eléments de mécanique des - hece.ulg.ac.be et coup de belier 09-10.… · 31/03/2010 4 7 • en...

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1

1

Eléments de Mécanique des Fluides

.be

q

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

• Intérêt des écoulements en conduites– Aspects stationnaires

– Aspects instationnaires

• Etablissement des équations moyennes instationnaires selon un

Objectifs de la séance

.be

Etablissement des équations moyennes instationnaires selon un axe dominant

• Analyse des propriétés physiques du système

• Compréhension des phénomènes par la méthode des caractéristiques

• Illustrations du phénomène de coup de bélier


http://w

ww.hach.ulg.ac. – Accidents et effets induits

– Systèmes de protection

– Utilité pour le pompage sans énergie complémentaire

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2

3

• Les écoulements en conduites sont d’une importance majeure pour la plupart des processus industriels mais également pour les besoins de la population (distribution eau, assainissement, …) et l’agriculture (drainage, irrigation, …)

Ecoulements en conduites.be

l agriculture (drainage, irrigation, …)

• Ecoulements sous pression ou à surface libre


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Adduction eau 1894 - Bretagne Centrale thermique

4

• Matériaux variés (béton, fonte, acier inox, terre cuite, PVC, …)

Ecoulements en conduites

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

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3

5

• Dimensions variées (quelques mm à plusieurs mètres)


Moteur BMW bi-turbos

.be

Tunnel de stockage des eaux de pluies (6 8 2 k )

Puits blindé (Cleuson-Dixence)


http://w

ww.hach.ulg.ac. pluies (6,8 m x 2 km)

6

• En stationnaire, le problème principal réside dans l’évaluation des pertes de charge– En long

– Singulières (changements de section, changements de direction,


.be

S gu è es (c a ge e ts de sect o , c a ge e ts de d ect o ,organes et pièces diverses)


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ww.hach.ulg.ac.

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4

7

• En instationnaire, le problème majeur réside dans les fluctuations de pression et de débit à haute fréquence (coup de bélier)



http://w

ww.hach.ulg.ac.

8

• Dans des conditions d’écoulement mixte (surface libre – en charge), la transition peut amener des difficultés particulières


.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

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5

9

• Les structures sont soumises à des efforts cycliques très importants fatigue des matériaux Ex. : accident de août 2009 (Russie)



http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

• En stationnaire– Les développements sur la couche limite permettent d’évaluer les

pertes en long

– Pour les pertes singulières, l’approche expérimentale reste la


.be

seule valable pour les géométries complexes ( cours sur les similitudes)

• En instationnaire, comment évaluer les pressions et la dynamique de l’écoulement ?– Approche intégrée sur la section


http://w

ww.hach.ulg.ac. – Prise en compte de la compressibilité et de la déformabilité des

tuyaux

– Compréhension physique par la méthode des caractéristiques

• Utilisation de ces principes dans le « TP Bélier »

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6

11Equations instationnaires intégrées sur la section

• Démarche:– Utilisation des deux premiers principes de l’hydraulique sur un

volume particulaire

.be

• Hypothèses :– Écoulement principal selon l’axe ox

– Vitesse uniforme sur la section (écoulement pleinement turbulent)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

12

Equations instationnaires intégrées sur la section ‐ continuité

• Le premier principe exprime la conservation de la masse (grandeur extensive)

0dm

dt

.be

• Rappel : principe valable pour un volume de contrôle se déplaçant avec les particules de fluide (référentiel Lagrangien)

• Il peut donc s’exprimer sous la forme d’une conservation de la grandeur intensive associée (masse volumique)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0fluideV

dm ddV

dt dt

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7

13

• Le passage en référentiel Eulérien s’exprime comme :


fluide fixe fixeV V S

d DdV dV U n dS

dt Dt

.be

• Où par Green :

• Le repère fixe ne dépend plus du temps, la dérivée particulaire peut donc entrer sous le signe intégral

fluide fixe fixeV V S

fixe fixeS V

U n dS U dV


http://w

ww.hach.ulg.ac.

