elementos de estadÍstica descriptiva profr. eliud quintero rodríguez
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ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Profr. Eliud Quintero Rodríguez
Introducción
La Estadística es una ciencia que facilita la solución de problemas en los cuales necesitamos conocer características sobre el comportamiento de algún suceso o evento.
Nos permite inferir el comportamiento de sucesos iguales o similares sin necesidad de que estos ocurran.
Esto nos da la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, así como realizar proyecciones del comportamiento del suceso.
Sólo se realizan los cálculos y el análisis con los datos obtenidos de una muestra de la población y no con toda la población.
Actualmente el INEGI es el encargado de concentrar y publicar la información estadística del estado y del país.
Conceptos básicos
Estadística:Es la ciencia que se encarga de recolectar, organizar, resumir y analizar datos para después obtener conclusiones. Se divide en Estadística Descriptiva y Estadística Inferencial.
Estadística descriptiva:
Se encarga de la recolección, organización, presentación y análisis de los datos de una población.
Estadística inferencial:Se encarga de analizar la información presentada por la estadística descriptiva mediante técnicas que nos ayuden a conocer, con determinado grado de confianza, a la población. Lo que nos permite tomar decisiones.
Población:Conjunto definido de TODOS los INDIVIDUOS, de donde se observa cierta característica.
Al número de integrantes de la población se llama tamaño de la población y se representa con la letra N.
Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.
Población Estadística:Conjunto de TODOS los DATOS que se obtienen al realizar la medición de una variable en los elementos de una población.
Muestra:Subconjunto de una población, que intenta reflejar las características de la población lo mejor posible.El número de individuos que integran la muestra, llamado tamaño de la muestra se representa con la letra n.
Individuo:Es el elemento de la población o de la muestra que aporta información sobre lo que se estudia.
Variable:Característica o propiedad de los individuos que se desea estudiar y se puede medir o calificar; cambia o varía con el tiempo en un individuo dado, o cambia o varía de elemento a elemento.
Ej. Edad, peso, sexo, estado civil, número de hijos, etc.
Dato:Valor que se obtiene al realizar la medición de la característica de la variable en estudio.Pueden ser univariados, bivariados o multivariados.
La naturaleza de los datos pueden ser datos cuantitativos o datos cualitativos.
Datos Cuantitativos (números):Valores obtenidos al medir peso, estatura, temperatura, número de hijos.
Datos Cualitativos (categorías):Se obtienen al calificar la característica en cuestión como el sexo, estado civil, grado máximo de estudios.
Variable Dicotómica:
Sólo puede tomar dos valores (sí – no, 0 – 1, hombre – mujer, bueno – malo, encendido – apagado).
En la variable CUANTITATIVA se pueden distinguir dos tipos: continua y discreta.
Variable Continua:Si la variable puede tomar cualquier número real entre dos valores dados (decimal o entero). Ej. El peso de un individuo.
Variable Discreta:Si la variable sólo puede tomar números enteros.Ej. El número de hijos de un individuo.
Escalas de Medición
Escala Nominal
Escala Ordinal Escala de
Intervalo
Escala de Razón
Escala Nominal:Está asociada a variables cualitativitas y es denominada de este modo si no se pueden hacer operaciones aritméticas entre sus valores, pues éstos son únicamente ETIQUETAS.
Ejemplo: sexo, código postal, estado civil, número telefónico, número al correr en un maratón, deporte favorito, carrera a estudiar, etc.
Escala Ordinal:Los valores de la variable que tienen un ORDEN con un nivel específico, pero no se pueden hacer operaciones aritméticas entre ellas.
Ejemplo: Pésimo – Malo – Regular – Bueno – ExcelentePrimaria – Secundaria – Preparatoria - Licenciatura
Escala de Intervalo:En ella existe un orden entre los valores de la variable y además una NOCIÓN DE DISTANCIA aunque no se puedan realizar operaciones. El cero o punto de inicio no es único, es más bien un punto de referencia.
