elemente de statistica matematica și probabilitatea
TRANSCRIPT
![Page 1: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/1.jpg)
Elemente de statistica matematica
Cum am putea prevedea rezultatele alegerilor
parlamentare?
![Page 2: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/2.jpg)
•Cum am putea folosi un studiu pe un numar finit de cazuri (esantion) pentru a anticipa un rezultat?
![Page 3: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/3.jpg)
Ce e statistica matematica?
• Satistica este disciplina care se ocupa cu culegerea, inregistrarea, gruparea, analiza si interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia
• Activitatea de grupare, analiza si interpretare a datelor precum si formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a unui fenomen reprezinta obiectul statisticii matematice
![Page 4: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/4.jpg)
Elemente de limbaj in statistica matematica
Populaţie statistică• Pentru a face o cercetare statistică este
necesar în primul rând a avea o populaţie.• Prin populaţie înţelegem de fapt o mulţime
(finită) oarecare P.• De regulă se consideră mulţimile definite
drept totalitatea unor elemente cu o proprietate şi nu printr-o enumerare.
![Page 5: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/5.jpg)
Exemple de populaţie:
• muncitorii dintr-o interprindere;• elevii unei unităţi şcolare;• populaţia unei localităţi.• Este nevoie ca elementele populaţiei
să aibă o caracteristică sau mai multe. Fiecare individ trebuie să aiba caracteristicile bine determinate. Deci trebuie să avem o mulţime C de caracteristici si o funcţie
CPf :
![Page 6: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/6.jpg)
Ce sunt caracteristicile calitative sau cantitative?• Există doua feluri de caracteristici:
cantitative şi calitative. În cazul în care caracteristicile sunt numere, caracteristica se numeşte cantiativă. În cazul în care caracteristicile nu apar ca numere, caracteristica se numeşte calitativă.
![Page 7: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/7.jpg)
• De obicei se face un sondaj adica, se alege din populaţia statistică o submulţime şi pe această submulţime se realizeaza un studiu restrâns.
• O asemenea submulţime a unei populaţii statistice este numită eşantion sau selecţie.
![Page 8: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/8.jpg)
Gruparea datelor statistice
• Datele statistice, la început sunt o masă dezordonată de date.
• Ele pot fi obţinute prin anailza în timp. Rezultatele obţinute de elevii unei clase de matematică pot fi prezentate intr-un tabel ca cel de mai jos:
![Page 9: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/9.jpg)
Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. elevi
1 1 2 6 4 7 2 1 1
• Din acest tabel putem trage concluzii referitoare la nivelul la
• care s-a prezentat clasa respectivă la teza.
![Page 10: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/10.jpg)
Diametrul in mm 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de
şuruburi 1 4 6 8 5 3 2 10 2
Din tabelele 1 şi 2 rezultă ca analiza statistică a unui fenomen, în raport cu o singură caracteristică, ne conduce la o serie de perechi de valori, pe care o vom numi serie statistică
![Page 11: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/11.jpg)
2.Frecvenţă absolută şi frecvenţă relativă
• Definitie: • Numărul tuturor elementelor unei populaţii statistice se numeşte efectivul total al acelei populaţii şi se notează cu N.• Definiţie: • Se numeşte frecvenţă absolută a unei valori a
caracteristicii• numărul de unităţi ale populaţiei corespunzătoare acelei
valori.• Definiţie: • Se numeşte frecvenţă relativă a unei valori x a caracteristicii raportul dintre frecvenţa absolută a valorii şi efectul total al populaţiei şi se scrie : f(x) =n/N, unde f(x) este frecvenţa relativă a valorii x, n este frecvenţa absolută a acestei valori iar N efectul total al populaţiei.
Deseori frecvenţa relativă este dată în proporţii.
![Page 12: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemplu:
• Un număr de 30 de elevi de la o unitate şcolară au fost întrebaţi la câte meciuri de fotbal au participat. Elevii au dat următoarele răspunsuri:
• 4,6,6,5,9,3,2,4,3,3,2,4,7,1,5,8,6,1,12,6,9,9,10,8,2,12,5,1,5,8.
