Elementos Finitos y B-Splines en Problemas Elípticos Semilineales

Pedro C. Espinoza Haropcesp@correo.ulime.edu.pe

Universidad de Lima Facultad de Ingeniería de Sistemas

Lima - Perú

Introducción• En el curso de Gráficos por Computadora, de la

Facultad de Ingeniería de Sistemas, de la Universidad de Lima, se desarrollan, entre otros temas, los fundamentos matemáticos, los algoritmos y códigos de las curvas de Bezier y de la curvas con B-Splines, para explicar las tecnologías inherentes al CAD, CAGD entre otros.

• Klaus Höllig [2] “Finite Element Methods whit B-Splines” SIAM, Frontiers in Appl. Matah. 2003.

En este trabajo se explora por los métodos de Elementos Finitos (EF) y los B-Splines (BS) la solución aproximada del problema de Dirichlet,

(1) donde la función f(s) es: a) Localmente Lipchitziana, con un número finito de ceros singulares:

enuenxufxu

0))(()(

• b) Tiene la condición del área positiva, es decir la función es positiva en

y la integral sobre los intervalos: …..etc. son positivas.

],0[ 1s],[ 31 ss

],[ 53 ss

• 1. Polinomios interpolantes de una variable.

• Bases: polinomios de Lagrange.

En el caso unidimensional, los análogos discretos obtenidos mediante EF lineales y BS de orden k=2, son exactamente los mismos y se muestra la existencia de la solución para este caso. Para los EF cuadráticos y los BS de orden k=3, los modelos discretos cambian radicalmente. Se explora estos últimos casos. También para regiones en el plano.

• Ejemplo 2• Para tres nodos , los polinomios (base) de

Lagrange son:

20

2

10

10 tt

txtttx

xL

21

2

01

01 tt

txtttxxL

12

1

02

02 tt

txtttxxL

• 1.2 Para cada sucesión de nodos , se tiene los polinomios de Lagrange:

nttt ....10

.....,,1,0;0

nktttx

xLjk

jn

kjjk

2. Elementos Finitos Unidimensionales2.1 Base: dado un h>0 , se definen:

casosotrosen

hxhhx

x,0

0,)0()(

)(0

casootrosen

hxhhhhx

hxhx

x

,0

2,2)2(

0,00

)(1

2.2 Base del espacio de Elementos Finitos cuadráticos

casosotrosen

hxhhh

hxxx

,0

0,)2/)(02/(

))(0()(1

casosotrosen

hxhhhhhhxhx

hxhhhhxx

x

,0

2,)2)(2/3()2)(2/3(

0,)2/)(0()2/)(0(

)(2

3. Elementos Finitos BidimensionalesRectangulares3.1 Los nodos son el producto cartesiano de losde una dimensión con La base de los EF asociados a estos nodoses

El espacio de polinomios es el producto tensorial

)],[()( ji ttn nji ,......,0,

njiyLxLyxL jiji ,.......,0,,)()(),(,

)()( yx nn

Elementos Finitos bidimensionales rectangulares

4. Funciones B-Spline de orden k, de una variable4.1 Son funciones formadas por trozos de polinomios de un mismo grado, continuamente acopladas y definidas a partir de un conjunto de números reales o nodos:

mkmkmkk ttttttt ............ 21110

)()()( 1,11

1,1

, xBttxtxB

tttxxB ki

iki

kiki

iki

iki

)()(1,[1, xxB

ii tti

5. B-Splines Bidimensionales de ordenk=3Mallado es el producto cartesiano de lasmallas unidimensionales:B_Splines bidimensionales asociada a estosnodos

)],[()( ji ttn

njiyBxByxB jiji ,.......,0,,)()(),(,

El espacio de las funciones B_Spline generado por esta base será el productotensorial y su dimensión )()( yx kk

6. Problema de frontera EípticoSemilinealLa forma débil del problema (1) es

(2)

