Elettrodinamica 15 ottobre 2013

Esperienze di FaradayLegge di Faraday-NeumannFem dinamica, corrente indottaLegge di Lenz e conservazione dell’energiaMoto di un conduttore in un campo B Lavoro della forzaSpira in moto in un campo BFem dinamica e variazione del flusso di BApplicazioni dell’induzioneBetatrone

Faraday (1831)

• Studia situazioni sperimentali diverse– Moto di un circuito in un campo B fisso– Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso– Variazione d’intensita` del campo B

• Arriva alla conclusione che una variazione del flusso del campo B concatenato con il circuito induce una fem nel circuito

• Il flusso concatenato è il flusso attraverso una qualunque superficie che appoggia sul circuito

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Faraday

• Scoperta di una nuova legge

• La fem è attribuita all’esistenza di un nuovo tipo di campo E, dinamico o indotto

• Anche una variazione geometrica del circuito nel campo B produce una fem– Variazione di dimensioni– Variazione di orientazione

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Legge di Faraday-Neumann

• 2a eq. dell’e.m. nella sua forma completa

• Il segno negativo ha a che fare con il verso della fem (legge di Lenz)

• I campi E statici sono conservativi: l’integrale di linea di E su un cammino chiuso e` nullo

• I campi E indotti non sono conservativi: l’integrale e` uguale alla fem

dt

dldE B

C

Φ−=⋅=∫

rrE

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Circuito a più spire

• Se il circuito è formato da più spire, bisogna sommare il contributo di ogni spira

• Se ci sono N spire tutte uguali in un campo B in totale avremo N volte il flusso, e la fem, di una spira

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Corrente indotta

• Se il circuito è chiuso, la fem genera una corrente, detta corrente indotta, data da

• Ove R è la resistenza totale del circuito

6

€

i =E

R

fem indotta

• La fem è presente anche se il circuito non è chiuso

• Finora la fem era localizzata (es. tra i morsetti di una batteria)

• La fem indotta da un flusso magnetico variabile si può invece considerare distribuita in tutto il circuito

• La fem può anzi essere attribuita allo spazio in cui è presente il campo B variabile: ai capi del circuito è presente una fem in quanto esso occupa uno spazio in cui è presente una fem

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Legge di Lenz

• Prescrive il segno negativo davanti alla variazione del flusso magnetico

• La fem indotta e la corrente indotta hanno verso tale da opporsi alla variazione che le genera

• Questo segno garantisce l’accordo con la conservazione dell’energia

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Legge di Lenz: esempi

• Magnete che si avvicina ad una spira

• Il campo B del magnete sia rivolto nel verso positivo

• Il flusso aumenta, quindi la fem e la corrente indotte nella spira devono essere negative, cioè generare un campo B il cui flusso sia negativo

12 Φ>Φ

1Φ

S N0>

ΔΔΦ

tS N

2Φ

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Legge di Lenz: esempi

• Circuiti affacciati percorsi da correnti variabili

• I1 crescente, flusso di B1 attraverso C2 crescente → I2 negativo, flusso di B2 attraverso C2 negativo

• I1 decrescente, flusso di B1 attraverso C2 decrescente → I2 positivo, flusso di B2 attraverso C2 positivo

A

C1 C2

A

C1 C2

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Moto di un conduttore in campo B

• Sbarra conduttrice inizialmente ferma, è posta in moto perpendicolarmente alla sua lunghezza (l) e a un campo B

• Supponiamo che la velocità finale v sia costante

• Gli elettroni della sbarra risentono della forza di Lorentz e vengono spinti verso l’estremità lontana

v

B

Bvqfrrr

×=

11

v

B -

+

Fem e campo elettrico dinamici

• Il lavoro eseguito dalla forza su una carica q trasportata (lungo una linea C) entro il conduttore in moto con velocità v è

• Il lavoro per unità di carica è la fem dinamica

• e si puo` considerare un campo elettrico dinamico:

ldBvqldfCC

rrrrr⋅×=⋅= ∫∫L

vBlldBvldfqq CC

=⋅×=⋅== ∫∫rrrrr1L

E

12

BvEd

rrr×=

Bvrr×

Stato di moto transitorio• Poiché gli elettroni non possono fuoriuscire

dalla sbarra, si accumulano all’estremità lontana• All’estremità vicina avremo un eccesso di carica

positiva

v

B -

+

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• La separazione di carica genera un campo elettrico statico all’interno e all’esterno della sbarra

