elemente de statistica matematica - nast02bn -...
TRANSCRIPT
Elemente de statistica matematica
Cum am putea prevedea rezultatele alegerilor
prezidentiale?
• Cum am putea folosi un
studiu pe un numar finit de cazuri (esantion) pentru a anticipa un rezultat?
Ce e statistica matematica?
• Satistica este disciplina care se ocupa cu culegerea, inregistrarea, gruparea, analiza si interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia
• Activitatea de grupare, analiza si interpretare a datelor precum si formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a unui fenomen reprezinta obiectul statisticii matematice
Elemente de limbaj in statistica matematica
Populaţie statistică• Pentru a face o cercetare statistică este
necesar în primul rând a avea o populaţie.• Prin populaţie înţelegem de fapt o mulţime
(finită) oarecare P.• De regulă se consideră mulţimile definite
drept totalitatea unor elemente cu o proprietate şi nu printr-o enumerare.
Exemple de populaţie:
• muncitorii dintr-o interprindere;• elevii unei unităţi şcolare;• populaţia unei localităţi.• Este nevoie ca elementele populaţiei să
aibă o caracteristică sau mai multe. Fiecare individ trebuie să aiba caracteristicile bine determinate. Deci trebuie să avem o mulţime C de caracteristici si o funcţie CPf :
Ce sunt caracteristicile calitative sau cantitative?
• Există doua feluri de caracteristici: cantitative şi calitative. În cazul în care caracteristicile sunt numere, caracteristica se numeşte cantiativă. În cazul în care caracteristicile nu apar ca numere, caracteristica se numeşte calitativă.
• De obicei se face un sondaj adica, se alege din populaţia statistică o submulţime şi pe această submulţime se realizeaza un studiu restrâns.
• O asemenea submulţime a unei populaţii statistice este numită eşantion sau selecţie.
Gruparea datelor statistice• Datele statistice, la început sunt o masă
dezordonată de date.• Ele pot fi obţinute prin analiza în timp.
Rezultatele obţinute de elevii unei clase de matematică pot fi prezentate intr-un tabel ca cel de mai jos:
• Din acest tabel putem trage concluzii referitoare la nivelul la care s-a prezentat clasa respectivă la teza.
Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. elevi
1 1 2 6 4 7 2 1 1
Diametrul in mm 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de
şuruburi 1 4 6 8 5 3 2 10 2
Din tabelele 1 şi 2 rezultă ca analiza statistică a unui fenomen, în raport cu o singură caracteristică, ne conduce la o serie de perechi de valori, pe care o vom numi serie statistică
2.Frecvenţă absolută şi frecvenţă relativă
• Definitie: Numărul tuturor elementelor unei populaţii statistice se numeşte
efectivul total al acelei populaţii şi se notează cu N.• Definiţie: Se numeşte frecvenţă absolută a unei valori a caracteristicii
numărul de unităţi ale populaţiei corespunzătoare acelei valori.• Definiţie: Se numeşte frecvenţă relativă a unei valori x a caracteristicii
raportul dintre frecvenţa absolută a valorii şi efectul total al populaţiei şi se scrie : f(x) =n/N, unde f(x) este frecvenţa relativă a valorii x, n este frecvenţa absolută a acestei valori iar N efectul total al populaţiei. Deseori frecvenţa relativă este dată în proporţii.
Exemplu:
• Un număr de 30 de elevi de la o unitate şcolară au fost întrebaţi la câte meciuri de fotbal au participat. Elevii au dat următoarele răspunsuri:
4,6,6,5,9,3,2,4,3,3,2,4,7,1,5,8,6,1,12,6,9,9,10,8,2,12,5,1,5,8.• Împărţim intervalul de variaţie al datelor obţinute într-un
număr de subintervale pe care le numim clase.• [1,3), [3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13). Fiecare clasă are limite şi
un centru. Un interval se va nota cu [xi,xi+1), centrul clasei cu xi şi frecvenţa cu ni.
