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Elemente der Gruppentheorie
Tobias Sudmann
06.11.2006
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Rolle der Gruppentheorie in der Physik
abstraktes mathematisches Modell
Symmetriebegriff
historisch: Harmonievorstellungbei Plato, Pythagoras, Kepler, . . .
”modern“:
”Problemstellungen“
ErhaltungsgroßenEichsymmetrienElementarteilchenSymmetriebrechung
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Ubersicht
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Grundlegendes
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Definition (Gruppe)
Eine Gruppe G ist eine Menge von Elementen {A,B ,C , . . .} furdie gilt:
Abgeschlossenheit:
A ∈ G , B ∈ G ⇒ C = AB ∈ G
Assoziativitat:(AB)C = A(BC )
Einselement:AI = IA = A
Inverses Element:
AA−1 = A−1A = I
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Gruppe
Abelsche Gruppe
kommutativ:AB = BA
additive Notation:
AB ↔ A + BI ↔ 0
A−1 ↔ −AAn ↔ nA
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Beispiel
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Untergruppe
Eine TeilmengeH ⊂ G
ist Untergruppe von G , wenn sie selbst eine Gruppe ist.
Ordnung
endliche Gruppen:
Anzahl der Elemente
Elemente:kleinstes n mit An = I
→ zyklische Gruppen
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Generatoren und Rang
Generatoren
Die Generatoren sind eine Menge von unabhangigen Elementen ausdenen alle Elemente gebildet werden konnen.
Rang
Der Rang entspricht der Anzahl der Generatoren.
Beispiel
Zyklische Gruppen haben Rang 1.
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Nebenklassen
Linksnebenklasse
Fur jedes g ∈ G istgH ≡ {gh|h ∈ H }
eine Linksnebenklasse von H .
Beispiel (Goldstone-Bosonen)
Hier ist speziell:
G = SU(Nf )× SU(Nf )H = SU(Nf )
Goldstone-Bosonen sind isomorph zu den Elementen von
{gH |g ∈ G} .
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Klasse
Konjugierte Elemente
Zwei Elemente A,B sind zueinander konjugiert, wenn
B = T−1AT fur ein T ∈ G .
Klasse
Die Klasse von A ist die Menge
(A) ≡ {aller konjugierten Elemente zu A} .
Beispiel
A ∈ (A)
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Normalteiler
selbstkonjugiert
A ist selbstkonjugiert, genau dann wenn
(A) = A .
Normalteiler
Die Normalteiler von A ist die Menge
NA ≡ {aller mit A kommutierenden Elemente} .
Satz
Der Normalteiler ist eine Untergruppe.
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Spezielle Untergruppen
Invariante Untergruppen
Eine Untergruppe H ist invariant, wenn diese mit allen g ∈ Gkommutieren.
Satz
Invariante Untergruppen setzen sich aus Klassen zusammen:
H = (I ) + (A) + (B) + . . .
Einfache Untergruppen
Einfache Untergruppen haben keine echten invariantenUntergruppen.Halb-einfache Untergruppen haben keine abelschen invariantenUntergruppen.
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Abbildungen zwischen Gruppen
Abbildungen unter Berucksichtigung der Gruppenstruktur werdenklassifiziert durch:
f : G → G ′
homomorph: eindeutig Zuordnung
isomorph: ein-eindeutige Zuordnung: G ≈ G ′
f : G → G
endomorph: eindeutig Zuordnung
automorph: ein-eindeutige Zuordnung
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Abbildungen zwischen Gruppen
Beispiel
G/Ker f ≈ Im f
Satz
Die Menge aller Automorphismen einer Gruppe (AutG) bildeneine Gruppe.
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Darstellungstheorie
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Matrix-Gruppe
Eine Matrix-Gruppe hat Matrizen als Elemente. Mit einem solchenElement M ∈ Mat(n,n) wird die lineare Transformation x ′ = Mxverknupft. Der zugehorige Vektorraum L hat die Dimension n.
Darstellung einer Gruppe
Die Darstellung Γ einer Gruppe ist eine homomorphe Abbildungauf eine Matrix-Gruppe Γ.Jedem Gruppenelement wird so eine Matrix zugeordnet:
D(A)D(B) = D(AB)D(I ) = 1
D(A−1) = D−1(A)
”Γ ist ein Darstellung von G im Vektoraum L der Dimension n.“
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Darstellungen
Beispiel (Triviale Darstellung)
Eine triviale Darstellung ist immer gegeben durch
G → 1 .
Regulare Darstellung
Die regulare Darstellung ist definiert durch
Γregij (A) = δ(A−1
i AAj ) .
→ Tafel
Folgerung
Es gibt offensichtlich große Unterschied zwischen denDarstellungen.
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Treue Darstellung
Treue Darstellung
Eine Darstellung ist treu, wenn
G ≈ Γ .
Beispiel (Regulare Darstellung)
Die regulare Darstellung ist treu.
Beispiel (Triviale Darstellung)
Die triviale Darstellung ist untreu.
Beispiel (Kern)
Die Darstellung G/Ker f → Γ ist treu.
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Beispiel
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Irreduzibilitat
(Ir-)Reduzible Darstellung
Eine Darstellung, die in Blockdiagonalgestalt gebracht werdenkann, heisst (vollstandig) reduzibel. Dann ist
D =
D1 0 · · ·0 D2...
. . .
bzw.
D = D1 ⊕D2 ⊕ . . .
Anderfalls heisst sie irreduzibel.
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Charakter
Aquivalente Darstellung
Zwei Darstellung sind aquivalent, wenn
D ′(A) = T−1D(A)T .
Charakter einer Darstellung
Der Charakter von A in einer Darstellung D ist durch die Spur
χ(A) = TrD(A)
definiert.
