eletricidade a - eng04474
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Eletricidade A - ENG04474. AULA IX. Senóides. Período : T Tempo necessário para se percorrer um ciclo Freqüência: f = 1/ T Ciclos por segundo Freqüência Angular: w = 2 p f Amplitude : V M Exemplo : Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüência angular da senóide abaixo. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474
AULA IXAULA IX
SenóidesSenóides Período Período : : TT
Tempo necessário para se percorrer um cicloTempo necessário para se percorrer um ciclo Freqüência:Freqüência: f = f = 1/1/TT
Ciclos por segundoCiclos por segundo Freqüência Angular:Freqüência Angular: = 2 = 2 ff AmplitudeAmplitude: : VVMM
ExemploExemplo: Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a : Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüênciafreqüência angular da senóide abaixo angular da senóide abaixo
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
FaseFase
Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma vv=V=VMMsen(sen(tt+ + )) quais são os valores de quais são os valores de para as três para as três senóides, tomando uma senóide senóides, tomando uma senóide vv=V=VPPsen(sen(tt)) como referência. como referência.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Fase em Atraso ou em Adianto Fase em Atraso ou em Adianto
xx11(t) está (t) está adiantadoadiantado em relação a em relação a xx22(t) de (t) de --
xx22(t) está (t) está atrasadoatrasado em relação a em relação a xx11(t) de (t) de --
Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria de Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria de negativo para positivo antes?negativo para positivo antes?
tXtx M cos)(11
tXtx M cos)(22
Circuitos RLC com Excitação SenoidalCircuitos RLC com Excitação Senoidal Resposta Transitória e de Regime PermanenteResposta Transitória e de Regime Permanente
Exemplo (RL - fonte senoidal)Exemplo (RL - fonte senoidal)
i(t)i(t)
tidi cosVRdt
L pL
R
+
-
V1Vpcos(t)
RLt
eitti
0
LR
cosVcos
LR
VL22
p
22
p
Resposta PermanenteResposta Permanente
A AmplitudeAmplitude da corrente dependedepende da amplitude da fonte, de RR, de LL e da freqüência da fonte
Reposta Reposta Transitória ou Transitória ou NaturalNatural
A corrente está defasada em atraso radianos em relação a cossenóide da fonte
RL
Circuitos RLC com Excitação SenoidalCircuitos RLC com Excitação Senoidal
Exemplo - Forma de onda da RespostaExemplo - Forma de onda da Resposta
0 50 100 150 200 250 300-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
RLt
eitti
0
LR
cosVcos
LR
VL22
p
22
p
RL
Forma de Forma de onda da onda da Fonte Fonte V1(t)V1(t)
Forma de Forma de onda da onda da Corrente Corrente ii(t)(t)
Regime Transitório Regime Permanente
V1(t)i(t)
t
Circuitos RLC com Excitação SenoidalCircuitos RLC com Excitação Senoidal
Em Em REGIME PERMANENTEREGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com fontes todo Circuito RLC excitado com fontes senoidais de freqüência “senoidais de freqüência “” ” terá todas terá todas as correntesas correntes e e tensões tensões em em seus dispositivosseus dispositivos
possuindopossuindo forma de onda senoidal de freqüência “forma de onda senoidal de freqüência “”” igualigual a das fontesa das fontes
defasadas defasadas radianos radianos em atraso ou adianto com relação as fontesem atraso ou adianto com relação as fontes
depende da estrutura e dos elementos do circuito
amplitudesamplitudes dependentes da freqüênciadependentes da freqüência , da, da amplitude das fontesamplitude das fontes e dos e dos valores dos dispositivosvalores dos dispositivos R, L e CR, L e C
Sabendo disso, seria possível obter a Resposta em Regime Permanente para Excitação
Senoidal sem precisar resolver uma equação diferencial ???
Circuitos RLC - RP com Excitação Circuitos RLC - RP com Excitação SenoidalSenoidal
Para determinar umaPara determinar uma tensão ou corrente em regime tensão ou corrente em regime permanente, permanente, tudo o que precisamostudo o que precisamos saber é sua saber é sua amplitudeamplitude e e sua sua fasefase em relação a senóide da fonteem relação a senóide da fonte. . A freqüência e a A freqüência e a forma de onda já se sabe qual será.forma de onda já se sabe qual será.
