elib.bspu.byelib.bspu.by/bitstream/doc/3467/1/Упр_сам_раб_11_кл.pdf · 2 УДК...

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет

имени Максима Танка»

М А Т Е М А Т И К А : управляемая самостоятельная работа учащихся 11-х педагогических классов

Пособие

Минск 2006

РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

2

УДК 51(075.3) ББК 74.262.21

М34

Печатается по решению редакционно-издательского совета БГПУ

Составители: кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания интегрированных школьных курсов БГПУ Н. В. Костюкович; преподаватель кафедры методики преподавания интегрированных школьных курсов БГПУ Л. В. Ладутько

Рецензент кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики БГПУ П. И. Кибалко

Математика: управляемая самостоятельная работа учащихся 11-х педаго-

М34 гических классов: пособие / сост. Н. В. Костюкович, Л. В. Ладутько. – Мн.: БГПУ, 2006. – 118с.

ISBN 985-501-234-8 В пособии помещены задания для самостоятельной работы, тематические тесты для

самопроверки и справочный материал по отдельным темам алгебры и геометрии. Адресуется учащимся и учителям математики 11-х педагогических классов. Может быть

использовано абитуриентами для подготовки к вступительному экзамену в вузы по математике.

УДК 51(075.3) ББК 74.262.21

© Костюкович Н. В., Ладутько Л. В.,

составление, 2006 © БГПУ, 2006


ПУ

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное пособие предназначено для самостоятельного повторения и

закрепления учащимися 11-х педагогических классов некоторых тем курса алгебры и геометрии. Оно представляет собой сборник задач и тестовых заданий по математике. Пособие разбито на главы: I. Упражнения для самостоятельной контролируемой работы. II. Тесты. III. Справочный материал.

Все упражнения для самостоятельной работы сгруппированы в параграфы, каждый из которых соответствует одной теме:

§ 1. Тригонометрия. § 2. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства. § 3. Логарифмическая и показательная функции. § 4. Производная и ее применения. § 5. Задачи по планиметрии. § 6. Задачи по стереометрии. В каждом параграфе задания разбиты на две группы: основные и

дополнительные. Основные задания предназначены для домашних контрольных работ, из них составлены две работы по 15 вариантов в каждой (смотри инструкцию по выполнению контрольных работ). Дополнительные задания предназначены для индивидуальной или групповой работы под руководством учителя.

Для самоконтроля знаний во второй главе предлагаются 5 тематических тестов с таблицами ответов. Тесты разработаны в соответствии с уровнем заданий, предлагаемых на централизованном тестировании. Самостоятельное выполнение тестовых заданий позволит определить уровень своих знаний и степень подготовленности к централизованному тестированию.

В случае затруднений при выполнении заданий можно получить необходимые теоретические сведения, обратившись к третьей главе, где изложен справочный материал.

В конце пособия предлагается список литературы, которая будет полезна для самостоятельного устранения пробелов в знаниях по математике.

Структура и содержание данного пособия позволяет надеяться, что представленный в нем материал будет полезен не только учащимся 11-х педагогических классов, но и всем желающим развить и укрепить математические знания, а также окажет помощь школьным учителям в их работе.


ПУ

4

Инструкция по выполнению домашних контрольных работ

Учащимся 11-х педагогических классов предлагается две домашние контрольные работы, в которые включены темы, изученные в средней школе.

Ниже приведены две таблицы, в которых указаны варианты каждой контрольной работы. Номер варианта каждому учащемуся назначает школьный учитель. В таблице к каждому варианту указаны номера заданий, которые необходимо выполнить. Задания распределены по параграфам. Например, задание 1.012 находится в 1 параграфе, а задание 4.012 – в 4 параграфе.

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тонкой тетради. На обложке тетради указывается фамилия учащегося; школа, с указанием города; название предмета; номер варианта; специальность и номер группы.

Задачи в тетради записываются строго в порядке возрастания номеров, указанных в таблице. Все записи выполняются аккуратно, словесные пояснения к решениям должны быть минимальными. В начале указывается номер решаемой задачи, потом кратко записывается условие, затем – решение. В конце обязательно записывается ответ. Без ответа задача считается нерешенной. Тетради с решениями пересылаются в деканат факультета доуниверситетской подготовки.

Домашние контрольные работы проверяются преподавателями педагогического университета и оцениваются по системе «зачет» или «незачет». Учащиеся, получившие «незачет», переделывают данную работу и представляют ее для проверки школьному учителю. Учитель, при условии правильного выполнения всех заданий работы учащимся, делает пометку на тетради «зачет» со своей подписью. Данная работа пересылается в деканат факультета доуниверситетской подготовки.


ПУ

5

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 ДЛЯ 11 ПЕДКЛАССА

Вариант Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1.001 1.016 1.031 1.046 1.061 1.076 4.001 6.001

2 1.002 1.017 1.032 1.047 1.062 1.077 4.002 6.002

3 1.003 1.018 1.033 1.048 1.063 1.078 4.003 6.003

4 1.004 1.019 1.034 1.049 1.064 1.079 4.004 6.004

5 1.005 1.020 1.035 1.050 1.065 1.080 4.005 6.005

6 1.006 1.021 1.036 1.051 1.066 1.081 4.006 6.006

7 1.007 1.022 1.037 1.052 1.067 1.082 4.007 6.007

8 1.008 1.023 1.038 1.053 1.068 1.083 4.008 6.008

9 1.009 1.024 1.039 1.054 1.069 1.084 4.009 6.009

10 1.010 1.025 1.040 1.055 1.070 1.085 4.010 6.010

11 1.011 1.026 1.041 1.056 1.071 1.086 4.011 6.011

12 1.012 1.027 1.042 1.057 1.072 1.087 4.012 6.012

13 1.013 1.028 1.043 1.058 1.073 1.088 4.013 6.013

14 1.014 1.029 1.044 1.059 1.074 1.089 4.014 6.014

15 1.015 1.030 1.045 1.060 1.075 1.090 4.015 6.015

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Вариант Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2.001 2.016 2.031 2.046 2.061 4.016 6.016 6.031

2 2.002 2.017 2.032 2.047 2.062 4.017 6.017 6.032

3 2.003 2.018 2.033 2.048 2.063 4.018 6.018 6.033

4 2.004 2.019 2.034 2.049 2.064 4.019 6.019 6.034

5 2.005 2.020 2.035 2.050 2.065 4.020 6.020 6.035

6 2.006 2.021 2.036 2.051 2.066 4.021 6.021 6.036

7 2.007 2.022 2.037 2.052 2.067 4.022 6.022 6.037

8 2.008 2.023 2.038 2.053 2.068 4.023 6.023 6.038

9 2.009 2.024 2.039 2.054 2.069 4.024 6.024 6.039

10 2.010 2.025 2.040 2.055 2.070 4.025 6.025 6.040

11 2.011 2.026 2.041 2.056 2.071 4.026 6.026 6.041

12 2.012 2.027 2.042 2.057 2.072 4.027 6.027 6.042

13 2.013 2.028 2.043 2.058 2.073 4.028 6.028 5.043

14 2.014 2.029 2.044 2.059 2.074 4.029 6.029 6.044

15 2.015 2.030 2.045 2.060 2.075 4.030 6.030 6.045


ПУ

6

I. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

КОНТРОЛИРУЕМОЙ РАБОТЫ

§ 1. Тригонометрия

Доказать тождества (1.001 – 1.015): 1.001. cosα (1+ cos-1α + tgα)(1– cos-1α + tgα) = 2sinα; 1.002. sin2α (1+ sin-1α + ctgα)(1– sin-1α + ctgα) = 2sinα cosα;