• Questo campo si oppone con una forza ad un ulteriore accumulo di elettroni

• Lo stato di moto transitorio ha termine e si giunge all’equilibrio quando le due forze si annullano a vicenda

• In questa situazione i due campi soddisfano:

Campo statico. Equilibrio

€

rf s = q

r E s

0=×+ BvqEq s

rrr

€

rE s = −

r E d = −

r v ×

r B

14

v

B -

+

Bvqfrrr

×=

€

rf s = q

r E s

Flusso di corrente

• Se la sbarra fa parte di un circuito è possibile che l’equilibrio non venga mai raggiunto e si abbia un flusso di corrente dovuto alla presenza della fem

v

B

Velocità degli elettroni

• Consideriamo una situazione in cui gli elettroni si muovano

• La loro velocità ve è la somma della velocità v della sbarra e della componente vd associata al moto lungo la sbarra

• ve determina una forza di Lorentz fL, agente sugli elettroni, perpendicolare a ve

vd

v

vefL

fv

s

B X

16

€

rv e =

r v +

r v d

Forza vincolare

• vd determina una forza di Lorentz fd sugli elettroni, perpendicolare alla sbarra, in verso opposto al moto

• La risultante di tutte queste forze fd è una forza che agisce sulla sbarra, anch’essa in verso opposto al moto

• Il vincolo (la superficie della sbarra) reagisce con una forza fv = -fd su ogni elettrone

• NB: Le cariche rimangono contenute nella sbarra

vd

v

vefL

fv

s

B X

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Lavoro della forza f

• Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza totale agente su un elettrone

• Alternativamente

• Com’è noto, la forza di Lorentz fa lavoro nullo, quindi il lavoro è dovuto tutto alla reazione vincolare

vL fffrrr

+=

qvBBqvff eL === sinsin

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f

v

vefL

fv

sB X

l

b

( ) bfsfsfsdfsdfsdffsdf vvvS

vS

LS

vLS

==⋅+=⋅+⋅=⋅+=⋅= ∫∫∫∫ θsin0rrrrrrrrrrr

L

qvBlflfssfsdfS

===⋅=⋅=∫ cosrrrr

L

Generatore di fem

• Abbiamo visto che è presente una forza che si oppone al moto della sbarra

• Ne segue che affinché la sbarra si muova di moto non ritardato è necessario che ci sia una forza esterna, ovvero una sorgente esterna di energia (p.e. meccanica)

• L’energia che fa circolare la corrente non proviene dal campo B: esso solo converte l’energia meccanica (esterna) in energia elettrodinamica

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Spira in moto in un campo B

• Spira di dimensioni b e h• Scegliamo come verso positivo di

percorrenza della spira il verso antiorario

• Campo uniforme: gli elettroni su ciascun lato sentono la stessa forza

• Risultato: c’è accumulo di carica sui lati vicino e lontano

0=⋅×=∫ ldBvC

rrrE

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• La fem totale sulla spira è nulla: – sui lati vicino e lontano la forza è perp. allo spostamento– La forza è uguale sui lati destro e sinistro, percorsi in verso

opposto

B

v

+++++++++

- - - - - - - - - B

Spira in moto in un campo B

• Campo non uniforme: gli elettroni sul lato sinistro e destro sentono le forze

• Poiche’ f1>f2 gli elettroni circoleranno in senso orario (e quindi la corrente associata in senso antiorario)

• La fem lungo la spira e`

22 Bvqfrrr

×=

( )hBBvhvBhvB

ldBvldBvldBvLdLsC

2121

21

−=−=

=⋅×+⋅×=⋅×= ∫∫∫rrrrrrrrr

E

11 Bvqfrrr

×=

21

B1

v

B2

f1f2

Relazione tra fem e variazione di flusso

• Nel tempo dt il circuito si sposta di vdt

• Il flusso diminuisce a sinistra e aumenta a destra risp. di

• La variazione di flusso totale è quindi

• Confrontando con l’espressione precedente della fem

hvdtB1

B1

v dt

B2

hvdtB2

( )hvdtBBd 21 −−=Φ

( )dt

dhvBB

Φ−=−= 21E

22

Legge di Lenz e forza su una spira

• La fem fa fluire corrente nel circuito in verso antiorario

• Se c’è resistenza, un po’ di energia viene dissipata in calore

• I lati della spira sono sottoposti a forze: F2 per il lato a destra e F1 per il lato a sinistra

