eletromagnetismo aplicado propagação de ondas guiadas linhas de transmissão aula2
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LINHAS DE TRANSMISSAO PARAMETROS MODELAGEM CASOS ESPECIAIS PROBLEMAS
Eletromagnetismo Aplicado –Propagacao de Ondas GuiadasLinhas de Transmissao - 1/3
Heric Denis [email protected]
LINHAS DE TRANSMISSAO PARAMETROS MODELAGEM CASOS ESPECIAIS PROBLEMAS
PROPAGACAO DE ONDAS GUIADAS - LINHAS DE
TRANSMISSAO 1/3
I Sistemas de guiamento de ondas;
I Parametros das Linhas de Transmissao;
I Modelagem;
I Casos Especiais;
I Problemas.
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SISTEMAS DE GUIAMENTO DE ONDAS
As estruturas de guiamento tem o proposito de orientar apropagacao de energia de sua fonte ate a carga. Exemplos tıpicos:
I Linhas de transmissao;I Guias de onda metalicos;I Fibras opticas (guias de onda dieletricos).
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LINHAS DE TRANSMISSAO
As linhas de transmissao sao estruturas de guiamento de ondasutilizadas na transferencia de potencia e informacoes.
Esta consiste basicamente de dois ou mais condutores paralelosutilizados para conectar fontes a cargas.
A seguir serao apresentadas topologias tıpicas e as equacoes queregem o comportamento das linhas de transmissao.
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PARAMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSAO
As linhas de transmissao sao caracterizadas por quatro parametroseletricos
I Resistencia por unidade de comprimento – R [Ω/m];
I Indutancia por unidade de comprimento – L [H/m];
I Condutancia por unidade de comprimento – G [S/m];
I Capacitancia por unidade de comprimento – C [F/m].
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Deve se notar que:I Os parametros R, L, G e C sao parametros distribuıdos, ou seja,
estao uniformemente distribuıdos ao longo do comprimento dalinha;
I Para cada linha, os condutores sao caracterizados por σc, µc eεc = εo, e o dieletrico homogeneo que separa os condutores ecaracterizado por σ , µ e ε;
I G 6= 1/R. R e a resistencia por unidade de comprimento doscondutores enquanto G e a condutancia por unidade decomprimento devido ao dieletrico que separa os condutores;
I O valor de L considerado e o da indutancia externa por unidadede comprimento. Os efeitos da indutancia interna Lin(R/ω) saodesprezıveis em altas frequencias, nas quais opera a maior partedos sistemas de comunicacoes;
I Para cada linha,
LC = µε eGC
=σ
ε(1)
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LINHAS DE TRANSMISSAO T IPICAS
A figura apresenta as topologias tıpicas de linhas de transmissao, aseguir sao apresentados os parametros para cada uma delas
Linhas de transmissao tıpicas: (a) linha coaxial; (b) linha bifilar; (c)linha planar.
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Tabela : Parametros de linha distribuıdos, para altas frequencias∗
Parametros Linha Coaxial Linha Bifilar Linha Planar
R(Ω/m)1
2πδσc
[1a+
1b
]1
πaδσc
2wδσc
(δ a, c−b) (δ a) (δ t)
L(H/m)µ
2πln
ba
µ
πcosh−1 d
2aµdw
G(S/m)2πσ
lnba
πσ
cosh−1 d2a
σwd
C (F/m)2πε
lnba
πε
cosh−1 d2a
εwd
(w d)
* δ =1√
πf µcσc= profundidade pelicular; cosh−1 d
2a≈ ln
da
se[
d2a
]2 1.
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MODELO ELETRICO DA LINHA DE TRANSMISSAO
Circuito equivalente tipo L para um comprimento diferencial ∆z deuma linha de transmissao.