Usualmente, Usualmente, tensões ou correntes em regime permanentetensões ou correntes em regime permanente são são obtidas de uma obtidas de uma solução particular da equação diferencial solução particular da equação diferencial do do circuitocircuito..
Preciso escrever e resolver uma Equação
diferencial!!??
VVppsen(sen(wtwt))
Fonte
AAPP sen(sen( wtwt ++ ))
Tensão ou Corrente do
circuito em RPCIRCUITO CIRCUITO
RLCRLC
Amplitude ?
Fase ?
Circuitos RLC - RP com Excitação Circuitos RLC - RP com Excitação SenoidalSenoidal
Não éNão é preciso escrever a equação diferencialpreciso escrever a equação diferencial dodo circuito nem ao circuito nem ao menos resolve-lamenos resolve-la para se obter a amplitude e fasepara se obter a amplitude e fase de uma tensão de uma tensão ou corrente em RP em um circuito com excitação senoidalou corrente em RP em um circuito com excitação senoidal..
Ao invés disso usaremos o conceito de Ao invés disso usaremos o conceito de FASORESFASORES e e IMPEDÂNCIAS IMPEDÂNCIAS COMPLEXASCOMPLEXAS
Fasores e Impedâncias Complexas convertemFasores e Impedâncias Complexas convertem um problema um problema envolvendo envolvendo equações diferenciais emequações diferenciais em um problema envolvendo um problema envolvendo equações algébricasequações algébricas
Boas Boas Novas!!!Novas!!!
FASORESFASORES
FASORFASOR é um é um NÚMERO COMPLEXO NÚMERO COMPLEXO que que representa arepresenta a amplitudeamplitude e ae a fasefase de uma de uma tensão ou corrente senoidaltensão ou corrente senoidal
tX M cos
MXX
Domínio TempoDomínio Tempo
Domínio FreqüênciaDomínio Freqüência
Impedância ComplexaImpedância Complexa
A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão sobre um elemento R, L ou C (expressa como Fasor) e a corrente no elemento (expressa como Fasor)
A impedância é um número complexo
O valor da impedância normalmente depende da freqüência
Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de correntes e correntes a partir de tensões
Como?Melhor ver esses
Números Complexos...
Números ComplexosNúmeros Complexos
xx é a parte realé a parte real yy é a parte imagináriaé a parte imaginária zz é a amplitude ou é a amplitude ou
magnitudemagnitude é a faseé a fase
z
x
y
eixo real
eixo imaginário
Coordenadas PolaresCoordenadas Polares:: AA = = zz Coordenadas RetangularesCoordenadas Retangulares:: AA = = xx + + jyjy
coszx senzy
22 yxz xy1tan
PR
RP
Representando Formas de Onda Representando Formas de Onda Senoidais como FasoresSenoidais como Fasores
FasorFasor (domínio freqüencia) é um (domínio freqüencia) é um número complexonúmero complexo
X = X = zz = = x x + + jyjy
Um Um sinal senoidalsinal senoidal é uma é uma função do tempofunção do tempo
x(t) = z x(t) = z coscos ((t + t + ))
Exemplo:Exemplo:Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores:Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores:
XX = = -1 + -1 + jj22
V = V = 104V - 104V - jj60V60V
A = A = -1mA - -1mA - jj3mA3mA
Aritmética com Números ComplexosAritmética com Números Complexos
Para se Para se determinardeterminar FASORESFASORES de Tensão ou de Tensão ou Corrente é necessário que saibamos Corrente é necessário que saibamos proceder proceder operações aritméticas básicasoperações aritméticas básicas com números com números complexos: complexos:
SomaSoma
SubtraçãoSubtração
MultiplicaçãoMultiplicação
DivisãoDivisão
Será que lembro disso?
É melhor dar uma olhada!
