elementi di logica formale e di logica...
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Elementi di logica formale
e di logica dell’argomentazione scientifica
Franco Garofalo
Dipartimento di Informatica e Sistemistica
Università di Napoli Federico II
… la scienza della logica gode di una immunità da quelle condizioni di
imperfezione e progresso cui sono soggette le altre scienze.
George Boole, 1854(?)
Una definizione elementare, ma sufficiente per i nostri scopi, è quella secondo la quale la logica studia e classifica le diverse forme delle argomentazioni.
P1, …………
Pn
______________dunque C
premesse
conclusione
Le argomentazioni sono processi inferenziali (mediati e non immediati) nei quali una o più affermazioni sono poste a sostegno (giustificazione, ragione o prova) di un’altra affermazione.
L’affermazione sostenuta è la conclusione. Le affermazioni di sostegno sono le premesse dell’argomentazione.
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In logica il criterio in base al quale valutare un’argomentazione è la natura del sostegno offerto alle conclusioni. L’argomentazione si dice deduttivamente valida se il sostegno è assoluto, vale a dire se non è possibile che premesse vere conducano a conclusioni false.In tal caso si dice anche che la conclusione segue dalle premesse, o che è una loro conseguenza, o che le premesse la implicano. In caso contrario si dice che l’argomentazione è invalida, o fallace.
Una argomentazione che opera su premesse vere si dice fondata.
Un’argomentazione valida e fondata si dice corretta.
Validità e verità sono concetti indipendenti. Per valutare l’utilità di una argomentazione bisogna considerare separatamente la verità delle premesse e la validità del ragionamento che porta dalle premesse alla conclusione.
La Logica si interessa solo del secondo aspetto, ovvero della validità del ragionamento.
La Scienza (e non solo la Scienza) si interessa del valore di verità delle affermazioni
Le forme linguistiche dell’argomentazione sono molteplici. Tutte le lingue posseggono una serie di termini che possiamo chiamare indicatori inferenziali (di premessa e di conclusione) che ci segnalano la presenza di un’argomentazione.
Linguaggio e argomentazioni
In italiano alcuni tipici indicatori di premessa sono: “dato che”, “visto che”, “poiché”, “siccome”-
Indicatori di conclusione sono, ad esempio, “quindi”, “dunque”, “perciò”, “ragion per cui”,
“di conseguenza”
Non sempre è facile estrarre dal linguaggio corrente un’argomentazione e metterla nella forma “canonica”
P1, …………
Pn
______________C
premesse
conclusione
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Le argomentazioni complesse sono sequenze inferenziali ottenute utilizzando le conclusioni di un’argomentazione precedente come premesse di un’argomentazione seguente.
Argomentazioni complesse
Tutti i numeri razionali sono esprimibili come frazioni di interiPi greco non è esprimibile come frazione di interi______________________________________________________Pi greco non è un numero razionalePi greco è un numero_______________________________________________________Esiste almeno un numero irrazionale
L’argomentazione è fatta per persuaderci o per persuadere.
Abbiamo visto che le argomentazioni deduttivamente valide, accettate le premesse, offrono sostegno assoluto alle conclusioni. Esse hanno dunque una forza di persuasione assoluta? Ci possono “costringere” a credere in qualcosa?
Di contro, i meccanismi di persuasione operano sempre e solo attraverso argomentazioni deduttive?
Esiste una scala di “forza persuasiva” dell’argomentazione?
Siamo evidentemente al limite tra lo studio della logica e delle psicologia. Una frontiera
che, grazie alle cosiddette Scienze Cognitive, fornisce nuove ed affascinanti temi di
riflessione.
Travalicare la frontiera della logica e sconfinare nella psicologia non sarà necessario in
queste conversazioni in cui la logica viene utilizzata come strumento per il ragionamento
scientifico.
Argomentazione e persuasione
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Parte I
Logica formaleCalcolo delle proposizioni e calcolo dei predicati
Sono detti termini nomi, verbi, avverbi, aggettivi dotati di senso.
I termini possono avere significato proprio e sono detti semantici, oppure acquisire significato in collegamento con altri termini ed in tal caso si dicono sinsemantici.
Logica proposizionale
Una enunciato è una forma linguistica di una affermazione di una lingua, caratterizzata grammaticalmente da un soggetto, una copula e un predicato. Un enunciato è dunque composta da termini.
La grammatica classifica diversi tipi di enunciati tra i quali, ad esempio, quelli dichiarativi e quelli ipotetici (“questa rosa è rossa”, “se piove porto l’ombrello”)
Spesso proposizione ed enunciato vengono usati come sinonimi.
La proposizione è ciò che è espresso da un enunciato “ben formato”, ovvero il significato di un enunciato, acquisito in relazione al significato dei termini in essa contenuti. Le proposizioni possono essere vere o false (attributi che non possono essere dati ai termini che li compongono).
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Logica delle proposizioni
Le forme dell’argomentazione sono molteplici. Una prima (e modesta) selezione tra queste forme è quella che si limita a considerare gli enunciati derivanti da combinazioni di enunciati semplici attraverso i seguenti connettivi:
1. non si dà il caso che … negazione2. … e ... congiunzione3. o … o … disgiunzione4. se … allora … condizionale5. … se e solo se … equivalenza
Formalizzazione
� proposizione semplice (atomica): viene rappresentata da una lettera (lettera proposizionale) . Si stipula che l’enunciato che essa rappresenta abbia solo due valori di verità, vero e falso, indicati con T e F (principio di bivalenza) e che nessun enunciato possa essere sia vero che falso (principio di non contraddizione)
� proposizione composta (proposizione molecolare, formula): è combinazione di più proposizioni semplici attraverso connettivi.
� connettivi: vengono rappresentati dai seguenti operatori logici ¬¬¬¬ (negazione), & (congiunzione), ∨∨∨∨ (disgiunzione), ⇒⇒⇒⇒ (condizionale), ≡≡≡≡ (equivalenza o bicondizionale).
p q ¬¬¬¬p ¬¬¬¬ q p∨∨∨∨q p&q p ⇒⇒⇒⇒q p ≡≡≡≡q
T T F F T T T T
T F F T T F F F
F T T F T F T F
F F T T F F T T
Semantica dei connettivi base
La definizione semantica dei connettivi di base è data attraverso la precedente tabella che prende il nome di tabella di verità. Ad ogni combinazione di valori di verità degli enunciati p e q si associa il valore di verità dell’enunciato composto attraverso i connettivi di base.
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Semantica dei connettivi base
La tabella precedente stipula la cosiddetta lettura esclusiva della disgiunzione
Se sia la chiave principale che la chiave del pannello sono inserite il motore potrà avviarsi
piattelli P. pag 154.
e che il condizionale è inteso in senso materiale, ossia esclude solo che il conseguente possa essere falso se l’antecedente è vero. Quest’ultima stipulazione è spesso in contrasto con i comuni usi linguistici del condizionale ma è in accordo con la definizione “matematica” di implicazione: l’antecedente è solo condizione sufficiente (ma non necessaria) per il realizzarsi del conseguente.