1.003. ( )( )

( )( )

ααπαπ

απ

απαπαπ cos2

cos2

cos

cos21

sin2

sin

sin21 22=

++

−

−−+

−+

+

+− ;

1.004. ( )

( ) ( )α

απαπαπ

απαπ2

2

tg2cossin

2tg

1sin2

sin=

−⋅+−

−

−

−+

+

;

1.005. ( ) ( ) ( )βαβαβαβα +−

−=−−− cos2

sin4sinsincoscos 222 ;

1.006. ( ) ( )2

sin4sinsincoscos 222 βαβαβα −=−+− ;

1.007. αα 22 ctg1

1tg111

+=

+− ;

1.008. αααα

2222 cos)tg1(cos

ctg11

+=++

;

1.009. )2cos(2coscos22coscos)2(sin 222 βαβαβαβα −−=−−− ;

1.010. )2cos(sin2sin2sin2sin)2(sin 222 βαβαβαβα −−=−−− ;

1.011. 2

cos2

cos2

cos4sinsinsin γβαγαβ =++ , если α + β + γ = π;

1.012. 2

sin2

sin2

sin41coscoscos γβαγβα +=++ , если α + β + γ = π;

1.013. ,tgtgtgtgtgtg γβαγβα ⋅⋅=++ если 0=++ γβα ;

1.014. 17cos5,3tg7sin =+ xxx ;


ПУ

7

1.015. .1cos

sin124

tg =−

⋅

+

αααπ

Упростить (1.016 – 1.030):

1.016. ααα 4sin2tg4cos −⋅ ; 1.017. ααα 4cos2ctg4sin −⋅ ;

1.018. 1cossin 44 −+ αα ; 1.019. αα 66 cossin1 −− ;

1.020. α

αα cos1

sintg

1+

+ ; 1.021. αα

α tgsin1

cos+

+;

1.022. ;ctgtg

ctg2ctg1αααα

++ 1.023. ( ) ;

tg23tg

tg2tg1

ααπ

ααπ

+

−

−−

1.024. ;costgcostg

coscos11

11

αββαβα−−

−−

+

+ 1.025. ;2tg4tg

2tgαα

α−

1.026. ;1cos2cos

3cos2coscos12 −+

+++

ααααα 1.027. ;

ctgtgctgtg

αααα

+−

1.028. ;1tgsin1ctgcos

22

22

−+

+−

αααα 1.029. ( );

2ctg2tg38cos1ααπα

−−−

1.030. .5sin4sin3sin5cos4cos3cosαααααα

++++

При каких значениях а уравнения не имеют решений (1.031 – 1.036):

1.031. ;2432cos

−−

=aax 1.032. ;

21

23cos 2 +

−=

aax 1.033.

;11

4cos 2a

ax+

−=

1.034. ;1

22

sin 2 +

−=

aax 1.035. ;

333sin 2 +

−=

aax 1.036. .

11

4sin 2a

ax+

+=

При каких значениях а уравнения имеют решения (1.039 – 1.045):

1.037. ;2432cos

++

=aax 1.038. ;

12

2sin 2 +

+=

aax 1.039. ;

113cos 2 +

−=

aax

1.040. ;2

33sin 2 +

+=

aax 1.041. ;

12

2cos 2 −

=a

x 1.042. ;837cos

−+

=aax


ПУ

8

1.043. 211

3sin

aax

+

+= ; 1.044.

ааx

5,025,1cos

−−

= ; 1.045. а

аx−−

=4

32sin .

Решить уравнения (1.046 – 1.075):

1.046. ;01cos

cos2cos 2=

−−x

xx 1.047. ;0cos1

1sin2cos2=

−−−

xxx

1.048. ;02cos1

cos=

+ xx 1.049. ;0

sincoscos2

=+x

xx

1.050. ;02sin1

2cos=

− xx 1.051. ;2cos4cos3cos5cos xxxx ⋅=⋅

1.052. ;2

coscossin 22 xxx =− 1.053. ;3cos5sin4 =+ xx

1.054. ;1cossin =+ xx 1.055. ;2sin3cos2 =+ xx

1.056. ;23sin2sin =+ xx 1.057. ;3sin22

sincos xxx =

+−π

1.058. ;12cossin5 =+ xx 1.059. ;1cos32cos += xx

1.060. ;85cossin 44 =+ xx 1.061. ;83cos

2cossin3 2 =+ xxx

1.062. ;63cos2

sin7cos4 2 =+ xxx 1.063. ;174cos3sin43cos12 2 =+ xxx

1.064. ;42cos23

cos2

sin 22 =+ xxx 1.065. ;35sincos4sincos 22 =+ xxxx

1.066. ;62sincos23sincos2 4 =+ xxxx 1.067. ;83cos2sin3cos4 2 =+ xxx

1.068. ;5cos2

sin4

cos2

sin3 22 =+ xxxx 1.069. ;45cos2sin3sin 2 =++ xxx

1.070. ;8sin2cos22sincos5 22 =+ xxxx 1.071. ;6cos3sin22cos3 2 =+ xxx

1.072. ;03cos7cos23sin2 =+− xxx 1.073. ;06sin2cos43sin2 =−+ xxx

1.074. ;032sin2coscossin 22 =−+ xxx 1.075. .53sin22cossin 22 =++ xxx


ПУ

9

Построить графики функций и уравнений (1.076 – 1.090):

1.076. 2

cos2

sin xxy = ; 1.077. xxy

coscos

= ;

1.078. xxy sinsin += ; 1.079. xxy tgcos ⋅= ;

1.080. ;2sin2sin xxy += 1.081. ;2sin2 xy =

1.082. xx

ysinsin

= ; 1.083. xxy сoscos −= ;

1.084. ;2cos2cos xxy −= 1.085. ;2cos xy =

1.086. ;2

cos22

sin2 44 xxy −= 1.087. ;1

2cos

2cos

−= x

x

y

1.088. ;22sin2sin

+=xxy 1.089. ;tg xy =

1.090. .cos4sin4 44 xxy +=

Дополнительные задания

1.091. Зная, что ,cossin m=+ αα найти .cossin 66 αα +

1.092. Зная, что ,ctgtg a=+ αα найти .ctgtg 44 αα +

1.093. Зная, что 312sin −=α , найти

− απ

4cos2 .

1.094. Зная, что 312sin −=α , найти

− απ

4sin2 .

1.095. Найти tgα, если 21

2cos =

α и 2α∈

2;0 π .

1.096. Найти 2

tgα , если 23sin =α и

∈ ππα ;

2


ПУ

10

1.097. Упростить выражение α

αα cos1

sintg

1+

+ и найти его значение, зная, что

tg α = – 2 и cos α > 0.

1.098. Упростить выражение αα

αctg

1sin1

cos+

+ и найти его значение, зная, что

tgα = 3 и угол α не лежит в I четверти.

1.099. Выяснить, существуют ли такие α, при которых выполняются равенства:

а) 85cossin =⋅ αα ; б)

312cos2sin 22 =− αα .