Ejemplo: Escalas de temperatura, la edad de la Tierra, la línea del tiempo de la humanidad.
Escala de Razón:La magnitud tiene SENTIDO FÍSICO, existe el cero absoluto, existe orden, se puede determinar cuántas veces es mayor uno que otro.
Ejemplo: peso, estatura, edad, distancia, dinero, etc.
Fuentes de información
Encuesta:Recopilar los datos mediante el uso de cuestionarios o entrevistas.
Experimento:Procedimiento utilizado en la investigación científica para obtener información que permita conocer el comportamiento de algún proceso.
Fuentes de Información
Investigación Documental:Procedimiento para obtener datos mediante la consulta de información ya escrita y concentrada en documentos que se localicen en libros o revistas en bibliotecas, hemerotecas, o en centros virtuales.
Redondeo de datos, notación científica y cifras
significativas. Redondeo:
El redondeo de datos es un procedimiento que consiste en escribir un número que representa a una cantidad con menos cifras de las que tiene realmente para tener una idea rápida de la cantidad.
Notación Científica
Es una manera de escribir en forma breve cifras muy grandes o pequeñas. La forma general es a x 10 , en donde “a” es un número entre 1 y 9, “n” es un número entero.
Ejemplo:El número 25 000 se escribe 2.5 x 10 , o el número 0.00025 se escribe como 2.5 x 10 .
n
4- 4
Cifras Significativas
A los dígitos exactos que se utilizan para escribir una cifra, a parte de los ceros para localizar el punto decimal, se les llama cifras significativas.
Ejemplos: 3.22 tiene 3 cifras significativas.
0.0032 = 3.2 x 10 tiene 2 cifras significativas.
0.00320 = 3.20 x 10 tiene 3 cifras significativas.
- 3
- 3
La cifra 3.22 se encuentra realmente entre 3.215 y 3.225.
La cifra 0.0032 es un valor que se encuentra entre 0.00315 y 0.00325.
La cifra 0.00320 se encuentra entre las cifras 0.003195 y 0.003205
Orden de datos
La ordenación es el proceso mediante el cual los datos están acomodados de tal manera que se establece un orden (ascendente o descendente) entre ellos.
Hay dos métodos comunes:• Listado en orden
ascendente• Método de tallo y hojas
Ejemplo
Considera que la variable de estudio es el peso de 25 estudiantes. Los pesos se encuentran en la siguiente tabla:
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40 43 48 51 4956 44 42 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58
Listado en orden ascendente
El proceso consiste en ordenarlos de menor a mayor
Peso de 25 estudiantes (en kg)
42 40 48 51 4956 44 43 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40 42 43 44 4445 48 49 50 5051 51 52 52 5555 5656 57 5859 62 63 63 66
Método de tallo y hojas
Si los números de los datos están formados por dos dígitos, se hace una columna con el primer dígito (decenas) y a la derecha de cada uno de ellos se escribe, en fila, sólo el segundo dígito (unidades) de cada uno de los datos que tengan el mismo primer dígito.
Datos sin ordenar:
Datos ordenados:
456
456
0,2,3,4,4,5,8,90,0,1,1,2,2,5,5,6,6,7,8,92,3,3,6
Peso de 25 estudiantes (en kg)
42 40 48 51 4956 44 43 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58
2,0,8,9,4,3,4,51,6,5,2,2,0,9,0,6,5,7,1,82,3,6,3
Doble tallo
Una variante de este método es en lugar de dividir en un grupo las decenas, se divide en dos grupos. El primero abarcando los dígitos del 0 al 4 y el segundo del 5 al 9.
El ejemplo anterior queda:
4 0,2,3,4,44 5,8,95 0,0,1,1,2,2,5 5,5,6,6,7,8,96 2,3,36 6
Caso de variables cualitatitivas El procedimiento es:
Se identifican todos los valores diferentes y se acomodan en columna.