“Se rispondi al quesito avrai salva la vita” interpretato secondo il condizionale materiale non implica che se non c’è risposta allora “perderai la vita”, ma solo che rispondere al quesito è condizione sufficiente (ma non necessaria) a salvarsi la vita
Semantica degli enunciati composti
A partire dalla tabella di verità dei connettivi di base, per ciascun enunciato composto vero funzionale, si può costruire una tabella di verità dalla quale, in corrispondenza delle diverse combinazioni di valori di verità delle proposizioni atomiche che partecipano alla formazione della proposizione composta, si può desumere il valore di verità dell’enunciato composto.
Un enunciato composto è vero-funzionale se la sua verità può essere desunta dalla verità degli enunciati componenti.
Attraverso i connettivi &, ∨∨∨∨, ⇒, ≡≡≡≡, e il simbolo ¬¬¬¬ si possono esprimere tutte le affermazioni vero-funzionali tra gli enunciati.
Non tutti gli enunciati sono vero-funzionali. Ad esempio gli enunciati controfattuali , ossia quegli enunciati con cui si ipotizza cosa sarebbe successo se si fosse realizzato un evento che nella realtà non si è verificato oppure quelli del tipo … dopo che … che implica una relazione temporale tra le proposizioni componenti.
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Definizione formale di un’argomentazione valida
Si dice che l’enunciato composto C è conseguenza logica degli enunciati composti P1, …, Pn e si scrive P1 , P2 … , Pn |= C, o, equivalentemente
se e solo se C è vera ogni volta che sono vere le premesse P1, …, Pn
P1, …………
Pn
_____ C
L’implicazione logica che indichiamo con il simbolo “|=” non deve essere confusa con il connettivo “⇒⇒⇒⇒”..
L’implicazione materiale “⇒⇒⇒⇒” è un connettivo, ovvero un operatore che opera su proposizioni , mentre l’implicazione logica ha solo lo scopo di evidenziare la conclusione di una argomentazione.
Verifica della validità delle forme argomentative
Per convincerci (o convincere) che un’argomentazione è valida possiamo costruire una tabella che dal valore di verità delle premesse ci consente di conoscere il valore di verità delle conclusioni (se, come spesso accade, le premesse sono esse stesse proposizioni composte, il loro valore di verità può essere valutato a partire dai valori di verità degli enunciati atomici che compaiono nell’argomentazione).
Ottenuta la tabella basta analizzare le sole righe corrispondenti a premesse con valore di verità vero e verificare che al vero delle premesse corrisponde sempre il vero delle conclusioni.
Invalide sono tutte quelle argomentazioni che non sono valide.
Tra le argomentazioni invalide quelle che fanno sempre corrispondere il valore falso delle conclusioni alle combinazioni di vero delle premesse si chiamano contraddizioni.
Tra le argomentazioni valide quelle che fanno corrispondere sempre valore vero a tutte le combinazioni di valori (vero e falso) delle premesse si chiamano tautologie.
Ogni riga della tabella di verità che mostra la invalidità di un argomento si chiama controesempio.
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Teorema della deduzione: l’enunciato “C” è conseguenza logica (conclusione) di P1,…, Pn (premesse) se e solo se e solo se
P1 & P2 & … & Pn ⇒⇒⇒⇒ C è una tautologia.
Il legame formale tra la conseguenza logica e il condizionale materiale è espresso dal seguente teorema.
Esempio
O Joseph o Marcello andrà all’inaugurazioneJoseph non andrà _______________________________________________Marcello andrà all’inaugurazione
P = Joseph andrà all’inaugurazioneQ = Marcello andrà all’inaugurazione
Formalmente : P ∨∨∨∨ Q, ¬¬¬¬P |= Q (sillogismo disgiuntivo)
Premesse Conclusione
P Q P ∨ Q ¬P Q
T T T F T
F T T T T
T F T F F
F F F T F
L’ argomentazione è valida
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Turandot: “dimmi il mio nome prima dell’alba”
P = Turandot scopre il nome del cavaliere prima dell’albaQ = lo straniero viene decapitato
Formalmente :
P ⇒⇒⇒⇒ Q, ¬¬¬¬P ___________ fallacia della negazione dell’antecedente
¬¬¬¬Q
P Q P ⇒⇒⇒⇒Q ¬¬¬¬P ¬¬¬¬Q
T T T F F
T F F F T
F T T T F
F F T T T
L’ argomentazione non è valida. Al valore vero delle premesse non corrisponde sempre il vero delle conclusioni
Tratto da L’arte della persuasione, di Massimo Piattelli Palmarini
Tautologie
Tre tautologie importanti ricavabili dalla tabella di verità dei connettivi di base sono:
• p ⇒⇒⇒⇒p, che nella logica aristotelico-medioevale prende il nome di principio d’identità
• p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ p, che nella logica aristotelico-medioevale rappresenta il principio del terzo escluso
• ¬¬¬¬(p & ¬¬¬¬ p) che nella logica aristotelico-medioevalerappresenta il principio di non contraddizione
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La logica come motore inferenziale
Quando si presenta un’argomentazione non ci si limita ad elencare le premesse e a presentare la conclusione, sfidando l’interlocutore a trovare un controesempio. Si cerca piuttosto di mostrare, attraverso una procedura costruttiva, come la conclusione derivi, ovvero possa essere inferita, dalle premesse attraverso una sequenza di passaggi di ragionamento successivi, chiari ed inoppugnabili.
Ci chiediamo allora se è possibile enunciare un insieme di regole che , assegnate una o più proposizioni vere, ci consentano di derivare da esse altre proposizioni sicuramente vere dalle quali, per applicazione delle medesime regole, procedere nella produzione di proposizioni intermedie, sino a giungere alla conclusione dell’argomentazione. In questa catena di inferenze la validità dell’argomentazione sarebbe garantita dal metodo seguito nella sua generazione e non sarebbe richiesta alcuna analisi semantica.
Il processo di produzione di proposizioni vere da proposizioni vere diverrebbe così un processo puramente formale.
Il calcolo proposizionale
Una risposta positiva alla domanda precedente è fornita dal calcolo proposizionale che studia i modi sintatticamente corretti di combinare proposizioni semplici per ottenere proposizioni composte, senza alcuna necessità di “aprire” le proposizioni analizzandone il significato.
I passaggi deduttivi elementari attraverso i quali articolare una argomentazione sono detti regole d’inferenza.
Le regole di inferenza del calcolo proposizionale sono:
1. eliminazione del condizionale: da un condizionale e dal suo antecedente possiamo inferire il conseguente
2. eliminazione della negazione: la doppia negazione afferma3. eliminazione della congiunzione: da una congiunzione possiamo inferire uno
dei due congiunti4. introduzione della congiunzione: da due formule logiche qualsiasi possiamo
inferire la loro congiunzione5. introduzione della disgiunzione: da una formula logica qualsiasi possiamo
inferire la disgiunzione con qualsiasi altra formula6. eliminazione della disgiunzione: da una congiunzione di due qualsiasi formule
che implicano la stessa formula possiamo inferire quest’ultima7. eliminazione del bicondizionale: da un bicondizionale possiamo inferire due
condizionali8. introduzione del bicondizionale: da due condizionali sulle stesse formule
possiamo inferire un bicondizionale
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Regole d’inferenza ipotetiche
Nel calcolo proposizionale alle regole di inferenza descritte si aggiungono due regole di ragionamento ipotetico. In questo tipo di ragionamento alle premesse si aggiunge un enunciato ipotetico al solo scopo di poter portare avanti una strategia dimostrativa.
