 15.895.35 7.539,66
17 7.317,35 7.539,66 47 16.207.35 7.539,66
18 7.623,35 7.539,66 48 16.545.35 7.539,66
19 7.876,35 7.539,66 49 16.866.35 7.539,66
20 8.145,35 7.539,66 50 17.173.35 7.539,66
21 8.429,35 7.539,66 51 17.492.35 7.539,66
22 8.744,35 7.539,66 52 17.795.35 7.539,66
23 8.935,35 7.539,66 53 18.103.35 7.539,66
24 9.222,35 7.539,66 54 18.402.35 7.539,66
25 9.481,35 7.539,66 55 18.652.35 7.539,66
26 9.681,35 7.539,66 56 18.943.35 7.539,66
27 9.983,35 7.539,66 57 19.176.35 7.539,66
28 10.295,35 7.539,66 58 19.451.35 7.539,66
29 10.597,35 7.539,66 59 19.714.35 7.539,66
30 10.910,35 7.539,66 60 19.917.35 7.539,66
124
Tablica 11.8. Koordinate nadomjesnih uzemljivača jednosustavnih stupova 110 kV
nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 220/110/30 kV Bilice
Redni
broj
x
[m]
y
[m]
Redni
broj
x
[m]
y
[m]
1 2.550,03 7.525,52 42 -10.153,79 7.726,34
2 2.349,21 7.726,34 43 -10.462,79 7.726,34
3 2.068,21 7.726,34 44 -10.725,79 7.726.34
4 1.783,21 7.726.34 45 -11.138,79 7.726.34
5 1.496,21 7.726.34 46 -11.416,79 7.726,34
6 1.218,21 7.726,34 47 -11.707,79 7.726,34
7 934,21 7.726,34 48 -11.956,79 7.726,34
8 657,21 7.726,34 49 -12.264,79 7.726.34
9 367,21 7.726.34 50 -12.558,79 7.726.34
10 95,21 7.726.34 51 -12.853,79 7.726,34
11 -201,79 7.726,34 52 -13.129,79 7.726,34
12 -490,79 7.726,34 53 -13.429,79 7.726,34
13 -752,79 7.726,34 54 -13.719,79 7.726.34
14 -1.062,79 7.726.34 55 -14.020,79 7.726.34
15 -1.386,79 7.726.34 56 -14.319,79 7.726,34
16 -1.716,79 7.726,34 57 -14.622,79 7.726,34
17 -2.032,79 7.726,34 58 -14.918,79 7.726,34
18 -2.370,79 7.726,34 59 -15.238,79 7.726.34
19 -2.704,79 7.726.34 60 -15.528,79 7.726.34
20 -3.049,79 7.726.34 61 -15.810,79 7.726,34
21 -3.385,79 7.726,34 62 -16.085,79 7.726,34
22 -3.703,79 7.726,34 63 -16.402,79 7.726,34
23 -3.952,79 7.726,34 64 -16.687,79 7.726.34
24 -4.249,79 7.726.34 65 -16.962,79 7.726.34
25 -4.545,79 7.726.34 66 -17.214,79 7.726,34
26 -4.861,79 7.726,34 67 -17.476,79 7.726,34
27 -5.150,79 7.726,34 68 -17.651,79 7.726,34
28 -5.460,79 7.726,34 69 -17.883,79 7.726.34
29 -6.018,79 7.726.34 70 -17.968,79 7.726.34
30 -6.476,79 7.726.34 71 -18.281,79 7.726,34
31 -6.733,79 7.726,34 72 -18.578,79 7.726,34
32 -7.043,79 7.726,34 73 -18.863,79 7.726,34
33 -7.374,79 7.726,34 74 -19.120,79 7.726.34
34 -7.652,79 7.726.34 75 -19.378,79 7.726.34
35 -7.998,79 7.726.34 76 -19.644,79 7.726,34
36 -8.295,79 7.726,34 77 -19.938,79 7.726,34
37 -8.587,79 7.726,34 78 -20.094,79 7.726,34
38 -8.870,79 7.726,34 79 -20.294,79 7.726.34
39 -9.165,79 7.726.34 80 -20.626,79 7.726.34
40 -9.481,79 7.726.34 81 -20.927,79 7.726,34
41 -9.814,79 7.726,34 82 -21.199,79 7.726,34
125
Tablica 11.9. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od TS
110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35 kV Knin
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
1 216 17 262 33 311 49 321
2 245 18 306 34 294 50 307
3 280 19 253 35 321 51 319
4 270 20 269 36 326 52 303
5 289 21 284 37 337 53 308
6 286 22 315 38 310 54 299
7 291 23 191 39 230 55 250
8 294 24 287 40 332 56 291
9 284 25 259 41 313 57 233
10 318 26 200 42 329 58 275
11 311 27 302 43 331 59 263
12 305 28 312 44 339 60 203
13 303 29 302 45 305 61 100
14 252 30 313 46 293
15 227 31 300 47 312
16 259 32 314 48 338
Koordinate segmenata ukupanih uzemljivačkih užadi dane su u Tablici 11.11.
Uzemljivačka bakrena užad ukopanana su u tlo na dubini od 0,7 m; površina poprečnog
presjeka im je 50 mm², a vanjski im je polumjer 4 mm. Uzemljivačka bakrena užad položena
su iznad svih 10 (20) kV i 35 kV kabelskih vodova (Slika 11.5). U zajedničkom rovu
položeno je samo jedno uzemljivačko uže. Kabelske trojke su položene u trolistu (Slika 11.5).
Razmak između susjednih kabelskih trojki, položenih u zajednički rov, iznosi 0,2 m.
126
Tablica 11.10. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od TS
110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 220/110/30 kV Bilice
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
[m]
Raspon broj
Duljina raspona
broj
1 196 22 318 43 309 64 285
2 284 23 249 44 263 65 275
3 281 24 297 45 413 66 252
4 285 25 296 46 278 67 262
5 287 26 316 47 291 68 175
6 278 27 289 48 249 69 232
7 284 28 310 49 308 70 85
8 277 29 558 50 294 71 313
9 290 30 458 51 295 72 297
10 272 31 257 52 276 73 285
11 297 32 310 53 300 74 257
12 289 33 331 54 290 75 258
13 262 34 278 55 301 76 266
14 310 35 346 56 299 77 294
15 324 36 297 57 303 78 156
16 330 37 292 58 296 79 200
17 316 38 283 59 320 80 332
18 338 39 295 60 290 81 301
19 334 40 316 61 282 82 272
20 345 41 333 62 275 83 120
21 336 42 339 63 317
127
Tablica 11.11. Koordinate segmenata bakrenih uzemljivačkih užadi
Početna točka Konačna točka Segment
broj x [m] y [m] x [m] y [m]
Duljina
[m]
1 80,10 -27,00 63,00 -74,00 50
2 63,00 -74,00 45,90 -121,00 50
3 45,53 -122,10 145,53 -122,10 100
4 145,53 -122,10 245,53 -122,10 100
5 246,00 -121,90 346,00 -121,90 100
6 346,00 -121,90 446,00 -121,90 100
7 446,00 -121,90 546,00 -121,90 100
8 546,00 -121,90 646,00 -121,90 100
9 646,00 -121,90 746,00 -121,90 100
10 746,00 -121,90 846,00 -121,90 100
11 45,30 -121,00 11,15 -214,94 100
12 11,15 -214,94 11,15 -334,94 120
13 11,15 -334,94 -30,52 -422,16 96,67
14 -30,52 -422,16 -72,20 -509,38 96,67
15 -72,20 -509,38 -113,88 -596,61 96,67
16 -113,88 -596,61 -155,55 -683,83 96,67
17 -155,55 -683,83 -197,22 -771,05 96,67
18 -197,22 -771,05 -238,90 -858,27 96,67
19 -241,06 -858,27 -285,44 -953,44 105
20 -285,44 -953,44 -329,83 -1.048,62 105
21 -329,83 -1.48,62 -374,21 -1.143,79 105
22 -374,21 -1.143,79 -418,60 -1.238,96 105
23 -418,60 -1.238,96 -462,98 -1.334,13 105
24 -462,98 -1.334,13 -507,36 -1.429,31 105
25 -507,36 -1.429,31 -551,75 -1.524,48 105
26 -551,75 -1.524,48 -596,13 -1.619,65 105
27 -596,13 -1.619,65 -640,52 -1.714,83 105
28 -640,52 -1.714,83 -684,90 -1.810,00 105
29 80,40 0,00 151,15 70,75 100
30 151,15 70,75 221,90 141,50 100
31 221,90 141,50 292,65 212,25 100
32 292,65 212,25 363,40 283,00 100
33 363,60 283,40 452,00 195,00 125
34 452,00 195,00 540,60 106,40 125
35 540,60 106,40 629,02 194,98 125
36 629,02 194,8 717,45 283,55 125
128
Osnovni ulazni podaci za 35 kV jednožilne kabele dani su u Tablici 11.12, a osnovni
ulazni podaci za 10 (20) kV jednožilne kabele dani su u Tablici 11.13.
