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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
ELEMENTOS DE MÁQUINAS (SEM 0241)
Notas de Aulas v.2015
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Aula 03 – Resistência dos Materiais – revisão
Professores: Ernesto Massaroppi Junior Jonas de Carvalho Carlos Alberto Fortulan
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
Aula 03 – Resistência dos materiais - revisãoO estudo e aplicação de MecSol teve início com Galileu (início do sec XVII)
carregamentos de vigas e eixos. Notável progresso foi feito pelos franceses (Saint –
Venant, Poisson, Lamé, Navier, Coulomb e Cauchy) (final do sec. XIX), com os
experimentos denominados Resistência dos Materiais. Posterior avanço derivou na
teoria da elasticidade e teoria da plasticidade.
O equilíbrio de um corpo requer um balanço de forças que evite que o corpo translade ou
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
tenha aceleração ao longo de um reta ou curva e o balanço de momentos para evitar
que o corpo tenha translação.ΣF=0 � ΣFx=0; ΣFy=0; ΣFz=0
ΣM0=0 � ΣMx=0; ΣMy=0; ΣMz=0
O sistema de forças internas necessário para
manter a parte isolada em equilíbrio consiste
de uma força axial, uma de cisalhamento, um
momento fletor e um conjugado (torque)
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3.1- Esforços solicitantes
Pz - Força normal
Px , Py - Forças cortantes
Mfx, Mfy – Momentos de flexão
P1
l1
P2
l3
P3
Pz
S
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
=−−
=+
=−
0
0
0
21
4
3
PPP
PP
PP
z
y
x
fx fy
Mt – Momento de torção
Condições de equilíbrio na seção S:
=−
=+
=++
0.
0.
0..
33
13
2432
LPM
LPM
LPLPM
t
fy
fx
Mfy
P4
l2
MfxMt
Pz
PyPx
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Condições de equilíbrio
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Condições de equilíbrio
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Representação Simb. Tipo da Reaçãono plano no Espaço
Restrição de Liberdade
Transversal 1 2
Articulado
Mancal
1 1
Rolo 1(2)
1Livr
e
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Pendularou corda 1 1
Blo
quea
do
2 3
2 3
3 6
Articulado
Engastado
Transversal e Longitudinal
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3.2 - Reações vinculares - Diagramas M, N, Q
Indeterminado (móvel) , hipostáticoDeterminado , isostáticoSuperdeterminado , hiperestático
�Sistemas móveis : Não suportam carga (Exceções - corda pendurada);�Sistemas hiperestáticos : Cálculos mais difíceis (Uso de elementos finitos);�Sistemas isostáticos : Normais.
� Regime elástico
Determinação estática
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Condiçõesde
equilíbrio
REAÇÕESVINCULARES
DIAGRAMASM, N, Q
τσ ,
Tensões Principais 321 ,, σσσ
γβα ,,0
0
0
=
=
=
∑∑∑
M
F
F
y
x
Direções Principais
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3 equações 3 incógnitas
( 2 ) e ( 3 ) :
1
21
21
2
1
1
2
1 ..
1
10. P
LL
LRP
L
LRP
L
LRR AYAYAYAY +
=→
+
=→=−+
(3) 00
(2) 00
(1) 0
21
1
2
=−⇒=
=−+⇒=
=⇒=
∑∑∑
LRLRM
PRRF
PRF
BYAY
BYAYy
AXx
x
y
P2
P1
L1 L2
AB
RAX
RAY
RBX
RBY =0
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
1
12
11
1
2
1
2
1 ..