L’introduzione della ipotesi ausiliaria ci consente di inserire nell’elenco precedente due ulteriori regole di inferenza :
9. introduzione del condizionale: data una derivazione logica φ con l’aiuto di un’ipotesi ψ possiamo scaricare l’ipotesi e inferire ψ ⇒⇒⇒⇒ φ
10. introduzione della negazione: da un’ipotesi che porta ad un assurdo possiamo inferire l’ipotesi negata (reductio ad absurdum).
Le dieci regole di inferenza del calcolo proposizionale si possono eventualmente ampliare con regole derivate da esse. Alcune regole derivate sono di uso comune come il modus tollens ed il sillogismo
ipotetico.
Esempio
P ⇒⇒⇒⇒ Q, ¬¬¬¬Q |= ¬¬¬¬P (modus tollens)
Assunte vere le premesse, l’argomentazione valida si ottiene attraverso le seguenti inferenze:
1. assumiamo P per ipotesi di contraddizione2. allora Q3. allora Q &¬¬¬¬Q4. assurdo, quindi ¬¬¬¬P (regola 10)
Come è evidente non ho costruito tabella di verità e dunque non mi sono preoccupato della semantica di P e di Q. Ho svolto un ragionamento “formale” , indipendente dal significato e dal valore di verità degli enunciati.
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Sillogismi
Il sillogismo è una forma molto semplice di argomentazione. Un enunciato (“premessa maggiore”) permette di derivarne un altro (“conclusione”) aggiungendo una premessa supplementare (“premessa minore”).
Di solito i sillogismi vengono classificati in relazione alle tipologia delle premesse. Si parla, ad esempio di sillogismi categorici o di sillogismi ipotetici.
modus ponens:
se A, allora BA
____________dunque: B
(A ⇒ B) & A ⇒ B
modus tollens:
se A, allora Bnon-B____________dunque: non-A
(A ⇒ B) & ¬¬¬¬ B ⇒ ¬¬¬¬A
Sillogismi ipotetici misti
se PIOVE allora PORTO L’OMBRELLO
PIOVE
_________________________________dunque: PORTO L’OMBRELLO
se PIOVE allora PORTO L’OMBRELLO
NON PORTO L’OMBRELLO
_________________________________dunque: NON PIOVE
La premessa maggiore è ipotetica e la premessa minore contiene l’affermazione dell’antecedente (modus ponens) o la negazione del conseguente (modus tollens)
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affermazione del conseguente:
se A, allora BB
____________dunque: A
negazione dell’antecedente
se A, allora Bnon-A____________dunque: non-B
Le più comuni fallacie nella logica degli enunciati
se PIOVE allora PORTO L’OMBRELLO
PORTO L’OMBRELLO
_________________________________dunque: PIOVE
se PIOVE allora PORTO L’OMBRELLO
NON PIOVE
________________________________dunque: NON PORTO L’OMBRELLO
Completezza e correttezza
È possibile dimostrare formalmente che il sistema di regole del calcolo proposizionale è corretto: da premesse vere non può che conseguire una conclusione vera (ex vero numquam sequitur falsum). Ciò ovviamente non sorprende in quanto la correttezza dell’argomentazione era l’obiettivo delle regole di inferenza.
Più interessante è la dimostrazione che le regole di inferenza rappresentano un sistema completo, nel senso che tutte e sole le argomentazioni dichiarate valide in base ai metodi semantici (basati sulle tabelle di verità) possono essere costruite attraverso le regole di inferenza.
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Gli enunciati possono ulteriormente distinguersi in
Enunciati categorici
� singolari se si riferiscono ad un soggetto ben preciso
� universali se si riferiscono tutti i soggetti che sono contraddistinti da una certa caratteristica
� particolari o esistenziali se si riferiscono ad una parte dei soggetti che sono contraddistinti da una certa caratteristica.
Logica e calcolo dei predicati ci consentono di estendere il trattamento formale agli enunciati categorici, quelli che, per l’appunto si riferiscono a categorie di soggetti, che non sono classificabili come proposizioni.
Predicati e quantificatori
� enunciato “aperto” (anche detta funzione predicativa oproposizionale): è una espressione logica p(x) che contiene delle variabili che non sono state assegnate
� quantificatori: trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Le variabili quantificate da un quantificatore si dicono vincolate
� quantificatore universale ∀∀∀∀: ∀x ∈U, p(x) significa che ogni x nell’universo U gode della proprietà p.
� quantificatore esistenziale ∃∃∃∃: ∃ x ∈U, p(x) significa che esiste almeno un x nell’universo U per cui vale la proprietà p.
La funzione proposizionale p(x) è qualcosa da completare o, come dicono i logici, “saturare” con un argomento.
Una volta assegnato un argomento la funzione predicativa diventa un enunciato singolare, e solo allora si potrà conoscerne il valore di verità. Se si utilizzano i quantificatori per definire l’argomento,l’enunciato potrà divenire universale o esistenziale.
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Il “quadrato delle opposizioni”
Considerando tutti i possibili quantificatori come soggetto di una generica funzione predicativa p(x) e della sua negata ¬p(x), otteniamo quattro enunciati detti enunciati categorici. Le relazioni tra questi quattro enunciati vengono espresse nel cosiddetto quadrato delle opposizioni, di origine aristotelica
enunciati contraddittori
enunciati contrari
enunciati subalterni
enunciati subcontrari
∀x p(x) ∀x ¬p(x)
∃x p(x) ∃x ¬p(x)
Le inferenze immediate
Utilizzando le lettere A, E, I, O, come nella tradizione medioevale, si possono costruire le seguenti tabelle di verità che definiscono le inferenze immediate desumibili dalle quattro proposizioni.
A E I O
A T F T F
E F T F T
I ind F T ind
O F ind ind T
A E I O
A F ind ind T
E ind F T ind
I F T F T
O T F T Find sta per indeterminato
Affirmo nEgo
negOaffIrmo
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Sillogismi categorici
Nei sillogismi categorici la premessa maggiore e la premessa minore sono enunciati categorici che possono assumere solo una delle quattro forme:universale affermativa, universale negativa, particolare affermativa, particolare negativa.
un sillogismo valido:
tutti gli F sono Ga è F______________dunque: a è G
universale affermativa
particolare affermativa
particolare affermativa
F
G
a
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
________________________Socrate è mortale
L’uso dei diagrammi di Venn è particolarmente utile per analizzare gli enunciati categorici
Un sillogismo fallace
tutti gli F sono Ga è G______________dunque: a è F
F
Ga
Le strutture possibili dei sillogismi sono 256. I sillogismi validi sono 19. Quattro erano invece i sillogismi ritenuti “perfetti” da Aristotele e, in quanto tali, per essi non era richiesta dimostrazione di validità.
Tutti gli uomini sono mortali
Peppino è mortale
________________________Peppino è un uomo
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Logica dei predicati
La logica dei predicati combina i concetti della logica proposizionale a quelli della logica categoriale e consente il trattamento formale di strutture logiche più complesse di quelle sinora considerate.