Tablica 11.12. Osnovni ulazni podaci za 35 kV jednožilne kabele
Značajka Bakreni ekran Vanjska izolacija
Unutarnji polumjer [mm] 19,8 20
Vanjski polumjer [m] 20 24,5
Provodnost [S/m] 51⋅106
6,7⋅10-12
Relativna permeabilnost 1 1
Relativna dielektričnost 0 2,4
Tablica 11.13. Osnovni ulazni podaci za 10 (20) kV jednožilne kabele
Značajka Bakreni ekran Vanjska izolacija
Unutarnji polumjer [mm] 15,75 16
Vanjski polumjer [m] 16 20,5
Provodnost [S/m] 51⋅106
6,7⋅10-12
Relativna permeabilnost 1 1
Relativna dielektričnost 0 2,4
Koordinate segmenata 35 kV jednožilnih kabela dane su u Tablici 11.14, a koordinate
segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabele dane su u Tablicama 11.15 i 11.16.
129
Tablica 11.14. Koordinate segmenata 35 kV jednožilnih kabela
Početna točka Konačna točka Segment
broj x [m] y [m] x [m] y [m]
Dubina
[m]
1 79,449 -27,000 11,049 -214,940 0,875
2 79,395 -27,000 10,995 -214,940 0,875
3 79,422 -27,000 11,022 -214,940 0,831
4 79,149 -27,000 10,749 -214,940 0,875
5 79,095 -27,000 10,695 -214,940 0,875
6 79,122 -27,000 10,722 -214,940 0,831
7 76,995 -27,000 8,595 -214,940 0,875
8 76,941 -27,000 8,541 -214,940 0,875
9 76,968 -27,000 8,568 -214,940 0,831
10 11,049 -214,940 11,049 -334,940 0,875
11 10,999 -214,940 10,999 -334,940 0,875
12 11,024 -214,940 11,024 -334,940 0,831
13 10,749 -214,940 10,749 -334,940 0,875
14 10,699 -214,940 10.699 -334,940 0,875
15 10,724 -214,940 10,724 -334,940 0,831
16 8,595 -214,940 8,595 -334,940 0,875
17 8,545 -214,940 8,545 -334,940 0,875
18 8,570 -214,940 8,570 -334,940 0,831
19 11,049 -334,940 -239,000 -858,270 0,875
20 10,993 -334,940 -239,056 -858,270 0,875
21 11,021 -334,940 -239,028 -858,270 0,831
22 10,749 -334,940 -239,300 -858,270 0,875
23 10,693 -334,940 -239,356 -858,270 0,875
24 10,721 -334,940 -239,328 -858,270 0,831
25 8,595 -334,940 -241,454 -858,270 0,875
26 8,539 -334,940 -241,510 -858,270 0,875
27 8,567 -334,940 -241,482 -858,270 0,831
130
Tablica 11.15. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 1. dio
Početna točka Konačna točka Segment
broj x [m] y [m] x [m] y [m]
Dubina
[m]
1 80,000 -27,000 45,798 -120,969 0,879
2 79,954 -27,000 45,752 -120,969 0,879
3 79,977 -27,000 45,775 -120,969 0,842
4 79,737 -27,000 45,535 -120,969 0,879
5 79,691 -27,000 45,489 -120,969 0,879
6 79,714 -27,000 45,512 -120,969 0,842
7 45,535 -122,000 245,535 -122,000 0,879
8 45,535 -122,042 245,535 -122,042 0,879
9 45,535 -122,021 245,535 -122,021 0,842
10 46,000 -121,737 846,000 -121,737 0,879
11 46,000 -121,779 846,000 -121,779 0,879
12 46,000 -121,758 846,000 -121,758 0,842
13 78,861 -27,000 10,461 -214,940 0,879
14 78,815 -27,000 10,413 -214,940 0,879
15 78,838 -27,000 10,438 -214,940 0,842
16 78,598 -27,000 10,198 -214,940 0,879
17 78,552 -27,000 10,152 -214,940 0,879
18 78,575 -27,000 10,175 -214,940 0,842
19 78,335 -27,000 9,935 -214,940 0,879
20 78,289 -27,000 9,889 -214,940 0,879
21 78,312 -27,000 9,912 -214,940 0,842
22 78,072 -27,000 9,672 -214,940 0,879
23 78,026 -27,000 9,626 -214,940 0,879
24 78,049 -27,000 9,649 -214,940 0,842
25 77,809 -27,000 9,409 -214,940 0,879
26 77,763 -27,000 9,363 -214,940 0,879
27 77,786 -27,000 9,386 -214,940 0,842
28 77,546 -27,000 9,146 -214,940 0,879
29 77,500 -27,000 9,100 -214,940 0,879
30 77,523 -27,000 9,123 -214,940 0,842
31 77,283 -27,000 8,883 -214,940 0,879
32 77,237 -27,000 8,837 -214,940 0,879
33 77,260 -27,000 8,860 -214,940 0,842
34 10,461 -214,940 10,461 -334,940 0,879
35 10,419 -214,940 10,419 -334,940 0,879
36 10,440 -214,940 10,440 -334,940 0,842
37 10,198 -214,940 10,198 -334,940 0,879
38 10,156 -214,940 10,156 -334,940 0,879
39 10,177 -214,940 10,177 -334,940 0,842
40 9,935 -214,940 9,935 -334,940 0,879
41 9,893 -214,940 9,893 -334,940 0,879
42 9,914 -214,940 9,914 -334,940 0,842
43 9,672 -214,940 9,672 -334,940 0,879
44 9,630 -214,940 9,630 -334,940 0,879
45 9,651 -214,940 9,651 -334,940 0,842
131
Tablica 11.16. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 2. dio
Početna točka Konačna točka Segment
broj x [m] y [m] x [m] y [m]
Dubina
[m]
46 9,409 -214,940 9,409 -334,940 0,879
47 9,367 -214,940 9,367 -334,940 0,879
48 9,388 -214,940 9,388 -334,940 0,842
49 9,146 -214,940 9,146 -334,940 0,879
50 9,104 -214,940 9,104 -334,940 0,879
51 9,125 -214,940 9,125 -334,940 0,842
52 8,883 -214,940 8,883 -334,940 0,879
53 8,841 -214,940 8,841 -334,940 0,879
54 8,862 -214,940 8,862 -334,940 0,842
55 10,461 -334,940 -239,588 -858,270 0,879
56 10,413 -334,940 -239,636 -858,270 0,879
57 10,437 -334,940 -239,612 -858,270 0,842
58 10,198 -334,940 -239,851 -858,270 0,879
59 10,150 -334,940 -239,899 -858,270 0,879
60 10,174 -334,940 -239,875 -858,270 0,842
61 9,935 -334,940 -240,114 -858,270 0,879
62 9,887 -334,940 -240,162 -858,270 0,879
63 9,911 -334,940 -240,138 -858,270 0,842
64 9,672 -334,940 -240,377 -858,270 0,879
65 9,624 -334,940 -240,425 -858,270 0,879
66 9,648 -334,940 -240,401 -858,270 0,842
67 9,409 -334,940 -240,640 -858,270 0,879
68 9,361 -334,940 -240,688 -858,270 0,879
69 9,385 -334,940 -240,664 -858,270 0,842
70 9,146 -334,940 -240,903 -858,270 0,879
71 9,098 -334,940 -240,951 -858,270 0,879
72 9,122 -334,940 -240,927 -858,270 0,842
73 8,883 -334,940 -241,166 -858,270 0,879
74 8,835 -334,940 -241,214 -858,270 0,879
75 8,859 -334,940 -241,190 -858,270 0,842
76 -241,166 -858,270 -685,000 -1810,000 0,879
77 -241,214 -858,270 -685,048 -1810,000 0,879
78 -241,190 -858,270 -685,024 -1810,000 0,842
79 80,500 0,000 363,500 283,000 0,879
80 80,560 0,000 363,560 283,000 0,879
81 80,530 0,000 363,530 283,000 0,842
82 363,600 283,560 540,600 106,560 0,879
83 363,600 283,500 540,600 106,500 0,879
84 363,600 283,530 540,600 106,530 0,842
85 540,600 106,560 717,550 283,552 0,879
86 540,600 106,500 717,610 283,552 0,879
87 540,600 106,530 717,580 283,552 0,842
132
Fazni vodiči 110 kV nadzemnog vodu su Al/Fe užad nazivnog poprečnog presjeka 240/40
mm2, dok su zaštitna užad s optičkim nitima od aluminijske legure tipa AA/ACS OPGW
nazivnog poprečnog presjeka 92/43 mm2. Ulazni podaci za fazne vodiče dani su u Tablici
11.17, a ulazni podaci za vodiče zaštitnog užeta s optičkim nitima dani su u Tablici 11.18.
Tablica 11.17. Ulazni podaci za dvoslojne fazne vodiče Al/Fe 240/40 mm2
Značajka Prvi sloj Drugi sloj
Unutarnji polumjer [mm] 5,475 6,52
Vanjski polumjer [m] 6,52 10,95
Provodnost [MS/m] 5,874
31,06
Relativna permeabilnost 30 1
Tablica 11.18. Ulazni podaci za dvoslojne OPGW vodiče AA/ACS 92/43 mm2
Značajka Prvi sloj Drugi sloj
Unutarnji polumjer [mm] 4,586 5,892
Vanjski polumjer [m] 5,892 8
Provodnost [MS/m] 5,874
31,06
Relativna permeabilnost 30 1
Koordinate segmenata faznih vodiča i zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda određene
su podacima danim u Tablicama 11.5 do 11.10 te skicom 110 kV dvosustavnog stupa i 110
kV jednosustavnog stupa (Slika 11.6). Radi jednostavnosti, uzeto je da su svi 110 kV
dvosustavni stupovi međusobno jednaki te da su, također, svi 110 kV jednosustavni stupovi
međusobno jednaki.
