ELEKTROMOTORNI POGON KAODINAMIČKI SISTEM

Elektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA.

Zajedničko za sve dinamičke sisteme – podsisteme je da oni predstavljaju skup uzajamno zavisnih, vremenskih promenljivih veličina. Ove zavisnosti mogu se izraziti:

- skupom diferencijalnih jednačina prvog reda; i

- skupom algebarskih jednačina;

koje se mogu napisati:

mjtuuxxyy

nituuxxftx

knjj

kni

1,,...,,,...,

1,,...,,,...,

11

111

gde su:

u1,...,uk – ulazne veličine u sistem, koje se po svojoj funkciji mogu podeliti na upravljačke veličine i poremećaje;

x1,...,xk – promenljive stanja;

y1,...,yk – izlazi, izlazne veličine.

SISTEM

x1, x2, ..., xn

. . . .

......

POREMEĆAJI

uh+1 uh+2 uk

u1

u2

uh

y1

y2

ym

{ }ULAZIUPRAVLJAČKI IZLAZI

Važna osobina dinamičkog sistema: Ustaljenost dejstva, ulazi deluju na proces (promenljive stanja) i izlaze, proces deluje na izlaze a izlazi i proces ne deluju na ulaze!

Možemo razlikovati: - fizički pristupačne veličine, ili merljive;

- nepristupačne veličine, ili nemerljive.

ANALIZA DINAMIČKIH SISTEMA

Dve metode:

1. Analiza u operatorskom domenu(frekventnom)

2. Analiza u prostoru stanja.

Operatorska metoda analize

Može se primeniti na sisteme:- koji su linearni;- imaju konstantne parametre; i- imaju jedan ulaz i jedan izlaz, ili u slučaju većeg broja ulaza i izlaza

posmatrani slučaj se može svesti na slučaj sa jednim ulazom i jednim izlazom.Zasniva se na LAPLASOVOJ transformaciji:

dtetftfpF pt

0

£

Umesto promenljive t – vreme uvodi se promenljiva “p” – Laplasov operator, koji je kompleksna promenljiva.

21 nn jjp

Gde je: σ – prigušenje;ω – sopstvena učestanost;ξ – relativno prigušenje;ωn – prirodna učestanost.

Primenom ove metode analize posmatrani sistem se svodi na:

G(p)u (p) y (p)

pDpN

pupyp

uypG

Funkcija prenosa.

Drugi način označavanjafunkcije prenosa, pogodan kod analize sistema sa više ulaza i izlaza jer eksplicitno pokazuje na koji par ulaza i izlaza se odnosi data funkcija.

Funkcija prenosa svodi se na odnos dva polinoma po operatoru p.

Funkcija prenosa predstavlja odnos Laplasovih transformacija izlaza i ulaza.

D(p) – polinom naziva se KARAKTERISTIČNIM POLINOMOM.

D(p) = 0 – je KARAKTERISTIČNA JEDNAČINA.

Red karakterističnog polinoma je jednak broju promenljivih stanja u dinamičkom sistemu.

Na osnovu rešenja karakteristične jednačine pi, gde je i = 1n, mogu se dobiti vrlo važne informacije o ponašanju sistema.

1o Ako je: Re[ pi ] < 0 za svako i = 1 n sistem je stabilan, algebarski

kriterijum stabilnosti.

2o Ako je: Im[ pi ] = 0 za svako i = 1 n i ako je sistem stabilan, promene

promenljivih u prelaznim režimima biće APERIODIČNE (nema oscilacija).

3o Ako je: Im[ pi ] ≠ 0 makar za jedno i = 1 n i ako je sistem stabilan, promene promenljivih sistema u prelaznim režimima biće PERIODIČNO PRIGUŠENE.

N (p) = 0 – Rešenja ove jednačine nazivaju se NULAMA SISTEMA.

Broj POLOVA je veći ili jednak broju NULA sistema.

DOMINANTNI POL (polovi u slučaju konjugovano – kompleksnog para) je pol koji je najbliži imaginarnoj osi posmatrano u kompleksnoj ravni, odnosno pol sa najmanjom apsolutnom vrednošću realnog dela. DOMINANTNI POL ima najveći uticaj na prelazne procese.

NEDOMINANTNI POLOVI su polovi čija je apsolutna vrednost realnog dela više od DESET puta veća od apsolutne vrednosti DOMINANTNOG POLA. Uticaj NEDOMINANTNIH POLOVA na prelazne procese je zanemarljiv.