Se agrega una segunda columna en donde se van registrando, mediante una línea vertical, la veces que aparece el valor dado.
Ejemplo
Considera que la variable de estudio es el color de playera de 25 estudiantes. Los colores se encuentran en la siguiente tabla:
rosa azul blanco azul rosa
gris blanco café negro blanco
rosa azul café blanco blanco
gris azul blanco rosa gris
gris blanco café negro verde
rosa azul blanco
azul rosa
gris blanco
café negro blanco
rosa azul café blanco
blanco
gris azul blanco
rosa gris
gris blanco
café negro verde
Color Frecuencia
Azul
Blanco
Café
Gris
Negro
Rosa
Verde
I I I I
I I I I I II I I
I I I II I
I I I I
I
Tabla de Frecuencia de Datos Una vez que se tenga ordenados los
datos, se acomodan en la “Tabla de distribución de frecuencias o tabla de frecuencias”.
La tabla es básicamente una tabla de valores x-y, dónde “x” representa el dato y “y” representa la frecuencia.
La frecuencia es el número de veces que aparece cada dato.
Hay dos clases de tablas de frecuencias: Para datos NO agrupados. Para datos agrupados.
Tabla de frecuencias para datos NO agrupados
Está formada por dos columnas: una para la variable “xi” y la otra para su frecuencia “f”, a esta frecuencia se le llama frecuencia absoluta o frecuencia observada.
Ejemplo
Tabla de frecuencias de los pesos en kg de 25 alumnos.
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40 42 43 44 4445 48 49 50 5051 51 52 52 5555 5656 57 5859 62 63 63 66
xi f
40
42
43
44
45
48
49
50
51
xi f
52
55
56
57
58
59
62
63
66
Total
1
1
12
1
1
1
2
2
2
2
2
11
1
1
21
25
Frecuencia relativa y acumulada Por lo regular, se agregan dos columnas:
la de la frecuencia relativa “fr” y la de la frecuencia acumulada “fa”.
La frecuencia relativa se obtiene mediante el cociente de la frecuencia y el número total de datos, esto es fr = f/n.
La frecuencia acumulada se obtiene sumando las frecuencias anteriores a las frecuencias de un dato dado.
Ejemplo
xi f fr fa
40 1
42 1
43 1
44 2
45 1
48 1
49 1
50 2
51 2
xi f fr fa
52 2
55 2
56 2
57 1
58 1
59 1
62 1
63 2
66 1
Total
25
0.04
0.04
0.04
0.040.040.04
0.040.040.040.04
0.04
0.08
0.080.08
0.080.080.08
0.08
1/25
2/25
1
2
3
5
6
78
10
12
14
1618
1920
21
22
2425
1
Siempre es el
número total
Siempre es 1
Intervalo de clase
En ocasiones es conveniente acomodar los datos en pequeños grupos de igual tamaño, llamados intervalos de clase.
El punto medio o marca de clase “xi”, se obtiene con:
El tamaño del intervalo se obtiene mediante la diferencia de los límites superior e inferior.