Na uzemljivače transformatorskih stanica paralelno su spojene nadomjesne jednočvorne
impedancije (drugi čvor je na nultom potencijalu), koje na približan način uzimaju u račun
neke od vodljivih dijelova povezanih na pojedini uzemljivač. Ti vodljivi dijelovi sudjeluju u
raspodjeli struje zemljospoja. Ulazni podaci za nadomjesne jednočvorne impedancije dani su
u Tablici 11.19.
133
Slika 11.6. Skica dvosustavnog i jednosustavnog stupa 110 kV nadzemnog voda
Tablica 11.19. Ulazni podaci za nadomjesne jednočvorne impedancije
Impedancija nadomješta
Uzemljivač na koji je spojena impedancija
Globalni čvor
Impedancija [Ω]
Vodljive dijelove povezane na
TS 110/35 kV Knin
Uzemljivač TS 110/35 kV Knin
426 0,625 ∠ 0o
Vodljive dijelove povezane na
TS 220/110/30 kV Bilice
Uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice
758 0,625 ∠ 0o
Vodljive dijelove povezane na
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar
830 0,2 ∠ 0
o
Zračni vod 35 kV Drniš - Unešić
Uzemljivač bivše TS 35/10 kV Kalun
829 5,2623627 ∠ 4,98276o
Zračni vod 35 kV Drniš - Oklaj
Uzemljivač bivše TS 35/10 kV Kalun
829 5,3547891 ∠ 4,974396o
Zračni vod 35 kV Drniš - Kosovo
Uzemljivač bivše TS 35/10 kV Kalun
829 6,0887760 ∠ 4,907112o
Zračni vod 10 (20) kV Drniš - RS Promina
Uzemljivač bivše TS 35/10 kV Kalun
829 4,4622192 ∠ 3,681219o
134
U elektromagnetskom modelu, dvočvorne impedancije Ωµ== 10RZ koriste se za
povezivanje dvaju globalnih čvorova. U ovom se primjeru izračuna koriste ukupno četiri
dvočvorne impedancije. Tri impedancije povezuju istoimene 110 kV fazne vodiče dvaju
trofaznih sustava u TS 110/35/10 (20) kV Drniš. Četvrta dvočvorna impedancija služi za
izazivanje zemljospoja u TS 110/35/10 (20) kV Drniš. Ona povezuje globalni čvor jedne od
faza 110 kV voda i globalni čvor uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš.
U slučajevima jednopolnog kratkog spoja u račun su uzete struje jednopolnog kratkog
spoja za nazivnu 2015. godinu izračunate u literaturi [24]. U slučaju jednopolnog kratkog
spoja na 110 kV sabirnicama TS 220/110/30 kV Bilice svi nadzemni vodovi 110 kV, izuzev
razmatranog jednosustavnog T nadzemnog voda DV 110 kV Bilice − Drniš − Knin, daju svoj
doprinos struji zemljospoja ,kA916,74147,4Io
d1k −∠=′′ a transformatori TR 220/110 kV
daju svoj doprinos struji zemljospoja .kA1,83332,13Io
tr1k −∠=′′ Slijedi da je vlastita
unutarnja impedancija pojedine faze nadomjesnog trofaznog simetričnog izvora priključenog
na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog u dalekoj točki
,916,74846,16Zo
d Ω∠= dok je vlastita unutarnja impedancija pojedine faze nadomjesnog
trofaznog simetričnog izvora priključenog na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i
uzemljenog na uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice .1,8324,5Zo
trΩ∠=
Prema literaturi [24] za nazivnu 2015. godinu, u slučaju jednopolnog kratkog spoja na 110
kV sabirnicama TS 110/35 kV Knin svi nadzemni vodovi 110 kV, izuzev jednosustavnog T
nadzemnog voda DV 110 kV Bilice − Drniš − Knin, daju svoj doprinos struji zemljospoja u
iznosu od .kA546,81676,4Io
d1k −∠=′′ Slijedi da je vlastita unutarnja impedancija pojedine
faze nadomjesnog trofaznog simetričnog izvora priključenog na 110 kV sabirnice TS 110/35
kV Knin i uzemljenog u dalekoj točki .546,81676,4Zo
d Ω∠=
U slučajevima jednopolnog kratkog spoja, u samoj TS 110/35/10 (20) kV Drniš nema
nadomjesnih izvora jer se TS 110/35/10 (20) kV Drniš napaja samo preko razmatranog
jednosustavnog T nadzemnog voda DV 110 kV Bilice - Drniš - Knin. Dakle, u izračunu se
koriste ukupno tri nadomjesna trofazna simetrična naponska izvora, od kojih su dva
priključena na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice, a treći na 110 kV sabirnice TS
110/35 kV Knin (Tablice 11.20 do 11.22).
135
Tablica 11.20. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora priključenog
na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog u dalekoj točki nultog potencijala
Faza Parametar
L1 L2 L3 Zvjezdište
Fazna EMS [kV] 69,859 o
0∠ 69,859 o
120−∠ 69,859 o
120∠
Globalni čvor 755 756 757 759
Vlastita impedancija [Ω] o916,74846,16dZ ∠=
Tablica 11.21. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora priključenog
na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog
na uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice
Faza Parametar
L1 L2 L3 Zvjezdište
Fazna EMS [kV] 69,859 o
0∠ 69,859 o
120−∠ 69,859 o
120∠
Globalni čvor 755 756 757 758
Vlastita impedancija [Ω] o1,8324,5trZ ∠=
Tablica 11.22. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora priključenog
na 110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljenog u dalekoj točki nultog potencijala
Faza Parametar
L1 L2 L3 Zvjezdište
Fazna EMS [kV] 69,859 o
0∠ 69,859 o
120−∠ 69,859 o
120∠
Globalni čvor 423 424 425 760
Vlastita impedancija [Ω] o
d 546,81676,4Z ∠=
136
11.6. Elektromagnetskog model - izlazni rezultati
Korištenjem računalnog programa EMFCD izračunata je raspodjela struje zemljospoja koji
se dogodio na 110 kV sabirnicama TS 110/35/10 (20) kV Drniš. U Tablici 11.23 prikazani su
osnovni izlazni podaci u ovisnosti o tom na kojoj se fazi dogodio zemljospoj. Najveći
potencijal uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš i najveća jakost struje koju odvodi
uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš dobiveni su u slučaju kad se zemljospoj dogodio na
donjoj fazi L3, koja je najudaljenija od zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda. Stoga, sa
stanovišta povećane sigurnosti, treba uzeti kao mjerodavan zemljospoj na donjoj fazi L3, a
preostala dva slučaja zemljospoja na fazama L1 i L2 nema potrebe detaljnije razmatrati.
Tablica 11.23. Osnovni izlazni podaci u ovisnosti o tom na kojoj se fazi dogodio zemljospoj
Zemljospoj na Gornjoj fazi L1 Srednjoj fazi L2 Donjoj fazi L3
Struja zemljospoja
[A] 4.596,839 ∠ -74,178
o
4.509,459 ∠ 164,893o
4.414,224 ∠ 44,218o
Potencijal
uzemljivača
TS Drniš [V]
1.229,258 ∠ -55,270o
1.268,397∠ 185,843o
1.273,358 ∠ 65,933o
Struja koju odvodi
uzemljivač
TS Drniš [A]
359,690 ∠ -50,688o
371,108 ∠ 190,414o
372,477 ∠ 70,499o
Struja koju odvodi
zaštitno uže 110 kV
voda [A]
2.572,421 ∠ -60,658o
2.383,676∠ 177,900o
2.260,209 ∠ 56,938o
Raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela kad se
zemljospoj dogodio na donjoj fazi L3 u TS 110/35/10 (20) kV Drniš dana je u Tablici 11.24.
Potencijali i struje uzemljivača razmatranih transformatorskih stanica i uzemljivača dvaju
razmatranih 10 (20) kV stupova na prijelazu 10 (20) kV kabelskih vodova u nadzemne
vodove dani su u Tablici 11.25.
137
Tablica 11.24. Raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela
Tablica 11.25. Potencijali i struje uzemljivača transformatorskih stanica i 10 (20) kV stupova
Uzemljivač Globalni
čvor
Potencijal
[V]
Struja
[A]
TS Drniš 110/35/10 (20) kV 7 1.273,358 ∠ 65,933o
372,477 ∠ 70,499o
TS 110/35 kV Knin 426 400,064 ∠ 67,970o
152,100 ∠ 68,631o
TS 220/110/30 kV Bilice 758 365,278 ∠ -152,051o
141,352 ∠ -150,951o
Bivša TS 35/10 kV Kalun 829 684,121 ∠ 36,829o
200,116 ∠ 37,428o
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 830 173,032 ∠ -34,651o
4,778 ∠ -56,534o
TS 10 (20)/0,4 kV
Trbounje – Razvođe 837 1.366,735 ∠ 66,281
o
41,705 ∠ 70,555o
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Fenčevina 767 1.211,593 ∠ 62,371
o
6,040 ∠ 67,580o
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Farma 768 1.231,007 ∠ 61,281
o
12,349 ∠ 64,920o
Sastavnica Jakost struje
[A]
Uzemljivač TS 110/35/10(20) kV Drniš 372,477 ∠ 70,499o
Zaštitno uže 2.260,209 ∠ 56,938o
Uzemljivačka užad 559,056 ∠ 58,423o
Ekrani 35 kV kabela 522,482 ∠ 8,963o
Ekrani 10 kV kabela 1.034,835 ∠ 15,433o
Struja zemljospoja [A] 4.414,224 ∠ 44,218o
138
Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda
Drniš - Knin prikazana je na Slici 11.7, dok je na Slici 11.8 prikazana raspodjela efektivne
vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin, gledano od
TS 110/35/10 (20) kV Drniš. Prema Slici 11.8, potencijal dviju zdravih faza najveći je na
sabirnicama TS 110/35/10 (20) kV Drniš, na kojima se dogodio zemljospoj.