repère fixe

0fixe fixeV V x A A

D DdV U dV dA U dA

Dt Dt

14

• Utilisation de l’hypothèse sur le champ de vitesse


0 , vitesse uniforme sur la section

0

x

x

u u

U v v w u

.be

• En développant le terme de dérivée particulaire

0

xAu

x xx

x x x

u uDA A A A QA dx u A dx dx

Dt x t x x t x

0w


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Le volume de contrôle est quelconque

0A Q

t x

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8

15Equations instationnaires intégrées sur la section ‐ QM

• Le deuxième principe exprime la conservation de quantité de mouvement

, ,i

d mUF pression gravité frottement

dt

.be

• Avec les variables intensives équivalentes

Et è E lé i

fluideV

d mU DUdV

dt Dt


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Et en repère Eulérien :

fixe fixeV S

DUdV U U n dS

Dt

fixe fixeS V

U U n dS U U dV

16

D DUdV U U dV UdA U U dA

Equations instationnaires intégrées sur la section ‐ QM

• Grâce à l’hypothèse sur le champ de vitesse, le membre de gauche s’exprime comme :

.be

repère fixe

0 , vitesse uniforme sur la section

0

fixe fixeV V x A A

x

x

UdV U U dV Ud U U dDt Dt

u u

U v v w u

w


http://w

ww.hach.ulg.ac.

selon x x xx

x x

DA u u u QQA u dx dx x

Dt x t x

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9

17

• Le membre de droite vaut quant à lui :– Force volumique (gravité) : 0

0G

Equations instationnaires intégrées sur la section ‐ QM.be

– Pression scalaire : p g

fixe fixeV S

GdV pndS


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x A

G p dA dx

18

• Les équations selon y et z donnent :

– selon y : pression indépendante de y


0p

y

.be

– selon z : équilibre entre pression et gravité

Pour un fluide barotrope

Exemples :

•

• Relation d’état : Coefficient de compressibilité isentropique

dp

gdzp

pg

z

f p p gz


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p p q

fluide barotrope

Avec T la température, S l’entropie, V le volume

1 1

1

K p

TdV dS Vdp

K

0

0

1 p p

Kd

dp eK

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10

19

• L’équation de QM selon x exprime :


xu QQ pdx A dx

t x x

.be

x xt x x

0xu QQ pA

t x x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

20

• Système final, en enlevant les signes de moyenne pour plus de lisibilité

– Variables , Q, A, p

Equations instationnaires intégrées sur la section

0A Q

t x

.be

– Variables , u, A, p

0

t xQ uQ p

At x x

0A Au


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

0

t x

Au Au pA

t x x

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11

21

• Système final– 4 variables

– 2 équations

Equations instationnaires intégrées sur la section.be

• Il faut 2 relations complémentaires pour que le système soit fermé

Liaison structurelle entre p et A

Liaison entre et p (relation d’état)


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Les pertes sont exprimées globalement par une fonction

ne dépendant que de la vitesse moyenne et des propriétés géométriques

22

• Utilisons la pression et la vitesse comme inconnues principales– Transformation de l’équation de continuité :

Ecoulements compressibles 1D

0A Au

.be

►

▼

0t x

0A A u

A Au u At t x x x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0A p A p u

A Au u Ap p t p p x x

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12

23

• Utilisation de la pression et de la vitesse comme inconnues principales

– Transformation de l’équation de continuité :


A p A p u

.be

On définit :2

1 d

dpc

r=

2w

1 dA

A dpc

r=

2 2 2

1 1 1

eff wc c c

= +

compressibilité du fluide

déformabilité de la paroi

0A p A p u

A A u Ap A p t p A p x x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

►

►

déformabilité de la paroi

2 2 2 2

1 1 1 10

w w

p p uu

c c t c c x x

2 0eff

p p uu c

t x x

24

• Utilisation de la pression et de la vitesse comme inconnues principales

– Transformation de l’équation de quantité de mouvement :


2Au Au p

.be

0Au Au p

At x x

0A u Au u p

u A u Au At t x x x


http://w

ww.hach.ulg.ac. = 0 par continuité

►1

0u u p

ut x x

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13

25

• Système à résoudre (inconnues continûment dérivables, en l’absence de perte) :