Marca de clase =
Límite inferior + límite superior 2
Ejemplo
Intervalo de clase Punto medio “xi”
38 – 42 40
43 – 47 45
48 – 52 50
53 – 57 55
58 – 62 60
63 – 67 65
Límite inferior Límite superior Lím inf + Lim sup2
Límite verdadero del intervalo Frontera de clase o límite verdadero del
intervalo:Intervalo de clase Punto medio “xi”
37.5 – 42.5 40
42.5 – 47.5 45
47.5 – 52.5 50
52.5 – 57.5 55
57.5 – 62.5 60
62.5 – 67.5 65
40 – 2.5 40 + 2.5
Tabla de intervalos con límites verdaderos
Usando símbolos de desigualdad
Usando paréntesis y corchetesIntervalo
de clasePunto medio
“xi”
37.5 ≤ x < 42.5
40
42.5 ≤ x < 47.5
45
47.5 ≤ x < 52.5
50
52.5 ≤ x < 57.5
55
57.5 ≤ x < 62.5
60
62.5 ≤ x < 67.5
65
Intervalo de clase
Punto medio
“xi”
[37.5 , 42.5) 40
[42.5 , 47.5) 45
[47.5 , 52.5) 50
[52.5 , 57.5) 55
[57.5 , 62.5) 60
[62.5 , 67.5) 65
Está incluido No está incluido Está incluido No está incluido
El tamaño del intervalo es de 5
Si por alguna razón no es fácil decidir el ancho del intervalo y el número de ellos, se pueden utilizar las siguientes fórmulas:
K = 1 + 3.3 log (n) Donde K = número aproximado de
clasesn = número de datos. Amplitud de los intervalos = Rango / K
Donde Rango = diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
Ejemplo
Para el ejemplo de los datos de los pesos de 25 alumnos, el valor de K:
Y la amplitud de los intervalos sería:
K = 1 + 3.3 log (n) = 1 + 3.3 log (25) = 5.6.Por lo tanto se requieren aproximadamente 6 intervalos.
Amplitud = Rango / K = (66 – 40) / 5.6 = 4.64.Aproximadamente 5 unidades es la amplitud de los intervalos.
Tabla de distribución de frecuencias para datos
agrupados Se elabora con los intervalos de clase, sus
puntos medios y las frecuencias correspondientes para cada uno de los intervalos.xi f
40 1
42 1
43 1
44 2
45 1
48 1
49 1
50 2
51 2
52 2
55 2
56 2
57 1
58 1
59 1
62 1
63 2
66 1
Total
25
Dato
s si
n
ag
rup
ar
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f
38 – 42 40
43 – 47 45
48 – 52 50
53 – 57 55
58 – 62 60
63 - 67 65
Total
Datos agrupados
24
8
5
3
3
25
Se agregan las columnas de frecuencia relativa “fr” y frecuencia acumulada “fa”:Interva
lo de clase
Punto medio “xi”
f fr Fa
38 – 42 40 2
43 – 47 45 4
48 – 52 50 8
53 – 57 55 5
58 – 62 60 3
63- 68 65 3
Total 25
0.08
0.16
0.32
0.20
0.12
0.12
1
2
6
14
19
22
25
2/25
4/25
8/25
Por último se agregan las columnas: Frecuencia porcentual, “f%” ó “%f”, se
obtiene multiplicando la frecuencia relativa “fr” x 100.
Frecuencia relativa acumulada “fra”, se obtiene sumando las frecuencias relativas anteriores a un dato dado.
Frecuencia porcentual acumulada, “f%a”, se obtiene sumando las frecuencias porcentuales acumuladas a un dato dado.
Tablas de frecuencias absoluta, relativa y
acumuladaIntervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr f% fa fra f%a
38 – 42 40 2 0.08
2
43 – 47 45 4 0.16
6
48 – 52 50 8 0.32
14
53 – 57 55 5 0.20
19
58 – 62 60 3 0.12
22
63- 68 65 3 0.12
25
Total 25 1
8
16
32
20
12
12
100
0.080.240.560.760.881
8
24
56
76
88100
0.08 x 100
2/25
0.08 x 100
Gráfica de Datos
Existen dos tipos de gráficas mas usuales: Polígono de Frecuencias Histograma
Otros gráficos: Gráfica de barras Pictograma Gráfico Circular o de pastel.
Polígono de Frecuencias
Es la representación mediante un gráfico de línea. En él se muestra la distribución de frecuencias y está formado por segmentos de línea que unen los puntos correspondientes a la frecuencia de cada una de las clases.