Slika 11.7. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta
110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin
Slika 11.8. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča
110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin
139
Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda
Drniš - Bilice prikazana je na Slici 11.9, dok je na Slici 11.10 prikazana raspodjela efektivne
vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice, gledano od
TS 110/35/10(20) kV Drniš. Prema Slici 11.10, potencijal dviju zdravih faza najveći je na
sabirnicama TS 110/35/10 (20) kV Drniš, na kojima se dogodio zemljospoj.
Slika 11.9. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta
110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice
Slika 11.10. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča
110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice
140
Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Knin prikazana je na Slici 11.11, dok je na Slici 11.12 prikazana
raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači stupova 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Knin, gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš.
Slika 11.11. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča
110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin
Slika 11.12. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači
stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin
141
Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Bilice prikazana je na Slici 11.13, dok je na Slici 11.14 prikazana
raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači stupova 110 kV
nadzemnog voda Drniš - Bilice, gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš.
Slika 11.13. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča
110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice
Slika 11.14. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači
stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice
142
Izlazni podaci za dva nadomjesna trofazna simetrična naponska izvora priključena na
sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice dani su u Tablicama 11. 26 i 11.27, dok su u Tablici 11.28
dani izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen na sabirnice
TS 220/110/30 kV Knin.
Tablica 11.26. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen na
110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen u dalekoj točki nultog potencijala
Faza Veličina
L1 L2 L3
Potencijal na sabirnici [kV] 69,337 ∠ 0,187o
69,974∠ -120,464o
59,936 ∠ 119,172o
Izlazna fazna struja [A] 33,784 ∠ -98,324o
34,322 ∠ -93,717o
591,645∠ 50,071o
Izlazna struja zvjezdišta [A] 536,526 ∠ -133,988o
Tablica 11.27. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen na
110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen na uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice
Faza Veličina
L1 L2 L3
Potencijal na sabirnici [kV] 69,337 ∠ 0,187o
69,974∠ -120,464o
59,936 ∠ 119,172o
Izlazna fazna struja [A] 84,852 ∠ -146,424o
80,585 ∠ -140,957o
1.911,865∠ 43,961o
Izlazna struja zvjezdišta [A] 1.748,255 ∠ -135,311o
Tablica 11.28. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen na
110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljen u dalekoj točki nultog potencijala
Faza Veličina
L1 L2 L3
Potencijal na sabirnici [kV] 71,057 ∠ -1,063o
70,474∠ -118,772o
41,472 ∠ 117,075o
Izlazna fazna struja [A] 118,637 ∠ 50,421o
108,743 ∠ 46,828o
1.908,817∠ 42,71o
Izlazna struja zvjezdišta [A] 2.134,975 ∠ 136,653o
143
11.7. Usporedba rezultata izračuna
Rezultati izračuna dobiveni korištenjem u ovom radu razvijenog računalnog programa
EMFCD, čija je teorijska podloga izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun
raspodjele struje zemljospoja, uspoređeni su s rezultatima dobivenim korištenjem računalnog
programa FCD opisanog u radu [29]. Teorijska podloga računalnog programa FCD jest
hibridni model za izračun raspodjele struje zemljospoja, također, utemeljen na primjeni
tehnike konačnih elemenata, koji je, ustvari, kombinacija elektromagnetskog modela i modela
prijenosnih vodova. Rezultati izračuna dobiveni korištenjem računalnog programa EMFCD
uspoređeni su i s rezultatima dobivenim korištenjem računalnog programa FCD-WC.
Računalni program FCD-WC zasnovan je na modelu prijenosnih vodova, a nastao je
preinakom računalnog programa FCD.
Za razliku od elektromagnetskog modela u kojem je uzeta u račun cjelovita
elektromagnetska sprega između sastavnica modela, u hibridnom modelu:
• Zanemarena je kapacitivna sprega između svih sastavnica modela,
• Konduktivno su spregnuti svi uzemljivači modelirani kružnom metalnom pločom
smještenom na površini tla i poprečna komponenta svih segmenta uzemljivačkih
užadi ukopanih iznad kabelskih vodova,
• Induktivno su spregnuti samo segmenti aktivnih faznih vodiča i segmenti zaštitnih
užad pojedine dionice nadzemnog voda s uračunatim povratnim putem kroz zemlju,
što se, po potrebi, može proširiti i na dionice dvaju ili više paralelnih nadzemnih
vodova,
• Induktivno su spregnuti samo segmenti aktivnih faznih vodiča, segmenti metalnih
ekrana kabela i uzdužna komponenta uzemljivačkih užadi pojedine dionice paralelnih
kabelskih vodova,
• Struja zemljospoja i struje aktivnih faznih vodiča poznate su i mogu se preuzeti iz
literature [24].
Za razliku od hibridnog modela, u modelu prijenosnog voda zanemarena je konduktivna
sprega između uzemljivača modeliranih kružnim metalnim pločama smještenih na površini tla
i poprečnih komponenata svih segmenta uzemljivačkih užadi ukopanih iznad kabelskih
vodova.
144
Najvažniji izlazni podaci izračunati korištenjem triju računalnih programa prikazani su u
Tablici 11.29, gdje je struja zemljospoja navedena za računalne programe FCD i FCD-WC
ručno izračunata na temelju podataka preuzetih iz literature [24] za nazivnu 2015. godinu, uz
uvažavanje činjenice da se razmatra zemljospoj koji je nastao na donjoj fazi L3.
U računalnim programima FCD i FCD-WC, osim struje zemljospoja, u ulazne podatke
spadaju i nulte komponente struja koje teku aktivnim faznim vodičima. Prema [24], od
TS 220/110/30 kV Bilice prema TS 110/35/10 (20) kV Drniš svakim od triju faznih vodiča
teče nulta komponenta struje ,A3,4467,751Io
0 ∠= dok od TS 110/35 kV Knin prema TS
110/35/10 (20) kV Drniš svakim od triju faznih vodiča teče nulta komponenta struje
.A2,42729Io
0 ∠= Naravno, i kod ručnog izračuna nultih komponenti struja uvažena je
činjenica da se razmatra zemljospoj koji je nastao na donjoj fazi L3.
Tablica 11.29. Najvažniji izlazni podaci izračunati korištenjem triju računalnih programa
Zemljospoj na EMFCD
Elektromagnetski model
FCD Hibridni model
FCD-WC Model
prijenosnog voda
Struja zemljospoja [A] 4.414,224∠ 44,218o
4.441,264∠ 43,266o
4.441,264∠ 43,266o
Potencijal uzemljivača
TS Drniš [V] 1.273,358∠ 65,933
o
1.282,702∠ 67,501o
990,258∠ 62,960o
Struja koju odvodi
uzemljivač TS Drniš [A] 372,477∠ 70,499
o
351,022 ∠ 71,110o 396,103∠ 62,960
o
Struja koju odvodi zaštitno
uže 110 kV voda [A] 2.260,209∠ 56,938
o
2.187,400∠ 54,497o 2.166,045∠ 54,409
o
U Tablicama 11.30 do 11.32 uspoređeni su rezultati izračunati korištenjem računalnih
programa EMFCD i FCD, dok su u Tablicama 11.33 do 11.35 uspoređeni rezultati izračunati
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC. Postotne greška za efektivne
vrijednosti potencijala i jakosti struje izračunate su uz pretpostavku da su rezultati dobiveni
računalnim programom EMFCD točni.
145
U Tablici 11.30 uspoređene su raspodjele struje zemljospoja po sastavnicama izračunate
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD, odakle je vidljivo relativno dobro slaganje
dobivenih rezultata.
Tablica 11.30. Usporedba raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD
Jakost struje [A]
Sastavnica Elektromagnetski model - EMFCD
Hibridni model - FCD
Greška
[%]
Uzemljivač TS 110/35/10 (20) kV Drniš 372,477 ∠ 70,499
o
351,022 ∠ 71,110o -5,760
Zaštitno uže 2.260,209 ∠ 56,938o
2.187,400 ∠ 54,497o -3,221
Uzemljivačka užad 559,056 ∠ 58,423o
493,958 ∠ 53,630o -11,644
Ekrani 35 kV kabela 522,482 ∠ 8,963o
531,716 ∠ 19,746o 1,767
Ekrani 10 kV kabela 1.034,835 ∠ 15,433o
1.114,343 ∠ 18,509o
7,683
Struja zemljospoja 4.414,224 ∠ 44,218o
4.441,264 ∠ 43,266o
0,613
U Tablici 11.31 uspoređeni su potencijali uzemljivača izračunati korištenjem računalnih
programa EMFCD i FCD, odakle je vidljivo relativno dobro slaganje dobivenih rezultata.