DIPOLI su parovi bliskih polova i nula, posmatrano u kompleksnoj ravni. Uticaj polova koji grade DIPOLE na prelazne procese je zanemarljiv.

Pozicija polova u kompleksnoj ravni

Im

Re

x

x

x

x

x

p1

p2

p4

p3 p5

p4 i p5 su DOMINANTNI

Blok dijagram Motora JS u operatorskom domenu:

au

eai

mm

em

Iz jednačine indukta

Iz Njutnove jednačine

aR1

apT1

f

k

mpT1

pT1

k

f

Funkcije prenosa koje se dobijaju pomoću blok dijagrama:

afmma

af

a RpTTTpR

pu /

/22

afmma

am

a

a

RpTTTpRpTp

ui

//

22

afmma

a

m RpTTTppT

pm /

122

afmma

af

m

a

RpTTTpR

pmi

//

22

Uticaj fluksa na raspored polova - sopstvenih vrednosti.

0f = 0-Re f = 0

-1/2Ta-1/Ta

Im

f min  0

f max = f nom 

fkr 

f max = f nom 

f min  0

a

amfkr T

RT21

0ImpImZa 1/21/2 fnomfkr

a

/ffkr Tp

21ReReZa 1/221min

0ImpIm 1/21/2

Kritična vrednost fluksa je kada se sa dva realna prelazi na kompleksan par polova - sopstvenih vrednosti.

Uticaj momenta inercije ( mehaničke vremenske konstante Tm ) na raspored polova - sopstvenih vrednosti.N:

Tm  0

-Re Tm  

-1/2Ta-1/Ta

Tm max 

Tm min 

Tmkr 

Tm min 

Tm max 

a

famkr R

TT

24

0ImImZa 1/221min /mmkr pTT

a

/mmkr TpTT

21ReReZa 1/221max

0ImpIm 1/21/2

BLOK DIJAGRAM MODELA POGONA SA NEZAVISNO POBUDJENIMJEDNOSMERNIM MOTOROM, ZA SIMULACIJE

U normalizovanim veličinama – relativnim jedinicama:

au Σ

aR aT

Σ INT

aiINT

INT

FUN

Σ

Σ

Σ

Σ

mm

mT

k

ffu

fT

mT

fT

J bbm

1

fbu1

bfN

aT

aR

aR

adR

aL

adL bR1

Slika 1: start pogona u praznom hodu

Struja polaska ograničena dodatnim otporom

Prelazni proces periodično - prigušen

[r.j.] 0 2 [r.j.]trm .

Struja polaska ograničena kao na slici 1

Prelazni proces aperiodičan

Slika 2: start pogona pod opterećenjem [r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm . m

Slika 3: start pogona pod opterećenjem i manjom inercijom

Struja polaska ograničena kao na slici 1

Prelazni proces periodično - prigušen

Slika 4: opterećenje i potpuno rasterećenje

Prelazni procesi su periodični sa jakim prigušenjem

opterećenje

rasterećenje

[r.j.] 0 7 [r.j.]+ [r.j.]m trm . m

ASINHRONI MOTOR - DINAMIKA

Ako uvedemo smenu:

EKVIVALENTNE ŠEME MOTORA

Ekvi šema po q-osi:

iqs

uqs

i'qr

u'qrM

r'rrs

sds s 'r(s- ) 'dr

Ekvi šema po d-osi:

ids

uds

i'dr

u'drM

r'rrs

sqs s 'r(s- ) 'qr

JEDNAČINE MOMENTAAko se pođe od izvedene jednačine:

rqdsqde iiPm o1T

o1

rsrs KLK

mogu se dobiti sledeći izrazi:

qrdrdrqrb

e

qsdsdsqse

qrdrdrqre

qrdsdrqse

iiPm

iiPm

iiPm

iiiiMPm

12

32

32

32

3

itd.

sse iPm 2

3

Slika A1: Start motora u praznom hodu, direktno na mrežu

me

'qr

'dr

fs= fn=50Hz, s=314

'qr

'dr

me

opterećenje

Slika A2: Start motora u praznom hodu i opterećenje

ANALIZA U PROSTORU STANJA

Ovo je analiza u VREMENSKOM domenu!

Matematički aparat koji se koristi u bilo kom vidu ove analize skoro po pravilu ZAHTEVA PRIMENU RAČUNARA.