2 0eff

p p uu c

.be

• Sous forme matricielle :

10

efft x xu u p

ut x x

2


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2

01effu c

p p

u uut x

26

• Coefficient de compressibilité isentropique

Formulations déduites

2

1 1 1

eff

dA

c K A dp

1 1

K p

.be

• Vitesse du son

• Vitesse du son dans un fluide incompressible

2 1

ap

p

2a


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Exemple : compressibilité de l’eau à 20°C (K) : 2,05 [GN/m²] = 2050 MPa

masse volumique de l’eau à 20 °C : 998,203 [kg/m³]

vitesse du son dans l’eau : 1433 [m/s]

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14

27

• Célérité des ondes dans un fluide compressible en section indéformable

Formulations déduites

22

3

0

1 1 110 m/seff

eff

dA Kc

c K A dp K

.be

• Célérité des ondes dans un fluide incompressible à surface libre

22

0

1 1 1

effeff

dA dAAg

cc K A d

zp

p A dpdA

g dz


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Exemple : section rectangulaire A = Lz où z est la hauteur d’eau et L la largeur [m]

2 1 10 m/seffc gdA

zLdz

28

• Déformation des tuyauteries : applications usuelles en tubes minces formule des « chaudières »

E l d l d Y [L4]

Approche usuelle d’interaction fluide‐structure

.be

• E le module de Young [L4]

• D0 le diamètre intérieur [L]

• la section (variable en fonction de la pression) [L²]

• e l’épaisseur de la paroi [L]

2pr dr r

E eE dp eE


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 202

ADdA d r dr dA rr D

dp dp dp dp eE eE

E eE dp eE

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15

29

• Expression usuelle des équations :

Approche usuelle

0

01

1p p u

uDt x x

.be

• Système d’équations « hyperboliques »

• Représente le transport des variables u,p dans le système x,t

10

eE

u u pu

t

K

x x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Comment « visualiser » ce transport ?

30

• Considérons :

Classification des équations

2 2 2

2 2

u u u u ua b c d e fu g

x x y y x y

,u x y

.be

• On dit que l’équation est :

– Hyperbolique 2 4 0b ac Basé sur la classification


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Parabolique

– Elliptique

2 4 0b ac

2 4 0b ac

2 0ax bxy cy dx ey f

des coniques du plan :

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16

31

• Exemples :

– Hyperbolique

Classification des équations

2 22

2 20 équation des ondes

u u

x y

2 24 4 0b ac

.be

– Parabolique

– Elliptique

• Pour un point P(x,y) :

2 4 0b ac

2 4 4 0b ac

2

20 équation de la chaleur

u u

y x

2 2

2 20 équation de Laplace

u u

x y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p ( ,y)– Quelle zone de l’espace (x,y) influence P ?

– Quelle zone de l’espace (x,y) est dépendante de P ?

32

Méthode des caractéristiques

.be

q


http://w

ww.hach.ulg.ac.

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17

33

• But de la méthode :

– Visualiser le transport physique des propriétés

• Démarche :

Méthode des caractéristiques.be

– Faire apparaître dans les équations des dérivées totales de variables

• Domaine d’application :

– Champs de solutions continus

– Equations hyperboliques


http://w

ww.hach.ulg.ac.

34

Supposons sa forme quasi-linéaire

Exemple simplifié unidimensionnel :

Introduction à la méthode des caractéristiques

0

f hh

t x

0 avech h f

a a

.be

pp q

En toute généralité, h est un champ h=h(x, t) avec x, t des variables indépendantes.