Il ragionamento nella logica dei predicati
Ancora una volta sottolineiamo che in un ragionamento la conclusione viene derivata con un processo costruttivo fatto di una sequenza di deduzioni logiche, ossia da un’argomentazione basata su passaggi deduttivi elementari detti regole d’inferenza.
Per argomentare nella logica dei predicati, alle regole di inferenza del ragionamento proposizionale dobbiamo aggiungere le regole che riguardano i quantificatori introdotti con la logica dei predicati ed il predicato di identità. Essi sono
11. eliminazione dell’universale:
12. introduzione dell’universale:
13. introduzione dell’esistenziale
14. eliminazione dell’esistenziale
15. introduzione dell’identità
16. eliminazione dell’identità.
Coerenza, consistenza e completezza della logica dei predicati
La logica dei predicati costituisce un sistema corretto e completo. Ciò significa, come nel caso della logica delle proposizioni che gli argomenti che possiamo generare a partire da premesse vere per applicazione delle regole di inferenza descritte, sono tutti validi e che la classe delle formule predicative che possiamo costruire con gli operatori logici del calcolo dei predicati ed identificabili come valide in base ad un’ analisi semantica, sono anche generabili dal nostro sistema di regole deduttive.
È opportuno notare che la tecnica delle tabelle di verità, ovvero la procedura semantica per verificare la validità di una forma argomentativa della logica dei predicati è resa molto più problematica dalla presenza dei quantificatori. Ciò comporta che non esista né possa esistere in linea di principio, una procedura algoritmica che consenta di individuare tutte e sole le forme argomentative valide. La logica dei predicati è, in questo senso, indecidibile (un predicato ad n posti si dice decidibile se esiste un algoritmo che in un numero finito di passi ci consente di valutare se una qualsiasi n-pla del dominio gode o non gode del predicato).
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Strategie per la dimostrazione formale
• Prova per contraddizione: la strategia per provare che A ⇒⇒⇒⇒ C
consiste nell’assumere vero A e contemporaneamente C falso. A questo punto si produce una dimostrazione che porta a concludere che A è falso, ossia una contraddizione. Dal che si deduce C. In formule
(A & ¬¬¬¬C) ⇒⇒⇒⇒ A che equivale a A ⇒⇒⇒⇒ C
• Reductio ad absurdum: si procede in maniera simile alla precedente salvo che, assunto A vero e C falso si prova la negazione di un enunciato B che si sa esser vero. Si perviene così alla conclusione che B è simultaneamente vero e falso il che viola il principio di bivalenza. La conclusione è che C è vero.
• Dimostrazione diretta: si basa sulla proprietà di transitività del condizionale materiale. La strategia passa per la deduzione di una catena di implicazioni
A ⇒⇒⇒⇒ A1 ⇒⇒⇒⇒ A2 ⇒⇒⇒⇒ … Ak ⇒⇒⇒⇒ C
La prova per induzione
• Prova per induzione: in una prova per induzione la strategia dimostrativa si articola in due fasi: l’ipotesi di induzione ed il passo di induzione. Per dimostrare che un certo insieme definito induttivamente possiede certe proprietà C si può mostrare che
1. l’elemento della base dell’induzione possiede quella proprietà diciamola C0
2. che quella proprietà si mantiene sotto induzione ossia che Cn ⇒⇒⇒⇒ Cn+1
Si viene così a creare una catena infinita di enunciati
C0 ⇒⇒⇒⇒ C1 ⇒⇒⇒⇒ C2 ⇒⇒⇒⇒ … Ck ⇒⇒⇒⇒ Ck+1 ….
che garantisce che tutti gli elementi dell’insieme godono della proprietà C
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Ragionamento formalizzato e ragionamento naturale
Il processo di formalizzazione di un’argomentazione è solo apparentemente semplice, in realtà nasconde una serie di insidie che spesso risiedono nella complessa articolazione del linguaggio naturale e che talvolta, invece, sono di natura inferenziale. Il seguente esempio (citato verbalmente da A. Varzi, autore di un ottimo libro di logica) appare evidentemente come fallace
La Logica è meglio di Niente
Niente è meglio del sesso
La Logica è meglio del sesso
Col termine fallacia si intende un’argomentazione errata che tuttavia, ad un primo esame, può risultare convincente.
Sebbene non siano definibili a priori tutte le modalità con cui si può condurre una’argomentazione invalida, è comunque possibile evidenziare alcune fallacie molto ricorrenti.
Le fallacie dell’argomentazione
Una possibile classificazione delle fallacie è la seguente
1. fallacie formali: sono quelle legate alla violazione di regole di inferenza come la negazione dell’antecedente e l’affermazione del conseguente già viste in precedenza.
2. fallacie semantiche: sono quelle legate all’ambiguità di alcuni termini del linguaggio naturale, come nel caso citato nella scheda precedente
3. fallacie di presunzione: sono rappresentate da quei ragionamenti in cui, a ben vedere, si presume la verità che si vuole dimostrare
4. fallacie di rilevanza: sono quei ragionamenti in cui le premesse, a ben vedere, non hanno a che fare, non sono rilevanti, ai fini delle conclusioni.
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I “bias” del ragionamento deduttivo
Recentemente gli studi sulla psicologia cognitiva hanno messo in luce che, ragionando in maniera deduttiva gli esseri umani commettono una serie di errori che assumono un carattere quasi sistematico. È famoso l’esperimento di Wason del 1966.
Ogni carta ha un dorso ed un retro. Due sono i possibili dorsi, A e J. Il retro porta sempre un numero. Nell’esempio due carte mostrano il dorso e due il retroSe c’è una A sul dorso c’è un 3 sul retro.Quale/i carta/e è rilevante voltare per poter confermare l’affermazione precedente?
Invulnerabilità della logica deduttiva all’introduzione di nuove premesse
Le inferenze corrette nella logica classica godono della proprietà di monotonia:
una conclusione tratta da determinate premesse rimane tale
anche aumentando il numero delle premesse.
In molti ragionamenti scientifici, invece, le conclusioni possono dover cambiare quando si assumono nuove informazioni.
Nasce allora la questione del perché alcuni ragionamenti non-deduttivi si ritengono scientificamente accettabili, anzi sono da considerare il vero cardine della conoscenza scientifica.
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Parte II
Il ragionamento scientifico
A. Il miglior modo di pensare.
Nessuno può dire ad altri, in una maniera determinata, in che modo d o v r e b b e pensare, cosi come non può dir-gli come dovrebbe respirare o come dovrebbe circolare il suo sangue. Ma i varii modi in cui gli uomini e f f e t t i v a -m e n t e pensano possono essere indicati e descritti nelle loro caratteristiche generali. Alcuni di questi modi sono mi-gliori di altri: e si può anche mostrarne il perché. Compren-dendo quali sono i migliori modi di pensare, e perché sono tali, si può, se si vuole, cambiare i propri modi personali fino a renderli più efficienti; fino a che, cioè, non riescano a far meglio il lavoro che il pensiero può fare e che altre ope-razioni mentali non saprebbero fare altrettanto bene. Il mi-glior modo di pensare, quello che deve essere argomento di questo libro, è il pensiero riflessivo: quel tipo di pensiero che consiste nel ripiegarsi mentalmente su un soggetto e nel rivolgere ad esso una seria e continuata considerazione. Ma prima di affrontare il nostro argomento principale, sarà meglio accennare brevemente ad alcuni altri processi men-tali cui talvolta si dà il nome di p e n s i e r o .
