elementy geometrii analitycznejimif.utp.edu.pl/nowickam/wyniki/geometria_analitycznapts.pdf ·...
TRANSCRIPT
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Elementy geometrii analitycznej
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczyim. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy
2014
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie płaszczyzny
Niech π będzie płaszczyzną, ~a = [A,B,C ] 6= ~0 wektoremprostopadłym do π oraz X0 = (x0, y0, z0) punktem płaszczyzny π.Punkt X = (x , y , z) leży na płaszczyźnie π wtedy i tylko wtedy, gdywektory ~a i
−−→X0X = [x − x0, y − y0, z − z0] są prostopadłe, czyli gdy
~a ◦−−→X0X = 0,
zatemA(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.
Oznaczając D = −Ax0 − By0 − Cz0 otrzymujemy równanie ogólnepłaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Przykład
Problem
Podaj równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora [4,−1, 0] iprzechodzącej przez punkt Q = (2, 1,−5).
Rozwiązanie
Równanie szukanej płaszczyzny będzie miało postać
4x − y + D = 0.
Stałą D wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu Q dorównania:
4 · 2− 1 · 1 + D = 0 skąd D = −7.
Ostatecznie równanie płaszczyzny jest postaci
4x − y − 7 = 0.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Przykład
Problem
Podaj równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzn2x − y + z + 1 = 0 i y − z = 0 i przechodzącej przez punktQ = (0, 1, 0).
RozwiązanieRównanie szukanej płaszczyzny wyznaczymy, jeżeli znajdziemy wektorprostopadły do szukanej płaszczyzny. Ponieważ wektory [2,−1, 1] i [0, 1,−1] sąprostopadłe do danych płaszczyzn, ich iloczyn wektorowy będzie leżał w obudanych płaszczyznach, a więc na prostej, która jest ich przecięciem. Płaszczyznaprostopadła do tej prostej będzie zatem prostopadła do obu danych płaszczyzn.Wyznaczmy ten iloczyn:
[2,−1, 1]× [0, 1,−1] =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 −1 10 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = [0, 2, 2]
Równanie szukanej płaszczyzny to y + z + D = 0. Stałą D = −1 wyznaczamytak jak w poprzednim zadaniu. Ostatecznie y + z − 1 = 0
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie odcinkowe płaszczyzny
Jeżeli wiemy, że płaszczyzna przecina osie układu współrzędnych wpunktach (a, 0, 0), (0, b, 0) i (0, 0, c) (a, b, c 6= 0), to jej równaniemożna zapisać w postaci odcinkowej
x
a+
y
b+
z
c= 1.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Przykład
Problem
Podaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktQ = (−3, 1, 6) odcinającej na dodatnich półosiach układuwspółrzędnych odcinki równej długości.
RozwiązanieRówna długość odcinków oznacza, że w równaniu odcinkowym szukanejpłaszczyzny a = b = c > 0. Wstawiając współrzędne punktu Q do równaniaxa+ y
a+ z
a= 1 otrzymujemy
−3a+1a+6a= 1, skąd a = 4
Równaniem szukanej płaszczyzny jest zatem x4 +
y4 +
z4 = 1, lub w postaci
ogólnej x + y + z − 4 = 0.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Kąt między płaszczyznami
Kąt między płaszczyznami to kąt między wektorami do nichprostopadłymi. Jeżeli zatem płaszczyzny dane są równaniami
π1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
π2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
to
cos �(π1, π2) =A1A2 + B1B2 + C1C2√
A21 + B21 + C 21
√A22 + B22 + C 22
.
Płaszczyzny π1 i π2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Dwie płaszczyzny A1x + B1y + C1z + D1 = 0 iA2x + B2y + C2z + D2 = 0 sa zatem równoległe wtedy i tylkowtedy gdy równoległe są wektory [A1,B1,C1] i [A2,B2,C2], czyligdy trójki liczb (A1,B1,C1) i (A2,B2,C2) sa proporcjonalne.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Odległość punktu od płaszczyzny
Odległość punktu X0 = (x0, y0, z0) od płaszczyznyπ : Ax + By + Cz + D = 0 obliczamy korzystając ze wzoru
d(X0, π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√
A2 + B2 + C 2.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Odległość między dwiema równoległymi płaszczyznami
Odległość między płaszczyznami π1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 iπ2 : Ax + By + Cz + D2 = 0 wynosi
d(π1, π2) =|D1 − D2|√A2 + B2 + C 2
.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie wektorowe płaszczyzny
Jeżeli −→v0 ,−→v1 i −→v2 są ustalonymi wektorami, a λ1, λ2 są liczbamirzeczywistymi, przy czym wektory −→v1 i −→v2 nie są równoległe, tokońce wektora
−→v = −→v0 + λ1−→v1 + λ2
−→v2opisują płaszczyznę. To równanie nazywamy równaniemwektorowym płaszczyzny.Wektory −→v1 i −→v2 ’rozpinają’ płaszczyznę przechodzącą przezpoczątek układu współrzędnych. Jej elementami są punkty postaciλ1−→v1 + λ2
−→v2 . Dodanie wektora −→v0 powoduje równoległeprzesunięcie tej płaszczyzny tak, że początek układu pokryje się zkońcem tego wektora.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie parametryczne płaszczyzny
Płaszczyzna, która przechodzi przez punkt X0 = (x0, y0, z0) i jestrównoległa do nierównoległych wektorów [a1, b1, c1] i [a2, b2, c2]jest opisana następującymi równaniami:
x = x0 + λ1a1 + λ2a2
y = y0 + λ1b1 + λ2b2
z = z0 + λ1c1 + λ2c2
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie prostej
Niech dana będzie prosta przechodzącaprzez punkt X0(x0, y0, z0) i równoległado niezerowego wektora ~n = [a, b, c].Punkt X (x , y , z) leży na prostej wtedy itylko wtedy, gdy wektory ~n oraz−−→X0X = [x − x0, y − y0, z − z0] sąrównoległe, czyli gdy zachodzi warunek
x − x0a
=y − y0
b=
z − z0c
.