La aproximación de la solución débil de (2)por EF o BS, se hace con un espacio aprox

)(,)( 10

Hvvufvu

)(,...., 101 HGenV nn

Donde se busca un quesatisfaga la ecuación

(3)

Elegida una base del espacio aproximante , elproblema (3) se reduce a resolver el siguiente sistema de ecuaciones (Análogo discreto de (1))

(4)

n

1iiih xu

nkufu khkh ,....,2,1,)(.

nx,)x(f~hAx

es un vector n-dimensional cuya k-ésima componente es:

El análogo discreto (4) es mucho más complejo que el análogo discreto obtenido por diferencias finitas Espinoza( [5] ).

• Los métodos empleados para el análisis de un análogo discreto dependen de f(s) y de la discretización elegida.

dxxfdxxfxf k

n

ikiik )()()(~

1

)x(f~

• El análogo discreto de (4) por Diferencias Finitas, estudiado por Peitgen, Saupe y Schmitt ([8]) en el contexto de las teorías del Grado Topológico y de las Bifurcaciones Globales.

• Diferencias finitas, Métodos Variacionales puede verse en Espinoza ([5]).

• El análogo discreto por Elementos Finitos es abordado por Glowinski ([7]) haciendo uso de métodos Variacionales cuando f es una función no decreciente y que se anula en 0.

Ciarlet, Schultz y Varga ([3]) emplean la teoría deOperadores Monótonos, pero cuando f tienederivada cont. con constantes de Lipschitzianidadque dependen del primer autovalor del operadorLaplaciano.En este trabajo, A es una M-Matriz y sese hace uso de los Métodos Variacionales paraestudiar la existencia de la soluciones de (4),determinando que existen soluciones concomponentes estrictamente positivas y conmáximo valor en cada intervalo abierto.

Proposición 1.7Sea f como en (1) y

Entonces toda solución x de (4) tiene

componentes positivas y está en

6,6,)s(g/Sminh 1m231

2

[,s[]s,s[....]s,s[]s,s[||x|| 1m2m21m24321

• BIBLIOGRAFIA:• [1] A. Ambrosetti y P- Hess. “Positive solutions of

Asymptotically linear elliptic eigenvalue problems". Math. Anal. Appl. 73 (1980) 411-422.

• [2] AK. J. Brown y H. Budin. “On the existence of positive solutions for a class of semi linear elliptic boundary value problems” SIAM J. Math Anal. Vol. 10, Nº 5, (1979) 876-883.

• [3] P.G. Ciarlet, M. H. Schultz y R.S. Varga “Numerical Methods of High-Order accuracy for Non Linear Boundary Value Problems#. Numer. Math 13 (1969) 51-77.

• [4] E.N. Dancer y K. Schimitt. “On positive solutions of semilinear elliptic equations” (Pre-print).

[5] P.C. Espinoza Positive-ordered solutions of a discrete analogue of a nonlinear elliptic eigenvalue problems,

SIAMJ. Numer. Anal. Vol. 31, N°3 (1994) 760-767. [6] D.G. de Figueiredo “On the uniquenes of positives solutions of the Dirichlet problem for se Nonl. Partial Diff. Equations and Appl. Vol 7 (1989) p.p. 80-83. H. Brezzis and J. Lions (editors) Pitman London

[7] R.Glowinski “Numerical Method for Non Linear Variational Problems “Springer-Verlag, 1984.

[8]H. O. Peitgen, D. Saupe y K. Schmitt “ Nonlinear elliptic boundary problems versus their finite aproximation: numerically irrelevant solutions” J. Reine Angew Mathematik 322 (1981) 74-117.

[9] J.Sshroder “M-matrices and generalizations using and operator theory approach” SIAM Review 20(1978) 213-244.

[10] ] R.S. Varga “Matirk iterative Analysis” Engle wood Cliffs. New Jersey 1962.