• Împărţim intervalul de variaţie al datelor obţinute într-un număr de subintervale pe care le numim clase.
• [1,3), [3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13). Fiecare clasă are limite şi un centru. Un interval se va nota cu [xi,xi+1) , centrul clasei cu xi şi frecvenţa cu ni.
• Evident N=
kn1j
![Page 13: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/13.jpg)
Definiţie:Frecvenţa relativă a intervalului i este ni/N.Frecvenţa cumulată corespunzătoare clasei i este Se întocmeşte un tabel în care se ilustrează repartiţia frecvenţelor pe diferite clase. Acest tip de tabel se numeşte tabel de frecvenţa.Pentru exemplul nostru tabelul arată astfel:
Numarul Clasei
Limitele clasei
Mijlocul clasei
Frecventa ni Frecventacumulata
FrecventaRelativa a clasei
FrecvRel cumul a clasei
1 [1,3) 2 6 6 1/5 1/6
2 [3,5) 4 6 12 1/5 2/5
3 [5,7) 4 8 20 4/15 2/3
4 [7,9) 8 4 24 2/15 4/5
5 [9,11) 10 4 28 2/15 14/156 [11,13) 12 2 30 1/5 1
![Page 14: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/14.jpg)
3.Cum reprezentam grafic datele statistice cu o singură
caracteristică?• Reprezentarea grafică a unei serii
este uneori foarte sugestivă, ea contribuind la o primă interpretare intuitivă, pe cale vizuală a datelor.Deseori reprezentarea grafică sugerează insăşi legea pe care o urmează fenomenul studiat
• Graficul corespunzător unei serii statistice poartă numele de diagramă.
![Page 15: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/15.jpg)
Să considerăm de exemplu distribuţia mediilor de pe primul semestru la o şcoală
generală.1 Sub 5 12
2 Intre 5 si 6 89
3 Intre 5 si 6 149
4 Intre 5 si 6 356
5 Intre 5 si 6 137
6 Intre 5 si 6 28
![Page 16: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/16.jpg)
Reprezentare prin coloane
050
100
150200250300
350400
Sub 5 Între 5şi 6
Între 6şi 7
Între 7şi 8
Între 8şi 9
Între 9şi 10
1 2 3 4 5 6
Series1
![Page 17: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/17.jpg)
Reprezentare prin benzi
0 100 200 300 400
Sub 5
Între 5 şi 6
Între 6 şi 7
Între 7 şi 8
Între 8 şi 9
Între 9 şi 101
23
45
6
Series1
![Page 18: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/18.jpg)
Reprezentare prin sectoare de cerc
1 Sub 5
2 Între 5 şi 6
3 Între 6 şi 7
4 Între 7 şi 8
5 Între 8 şi 9
6 Între 9 şi 10
![Page 19: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/19.jpg)
Poligonul frecventelor
050
100150200250300350400
Sub 5 Între5 şi 6
Între6 şi 7
Între7 şi 8
Între8 şi 9
Între9 şi10
1 2 3 4 5 6
Series1
![Page 20: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/20.jpg)
4.Elemente caracteristice ale unei serii statistice
• Valoarea centrală a unei clase de variaţie• Definiţie:• Se numeşte valoare centrală a unei clase
de variaţie media aritmetică a extremităţilor acestei clase.
• Exemplu:• Valuarea centrală a clasei 180-185 din tabelul 4
este 182,5.• Mărimi medii
• Dacă în cadrul unei selecţii am obţinut n valori distincte x,x2,x3,...,xn, se ştie că media lor aritmetică este: Am
nxxx
aritn
...21
![Page 21: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/21.jpg)
• Dacă valorile variabilei x=(x1,x2,…,xn)apar respectiv cu frecvenţele y1,y2,...,yn, atunci valuarea medie a variabilei x este:
• = (1)
• Formula (1) se numeşte media aritmetică ponderată a numerelor x1,x2,...,xn, iar numerele y1,y2,...yn, ponderile respective ale acestor valori.
• Elemente de date statistice• O mare importanţă în realizarea unor prognoze cât
mai exacte îl constituie studierea valorilor caracteristice analizate în jurul mediilor. Modul de a analiza nu este unic, iar semnificaţiile care se desprind depind de modul de organizare şi de metodologia de calcul.
xn
nn
yyyyxyxyx
......