Međutim, treba uočiti da je potencijal uzemljivača TS 10 (20)/0,4 kV Trbounje – Razvođe
dobiven računalnim programom EMFCD veći od potencijala uzemljivača TS 110/35/10 (20)
kV Drniš, za razliku od potencijala istog uzemljivača dobivenih računalnim programom FCD.
Ovakav rezultat je fizikalno opravdan i prvenstveno je posljedica induktivne sprege vodiča
110 kV nadzemnog voda i vodiča kabelskog voda između TS 110/35/10 (20) kV Drniš i TS
10 (20)/0,4 kV Trbounje – Razvođe. Ta induktivna sprega uzeta je u račun u računalnom
programu EMFCD utemeljenom na elektromagnetskom modelu, a zanemarena je u
računalnim programima FCD i FCD-WC, koji su utemeljeni na hibridnom modelu i modelu
prijenosnog voda, respektivno.
146
Tablica 11.31. Usporedba potencijala uzemljivača izračunatih korištenjem računalnih
programa EMFCD i FCD
Potencijal [V]
Uzemljivač Elektromagnetski model - EMFCD
Hibridni model - FCD
Greška
[%]
TS Drniš 110/35/10 (20) kV 1.273,358 ∠ 65,933o
1.282,702 ∠ 67,501o
0,734
TS 110/35 kV Knin 400,064 ∠ 67,970o
399,427 ∠ 64,420o -0,159
TS 220/110/30 kV Bilice 365,278 ∠ -152,051o
411,275 ∠ 66,811o 12,592
Bivša TS 35/10 kV Kalun 684,121 ∠ 36,829o
688,973∠ 41,379o 0,709
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 173,032 ∠ -34,651o
163,860 ∠ -19,456o -5,301
TS 10 (20)/0,4 kV
Trbounje – Razvođe 1.366,735 ∠ 66,281
o
1.242,405 ∠ 62,075o -9,097
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Fenčevina 1.211,593 ∠ 62,371
o
1.198,038 ∠ 63,264o -1,119
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Farma 1.231,007 ∠ 61,281
o
1.187,116 ∠ 61,015o
-3,565
U Tablici 11.32 uspoređene su jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunate
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD, odakle je vidljivo relativno dobro slaganje
izračunatih efektivnih vrijednosti jakosti struje. Međutim, treba uočiti da je struja koju u tlo
odvodi uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice dobivena računalnim programom EMFCD
gotovo protufazna istovrsnoj struji dobivenoj računalnim programom FCD. Ovakav rezultat je
fizikalno opravdan i posljedica je toga što je u računalnom programu EMFCD, za razliku od
računalnog programa FCD, uzet u račun nadomjesni trofazni simetrični izvor koji je spojen na
110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen u TS 220/110/30 kV Bilice. U Tablici
11.27 navedena je struja koju zvjezdište tog nadomjesnog izvora predaje uzemljivaču TS
220/110/30 kV Bilice, a upravo ta struja dominantno utječe na fazni kut struje koju
uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice odvodi u tlo.
147
Tablica 11.32. Usporedba jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD
Jakost struje [A]
Uzemljivač Elektromagnetski model - EMFCD
Hibridni model - FCD
Greška
[%]
TS Drniš 110/35/10 (20) kV 372,477 ∠ 70,499o
351,022 ∠ 71,110o
-5,760
TS 110/35 kV Knin 152,100 ∠ 68,631o
145,206 ∠ 65,554o
-4,533
TS 220/110/30 kV Bilice 141,352 ∠ -150,951o
150,668 ∠ 67,945o
6,591
Bivša TS 35/10 kV Kalun 200,116 ∠ 37,428o
175,018 ∠ 34,920o
-12,542
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 4,778 ∠ -56,534o
7,760 ∠ -80,181o
62,411
TS 10 (20)/0,4 kV
Trbounje – Razvođe 41,705 ∠ 70,555
o
30,462 ∠ 62,574o
-26,958
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Fenčevina 6,040 ∠ 67,580
o
3,865 ∠ 64,135o
-36,010
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Farma 12,349 ∠ 64,920
o
8,651 ∠ 60,986o
-29,946
U Tablici 11.33 uspoređene su raspodjele struje zemljospoja po sastavnicama izračunate
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC, odakle je vidljivo relativno dobro
slaganje dobivenih rezultata.
148
Tablica 11.33. Usporedba raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC
Jakost struje [A]
Sastavnica Elektromagnetski model - EMFCD
Model prijenosnog voda - FCD-WC
Greška
[%]
Uzemljivač TS 110/35/10(20) kV Drniš 372,477 ∠ 70,499
o
396,103 ∠ 62,960o
6,343
Zaštitno uže 2.260,209 ∠ 56,938o
2.166,045 ∠ 54,409o -4,166
Uzemljivačka užad 559,056 ∠ 58,423o
619,594 ∠ 50,155o 10,829
Ekrani 35 kV kabela 522,482 ∠ 8,963o
439,565 ∠ 16,022o -15,870
Ekrani 10 kV kabela 1.034,835 ∠ 15,433o
1.029,136 ∠ 18,863o
-0,551
Struja zemljospoja 4.414,224 ∠ 44,218o
4.441,264∠ 43,266o
0,613
U Tablici 11.34 uspoređeni su potencijali uzemljivača izračunati korištenjem računalnih
programa EMFCD i FCD-WC, odakle je vidljivo nešto lošije slaganje rezultata no u slučaju
usporedbe istovrsnih rezultata izračunatih korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD.
Ovakav rezultat je očekivan jer je računalni program EMFCD utemeljen na
elektromagnetskom modelu, računalni program FCD je utemeljen na hibridnom modelu, a
računalni program FCD-WC na modelu prijenosnog voda.
149
Tablica 11.34. Usporedba potencijala uzemljivača izračunatih korištenjem računalnih
programa EMFCD i FCD-WC
Potencijal [V]
Uzemljivač Elektromagnetski model - EMFCD
Model prijenosnog voda - FCD-WC
Greška
[%]
TS Drniš 110/35/10 (20) kV 1.273,358 ∠ 65,933o
990,258∠ 62,960o
-22,233
TS 110/35 kV Knin 400,064 ∠ 67,970o
381,282∠ 65,065o -4,695
TS 220/110/30 kV Bilice 365,278 ∠ -152,051o
394,923 ∠ 67,554o 8,116
Bivša TS 35/10 kV Kalun 684,121 ∠ 36,829o
514,252∠ 32,400o -24,830
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 173,032 ∠ -34,651o
121,913∠ -31,118o -29,543
TS 10 (20)/0,4 kV
Trbounje – Razvođe 1.366,735 ∠ 66,281
o
938,476 ∠ 54,642o -31,334
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Fenčevina 1.211,593 ∠ 62,371
o
912,084 ∠ 57,003o -24,720
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Farma 1.231,007 ∠ 61,281
o
900,417 ∠ 53,882o
-26,855
U Tablici 11.35 uspoređene su jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunate
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC, odakle je vidljivo relativno dobro
slaganje izračunatih efektivnih vrijednosti jakosti struje. Međutim, i u ovom slučaju treba
uočiti da je struja koju u tlo odvodi uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice dobivena računalnim
programom EMFCD gotovo protufazna istovrsnoj struji dobivenoj računalnim programom
FCD-WC. Fizikalna opravdanost ovakvog rezultat prethodno je objašnjena.
Usporedba rezultata izračunatih korištenjem triju računalnih programa, potvrđena je
fizikalnost rezultata dobivenih korištenjem u ovom radu razvijenog računalnog programa
EMFCD, koji je utemeljen na izvorno razvijenom elektromagnetskom modelu za izračun
raspodjele struje zemljospoja.
150
Tablica 11.35. Usporedba jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunatih
korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC
Jakost struje [A]
Uzemljivač Elektromagnetski
model Model prijenosnog voda - FCD-WC
Greška
[%]
TS Drniš 110/35/10 (20) kV 372,477 ∠ 70,499o
396,103 ∠ 62,960o
6,343
TS 110/35 kV Knin 152,100 ∠ 68,631o
152,513 ∠ 65,065o
0,272
TS 220/110/30 kV Bilice 141,352 ∠ -150,951o
157,969 ∠ 67,554o 11,756
Bivša TS 35/10 kV Kalun 200,116 ∠ 37,428o
205,701 ∠ 32,400o
2,791
TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 4,778 ∠ -56,534o
4,877 ∠ -31,118o
2,072
TS 10 (20)/0,4 kV
Trbounje – Razvođe 41,705 ∠ 70,555
o
37,539 ∠ 54,642o
-9,989
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Fenčevina 6,040 ∠ 67,580
o
11,401 ∠ 57,003o
88,758
10 kV stup prema TS 10
(20)/0,4 kV Farma 12,349 ∠ 64,920
o
11,255 ∠ 53,882o
-8,859
151
12. ZAKLJUČAK
U ovom je doktorskom radu opisan izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun
raspodjele struje zemljospoja u elektroenergetskim postrojenjima, koji je utemeljen na
primjeni tehnike konačnih elemenata na integralnu formulaciju problema. Sastavnice
elektromagnetskog modela mogu se nalaziti u homogenom tlu ili pak u zraku. Gušenje i fazno
zakretanje elektromagnetskog vala približno se uzima u račun korištenjem prigušno-faznog
faktora.