El eje “x” representa el dato “xi” y el eje “y” las frecuencias. 0
10
20
30
40
50
60
Ejemplo
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f
38 – 42 40 2
43 – 47 45 4
48 – 52 50 8
53 – 57 55 5
58 – 62 60 3
63 - 68 65 3
Total 25
El eje “y” puede ser sustituido por las frecuencias relativas o porcentuales.
fr
xi
Polígono de Frecuencia Relativa
% f
xi
Polígono de Frecuencia Porcentual
Histograma
Es la representación gráfica de los datos mediante una sucesión
de rectángulos. Está formado por rectángulos cuya
anchura representa a cada uno de los intervalos y la altura corresponde a la frecuencia.
En el eje “x” estarán los límites verdaderos, los puntos medios y en el eje “y” las frecuencias.
0.95 2.95 4.950
2
4
6
8
10
12
14
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f
38 – 42 40 2
43 – 47 45 4
48 – 52 50 8
53 – 57 55 5
58 – 62 60 3
63 - 68 65 3
Total 25
Ejemplo
También podemos usar la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual.
fr
xi
% f
xi
Pirámide Poblacional
Una variante en el histograma es colocar en el eje “x” de tal manera que las columnas quedarán en forma horizontal, es muy común en datos poblacionales.
Ojiva
Es la representación gráfica de las frecuencias acumuladas mediante un gráfico de línea. Se muestra la distribución de frecuencias acumuladas de los datos.
En el eje “x” estarán los puntos medios y en el eje “y” las frecuencias acumuladas.
Ejemplo
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr fa
38 – 42 40 2 0.08 2
43 – 47 45 4 0.16 6
48 – 52 50 8 0.32 14
53 – 57 55 5 0.20 19
58 – 62 60 3 0.12 22
63- 68 65 3 0.12 25
Total 25 1
Usando la frecuencia acumulada y la frecuencia porcentual.
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr f% fa fra f%a
38 – 42 40 2 0.08
8 2 0.08
8
43 – 47 45 4 0.16
16 6 0.24
24
48 – 52 50 8 0.32
32 14 0.56
56
53 – 57 55 5 0.20
20 19 0.76
76
58 – 62 60 3 0.12
12 22 0.88
88
63- 68 65 3 0.12
12 25 1 100
Total 25 1 100
Gráfico Circular
También es llamado gráfico de pastel.
Sólo se representan datos de frecuencias relativas o frecuencias porcentuales.
Se debe dividir el área del círculo de manera proporcional a las frecuencias.
13%
17%
57%
13%PERRO
PAJARO
HAMSTER
GATO
Agregaremos una columna a nuestra tabla de frecuencias “Frecuencia relativa al círculo”, multiplicando (fr)(360°), para mostrar la parte proporcional de círculo medida en grados que corresponde a cada intervalo.
Ejemplo 1
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr (fr ) (360°)
38 – 42 40 2 0.08
43 – 47 45 4 0.16
48 – 52 50 8 0.32
53 – 57 55 5 0.20
58 – 62 60 3 0.12
63- 68 65 3 0.12
Total 25 1
28.8°
0.08 x 360°
0.16 x 360°
57.6°
115.2°72°
43.2°
43.2°
360°
Ejemplo 2
Color Frecuencia
Conteo
Azul 4
Blanco 7
Café 3
Gris 4
Negro 2
Rosa 4
Verde 1
I I I I
I I I I I II I I
I I I II I
I I I I
I
Otros Gráficos
La gráfica de barras se traza similar al Histograma, sólo que las barras se dibujan separadas unas de otras.
La escala en el eje “x” es para mostrar categorías o intervalos de números NO consecutivos.
0
10
20
30
40
50
60
PERRO PAJARO HAMSTER GATO
Fre
cuen
cia
abso
luta
CarreraAlumn
osMedicina 8Mecánica 11
Civil 8Agronomía 3
Físico - Matemáticas
3
Leyes 6Contaduría 11
Pictograma
Similar al de barras, sólo que se sustituyen por figuras, generalmente relacionadas con la variable estudiada.