elementi di cartografia -...
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ELEMENTI DI
CARTOGRAFIA
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CARTOGRAFIA � TEORIA DELLE CARTE
SCOPO � rappresentazione grafica o video- graficadella superficie terrestre:
a) posizione planimetrica � ELLISSOIDE � corrispondenzaanalitica biunivoca con il PIANO
Equazioni della carta
b) indicazione posizione altimetrica
↔
P
P
P
OE = OS =
P(X, Y, Z) P( , 0 )
P( , )
P'P" = X
OP" = Y
PP' = Z
ϕ λ,ϕ λ,ϕ λ,ϕ λ,
ϕ λϕ λϕ λϕ λ
a b
T
Z
S
PN
Y
X
P
P’P”
r
λλλλ
ϕϕϕϕE
O
G
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3
CARATTERISTICHE DELLE CARTE
1. SCALA2. RAPPRESENTAZIONE3. CONTENUTO
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4
LA CARTA FORNISCE UN’IMMAGINE INCOMPLETA DEL TERRENO
LA CARTA E’ UNA COSTRUZIONE SELETTIVA E RAPPRESENTATIVA CHE IMPLICA L’IMPIEGO DI SIMBOLI E SEGNI APPROPRIATI
IL CONCETTO DI SCALA HA IMPORTANZA PRIMARIA, IN QUANTO LA SCALA E’ LO STRUMENTO DI APPROCCIO SCIENTIFICO E TECNICO
ALLA REALTA’
1. La SCALA determina il livello di analisi in funzione dello spazio da ricoprire e dei dettagli da esaminare
2. La SCALA condiziona la precisione, la leggibilità e l’efficacia della carta
3. La SCALA determina il livello di sintesi e di selezione (generalizzazione e simbolizzazione)
4. La SCALA determina il rapporto tra carta e «terreno»
SCALA
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5
SCALA 1:n
scala piccola 25000:11
≤n
che topografi100000:11
≥n
hecorografic 100000:11
1000000:1 ≤≤n
egeografich 1000000:11
≤n
scala grande 5000:11
≥n
scala media 5000:11
25000:1 ≤≤n
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6
RAPPRESENTAZIONE
angolare nedeformazio di modulo '-
lesuperficia nedeformazio di modulo '
lineare nedeformazio di modulo '
ααδσσ
µ
=
=
=
d
d
ds
dsm
),('),( yxPP ↔λϕ
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7
IDEALE → CARTA EQUIDISTANTE
Manterrebbe inalterate le distanze in un rapporto di scala assegnato
IMPOSSIBILE!!!
POSSIBILI
• CARTE EQUIVALENTImantengono inalterate le superfici in un rapporto di scala assegnato
• CARTE CONFORMImantengono inalterati gli angoli tra linee corrispondenti
• CARTE AFILATTICHEcompromesso= quasi conformi e quasi equivalenti
RAPPRESENTAZIONE
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8
RAPPRESENTAZIONI CONFORMI
RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI
RAPPRESENTAZIONI AFILATTICHE
)(
),(
'0
Azimutfm
fm
≠
=
=⇒=
λϕ
ααδ
1
0
≠
≠
µ
δ
σσ
µ
dd =
=
'
1
RAPPRESENTAZIONE
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9
COME SCEGLIERE?
CRITERIO GENERALE : LIMITARE LE DEFORMAZIONI PER UNA
SIMILITUDINE APPROSSIMATA
N.B.