Soma e SubtraçãoSoma e Subtração
SomaSoma
AA = = xx + + jyjy
BB = = zz + + jwjw
AA + + BB = ( = (x + zx + z) + ) + jj((y + wy + w))
SubtraçãoSubtração Subtração é mais Subtração é mais
facilmente feita em facilmente feita em coordenadas retangularescoordenadas retangulares
AA = = xx + + jyjy
BB = = zz + + jwjw
AA - - BB = ( = (x - zx - z) + ) + jj((y - wy - w))
eixo real
eixo imag.
AB
A + B
eixo real.
eixo imag.
ABA - B
(melhor na forma retangular)
eixo real
eixo imag.
A
B
A / B
Multiplicação e DivisãoMultiplicação e Divisão
MultiplicaçãoMultiplicação Multiplicação é mais Multiplicação é mais
facilmente feita em facilmente feita em coordenadas polarescoordenadas polares
AA = = AAMM
BB = = BBMM
AA BB = ( = (AAM M BBMM) ) ( ())
DivisãoDivisão Divisão é mais faclmente Divisão é mais faclmente
feita em em coordenadas feita em em coordenadas polarespolares
AA = = AAMM
BB = = BBMM
AA / / BB = ( = (AAMM / / BBMM) ) ( ())
eixo real
eixo
imag.
A
BA B
(melhor na forma polar)
Exponencial ComplexaExponencial Complexa
Uma senoide, Uma senoide, função do tempo, pode ser representada função do tempo, pode ser representada comocomo a parte real de uma exponencial complexa a parte real de uma exponencial complexa
Exponenciais Complexas Exponenciais Complexas nos propiciam anos propiciam a ligação ligação entre entre asas funções senoidais do tempo e os fasores. funções senoidais do tempo e os fasores.
Exponenciais ComplexasExponenciais Complexas tornam a análise de um tornam a análise de um circuito RLC em circuito RLC em regime permanenteregime permanente para excitação para excitação senoidal umsenoidal um problema algébrico problema algébrico
Funções Senoidais
Exponenciais
Complexas
FASORES
Exponenciais ComplexasExponenciais Complexas
Um número complexo (FASOR) Um número complexo (FASOR) AA = = zz pode pode ser representado como:ser representado como:
A A = = zz = = z ez ejj = = zz cos cos + + j zj z sen sen
A exponencial complexa básica é:A exponencial complexa básica é:
eejjtt = cos = cos tt + + j j sen sen tt
O que você obtêm ao multiplicar O que você obtêm ao multiplicar AA porpor eejjtt e e tomar a parte real deste produto?tomar a parte real deste produto?
Exponenciais ComplexasExponenciais Complexas
AeAejjtt = = z ez ejj eejjt t = = z ez ejj((t+t+
z ez ejj((t+t+= = z z cos (cos (t+t++ + j z j z sen (sen (t+t+
ReRe[[AeAejjtt] = ] = z z cos (cos (t+t+
Senóides, Exponenciais Complexas e Senóides, Exponenciais Complexas e FasoresFasores
Senóide:Senóide:
z z cos (cos (t+t+
Exponencial ComplexaExponencial Complexa::
AeAejjt t = = z ez ejj((t+t+
Fasor:Fasor:
AA = = zz
O que se ganha com
tudo isso???
z cos (t+Re{z ej(t+}= Re{Aejt}
Relações entre os Fasores associados Relações entre os Fasores associados aos Bipolos de um Circuitoaos Bipolos de um Circuito
Os Fasores Os Fasores nos pertimemnos pertimem expressar expressar a relação entre a relação entre tensão e corrente emtensão e corrente em Indutores e Capacitores Indutores e Capacitores de de forma bastante forma bastante semelhante semelhante a que usamos para a que usamos para expressar a relação entre tensão e corrente emexpressar a relação entre tensão e corrente em Resistores.Resistores.
A exponencial complexa A exponencial complexa é a ferramenta matemáticaé a ferramenta matemática utilizada utilizada para obter tais relações.para obter tais relações.
COMO???