Ответ обосновать. Вычислить без таблиц и калькуляторов (1.100 – 1.105):

1.100. 5,67cos5,22cos ⋅ ; 1.101. 15sin15cos + ;

1.102. 105cos2 2 ; 1.103. 105tg ;

1.104.

70cos50cos80sin − ; 1.105.

20sin20cos65sin+

.

Доказать тождества (1.106 – 1.117): 1.106. cosα (1+ cos–1α + tgα)(1– cos–1α + tgα) = 2sinα; 1.107. sin2α (1+ sin–1α + ctgα)(1– sin–1α + ctgα) = 2sinα cosα;

1.108. ( )( )

( )( )

ααπαπ

απ

απαπαπ cos2

cos2

cos

cos21

sin2

sin

sin21 22=

++

−

−−+

−+

+

+− ;

1.109. ( )

( ) ( )α

απαπαπ

απαπ2

2

tg2cossin

2tg

1sin2

sin=

−⋅+−

−

−

−+

+

;

1.110. ( ) ( ) ( )βαβαβαβα +−

−=−−− cos2

sin4sinsincoscos 222 ;

1.111. ( ) ( )2

sin4sinsincoscos 222 βαβαβα −=−+− ;


ПУ

11

1.112. αα 22 ctg1

1tg111

+=

+− ;

1.113. αααα

2222 cos)tg1(cos

ctg11

+=++

;

1.114. )2cos(2coscos22coscos)2(sin 222 βαβαβαβα −−=−−− ;

1.115. )2cos(sin2sin2sin2sin)2(sin 222 βαβαβαβα −−=−−− ;

1.116. 2

cos2

cos2

cos4sinsinsin γβαγαβ =++ , если α + β + γ = π;

1.117. 2

sin2

sin2

sin41coscoscos γβαγβα +=++ , если α + β + γ = π.

Упростить выражения (1.118 – 1.123):

1.118. ααα 4sin2tg4cos −⋅ ; 1.119. ααα 4cos2ctg4sin −⋅ ;

1.120. 1cossin 44 −+ αα ; 1.121. αα 66 cossin1 −− ;

1.122. α

αα cos1

sintg

1+

+ ; 1.123. αα

α tgsin1

cos+

+.

1.124. Зная, что А, В и С – внутренние углы некоторого треугольника, доказать справедливость равенства:

а) BA

CВАcoscos

sintgtg =+ ;

б)2

tgc2

ctgsinsinsinsinsinsin BA

CBACBA

=−+++ .

1.125. Доказать тождество ,tgtgtgtgtgtg γβαγβα ⋅⋅=++ если .0=++ γβα

1.126. Вычислить .9

cos9

2cos9

4cos8 πππ⋅⋅

1.127. Вычислить .10sin50sin70sin16 222 °⋅°⋅°

1.128. Вычислить .81tg63tg27tg9tg °+°−°−°

1.129. При каких значениях m уравнение 2

1cossin3 −=

mxx не имеет

решения?


ПУ

12

1.130. Вычислить .80cos40cos20cos °°° 1.131. При каких значениях a уравнение axx =+ 66 cossin имеет решение?

1.132. Доказать тождество ( ).4cos3581sincos 66 aaa +=+

1.133. Найти область определения функции .1

2arccos 2 +=

xxy

1.134. Доказать тождество .17cos5,3tg7sin =+ xxx

1.135. Зная, что m=+ αα cossin , найти .cossin 66 αα +

1.136. Найти сумму ,ctgtg 44 αα + если .ctgtg a=+ αα

1.137. Вычислить ,2cos52sin42cos32sin2αααα

+− если .3tg =α

1.138. При каких значениях m выполняется равенство 1

44cos2

2

+

−−=

mmmϕ ,

если 3

0 πϕ << .

1.139. Найти область определения функции .13

112arcsin −=

xy

1.140. Вычислить без таблиц ( ).15tg1

15tg315sin2

2

°−

°−°

1.141. Доказать тождество .1cos

sin124

tg =−

⋅

+

αααπ

1.142. Доказать тождество

.180,2

sin2

sin2

sin41coscoscos °=++=−++ CBAcbaCBA

1.143. Доказать тождество ,2

cos2

cos2

cos4sinsinsin γβαγβα =++ если

.180°=++ γβα

1.144. Найти зависимость между углами α и β , если .sinsin βα =

1.145. Будут ли равносильны уравнения 0=x и 0)tg(sin =x ?


ПУ

13

1.146. При каких a имеет место равенство: αα

αα

cossin

cossin 2

2

4= ?

1.147. Вычислить .18cos °

1.148. Доказать, что если ,2

31cos −=x то верно равенство .cos22cos xx =

1.149. Проверить справедливость равенства: .410cos3

10sin1

=°

−°

1.150. Доказать, что при любых α и β

( ) ( ).sinsincoscos 22 βαβαβα −⋅+−=−

1.151. Доказать тождество: .sin84cos2cos43 4ααα =+−

1.152. Доказать тождество αααα 4288 coscos612

cos2

sin8 ++=

+ .

1.153. Найти наибольшее отрицательное значение x в градусах из области определения функции xxy coscos −+= .

1.154. Найти наибольшее значение функций во всей их области определения (без использования производной):

а) ;53sin

32 +

=x

y б) xxy 2sin2cos2 2+= .

1.155. Сколько корней имеет уравнение: ?22cos 2xx −= 1.156. Найти область определения функций:

а) ;cos 2xy = б) ;1

2arcsin+

=x

xy

в) ;sin xy = г) x

xy 1arccos2 −

= .

Построить графики функций и уравнений (1.157 – 1.190)

1.157. 12

sin2 +

+=

πxy ; 1.158. 12

3cos2 −

+=

πxy ;

1.159. 1cos −= xy ; 1.160. xy sin1+= ;

1.161. xxy sincos12 2 −−= ; 1.162. xxy 2sin1cos2 −−= ; 1.163. 2cos3cos3sinsin −+= xxxxy ; 1.164. xxxxy 3sincos3сossin −= ;


ПУ

14

1.165. 2

cos2

sin 22 xxy −= ; 1.166. xxy ctgtg ⋅= ;

1.167. xxy cos4cos41 2 ++= ; 1.168. 1sin4sin4 2 +−= xxy ;

1.169. x

y2tg1

1

+= ; 1.170.

xy

2сtg1

1

+= ;

1.171. ;2cos2sin3 xxy += 1.172. ( );arcsinsin xy =

1.173. ( );arccossin xy = 1.174. ;2

cos32

sin xxy −=

1.175. ;arcsin xy = 1.176. ;arccos xy =

1.177. ( );arctgtg xy = 1.178. ;2

ctg2

tg xxy =

1.179. ;12

cos2 +=xy 1.180. ;

2cos

2sin2 xxy +=

1.181. ;coscossinsin 22 xxxxy +−=

1.182. ;2sin2cos2sin32cos 22 xxxxy ++=

1.183. ;2

sin xy = 1.184. ;3

sin

−=

πxy

1.185. ;4

cos

+=

πxy 1.186. ;tg xy =

1.187. ;tg11

2 xy

+= 1.188. ;

ctg11

2 xy

+=

1.189. ;tgctg

1xx

y = 1.190. .2ctg2sin xxy ⋅=

Найти область значений функций (1.191 – 1.198):

1.191.