21
2211
![Page 22: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/22.jpg)
• 1)Amplitudinea se defineşte ca diferenţa dintre cea mai mare valuare şi cea mai mică valuare caracteristică, adică A=nmax-nmin.
• 2)Abaterea medie liniară se defineşte prin =
• 3)Dispersia se defineşte prin expresia
• 4)Abaterea medie se defineşte ca rădăcină pătrată a dispersiei,adică
• 5)Coeficientul de variaţie care se defineşte ca .
d
d
n
xxn
ii
1
2 2
1
2 1
n
ii xx
n
2
x
![Page 23: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/23.jpg)
Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare. Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele aleatoare sunt:
*CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT UNUI EXPERIMENT ALEATOR
*EVENIMENTELE
*VARIABILELE ALEATOARE
![Page 24: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/24.jpg)
Prin experienţa în teoria probabilităţilor se înţelege orice act care poate fi repetat în condiţii date.
Toate situaţiile legate de experienţă şi despre care putem spune, cu certitudine, că s-au produs sau nu, după efectuarea experienţei, poartă numele de eveniment.
![Page 25: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/25.jpg)
Un experiment aleator este o acţiune ale cărei
rezultate nu pot fi pronosticate cu certitudine. O efectuare a unui experiment,se numeşte probă. Prin eveniment se înţelege rezultatul unei probe.
Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii:
*evenimente sigure; * evenimente imposibile; * evenimente întâmplătoare.
![Page 26: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/26.jpg)
UNIVERSUL PROBELOR
Definiţie : Se numeşte universul probelor mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu.
![Page 27: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/27.jpg)
EXEMPLE 1.La aruncarea monedei omogene avem Ω=b,s, unde b este banul iar s este stema. 2.La aruncarea unui zar omogen avem Ω=1,2,3,4,5,6 .
![Page 28: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/28.jpg)
3.O urnă conţine trei bile numerotate
1,2,3.Se extrag succesiv două bile din urnă:
*cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere; Ω=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
*fără repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere;
Ω=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)
![Page 29: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/29.jpg)
EVENIMENTE Definiţie : Fie Ω un univers. Orice submulţime a lui Ω se numeşte eveniment.
EXEMPLE 1. Extragerea unei bile albe dintr-o urnă care conţine numai bile albe, este un eveniment sigur.2. Apariţia unui număr de 7 puncte la o probă a aruncării unui zar este un eveniment imposibil.3 Apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment întâmplător.
![Page 30: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/30.jpg)
Evenimentele întâmplătoare se supun unor
legităţi, numite legităţi statistice. În acest sens, nu se poate prevedea dacă într-o singură aruncare a unui zar se obţine faţa 1; dacă însă se efectuează un număr suficient de mare de aruncări se poate prevedea cu suficientă precizie numărul de apariţii ale acestei feţe.
Evenimentele întâmplătoare pot fi compatibile şi incompatibile. Două evenimente se numesc incompatibile, dacă realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.
![Page 31: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/31.jpg)
EXEMPLE
1.Evenimentele : apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.
2. Evenimentele : apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia unei feţe cu un număr impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile.
![Page 32: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/32.jpg)
EXEMPLU La aruncarea zarului dacă A =1,2,3 (care
înseamnă că A se realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1, 2 sau 3 puncte), atunci Ā = 4,5,6 (care se realizează dacă nu se realizează A, adică dacă într-o probă apare una din feţele care conţin 4, 5 sau 6 puncte).
![Page 33: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/33.jpg)
EXEMPLU La aruncarea zarului fie evenimentele :
A=1,2,3, B=4,5, C=1,3, D=2,3,5. Atunci A∪B= 1,2,3,4,5 şi C∪D= 1,2,3,5.Se observă că A∪B este format din două evenimente pentru care A∩B=Ø, ceea ce înseamnă că A∪B are loc dacă are loc fie A , fie B. În cazul C∪D avem C∩D= 3, adică apariţia feţei care conţine trei puncte realizează atât evenimentul C cât şi evenimentul D.
