elemente de geometrie
DESCRIPTION
Elemente de geometrieTRANSCRIPT
-
ELEMENTE DE GEOMETRIE
Scurt istoric
Rdcinile geometriei sunt n Egiptul Antic i China Antic;
A fost studiat n Grecia Antic: Pitagora, Euclid, Thales, Hipocrate;
Euclid a ncercat o sintez a cunotinelor de geometrie din vremea sa - Elementa - a construit
un sistem axiomatic (una dintre ele printr-un punct exterior unei drepte, trece o dreapt i numai una paralel la acea dreapt)
Axiome pe care le ntlnim i la ciclul primar:
prin dou puncte distincte trece numai o dreapt;
exist 3 puncte necolineare;
un sistem axiomatic cuprinde: noiuni primare (punct; dreapt; plan), relaii primare (de apartenen; de incluziune; de a fi ntre), axiome.
David Hilbert punct; dreapt; plan (noiuni primare) Fiind noiuni primare, ele NU se definesc!
Relaii primare (dup Hilbert) de apartenen; de incluziune; de a fi ntre
Axiomele au fost mprite n 5 grupe (de D. Hilbert) Geometria este arta de a raiona corect cu ajutorul figurilor incorecte (Henri Poincar)
Poziiile relative a dou drepte: - paralele (sunt n acelai plan i pstreaz aceeai distan ntre ele) - concurente (nesecante)
- necoplanare (nu sunt situate n acelai plan)
O dreapt i un plan - nu au nici un punct comun (sunt paralele)
- dreapta intersecteaz planul - dreapta este inclus n acel plan
Trei puncte necoplanare determin un plan (axiom). De aici decurg mai multe teoreme: T1 Dou drepte secante (concurente) determin un plan. T2 Dou drepte paralele determin un plan. T3 O dreapt i un punct exterior ei determin un plan.
Dou plane fie sunt - paralele
- au o dreapt n comun - coincid
I Geometria plan Punctul: noiune primar nu se definete. * A - punctul se noteaz cu o liter mare
dou puncte identice: A = B
dou puncte diferite: A B
Dreapta: un fir foarte bine ntins, nelimitat, este suportul intuitiv pentru linia dreapt. imaginea geometric a dreptei: * pentru aceeai dreapt, dou notaii diferite: d = AB (d)
B
A
Planul: (imaginea lacului cnd nu bate vntul, peretele, catedra suportul intuitiv pentru conceptul de plan)
- suprafa ntins, nesfrit (planul).
A
B
C
*
*
*
-
Segment de dreapt:
[AB] = {A, B} {M | M se afl ntre A i B}
Distana: este definit de sistemul de axiome care st la baza geometriei plane.
Dac A B, exist un numr real, pozitiv care este lungimea segmentului AB l[AB] lungimea segmentului AB sau distana de la A la B
l[AB] = d(A,B) R+
dac A = B (coincid) AB = 0 Def: dou segmente sunt congruente dac au aceeai lungime.
[AB] [CD] AB = CD
[AB] = [CD] A = C i B = D sau A = D i B = C (dou segmente sunt egale atunci cnd extremitile lor coincid)
Unghiul: reuniunea a dou semidrepte care au aceeai origine.
AOB = [OA [OB
M AOB
N AOB
dou unghiuri sunt congruente N Int ( AOB)
dac au aceeai msur P Ext ( AOB)
Orice mulime de puncte este o figur geometric. 1) Dreapt (nu se definete pentru c este o noiune primar) - se poate descrie (ntind un fir de a; dac mi imaginez c pot s-o prelungesc la infinit, spun c este o dreapt). 2) Semidreapta
Fiind dat o dreapt d; lund pe ea un punct O, numim semidreapt una din prile n care a fost mprit dreapta d.
Alt definiie: Fiind dat o dreapt (d) i dou puncte O i A, mulimea tuturor punctelor situate de aceeai parte a lui O ca i A se numete semidreapta OA.
(OA semidreapt deschis O (OA
[OA semidreapt nchis O [OA Intuitiv, copiii pot recunoate semidreapta: razele soarelui, lanterna
a) d
O
b) d
O A
* A (d)
A
d
A B M (d)
A B
C D
A
C
B
D
*N
B
M
A
*P
O
-
3) Segmentul de dreapt
(OA) segment deschis (toate punctele cuprinse ntre O i A) [OA] segment nchis (toate punctele inclusiv capetele O i A)
Msurarea segmentelor: - msura este raportul dintre unitatea de baz i lungimea segmentului; ea este ntotdeauna un numr pozitiv.