+−=

133cos

211 πху ; 1.192. 13

5sin2 −

−= xу π ;

1.193. xy 2sin34 −= ; 1.194. 5cos2 2 −= xy ;

1.195. 2)2sin2(cos xxy += ; 1.196. 2)2

cos2

sin( xxy −= ;

1.197. x

ysin34

−= ; 1.198.

5sin3−

=x

y .

1.199. Найти наибольшее значение функции 2)cossin(2 xxy −−= .


ПУ

15

1.200. Найти наименьшее значение функции xxy 44 cossin += .

Найти область определения функций (1.201 – 1.204):

1.201. 100cos

sin xy = ; 1.202. х

ycos

200sin

= ;

1.203. 2

sin222 ++

−=

xxxy ; 1.204.

3cos232

−+−

=xxxy .

Решить уравнения (1.205 – 1.271):

1.205. ;cos2sin3 xx = 1.206. ;0cossin2 =+ xx

1.207. ;01cos

cos2cos 2=

−−x

xx 1.208. ;0cos1

1sin2cos2=

−−−

xxx

1.209. ;02sin 42 =+ xx 1.210. ;0cos22 =+ xx

1.211. 3

cos π=x ; 1.212. π=xsin ;

1.213. ( )( ) xxxx 2sincos1cossin2 =+− ; 1.214. xx 44 cos1sin −= ;

1.215. 4cossin3

cossin1

22 =+xxxx

; 1.216. x

xcos

33gt2 2 =+ ;

1.217. ;44cos47sin2sin °°=x 1.218. ;63sin29cos2cos21 =x

1.219. ;1cos32cos += хx 1.220. ;12cossin5 =+ xx

1.221. ;02cos1

cos=

+ xx 1.222. ;0

sincoscos2

=+x

xx

1.223. ;)2

cos(3sin2cos1 2 xxx +−=−π 1.224. ;3sin)2

2(sincos xxx =+−π

1.225. ;2

coscossin 22 xxx =− 1.226. ;5,02sincossin 44 −=+ xxx

1.227. ;4

6сos3cossin 44 xxx −=+ 1.228. ;14cos2coscos8 =⋅⋅ xxx

1.229. ;3cos5sin4 =+ xx 1.230. ;2

tgsin32sin xxx =+

1.231. ;2cos4cos3cos5cos xxxx ⋅=⋅ 1.232. ;cossin22cossin xxxx ⋅=+

1.233. ;77cos23cos2

sin4 22 =+⋅ xxx 1.234. ;cos

17cos82cos2x

xx =+−


ПУ

16

1.235. ;85cossin 44 =+ xx 1.236. ;2tg3ctg32ctg2 xxx =−

1.237. ;cos8ctg2tg 2 xxx =+ 1.238. ;23sin2sin =+ xx

1.239. ;coscossinsin 6446 xxxx −=− 1.240. ;cos1sin1ctg2

xxx

++

=

1.241. ;3sin3sin4sin4 23 =−+ xxx 1.242. ;cos41sinsin3 xxx −=

1.243. ;62sinsin6 22 =+ xx 1.244. ;3sin2sinsin 222 xxx =+ 1.245. ;22cossin 24 =+ xx 1.246. ;0ctg32tg =+ xx

1.247. ;1cossin 33 =+ xx 1.248. ;12sin2ctg =− xx 1.249. ;1coscos =− xx 1.250. ;cos2sinsin xxx =+

1.251. ;sin2coscos xxx =− 1.252. ;23cos

23sin2 =+ xx

1.253. ;2cossin43sin xxx ⋅= 1.254. ;43ctgtg =⋅ xx

1.255. ;169sin2sin 22 =+ xx 1.256. ;cos5tgsin xxx =⋅

1.257. ;1cossin =+ xx 1.258. ;2sin3cos2 =+ xx

1.259. ( ) ( );tgctgtgtg tt ππ = 1.260. ;02sin1

2cos=

− xx

1.261. ;cossin211 xx −=− 1.262.

3217cossin 88 =+ xx ;

1.263. ;1672cos2sin 66 =+ xx

1.264. ( ) ;012cossin122sin5 =++− xxx

1.265. ;cos3cos4cos1 32 xxx −=−

1.266. ;0)2

(sin)(cos1 =+

+−−xx ππ

1.267. ;2сos1)30(sin)60(cos xхx +=+++

1.268. ;sin21)sin(cos)2sin1( 2 xxxx −=−+ 1.269. ;tg1)2sin1()tg1( xxx +=+−

1.270. ;cos2cos2sinsin 2 xxxx +=+

1.271. .cos4sin2sin2sin 2 xxxx −=−


ПУ

17

1.272. Найти число решений уравнения 6sin10cos3 2 += xx , принадлежащих отрезку [0; 3,5π].

1.273. Найти число решений уравнения x

xxsin

1cosctg1 +=+ ,

принадлежащих отрезку [0; 2π].

1.274. Найти наибольший корень уравнения xx 11tg2tg = на интервале (0; π).

1.275. Найти наибольший корень уравнения xx 5ctg3ctg = на интервале (0; 2π).

1.276. Найти сумму корней (в градусах) уравнения x

xxcos

1sintg1 +=+ ,

принадлежащих отрезку [0; 2π].

1.277. Найти сумму корней (в градусах) уравнения xx 2cos4cos −= , принадлежащих отрезку [0; π].

1.278. При каких значениях а уравнение 1cos 2 −= ax не имеет решения?

1.279. При каких значениях а уравнение 221sin ax = не имеет решения?

1.280. При каких значениях а уравнение а

аx5,025,1cos

−−

= имеет решения?

1.281. При каких значениях а уравнение а

аx−−

=4

32sin имеет решения?

Решить системы уравнений (1.282 – 1.288):

1.282.

=+

=+

;3

,1sinsinπyx

yx 1.283.

=⋅

=⋅

;3tgtg

,43sinsin

yx

yx 1.284.

=+

=+

;2

,2sinsinπyx

yx

1.285.

=

=

;3

1coscos

,3sinsin

yxyx

1.286. ( )

=+

⋅=−

;2

,sinsin2sinπyx

yxyx

1.287. ( )( )

=−=+

;0sin,0sin

yxyx

1.288. ( )

=+

=+

.2

,0sin22 yx

yx


ПУ

18

Решить неравенства (1.289 – 1.306):

1.289. xx cossin ⋅ > 0; 1.290. xx 22 cossin − < 0;

1.291. 22

sin2 −≤x

; 1.292. 2

16

2cos −≥

−

πx ;

1.293. 3

72tg3tg1

72tg3tg

>

−⋅+

−−

π

π

xx

xx; 1.294.

31

7tg2tg1

2tg7

tg<

+⋅−

+

+

π

π

xx

xx;

1.295. ;21sin >x 1.296. ;03sin3sin2 2 >−+ xx

1.297. ;1tg ≤x 1.298. ;23sin <x

1.299. ;13ctg >x 1.300. ;342

tg3 <

+

πx

1.301. ;212cos

4sin

4cos2sin ≤⋅+⋅ xx ππ 1.302. ;02cos2sin ≤⋅ xx

1.303. ;12tgtg1

2tgtg≥

⋅−+

xxxx 1.304. ;5,0sin2 ≥x

1.305. ( ) ;2sincossin <− xxx 1.306. .4cos3cos2cos xxx −≤

1.307. Найти наименьшее натуральное решение неравенств:

а) 22)(sin <− x ; б)

23сos <− x .