Može se primeniti na sisteme:

- linearne i nelinearne;

- sa konstantni i promenljivim parametrima;

- sa više ulaza i izlaza.

Dva sistema jednačina (DIFERENCIJALNIH I ALGEBARSKIH) koji opisuju ponašanje dinamičkog sistema uvođenjem:

VEKTOR STANJA Tnxxxx ,...,, 21

VEKTOR ULAZA Tkuuuu ,...,, 21

VEKTOR IZLAZA Tmyyyy ,...,, 21

Dobijaju oblik:

tuxyy

tuxftx

,,

,,

Potpuno definisanje određenog režima u sistemu postiže se definisanjem početnih uslova:

00 txx

LINEARAN DINAMIČKI SISTEM

Matematički model sistema može se predstaviti:

klmj

udxcy

ngni

ubxatx

ljlijij

igiigii

,...,1,...,1,...,1,...,1

Odnosno:

uDxCy

uBxAtx

gde su: A – matrica sistema,

B – matrica ulaza,

C – matrica izlaza,

D – nema posebno ime, jer je u većini realnih sistema ova matrica “nula” matrica.

Grafički prikaz.

D

∫

A

B CΣ Σu x y+ + +

+

Funkcije prenosa linearnog dinamičkog sistema

Kod linearnih sistema moguće je izvesti promene funkcije, kao što smo već videli.

Primenom Laplasove transformacije na sistem jednačina koje opisuju dinamički sistem dobija se:

puDpxCpy

puBpxApxIp

Gde je I – jedinična matrica.

Iz prve jednačine dobija se: puBAIppx 1

Smenom u drugu jednačinu dobija se: puDBAIpCpy 1

Funkcija prenosa sistema je:

pHDBAIpCpupypS 1

gde je: H(p) – matrica prenosa, čiji su koeficijenti funkcije prenosa od svih ulaza ka svim izlazima.

Ako je D = [ 0 ] tada je:

pFpF

pFpF

AIpBAIpCpHpS

mkm

k

...

...

detadj

1

..

111

U matrici prenosa:

broj kolona = broju ulaza,

broj redova = broju izlaza.

Na osnovu prethodnog izraza očigledno je da se u imeniocu svake od funkcija prenosa Fji (p) nalazi polinom:

pDAIp det

Ovo je zapravo KARAKTERISTIČNI POLINOM!

KARAKTERISTIČNA JEDNAČINA je:

0det pDAIp

njena rešenja su POLOVI SISTEMA.

Iz matematike je poznato: SOPSTVENE VREDNOSTI MATRICE SU REŠENJA SLEDEĆE JEDNAČINE:

0det AI

Prema tome:

POLOVI SISTEMA = SOPSTVENIM VREDNOSTIMA MATRICE SISTEMA

NELINEARNI DINAMIČKI SISTEM

sa konstantnim parametrima

Kod ovih sistema vrši se linearizacija modela u okolini radne tačke stacionarnog stanja, a zatim se mogu primenjivati metode analize kao kod linearnih sistema.

Postupkom linearizacije dobija se linearni model sistema koji VAŽI samo u okolini posmatrane radne tačke i kod koga umesto promenljivih figurišu priraštaji promenljivih.

Kod linearizovanog modela je:

VEKTOR STANJA

Tnxxxx Δ,...,Δ,ΔΔ 21

VEKTOR ULAZA

Tkuuuu Δ,...,Δ,ΔΔ 21

VEKTOR IZLAZA Tmyyyy Δ,...,Δ,ΔΔ 21

NELINEARNI DINAMIČKI SISTEM SA PROMENLJIVIM PARAMETRIMA

Kod ovih sistema analiza se sprovodi modelovanjem. Danas se to radi sa digitalnim računarima pomoću odgovarajućih programskih paketa namenjenih modelovanju.

Ilustracije radi poslužimo se primerom.

Model sistema prvog reda je:

21

221

uquxy

utzuxatx

Grafički prikaz ovog modela na osnovu koga se vrši postavljanje modela na računar je:

z (t)

q (u)

xΣ ∫

a

xΣ

u1

u2

t - vreme

xy

+

+- +

-

Oznake korišćene na slici:

x – množač;

Σ – sumator;

∫ - integrator;

a – konstanta a;

z – nelinearna funkcija od vremena;

q – nelinearna funkcija od ulaza u2;

– nelinearni blokovi.