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EQUACOES DA LINHA DE TRANSMISSAO
Pela aplicacao da lei de Kirchhoff de tensao na malha externa docircuito equivalente tipo L, obtem-se
V(z, t) = R∆z I(z, t)+L∆z∂ I(z, t)
∂ tV(z+∆z, t)
− V(z+∆z, t)−V(z, t)∆z
= RI(z, t)+L∂ I(z, t)
∂ t(2)
Tomando o limite com ∆z→ 0:
−∂V(z, t)∂ z
= RI(z, t)+L∂ I(z, t)
∂ t(3)
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De forma semelhante, aplicando a lei de Kirchhoff das correntesno no n1 do circuito L, obtem-se
I(z, t) = G∆zV(z+∆z, t)+C ∆z∂V(z, t)
∂ t+ I(z+∆z, t)
− I(z+∆z, t)− I(z, t)∆z
= GV(z, t)+C∂V(z, t)
∂ t(4)
Com ∆z→ 0,
−∂ I(z, t)∂ z
= GV(z, t)+C∂V(z, t)
∂ t(5)
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Assumindo dependencia temporal harmonica, utiliza-se a notacaofasorial
V(z, t) = ℜ[Vs(z)ejωt]
I(z, t) = ℜ[Is(z)ejωt]
as equacoes 3 e 5, tornam-se:
− dVs
dz= (R+ jω L) Is (6a)
− dIs
dz= (G+ jω C) Vs (6b)
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Nas equacoes 6, Vs e Is estao acopladas. Para separa-las, toma-se asegunda derivada de Vs na equacao 6a e substitui-se na equacao 6b,assim obtem-se
d2Vs
dz2 = (R+ jω L)(G+ jω C)Vs (7)
De forma similar, utilizando a segunda derivada de Is em 6b eaplicando em 6a, obtem-se
d2Is
dz2 = (R+ jω L)(G+ jω C) Is (8)
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As equacoes 7 e 8 podem ser reescritas de seguinte forma:
d2Vs
dz2 − γ2Vs = 0 (9a)
d2Is
dz2 − γ2Is = 0 (9b)
onde γ = α + jβ =√
(R+ jωL)(G+ jωC) e a constante depropagacao, α e a constante de atenuacao e β e a constante de fase.
O comprimento de onda e a velocidade de propagacao da onda saodadas em funcao de β
λ =2π
β(10)
u =ω
β(11)
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A solucao das equacoes diferenciais leva a:
Vs(z) = V+o e−γz
−→+z+V−o eγz
−z←−(12a)
Is(z) = I+o e−γz
−→+z+ I−o eγz
−z←−(12b)
onde as setas indicam o sentido de propagacao de cada termo, i.e.positivo ou negativo de z.
A impedancia caracterıstica Zo da linha e a razao entre a onda detensao e a onda de corrente, que se propagam no sentido positivo, emqualquer ponto da linha.
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Zo e analoga a η , a impedancia intrınseca do meio onde ocorre apropagacao (ondas nao guiadas). Substituindo as equacoes 12 nasequacoes 6,
γ[V+
o e−γz−V−o eγz]= (R+ jωL)[I+o e−γz + I−o eγz] (13a)
γ[I+o e−γz− I−o eγz]= (G+ jωC)
[V+
o e−γz +V−o eγz] (13b)
igualando os coeficientes dos termos eγz e e−γz
γV+o = (R+ jωL) I+o ; −γV−o = (R+ jωL) I−o (14a)
γI+o = (G+ jωC)V+o ; −γI−o = (G+ jωC)V−o (14b)
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Das equacoes 14, obtem-se a impedancia de entrada
Zo =V+
o
I+o=
R+ jωLγ
=γ
G+ jωC=−V−o
I−o
Zo =
√R+ jωLG+ jωC
= Ro + jXo (15)
A linha de transmissao considerada ate agora e a linha com perdas,a qual e o caso geral onde consideram-se condutores imperfeitos(σc 6= ∞) e dieletricos com perdas (σ 6= 0). A seguir consideram-sedois casos especiais de linhas de transmissao, a linha sem perdas e alinha sem distorcao.
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LINHAS SEM PERDAS
Uma linha de transmissao e dita sem perdas quando os condutoresda linha sao perfeitos (σc ≈ ∞) e o meio dieletrico e sem perdas(σ = 0). Isto implica em R = G = 0, e:
α = 0, γ = jβ = jω√
LC (16)
u =1√LC
(17)
Xo = 0, Zo = Ro =
√LC
(18)
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LINHAS SEM DISTORCAO
Uma linha de transmissao e dita sem distorcao quando a constantede atenuacao α e independente da frequencia e a constante de fase β elinearmente dependente da frequencia, o que implica em R/L = G/Ce:
α =√
RG, β = ω√
LC (19)
u =1√LC
(20)
Xo = 0, Zo = Ro =
√LC
=
√RG
(21)
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Nota-se que:
I A linha sem perdas e um caso especial de linha sem distorcao;
I Uma linha sem distorcao deve ter velocidade de fase u econstante de atenuacao α independentes da frequencia;
I Qualquer linha que nao atenda as condicoes ideais de uma linhasem distorcao (R/L = G/C), provocara distorcao em um sinal debanda larga;
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PROBLEMAS
1. Uma linha de transmissao, operando a 500 MHz, temZo = 80Ω, α = 0.04 Np/m, β = 1.5 rad/m. Encontre os parametrosde linha R, L, G e C.
2. Uma linha telefonica tem R = 30Ω/km, L = 100 mH/km, G = 0e C = 20 µF/km, para f = 1 kHz obtenha a impedancia caracterısticada linha, a constante de propagacao e a velocidade de fase.
γ = α + jβ =√
(R+ jωL)(G+ jωC)
Zo =
√R+ jωLG+ jωC
u =ω
β
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