1.308. Доказать, что если:

а) (х2 + 3) (х2 –10х + 24) < 0, то 2

cos x < 0;

б) (х2 + 1) (х2 – 5х + 6) < 0, то 2

sin x > 0;

в) (х2 – 3х) (х2 – х + 1) < 0, то xsin > 0; г) (4х2 – 9) (х2 + х + 1) < 0, то хcos > 0.

§ 2. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства Упростить выражения (2.001 – 2.015):

2.001. ;57

157

2275

9)a+

−+

+−


ПУ

19

;11

:11

)4

4 33

4

4

44

аbаbаb

bааb

аbаb

аbаbаb −−

−+

−+

−−б

2.002. ( );36

321

11528

31512)a −⋅

−+

−−

−

( ) ( )( ) ;31:

2)б

33

244244

аbbаbа

bаbа−

−−−++

2.003. ;67

127

526

45)+

+−

−−

+a

( )( )

( );164 34 3

4 34

4244 bааbbаааb

bаbbааb

−

++−

⋅−

−б)

2.004. ;511

6113

835

21)−

−+

+−

+a

;16864

241) 2

2

33 4

3

1++−

−−

−

−

−аа

ааа

ааб

2.005. ;31113

2136

7611

5) ++

+−

+−

a

( ) ;3232

391216

32) 44

4

4

4

+⋅

+−

−++

+ аа

аааааб

2.006. ;76

137

436

3)−

++

+−

a

( ) ( ) ( ) ;) 3 233 53 233 323 5

3322

ухууухухх

ухух+−

−−+

+−б

2.007. ;75

227

525

3)−

++

−+

a

( )( ) ;

11

11

211

121) 4

4 34

4 3

4

аа

ааа

аа

+−

⋅−

⋅

−++

+

− −

б

2.008. ;117

487

1811

3)−

+−

−+

a


ПУ

20

;1

234

1

3

2) 232

35

32

31

32

31

−−

+−+

−−

+−

−

−

хххх

хх

х

хх

хб

2.009. ;58

353

238

5)−

−+

+−

a

( )( )

( )( )

;)31

32

3 2

23

23

аbbа

bbаааbаа

bа+

−

−⋅

−

+б

2.010. ( );53:33

1523

313

2) +

−+

−+

−a

;4)б 21

3

31

31

3 23 b

bа

bbаb −

+

++

2.011. ;513

835

2313

10)−

−+

+−

a

;23

21

2

3)1

1

31

34

31

31

32

31

−−

−

−

−−

−

−−

− аа

аа

а

аа

аб

2.012. ;73572

337

427

9) −−

++

+−

a

( ) ;1) 21

2

1

23

23

21

21

2

21

21

−

−

− ⋅

−

−−

+

аbbа

bа

bаб

2.013. ;775

227

525

3) ⋅

−+

+−

+a

( ) ;11

11)

13

4

4 321

44

4 3 −−⋅

−

++

⋅

+

−− ааа

ааа

ааб

2.014. ;13513

835

2313

10) −−

−+

+−

a


ПУ

21

( ) ( ) ;1:) 122

3 21

32

2

23

23

−

−−

+−−

−−

−

+bа

аbbbаа

bаа

аbа

bаб

2.015. ( ) ;5333

1523

313

2) 1−+⋅

−+

−+

−a

.33:2

)

23

21

2

3

21

21

bаbаb

bbаа

bааbа

−−

++

++

−

б

Решить уравнения (2.016 – 2.030): 2.016. ;33325 22 =+−−++ хххх 2.017. ;192422 22 =+−−+− хххх 2.018. ;1253322 22 =+−−++ хххх 2.019. ;92214 222 ++=+++++ хххххх

2.020. ;251

1=

++

+ хх

хх

2.021. ;23

11

11

=+−

−−+

хх

хх

2.022. ;11

112 хх

х +=+

−−

2.023. ;016

2416 =+−

−− хх

х

2.024. ;42

11

1=

−−

+− х

хх

2.025. ;2152152

2

хххх

=+++

2.026. ;2124 2 хх =−−

2.027. ;1241 2 −=−+ ххх

2.028. ;01611 2 =−+−− ххх

2.029. ;0218 2 =+− хх

2.030. .02 2 =++ хх Найти абсциссы точек пересечения графиков функций (2.031 – 2.045):

2.031. ;125175 33 −+=+= хyихy 2.032. ;1310 33 +−=−= хyихy


ПУ

22

2.033. ;10216 33 +−=−= xyихy 2.034. ;13173 −+=−+= хyихy

2.035. ;0232 3 =+−+= yиххy 2.036. ;113 хyихy −=−=

2.037. ;21221 33 xyихy −−=+= 2.038. ;3134 33 −+=+= xyихy

2.039. ;25713 3 +−=+= xyихy 2.040. ;1123 −−=−= хyихy

2.041. ;1653 −=+−+= yиxхy 2.042. ;31343 −=+−+= yиxхy

2.043. ;62473 +−=−−= хyихy 2.044. ;1323 +−=−−= хyихy

2.045. .343 3 23 2 +=−−= xyихy

Решить неравенства (2.046 – 2.060): 2.046. ( ) ;62453) 2 −≤+−− хxхха ;4

3cos) 35

531+−

−

≥

x

xπб

2.047. ( ) ;2221) 2 +≥−++ хxхха ;33

cos) 3142314

xx

ctg −−−−

≥

ππб

2.048. ( ) ;3423) 2 +>−++ хxхха ;3

sin6

sin)435

435−+

−+

≥

x

x ππб

2.049. ( ) ;4554) 2 +>−++ xxхха ;16

6sin)

1451≤

−− xб π

2.050. ( ) ;6661) 2 −≤−−− хxхха ;93

) 5311

+−

<

x

x

tg πб

2.051. ( ) ;6661) 2 +>−−+ хxхха ;66

) 17431743

−−−−

≤

x

x

ctgtg ππб

2.052. ;92

2810

28)4 24 2

+−−

≤+

−−х

ххх

ххa ;93

) 21122

−−

>

x

ctg πб

2.053. ;4

652

6)4 24 2

+−+

≥+−+

ххх

хххa

;24

cos) 3112

+−−

≤

x

xπб

2.054. ;0914

1811) 2

4 2≥

−+−−

хххxa ;

6sin

6)

41934193

−−−−

<

x

x

tg ππб

2.055. ;0149

710) 2

4 2≥

−−+−хx

хxa ;93

) 2173

2 <

+x

tg πб


ПУ

23

2.056. ( ) ;0665) 5 22 ≤−−−− xхxха ;166

sin) 125

+−−

≥

x

xπб

2.057. ( ) ;0241016) 3 22 ≤+−+− xхxха ;81

43cos)

222

2++

≥

xxxπб

2.058. ;013) 25 ≥−− хxa ;

33cos)

542

2542 −−−−

≤

xxxx

ctg ππб

2.059. ;023) 23 ≥−+− хххa ;16

43sin) 2

2

2 −−

>

x

xxπб

2.060. ( ) ;049) 62 ≥+− ххa .

6sin

6cos)

475475 −−−−

<

xx ππб

Решить системы уравнений (2.061 – 2.075):

=+

=+−+

;1236,325

ухyхyх2.061.