Aquivalenz
Zwei Darstellungen sind genau dann aquivalent, wenn sie isomorphsind und dieselben Charaktere haben.
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Quantenmechanik
Quantenmechanik: Darstellungsraum = Hilbert-Raum
Darstellungsmatrizen mussen unitar sein:
〈x |y〉 = 〈x ′|y ′〉 = 〈x |U †U |y〉
Unitare Darstellung
Jede Darstellung einer endlichen Gruppe kann in eine unitaretransformiert werden.
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Schur’s Lemmata
Schur’s erstes Lemma
Eine beliebige Matrix M , die mit allen Matrizen einer DarstellungD kommutiert, ist (genau dann) ausschliesslich von der Form
M = λ1 ,
wenn die Darstellung irreduzibel ist.
Schur’s zweites Lemma
Wenn zwei nicht-aquivalente irreduzible Darstellungen D1 und D2
der Dimensionen m und n von G
D1(A)F = F D2(A)
erfullen, dann ist F die Nullmatrix.
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Lie-Gruppen
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Lie-Gruppen
von den Parametern a = (a1, . . . , ar ) abhangig
Gruppe von kontinuierlichen, differenzierbarenTransformationen
x ′ = xTa = f (x , a)
Infinitesimale Transformation
Bei der Analyse beschrankt man sich auf infinitesimaleTransformationen bzw. auf die infinitesimalen Generatoren.Diese fuhren zu Lie-Algebra.
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Skizze
Ausgangspunkt:
a(θ)a(φ) = a(ξ) , ξ = f (θ,φ)
wobei
f (0,θ) = f (θ, 0) = θ , f (θ, f (φ, ξ)) = f (f (θ,φ), ξ)
Weiter:
a(θ) = exp(iθ·X ) = a(0) + iθkXk + . . . , Xk = −i∂a∂θk
∣∣∣θ=0
Dann fur a(ξ) = a(θ)a(φ)a−1(θ)a−1(φ) wegenξi = gi(θ,φ) mit g(φ, 0) = g(0,θ) = 0:
ξl =Al + B lj θj + B ′l
k φk + C ljkθjφk + C ′l
jkθj θk + C ′′ljk φjφk + . . .
=C ljkθjφk + . . .
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Skizze
Also:a(ξ) = 1+ iC l
jkXl + . . .
und:
a(θ)a(φ)a−1(θ)a−1(φ) = 1+ θjφk [Xj ,Xk ]
Daraus folgt unmittelbar:
[Xj ,Xk ] = iC ljkXl
mit den Strukturkonstanten C ljk .
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Spezielle Darstellungen
Die D(a) = exp(iθ ·T ) bilden eine Darstellung.Dann existiert:
Konjugierte Darstellung
Die konjugierte Darstellung D∗(a) wird durch die −T ∗j generiert.
WennSTjS−1 = −T ∗
j ,
dann werden die Tj reelle Darstellung genannt.→ diagonale Generatoren
und:
Adjungierte Darstellung
Die adjungierte Darstellung wird aus den Strukturkonstanten C ljk
gebildet.
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Elementarteilchen und SU(Nf )
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Die SU(2)
Basis (reelle Darstellung)
Pauli-Matrizen:
σ1 =(
0 11 0
), σ2 =
(0 −ii 0
), σ3 =
(1 00 −1
)
Anmerkung
Rang hier: Nf − 1
Generatoren
Ji = σi/2:[Ja , Jb ] = iεabcJc
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Zustande
J 2|j ,m〉 = j (j + 1)|j ,m〉J3|j ,m〉 = m|j ,m〉 , m = j , j − 1, . . . ,−j
Dimension
Die Darstellung hat offensichtlich die Dimension 2j + 1.
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Die SU(2)
Beispiel (J = 1/2, m = ±1/2)
Zustande sind gewohnlich
|12 , 12〉 =
(10
), |12 ,−1
2〉 =(
01
)→ Spin, Isospin
Beispiel (J = 1, m = 1, 0,−1)
|1, 1〉 =
100
, |1, 0〉 =
010
, |1,−1〉 =
001
→ Pionen
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Die SU(2)
Leiteroperatoren:
J±|j ,m〉 = [(j ∓m)(j ±m + 1)]1/2|j ,m ± 1〉
Graph
Die irreduziblen Darstellungen konnen durch einen Parameterklassifiziert werden.→ Linie
Und was ist mit Produktdarstellungen?
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Produktdarstellung
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Die SU(3)
Basis
Gell-Mann-Matrizen:
λ1 =
0 1 01 0 00 0 0
, λ2 =
0 −i 0i 0 00 0 0
, λ3 =
1 0 00 −1 00 0 0
,
λ4 =
0 0 10 0 01 0 0
, λ5 =
0 0 −i0 0 0i 0 0
, λ6 =
0 0 00 0 10 1 0
,
λ7 =
0 0 00 0 −i0 i 0
, λ8 =1√3
1 0 00 1 00 0 −2
.
Generatoren Ti = λi/2:
[Ta ,Tb ] = ifabcTc
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Parameter und Produkdarstellung
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Young tableaux
Allgemein
Im Allgemeinen hat man mehrere Parameter. Fur SU(Nf ) kannman die Losungen durch sogenannte
”Young tableaux“ bestimmen
(Theorem, Hamermesh 1963).
Beispiel
Quark-Antiquark3× 3∗ = 1 + 8
Drei-Quark3× 3× 3 = 1 + 8 + 8 + 10
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Hadronen
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Literatur
Max Wagner, Gruppentheoretische Methoden in der Physik
F. Gursey, Introduction to group theoryin: DeWitt & DeWitt, Relativity, groups and topology
Cheng & Li, Gauge theory of elementary particle physics