![Page 34: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/34.jpg)
EXEMPLU
La aruncarea zarului fie evenimentele
A= 1,2,3,4, B= 2,4,6. Atunci A∩B= 2,4 şi se realizează dacă la aruncarea zarului apare faţa cu două puncte sau faţa cu patru puncte.
![Page 35: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/35.jpg)
EVENIMENTE INCOMPATIBILE
Definiţie : Două evenimente A, B se numesc incompatibile dacă şi numai dacă A∩B=Ø.
EXEMPLU Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.
![Page 36: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/36.jpg)
EVENIMENTE ELEMENTARE
Definiţie : Fie Ω un univers finit Ω=ω1, ω2,...,ωn.
Evenimentele ω1,ω2,…, ωn se numesc evenimente elementare.
EXEMPLE 1)La aruncarea monedei Ω= s,b când avem
evenimentele elementare s (apariţia stemei), b (apariţia banului).
2)La aruncarea zarului Ω= 1,2,3,4,5,6, evenimentele elementare sunt : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
![Page 37: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/37.jpg)
FUNCŢIA PROBABILITATE
Definiţie : Fie Ω un univers . Se numeşte probabilitate pe P(Ω) ,aplicaţia P: P(Ω)R, dacă au loc axiomele:
A1) P(A) ≥ 0 , (∀) A ∈ P(Ω) (Probabilitatea oricărui eveniment este un nr pozitiv).
A2) P(Ω)=1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu unu).
A3) P(A∪B) = P(A) + P(B), dacă A∩B =Ø (Probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor lor).
![Page 38: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/38.jpg)
CÂMP DE PROBABILITATE
Definiţie : Fie F un fenomen aleatoriu. Se numeşte câmp de probabilitate asociat fenomenului F , tripletul (Ω, P(Ω), P).
Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective, formează un câmp de probabilitate.
![Page 39: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/39.jpg)
EXEMPLU La aruncarea monedei Ω=s,b, P(Ω)= Ø, s, b, s,b iar P : P(Ω) [0,∞) , unde P(Ø)=0 P(s)=P(b)=1/2 , P(s,b)=1.
![Page 40: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/40.jpg)
DEFINIŢIA GENERALĂ A PROBABILITĂŢII
Definiţie : Se numeşte probabilitate o funcţie P : P(E) ℝ cu următoarele proprietăţi:
1) P(A)≥0, ∀ A ∈ P(E) ; 2) P(E)=1; 3) P(A∪B)= P(A) + P(B) ,
dacă A∩B= Ø.
![Page 41: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/41.jpg)
OPERAŢII CU PROBABILITĂŢI
TEOREMĂ : Fie A, B ∈ P(Ω) , atunci P(B∩Ā) = P(B) – P(B∩A).
![Page 42: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/42.jpg)
COROLAR
1) P(Ø) =0 ; 2) P(Ā)=1 – P(A) ; 3) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
; 4) Dacă A⊂B, atunci P(A) ≤ P(B) ; 5) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; (∀) A⊂Ω .
![Page 43: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/43.jpg)
REMARCĂ IMPORTANTĂ !
Axiomele din definiţia probabilităţii şi rezultatele precedente sunt insuficiente pentru a preciza probabilităţile diferitelor evenimente ale unui univers Ω . Alte consideraţii sau experienţe practice sunt indispensabile pentru a da aceste probabilităţi sau cel puţin o parte dintre ele.
![Page 44: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/44.jpg)
EVENIMENTE ELEMENTARE ECHIPROBABILE Definiţie : Fie Ω =ω1, ω2,…., ωn.
Evenimentele elementare ω1,ω2,…,ωn se numesc echiprobabile dacă au aceeaşi probabilitate P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).
TEOREMĂ : Dacă Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile ,iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci P(A)=k/n=card(A)/card(Ω ) .
![Page 45: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/45.jpg)
PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE
Definiţie : Fie A,B ⊂Ω. Numărul notat PB(A) definit prin : PB(A)=P(A∩B)/P(B)
P(B) ≠ 0, se numeşte probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentul B.