=+

=+−++

;19311,22318

ухyxyx2.062.

=+

=+−++

;523,252

ухyхyх2.063.

=+

=+−++

;825,2223

ухyхyх2.064.

=−

−=−−++

;1925,252133

xyxyyх2.065.

=−

−=−−++

;93,5152123

xуxyyх2.066.

=

=+

;8,333

хуyx2.067.

=+−

=+

;3

,3

3 233 2

33

yxyx

yx2.068.

=−

=−

;5

,66533

ухxy

yx

2.069.

=−++

=−

;455

,12

yxyx

yx

xy

2.070.

=−

=−

;5

,65

ухyx

xy

2.071.

=

=+

;9

,3411

хуух2.072.

=−+

=+

;3

,3

хуух

ух2.073.

+=

+=−

;5,8

ухуууххх2.074.


ПУ

24

=++

=−

.9

,23

хуухху

ух

2.075.

Дополнительные задания 2.076. Упростить числовые выражения:

;347) +а ;223)б −

( ) ;23625625)в ⋅−++ ;6224)г +

;28817)д 4 + ;24923013)е +++

;2142021420)ж 33 −++ ;725725)з 33 −−+

32232

32232)и

−−

−+

++

+

;48632

232)к++++

++

;549548) 4 −⋅+л ( ) ;5254952) 363 −⋅+++м

;4

7sin2523

255)

21

3

32 π−

−−

−н

;725725723723) 6644 +⋅−++⋅−о

( )( ) ( )( ).682682)244244 +−⋅−+п

2.077. Проверить справедливость равенств:

;15614549) =−+−а

;23473819) =−−−б

;327

847627

8476) 33 =−++в


ПУ

25

( ) ( )

( ) .425252541325

1028

402564

3)

;82462

2462462

246)

;1812318327

62049625625)

;2725725)

333

1

333

3

33

2

33

=+−−⋅

−

++

−

=

−−

−+

++

+

=−+−−+⋅−

=−−+

−

ж

е

д

г

2.078. Упростить выражения:

;:)а

+−

−+

+++

bаbа

аbаb

аbbа

bаbа

( ) ( ) ( )( )

;1

112111) 22

13

1

+⋅

+−−+

⋅

−−

− −

−

−

аааааа

ааб

;1

1

1

1:1

111

11)в

2

2

2

2

2

−+

−−−

−−

−+

−

++

+−

−+

хх

хх

хх

хххх

хх

хх

;2:2

)г

2222222

−+

−−−−+

аb

bа

аbа

bаааbааа

;12

111

1111

11)д22

+−

⋅

+−+

+−+

−+−−+ х

ххх

ххх

( )

;211:

11)ж

;121)е

5,05,1

5,0

5,0

5,05,12

75,025,0

−

−

+−

+

++

−

+−

+

ххх

ххх

аааа

( ) ;)з25,05,0

5,05,05,0

5,05,0

−+

⋅

−

+

⋅+⋅хахаах

хаххаа

;42)()(

)2

33 23 23 13 1

2

31

31

61

652

31

31

61

65

bааа

аbbаbа

аbаbаbаb

−+−

++−

−+

+

−−

−−

и


ПУ

26

( ) ( )( )

( ) ;22

1422)

6

31

31

31

13 23 2

−

−

−

−

−

−++ аах

хаааххк

;,221:42

8) 32

3

32

332

31

34

bааbbаааb

bаbа

bаа<−++−

−

++

− еслил

( ) 0,

2

1:) 10 3

51

21

21

21

21

51

21

23

>>−⋅

−+

+

−⋅

+

−

−аbаb

bаbа

ааbbаb еслим ;

( )( ) 2

122

21

2222

22

2224

2

44

1

22)−

−−−

−−

+−⋅

−−−

ахах

хаах

ха

ахахн ;

( )

( ) ( )

−−⋅

+−−

−−

−−+

+аааа

а

аа

а 111

11

1

11

1) 2221

21

21

о ;

( )( ) 222

2

23

8222

28

) аааа

аа

−++

++

+

−

п ;

( ) .2:2211

)5,01−+−

−+−+

−хх

ххх

хх

р

2.079. Вычислить:

.121где,

1

12)б

;04,0,9где,211

)а

2

2

212

4

4 34 3

+=

−−

−

==

++

++

−−

−

аах

хх

х

ухху

ху

хуху

хухуух

Решить уравнения (2.080 – 2.115): ;242.080.2 2 −=−−+ ххх ;4312.081.2 =−++ хх

;323.082.2 =−+− хх ;013.083.2 =++− хх


ПУ

27

;17.084.2 +=− хх ;11.085.2 −=− хх

;13.086.2 ххх −=−+ ;253.087.2 ххх =++−

;05312.088.2 =−−−+− ххх ;69696.089.2 =−−−−+ хххх

( ) ;01245.090.2 2 =−++ xxх ( ) ;024117.091.2 24 =+−− xxх

;2

2652

26.092.2−−−

=−−−

ххх

ххх ;2

3333.093.2 =−−+−++

хххх

;0218.094.2 2 =+− хх ;3

19

23

1.095.22 −

=−

++ ххх

;232

42.096.2 =+−

+−х

х ;12611246.097.2 =+−+++−+ хххх

;1112.098.2 33 =−+− xх ;2153.099.2 33 =+−− xx

;157.100.2 33 =−+− xх ;021.101.2 333 =++++ ххх

;25525.102.2 6 233 ххх −=−−+ ;725978.103.2 44 =−++ хх

;25

2121

1212.104.2 33 =

−−

+−−

хх

хх

;1524.105.2 33 =+−+ хх

;012.106.2 4 =−+ хх ;16)1(6)1(.107.2 41

21

=−+− хх

;56.108.2 55 =− хххх ;55.109.2 333 ххх =−++

( ) .7131.115.2;182412.114.2

;1224144.113.2;4124.112.2

;352.111.2;6513.110.2

3322

442

−++=−+−−=−−

+=+++=+

=−+−=−++

ххххххх

хххх

хххх

2.116. Сколько корней имеют уравнения:

( ) ?06);1);1) 5 2324 =+−=−= ххххx вба 2.117. Найти абсциссу точки пересечения графиков функций

хy −= 1 и .342 +−= xxy

2.118. Решить уравнения относительно переменной x:

;22

3)а +=+− х

ха ;1

15)б =−−

ха

;12)в 2 +=−+ хаахх ;)г ххаа =++

;222

22)дах

ахахахах=

−++−−+ ;0)е 22 =−−

− ахх

хах


ПУ

28

;112)ж −=− хах ;12)з ахх −=+

;)и ахх =+ .12)к ахх =−− Решить неравенства (2.119 – 2.152):