U razvijenom elektromagnetskom modelu sve međusobno elektromagnetski spregnute
sastavnice tvore jedan jedini konačni element. Svaki se vodič dijeli na cilindrične segmente
konačne duljine, dok se, radi jednostavnosti, uzemljivači transformatorskih stanica i stupova
nadzemnih vodova mogu nadomjestiti ekvipotencijalnim kružnim metalnim pločama.
Vlastite i međusobne impedancije segmenata vodiča i nadomjesnih kružnih metalnih ploča
računaju se po Galjerkin-Bubnovovoj metodi, koja se u slučaju vlastitih i međusobnih
impedancija cilindričnih segmenata vodiča svodi na metodu srednjeg potencijala. Fazni vodiči
ukopanih kabelskih i nadzemnih vodova, zaštitna užad nadzemnih vodova kao i uzemljivačka
užad i trake aproksimirani su pravocrtnim tankožičanim cilindričnim segmentima. Cilindrični
segmenti aktivnih i pasivnih vodiča imaju konstantnu uzdužnu struju i konstantnu linijsku
gustoću poprečne struje, koje su matematički smještene duž osi vodiča.
U razvijenom elektromagnetskom modelu, raspodjela skalarnog električnog potencijala
uslijed poprečnih struja vodiča segmenta jednožilnih kabela računa se na isti način kao i za
segmente golih vodiča, samo pritom raspodjeli potencijala u okolnom sredstvu doprinose
poprečne struje svih vodiča razmatranog segmenta jednožilnog kabela. Što se tiče vlastitih i
međusobnih impedancija, izolacijski, poluvodljivi i vodljivi slojevi jednožilnog kabela utječu
samo na izračun vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija vodiča razmatranog segmenta
jednožilnog kabela. Osim toga, kvazistatičke slike segmenata vodiča jednožilnih kabela na isti
način doprinose vlastitim i međusobnim poprečnim impedancijama kao da se radi o
kvazistatičkim slikama golih vodiča. To vrijedi i za međusobne poprečne impedancije
segmenata vodiča koji pripadaju različitim segmentima jednožilnih kabela, tj. njih u
elektromagnetskom modelu razmatramo kao da se radi o golim vodičima u homogenom
neograničenom sredstvu.
152
Posebna je pozornost posvećena modeliranju trofaznih transformatora. Svaki od tih
transformatora tvori zasebni konačni element, a za najčešće korištene vrste spoja
transformatora razvijeni su lokalni sustavi jednadžbi. Međutim, ako se u izračun raspodjele
struje zemljospoja ulazi s poznatim strujama zemljospoja, onda to znači da su zadani
nezavisni strujni izvori pa u tom slučaju transformatore nije potrebno uključivati u
elektromagnetski model.
Ako su poznate struje zemljospoja u susjednim transformatorskim stanicama iz kojih se
napaja transformatorska stanica pogođena zemljospojem, onda je dobro na temelju tih struja u
svakoj od susjednih trafostanica formirati jedan ili više nadomjesnih trofaznih naponskih
izvora. Na taj se način u račun uzimaju tokovi snaga u elektroenergetskom sustavu, što bitno
utječe na točnost cjelokupnog izračuna.
Pojedini dio elektroenergetskog sustava može se nadomjestiti pomoću impedancije, koja
tvori zasebni konačni element. Tako se i pasivni nadzemni vod ili njegov dio može
nadomjestiti impedancijom, a izračun nadomjesne impedancije olakšan je kad se radi o
dugom nadzemnom vodu.
Korištenjem tehnike konačnih elemenata formira se globalni sustav jednadžbi, gdje su
nepoznanice potencijali globalnih čvorova. Nakon što se riješi globalni sustav jednadžbi, lako
se mogu izračunati potencijali lokalnih čvorova pojedinog konačnog elementa. Potom se,
korištenjem lokalnih sustava jednadžbi pojedinog konačnog elementa, može izračunati
raspodjela struja zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela.
Na temelju razvijene teorijske podloge, razvijen je i računalni program EMFCD, koji je
prvenstveno namijenjen za izračun raspodjele struje zemljospoja. Međutim, ovaj računalni
program može poslužiti i za naprednu analizu strujnih i naponskih prilika na nadzemnim i
kabelskim elektroenergetskim vodovima. Stoga je bilo važno uzeti u račun i kapacitivnu
spregu između sastavnica elektromagnetskog modela.
Točnost računalnog programa EMFCD provjerena je usporedbom rezultata numeričkog
izračuna s rezultatima dobivenim korištenjem dvaju prethodno razvijenih računalnih
programa za izračun raspodjele struje zemljospoja: računalnog programa FCD utemeljenog na
hibridnom modelu (kombinaciji elektromagnetskog modela i modela prijenosnog voda) i
računalnog programa FCD-WC utemeljenog na modelu prijenosnog voda [29].
153
Izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun raspodjele struje zemljospoja
predstavlja teorijsko i numeričko unaprjeđenje jer, za razliku od postojećih numeričkih i
analitičkih modela iste namjene, ovaj model može uzeti u račun cjelovitu elektromagnetsku
spregu između svih vodljivih dijelova koji sudjeluju u raspodjeli struje zemljospoja.
Korištenjem razvijenog elektromagnetskog modela moguće je mnogo točnije izračunati struju
mjerodavnu za dimenzioniranje uzemljivača elektroenergetskih postrojenja i značajki
elektroenergetskih vodova priključenih na to postrojenje. To omogućuje uštede tijekom
projektiranja i izvedbe uzemljivačkih sustava elektroenergetskih postrojenja, zaštitnih užadi i
uzemljivača stupova nadzemnih vodova te kabelskih vodova i uzemljivačkih vodiča
položenih iznad kabelskih vodova.
154
LITERATURA
[1] Sarajčev, P.; Vujević, S., "Grounding Grid Analysis: Historical Background and
Classification of Methods", International Review of Electrical Engineering (IREE), Vol.
4, No. 4, pp. 670-683, 2009.
[2] Endrenyi, J., "Analysis of Transmission Tower Potentials During Ground Faults", IEEE
Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 86, No. 10, pp. 1274-1283, 1967.
[3] Verma, R.; Mukhedkar, D., "Ground Fault Current Distribution in Sub-Station, Towers
and Ground Wire", IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-98,
No. 3, pp. 724-730, 1979.
[4] Thapar, B.; Madan, S. K., "Current for Design of Grounding System", IEEE
Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 103, No. 9, pp. 2633-2638, 1984.
[5] Popović, Lj. M., "Practical Method for Evaluating Ground Fault Current Distribution in
Station, Towers and Ground Wire", IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No.
1, pp. 123-128, 1998.
[6] Viel, E.; Griffiths, H., "Fault Current Distribution in HV Cable Systems", IEEE
Proceedings – Generation Transmission and Distribution, Vol. 147, No. 4, pp. 231-238,
2000.
[7] Guven, A. N.; Sebo, S. A., "Analysis of Ground Fault Current Distribution along
Underground Cables", IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. PWRD-1, No. 4, pp.
9-18, 1986.
[8] Sebo, S. A., "Zero-Sequence Current Distribution along Transmission Lines", IEEE
Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 88, No. 6, pp. 910-919, 1969.
[9] Dawalibi, F., "Ground Fault Current Distribution between Soil and Neutral Conductors",
IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 99, No. 2, pp. 452-461, 1980.
[10] Meliopoulos, A. P.; Papalexopoulos, A.; Webb, R. P., "Current Division in Substation
Grounding System", Proceedings of the 1982 Protective Relaying Conference, Georgia
Institute of Technology, Atlanta, 1982.
[11] Meliopoulos, A. P.; Webb, R. P.; Joy, E. B.; Patel, S., "Computation of Maximum Earth
Current in Substation Switchyards", IEEE Transactions on Power Apparatus and
Syst.,Vol. 102, No. 9, pp. 3131-3139, 1983.
155
[12] Gooi, H. B.; Sebo, S. A., "Distribution of Ground Fault Currents along Transmission
Lines – An Improved Algorithm", IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,
Vol. 104, No. 3, pp. 663-670, 1985.
[13] Weitzenfeld, G., "Power System Ground Fault Current Distribution Using the
Double-Sided Elimination Method", IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 1, No.
1, pp. 17-25, 1986.
[14] Buccheri, P. L.; and Mangione, S., "Analysis of Ground Fault Current Distribution along
Nonuniform Multi-Section Lines", Electric Power Systems Research, Vol. 78, No. 9, pp.
1610-1618, 2008.
[15] Ramezani, N.; Shahrtash, S. M., "A Complete Procedure to Determine Earth Fault
Current Distribution and Split Factor for Grounding Grid Design of HV Substations",
Iranian Journal of Science & Technology, Transaction B, Engineering, Vol. 32, No. B3,
pp. 205-221, 2008.
[16] IEEE Std 80-2000, "IEEE Guide for Safety in AC Substation Grounding", 2000.