+ PICCOLA È LA SCALA
+ GRANDE È LA ZONA RAPPRESENTABILE
+ GRANDI SONO LE DEFORMAZIONI
MA
+ AMPIA È LA TOLLERANZA
RAPPRESENTAZIONE
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CONTENUTO
1. CARTE DI BASE - politematiche
A B C D E
2. CARTE TEMATICHE – monotematiche o a tematismi prevalenti
A B C D E
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11
CONTENUTO
1. CARTE DI BASERappresentano la maggior quantità di particolari possibile (politematiche), di interesse comune al
maggior numero di potenziali utenti, compatibilmente con la scala per non perdere in leggibilità e chiarezza di
rappresentazione
2. CARTE TEMATICHERiportano, su una carta di base opportunamente semplificata in funzione della scala, una serie di
informazioni dettagliate, compatibilmente con la scala, riguardanti una o più caratteristiche (monotematiche o a
tematismi prevalenti) qualitative e/o quantitative del suolo o di ciò che insiste sul territorio e dei fenomeni ad
esso collegati
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12
GENESI DELLE CARTE
CARTE RILEVATEcostruite in base a rilievi diretti (grafici, numerici, fotogrammetrici) sul terreno
CARTE DERIVATEcostruite derivandole da una riduzione o da un nuovo disegno dell’insieme di più carte (rilevate o anch’esse derivate) a scala maggiore
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Classificazione delle rappresentazioni cartografiche
In base alle deformazioni indotte- Conformi
- Equivalenti
- Afilattiche
In base al “quadro” (1)- Prospettiche
posizione quadro (polari, meridiane, oblique)posizione centro (centrografiche, stereografiche,
scenografiche, ortografiche)
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Classificazione delle rappresentazioni cartografiche
In base al “quadro” (2)- Cilindriche (quadro = cilindro)
dirette, trasverse, oblique
- Coniche (quadro = cono)
dirette, trasverse, oblique
- Sferiche (quadro = sfera)
mappamondi
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15
TEORIA DELLE CARTE
r
sen
ds
dsendsdr
ds
ddsd
αλαλ
ραϕ
αϕρ
=⋅=⋅
=⋅=⋅
cos cos
22222222 )cos( dssendsdrd =+⋅=⋅+⋅ ααλϕρ
ds = elemento lineare infinitesimo sulla superficie ellissoidica
rdλλλλ
ρρρρdϕϕϕϕdsαααα
P
P+dP
λ+δλ
φ
φ+δφ
λ
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16
TEORIA DELLE CARTE
RAPPRESENTAZIONE CARTOGRAFICA=
LEGGE DI CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA ELLISSOIDE E PIANO
SUPERFICIE OBIETTIVA ↔ TRASFORMAZIONE ↔ SUPERFICIE SUBIETTIVA
In generale T non garantisce la similitudine tra figure finite corrispondenti
SIMILITUDINE → APPLICABILITÀ
APPLICABILITÀ → GAUSS → UGUALE CURVATURA TOTALE (?)
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17
TEORIA DELLE CARTE
CURVATURA MEDIA H = media delle curvature di tutte le sezioni normali in P
RAGGIO MEDIO = media dei raggi di curvatura di tutte le sezioni normali in P
CURVATURA TOTALE K = inverso del quadrato del raggio medio
principali curvature delle media 11
2
1=
+=
NH
ρ
principali curvature delle prodotto 1
==N
Kρ
!!! NRm ρ=
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TEORIA DELLE CARTE
PIANO↓↓↓↓
INFINITE COPPIE DI DIREZIONI PRINCIPALI↓↓↓↓
INFINITE COPPIE DI DIREZIONI ORTOGONALI
0 011
=→== KNρ
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TEORIA DELLE CARTE
CILINDRO, CONO
0 cost. 1
,01
01
=→≠≠= KN ρρ
r
ρρρρ = rN = ∞∞∞∞
ρρρρ = raggio di curvatura di una sezione conicaN = ∞∞∞∞
0=== conocilindropiano KKK
↓↓↓↓PIANO, CILINDRO E CONO OVUNQUE APPLICABILI RECIPROCAMENTE
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20
TEORIA DELLE CARTE