Segmente congruente: Dou segmente sunt congruente dac printr-un procedeu oarecare am putea s le suprapunem perfect.
Adunarea segmentelor
Mijlocul unui segment
Unghiul Unghiul este reuniunea a dou semidrepte cu aceeai origine.
Notaii: ( AOB)
- originea comun = vrful unghiului; - semidreptele = laturile unghiului
Unghiuri particulare:
- unghi cu laturile n prelungire (alungit)
- unghi nul (msura lui este 00)
Tipuri de unghiuri:
1) Unghiuri opuse la vrf: - au vrful comun; - laturile unuia sunt n prelungirea laturilor celuilalt; - dou unghiuri opuse la vrf sunt congruente. 2) Unghiuri adiacente:
- acelai vrf; - o latur comun; - laturile necomune sunt de o parte i de alta a laturii comune.
d
O A
A B C
AB + BC = AC
A B M
M (AB) a.. (MA) (MB)
A O B
A O B
O
O
h
k
A
B
-
3) Unghiuri n jurul unui punct: - au acelai vrf; - laturile comune dou cte dou; - nu au puncte interioare comune;
- suma msurilor unghiurilor n jurul unui punct este 3600. 4) Unghiuri; clasificri:
- drept = 900;
- ascuit < 900; - obtuz > 90
0
Alte noiuni
Mediatoarea unui segment dreapta care trece prin mijlocul segmentului i este perpendicular pe dreapta pe care este situat segmentul.
Loc geometric o mulime de puncte cu o proprietate caracteristic
Mediatoarea este locul geometric al punctelor egal deprtate de capetele segmentului
Bisectoarea unghiului semidreapta situat n interiorul unghiului, cu originea n vrful unghiului i care formeaz cu laturile unghiului unghiuri congruente
Bisectoarea este locul geometric al punctelor egal deprtate de laturile unghiului
Distana de la un punct la o dreapt lungimea segmentului determinat de punct i de piciorul perpendicularei din punct pe dreapt
Triunghiul: reuniunea segmentelor determinate de trei puncte necolineare.
ABC = [AB] [BC] [CA]
M ABC
N Int ( ABC); P Int ( ABC)
P Ext (ABC)
Suprafa triunghiular: reuniunea triunghiului ABC cu interiorul triunghiului ABC. Arie un numr care se ataeaz unei suprafee dup ce aceasta a fost msurat cu ajutorul unei uniti de msur (standard sau nonstandard).
A
B C
*N
*P
M*
B
O
A C
m(AOC)+m(AOB)=3600-m(BOC)
m(AOB) + m(AOC) = m(BOC)
O
B A
C
O
distana
-
Dou triunghiuri sunt congruente dac sunt ndeplinite condiiile:
1. [AB] [AB] 2. A A
[AC] [AC] B B
[BC] [BC] C C
Criteriile de congruen: 1) L U L Pentru ca dou triunghiuri s fie congruente este suficient ca s aib dou laturi
respectiv congruente i unghiurile formate de respectiv congruente.
ABC ABC A A
[AB] [AB]
[AC] [AC]
2) U L U Pentru ca dou triunghiuri s fie congruente este suficient s aib dou unghiuri respectiv congruente, iar latura ce determin unghiurile respective s fie congruente.
B B
[BC] [BC]
C C
3) L L L Pentru ca dou triunghiuri s fie congruente este suficient s aib toate laturile respectiv congruente
[AB] = [AB] [AC] = [AC] [BC] = [BC]
* O mulime de puncte F care se include n planul P, formeaz o figur geometric. F P
Metoda triunghiurilor congruente
n unele situaii cnd trebuie s demonstrm c dou segmente sunt congruente sau dou unghiuri sunt congruente se apeleaz la dou triunghiuri congruente n care elementele cerute de problem intr ca elemente omoloage (coresp. prin congruen).
Propoziii importante Prop. 1. n triunghiuri congruente, laturi congruente se opun la unghiuri congruente. Prop. 2. n triunghiuri congruente la unghiuri congruente se opun laturi congruente.
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
-
Ex. :
Fie ABC, AB AC i D mijlocul lui BC. S se arate c B C. AB = AC
BD = CD
B C
ABD [AB] = [AC]
ACD [BD] = [CD] ABD ACD B C [AD] = [AD]
Simetria central i simetria axial a) Simetria central Fie un punct O fixat n plan i A un punct care nu coincide cu O. Construim un segment AA care are o extremitate n A i l are pe O ca mijloc. Spunem c A este simetricul, n raport cu punctul O, al punctului A. Scriem: S0(A)=A.