TEOREMĂ : Fie A,B,C…evenimente ale unui univers Ω. Atunci:
1) P(A∩B)= P(A) PA(B) 2) P(A∩B∩C)= P(A) PA(B) PA∩B(C)
![Page 46: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/46.jpg)
EVENIMENTE INDEPENDENTE Definiţie : 1)Fie A, B⊂Ω . Evenimentele A, B sunt independente dacă P(A∩B) =P(A) P(B) . În caz contrar, evenimentele sunt dependente. 2)Fie A,B,C⊂Ω. Evenimentele A,B,C sunt independente dacă: P(A∩B) = P(A) P(B) , P(A∩C) = P(A) P(C) , P(B∩C) = P(B) P(C) , P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C) .
![Page 47: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/47.jpg)
VARIABILE ALEATOARE Definiţie : Fie (Ω, P(Ω), P) un câmp de
probabilitate. Orice aplicaţie X : Ω ℝ ,
se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P.
Definiţie : O variabilă aleatoare se numeşte discretă dacă are o mulţime finită , sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă are ca mulţime de valori un interval mărginit al dreptei reale.
![Page 48: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/48.jpg)
Variabilele aleatoare întâlnite în practică sunt de două tipuri: calitative sau cantitative.
Variabilele aleatoare calitative au, de obicei, un număr mic de valori distincte.
Variabilele aleatoare cantitative sunt mărimi măsurabile, cum ar fi numărul de defecţiuni care se identifică la controlul unui aparat electronic, înălţimea unor plante, greutatea corporală a unor oameni, sumele depuse de clienţi la o bancă etc.
![Page 49: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/49.jpg)
A. Caracteristici de poziţie ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,…,r .
*MEDIA este valoarea numerică asociată
variabilei X care se calculează după formula : M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xrpr . *MEDIANA este o valoare numerică notată
Me(X) , care împarte valorile lui X în două grupe de probabilităţi aproximativ egale. Ea se defineşte astfel : Se consideră valorile variabilei ordonate crescător ,
x1 ≤ x2 ≤ ...≤ xr. Mediana este acea valoare a variabile X care satisface proprietăţile P(X<Me(X)) ≤ 1/2 ,
P(X ≤ Me(X)) ≥ 1/2. *MOD-UL (sau dominanta), notat Mo(X) , este
valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea cea mai mare de apariţie.
![Page 50: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/50.jpg)
B. Caracteristici de împrăştiere ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,...,r.
*DISPERSIA este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula
DxD(X)=(x1 – M(X))(x1 – M(X))p1 + … + (xr – M(X))(xr – M(X))pr
*ABATEREA MEDIE STANDARD este egală cu rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei.
*AMPLITUDINEA este egală cu diferenţa dintre
cea mai mare şi cea mai mică dintre valorile variabilei X
A(X) = maxx1,...,xr - minx1,...,xr
)(XDxD )(XDxD )(XDxD )(XDxD
![Page 51: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/51.jpg)
SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE
1. SCHEMA LUI POISSON P(x) = (p1x + q1)(p2x + q2)…(pnx + qn)
2. SCHEMA LUI BERNOULLI
![Page 52: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/52.jpg)
* PROIECT REALIZAT DE STANCIU RALUCA clasa a X a A
*LICEUL “ION NECULCE”
*Profesor coordonator: CARMEN TAFLARU
![Page 53: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/53.jpg)
bibliografie
• www.epsilon.ro• www.didactic.ro• http://google.ro • http://office.microsoft.com/ro-ro/clipart/results• 1.Burtea M., Matematica. Manual pentru clasa
a X-a. Editura Carminis,Pitesti, 2005.• 2.Cingu P. Duncea M. Constantinescu M. ,
Matematica. Manual pentru clasa a X-a. Editura Carminis,Pitesti, 2000
• 3.Cheasca I , Constantinescu D., Statistica Matematica si calculul probabilitatilor pentru gimnaziu si liceu, Editura Teora 1998
![Page 54: Elemente de statistica matematica și probabilitatea](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050616/58d157291a28ab41128b6369/html5/thumbnails/54.jpg)
Echipa de proiect: