ELEMENTOS DE MATEMÁTICA BÁSICA PARA CARRERAS UNIVERSITARIAS

TOMO II

Dr. C. ALBERTO RODRÍGUEZ RODRÍGUEZ. PhD.

Dr. C. JULIO C. PINO TARRAGÓ. PhD.

Ing. MARIBEL C. VÁSQUEZ PAUCAR. Mg.

Ing. MARCELA PINCAY PILAY. Mg.

Ing. MILTON CAÑARTE ÁVILA. Mg.

Ing. ÁNGEL PISCO GÓMEZ. Mg.

Ing. JIMMY GUTIÉRREZ GARCÍA. Mg.

Quedan todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, distribuida, comunicada públicamente o utilizada, total o parcialmente, sin previa autorización.

© del texto: los autores

ÁREA DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO, S.L.

C/ Els Alzamora, 17 - 03802 - ALCOY (ALICANTE) info@3ciencias.com

Primera edición: enero 2018

ISBN: 978-84-948074-2-8

DOI: http://dx.doi.org/10.17993/CcyLl.2018.13

Editorial Área de Innovación y Desarrollo,S.L.

Índice

CAPÍTULO I. LÓGICA MATEMÁTICA ................................................................................................................... 13

1.1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 13 1.1.1 OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 13 1.1.2 Conceptos Fundamentales .................................................................................................................. 13 1.1.3 Desarrollo de los conceptos fundamentales ........................................................................................ 14 1.1.4 Ejemplificando ..................................................................................................................................... 14 1.1.5 Respuestas ........................................................................................................................................... 14

1.2. TIPOS DE PROPOSICIONES ............................................................................................................................... 14 1.3. OPERADORES LÓGICOS: (LLAMADOS TAMBIÉN CONECTORES LÓGICOS) SON PALABRAS QUE SIRVEN PARA ENLAZAR

PROPOSICIONES SIMPLES O CAMBIAR EL VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN ................................................................... 15 1.4. TABLAS DE VALORES DE VERDAD ...................................................................................................................... 16 1.5. FUNCIONES Y POLINOMIOS BOOLEANOS. ........................................................................................................... 20 1.6. FUNCIONES BOOLEANAS ................................................................................................................................ 22 1.7. FUNCIONES CANÓNICAS MINTÉRMINOS Y MAXTÉRMINOS Y SUS CIRCUITOS LÓGICOS CORRESPONDIENTES EN SERIES Y EN

PARALELO. ................................................................................................................................................................ 23 1.8. MINI TÉRMINOS ........................................................................................................................................... 24

1.8.1 Forma canónica "suma de mini término"……………………………………………………………………………………..22

1.9. CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA ........................................................................................................................... 25

1.9.1 Maxi Términos……………………………………………………………………………………………………………….……………….23

1.10. FORMA CANÓNICA “PRODUCTO DE MAXITÉRMINOS” ........................................................................................... 26 1.11. APLICACIONES .............................................................................................................................................. 29

CAPÍTULO II GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO ............................................................................................... 39

2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................ 39 2.2 GEOMETRÍA PLANA ....................................................................................................................................... 40 2.3 FÓRMULAS BÁSICAS: ..................................................................................................................................... 40 2.4 INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS Y CURVAS ............................................................................................................. 41 2.5 EJEMPLOS ................................................................................................................................................... 41 2.6 ECUACIONES Y CARACTERÍSTICAS DE LA CIRCUNFERENCIA ...................................................................................... 43 2.7 EJEMPLOS ................................................................................................................................................... 43 2.8 FORO. - EJERCICIO PROPUESTOS ...................................................................................................................... 44 2.9 ECUACIONES Y CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA ............................................................................................... 45 2.10 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA ............................................................................................................. 46 2.11 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE V(H;K) .................................................................................................. 47 2.12 ECUACIONES Y CARACTERÍSTICAS DE LA ELIPSE..................................................................................................... 48 2.13 ECUACIONES Y CARACTERÍSTICAS DE LA HIPÉRBOLA .............................................................................................. 49 2.14 APLICACIÓN ................................................................................................................................................. 52 2.15 EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................................... 52 2.16 EVALUACIÓN DE LA SECCIÓN ........................................................................................................................... 53 2.17 EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA .................................................................................................................. 55 2.18 EJERCICIOS SOBRE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA ................................................................................................ 56 2.19 EJERCICIOS SOBRE ELIPSE ................................................................................................................................ 56 2.20 EJERCICIOS SOBRE HIPÉRBOLA .......................................................................................................................... 57 2.21 EJERCICIOS INTEGRADORES DE LAS DIFERENTES CURVAS DE SEGUNDO GRADO ............................................................ 58

CAPÍTULO III. NÚMEROS COMPLEJOS ................................................................................................................ 61

3.1 ¿QUÉ SON LOS NÚMEROS COMPLEJOS? .................................................................................................. 61 3.2 DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS .............................................................................................................. 62 3.3 FORMA TRIGONOMÉTRICA DEL NÚMERO COMPLEJO ............................................................................................. 63 3.4 DEFINICIÓN DOS NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................................................................ 65 3.5 ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS .................................................................................................................. 65 3.6 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS ........................................................................................................... 65

3.7 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS ....................................................................................................... 66 3.8 DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS .................................................................................................................. 66 3.9 POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS .................................................................................................. 67

3.9.1 Extracción de la raíz cuadrada de un número complejo .................................................................... 67 3.10 OPERACIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS DADOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA .................................................... 68 3.11 FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO ............................................................................................... 69 3.12 APLICACIONES .............................................................................................................................................. 69 3.13 SUBSECCIÓN. - EVALUACIÓN ........................................................................................................................... 70 3.14 EJERCICIOS PARA CALCULAR ............................................................................................................................ 71 3.15 RESPUESTA DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ..................................................... 72

CAPITULO IV. MATRICES, SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES ........................................................................... 73

4.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 73 4.2 CONCEPTO DE MATRIZ ................................................................................................................................... 73

4.2.1. Tipos de matrices ................................................................................................................................ 74 4.2.2. Propiedades de la suma de matrices .................................................................................................. 75 4.2.3. Productos entre matrices .................................................................................................................... 76

4.3 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE ....................................................................................................................... 77 4.4 REGLA DE SARRUS ......................................................................................................................................... 77 4.5 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES .............................................................................................................. 78 4.6 MATRIZ INVERSA .......................................................................................................................................... 79 4.7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................ 80

4.7.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales ........................................................................................................ 81 4.7.2. Resolución de sistema de ecuaciones lineales .................................................................................... 82

4.8 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES ............................................................................................................. 84

4.8.1 Clasificación de los sistemas de inecuaciones de dos variables…………………………………………………82

4.9 DEFINICIÓN DE INTERVALOS ............................................................................................................................ 85 4.10 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES ....................................................................................................................... 87 4.11 VALOR ABSOLUTO ........................................................................................................................................ 88 4.12 ECUACIONES CUADRÁTICAS ............................................................................................................................. 89

4.12.1 Gráfica de una ecuación cuadrática……………………………………………………………………………………………87

Ejemplo 2: Función Cuadrática con una Raíz Real ............................................................................................ 91 4.13 SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAÍCES.................................................................................................................... 92 4.14 PROBLEMAS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................ 95 4.15 SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICOS .......................................................................................................... 96 4.16 OPERACIONES CON MATRICES ......................................................................................................................... 97 4.17 APLICACIONES .............................................................................................................................................. 98 4.18 APLICACIONES DEL ALGORITMO DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ..................... 99 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ................................................................................. 99 4.19 APLICACIONES UTILIZANDO EL MÉTODO DE GAUSS ............................................................................................. 100 4.20 APLICACIONES DE LAS MATRICES .................................................................................................................... 101 4.21 EJERCICIOS PARA REPASO ............................................................................................................................. 103 4.22 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEALES ................................................................. 106 4.23 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS QUE CONDUCEN A ECUACIONES CUADRÁTICAS ......................................... 107 4.24 EVALUACIÓN .............................................................................................................................................. 108 4.25 EJERCICIOS Y PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES CUADRÁTICAS .............................................................................. 112

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................................................ 116

Índice de Tablas

Tabla 1: Orden de los operadores lógicos. .............................................................................................. 15

Tabla 2: Función Lógica OR. ..................................................................................................................... 20

Tabla 3: Función Lógica AND. .................................................................................................................. 21

Tabla 4: Complemento de los elementos. .............................................................................................. 21

Tabla 5: Funciones Booleanas. ................................................................................................................ 22

Tabla 6: Mini términos. ........................................................................................................................... 24

Tabla 7: Tabla de verdad. ........................................................................................................................ 24

Tabla 8: (a+b+c)=a ̅+ b*c. ........................................................................................................................ 28

Tabla 9: f(x,y,z)=x+y* z .̅ ........................................................................................................................... 29

Tabla 10: f(x,y,z)=x+y ̅ *z. ......................................................................................................................... 29

Tabla 11: Ejemplos de aplicaciones. ........................................................................................................ 30

Índice de Figuras

Figura 1: Funciones Booleanas. ...................................................................................................... 23

Figura 2: Circuito Lógico. ................................................................................................................ 23

Figura 3: Maxi términos. ................................................................................................................ 25

Figura 4: Funciones booleanas. ...................................................................................................... 27

Figura 5: Represente gráficamente los siguientes postulados.......................................................... 28

Figura 6: Gráfica de los circuitos OR. .............................................................................................. 31

Figura 7: Gráfica de los circuitos AND. ............................................................................................ 32

Figura 8: Conjuntos no vacíos. ....................................................................................................... 38

Figura 9: gráfica 3.1. ...................................................................................................................... 86

Figura 10: grafica 3.2. .................................................................................................................... 86

Figura 11: grafica 3.3. .................................................................................................................... 86

Figura 12: grafica 3.4. .................................................................................................................... 86

Figura 13: grafica 3.5. .................................................................................................................... 87

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PRÓLOGO

La Matemática es de las ciencias más antiguas, nacidas en la aurora de la civilización humana bajo la influencia de las crecientes necesidades prácticas, sociales, científicas y tecnológicas. El estudio lógico-histórico del desarrollo de la Matemática, define un armonioso sistema lógico-abstracto capaz de integrarse al complejo sistema de conocimientos científico-tecnológicos definido por otras ciencias (naturales, técnicas, sociales), que al emplear las teorías y los métodos de la Matemática, le plantean a ella nuevos problemas que estimulan su estudio, y cuyas soluciones contribuyen a su autodesarrollo.

La educación en nuestros días dirigida al logro de competencias, habilidades y la formación de valores, enfrenta a la comunidad científica (matemáticos, psicólogos, pedagogos y educadores matemáticos, entre otros) a complejas interrogantes: ¿Para quién enseñamos Matemática? ¿Qué Matemática enseñar?, ¿Cómo enseñar Matemática? ¿Cómo aprender Matemática?

Al intentar dar respuesta a las interrogantes presentadas, aparece la dicotomía: contextualizar la Matemática sin que su carácter lógico-abstracto, de generalización y rigor se debilite.

A lo anterior se une la diversidad de los estudiantes que comienzan sus estudios universitarios, relativo a: procedencia social y características del nivel de la enseñanza precedente. Lo anterior define dos planos de dificultades: el de los estudiantes, porque no es posible garantizarles ciertos parámetros comunes para su formación; y el de los docentes, porque dificulta el intercambio y la comunicación de experiencias pedagógicas.

La obra que se presenta tiene entre sus objetivos unificar el nivel en Matemática de los estudiantes que comienzan sus estudios universitarios, esperamos que el texto sirva de ayuda complementaria a todos aquellos estudiantes que se enfrentan a la resolución de problemas que requieran el uso de temas de nivel básico en Matemática, los que en dependencia de la especialidad se enfrentarán al estudio de disciplinas de Matemática Superior y de Matemática aplicada.

En la elaboración de este libro “Elementos de Matemática Básica para Carreras Universitarias, tomo II”, se tuvieron en cuenta, entre otros, los aspectos siguientes:

La contextualización de los contenidos matemáticos en la práctica, al considerar los principios didácticos del proceso enseñanza-aprendizaje y las relaciones interdisciplinarias con materias a las cuales la Matemática sirve de base.

Se establece un lenguaje claro, preciso, cercano y ameno que, sin perder el rigor científico, le permite al estudiante apropiarse de la base teórico-conceptual necesaria a través de ilustraciones y ejemplos demostrativos para enfrentarse a la resolución de variados ejercicios propuestos que garantizan la ejercitación y sistematización de los contenidos.

La obra también puede ser usada en temas seleccionados de profundización para los cursos del bachillerato.

Esperamos que esta segunda edición complemente la primera y contribuya a mejorar las experiencias del aprendizaje sistemático de las matemáticas a un nivel básico. Agradeceremos todos los aportes que puedan hacernos para, a su vez, mejorar este instrumento didáctico, así como las próximas ediciones.

LOS AUTORES

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CAPÍTULO I. LÓGICA MATEMÁTICA

1.1. INTRODUCCIÓN

Este módulo aporta los conocimientos matemáticos para entender, inferir, aplicar y desarrollar modelos matemáticos tendientes a resolver problemas en el área de las ciencias. El estudiante resolverá problemas utilizando las técnicas básicas de lógica proposicional, recurriendo a sus leyes y diagramas.

Las unidades temáticas que se despliegan en este módulo, tienen carácter teórico-práctico, pues contribuyen a lograr una interrelación apropiada entre la dirección racional y emocional del comportamiento de los estudiantes, desarrollan rasgos del carácter y hábitos del pensar, estimulan la movilidad de los procesos del pensamiento, favorecen la coherencia y precisión al expresar una idea del lenguaje común al matemático y viceversa y capacitan para la valoración crítica del trabajo, tanto propio como de sus condiscípulos.

Es importante, desde la definición de las proposiciones lógicas, contextualizar el contenido con los procesos vitales-escolares y propiciar la lectura de conceptos y relaciones de la Lógica Proposicional con las demás ciencias. A partir de las proposiciones y su valor de verdad, se desarrollan las operaciones lógicas básicas tales como: la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional, el bicondicional, para concluir si se trata de tautologías, contradicciones o contingencias.

Se introduce el Álgebra Binaria de Boole, con el objetivo de analizar de manera simple y en forma alfanumérica las actividades u operaciones diarias; donde las actividades o elementos que intervienen en un proceso (y que tienen cada uno de ellos dos alternativas, como estar energizados o no, estar en óptimas condiciones o no, entre otros), son reemplazados en una ecuación y son representados por símbolos numéricos o alfanuméricos que permiten la construcción de circuitos lógicos.

1.1.1 OBJETIVOS

Resolver problemas utilizando las técnicas básicas de la lógica matemática.

Desarrollar el razonamiento lógico para emplearlo en la demostración de teoremas de las ciencias.

Resolver circuitos lógicos en serie y paralelo por medio de Lógica Matemática.

1.1.2 Conceptos Fundamentales

Dentro del módulo se abordarán los siguientes conceptos y definiciones:

Lógica Matemática:

1.1. Proposiciones

1.2. Operadores lógicos

1.3. Orden de los operadores lógicos

1.4. Tablas de verdad

1.5. Tautología, contradicción y contingencia

1.6. Equivalencia e implicación lógica

1.7. Leyes del álgebra de las proposiciones y aplicaciones.

1.8. Funciones y polinomios booleanos.

1.9. Funciones canónicas mintérminos y maxtérminos y sus circuitos lógicos correspondientes en series. y en paralelo.