Mais si on choisit de lier x et t par une trajectoire particulière, alors (t) h h( (t) t) t h d i t f ti é d l l

0 avec a at x h


http://w

ww.hach.ulg.ac. x=x(t), h=h(x(t),t) et h devient fonction composée de la seule

variable t (vision du champ h uniquement au point instantané x(t))

,

x t

dh x t h h dx

dt t x dt

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18

35

Si nous « embarquons » sur cette trajectoire précise pour regarder


dxc

dt

Définissons ce « chemin » par lequel nous « voyons » h=f(t) par :

.be Et pour on retrouve la notion de dérivée particulaire,

Si nous « embarquons » sur cette trajectoire précise pour regarder la variation de h avec le temps :

( ),( ) avec a

x t t

dh x t t h h h fc c a

dt t x x h

c u


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p p ,c’est-à-dire la façon dont une particule « vit » le changement de h sur sa trajectoire :

( ( ), )

x t

dh x t t h hu

dt t x

36

Si

on trouve comme résultat sur cette trajectoire :


0dh

c a

.be

on trouve comme résultat sur cette trajectoire :

la quantité h est perçue sans modification sur cette trajectoire.

Conclusion :

0dt


http://w

ww.hach.ulg.ac. En se déplaçant de façon particulière dans l’espace-temps,

certaines propriétés apparaissent conservées et le phénomène devient « plus compréhensible »

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19

37Equation de transport élémentaire

0 0h h

ct x

0solution : h( - )x c t

.be

fff(x)c0

f


http://w

ww.hach.ulg.ac.

38

Equation de transport élémentaire

t

0h h

ct x

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

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20

39

Soit un système à 2 inconnues « isolées » écrit sous forme quasi-linéaire :

Généralisation de la théorie des caractéristiques

h h dh d

.be

Devient :

1 11

2 22

0

0

h ha

t xh h

at x

11

22

0 le long de

0 le long de

dh dxa

dt dtdh dx

adt dt


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Chaque inconnue hi mène sa propre vie pour se propager et le résultat complet en tout point dépend de la propagation des deux inconnues évaluées sur leur propre famille de caractéristiques

40

Soit un système à 2 inconnues « liées » écrit la forme quasi-linéaire suivante :

Généralisation de la théorie des caractéristiques

Les wi sont appelés invariants de 1 1 2 1 1 2

1

( , ) ( , )0

w h h w h hc

t x

.be

Devient :

i ppRiemann du problème

2 1 2 2 1 22

( , ) ( , )0

w h h w h hc

t x

1 1 21

2 1 22

( , )0 le long de

( , )0 le long de

dw h h dxc

dt dtdw h h dx

cdt dt


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Chaque inconnue wi, combinaison des inconnues primaires h1 , h2

mène sa propre vie pour se propager . Le résultat complet h1 , h2 en tout point dépend de leur recomposion après propagation des deux inconnues wi évaluées sur leur propre famille de caractéristiques

dt dt

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21

41

wwww1(h1,h2)

1c

Système de deux équations à deux inconnues : 2 caractéristiques.beh2)h2)h2) w2(h1,h2)

2c


http://w

ww.hach.ulg.ac.2

)2)2) 2( 1 2)

42

Représentations possibles de deux familles de caractéristiques

t

W2(h1,h2)=cste

.be

W1(h1,h2)=cste


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

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22

43

1c2c

Système de deux équations à deux inconnues : 2 caractéristiques.be

w1(h1,h2)w2(h1,h2)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

44

t

Représentations possibles de deux familles de caractéristiques

W2(h1,h2)=cste

.be

W1(h1,h2)=cste


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

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23

45

Comment passer d’un système « lié » en terme de (h1 , h2)

Découplage des équations par combinaison linéaire

1 1 211 12 0

h h ha a

t x xh h h

1 11 12 1 0h a a h

h a a ht x

æ ö æ ö æ ö¶ ¶÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç¶ ¶÷ ÷ ÷ç ç ç

.be

à un système

2 1 221 22 0

h h ha a

t x x

1 1 2 1 1 21

2 1 2 2 1 22

( , ) ( , )0

( , ) ( , )0

w h h w h hc

t xw h h w h h

ct x

2 21 22 2

A

h a a ht xç ç ç¶ ¶÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Choisir comme nouveau système deux combinaisons linéairement indépendantes des deux équations initiales

t x

propice à une formulation avec des différentielles totales ?