QUALUNQUE SIA LA LEGGE DI CORRISPONDENZA ISTITUITA, LE FIGURE SUBISCONO DEFORMAZIONI NEL PASSAGGIO DA ELLISSOIDE A PIANO
- IN OGNI PUNTO È APPLICABILE A UNA SFERA DI RAGGIO
- IN NESSUN PUNTO L’ELLISSOIDE È APPLICABILE AL PIANO
INFINITE COPPIE DI DIREZIONI PRINCIPALI →→→→ INFINITE COPPIE DI SEZIONI NORMALI ORTOGONALI (CIRC. MAX)
2
1 cost R
K ==
NK
ρϕ
1 )f( ==
NR ρ =
SFERA
ELLISSOIDE
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Formulazione analitica delle rappresentazioni cartografiche
Superficie obiettiva Superficie subiettiva ϕϕϕϕ = cost � paralleli O X Y λλλλ = cost � meridiani
P = P(ϕϕϕϕP , λλλλP ) P’ = P’(XP’ , YP’)
. 2 2 2 2 2 2 2 2ds = d + r d ds' = dx + dyρ ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ λ
x
y
P’
P’+dP’
dx
dy
ds’A
O
rdλλλλ
ρρρρdϕϕϕϕdsαααα
P
P+dP
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Formulazione analitica delle rappresentazioni cartografiche
Equazioni della carta � differenziabili (continue) e invertibili
Le deformazioni delle figure trasformate tramite le equazioni della carta vengono espresse mediante i moduli di deformazione
Per conoscere le caratteristiche di una rappresentazione cartografica è necessario e sufficiente esaminare il comportamento dei moduli di deformazione
x = x( , ) = ( x , y )
y = y( , ) = ( x , y )
ϕ λ ϕ ϕϕ λ ϕ ϕϕ λ ϕ ϕϕ λ ϕ ϕ
ϕ λ λ λϕ λ λ λϕ λ λ λϕ λ λ λ
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Modulo di deformazione lineare
2 2 22
2 2
ds' dx + dym = =
ds ds
2 2 2m = e cos + 2 f sin cos + g sinα α α αα α α αα α α αα α α α
r d = ds sin
d = ds cos
λ αλ αλ αλ α
ρ ϕ αρ ϕ αρ ϕ αρ ϕ α
1. m= f(αααα)2. e, f, g →→→→ f(eq. carta, P)
rdλλλλ
ρρρρdϕϕϕϕdsαααα
P
P+dP
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24
TEORIA DELLE CARTE
1. m dipende da α(azimut), dalla posizione del punto P (ϕϕϕϕ e λλλλ) sull’ellissoide e dalle equazioni della rappresentazione;
2. per una data rappresentazione, in ogni punto m varia al variare di α, assumendo due valori max e due valori min su direzioni opposte, fra loro perpendicolari;
3. la legge di variazione di m è un’ellisse, detta ellisse indicatrice di Tissot, che degenera in un cerchio nelle carte conformi
2 2 2m = e cos + 2 f sin cos + g sinα α α αα α α αα α α αα α α α
m= f(αααα)e, f, g →→→→ f(eq. carta, P)
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Rappresentazioni conformi
Equazioni generali di una rappresentazione conforme
parte reale e parte immaginaria di una funzione F nel campo complesso
x + i y = F (U + i λλλλ )dove: U = latitudine crescente (−−−− ∞∞∞∞ ≤ U ≤ ∞∞∞∞ ) ,λλλλ = longitudine (−−−− ππππ ≤ λλλλ ≤ ππππ )
m dipende solo dal punto P
Cerchio obbiettivo infinitesimo � cerchio subiettivo infinitesimo
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Rappresentazione di Gauss
1a condizione [ λλλλ = 0 (meridiano origine) y = 0 (asse x) ]
O(ϕϕϕϕ=0, λλλλ=0) →→→→ O’(x=0,y=0)↓↓↓↓ ↓↓↓↓
Origine coord. geografiche→→→→ Origine coord. piane
2a condizione [ isometria sul meridiano origine (λλλλ = 0) ]
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Rappresentazione di GaussPer riassumere:Origine (sull’Equatore) � Origine AssiMeridiano centrale � Asse xEquatore � Asse yInoltre:Paralleli � curve chiuse (simili ad ellissi) concentriche ad un PoloMeridiani � curve chiuse (simili a sinusoidi) passanti per i Poli
La proiezione è detta (impropriamente) CILINDRICA INVERSAPer essa vengono adottate le cosiddette false origini, cioè costantiadditive convenzionali x0 e y0 che hanno lo scopo di renderesempre positive le coordinate piane finali N ed E della zona (fuso)di interesse
N = x + x0
E = y + y0
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28