B. La “ corrente della coscienza”.Per tutto il tempo che siamo svegli, e talvolta quando dormiamo, c'è sempre qualcosa che, come si suol dire, attraversa la nostra testa. Se questa specie di sequenza mentale si verifica mentre dormiamo, noi adoperiamo il termine “sognare”. Ma anche durante il giorno facciamo sogni, fantasticherie, castelli in aria, e processi mentali che sono ancora più futili e caotici. A questo corso non controllato di idee si dà talvolta il nome di “pensiero”. Esso è automatico e privo di regola. […] Parte della nostra vita da svegli, ben più grande di quanto la maggior parte di noi sia disposta ad ammet-tere, scorre via in questo inconseguente trastullarsi con figu-razioni mentali, reminiscenze casuali, speranze gradevoli ma senza fondamento, impressioni rapide e appena abbozzate. Cosi, quanti sono disposti a dare “un penny per i vostri pensieri” non si aspettano di fare un grande affare se l'offerta viene accettata […]
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c. Il pensiero riflessivo è una catena.
In questo senso p e n s a n o anche gli sciocchi e gli stupidi. Si racconta di un uomo, reputato di scarsa intelli-genza, il quale, desiderando diventare una persona impor-tante nella sua città del New England, si rivolse in questa guisa ad un gruppo di conoscenti: «Mi dicono che voi non mi stimate abbastanza competente a reggere una carica. Sappiate che io passo la maggior parte del tempo a pensare ad una cosa o ad un'altra». Ora il pensiero riflessivo somiglia a questo casuale, flusso di cose che attraversa la mente in quanto anch'esso consiste di una successione di cose pensate, ma se ne differenzia perché non basta a caratterizzarlo que-sto casuale succedersi di un casuale “qualcosa o qualcos'al-tro” in una irregolare sequenza. La riflessione non implica soltanto una mera sequenza, bensì una “conseguenza” di idee, un ordine consecutivo siffatto che ognuna di esse determina la successiva come il suo proprio risultato e, a sua volta, ciascun risultato si appoggia o si riferisce a quelli che lo prece-dono. Le parti successive di un pensiero riflessivo nascono l'una dall'altra e si sostengono a vicenda”; non vanno e vengono in una confusa mescolanza. Ogni fase è un gradino da qualcosa a qualcosa - tecnicamente parlando, è un termine del pensiero. Ogni termine lascia un deposito che è uti-lizzato nel termine immediatamente successivo. La corrente, il corso, diventa una serie ordinata o una catena. In qualsiasi pensiero riflessivo vi sono unità ben definite collegate in modo da rendere possibile un movimento rivolto ad un fine comune.
E .ll pensiero riflessivo mira ad una conclusione.
Di contro, lo scopo del pensiero riflessivo va ben oltre il mero divertimento procurato da una catena di piacevoli invenzioni e raffigurazioni mentali. La catena dei pensieri deve rivolgersi verso qualche punto; deve tendere ad una con-clusione, che deve essere stabilita al di fuori del mero corso delle immagini. Il mito di un gigante può soddisfare sempli-cemente di per se stesso; ma la conclusione riflessiva che dei giganti hanno abitato la terra in un certo tempo e in un certo luogo dovrebbe essere in qualche modo giustificata al di fuori della mera catena delle idee, se vuol essere una valida e so-lida conclusione. Questo elemento di differenza è probabilmente meglio espresso dall’espressione corrente in inglese «Think in out», nel senso di “pensarci su”, di “risolvere” una questione. La frase suggerisce un imbroglio in cui bisogna mettere ordine, qualcosa di oscuro che deve essere chiarito attraverso l'applicazione del pensiero. Vi è un risultato da raggiungere e questa meta finale costituisce un compito che controlla la sequenza delle idee.
F. Pensare come sinonimo di credere.
Un terzo significato di pensiero è praticamente sinonimo di c r e d e n z a. «Penso che domani sarà più freddo» oppure «Penso che l'Ungheria sia più grande della Iugoslavia», equivale a dire «Credo cosi e cosi». Quando diciamo: «Gli uomini erano soliti pensare che il mondo fosse piatto», ci riferiamo evidentemente ad una credenza che era propria dei nostri antenati. Questo significato di pensiero è più ristretto di quelli precedentemente menzionati.Una credenza fa riferimento a qualcosa che va oltre di essa e che attesta il suo valore; asserisce qualcosa circa una data materia di fatto, o un dato principio, o una data legge. Essa sta a significare che uno specifico stato di fatto o una legge è accettata o respinta, che vi è qualcosa da affermare o almeno con cui consentire. È appena necessario mettere in rilievo l'importanza della credenza. Essa riguarda tutte le faccende di cui non abbiamo una conoscenza sicura e con cui tuttavia abbiamo abbastanza confidenza per agire secondo esse; come pure quelle faccende che attualmente accettiamo come veramente vere o come conoscenze ma che nondimeno possono essere messe indubbio nel futuro - proprio come molte di quelle che erano considerate conoscenze in pas-sato sono ora finite nel limbo della mera opinione o dell'errore. […]
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D. Le forme logiche non sono usate nel corso del pensiero effettivo, ma per esporre i risultati
del pensiero.
Le forme logiche, quali ci si presentano nei manuali di logica non pretendono di direi come pensiamo, e nem-meno come dovremmo pensare. Nessuno è mai arrivato all'idea che Socrate o una qualsiasi altra persona è mortale seguendo la forma del sillogismo. Se, per altro, chi è pervenuto a questa idea tramite la raccolta e l'inter-pretazione di elementi di prova desidera esporre ad un'altra persona i fondamenti della propria opinione, allora può usare la forma sillogistica e deve far così se desidera enunciare la prova nella forma più stringente. Un avvocato, per esempio, che conosce in anticipo ciò che vuole provare, che ha già bell'e pronta la conclusione nella sua mente, e che desidera inculcarla negli altri, metterà probabilmente i suoi ragionamenti in forma sillogistica.In breve, queste forme non servono a raggiungere le conclusioni, ad arrivare alla credenza o alla conoscenza, ma per mostrare nel modo più efficace le conclusioni che sono state già raggiunte in modo da convincere gli altri (oppure se stessi, qualora uno volesse richiamare alla mente le premesse del proprio, ragionamento) della fondatezza del risultato. […]
John Dewey, Come Pensiamo, 1933
Pensiero e ragionamento
Il ragionamento è una forma di pensiero volontario che si manifesta (o è manifestabile) attraverso il linguaggio.
Da un punto di vista molto generale il 'ragionare' è quel comportamento umano attraverso il quale non ci si limita a fare affermazioni, ma si danno 'ragioni' per giustificarle. Lo schema di un ragionamento contiene quindi l'affermazione che si intende sostenere (tesi), le assunzioni esplicitamente portate a favore della tesi, una base
argomentativa (insieme di assunzioni implicite) lasciata sottintesa. Ragionare equivale quindi a concatenare proposizioni in modo tale che si possa trarre una conclusione (la tesi) sulla loro base.