Relação V-I Fasorial para o CapacitorRelação V-I Fasorial para o Capacitor
Suponha que Suponha que vv((tt)) seja uma senóide: seja uma senóide:
v(t)v(t) = = VVMM cos( cos(t+t+ ) ) = = ReRe[[VVMM e ejj((t+t+ReRe[[VVeejjtt]]
Determine Determine ii((tt):):
C v(t)
+
-
i(t)
dttdv
Cti)(
)(
Calculando a CorrenteCalculando a Corrente
Representando na forma FASORIALRepresentando na forma FASORIAL
dt
eVdC
dteVd
Cdt
tdvCti
jtjM
jtjM
ReRe)(
)(
tjtjjtjM eeCjeCVjti IV ReReRe)(
M
jtjM VeVtv V Re)(
VI Re)( CjeCVjti jtjM
C
i(t)
+v(t)
-
C
I
+V-
A derivada na relação entre i(t) e v(t) (capacitor) torna-se uma multiplicação por jC na relação
entre I e V
ExemploExemplo
Sendo:Sendo:
v(t)v(t) = 120V cos(377 = 120V cos(377tt + 30 + 30) )
CC = 2 = 2FF
Qual é a representação Fasorial de Qual é a representação Fasorial de vv((tt) e ) e ii((tt) e a expressão de ) e a expressão de ii((tt)?)?
VV=?=?
II=?=?
i(t)=i(t)=??
Quantos graus Quantos graus vv((tt) está defasado de ) está defasado de ii((tt)?)?
Quem está adiantado em relação a quem?Quem está adiantado em relação a quem?
Relação V-I no IndutorRelação V-I no Indutor
L v(t)
+
-
i(t)
dttdi
Ltv)(
)(
M
jtjM IeIti I Re)(
IV Re)( LjeLIjtv jtjM
i(t)
+v(t)
-
I
+V-
A derivada na relação entre v(t) e i(t) (indutor) torna-se uma multiplicação por jL na relação
entre V e I
L L
Representando na forma FASORIALRepresentando na forma FASORIAL
ExemploExemplo
Sendo:Sendo:
i(t)i(t) = 1 = 1A cos(2A cos(2 9.15 10 9.15 1077tt + 30 + 30) )
LL = 1 = 1HH
Qual é a representação Fasorial de Qual é a representação Fasorial de ii((tt) e ) e vv((tt) e a expressão de ) e a expressão de vv((tt)?)?
II=?=?
VV=?=?
v(t)= v(t)= ________cos(cos(22 9.15 10 9.15 1077tt ++ ____ ____))
Quantos graus Quantos graus vv((tt) está defasado de ) está defasado de ii((tt)?)?
Quem está adiantado em relação a quem?Quem está adiantado em relação a quem?
Relação V-I no ResistorRelação V-I no Resistor
R v(t)
+
-
i(t)
)()( tRitv
Representando na forma FASORIALRepresentando na forma FASORIAL
M
jtjM IeIti I Re)(
IV Re)( ReRItv jtjM
R
i(t)
+v(t)
-
I
+V-
R
A multiplicação por R na relação entre v(t) e i(t) torna-se uma multiplicação por R na relação entre
V e I
ImpedânciaImpedância
A análise de umA análise de um circuito comcircuito com excitação senoidal, excitação senoidal, emem regime permanente, regime permanente, usando FASORES,usando FASORES, nos nos permite expressar as permite expressar as relações entre corrente e relações entre corrente e tensãotensão nos elementos R, L e C com uma nos elementos R, L e C com uma fórmula fórmula similar a utilizada nasimilar a utilizada na lei de Ohm. lei de Ohm.
V = V = Z Z II
ZZ é chamada de IMPEDÂNCIAé chamada de IMPEDÂNCIA
Resistor
V=RI
Z=R
Indutor
V=jLI
Z= jL
Capacitor
V= I
Z=
jC1
jC1
Reflexões sobre IMPEDÂNCIAReflexões sobre IMPEDÂNCIA
Impedância (geralmente)Impedância (geralmente) depende da freqüência depende da freqüência
Impedância (geralmente)Impedância (geralmente) é um número complexo é um número complexo
Impedância Impedância NÃO ÉNÃO É um um FASOR FASOR (Porque?)(Porque?)