;24.119.2 2 хх −>+ ;19.120.2 2 +<+ хх

;2365.121.2 2 ххх +<−− ;234.122.2 2 ххх −≥+−

( ) ;933.123.2 22 −≤+− ххх ( ) ;943.124.2 22 −≤−− ххх

( ) ;111.125.2 222 −>++ ххх ( ) ;32134.126.2 22 −−≤++− ххххх

;1224.127.22

<−−

ххх

;23411.128.2

2

>−−

хх

;12

6713.129.22

≥−−−

ххх

( ) ;011.130.2 2 ≤−+ хх

;01.131.2 2 <−хх ( ) ;031.132.2 23 >−− хх

;021.133.2 25 ≥−−− ххх ( ) ;0322.134.2 4 2 ≥−−+ ххх

;121.135.2 ≤++− хх ;1421.136.2 <+−+ хх

;5813.137.2 −>−+− ххх ;255212.138.2 ххх −≥−++

;112.139.2 3 >−+− хх ;325.140.2 33 −>++ хх

;262.141.2 44 ≥−+− хх ;121.142.2 33 хх −−<+

;33.143.2 хх −>+ ;132.144.2 ≤+−+ хх

;215.145.2 хх +≤+− ;222.146.2 −>+− хх

;11.147.2 2 −≥− хх ( ) ;214.148.2 223 −≥+−+ хххх

;04.149.2 2 ≥+−хх

х ;5368.150.2 хх >+−+

;33

.151.2 137

+−

<

x

x

tg π ( ) ( ) .223223.152.2222 xxx −−

+≥−

2.153. Решить неравенства относительно переменной х: ;032) >++ хахха ;1

213)б <

−−

ах

;12)в +>+ хах ;1)г ахх >−−

;)д 2 хахх −<+ ;)е ахаха >−++

;1)ж 2 хах −<− .2)з 222 ахахха >−+−


ПУ

29

2.154. Решить системы уравнений:

( )

−=−

=−

+−

;1314

,223

22

23)

2 xyуyx

xx

yxа

=+

=+−++

;1629,318

)ух

yхyхб

( ) ( )

=−+

=−++

;8

,636 23

3

yxyx

yxyхв)

=+

=+

;5

,803 22

3 22

yxyy

xyxxг)

=−+++−

=−+−+−

;393112

,39311244 yхyх

yхyхд)

−=−

=+

.16316

,42

2

yzxzу

yzxе)

§ 3. Показательная и логарифмическая функции

3.001. Построить графики функций:

а) ;2xy = б) ;21 x

y

= в) ;xy π= г) ;

31 x

y

=

д) ;2 1−= xy е) ;2 1+= xy ж) ;2 xy = з) ;12 −= xy

и) ;22−

= xx

y к) ;12 += xy л) ;

21 x

y

= м) ;2

21

+

=

xy

н) ;21 2−

−=

xy о) ;1

21

+

−=

xy п) .2 xy −=

3.002. Сравнить с единицей:

а) ;31 3

б) ( ) ;3 2

1 в) ;

52 π

г) ;52−π д) ;

31 5−

е) ;

3

001,1

π

ж) ;4

001,1−

π з) ;

41 2−

+π и) .

41 4

1

3.003. Сравнить:


ПУ

30

а) ;75и

75 5,26,2

б) ;

34 и

34 2,13,1

в) ;1и3

3−

−

π

π г) ;4

и4

231

+ ππ

д) ;32и

32 5261 ++

е) ( ) ( ) .3и3 2352 −−

3.004. Равносильны ли неравенства:

а) ;и55 22xxxx << б) ;12и

41

161 1

−<

>

−xx

xx

в) ?4и4 >> xaa x

3.005. Что больше: а) ;3или2 200300

б) .21 или

31 200300

3.006. Найти области определения функций:

а) ;2sin xy = б) ;3 1 xy −= в) ;31 4

2+−

= x

x

y

г) ;4 165

2

2

+

+−

= xxx

y д) ;21 4

12 −

+

= x

x

y е) .2 95 xxy −−−=

3.007. Сколько действительных корней имеют уравнения:

а) ;212 xx =− б) ;42 xx = в) ;12 += xx

г) ;33 += xx д) ;32 xx −= е) .12x

x =

3.008. Решить уравнения вида ( ) 1=xfa : а) ;12 =x б) ;13 12

=+x в) ;12 652=+− xx

г) ;13 12cos2 =+x д) ;17 3sin2 =+x е) ;12 300402=+− xx

ж) ( ) ( ) ;15 322=−⋅−− xxx з) ;13 3

1011

11

=−

+−

+−+

xx

xx

и) ;17 6639 33=−++− xx


ПУ

31

к) .18 5,0cossin 22=−− xx

3.009. Решить уравнения вида ( ) ( )xxf aa ϕ= :

а) ;255 7752

=− xx

б) ( )( ) ;5425,061,0 6 =⋅−x

в) ;128125,01

=

x

г) ( ) ;1001065 =−− xx

д) ;81

641

=

x е) ;

169

34

43

11=

⋅

−x

x

ж) ( )( );33

4 2=

x

з) ( ) ;8556,2

141

+−

=

xx

и) ;225,04125,0 32

xx

−−

=⋅ к) ;5122...222 1253 =⋅⋅⋅⋅ −x

л) ( ) ;327313 12

2

1 =

⋅ +

++

+ xxx

xx

м) ( ) ;214125,042 6

311

⋅=⋅⋅− xxx

н) ( ) ;104,0125 3113

733

=⋅ −−

−−

xx

xx

о) ( ) ;1001,0100

1

xx

=⋅

п) ( ) ;2713

12910510

−−+−

=

xx р) ;3

333 10

12

21

3 =

⋅

−+

xxx

с) ( ) ;1645,0 811

5213 xxx =⋅− т) ;0255

1

=−−

− xx

xxx

ф) ;...122448163 75,15162

+++=⋅ −− xx у) ;819 sin3sin 2 xx =− х) ;399 cos/2sincos xxx ⋅= ц) .93 3...sin...sin1 =++++ xx n

3.010. Решить уравнения:

а) ;20232 133 =⋅+ −xx

б) ;7233 2 =−+ xx

в) ;02323 1211910 =−−− −−−− yyyy

г) ;251655 3543 −−−− =⋅−− xxxx

д) ;1542162 224 =−−⋅ −xxx


ПУ

32

е) ( ) ;1202222 1323133 =+++ −−− xxxx

ж) ;921469

3143 112 +++ ⋅−⋅=⋅+⋅ xxxx

з) ;562325 1 =⋅−⋅ −xx

и) ;11333 22122 =−+ −− xxx

к) ( ) ;5523232 1133 =⋅−⋅ −− xxxx

л) ;3229 125,321

−++−=− xxxx

м) ( ) ( ) ;025,022497 5,015262 =⋅+−− +−++− xxxx

н) ;01311169

1121

1 323211

=++

−

−−

−−xx

xx

о) ....8311

4322

2145333 927252 +++=++ −−− xxx

3.011. Решить уравнения вида :0212

0 =++ AaAaA xx

а) ;3525 232 =⋅− −− xx б) ;21522 23−

⋅=−x

x

в) ;25055 112 =+ +− xx г) ;8042 1 =++ xx

д) ;81093 12 =+ ++ xx е) ;73

345635 =−⋅ xx

ж) ;24252 5,0 =⋅− xx з) ;8962502 24 =⋅− xx

и) ;12

126282 13

3 =

−⋅−−

−xx

xx

к)