Simetria este o transformare geometric a transf. punctul A n punctul A.
O se numete centrul de simetrie simetrie central. Proprieti
1. Pstreaz distanele. 2. Pstreaz msura unghiurilor. Concluzie: Simetria central pstreaz congruenele figurilor geometrice. Def: Spunem c o figur geometric F admite centru de simetrie dac exist un punct O, astfel
nct, oricare ar fi M F, simetricul sau n raport cu O, M, se gsete tot pe figura respectiv, M F.
M F S0(M) =MF
S0(M) =MF
Cercul admite centru de simetrie; acesta este centrul cercului.
S0(F) = F
Figuri geometrice care admit centru de simetrie: triunghiul echilateral, dreptunghiul, ptratul, rombul, poligoane regulate n general. Figuri care nu admit centru de simetrie: triunghiul oarecare, triunghiul isoscel, paralelogramul.
b) Simetria axial
A d Fie dreapta (d) i punctul A care nu-i aparine dreptei (d).
Construim perpendicular unic din A pe d i o prelungim pn n A a.. d este mediatoarea segmentului AA. Spunem c: A=Sd(A). Def: A este simetricul n raport cu dreapta (d) al punctului A, dac dreapta (d) este mediatoarea segmentului AA.
A
B C D
A
A
O *
*
*
M M
O *
* * A A O
d
-
Obs: * Orice punct de pe mediatoare este egal deprtat de extremitile segmentului proprietatea mediatoarei.
B d Sd(B) = B
Obs. Mulimea punctelor dreptei d este invariant la simetria n raport cu dreapta d. Dreapta d se
numete ax de simetrie simetrie axial. 1) Pstreaz distanele. 2) Pstreaz msurile unghiurilor Rezult c pstreaz congruenele. Deci transf. figurile geometrice n alte fig. geometrice congruente cu cele iniiale.
Spunem c o figur geometric F admite ax de simetrie dreapta d, dac M F Sd(M)=M F.
Cazuri de congruen a triunghiurilor dreptunghice: 1. C.C. 3. I.U
2. I.C. 4. C.U
Segmente proporionale Considerm dou mulimi de segmente: {AB, CD, EF}, {AB, CD, EF} ntre cele 2 mulimi de segmente avem o proporionalitate direct dac putem scrie: , adic un ir de rapoarte egale.
Teorema lui Thales O paralel la una din laturile unui triunghi, determin pe celelalte 2 laturi segmente proporionale.
d || BC
d AB = M, d AC = N
1) AC
AN
AB
AM
Forme echivalente ale teoremei lui Thales
1) NC
AN
MB
AM ; 1)
AC
NC
AB
MB etc.
T. reciproc: Dac pe laturile AB i AC avem punctele M, respectiv N a.. AC
AN
AB
AM atunci
MN||BC.
Asemnarea triunghiurilor Def: Spunem c ABC ABC dac au loc urmtoarele relaii:
1. '''''' CA
AC
CB
BC
BA
AB
i
2. A A; B B; C C
* * A A O
d
* B
'''''' FE
EF
DC
CD
BA
AB
A
B C
N M d
A
B C
N
M d
A
B C
M N
sau sau
-
ABC ABC
'''~2
1
12
6;
2
1
36
33;
2
1
6
3CBAABC
2
1= raport de asemnare; k = raport de asemnare
Teorema fundamental a asemnrii O paralel construit la una din laturile unui triunghi determin pe celelalte dou, un triunghi asemenea cu cel dat.
M AB
N AC MN || BC
ABC ~ AMN
'AA
AC
AN
AB
AM
M B; N C (1)
Construim ND || AB, D BC AB
AM
AC
AN
BC
BD
BC
MN (2)
(1) + (2) ABC ~ AMN Criterii de asemnare
1. L U L ',''''
AACA
AC
BA
AB ABC ~ ABC
2. U U B B
ABC ~ ABC
C C
3. L L L '''''' CB
BC
CA
AC
BA
AB
Relaii metrice n triunghiul dreptunghic
teorema catetei
teorema nlimii
teorema lui Pitagora
teorema lui Pitagora generalizat
A
B
C
A
B
C
33
3
6
600
300
300
600
6
12
36
ipotenuza
cateta
cateta
A
C B
M N
D
-
1) Teorema catetei Construim perpendiculara din A pe BC (n A). Pe ipotenuz s-au determinat 2 segmente: BA = proiecia lui AB pe BC; CA=proiecia lui AC pe BC.
m(A)=900
AA BC, A BC
1. AB2 = BABC (c2 = ma)
2. AC2 = CABC (b2 = na)
1) Ptratul unei catete este egal cu proiecia ei pe ipotenuz ori ntreaga ipotenuz. sau: O catet este medie proporional ntre ipotenuz i proiecia ei pe ipotenuz.
