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ELETTROTECNICAIngegneria Industriale
− METODI DI ANALISI−− TRASFORMATORE IDEALE −
− MUTUE INDUTTANZE −
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Elettrotecnica (043IN)
a.a. 2013-14
• Consideriamo un bipolo LRI collegato al resto del circuito tramite due terminali
Teorema di Thevenin
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)()()( tvtiRtv eqeq +=
• Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in corrente può essere sostituito con la serie di un generatore ideale di tensione e di una resistenza, calcolati opportunamente, senza influenzare la soluzione di un qualsiasi circuito esterno connesso al bipolo stesso.
Teorema di Thevenin (2)
3
• Req: si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti (di tensione: corto circuito, di corrente: circuito aperto)
• veq(t): tensione a vuoto ai morsetti con tutti i generatori inseriti
• La caratteristica di un bipolo LRI è
Teorema di Thevenin (3)
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• Se la caratteristica deve essere la stessa in entrambi i casi, l’equazione diventa (Req ruota la retta, veq(t) la trasla)
eq
eq
eq
eqeq
R
tv
R
tvti
tvtiRtv
)()()(
)()()(
−=
+=
• Consideriamo un bipolo LRI collegato al resto del circuito tramite due terminali
Teorema di Norton
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)()()( titvGti eqeq −=
Teorema di Norton (2)
• Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in tensione può essere sostituito con il parallelo di un generatore ideale di corrente e di una conduttanza, calcolati opportunamente, senza influenzare la soluzione di un qualsiasi circuito esterno connesso al bipolo stesso.
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• Geq: si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti (tensione: corto circuito, corrente: circuito aperto)
• ieq(t): corrente di corto circuito ai morsetti con tutti i generatori inseriti
• Tutti i bipoli LRI descritti da una caratteristica obliqua hanno entrambi gli equivalenti
• La relazione tra i parametri delle rappresentazioni (vedi retta nella slide precedente) sono
Thevenin e Norton
7
precedente) sono
eqeqeq
eqeq
eqeq
GtvR
tvti
RG
)()(
)(
1
==
=
• Fanno eccezione i bipoli la cui retta è verticale o orizzontale (sorgenti ideali di tensione con in parallelo una resistenza e sorgenti ideali di corrente con in serie una resistenza)
Sorgenti indipendenti ideali
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• Per i bipoli LDI si ricorre ai fasori; gli equivalenti di Thevenin e di Norton si trovano con le stesse regole, sostituendo le impedenze e le ammettenze alle resistenze e alle conduttanze, rispettivamente, e i fasori alle grandezze nel dominio del tempo
Thevenin, Norton e fasori
9
eqeqeq
eqeq
eqeq
eqeq
eqeq
YVZ
VI
ZY
IVYI
VIZV
===
−=
+=
,1
• È un’applicazione del teorema di Norton
Teorema di Millmann
10
321
43
3
1
1
111RRR
iR
v
R
v
vs
ss
u
++
+−=
• È un derivato del tableau. Le variabili del sistema sono i potenziali di nodo ek, k=1…n-1
• È limitato ai circuiti che contengono componenti controllati in tensione
• Nel dominio del tempo (circuiti LRI), si ottiene
Metodi dei nodi puro
)()( s ttnod heG =
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• Con e(t) e hs(t) vettori colonna [n−1×1] e Gnod
matrice [n×n]
• Se det(Gnod)≠ 0, il circuito è ben posto, come nel tableau. Gnod è simmetrica se nel circuito ci sono solo bipoli.
• Nei circuiti LDI in alternata, utilizzando i fasori si ottiene
s
snod HEY =
• Scriviamo le due equazioni ai nodi per il circuito LRI di figura alimentato in continua
Metodi dei nodi puro - esempio
• Nodo 1:
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( ) ( ) 0
,, )IIK,,)cost
0 )IK
2213111
2111
231
=−++−
−==−====
=++
GeeGeGVe
eevevVevGviGviGvi
iii
s
cbsa
ccbbaa
cba
• Nodo 2:
• Raccogliendo i coefficienti si ottiene
Metodi dei nodi puro – esempio (2)
( ) s
ba
bbaa
sba
IGeGee
eveevGviGvi
Iii
=+−
=−===
=+
42212
212
42
',' )IIK'','')cost
'' )IK
• In forma matriciale
• N.B. matrice Gnod simmetrica
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( )( )
=++−=−++s
s
IGGeGeGVGeGGGe
42221
1223211
=
+−−++
s
s
I
GV
e
e
GGG
GGGG 1
2
1
422
2321
• È un componente resistivo a due porte
Trasformatore ideale
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• n: rapporto di trasformazione
• È un componente non-controllato in tensione
=
=
21
21
1i
ni
vnv
• Proprietà fondamentale: è un componente inerte
Trasformatore ideale (2)
01
)( 22222211 =−
=−= ivin
nvivivtp
15
• Proprietà di adattamento di impedenza: consideriamo un trasformatore chiuso su una resistenza Ru
uing Rni
vn
in
nv
i
vR 2
2
22
2
2
1
1
1====
• Si dimostra che valgono pure le seguenti proprietà di spostamento delle resistenze tra le porte, per cui i seguenti circuiti risultano equivalenti
Trasformatore ideale (3)
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• È il metodo principe dei programmi di analisi dei circuiti
• La presenza di uno o più trasformatori ideali viene risolta aggiungendo le relative correnti di ramo nelle equazioni di nodo. Le incognite sono quindi i potenziali di nodo e le correnti
Metodi dei nodi modificato (MNA)
quindi i potenziali di nodo e le correnti dei trasformatori. Il numero delle variabili aumenta, ma il metodo modificato risulta essere così assolutamente generale
• Per equilibrare il numero di incognite e di equazioni, si devono aggiungere al sistema puro le relazioni costitutive dei trasformatori ideali
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• Scriviamo le equazioni ai nodi per il circuito LDI di figura alimentato in alternata
Metodi dei nodi modificato - esempio
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• Il trasformatore ideale è un componente a due porte non-controllato in tensione. Infatti le equazioni sono (con i fasori)
=
=
21
21
1I
nI
VnV
• Si ottiene
Metodi dei nodi modificato –esempio (2)
( )
( )
( )
=+−
=+−+−
=++−
0
0
323
2
322
111
1
IEEE
LjR
EEI
ICjER
VE s
ω
ω
19
• Sistema di 5 equazioni in 5 variabili (E1, E2, E3, I1, I2). Alle prime 3 equazioni relative ai nodi si aggiungono le equazioni costitutive dei componenti non-controllati in tensione
( )
=−
=−
=++−
01
0
21
21
3
3
2
23
In
I
EnE
IR
E
LjR
EEsω