1
10. P
LL
LRP
L
LRPR
L
LR BYBYBYAY +
=→
+
=→=−+
Convenção de sinal :+ tração- Compressão
+ sentido horário- sentido anti-horário
+ tração no lado inferior (desenha-se diagrama do lado tracionado)
RAYRBYP1
Q
RAYL1=RBYL2
+
M
+
-
NP2
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Pl
y
x
l =1 , P=1000
P
A
B
A
B
R2X - A =0
R2Y - P - B = 0
Isostático
l l
2ll
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R2xR1y
R1x
R2y
R2Y - P - B = 0
-R2Y - R2X .2 +P .2 = 0
A + R1X = 0
B + R1Y = 0
-R1X .1 + R1Y .1 = 0
6 equações e 6 incógnitas
R2Y = 4000 A = B3
R2X = 1000 R1X = R1Y = -10003 3
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N
Q
+
+ +
-
-
-R1Y
+A
-B = -R2Y + P
-R2Y
+
+
- -
-
+ +P-B
-R1X
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M
-R1X
-R2X
-
++
-
-B . l
-R1X . l-B . l
-B . l = -( P . l - R2X . 2 l )
-( P . l -R2X . l )
-P . l
+
R2X . l
-
-
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3.3- Tensão normal
S
Pn =σ
Estado uniaxial de tensão
[ N/m2][ MPa ]
P P
P
σn
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Sistema de unidades:• Cuidado!• Dê preferência ao S.I. (MKS)• Pode-se usar unidades de maior sensibilidade para engenharia (Kgf/mm2).
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3.4 - Tensão normal oriunda de momento fletor
R
• Flexão pura (só Momento fletor)
• Seções planas permanecem planas após flexão
• Raio de curvatura R para cada ponto
HIPÓTESES:
OO
dφA
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dx
R
O
dφ
LN
dφ
dx
R
v
dφ
A Acréscimo em dx
v
A
dφ
θ.RS =
Arco = raio x ângulo
dx
dv
l
l ϕε
.=
∆=
mas
ϕdRdx .=
ϕϕ
εd
d
R
v= v
R
1 =ε⇒ v∝ε ⇒
Lei de Hooke εσ E = ⇒ vER
σ .1
=
LN
ε
LN
σ
+
-
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• Num elemento de área
∫ ==S
dAF 0.σ
∫ ∫ ∫=== dAvR
EdA
R
vEvdAvM ...
.... 2σ
• Não há força normal na seção devida à flexão
dAdF .σ=
∫∫ =⇒=S
0. 0..
dAvdAR
vE
LN passa pelo CG na flexão simples⇒
. dAdF σ= e dAvvdFdM ... σ==
vL.N.
dA
dMdA
v
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∫ ∫ ∫S S
J
SRR
321
Segundo momento de área ou momento de inércia de área
σ m a xf
fm a x
M
WW
J
v= = c o m
Wf = Módulo de resistência à flexão
σmax
J
vM max
vR
E σ=
v
JM .σ=⇒vE
R σ .
1= ⇒
J
vM .=σ⇒
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a) Seções simples
yL.Nh
by
x
Seções simples Tabelas de J ´s
2
2
32
2
22
3. .. .
h
hS
h
h
X
ybdyybdSyJ
−−
∫ ∫ ===
12
.3 hbJ Y =
12
. 3hbJ X =
Determinação de J de seções
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Seções simples Tabelas de J ´s
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c) Seções compostasc1) Teorema dos eixos paralelos ou de Steiner
dSyJJ XX .2+=′
OBS: x-x da figura pode não ser L.N. !
No exemplo acima:
x xa
b
c
ccca
ccbbba
bbaaxx hbhh
hbhbhh
hbhbJ ..2212
1....
2212
1..
12
1..
2
3
2
33
+++
+++=−
y
S
x
'x
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OBS: x-x da figura pode não ser L.N. !
c2) Soma de J’s
b1
h1
.2
∫=S
X dSyJ ( ) ( ) ( ) ...
2121
∫∫∫ +=± SSSS
dxxfdxxfdxxf
∑= iJJ
e
12
..2 11
I
hbJJ totalperfil −=
Referidos ao mesmo eixo !
JJ .2
1=
4
128
dJ
π=
x
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3.6- Tensão normal resultante de força normal e momento fletor
Princípio da superposição:
• Efeito de carregamento complexo é a soma de efeitos
de carregamentos simples.
• Válido para pequenas deformações em regime
elástico
MMP fyfx
≡l
P
P
M = P . l
P
P
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
xJ
My
J
M
S
P
Y
fy
X
fxX .. ++=σ
T
fy
T
X
fxZTtração x
Jy
My
J
M
S
P..max ++==− σσ
0.. =++ CyBxA
LN
⊕
-
T
C
Máxima tração
Máxima compressão
CG
Impondo σ = 0 :
(Equação da LN)
LN não passa pelo CG !
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C
B
O 2 2 5
+ 3 0 0
1 3 0
A
M f xM f y
[ N . m ]
Notar que os momentos Mfx e Mfy (como na figura acima) e as tensões normais
devidas a eles estão em planos diferentes, normais entre si (como na figura abaixo).
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
A
B
C
D
σNO
σFx
σFy
As tensões normais entretanto tem a mesma direção e portanto podem ser somadas.
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fyfxZxMyMP ..
++=σ Para σ = 0 � Equação da LN
⊕
-
C
T
b
b2
x
y
1bmxy +=
2bmxy +=
bmxy +=m
xy −=
LN
b1
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Pontos de tração e compressão máximas:
Y
fy
X
fxZ
JJS
P++=σ
...fx
XZ
Y
X
fx
fy
M
J
S
Px
J
J
M
My −
−=
Para σ = 0 � Equação da LN
−=
−=
⇒+=
fx
Z
fx
fy
MS
JPb
M
Mm
bxmy
.
. .
.
1
222
=+
−=
rxy
xm
y22
2
.1
rxxm
=+
−m
rx
11
22
+=
2
22
1 m
ry
+=⇒
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( ) : temos, ...1
como
resultante momento
. ..
1
1
. ..
1
1
22
22,
2
22
2
2
2
2
22,
2
22
2
2
2
2
++=
→+=
+±=
+=
−+
=
+±=
+=
−+
=
fyfxZ
fyfxR
fyfx
fx
CT
fyfx
fx
fx
fy
fxfy
fy
CT
fxfy
fy
fy
fx
xMyMJS
P
MMM
MM
rMyr
MM
Mr
M
My
MM
rMxr
MM
Mr
M
Mx
σ
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
para
= =
ou .
..
..
...
1
222
2222
⇒>
+=+=
+=
++=
++
++=
f
RZ
f
f
RZTR
ZT
R
RZ
R
fyfxZT
fyfx
fy
fy
fyfx
fx
fxZ
T
W
M
S
P
r
JW
W
M
S
PM
J
r
S
P
M
M
J
r
S
P
M
MM
J
r
S
P
MM
rMM
MM
rMM
JS
P
σσ
σ
σ
módulo de resistência à flexão
só tração ou só compressão
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3.7- Tensão de cisalhamento
a) Cisalhamento puro (“corte”)
S
Qm =τ
Q
Q
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• distribuição de τ não é uniforme sobre a seção transversal
• despreza-se flexão e normalQ
admadmm admσττ .60.0 a 55.0
)(=≤
admadmmadm
σττ .80.0)(
=≤
⇒
⇒
Fadiga
Estático
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b) Cisalhamento em flexão (efeito Q)
∫ =S
dQdS.τ
MS = Momento estáticoda seçãoJb
MQ S
.
.=τ
↑
↑↓
↓τdS
τdQ
τ
b
b.1- em uma viga de seção retangular
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
∫ ==2 22
2. .
h
y
h
y
S
P
ybdSyMh / 2
yP
b
Mb
yb h y
hS
y
h
= = −
2 81
22 22 2
..
..
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MS = A - B . y2 • Quadrática em y• Depende da forma da seção
τ
τ m a x
** A tensão de cisalhamento devido a cortante será máxima na linha neutra
(y=0) e nula na fibra externa (y=h/2), o inverso do que é observado nas
tensões normais devido a flexão, raramente um estado de tensão originará
situação de tensão no interior pior que o verificado nas fibras externas.
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• Depende da forma da seção
medhb
Q
h
y
hb
Qτττ .
2
3
..
2
3 ,
.21.
..
2
3max
2
retang ==
−=
τ m a x
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
SX
y
y
XX
X
M
MJ
MdSy
J
MT
dTdzdx
...
..
1
==
=
∫
τ
b.2- em uma eixo de seção circular
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
( ) S
S
S
SXdXX
XdXXX
SdXX
dXX
MdzJ
Qy
MJ
Qdz
MJ
dxQdTxdzdx
dxQdM
MJ
MMTTdT
MJ
MT
.1
.
..
..
..
:s temo. como
.
.
=
=
==
=
−=−=∴
=
++
++
τ
τ
τ
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
( )
( )
−=
−=
==
−===
==
∫
∫∫
Θ
Θ
2
2
22
4
44
222
1..3
41.
2.
.
2
.
64
.
22.
2...
...1
...1
.
r
y
r
Q
r
yr
r
Qy
rdJ
yr
J
Qy
J
Qdry
J
Qy
dydzydzJ
QdSy
dzJ
Q
r
y
r
y
r
y
r
y
ππτ
ππ
τ
τ
para seção circular:
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
−=
2
. 1.
.32
2
.
r
y
rrrr
my ττ
ππ
2max.3
4
r
Q
πτ =
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
Observações:
1. τ não é distribuído uniformemente e depende da forma da seção
2. Para ,( l = vão) τmax é 2% a 5% de σflexão
desprezível ! Se a teoria apresentada não vale !
5>h
l
3<l
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
desprezível ! Se a teoria apresentada não vale !
3. Em alguns casos somente se preocupa com τ na flexão.
Ex: colagem, rebites
4. Se a seção não é simétrica em relação a Py ,Q não se aplica no C.G. mas no
centro de torção T da seção.
3<h
l
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
Momento de Inércia de Torção (Polar) : J ou J
3.8- Tensão de cisalhamento devido ao Momento Torçor
( )
max
max ;
1.2
.
y
JW
W
M
EG
G
tt
t
t ==
+=
=
τ
υ
γτ
• Distribuição de τ não é linear em geral• empenamento (warp) em seções não-circulares
Mt
γ
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Momento de Inércia de Torção (Polar) : JT ou JZ
r
dS
x
y
∫=s
p dsrJ 2 CG O quando 222 ≡+= yxrmas
∫ ∫ ∫+== dSydSxdSrJ p .. 222
XYP JJJ +=⇒
∫=S
P dSrJ .2drrdS ..2 π=No caso do círculo : com
4
.2...22
0
42
∫ ==S
d
P
rdrrrJ ππ
32
. 4dJ P
π=⇒
Como YXP JJJ += eYX JJ =
64
. 4dJ círculo
π=
⇒
O
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
a) Seções circulares• Distribuição linear
16
. ,
32
. 34 dW
dJJJJ tYXpt
ππ==+==
b) Seções retangulares
2ou
2
12
.
12
.max
33 bhy
bhhbJt =+=
ττ
ymax = r
η τ.
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
• Nas faces: parábolas p/ h < 3bparábola achatada p/ h > 3b
Nieman) 3.1 (Ex tab. tabelados , ,
.menor face
..
.. , maior face
321
max1max
3
3
2
2max
→
=
=
==
ηηη
τητ
η
ητ
menor
t
t
t
t
hbJ
hbWW
M
•no inferior : não-linear
η τ.max
τmax
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
c) Seções compostas
( )
max
2
3
21
3
1
maxmax
.........3
1
.
b
JW
lblbJ
bJ
M
tt
t
t
t
=
++≅
τ
d) Tubos de paredes finas • Distribuição cte ao longo da espessura
τ
l1 ,b1
l2 ,b2
l3 ,b3
τ
τ
τ
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
• Distribuição cte ao longo da espessura
τµ
maxt
min
M
S s=
2. .
S µ = área interna do esqueleto
smin = espessura mínima
JS
s
W S sti
i
t min= =∑
42
2.. .
µµµ ;
τ
Si
ui
Esqueleto
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
Convenção de Sinal
x
y
AB
Tanto o plano de saída (direita) comoo de entrada (esquerda) giram nosentido horário (olhando de frentepara plano), portanto, momento torçorpositivo.
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos
t
t
JG
lM
.
. 0=θ
Ângulo de torção
rigidezdemóduloG
áreadepolarmomentosegundoJ
radianosemtorçãodeângulo
t
,
,
,θ
Potência (P) = Quantidade de energia / Unidade de tempo (P=Mt/ω ; P=F.υ)
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
)/(
)(
srad
WPM t ϖ
=)(
)(
60
21
s
radrpm
π=
WHP 6,7461 =
n
NM t 7130=
rpmemrotaçãon
KWempotênciaN
mNemtorçormomentoMonden
NM tt
=
=
== .:,9450
rpmemrotaçãon
HPempotênciaN
mNemtorçormomentoMonde t
=
=
= .:
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3.9- Tensão equivalente e tensão admissível
Peçareal
Modelo matemático
cálculosYZXZXY
ZYX
τττ
σσσ
,,
,,
critério de
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Se σeq ≤ σadm a peça não romperá !
Modelo matemático
0
,, IIIIII
=τ
σσσ
critério deresistência
Tensão equivalente : σeq
Tensão ideal : σi
Tensão de confronto : σv
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a) Estado simples de tensões
Tensão tangencial :
( )( )
( )
==
+==
ααατ
αασ α
.2.cos..
.2cos1..2
cos. 2
senF
senF
A
F
A
F Equaçõesparamétricas
do círculo
α
F
FsenαFcosα
F
F
A
F
τα σα
3.9.1- Estado de tensões
Tensão normal :
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Tensão tangencial : ( )
== ααατ α .2..2
cos.. senA
Fsen
A
Fdo círculo
Direção do plano onde atuam σ
αe τ
α
α
τα
2α
σα
σI
σ
τ
Círculo de Mohr
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b) Estado duplo de tensões
Equilíbriode
forças
τττ == yxxy
).2cos(.).2(.2
).2(.).2cos(.22
ατασσ
τ
ατασσσσ
σ
α
α
−−
=
+−
++
=
sen
sen
YX
XYYX
σx
σy
σy
σx
τyx
τyx
τxy
τxy
x
y
τxy
τxy
τα
σy
σx
σα
α
dA
dAsin αdAcos α
σσ +
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Direção do plano onde atua σx
Direção do plano onde atua σy
σ
τ
°45 α α2
Iσyx σσ −
IIσ
2
yx σσ +
ττ =xy
ττ =− yx
max
2
2
2ττ
σσ=+
− yx
Círculo de Mohryσ
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c) Estado triplo de tensõesσ I
σ II
σ III
σ I
σ II
σ III
σ III
IσIIσ σ
τ
IIσ σ
σ
IIIσ
IIIσ Iσ
τ
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
• Tensões principais
•Tensão tangencial máxima
•Ângulo dos planos principais
•Tensões em um ângulo qualquer
σσ σ σ σ
τI, II =+
±−
+X Y X Y
2 2
22
τσ σ
τm axX Y=
−
+
2
22
tan ( . ).
22
ατ
σ σ=
−X Y
σσ σ σ σ
α
τσ σ
α
X Y, . cos( . )
. sen( . )
=+
+−
=−
I II I II
I II
2 22
22
σ Iσ IIIIIσ
IσIIσ σ
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3.9.2. Círculos de Mohr para casos particulares de solicitações
• Barra tracionada
• Pressão hidrostática biaxial
45o
maxτ
σ
τ
Iσ
IσIσ
IIσ
IIσ
F Fσ I σ I
45o
maxτ
τ
III σσ =σ
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
• Eixo solicitado à torção
• Eixo solicitado à flexo-torção maxIII, ττσ ±=±=
2
2
max
2
2
III,2
; 22
τσ
ττσσ
σ +
=+
±= bbb
IσIIσ
σ
τmaxττ =
τT T
σ I
σ I σ II
σ II
45o 45o
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3.9.3. Critérios de resistência
Um componente mecânico, associado em conjunto a outros componentes, tem seucomportamento não tão bem delimitado e podem apresentar falha. São aplicadosCritérios de Resistências que se utilizam de conceitos de segurança para odimensionamento de componentes.
Resistência de uma peçamecânica (projeto)
Resistência da peça fabricada
� material;� tratamento térmico;
� quantidade do lote;� variações no processo;
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� tratamento térmico;� processamento.
� variações no processo;� acabamento superficial;� esforços na conformação;� combinações com outros
no conjunto.Utiliza-se de dados de corposde prova � mesmascondições de carregamento,fabricação, acabamento.
Falha
� quebra;� deformação permanente;
A falha depende de:� tipo de tensão (tração, compressão, cisalhamento);� tipo de carregamento (estático, dinâmico).
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Pelo círculo de Mohr, para tração pura aplicada lentamente, também há a existência deuma tensão de cisalhamento, cujo valor máximo é a metade da tensão normal.F
F
σ1
σxσ2σ3
ττττ
τ13
σσσσ
Pelo círculo de Mohr, para torção pura aplicada lentamente, também há a presença de
QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Pelo círculo de Mohr, para torção pura aplicada lentamente, também há a presença detensão normal cujo valor máximo é igual a tensão de cisalhamento.