AAB B B
CAB A C
AB2 = ABCB (ceea ce trebuia demonstrat)
2) Teorema nlimii
m(A)=900
AA BC, A BC
1. h2 = m n
2. a
cbh
Ptratul nlimii este egal cu produsul proieciilor catetelor pe ipotenuz. sau: nlimea corespunztoare ipotenuzei este media proporional a proieciilor catetelor pe ipotenuz.
3) Teorema lui Pitagora
ntr-un triunghi dreptunghic ptratul imaginii ipotenuzei = suma ptratelor lungimilor catetelor.
4) Teorema lui Pitagora generalizat Se aplic ntr-un triunghi oarecare. Distingem la aceast teorem 2 situaii: Proiectm punctul A pe BC n D:
AB2 = AC
2+BC
2-2BCDC
b)
Cnd unghiul opus laturii este obtuz relaia este cu +; cnd unghiul opus laturii este ascuit relaia este cu Teoremele: catetei, a nlimii, a lui Pitagora i a lui Pitagora generalizat, admit reciproce care sunt adevrate.
A
C B A
b c
m
n
c
A
C B A
b c
a
h
A
C B D
A
B C D
AB
BA
CB
AB
CA
AA ''
-
Reciproca teoremei lui Pitagora: BC
2 = AC
2 + AB
2
m(A) = 900
Considerm un unghi drept al crui vrf l notez A; construiesc pe o latur segmentul AC, astfel nct AC i AC s fie congruente; cu compasul, voi pune pe latura a doua a unghiului, msura
laturii AB din triunghiul iniial, construind segmentul AB AB.
ABC dreptunghic BC2 = AB2 + AC2 = AB2+AC2=BC2
BC2 = BC2 BC=BC
CIII (LLL) ABC ABC A A m(A)=90 (cc+d)
2) Linii importante ntr-un triunghi a) nlimile ntr-un triunghi: distana de la vrful triunghiului pn la latura opus. a) Triunghi ascuitunghic
nlimile sunt concurente (incidente) n H (care este ortocentrul ABC). n cazul triunghiului ascuitunghic, ortocentrul este n interiorul triunghiului. b) Triunghi dreptunghic
n cazul triunghiului dreptunghic, ortocentrul este vrful unghiului drept. c) Triunghi obtuzunghic
n cazul triunghiului obtuzunghic ortocentrul este n exteriorul triunghiului.
BC AD = AB CF = AC BE = 2 A ABC
A ABC = BC AD b = baza
AABC = b h h = nlimea
Tot pentru A, dm formula lui Heron.
Notm: )(2
trulsemiperimeCABCAB
p
))()(( BCpACpABppA aceasta este formula lui Heron de aflare a ariei unui triunghi.
b) Medianele ntr-un triunghi: distana de la vrful unui triunghi la mijlocul laturii opuse. Medianele sunt concurente ntr-un punct G, numit centrul de greutate al triunghiului.
A
C
B
A
C
B
A
C B
H
D
A
C
B
hc
hb
A
B
E C
F H
-
Proprietatea lui G
- se afl pe fiecare median la 2/3 de vrf i 1/3 de piciorul ei. GM = 1/3 AM
AG = 2/3 AM
c) Bisectoarele: semidreapta cu originea n vrful unui unghi, situat n interiorul unghiului i care formeaz cu laturile unghiuri congruente. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente ntr-un punct I care este centrul cercului nscris n triunghi.
Proprietatea lui I: - I este egal deprtat de laturile triunghiului; - I este centrul cercului nscris n triunghi. Raza cercului nscris n triunghi se noteaz cu r.
P
Ar
2 ; A aria, P - perimetrul
d) Mediatoarele unui triunghi
d = mediatoarea lui [AB]
Orice punct de pe mediatoare este egal deprtat de extremitile segmentului. Orice triunghi are 3 mediatoare care sunt concurente ntr-un punct O, care este centrul cercului circumscris triunghiului.
O d1 OA = OB
O d2 OB = OC
O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
e) Linia mijlocie n triunghi: segmentul care unete mijloacele a dou laturi. Un triunghi are 3 linii mijlocii.