46


1 1 2 2 1 211 12 21 22 0 i i

h h h h h ha a a a

t x x t x x

Ecrivons deux combinaisons (i=1,2)

.be

Choix de deux combinaisons linéairement indépendantes

1 1 2 211 21 12 22 0

i i i

h h h ha a a a

t x t x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1 211 21 12 22

10 si

i i

i

dh dh dxa a a a

dt dt dt

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24

47

Choix de deux valeurs de


1 211 21 12 22

10 si i i i

i

dh dh dxa a a a

dt dt dt

ii

.be

Deux interprétations : • Soit résolution d’une équation du second degré de à racines

réelles, nulles ou imaginaires

• Soit résolution d’un système aux valeurs propres (i) et vecteurs

i

221 11 22 12 0i ia a a a

i


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Soit résolution d un système aux valeurs propres (i) et vecteurs propres ()i

11 1 1 21 1

12 2 22 2 2

0

0

a a

a a

1

1

11 12 2 1 1 2 1

21 22 2 1 2 2 1

0

0W D WA

a a

a a

48

• Conclusion :


1 21 2 1 20 i i ii i i

d h h dwdh dh dh dh

dt dt dt dt dt dt

Si et constants

.be

le long des courbes caractéristiques définies par

• Si i est constant, on obtient :

i

dx

dt


http://w

ww.hach.ulg.ac.

i

sur1 2 cstih h i

dx

dt

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25

49

Cours « Algèbre : Calcul matriciel et algèbre linéaire » pp 82 et suivantes

• Soit la matrice

• Le problème aux valeurs propres et vecteurs propres revient à écrire

où x est un vecteur propre et la valeur propre associée

Rappel d’algèbre : valeurs propres et vecteurs propres

A

Ax x

.be

où x est un vecteur propre et la valeur propre associée

• L’ensemble des valeurs propres est appelée le spectre de A

• Le module de la plus grande des valeurs propres est le rayon spectral

• Le système peut encore s’écrire

• Les valeurs propres sont déterminées en résolvant

Ax x

0A I x

det 0A I


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Les vecteurs propres correspondants à des valeurs propres différentes sont linéairement indépendants

• Les vecteurs propres linéairement indépendants W constituent ainsi une « transformation de similitude »

1iW AW D diag AW WD

1 1avec =matrice des cofacteurs

detTW W

W

50

• Soir un système hyperbolique de deux équations à deux inconnues

Découplage des équations par calcul matriciel

1 1 211 12

2 1 221 22

0

0

h h ha a

t x xh h h

a at x x

1 11 12 1

2 21 22 2

0

A

h a a h

h a a ht x

æ ö æ ö æ ö¶ ¶÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç¶ ¶÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

.be

• La matrice convective peut s’écrire par définition des valeurs propres et vecteurs propres

• Ce qui permet d’écrire le système :

1A WDW

1 1h h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Et pour W constant, le système est découplé :

1 11 1

2 2

0h h

W DWh ht x

1 1 11 1

2 2 2

00

0

h hW W

h ht x

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26

51

• Les calculs mènent à

Découplage des équations

2 1

2 1

W

1 11 1W

.be

• Si W constant2 2det

WW

1 1 1 1 1 1 1 2 11

2 2 2 2 2 1 2 2 2

1 1 1

det det det

h h h h wW

h h h h wW W W


http://w

ww.hach.ulg.ac.

le long de 1

2

0wd

wdt

i

dx

dt

52

Méthode des caractéristiques

.be

pour un écoulement compressible 1D


http://w

ww.hach.ulg.ac.

31/03/2010

27

53

• Evaluation des vitesses caractéristiques


2

01effu c

p p

.be

Valeurs propres de la matrice convective :

1 1 1 d dA

01

A

u uut x

A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

effu c 2 2 2

w

1 1 1

eff

d dA

c c c dp A dp

54

• Valeurs propres


2

2 2det 0 1eff

eff eff eff

u cA I u c u c u c

u

.be

• Vecteurs propres

effu c

A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

1 1

2 2

1 2

1

0

eff

eff

eff

Ax x

u cx x

u cx xu

x c x

1

2

1

1

eff

x

xc

1 1

1 1

eff eff

W

c c

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28

55

• Le système peut donc être réécrit sous la forme :