[17] Garrett, D. L.; Myers, J. G.; Patel, S. G., "Determination of Maximum Substation
Grounding System Fault Current Using Graphical Analysis", IEEE Transactions on
Power Delivery, Vol. 2, No. 3, pp. 725-732, 1987.
[18] HRN HD 637 S1: 2002 (hr), "Električna postrojenja nazivnih izmjeničnih napona iznad
1 kV" (HD 637 S1: 1999.)
[19] ITU-T 270-9, "Directives Concerning the Protection of Telecommunication Lines
Against Harmful Effects From Electric Power and Electrified Railway Lines. Volume V:
Inducing Currents and Voltages in Power Transmission and Distribution Systems",
1999.
[20] CDEGS - "Introducing the CDEGS Software Package: Integrated Software for Power
System Grounding/Earthing, Electromagnetic Fields and Electromagnetic Interference",
http://www.sestech.com/Products/SoftPackages/CDEGS.htm
[21] SPLITS - "Fault Current Distribution and EMI Analysis", http://www.sestech.com/
Products/ SoftModule/Splits.htm
[22] "How to ... Engineering Guide - Large Suburban Substation Grounding System
Analysis: Measurements & Computer Modeling", Safe Engineering Services &
Technologies ltd., Montreal, 2004.
156
[23] Nahman, J. M., "Proximity Effects on the Ground Fault Current Distribution Within the
Earthing System Formed by a Substation and the Associated Transmission Lines", IEEE
Proceedings – Generation Transmission and Distribution, Vol. 135, No. 6, pp. 497-502,
1988.
[24] Institut za elektroprivredu i energetiku, d.o.o. Zagreb, Proračun kratkog spoja u
prijenosnoj mreži Hrvatske za nazivnu 2020. godinu, Naručitelj Hrvatska
elektroprivreda – Operator prijenosnog sustava d.o.o. Zagreb, Zagreb, 2010.
[25] Sarajčev, I., "Nov matematički model proračuna strujnog stanja u sustavima
uzemljenja", Elektrotehnika ELTHB2, Vol. 35 , No. 5-6, pp. 261-266, 1992.
[26] Carson, J. R., "Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return", Bell System
Technical Journal, Vol.5, pp. 539-544, 1926.
[27] Dommel, H. W., "Electromagnetic Transients Program - Reference Manual (EMTP
Theory Book)", Bonneville Power Administration, Portland, 1986.
[28] Sarajčev, P., "Elektromagnetski model sustava vodiča u višeslojnom sredstvu",
Doktorska disertacija, Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2008.
[29] Vujević, S.; Balaž, Z.; Modrić, T.; Sarajčev, P., "Hibrid model for Analysis of Ground
Fault Current Distribution", International Review of Electrical Engineering (IREE),
Vol. 7, No. 2, pp. 4035-4045, 2012.
[30] Moore, J.; Pizer, R. (Editors), "Moment Methods in Electromagnetics - Techniques and
Applications", John Wiley & Sons, New York, 1984.
[31] Vujević, S., "Numerički proračun električnog polja uzemljivača u kraškom tlu",
Magistarski rad, Sveučilište u Zagrebu, ETF, Zagreb, 1987.
[32] Vujević, S., "Kombinirani postupak proračuna uzemljivača u krševitom tlu", Doktorska
disertacija, Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 1994.
[33] Sarajčev, P.; Vujević, S.; Lovrić, D., "Time-Harmonic Current Distribution on
Conductor Grid in Horizontally Stratified Multilayer Medium", Progress in
Electromagnetics Research B (PIER B), Vol. 31, pp. 67-87, 2011.
[34] Vujević, S.; Sarajčev, P.; Lovrić, D., "Time-Harmonic Analysis of Grounding System in
Horizontally Stratified Multilayer Medium", Electric Power Systems Research, Vol. 83,
No. 1, pp. 28-34, 2012.
157
[35] Koch, W., "Erdungen in Wechelstromanlagen über 1 kV", Springer-Verlag, Berlin,
1961.
[36] Kurtović, M.; Vujević, S., "Earthing Grid Parameters with Conductor Surrounded by an
Additional Substance", IEE Proceedings Generation, Transmission and Distribution,
Vol. 147, No. 1, pp. 57-61, 2000.
[37] Vujević, S.; Kurtović, M., "Utjecaj dodatnog materijala u kanalu na parametre
uzemljivača", Četvrto savjetovanje HK CIGRE, pp. 151-160, Cavtat, 1999.
[38] Nojman, L. R.; Kalantarov, P. L., "Teoriski osnovi elektrotehnike", Knjiga 3, Teorija
elektromagnetskog polja, Naučna knjiga, Beograd, 1952.
[39] Vujević, S.; Boras, V.; Sarajčev, P., "A Novel Algorithm for Internal Impedance
Computation of Solid and Tabular Cylindrical Conductors", International Review of
Electrical Engineering (IREE), Vol. 4, No. 6, pp. 1418-1425, 2009.
[40] Lovrić, D.; Boras, V.; Vujević, S. "Accuracy of Approximate Formulas for Internal
Impedance of Tubular Cylindrical Conductors for Large Parameters". Progress in
Electromagnetics Research M (PIER M). Vol. 16, pp. 177-184, 2011.
[41] Spiegel, M. R.; Liu, J., "Mathematical Handbook of Formulas and Tables – Second
Edition", Schaum’s Outlines Series, McGraw-Hill, New York, 1999.
[42] Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Editors), "Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", Applied Mathematical Series 55, National
Bureau of Standards, 1964.
[43] Vujević, S.; Modrić, T.; Vukić, B., "Internal Impedance of Two-Layer Cylindrical
Conductors", International Review of Electrical Engineering (IREE), Vol. 9 (2014) , No.
1, pp. 235-243, 2014.
[44] Boras, V.; Vujević, S.; Lovrić, D., "A Hybrid Algorithm for Computation of
Rectangular Conductor Internal Impedance", Tehnicki Vjesnik-Technical Gazette, Vol.
19 , No. 2, pp. 341-346, 2012.
[45] Giaccoleto, L. J., "Frequency and Time-Domain Analysis of Skin Effects", IEEE
Transactions on Magnetics, Vol. 32, No. 1, pp. 220-229, 1996.
158
[46] Vujević, S.; Balaž, Z.; Lovrić, D., "Ground impedance of Cylindrical Metal Plate Buried
in Homogeneous Earth", Proceedings of the Joint Third International Workshop on
Nonlinear Dynamics and Synchronization (INDS'11) and Sixteenth International
Symposium on Theoretical Electrical Engineering (ISTET'11), University of Klagenfurt,
Austria, pp. 1-7, 2011.
[47] Vujević, S.; Lovrić, D; Balaž, Z., "Self and Mutual Ground Impedances of Cylindrical
Metal Plates Buried in Homogeneous Earth", International Journal of Numerical
Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, doi: 10.1002/jnm.1982, 2014.
[48] Sarajčev, I., "Gubici snage kabelskog prenosa", Doktorska disertacija, Sveučilište u
Zagrebu, ETF, Zavod za elektrotehniku i električna mjerenja, Zagreb, 1985.
[49] Lovrić, D., "Tranzijentni elektromagnetski model uzemljivačkog sustava u horizontalno
složenom višeslojnom sredstvu", Doktorska disertacija, Sveučilište u Splitu, FESB,
Split, 2013.
[50] Jović, V., "Uvod u inženjersko i numeričko modeliranje", Aquarius engineering, Split,
1993.
[51] Vujević, S.; Lovrić, D.; Balaž, Z.; Gaurina, S., "Time-Harmonic Modelling of
Two-Winding Transformers Using the Finite Element Technique", International Review
on Modelling and Simulations (IREMOS) , Vol. 6, No. 6 (Part B), pp. 1922-1927, 2013.
[52] Balaž, Z., "Numeričko modeliranje elektromagnetskih pojava u sustavima autocesta",
Kvalifikacijski doktorski ispit, Sveučilište u Splitu, FESB, Poslijediplomski doktorski
studij Elektrotehnike i informacijske tehnologije, Split, 2010.
[53] Vujević, S.; Sarajčev, I.; Lucić, R., "Priručnik pogonske dokumentacije, planova i rokova
pregleda i održavanja elektroenergetskih postrojenja HAC-a", Dokumentacija br.: 01-
143/3-89-2004, Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2004.
[54] Sarajčev, I.; Vujević, S.; Lucić, R., "Program ispitivanja prijelaznih stanja u 35 kV
postrojenju TS 35/20 (10) kV Obrovac", Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2004.
[55] Gazivoda, S.; Rožanković, S.; Nujić, I., "Mjerenje sklopnih prenapona u TS 35/20 (10)
kV Obrovac", Končar - Zagreb, VN laboratorij, Zagreb, 2005.
[56] Balaž, Z.; Sarajčev, I.; Vujević, S.; Lucić, R., "Utjecaj električnih mreža Hrvatskih
autocesta na distribucijske mreže", Zbornik radova 16. međunarodnog simpozija EIS
2008, Elektrotehničko društvo Zagreb, pp. (S-5) 7-12, 2008.
159
[57] Balaž, Z.; Vujević, S.; Lucić, R., "Problemi u elektroenergetskom napajanju Tunela
Sveti Rok", Zbornik radova Prvog savjetovanja Hrvatskog ogranka Međunarodne
elektrodistribucijske konferencije - CIRED, Šibenik, pp. (SO1-17) 1-10, 2008.