Proprietile liniei mijlocii: 1) MP || BC
2) MB = BC
3) A MNP = A ABC
n triunghiul ABC sunt 4 triunghiuri congruente. 3) Patrulatere Poligon orice linie frnt nchis ale crei laturi nu se intersecteaz.
Poligon: convex (are toate vrfurile n exterior) concav (are cel puin 1 vrf n interior)
A
B C
N
M
G
A
B C
d3
d2
d1
A B
d
A
B C
N
M
I
A
B
M
N
P
C
-
Patrulater poligon cu 4 laturi; 5 pentagon; 6 hexagon; 7 heptagon; 8 octogon; 9 eneagon; 10 decacon * Suma msurilor unghiurilor unui poligon cu n laturi: Sn = 180
0(n-2)
S3 = 1800; S4 = 360
0; S5 = 540
0; S6 = 720
0
Formula care d numrul diagonalelor: 2
)3(
nnd ; n = numrul laturilor
Patrulatere particulare
1) Paralelogramul; 2) Dreptunghiul; 3) Ptratul; 4) Rombul; 5) Trapezul
1) Paralelogramul: patrulaterul convex n care laturile opuse sunt paralele. AB || DC
BC || AD A = AB DE (DE AB)
Proprieti:
Laturile opuse sunt congruente;
Unghiurile opuse sunt congruente;
Orice pereche de unghiuri alturate au suma msurilor 1800;
Diagonalele se njumtesc;
O este centrul de simetrie al paralelogramului.
2) Dreptunghiul: paralelogramul cu un unghi drept (toate unghiurile sunt drepte).
Proprietatea caracteristic: Diagonalele sunt congruente, dar nu sunt bisectoare pentru unghiuri. n rest preia toate proprietile de la paralelogram P = 2 L + 2 l sau P = 2(L+l); L + l = semiperimetrul; A = L x l
2) Rombul: paralelogramul cu dou laturi consecutive congruente. Proprietatea caracteristic: Diagonalele sunt perpendiculare, sunt bisectoare pentru unghiuri; nu sunt congruente.
A
B
C D
E
poligon convex
diagonale: orice patrulater are dou
pentagonul are 5 diagonale
A
C
B
D
l
L
A
B
D C
E
O
A
B
C
D E
poligon concav
-
P = 4l
A = d1 d2
A = l h
3) Ptratul ptratul care este i dreptunghi i romb; sau: Rombul cu un unghi drept. Dreptunghiul cu laturile consecutive congruente.
Proprietatea caracteristic: Diagonalele sunt perpendiculare, sunt bisectoare pentru unghiuri.
P = 4l; A = l2; l = A
4) Trapezul: patrulaterul cu dou laturi opuse paralele, iar celalalte dou neparalele. Trapez oarecare:
P = AB + BC + CD + AD
A = (B+b) h
Trapezul dreptunghic are un unghi drept. Trapezul isoscel: are laturile neparalele congruente.
Proprieti: - unghiurile alturate unei baze sunt congruente - diagonalele sunt congruente
Linia mijlocie n trapez segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele.
Proprieti: - linia mijlocie are lungimea egal cu semisuma bazelor:
2
CDABMN
- segmentul determinat de mijloacele diagonalelor are lungimea egal cu semidiferena bazelor.
2
ABDCST
D
A
C
B
O
A
B
D
C
h
A B
C D b
h
A B
C D
E
b
b
h
D C
B A
E
b
T M N
S
-
ELEMENTE DE GEOMETRIE N SPAIU
1. Poziiile a dou drepte n spaiu: a) pot fi paralele (sunt n acelai plan i nu au puncte comune); b) pot fi incidente sau secante (se intersecteaz ntr-un punct);
c) pot fi drepte oarecare necoplanare nu se intersecteaz i nici nu sunt n acelai plan. Reprezentarea geometric a dreptelor oarecare.
* Unghiul a dou drepte oarecare este unghiul format de dou paralele la acele drepte duse prin acelai punct. * Dou drepte care formeaz un unghi drept se numesc drepte perpendiculare. 2) Dreapta perpendicular pe un plan:
Considerm un plan i dreapta (d); vom spune c (d) este perpendicular pe planul dac este
perpendicular pe orice dreapt din planul .
Teorem: O dreapt d este perpendicular pe un plan, dac i numai dac este perpendicular pe dou drepte concurente din planul respectiv.