Mise sous forme caractéristique

1 1 0p p

W DWu ut x

.be

avec

1

2

1 1

2

11

121

2

effeff

eff

effcc

W

c

c


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• De sorte que les grandeurs suivantes sont conservées le long des caractéristiques :

0i

eff

dw d pu

dt dt c

56

• De la conservation de la grandeur,

Formule de Joukowsky

eff

pu

c

.be

il vient que la surpression/dépression maximale qui peut être observée suite à la coupure instantanée d’une vitesse de fluide u est de

ff

effp c u


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Exemple : vitesse : 1 m/s

célérité eau : 1400 m/s5

max 14 bars=1410 Pap

31/03/2010

29

57

• Exemple :

– Conduite forcée d’une centrale hydroélectrique

Différentiel de charge : 100 m

Formule de Joukowsky.be

– Différentiel de charge : 100 m

– Vitesse en aval :

– Surpression en cas d’arrêt :

2 44 m/su g H

max530 bars 5300 m

eaupD ~


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Epaisseur du tuyau de 2 mètres de diamètre :

5

653010

235 10

20 cm

pr

e ee

s = = £

58

• Considérons une tranche unitaire de réservoir de 10 m de profondeur

• Le prélèvement instantané d’un débit de 10 m³/s provoque

Vidange de réservoir

10m/seffc gh=

.be

p p qdonc une modification de vitesse

la dépression observée est de

• Une onde de 1 mètre va donc se propager dans la retenue

410 Pa 1 meff eau

p c urD =- -

1m/suD =


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Une fois arrivée au bout, elle va se réfléchir en inversant son

débit mais en conservant sa pression

• Le lac va ainsi se vidanger « par tranches » successives

• L’amplitude des tranches suivantes va dépendre des conditions aval

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30

59Méthode de résolution

0 0eff eff

dp du p uc c

dt dt t t

dx x xu c c t

.be

eff effeff

u c c tdt t c

t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

i-1 i i+1x x

t

1tan tan

eff

t

x ca b

D= = = -

D

t

x

60

Méthode de résolution

0, 0,

0, 1 0, 1eff

0,

,

1 0, 1e

,

,ff

,

en 0, , ,

0 (1)en ,

0 (2)

tt i

t

i i i i

i i

i ti

i

i i

t p p u u i

p uc

t tt tp u

ct t

p

up

u

.be

, 0, 1 ,eff(1) (2) t i t iit p p uc 0, 1 , 0 ,, 1 eff ti t i i iu p p uc

1

,

0,

(1) (2)

i

t i

u

t p

0, 1 eff , 0, ,1i t i i t ic u u pp

0, 1 eff , 0, 1

eff 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

,

0, 1 0, 10, 1 0, 1

eff,

2en ,

2

i t i i

i i i i

t i

i ii i

t i

p c u u

c u u p pp

t t p pu u

cu

t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

i-1 i i+1x x

t

1tan tan

eff

t

x ca b

D= = = -

D

t

x

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31

61Condition limite imperméable

1tan tan

eff

t

x ca b

D= = =-

Dt

t Domaine non physique Domaine physique

.be

• A la condition limite imperméable, une caractéristique provient du domaine physique avec une information

• Puisque en tout temps, cela revient à considérer des caractéristiques provenant du domaine non physique portant une information identique de pression mais de vitesse opposée

i-1 i i+1x x x

Condition limite

,0

t iu =


http://w

ww.hach.ulg.ac.

q p pp

eff 0, 1 0

0, 1 0, 10, 1 0, 1

eff

, 1 0, 1 0

,

, 1

, 2en ,

2

i i

i i i i

t i

i i

t i

p pu u

cu

c u u p pp

t t

62

Condition limite de pression imposée

1tan tan

eff

t

x ca b

D= = =-

Dt

t Domaine non physique Domaine physique

.be

• A la condition limite de pression imposée, une caractéristique provient du domaine physique avec une information

• Puisque en tout temps, cela revient à considérer des caractéristiques provenant du domaine non physique portant une information identique de vitesse mais de pression opposée

i-1 i i+1x x x

Condition limite

,t ip cste=


http://w

ww.hach.ulg.ac.