• F1 è maggiore di F2 e la forza risultante si oppone al moto• Per mantenere la spira a velocità costante ci vuole un

agente esterno che fornisca energia• Questa energia si ritrova alla fine come calore nel filo• Se la spira accelera, l’agente esterno deve anche fornire energia cinetica

B1

v

B2

F1 F2

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Legge di Lenz e conservazione dell’energia

• Se fosse vero l’opposto della legge di Lenz, la forza agente sulla spira ne farebbe aumentare la velocità

• Questo porterebbe ad un aumento della forza acceleratrice, creando una situazione a feedback positivo

• Come conseguenza l’energia non si conserverebbe, ma aumenterebbe

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Applicazioni dell’induzione

• Correnti di Foucault

• Forno a induzione

• Freno elettromagnetico

• Alternatore

• Misura del campo B

• Betatrone

• Ruota di Barlow

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Betatrone

• E` un acceleratore circolare di elettroni che fa uso di un campo magnetico variabile nel tempo, a simmetria azimutale, ma non uniforme nello spazio

• Il campo magnetico svolge una duplice funzione– Accelera gli elettroni tangenzialmente, cosa che si

ottiene variandolo opportunamente nel tempo– Contiene gli elettroni sull’orbita grazie alla forza di

Lorentz

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( ) ( ) ( )tfrBtrrr

=,B

Dinamica dell’elettrone

• Per descrivere correttamente il moto dell’elettrone nel betatrone bisogna usare la meccanica relativistica e non quella classica

• Questo e` dovuto al fatto che l’energia fornita all’elettrone, dell’ordine di 1-100 MeV, e` grande in confronto con la sua energia a riposo

• In meccanica classica l’eq. del moto e`

• In meccanica relativistica conviene scrivere l’eq. in termini della QM p

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MeVmcE 5.02

0 ==

dt

pdF

rr=

amdt

pdF

rrr==

Dinamica dell’elettrone

• Al posto dell’espressione classica dell’energia cinetica

• dovremo usare quella relativistica, che per energie elevate vale approssimativamente

• Troviamo ora l’espressione delle due forze agenti sull’elettrone

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m

pmvK

22

1 22 ==

pcK ≈

Betatrone – forza tangenziale

• L’accelerazione tangenziale e` dovuta alla forza del campo elettrico indotto

• E questo puo` essere calcolato a partire dalla fem indotta

• Per la simmetria azimutale del sistema l’integrale vale

• Da cui si puo` esprimere il campo elettrico in funzione della variazione di flusso magnetico

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dt

dldEfem

orbitad

Φ−=⋅= ∫

rr

( ) ( )rEerF dd

rr=

( ) oodorbita

d rrEldE π2=⋅∫rr

( )dt

d

rrE

o

od

Φ−=

π2

1

Supposta l’orbita circolare di raggio r0

Betatrone – forza tangenziale

• La forza del campo elettrico indotto e` dunque, in modulo,

• La direzione e` tangenziale, il verso e` dato dalla legge di Lenz

• Supposto che il campo B sia diretto lungo z, e gli elettroni circolino in verso antiorario, un aumento del modulo di B comporta un aumento del flusso concatenato all’orbita e la comparsa di una fem oraria

• Siccome la carica degli elettroni e` negativa, questa fem li accelera in senso antiorario