Le finalità dei ragionamenti possono essere differenti, ed esempio dimostrative, cognitive o persuasive. Indipendentemente dalle finalità i ragionamenti sono strumenti linguistici per garantire a diversi livelli
l'accettazione razionale di una tesi mediante il collegamento con altre
proposizioni già condivise (perché accertate come vere o verosimili o comunque avanzate come condivisibili).
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Ragionamento scientifico
Nonostante il divario tra ricerca sperimentale e ricerca teorica, il ragionamento scientifico ha alcune proprietà costanti:
• mira al conseguimento della verità attraverso la mediazione di altre proposizioni già note come vere o comunque accettate;
• si rivolge ad un uditorio potenzialmente universale, cioè a chiunque possa acquisire la competenza di comprendere e giudicare il discorso della scienza;
• le sue basi argomentative sono proposizioni di carattere generale (ipotesi empiriche, leggi, assiomi) formulate in un linguaggio specialistico che tende ad eliminare ogni possibile ambiguità.
Le inferenze del ragionamento scientifico
Il ragionamento scientifico si avvale sia di argomentazioni deduttive che di argomentazioni non-deduttive,
Il ragionamento scientifico deduttivo è il ragionamento “rigoroso” per eccellenza (come quello delle “prove” o dimostrazioni matematiche). Controllate le premesse la verità delle conclusioni è garantita. Nel ragionamento deduttivo vi è solo il problema di stabilire lo stato epistemologico delle premesse; se queste sono vere, le conclusioni sono vere; se queste sono ipotesi la verità delle conclusioni dipende dalla verità delle ipotesi; se queste sono convenzioni, le conclusioni sono convenzioni.
Tuttavia il ragionamento scientifico spesso non ha la forza cogente del ragionamento deduttivo. Si presenta piuttosto come una buona
argomentazione o anche come la migliore argomentazione sulla base delle informazioni disponibili. Ciò è dovuto al fatto che, nella costruzione di una teoria, è necessario operare generalizzazioni a partire da osservazioni empiriche e le generalizzazioni non rientrano nei canoni delle inferenze deduttive.
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Struttura dell’argomentazione deduttiva
Base argomentativa (informazioni di sfondo)Assunzioni (premesse)____________________________________dunque (∴∴∴∴) conclusioni
Ovvero utilizzando lettere proposizionali
Base , P1 ………… Pn |= C
Monotonia della logica deduttiva
Se
P1 , ………… , Pn |= C
allora, qualunque sia l’asserto A, purché esso sia vero
P1 , ………… , Pn , A |= C
Dunque nella logica deduttiva la conoscenza potrebbe solo aumentare. Si dice che la logica deduttiva è monotona. Nessuna ipotesi aggiuntiva potrà mai condurci a negare qualcosa che sappiamo essere vero.Questa proprietà di “robustezza” dell’inferenza valida rispetto all’introduzione di nuove premesse ha però una serie di implicazioni assai negative.
In realtà l’informazione è già tutta dispiegata nelle premesse. La logica deduttiva è “non ampliativa”.
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Monotonia della logica deduttiva
Se consideriamo il modus ponens
B ⇒⇒⇒⇒ C, B |= C
allora, qualunque sia l’asserto A, purché esso sia vero
Se piove non andremo in gitapiove e tira vento
∴(a maggior ragione) non andremo in gita
può andar bene, ma cosa succede con
Se una sostanza solubile si mette in acqua, si scioglieSe una sostanza solubile si mette in acqua e l’acqua è benedetta(a maggior ragione!!!?) si scioglie
B ⇒⇒⇒⇒ C, B&A |= C
Limitazioni all’utilizzo della logica deduttiva
La forza cogente del ragionamento deduttivo, il suo sostegno assoluto alla conclusione è il suo punto di forza, ma il suo uso è condizionato da una serie di limitazioni sulle conoscenze messe in premessa dell’argomentazione che devono essere:
1. Complete
2. Indipendenti dal tempo
3. Coerenti
In molte scienze, soprattutto empiriche, tuttavia, il ragionamento non può sempre essere sostenuto da premesse che soddisfano i precedenti requisiti.
Per di più, in tutti i ragionamenti scientifici, molto spesso la base dell’argomentazione è omessa e deve essere desunta dal contesto. Sicché oltre all’aspetto sintattico e quello semantico, bisogna portare in considerazione anche l’aspetto pragmatico degli enunciati.
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L’esigenza di ragionare attraverso inferenze non-deduttive
Il limite del ragionamento deduttivo è che esso, in quanto tale, deve necessariamente procedere dal generale al particolare.
È dunque un ragionamento “non ampliativo”, nel senso che le verità che esso raggiunge sono già contenute nelle premesse.
Inoltre, come già detto, esso è monotono, nel senso che è robusto rispetto all’introduzione di nuove premesse.
Il rovescio della medaglia della monotonia è che la deduzione non può esser tratta se non quando si siano rese disponibili tutte le premesse necessarie per l’inferenza.
Un “agente cognitivo” con accesso limitato alle informazioni (le premesse) e con limitata capacità elaborativa, potrebbe avere bisogno di saltare alle conclusioni anche quando le informazioni raccolte non consentissero una conclusione deduttiva. Deve cioè poter far ricorso anche a logiche di tipo non monotono.
Ragionamento per default
Nel ragionamento ordinario si fa spesso ricorso al ragionamento per default, nel quale, in assenza di premesse che consentano una deduzione logicamente corretta, si assume una conclusione provvisoria, compatibile con le premesse e valida sino a che non sia resa disponibile un’ulteriore premessa che la contraddica.
Ad esempio:
Se devo andare a Benevento in auto partendo da Napoli allora impiego un’ora.
Devo andare a Benevento in auto partendo da Napoli
===================================================
Dunque impiegherò un’ora (salvo imprevisti)
Ragionamento per default:
se A, allora, salvo eccezioni, B
A=======================dunque posso credere B
La doppia linea, indica una inferenza non-deduttiva
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Ragionamento per assenza di evidenza contraria
Nel ragionamento ordinario si fa spesso ricorso al ragionamento per assenza di evidenza contraria nel quale, cioè, si assume vero ciò che non si riesce a dimostrare falso (o viceversa)
Ad esempio:
Non c’è evidenza che gli OGM non siano dannosi per la salute dell’uomo
===================================================
Dunque gli OGM sono dannosi per la salute dell’uomo
Argumentum ad ignorantiam
Non sappiamo che A=======================Dunque ¬¬¬¬ A
Ragionamenti scientifici non-deduttivi
In una argomentazione non-deduttiva le premesse sostengono, ma non garantiscono, la verità della conclusione.
Le argomentazioni non-deduttive non possono essere classificate in valide ed non-valide ma piuttosto in forti o deboli. In una argomentazione induttiva forte, la verità delle premesse rende molto verosimile (ma non certa) la verità della conclusione.
Le più comuni forme di ragionamento scientifico di tipo non-deduttivo sono
� l’argomentazione induttiva
� l’argomentazione abduttiva
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Inferenza induttive
Da un’urna contenente 100 palline ho estratto 99 palline rosse
dunque la centesima pallina sarà rossa
Tutti i corvi osservati sin’ora sono neri
dunque tutti i corvi sono neri
p(a1)
p(a2)
…p(an)
══════════════════
dunque: ∀a, p(a)
Si prende spunto da oggetti esaminati e si traggono conclusioni su oggetti non esaminati!