q p pp

eff 0, 1 0,

0, 1 0, 10, 1 0, 1

ef

1 0, 1

f

0, 1

,

,

en , 2

2

i i

i i i i

t i

i i

t i

t t p pu u

cu

c u u p pp

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32

63

• Sur une paroi rigide– La vitesse change de signe

– La pression se réfléchit sans modification

Réflexion des ondes aux conditions limites.be

• Sur une surface à pression imposée– La vitesse ne change pas de signe

– La pression s’inverse à amplitude constante


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L 63

64

Application aux coups de bélier

.be

pp p


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33

65Application : fermeture d’une vanne

réservoir vanne

Hypothèse : • Pas de perte• Fond plat

.be

u [m/s] p [Pa]

p0

u0


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Section initiale

66

Application : fermeture d’une vanne

réservoir vanne

Hypothèse : • Pas de perte• Fond plat• Fermeture instantanée

.be

p [Pa]

p0

Onde de pression positive

-ceffu [m/s]

u0


http://w

ww.hach.ulg.ac. Onde de vitesse

Section initiale Section en surpression

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34


réservoir vanne


.be

p [Pa]

p0


-ceffu [m/s]

u0


http://w

ww.hach.ulg.ac. Onde de vitesse


68


réservoir vanne


.be

p [Pa]

p0

Onde de pression positive-ceff

u [m/s]

u0


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Onde de vitesse

Section en surpression

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35


réservoir vanne

CL de surface libre : • inversion de l’onde de pression• onde de vitesse inchangée

.be

p [Pa]

p0Onde de pression négative

u [m/s]

u0


http://w

ww.hach.ulg.ac. Onde de pression négative

ceff

Onde de vitesse


70


réservoir vanne

CL de surface libre : • inversion de l’onde de pression• onde de vitesse inchangée

.be

p [Pa]

p0Onde de pression négative

u [m/s]

u0


http://w

ww.hach.ulg.ac. Onde de pression négative

ceff

Onde de vitesse

Section initialeSection en surpression

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36


réservoir vanne

CL surface imperméable : • onde de pression inchangée• inversion de l’onde de vitesse

.be

p [Pa]

p0


u [m/s]

u0


http://w

ww.hach.ulg.ac.

-ceffOnde de vitesse

Section initiale Section en dépression

72


réservoir vanne

CL surface imperméable : • onde de pression inchangée• inversion de l’onde de vitesse

.be

p [Pa]

p0


u [m/s]

u0


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ww.hach.ulg.ac.

-ceff

Onde de vitesse

Section initiale Section en dépression

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73

Exemples concrets

.be

p


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74

Application : conséquences structurelles

.be


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75Application : conséquences structurelles

.be


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76

Application : conséquences structurelles

.be


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39

77Application : conséquences structurelles

.be


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78

Application : système aspiration de piscine

.be


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40

79

• « L'apoplexie (ou attaque, ou ictus apoplectique) est lasuspension brutale et plus ou moins complète desfonctions du cerveau. Elle est caractérisée par la pertesubite et plus ou moins totale de la connaissance et de la

Application : apoplexie.be

pfaculté de se mouvoir volontairement (mobilitévolontaire), avec persistance de la circulation sanguineet de la respiration.

L'apoplexie, véritable "coup de bélier" vasculaire,


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p p , p ,résulte d'une lésion cérébrale due soit à l'obstructiond'une artère (thrombose), soit à une hémorragie. »

80

Moyens de protection sur la conduite

.be

Ballon pressurisé


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81Moyens de protection sur la conduite

.be


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ww.hach.ulg.ac.

Cheminée d’équilibre

82

Moyens de protection : exemple du ballon ARAA

.be

Remplissage initial


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ww.hach.ulg.ac. Accumulation

à pression atmosphérique

Accumulationsous pression

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42

83Moyens de protection : exemple du ballon ARAA

.be

Déstockagesous pression


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ww.hach.ulg.ac.

Déstockageà pression atmosphérique

Oscillations

84

Application : pompe à bélier

.be


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ww.hach.ulg.ac.

eléments de mécanique des - hece.ulg.ac.be et coup de belier 09-10.… · 31/03/2010 4 7 • en...

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