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
)',(,,,
...)(120
cos)(
6
coscos
...)(720
cos)(
24
cos
2
cos
2
55
33
65
43
2
efDCBA
DN
CN
Ny
BNsen
ANsenNsen
Bx
ϕ
λϕ
λϕ
ϕλ
λϕϕ
λϕϕ
λϕϕ
ϕ
⇒
+++=
++++=
FORMA DEL RETICOLATO GEOGRAFICO
MERIDIANI SIMMETRICI RISPETTO ALL’EQUATORE
PARALLELI SIMMETRICI RISPETTO AL MERIDIANO CENTRALE
x (-λλλλ) = x (λλλλ)y (-λλλλ) = -y (λλλλ)
x (-ϕϕϕϕ) = -x (ϕϕϕϕ)y (-ϕϕϕϕ) = y (ϕϕϕϕ)
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29
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
)',(,,,
...)(120
cos)(
6
coscos
...)(720
cos)(
24
cos
2
cos
2
55
33
65
43
2
efDCBA
DN
CN
Ny
BNsen
ANsenNsen
Bx
ϕ
λϕ
λϕ
ϕλ
λϕϕ
λϕϕ
λϕϕ
ϕ
⇒
+++=
++++=
),(),(
),(),(
'
22
'
11
yxPP
yxPP
−−⇒−−
⇒
λϕ
λϕ SIMMETRIA RISPETTO ALL’ORIGINE
λ = 0 →→→→ y = 0 meridiano origine →→→→ asse xϕϕϕϕ = 0 →→→→ x = 0 equatore →→→→ asse y (ortogonale)
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30
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
)',(,,,
...)(120
cos)(
6
coscos
...)(720
cos)(
24
cos
2
cos
2
55
33
65
43
2
efDCBA
DN
CN
Ny
BNsen
ANsenNsen
Bx
ϕ
λϕ
λϕ
ϕλ
λϕϕ
λϕϕ
λϕϕ
ϕ
⇒
+++=
++++=
ϕϕϕϕ = costante →→→→ x=f(λλλλ), y=f(λλλλ)↓↓↓↓ ↓↓↓↓
Paralleli →→→→ ∼∼∼∼ ellissi
λλλλ = costante →→→→ x=f(ϕϕϕϕ), y=f(ϕϕϕϕ)↓↓↓↓ ↓↓↓↓
Meridiani →→→→ ∼∼∼∼ sinusoidi
Impropriamente cilindrica inversa
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31
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
)',(,,,
...)(120
cos)(
6
coscos
...)(720
cos)(
24
cos
2
cos
2
55
33
65
43
2
efDCBA
DN
CN
Ny
BNsen
ANsenNsen
Bx
ϕ
λϕ
λϕ
ϕλ
λϕϕ
λϕϕ
λϕϕ
ϕ
⇒
+++=
++++=
ϕ <<<< 0 →→→→ x <<<< 0 (sen ϕ)λλλλ <<<< 0 →→→→ y <<<<0 (potenze dispari di λ)
↓↓↓↓N = x + x0E = y + y0
↓↓↓↓N >>>> 0 , E >>>> 0
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32
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
1≥
⇓
≥
≥
m
ry
Bx
λϕ
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Rappresentazione di GaussModulo di deformazione lineare
N
y
e
em
ρ
ϕϕλ
21m
piane coordinatein oppure,
cos1
1cos2
1
2
2
2
22
2
+≅
−++≅
Sul meridiano centrale (y = 0 ovvero λλλλ = 0): m = 1 (2a condizione)Altrove: m > 1 ( m cresce con legge quadratica in funzione di y )
Per contenere le deformazioni è necessario limitare in longitudine la zona����
fusi di ampiezza ∆λ∆λ∆λ∆λ = 6° (– 80°<<<< ϕϕϕϕ <<<< + 80°)
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Rappresentazione di GaussModulo di deformazione lineare
Per ridurre il valore assoluto della deformazione vieneapplicato un fattore di scala costante m0 alle coordinate x ed y.
Per λλλλ = ±±±± 3°si avrebbe mmax = 1,0008applicando un fattore di scala m0 = 0,9996 , si ottiene mmax =1,0004 (agli estremi del fuso) e mmin = 0,9996 (sul meridianocentrale)
.
0,9996
1
1,0008
+ 3°−−−− 3° λλλλ
m
1,0004
N
y
ρ21m
2
+≅
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Rappresentazione di GaussPerché fusi di 6°di ampiezza ? (oggi ormai solo ragioni
storiche)
Motivi:
- il modulo di deformazione cresce con il quadrato della distanza dal meridiano centrale
- gli angoli di riduzione alla corda crescono con la distanza dal meridiano centrale e, se questi sono abbastanza piccoli e le geodetiche non eccessivamente lunghe, tali angoli possono essere trascurati nelle operazioni topografiche di media precisione
- nelle equazioni della carta era utile limitare il numero dei termini dello sviluppo in serie
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36
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
PRIMA RAPPRESENTAZIONE CON FINALITÀ GEODETICHE
ADOTTATA DA MOLTI STATI SIA PER LA CARTOGRAFIA CHE PER I CALCOLI GEODETICI
STANDARD? NO!