L’induzione opera dal particolare al generale
Struttura dell’inferenza induttiva
La conclusione di una argomentazione induttiva contiene sempre più informazioni delle premesse. L’induzione è “ampliativa”. Per questo motivo essa finisce con l’essere sempre soggetta ad un certo livello di incertezza
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Vale forse la pena di sottolineare che il ragionamento scientifico (che spesso viene individuato come ragionamento logico, includendo evidentemente le logiche induttive ed abduttive) non esaurisce tutte le forme possibili del “ragionamento”, pur costituendone parte essenziale.
Si dovrebbe forse anche considerare criticamente il fatto che, nell’ambito puramente formale nel quale abbiamo confinato il ragionamento logico, finiamo col non considerare il contenuto di significato posseduto dagli assiomi del sistema formale. Con quale “logica” vengono scelti gli assiomi per rendere una teoria formalizzata plausibile nei risultati e, in definitiva, utile? Certamente non con ragionamenti deduttivi!
Ancora una volta ci ritroviamo a interrogarci sul perché alcuni ragionamenti non-deduttivi si ritengono implicitamente o esplicitamente accettabili. La risposta a questo quesito si colloca in una zona di confine tra scienza e metafisica.
L’induzione è […] quell’operazione della mente con cui inferiamo che ciò che
sappiamo vero in uno o più casi singoli sarà vero in tutti i casi rassomiglianti
ai primi per certi determinabili aspetti. In altre parole, l’induzione è il
processo con cui concludiamo che quello che è vero per certi individui d’una
classe è vero dell’intera classe, o che quello che è vero in certi momenti
sarà vero in circostanze simili in ogni momento.
J.S. Mill, Sistema di logica (1843)
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SECTION IVSCEPTICAL DOUBTS CONCERNING THE OPERATIONS
OF THE UNDERSTANDINGPART 1
All the objects of human reason or enquiry may naturally be divided into two kinds, to wit, Relations of Ideas, and Matters of Fact .Of he first kind are the sciences of Geometry, Algebra, and Arithmetic; and in short, every affirmation, which is either intuitively or demonstratively certain. That the square of the hypothenuse is equal lo the square of the two
sides, is a proposition, which expresses a relation between these figures. That three times
five is equal to the half of thirty, expresses a relation between these numbers. Propositions of this kind are discoverable by the mere operation of thought, without dependence on what is any where existent in the universe. Though there never were a circle or triangle in nature, the truths, demonstrated by Euclid, would for ever retain their certainty and evidence.Matters of fact, which are the second objects of human reason, are not ascertained in the same manner; nor is our evidence of their truth, however great, of a like nature with the foregoing. The contrary of every matter of fact is still possible; because it can never imply a contradiction, and is conceived by the mind with the same facility and distinctness, as if ever so conformable to reality. That the sun will not rise tomorrow is no less intelligible a proposition, and implies no more contradiction, than the affirmation, that it will rise. We should in vain, therefore, attempt to demonstrate its falsehood. Were it demonstratively false, it would imply a contradiction, and could never be distinctly conceived by the mind.
It may, therefore, be a subject worthy of curiosity, to enquire what is the nature of that evidence, which assures us of any real existence and matter of fact, beyond the present testimony of our senses, or the records of our memory. This part of philosophy, it is observable, has been little cultivated, either by the ancients or moderns […]. All reasonings concerning matter of fact seem to be founded on the relation of Cause and
Effect. By mean s of that relation alone we can go beyond the evidence of our memory and senses. If you were to ask a man, why he believes any matter of fact, which is absent; for instance, that his friend is in the country or in France; he would give you a reason; and this reason would be some other fact; as a letter received from him, or the knowledge of his former resolutions and promises. A man, finding a watch or any other machine in a desert island, would conclude, that there had once been men in that island. All our reasonings concerning fact are of the same nature. And here it is constantly supposed, that there is a connexion between the present fact and that which is inferred from it. Were there nothing to bind them together, the inference would be entirely precarious. The hearing of an articulate voice and rational discourse in the dark assures us of the presence of some person: Why? because these are the effects of the human make and fabric, and closely connected with it. If we anatomize all the other reasonings of this nature, we shall find, that they are founded on the relation of cause and effect, and that this relation is either near or remote, direct or collateral. Heat and light are collateral effects of fire, and the one effect may justly be inferred from the other.If we would satisfy ourselves, therefore, concerning the nature of that evidence, which assures us of matters of fact, we must enquire how we arrive at the knowledge of cause and effect.
David Hume Philosophical Essays concerning Human Understanding, 1748
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Dobbiamo innazitutto considerare che non avrebbe senso parlare di fallacia per un ragionamento non deduttivo in quanto ogni conclusione di questo tipo di ragionamento è esso stesso una fallacia.
• Fallacia della generalizzazione indebita (esiguità del campione)
• Fallacia del campione non rappresentativo
Le fallacie dell’induzione
Inferenze abduttive
Chiunque sia l’assassino ha le scarpe sporche di fangoIl marito della vittima ha le scarpe sporche di fango
dunque il marito della vittima è l’assassino
L’inferenza abduttiva è tipica del ragionamento investigativo o del ragionamento diagnostico.
Il morbillo si presenta con febbre e macchie rosse sulla pelleIl paziente ha febbre e macchie sulla pelle.
dunque il paziente ha il morbillo
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Struttura dell’inferenze abduttiva
Ragionamento abduttivo
se A1 allora Bse A2 allora B
.
.
.
se AN allora B
B
=======================Dunque Aj
dove Aj è, tra tutte le ipotesi Ai compatibili con B la migliore o la più probabile
L’abduzione è intrinsecamente fallibile, produce solo possibilità esplicative tutte da sottoporre a successivo controllo sperimentale
La migliore spiegazione è, genericamente, quella che soddisfa i seguenti requisiti:
• Semplicità. Le spiegazioni semplici sono da preferire alle spiegazioni complesse (Rasoio di Ockham)
• Conservatività, di norma si preferiscono le spiegazioni che ci costringono a modificare il minor numero possibile delle nostre credenze.
• Controllabilità, sono da preferire le ipotesi che si possono verificare attraverso procedure indipendenti.
Attenzione che i requisiti elencati possono essere tra loro contraddittori.
La migliore spiegazione
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L’abduzione è il primo passo del procedimento scientifico, così come l’induzione è il passo conclusivo. […] Abduzione ed induzione hanno certo in comune questa caratteristica che entrambe portano ad accettare un’ipotesi in quanto i fatti osservati sono come risulterebbero necessariamente o probabilmente quali conseguenze di quell’ipotesi. Ma proprio per questo sono ai poli opposti della ragione. L’una il più inefficace, l’altra il più efficace degli argomenti. Il metodo dell’una è esattamente l’opposto di quello dell’altra. L'abduzione prende lo spunto dai fatti, senza, all'inizio, aver alcuna particolare teoria in vista, benché sia motivata dalla sensazione che si richiede una teoria per spiegare dei fatti sorprendenti. L'induzione prende lo spunto da un'ipotesi che sembra raccomandarsi senza avere all'inizio alcun particolare fatto in vista, benché ci sia la sensazione di avere bisogno di fatti per sostenere una teoria. L'abduzione cerca una teoria. L'induzione cerca dei fatti. Nell'abduzione la considerazione dei fatti suggerisce l'ipotesi. Nell'induzione lo studio dell'ipotesi suggerisce gli esperimenti che portano alla luce i fatti autentici a cui l'ipotesi mirava.