σ1σ2σ3
ττττ
τxy
σσσσ
τxy
Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelassuas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensãonormal. Lembre que τadm ~0,8 σadm.
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Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
a) Descrição alternativa das tensões paraum eixo em torção, b) amostra de pedraarenosa após ensaio de torção
Fonte: POPOV EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. AMORELLI MOC. Ed. Edgard Blücher, 1978.
c)Torção em materiais de baixaresistência ao cisalhamento, quebraperpendicular ao eixo.
Acima: Ferro fundido cinzento, Abaixo: liga de alumínio 2024-T351
Fonte: Dowling NE. Mechanical Behavior ofMaterials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007.p.156.
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a) Máxima tensão normal
b) Máxima tensão tangencial (Tresca)
Dou I ZV K≤= σσKZ
KZKd
Kd|Kd| >KZ
Iσ
IIσ
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b) Máxima tensão tangencial (Tresca)
( ) KV ≤+±= III σσσ
IσIIσ0III =σ
σ
τ
IIσ Iσ σ
τ
Kd
Kd
KZ
KZIσ
KZ < |Kd|
IIσ
Dou I ZV K≤= σσ
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b) Máxima tensão tangencial (Tresca), explicada pelo círculo
de Mohr.
σ1
σ2
A
BC
D
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τmax
A
σ1 σ2σ1
B
σ2 σ2
C
σ1
σ1D
D
σ2D
σ1D= −σ2D=1/2σ1
σ3σ3
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c) Máxima energia de distorção (von Mises)
Elipse inclinada à 45o com semi-eixosK
K
.
. /
2
2 3
A energia total de deformação em uma peça carregada consiste em duas componentes:
uma devido ao carregamento hidrostático que muda seu volume; e outra devido a
distorção que muda sua forma.
A tensão de cisalhamento presente deve-se a parcela da energia de distorção.
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
( ) ( ) ( )2
IIII
2
IIIII
2
III.2
1σσσσσσσ −+−+−=V
2
IIIII
2
I . σσσσσ +−=V
Estado triplode tensões
Estado duplode tensões
K
K
K
K
Tensão
normal
Tensão de
cisalhamento
Iσ
IIσ
15% (dif.)
73% (dif.)
15% (dif.)
Energia de
distorção
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Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
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3.9.4. Casos estáticos
a) Tensão equivalente
z
y
x
σ
σ
σtensões principais
321 ,, σσσ ( ) ( ) ( )[ ]2
13
2
32
2
21.2
1σσσσσσσ −+−+−=e
Critério + usado p/ aço energia de distorção (von Mises)
eequivalent
admNσ
σ=segurança) de coef.(b)
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3.9.5. Casos de solicitação dinâmica (fadiga)a) Tensão equivalente Critério leva em conta a fadiga do material
( ) ( )
fadiga
fadiga
K
KtKfe
H
H
.lim
.lim
2
max
22
max
=
entalhede coef. = s
...
τ
σ
β
βτβσσ
′
+=
b) Tensão admissível fadigadeteoria →admσ
eequivalentσ
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3.9.6- Seleção para o critério de resistência
Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)
Fonte: SHIGLEY JE, Projeto de engenharia mecânica, Ed. Bookman, 7ed, 2005
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3.9.7. Aplicação dos critérios de resistência
• Eixo submetido à flexo-torção
• Círculo de Mohr
2
2
2
III,22
τσσ
σ +
±= ff
MtMt
Mf MfdA
dA
τfσ
fσ
τ
°45 α α2ττ =xy
maxτ
0=yσ
fx σσ =
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Critério de Resistência Tensão de Confronto (σv)
Máx. tensão normal
Máx. tensão tangencial
Máx. energia de distorção22
22
2
2
I
.3
.4
22
τσσ
τσσ
τσσ
σσ
+=
+=
+
+==
fV
fV
ff
V
2
2
max2
τσ
τ +
= fσ
°45 α α2
ττ =yx
fσ
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3.10. Referências
• Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007.
• Niemann G. Elementos de Máquinas, vol. I, Editora Edgard Blucher, 1991.
• Popov EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. Amorelli, M.O.C. Ed. Edgard Blücher, 1978.
• ShigleyJE, Mitchell LD. Projeto de Engenharia Mecânica, 7th ed., Bookman, Porto Alegre 2005.
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