Teorema celor 3 perpendiculare: Se consider planul , o dreapt (d) care este perpendicular pe
n punctul O, o dreapt (e) i un punct M care nu aparine lui (e).
d , d = {O}
e , O e
OP e, P e
M d, M 0
MP e
* Dou drepte care sunt perpendiculare pe un plan, sunt paralele.
d1 ; d2 d1 || d2
d1 d2
d
O
d
O
d d
d2
O2
d1
O1
O
M
d
e
P
-
* Dou plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan dup dou drepte paralele.
||
= AB
= AB AB || AB
STUDIUL UNOR CORPURI
Paralelipipedul dreptunghic
* bazele sunt dreptunghiuri;
* feele laterale sunt tot dreptunghiuri; * muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor;
* diagonalele (4) sunt congruente i concurente.
Al=2Lh + 2lh; At = 2(Ll+Lh+lh);
V = Llh; d2 =
222 hlL ; d-lungimea diagonalei
2) Cubul: prisma dreapt cu toate muchiile concurente
Al = 4a2; At= 6a
2; V=a
3; 3ad
3) Piramida V = vrful ABCD = baza piramidei
VAB, VBC, VDC, VAD fee laterale VA, VB, VC, VD muchiile piramidei AB = muchia bazei
VO = nlimea piramidei
Al = AVAB + AVBC + AVAD
At= Al+Ab; V = 1/3 Abh
Desfurarea piramidei: Dac baza este poligon regulat i piciorul nlimii se afl n centrul poligonului regulat, atunci piramida este regulat.
ABC = echilateral
VO(ABC), O = centrul ABC
[VA] [AB] [VC]
A B
A B
V
ap
O
h
D ab
A B
C D
A B
C D
A B
C D
O
V
-
hl
V
AbAlAtapPapl
Al
lAb
B
4
3
3
1
;22
3
4
3
2
2
Obs: Dac ntr-o piramid triunghiular regulat feele laterale sunt triunghiuri echilaterale, atunci avem tetraedrul regulat.
3) Trunchiul de piramid Prin intersecia unei piramide cu un plan paralel cu baza se obin 2 corpuri: o piramid asemenea cu piramida iniial i un trunchi de piramid. 4) Trunchiul de piramid
|| ABCD
[VABCD] = [ABCD] [ABCDABCD] = trunchi de piramide ABCD = baza mare (B)
ABCD = baza mic (b) [AA] .......... [DD] muchii laterale h = nlimea trunchiului (este distana dintre baze) 8 vrfuri; 4 fee laterale (trapeze oarecare)
Se desfoar n 4 trapeze + 2 patrulatere. * bazele sunt poligoane asemenea
Al = AABBA + ABCCB + ........ + ADAAD
At = Al + Ab + Ab
V = h/3 + (AB + Ab + bB AA )
Obs: Dac trunchiul provine dintr-o piramid regulat, atunci se numete trunchi de piramid regulat.
muchiile sunt congruente;
bazele sunt poligoane regulate asemenea;
apar apotemele bazelor;
segmentul care unete mijloacele bazelor unei fee laterale se numete apotema trunchiului.
3
2
);(
KVpM
Vpm
marepiramidaPMKAlpM
Alpm
micapiramidapmasemanarederaportKhpM
hpm
5) Cilindrul circular drept
[AA] = generatoarea (G); G =H LC = 2R OO = axa cilindrului AC = R
2 ABAB = seciune axial n cilindru
Al = 2RG Asec.axiale=2RG At = 2R (G+R) V = Abh
V = R2G= R2h A
A B
O B
O
A B
C D
h
O
O
A B
C D
-
Un cilindru se numete cilindru ptratic, dac seciunea axial este ptrat.
2R = G R = 2
G
6) Conul circular drept
Al = RG At = Al + Ab= RG + R
2 = R (R+G)
V = 1/3 (Abh)
7) Trunchiul de con circular drept
prin intersecie: - un con mic, asemenea cu cel iniial - un trunchi de con
G
rn
360
0
)(3
';
;
);(';
))((
223
2
2
RrrRh
trVKVconM
Vconm
AAAltrAtKAlcM
Alcm
rRGtrAlKAB
Ab
maremicconuridouaceloraasemanarederaportulH
h
G
g
R
rK
bB
VAB seciune axial n con AVAB = 2 RH = RH; AABBA = (2R+2r)h = (R+r)h
7) Sfera
Aria sferei = 4R2
3
4 3RV
A B
V
O
h G
O
M
R cerc mare al sferei
emisfera inferioar
emisfera superioar
O
R
G
O
h