C.S. Peirce, Collected papers
DEDUZIONERegola: Tutti i corvi sono neriCaso: Merlino e Anacleto sono corvi—————————————————Risultato: Merlino e Anacleto sono neri
INDUZIONECaso: Merlino e Anacleto sono corviRisultato: Merlino e Anacleto sono neri════════════════════════
Regola: Tutti i corvi sono neri
ABDUZIONERegola: Tutti i corvi sono neriRisultato: Merlino e Anacleto sono neri════════════════════════
Caso: Merlino e Anacleto sono corvi
oggettineri
corviMerlino
Anacleto
Nei canoni della logica formale le inferenze non-deduttive sarebbero classificate fallaci, ma in questo caso si tratta di fallacie consapevoli
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Utilità del ragionamento deduttivo
Se è vero che nel ragionamento deduttivo le conclusioni sono già contenute nelle premesse, sembra allora avere senso chiedersi quale sia l’utilità di tale forma di ragionamento nell’avanzamento della conoscenza. La risposta è estremamente complessa e si può articolare su tre punti
• La ricerca di verità nascoste, come quelle dei teoremi della matematica, illustrata dal seguente esempio:
Se Anna non è napoletana allora Bruno è siciliano
Se Anna è napoletana allora Carlo non è milanese
Se Bruno non è siciliano allora Carlo è milanese
Quindi: Bruno è siciliano
• La ricerca di paradossi che minano le assunzioni • La rappresentazione del pensiero (retorica, l’arte del dire)
Anna è napoletana = A
Bruno è siciliano = B
Carlo è milanese = C
Se Anna non è napoletana allora Bruno è siciliano ¬ A ⇒ B
Se Anna è napoletana allora Carlo non è milanese A ⇒ ¬ C
Se Bruno non è siciliano allora Carlo è milanese ¬ B ⇒ C
________________________________________________________
Quindi: Bruno è siciliano B
In formule
C⇒ ¬ A ⇒ B
C⇒ B,
¬C⇒B
C&¬C⇒ B
_______________
B
Esempio di verità nascoste
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Frederic, il protagonista di The Pirates of Penzace, ha raggiunto l’età di 21 anni dopo soli cinque compleanni. Diverse circostanze cospirano a renderlo possibile. L’età si misura col tempo trascorso, mentre un compleanno deve corrispondere alla data di nascita; e il 29 Febbraio arriva meno spesso di una volta all'anno.Una volta ammesso che la situazione di Frederic è possibile, in che cosa è paradossale? Soltanto perché inizialmente ha un'aria di assurdità. La verosimiglianza che una persona abbia più di n anni al suo n--esimo compleanno si riduce a 1 su 1460, o a qualcosa di più se consi-deriamo gli andamenti stagionali; e questa verosimiglianza è così mi-nima che facilmente ci dimentichiamo che esista.Possiamo allora dire in generale che un paradosso è solo una conclusione che a prima vista suona assurda ma che dispone di un argo-mento che la sostiene? Alla fin fine penso che questa spiegazione si regga piuttosto bene. Ma restano molte cose da dire. L'argomento che sostiene un paradosso può mettere in luce l'assurdità di una premessa nascosta o di qualche preconcetto che si era ritenuto centrale per la teoria fisica, o la matematica, o i processi del pensiero. Nel paradosso apparentemente più innocente può nascondersi quindi una catastrofe. Più di una volta nella storia la scoperta di un paradosso ha costituito l'occasione per una ricostruzione in profondità dei fondamenti del pensiero. In effetti, per alcuni decenni gli studi sui fondamenti della matematica sono stati scossi e potentemente stimolati dall'impatto di due paradossi, uno proposto da Bertrand Russell nel 1901 e l'altro da Kurt Godel nel 1931.
Sui paradossi: un brano di Quine
Come primo passo su questo terreno pericoloso, consideriamo un altro paradosso: quello del barbiere del villaggio. Non si tratta del grande paradosso di Russell del 1901, a cui arriveremo poi, ma di uno minore che Russell attribuì a una fonte anonima nel 1918. In un certo villaggio c'è un uomo, così dice il paradosso, che fa il barbiere. Questo barbiere rade tutti e soli quegli uomini del villaggio che non si radono da soli. Domanda: il barbiere rade se stesso?Qualunque uomo di questo villaggio è raso dal barbiere se e solo se non rade se stesso. Quindi in particolare il barbiere rade se stesso se e solo se non rade se stesso. Siamo nei guai se diciamo che il barbiere rade se stesso tanto quanto se diciamo che non rade se stesso.Ora mettiamo a confronto i due paradossi. La situazione di Frederic sembrava assurda a prima vista, ma è bastato un semplice argomento per accettarla una volta per tutte. Nel caso del barbiere, d'altra parte, la conclusione è troppo assurda per poterla mai accettare.Che cosa dobbiamo dire di un argomento che procede a dimostrare una conclusione inaccettabile? Fortunatamente, esso dipende da certe assunzioni. Ci si chiede di mandar giù una storia su un villaggio e un uomo che rade tutti e soli quegli uomini del villaggio che non si radono da sé. Questa è l'origine dei nostri guai; ammettiamo questo e finiamo col dire, assurdamente, che il barbiere rade se stesso se e solo se non rade se stesso. La conclusione giusta da trarre è che non c'è nessun barbiere del genere.
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Non ci troviamo di fronte a niente di più misterioso di quello che per un paio di migliaia di anni i logici hanno chiamato una reductio ad absurdum. Confutiamo il barbiere assumendolo e deducendo l'assurdità che egli rade se stesso se e solo se non rade se stesso. li paradosso è semplicemente una dimostrazione che nessun villaggio può contenere un uomo che rade tutti e soli coloro nel villaggio che non si radono da sé. A prima vista questa negazione radicale suona assurda: perché non dovrebbe esserci un uomo del genere in un villaggio? Ma l'argomento dimostra perché no, e così noi accettiamo quella negazione radicale proprio come accettiamo la possibilità, che appare assurda la prima volta che l'incontriamo, che Frederic sia tanto più vecchio di cinque anni al suo quinto compleanno.I due paradossi, dopo tutto, si assomigliano in questo, che sostengono con un argomento conclusivo quelle che a prima vista sembrano assurdità. Quello che è strano ma vero nel primo paradosso è che uno possa avere 4n anni al suo n-simo compleanno; quello che è strano ma vero nel secondo è che nessun villaggio può contenere un uomo che rade tutti e soli quegli uomini del villaggio che non si radono da sé.
Willard Quine, The Ways of Paradox, in The Ways of Paradox and Other Essays, 1966
La citazione è tratta dal bel libro di Marco Santambrogio, Manuale di scrittura (non creativa), Laterza, 2006
FINE
Cosa leggere (di introduttivo)
Nolt, Rohatyn e Varzi, Logica, McGraw Hill, 2006Frixione, Come ragioniamo, Laterza, 2007Piattelli Palmarini, L’arte della persuasione, MondadoriColiva, Lalumera, Pensare, leggi ed errori del ragionamento, Carocci, 2006