I DATI SONO ANCORA INCONGRUENTI PER LE DIFFERENZE IN:
- DATUM- AMPIEZZA DEDI FUSI (DA 2°A 6°)
- MERIDIANO CENTRALE- FATTORE DI SCALA (1, 0.9999, 0.9996)
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37
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
ELLISSOIDI DI RIFERIMENTO
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RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
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Applicazioni della rappresentazione di Gauss alla cartografia italiana
1) 1940 – Adozione dell’ellissoide internazionale (Hayford)come riferimento per le operazioni geodetiche ecartografiche sul territorio nazionale (punto diemanazione: Roma M.Mario ; orientamento: M.Soratte): legrandezze misurate sul geoide vengono direttamenteriferite all’ellissoide con deformazioni praticamentetrascurabili
3) 1948 – Adozione della rappresentazione di Gauss per lacartografia con 2 fusi di 6° (con meridiani centrali dilongitudine 9°E e 15°E Greenwich)mmax = 1,0008 e m0 = 0,9996E0 = 1500 km (Fuso Ovest) / 2520 km (Fuso Est)N0 = 01 zona di sovrapposizione
→→→→ Gauss-Boaga
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Rappresentazione di Gauss
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RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
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RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
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Rappresentazione di GaussRappresentazione Universale Trasversa di Mercatore
UTM
- CONFORME- MODULARE ���� Fusi identici
STANDARD :- Fusi 6°- m0 = 0,9996- E0 = 500 km- N0 = 0 (Emisfero boreale) / 10000 km (emisfero australe)
RETICOLATO CHILOMETRICO
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RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS
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Rappresentazione di Cassini-Soldner Adottata «in passato» dal Catasto italiano
Pone in corrispondenza il sistema di coordinate geodetiche rettangolari sull’ellissoide con il sistema cartesiano ortogonale sul piano
Sull’ellissoideO = (ϕϕϕϕ0 , λλλλ0 ) : origine in un punto baricentrico della zona da
rappresentareP = (ϕϕϕϕ , λλλλ ) : punto da rappresentareP1 = (ϕϕϕϕ1 , λλλλ0) : punto di intersezione della geodetica passante per P e
ortogonale al meridiano per O
Coordinate geodetiche rettangolari di P
XP = OP1
YP = P1P
N
P
O
P1 YP
XP
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Rappresentazione di Cassini-SoldnerSul piano cartograficoO’ = immagine di OAsse x = immagine (per definizione) del meridiano per OAsse y = ortogonale all’asse x (a formare un riferimento destrorso)
Formule di corrispondenza (tra geodetiche rettangolari e piane cartesiane)
.
1 P' P
1
P P
P
P
1
P
' P
O'P ' = x = X
P 'P =
x = X
y = Y
y = Y O’
P’
x
y
P1’
xP’
yP’
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Rappresentazione di Cassini-Soldner
Il modulo di deformazione lineare è dato dall’espressione (approssimata)
dalla quale si deduce:
> y = 0 ���� m = 1 lungo il meridiano centrale
> αααα = ππππ/2 ���� m = 1 lungo le geodetiche ortogonali al meridiano centrale
Tuttavia, per y ≠≠≠≠ 0, m>>>>1 e, dunque, larappresentazione non è conforme né equivalente
2 2y cos
m = 1 + 2 N
αααα
ρ ρ ρ ρ
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Rappresentazione di Cassini-SoldnerOsservazioni
Su estensioni limitate (circa 70 km) le deformazioni massime risultano contenute entro l’errore di graficismo.Infatti, a 100 km dal meridiano centrale: m ≅≅≅≅ 1,00012 e µµµµ ≅≅≅≅1,00012
La rappresentazione veniva utilizzata ai fini catastali perché il modulo di deformazione superficiale risulta sufficientemente contenuto su estensioni limitate
Alle stesse condizioni, la rappresentazione non risulta troppo “lontana” dalla conformità
Dalla necessità di utilizzare la rappresentazione per estensioni limitate di territorio per limitare le deformazioni segue la caratteristica POLICENTRICA della stessa
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Rappresentazione di Cassini-Soldner