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( ) ( )dt

d

r

e

dt

d

r

ereErF

oo

odod

Φ=

Φ−==

ππ 22

( ) φπ

ˆ2 dt

d

r

erF

o

od

Φ=

r

Betatrone – forza radiale

• La forza di Lorentz e`• Scomponendola nelle tre direzioni

• Vista la simmetria azimutale, la componente B e` nulla

• Inoltre consideriamo il caso ideale in cui – il piano dell’orbita sia simmetrico rispetto alle linee di campo, per

cui la componente Br sia nulla su tale piano

– la velocita` sia puramente azimutale, cioe` vr = vz = 0

– L’orbita sia circolare con raggio costante r0

• Ne segue

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( ) ( )trverF ooL ,Brrr

×=

( ) ( ) ( )kvvevvervveF rrzrrzzzLˆˆˆ BBBBBB φφφφ φ −+−+−=

r

rverevF zLˆˆ BB φφ −==

r

Betatrone – legge del moto

• La forza totale e` dunque• Applichiamo la legge del moto nella forma valida

anche in meccanica relativistica

• Consideriamo il caso ideale in cui la QM sia puramente azimutale ed eseguiamo la derivata, ricordando che siamo in un sistema di riferimento polare

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rvedt

d

r

eF

o

totˆˆ

2Bφφ

π−

Φ=

r

dt

pdFtot

rr=

( ) rdt

dp

dt

dp

dt

dp

dt

dpp

dt

d

dt

pd

dt

pdFtot

ˆˆˆ

ˆˆ φφ

φφφ φ

φ

φ

φ

φ

φ −=+====rrr

Betatrone – legge del moto

• Sostituendo l’espressione della forza e uguagliando le componenti otteniamo

• Integrando la prima eq. otteniamo la QM

• Dalla seconda eq., dividendo per la velocita` angolare, otteniamo un’altra espressione per la QM

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dt

d

r

e

dt

dp

o

Φ=

πφ

2Bφφ

φve

dt

dp =

Φ=or

ep

πφ 2

Borep =φ

Betatrone – flusso di B

• Le due espressioni devono valere contemporaneamente e questo porta ad una condizione sul campo magnetico

• Ovvero

• Eliminiamo la dipendenza dal tempo ed introduciamo il valor medio del campo sulla superficie piana racchiusa dall’orbita

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Boo

rr

=Φπ21

( ) ( )( )∫∫ ⋅=orbitaSo

o adtrr

trrr

,2

1,

2BB

π( ) ( ) ( )

( )( )tfadrB

rtfrB

orbitaSo

o ∫∫ ⋅=rr

221π

( ) ( )( )

( ) ( )orbitaSoorbitaS

oorbitaSo

o BrBr

darBr

rB2

1

2

1

2

1 2

22=== ∫∫ π

ππ

Condizione di betatrone

• Otteniamo la condizione di betatrone

• Cui deve soddisfare il campo affinche’ sia l’accelerazione tangenziale che il contenimento radiale siano realizzati contemporaneamente

• Per ottenere questa condizione bisogna sagomare opportunamente le espansioni polari

• NB: un campo spazialmente uniforme non puo` realizzarla

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( ) ( )orbitaSo BrB2

1=

Betatrone – variazione di B nel tempo

• La funzione del tempo scelta per il betatrone e` di tipo sinusoidale

• Per cui la componente z del campo magnetico in un punto qualunque dello spazio e` del tipo

• Bisogna pero` osservare che solo il primo quarto del ciclo e` utilizzabile, infatti– La parte negativa del ciclo farebbe ruotare gli elettroni in verso

opposto al verso di iniezione– La parte positiva ma decrescente del ciclo non accelererebbe gli

elettroni

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( ) ttf ωsin=

( ) ( ) trBtr ωsin, =B

Betatrone – energia finale

• L’energia finale dell’elettrone, espressa in joule, e`

• Espressa in eV e`

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( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛===

2sin

2

1

4sin

πω

oooooff BcreT

rcBrecrecpK B

MeVcrBe

Koo

f 8.1103075.016.02

1

2

1 8 =⋅⋅⋅==

Esercizio

• Dato un campo magnetico della forma

• Trovare il valore di che garantisce la condizione di betatrone a distanza R dal centro

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( ) ( )2

0 1 rBrB α−=

Esercizio

• Una spira, immersa in un campo B uniforme, si muove con velocita` v

• Determinare la fem indotta nella spira• Determinare la fem indotta tra i punti A e C

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C

A

vB

Esercizio

• Un filo conduttore AC, immerso in un campo B uniforme, si muove con velocita` v

• Determinare la fem indotta tra i punti A e C– Usando la forza di Lorentz– Usando la legge di Faraday

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C

A

vB

Esercizio

• Trovare la fem indotta tra centro e circonferenza di un disco di Faraday (o ruota di Barlow)

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