[58] Balaž, Z., "Tehno-ekonomski aspekti pouzdanog napajanja električnom energijom
objekata hrvatskih autocesta", Elaborat, HAC, Sektor za projektiranje i razvoj, Zagreb,
2009.
[59] Vujević, S.; Lucić, R.; Tadin, F., "Elektromagnetski utjecaj i elektromagnetska
kompatibilnost u objektima Hrvatskih autocesta – utjecaj TS 400/220/110 kV Konjsko
na instalacije i objekte autoceste Zagreb – Splir, dionica Prgomet – Dugopolje, u Tunelu
Konjsko i njegovoj okolini", Sveučilište u Splitu, FESB, Split 2004.
[60] Vujević, S.; Lucić, R.; Jurić-Grgić, I.; Lovrić, D.; Modrić, T.; Balaž Z., "Izrada pravila i
mjera sigurnosti za osiguranje mjesta rada na elektroenergetskim vodovima", Naručitelj
studije HEP Operator prijenosnog sustava d.o.o., Prijenosno područje Split, Sveučilište u
Splitu, FESB, Split, 2013.
[61] Balaž, Z.; Vujević, S.; Lucić, R.; Bernardić, A., "Razvoj ekspertnog sustava za
optimizaciju elektroenergetskog sustava Hrvatskih autocesta", Zbornik 18. međunarodnog
simpozija EIS 2009, , Elektrotehničko društvo Zagreb, pp. (S-10) 16- 20, Šibenik, 2009.
[62] Ibrahim, A. I., "An Intelligent Support System for the Analysis of Power System
Transients", Disertation, The University of British Columbia, Vancouver, 2000.
[63] HEP ODS d.o.o.,Operator distribucijskog sustava: Godišnje izvješće, Kerschoffset
d.o.o., Zagreb, 2010.
[64] HOPS, Prijenosno područje Split: Osnovna shema elektroenergetskih objekata
Dalmacije, Služba za upravljanje područnom mrežom, Odjel za pogon, analizu i
poslovne informacije, Split, 2014.
[65] Dalekovod – Projekt d.o.o. Zagreb, DV 110 kV Drniš – Knin, Projekt izvedenog stanja,
Knjiga E1 – Elektrotehnički projekt, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – operator
prijenosnog sustava d.o.o. Zagreb, Zagreb, 2008.
[66] Dalekovod – Projekt d.o.o. Zagreb, DV 110 kV Drniš – Knin, Projekt izvedenog stanja,
Knjiga G1 – Građevinski projekt, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – Operator
prijenosnog sustava d.o.o. Zagreb, Zagreb, 2008.
160
[67] Dalekovod d.d. Zagreb, DV 110 kV Bilice – Knin, Uvod u TS Drniš, Glavni projekt
rekonstrukcije, Knjiga E1 i E2, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – Prijenos d.o.o.
Zagreb, Zagreb, 2004.
[68] Dalekovod Zagreb, OOUR Projektni biro, Tehnička dokumentacija - Projekt dalekovoda
35 kV Drniš - Unešić, Knjiga I, Uvod u TS Drniš, Glavni projekt rekonstrukcije, Knjiga
E1 i E2, Naručitelj Elektrodalmacija Split, OOUR Elektrozagora Drniš, Zagreb, 1977.
[69] Svjetlost Split, Glavni projekt, Dalekovod DV 35 kV Kalun - Kosovo, Naručitelj Elektra
Šibenik, Split, 1969.
[70] Dalekovod Zagreb, Glavni projekt DV 30 kV HE Manojlovac – Drniš - I. dio, Naručitelj
Elektroprenos Split, Zagreb, 1961.
[71] Eting d.o.o Split, TS 110 / 35 / 20 (10) kV Drniš - II. etapa izgradnje, Dopuna
postrojenja 35 kV i 20 (10) kV, Glavni elektrotehnički projekt, Knjiga E.1, Naručitelj
Hrvatska elektroprivreda – Prijenos d.o.o. Zagreb, Split, 2003.
[72] Eting d.o.o Split, TS 110 / 35/20 (10) kV Drniš - II. etapa izgradnje, Električne
instalacije, uzemljenja, gromobranska zaštita, vanjsko osvjetljenje i vatrodojava, Glavni
elektrotehnički projekt, Knjiga E.4, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – Prijenos d.o.o.
Zagreb, Split, 2003.
[73] HEP ODS d.o.o., DP Elektra Šibenik, Jednopolna shema mreže 10 kV, Jednopolna
shema postrojenja 35 kV i 10 (20) kV, TS 110/35/ 20 (10) kV TS Drniš, Šibenik, 2009.
[74] Nahman, J., "Uzemljenja neutralne tačke distribucijskih mreža", Naučna knjiga,
Beograd, 1980.
ŽIVOTOPIS
Rođen sam 20. svibnja 1957. godine u Vinkovcima, gdje sam završio osnovnu i srednju
tehničku školu. Nakon toga sam se 1976. godine upisao na sveučilišni dodiplomski studij
Elektrotehnike na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Splitu,
gdje sam diplomirao 2. veljače 1983. godine na Odjelu za elektroenergetiku.
U veljači 1983. godine zaposlio sam se u Končarovom institutu u Zagrebu, na Zavodu
za energetsku elektroniku, u Odjelu za istosmjerna napajanja velikih snaga. Prvo kao
inženjer razvoja, a potom kao inženjer istraživanja i razvoja aktivno sam sudjelovao u
znanstveno-istraživačkim projektima za potrebe Končara, Elektrotehničkog fakulteta
Sveučilišta u Zagrebu i u dugoročnim projektima i fundamentalnim istraživanjima SIZ-a
znanosti Republike Hrvatske. Tijekom zaposlenja u Končarovom institutu obavljao sam i
poslove predavača u Obrazovnom centru Nikola Tesla Zagreb, na V. obrazovnom stupnju
iz predmeta Elektromotorni pogoni.
Sredinom 1988. godine zaposlio sam se u Sektoru za elektroenergetiku i razvoj Zračne
luke Zagreb. Godine 1997. zaposlio sam se u svojoj novoosnovanoj tvrtki Aeroing, koja se
bavila projektiranjem, izvođenjem i puštanjem u pogon specijalističkih sustavu svjetlosne
signalizacije i elektroenergetskog napajanja u funkciji sigurnosti zračne plovidbe. Od 2001.
godine do danas zaposlenik sam Hrvatskih autocesta d.o.o. Zagreb, gdje sam uključen u
projekte izgradnje prateće elektroenergetske infrastrukture uz gradnju hrvatskih autocesta.
Osim toga, trenutačno sam honorarni predavač na Tehničkom veleučilištu u Zagrebu.
Na poslijediplomski doktorski studij Elektrotehnike i informacijske tehnologije
Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Splitu upisao sam se
2008. godine. Od 1. studenog 2008. godine do 31. prosinca 2013. godine bio sam aktivni
istraživač na znanstvenom projektu Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta Republike
Hrvatske naziva Razvoj naprednih algoritama za modeliranje elektromagnetskih pojava.
Dosad sam objavio tri znanstvena rada u znanstvenim časopisima kategorije A, jedan
znanstveni rad u znanstvenom časopisu kategorije B, dva znanstvena rada kategorije D u
zbornicima radova s međunarodnih znanstvenih skupova te deset stručnih radova u
zbornicima radova stručnih skupova.
BIOGRAPHY
I was born on May 20, 1957 in Vinkovci, where I finished both elementary school and
technical high school. After that, in the year 1976, I enrolled in the graduate study
programme of Electrical Engineering, at the University of Split, Faculty of Electrical
Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture, where I graduated on
February 2, 1983 at the Department of Electric Power Engineering.
In February 1983 I was employed in the Končar institute in Zagreb, at the Department
for power electronics, in the Section for DC large power supply. First, as a development
engineer and then as a research and development engineer, I actively participated in
scientific research projects of Končar, Faculty of Electrical Engineering of the University
of Zagreb and in long-term projects and fundamental researches of SIZ of Science of the
Republic of Croatia. During my employment in the Končar institute I was also a teacher at
the Education center Nikola Tesla Zagreb on the V. educational degree (subject Electric
drives).
During the year 1988 I was employed in the Sector for Electric Power Engineering and
Development of Zagreb Airport. In the year 1997 I started my own company Aeroing,
which dealt with designing, implementing and commissioning of specialist systems of light
signalization and electric supply in the function of air traffic safety. From the year 2001
until now I am employed in the Croatian Motorways ltd. Zagreb, where I am involved in
building the accompanying infrastructure for the Croatian motorways. Besides that, I am
currently a part-time lecturer at the Polytechnic of Zagreb.
In October 2008, I enrolled in the PhD study in Electrical Engineering and Information
Technology at the University of Split, Faculty of Electrical Engineering, Mechanical
Engineering and Naval Architecture. From November 1, 2008 to December 31, 2013, I
was an active researcher on the scientific project of the Ministry of Science, Education and
Sports of the Republic of Croatia entitled Development of advanced algorithms for
modeling electromagnetic phenomena.
Until now, I have published three scientific papers in scientific journals with impact
factor, one scientific paper in scientific journals without impact factor, two scientific
papers in the proceedings of international conferences as well as ten professional papers in
proceedings of professional conferences.