O conceito deO conceito de Impedância e Fasor Impedância e Fasor nos permitenos permite analisar circuitos RLCanalisar circuitos RLC lineares com lineares com excitação senoidal, excitação senoidal, em regime permanenteem regime permanente, com as, com as mesmas técnicas mesmas técnicas empregadas para analisarempregadas para analisar circuitos puramente circuitos puramente resistivos.resistivos.
SERÁ mesmo que se pode?Para isso as leis de Kirchhoff
deveriam ser respeitadas na operação com FASORES. Será que são?
Leis de Kirchhoff e FasoresLeis de Kirchhoff e Fasores
Leis das Tensões nos Laços.Leis das Tensões nos Laços.
+v1(t)
-
-v2(t)
+
- vn(t) +
01
n
i
i tv
0ReRe Re 21
11 njtj
Mnjtj
Mjtj
M eVeVeV
021 tvtvtv n
0 n21 VVV
0 011
n
i
i
n
i
i tv V
É equivalente!!
0 Re 21 tjn e VVV
Leis de Kirchhoff e FasoresLeis de Kirchhoff e Fasores
Lei das Correntes nos NósLei das Correntes nos Nós 01
n
i
i ti
021 tititi n
i1(t) in(t)
i2(t)
0ReRe Re 22
11 njtj
Mnjtj
Mjtj
M eIeIeI
0 n21 III
0 011
n
i
i
n
i
i ti I
É equivalente!!
0 Re 21 tjn e III
ExemploExemplo
Sendo as correntes no Nó A Sendo as correntes no Nó A ii11(t), i(t), i22(t) e i(t) e i33(t),(t), onde onde
ii11(t)(t) = = 1A 1A cos(2cos(2 6060 tt + 30 + 30))
ii22(t)(t) = = 3A 3A cos(2cos(2 6060 tt + 60 + 60))
Qual é a representação Fasorial de Qual é a representação Fasorial de ii11((tt), ), ii22((tt) e ) e ii33((tt)?)?
II11=?=?
II22=?=?
II33= = II11 + + II22 = ? = ?
Qual é a expressão de Qual é a expressão de ii33((tt)?)?
ii33((tt)=)=________cos(cos(22 6060 tt + + ____ ____))
i1(t) i3(t)
i2(t)
Diagrama FasorialDiagrama Fasorial
Um diagrama fasorial Um diagrama fasorial é apenas umé apenas um gráfico gráfico de váriosde vários fasores fasores representados norepresentados no plano complexo plano complexo (usando os (usando os eixos real e eixos real e imaginárioimaginário))
Um diagrama fasorialUm diagrama fasorial nos ajuda a nos ajuda a visualizarvisualizar as relações entre as relações entre tensões e correntes em um circuito (suas tensões e correntes em um circuito (suas amplitudesamplitudes e e defasagensdefasagens))
Exemplo:Exemplo:
V
I I = 2mA = 2mA 40 40
VVRR = 2V = 2V 40 40
VVCC = 5.31V = 5.31V -50 -50
V V = 5.67V = 5.67V -29.37 -29.37
Eixo Real
Eixo Imaginário
VR
VC
V
VRI
-
1F VC
+
-
I=2mA 40
1k VR
+
+
-Freqüênci
a =
60
Hz
Diagrama FasorialDiagrama Fasorial
Análise de Circuitos RLC usando os Análise de Circuitos RLC usando os conceitos de Fasor e Impedânciaconceitos de Fasor e Impedância
Obs.: Este método de análiseObs.: Este método de análise somente é válido somente é válido para excitaçõespara excitações senoidais, senoidais, estando o circuito estando o circuito emem regime permanente regime permanente
Exemplo - Determine Exemplo - Determine vvcc((tt)) : :
V1(t)=10 cos(377t)
+ vR(t) -
+vC(t)
-
+
-1uF
20k
+
-1uF
20k
V1V1= 100º
FASORESFASORES
IMPEDÂNCIASIMPEDÂNCIAS
ZZRR= 20k
ZZCC = 1/(j377.1.10-6)=-j2,65k
100º -j2,65k
+VC
-
Divisor de TensãoDivisor de Tensão
54720,17k902,65k
0102,65k20k
2,65k010
,jj
C
V
46,82377cosV31,1 46,8231,1 ttvCCV