To równanie nazywa sie ogólnymrównaniem prostej.
~n = [a, b, c]
X (x , y , z)
X0(x0, y0, z0)
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie krawędziowe prostej
Rozważmy dwie płaszczyzny
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
gdzie R
([A1 B1 C1A2 B2 C2
])= 2.
Częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta{A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Powyższe równanie jest równaniem krawędziowym prostej.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Przykład I
Problem
Napisz równanie prostej, ktora jest częścią wspólną płaszczyznπ1 : 2x − 2y + z − 1 = 0 i π2 : x − y − 4z + 4 = 0
Musimy znaleźć wektor, który jest równoległy do obu płaszczyznoraz punkt na ich przecięciu.Pierwsza część zadania jest prosta:
−→v1 = [2,−2, 1]⊥π1, −→v2 = [1,−1,−4]⊥π2 ⇒ −→v1 ×−→v2 ‖ π1 ∩ π2
Łatwo obliczamy, że −→v1 ×−→v2 = [9,−9, 0].Aby wyznaczyć punkt leżący na przecięciu płaszczyznrozwiazujemy układ równań{
2x − 2y + z = 1x − y − 4z = −4
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Przykład II
Niezerowym minorem stopnia 2 jest minor odpowiadającyzmiennym x i z , więc kładąc y = α otrzymujemy{
2x + z = 1 + 2αx − 4z = −4 + α
skąd (x , y , z) = (α, α, 1)
Biorąc np. α = 1 otrzymujemy punkt (1, 1, 1) leżący na przecięciuprostych. Zatem równaniem szukanej prostej jest np.
x − 19
=y − 1−9
=z − 1
0.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie wektorowe prostej
Jeżeli −→v0 jest dowolnym wektorem, a −→v1 wektorem niezerowym, torównanie
−→v = −→v0 + λ−→v1 , λ ∈ R
opisuje prostą w przestrzeni. Wektor −→v1 jest wektorem do niejrównoległym, zaś wektor −→v0 opisuje przesunięcie względempoczątku układu współrzędnych.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie wektorowe prostej cd.
x
y
z
λ−→v1−→v1
−→v0
−→v0 +λ−→v1
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Równanie parametryczne prostej
Dla dowolnych x0, y0, z0 oraz a, b, c niebędących jednocześniezerem układ
x = x0 + λa
y = y0 + λb , λ ∈ Rz = z0 + λc
przedstawia równanie parametryczne prostej.Punkt (x0, y0, z0) odgrywa role wektora −→v0 a [a, b, c] = −→v1 wpoprzedniej definicji.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Przykład
Problem
Napisać równania prostej przechodzącej przez punkty K (0,−2, 1) iL(4, 2, 0).
Wektorem równoległym do szukanej prostej jest wektor−→KL = [4, 4,−1], a prosta przechodzi np. przez punkt K , więc jejrównanie ogólne to
x
4=
y + 24
=z − 1−1
.
Równanie wektorowe to
−→v = [0,−2, 1] + λ[4, 4,−1]
a równanie parametryczne to
x = 4λ, y = −2 + 4λ, z = 1− λ
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Krzywe drugiego stopnia
Krzywa drugiego stopnia na płaszczyźnie, to krzywa wyrażająca sięnastępującym równaniem
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,
gdzie a, b, c , d , e, f ∈ R oraz przynajmniej jeden zewspółczynników a, b, c musi być różny od zera.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Krzywe drugiego stopnia
Każdą krzywą stopnia drugiego można za pomocą przesunięcia iobrotu przekształcić tak, aby miała ona jedno z równań:
1 x2
a2+ y2
b2= 1 (elipsa);
2 x2
a2− y2
b2= 1 (hiperbola);
3 x2 = 2py (parabola);
4 x2
a2+ y2
b2= −1 (zbiór pusty);
5 x2
a2+ y2
b2= 0 (punkt);
6 x2
a2− y2
b2= 0 (dwie proste przecinające się);
7 x2
a2= 1 (dwie proste równoległe);
8 x2
a2= 0 (jedna prosta);
9 x2
a2= −1 (zbiór pusty).
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Powierzchnie drugiego stopnia
Powierzchnią drugiego stopnia nazywamy zbiór punktówprzestrzeni trójwymiarowej, które spełniają równanie
ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0, (1)
gdzie a, b, c , d , e, f , g , h, i , j ∈ R oraz przynajmniej jeden zewspółczynników a, b, c , d , e, f musi być różny od zera.
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Powierzchnie drugiego stopnia
Ogólne równanie drugiego stopnia (1) daje się sprowadzićprzekształceniami liniowymi do jednej z kilkunastu postaciprzedstawionych na kolejnych slajdach:
Rysunki z http://www.pg.gda.pl/pracownicy/anita.tlalka/powierzchnie.pdf
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Elipsoida trójosiowa
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Walec eliptyczny
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Stożek eliptyczny
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Paraboloida eliptyczna
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Walec paraboliczny
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Paraboloida hiperboliczna
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Walec hiperboliczny
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Hiperboloida jednopowłokowa
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Hiperbolioida dwupowłokowa
Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia
Pozostałe zdegenerowane powierzchnie drugiego stopnia
Przecinające się płaszczyzny
x2
a2− y2
b2= 0
Dwie płaszczyzny równoległe
x2
a2= 1
Płaszczyzna
x2
a2= 0
Prosta
x2
a2+
y2
b2= 0
Punkt
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 0
Zbiór pusty
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= −1