• Evident N = k
jn1
Definiţie:Frecvenţa relativă a intervalului i este ni/N.Frecvenţa cumulată corespunzătoare clasei i este Se întocmeşte un tabel în care se ilustrează repartiţia frecvenţelor pe diferite clase. Acest tip de tabel se numeşte tabel de frecvenţa. Pentru exemplul nostru tabelul arată astfel:
Numarul Clasei
Limitele clasei
Mijlocul clasei
Frecventa ni Frecventacumulata
FrecventaRelativa a clasei
FrecvRel cumul a clasei
1 [1,3) 2 6 6 1/5 1/6
2 [3,5) 4 6 12 1/5 2/5
3 [5,7) 4 8 20 4/15 2/3
4 [7,9) 8 4 24 2/15 4/5
5 [9,11) 10 4 28 2/15 14/15
6 [11,13) 12 2 30 1/5 1
3.Cum reprezentam grafic datele statistice cu o singură caracteristică?
• Reprezentarea grafică a unei serii este uneori foarte sugestivă, ea contribuind la o primă interpretare intuitivă, pe cale vizuală a datelor. Deseori reprezentarea grafică sugerează insăşi legea pe care o urmează fenomenul studiat
• Graficul corespunzător unei serii statistice poartă numele de diagramă.
Să considerăm de exemplu distribuţia mediilor de pe primul semestru la o şcoală generală.
1 Sub 5 12
2 Intre 5 si 6 89
3 Intre 5 si 6 149
4 Intre 5 si 6 356
5 Intre 5 si 6 137
6 Intre 5 si 6 28
Reprezentare prin coloane
050
100
150200250300
350400
Sub 5 Între 5şi 6
Între 6şi 7
Între 7şi 8
Între 8şi 9
Între 9şi 10
1 2 3 4 5 6
Series1
Reprezentare prin benzi
0 100 200 300 400
Sub 5
Între 5 şi 6
Între 6 şi 7
Între 7 şi 8
Între 8 şi 9
Între 9 şi 10
12
34
56
Series1
Reprezentare prin sectoare de cerc
1 Sub 5
2 Între 5 şi 6
3 Între 6 şi 7
4 Între 7 şi 8
5 Între 8 şi 9
6 Între 9 şi 10
Poligonul frecventelor
050
100150200250300350400
Sub 5 Între5 şi 6
Între6 şi 7
Între7 şi 8
Între8 şi 9
Între9 şi10
1 2 3 4 5 6
Series1
4.Elemente caracteristice ale unei serii statistice
Valoarea centrală a unei clase de variaţieDefiniţie: Se numeşte valoare centrală a unei clase de
variaţie media aritmetică a extremităţilor acestei clase.
Exemplu:Valoarea centrală a clasei 180-185 din tabelul 4 este 182,5.Mărimi medii
Dacă în cadrul unei selecţii am obţinut n valori distincte x1, x2, x3,...,xn, se ştie că media lor aritmetică este:
Amn
xxxarit
n ...21
• Dacă valorile variabilei x=(x1,x2,…,xn) apar respectiv cu frecvenţele y1,y2,...,yn, atunci valoarea medie a variabilei x este:
= (1)
• Formula (1) se numeşte media aritmetică ponderată a numerelor x1,x2,...,xn, iar numerele y1,y2,...yn, ponderile respective ale acestor valori.
Elemente de date statistice O mare importanţă în realizarea unor prognoze cât mai
exacte îl constituie studierea valorilor caracteristice analizate în jurul mediilor. Modul de a analiza nu este unic, iar semnificaţiile care se desprind depind de modul de organizare şi de metodologia de calcul.
xn
nn
yyyyxyxyx
......
21
2211
• 1)Amplitudinea se defineşte ca diferenţa dintre cea mai mare valuare şi cea mai mică valuare caracteristică, adică A=nmax-nmin.
• 2)Abaterea medie liniară se defineşte prin =
• 3)Dispersia se defineşte prin expresia
• 4)Abaterea medie se defineşte ca rădăcină pătrată a dispersiei,adică
• 5)Coeficientul de variaţie care se defineşte ca .
d
d
n
xxn
ii
1
2 2
1
2 1
n
ii xx
n
2
x
bibliografie• www.epsilon.ro• www.didactic.ro• http://google.ro • http://office.microsoft.com/ro-ro/clipart/results• 1.Burtea M., Matematica. Manual pentru clasa a X-a.
Editura Carminis,Pitesti, 2005.• 2.Cingu P. Duncea M. Constantinescu M. , Matematica.
Manual pentru clasa a X-a. Editura Carminis,Pitesti, 2000
• 3.Cheasca I , Constantinescu D., Statistica Matematica si calculul probabilitatilor pentru gimnaziu si liceu, Editura Teora 1998
Echipa de proiect:
• ……