;023851523823 =⋅+−⋅++ −− xxxx

л) ;6254 212 22=⋅− −+−−+ xxxx м) ;322

22 cossin =+ xx

н) ( ) .0125,022 2cos4

sin4

tg2

=−⋅−

−−

−

x

xx

ππ

3.012. Решить уравнения вида :022210 =++ xxx

x bAbaAaA

а) ;03652 1212 =+⋅− ++ xxx б) ;652934 2x

xx ⋅=⋅−⋅


ПУ

33

в) ;147162372 2

xxx ⋅=⋅−⋅ г) .365812163 xxx ⋅=⋅+⋅


а) ( ) ( ) ;43232 =−++xx

б) ;231 2 xx

=+

в) ( ) ( ) ;10625625 =−++xx

г) ( ) ( ) ;23232 xxx=−++

д) ;10125425448481111

−=⋅−⋅−⋅+⋅−−

xxxx

е) ( ) ( ) ;32

432321212 22

−=−++

−−+− xxxx

ж) ;272188 xxx ⋅=+

з) ( ) ( ) ;843310105 =+−xx

и) ;13125 xxx =+

к) ;6543 xxxx =++

л) .033 3 24 1 =−−− −+ xx xx

3.014. Записать в виде логарифмических равенств:

а) ;422 = б) ;412 2 =− в) ;25644 = г) ;12553 =

д) ;8113 4 =− е) ;4643

1

= ж) ;2716

43 2

3

=

− з) .190 =

3.015. Справедливы ли равенства: а) ;216log4 = б) ;5243log3 = в) ;149log

491 −=

г) ;539log 3 = д) ;21

24log

3

21 = е) .

41

31log81 −=

3.016. Найти логарифмы следующих чисел по основанию 2: 16; 1; 0,5;

;2

1 ;22 ;24 по основанию :31 .33;

391;

31;27;

811;

271


ПУ

34

3.017. Найти k, если:

а) ;81log3 k= ;81log 33 k= ;7log 3

491 k= ;22log 5

23 k=

б) ;3127log =k ;

32

22log

3−=k

;2491log =k .01log =k

3.018. Вычислить:

а) ;3

tglog;2

sinlog;6

sinlog 322

πππ

б) ;21log;125log;64log;16log 2

51168

в) ;31;9;3;2;53;2;2

6log10log8log

31

1log449log21

;9log23log55log 33

32

5322

−−

;3

2log2

3lg23log2log7lg312log9log

41227log

3112log2

2

27327383

16

;1000;3;100;27;3;64;91

−

+−+−

г) ( ) ;2431log;4loglog;16log;27log;2

52log;4log 113,0

32

81128

16

9132,0

3

161 3

;log;491log 7 9

371 4

−

aa

д) ;323log

4log3log

12log;1000100;10 2log3log

1083

3632lg9lg

4116lg

212

32 +−−⋅−+

.492581;3loglog92781 2log8log4log21

41

3 333

3log1

3log1

3log1

71259

765 ⋅

+−++

−

3.019. Доказать, что при любом положительном 1≠a ( ) ( ) ( ) ( ) .090sinlog89sinlog...2sinlog1sinlog =°⋅°⋅⋅°⋅° aaaa

3.020. Найти область определения функций:


ПУ

35

а) ( );4log

21 += xy б) ( );log 3 xy −=

в) ;1log 22x

y = г) ( );4log 27 −= xy

д) ;54log

2

31 +

−=

xxy е) ;2log 2

4 −= xy

ж) ( );65log 22 +−= + xxy x з) ( );

9

4log2

2

−

−=

x

xy

и) ;sinlg xy = к) ( );13lg −−= xy

л) ( );64lg xxy −+−= м) .2410

5lg 2 +−

−=

xxxy

3.021. Построить графики функций: а) ( );1log2 −= xy б) ( );4log3 += xy в) ;log

21 xy −=

г) ;log4 xy = д) ( ) ;2log21 −= xy е) ( );1log2 xy −=

ж) ( );log3 xy −= з) ( );2log2 2 xy −= и) ( ) ;2log 22 xy −=

к) ;log2 xy = л) ;lglg xxy += м) ;2 2log xy =

н) ;3 3log xy = о) ;2 2log xy = п) ;21log

21 −

=x

y

р) ;3 3log xy = с) ;2log xxy = т) xy coslog33= ;

у) .21 sinlog

21 x

y

=

3.022. Сколько действительных корней имеют уравнения: а) ;32log2 −= xx б) ;log

31 xx = в) ( ) ;1log3 xx −=−

г) ;2log 7 xx −=− д) ( ) ;22log2 xx =− е) ( ) .21log

21

xx =−

3.023. Между какими последовательными целыми числами заключены логарифмы: ?9log);7log);8log);5log)

21

3132 гвба


ПУ

36

3.024. Сравнить:

а) ;6logи5log 22 б) ;4logи3log21

21 в) ;

31logи

21log 66

г) ;43logи

32log

21

21 д) ;8,0logи

4tglog 7,06π е) ;5,2logи5log 35

ж) .6logи7,0log316,0

3.025. Сравнить с 0 числа:

.31log)з;5log)ж;1log)е;3log)д;7log)г;

31log)в;

31log)б;5log)а

449

21

2122 πππ

3.026. При каких значениях x выполняется равенства: а) ( )( )( ) ( ) ( );1log1log11log 333 −++=−+ xxxx

б) ( ) ( )23log1log23

1log 2

31

2

312

2

31 +−−+=

+−+ xxxxx

x ?

3.027. На сколько ( )a100log2 больше ?100

log2a

3.028. Доказать неравенства: а) ;22log5log 52 >+

б) .231log4log 4

31 −<+

3.029. Найти 24log25 , если .18log,15log 126 βα ==

3.030. Дано: .5log;3log 3030 ba == Найти .8log30

3.031. Найти 3 25lg , если .64lg a=

3.032. Какое из чисел больше: 675log135 или ?75log45

3.033. Решить уравнения: а) ;53 312 xx −− = б) ;32 22 −− = xx

в) ;75 33 xx −− = г) ;52 32

23 −− =xx


ПУ

37

д) ;31

73 3773 −−

=

xx е) ;115 132 xx −− =

ж) ;32681 323 xxx ⋅=⋅ з) ;100425

22 xxxxx ⋅=⋅ ++

и) ;10085 1 =⋅ +xx

x к) .472 123 +− =⋅ xxx

3.034. Решить уравнения: а) ( ) ;5log2 −=− x б) ( );61,04log 3 =x

в) ;41log21 =

−

x г) ;5,1

1251log −=

x

д) ( ) ;64log3 47log5 =−x е) ( ) ;81log2 3

4log6 =− x

ж) ( ) ;5

1325,08log 5 =x з) ;0loglogloglog 223 =xπ

и) ;01loglogloglog 24218 =

−

x к) ;...

222

222224256log

+

−+

−+−=x

л) .001,010lg3

=x

3.035. Найти точки пересечения графика с осями координат: а) ( );6233lg −−++= xxy б) ( ).343log3 −−+= xxy

3.036. Решить уравнения: а) ( );30lg19lg11lglg xx −−=− б) ;5lg2lg −=x

в) ( ) ;145lg

lg2=

−xx

г) ( );6lglg2 2xx −−=

д) ( ) ;19lg12lg5,0 =−+− xx

е) ;113lg 342

=

+−

−x

xx

ж) ;212log3log =− xx


ПУ

38

з) ( ) ( );203log212log5log 333 −=−− xx

и) ( ) ( ) ( ) ;3lg215lg296lg

212510lg

21 22 +−=+−++− xxxxx

к) ( ) ( );5lg5lg −−=+ xx

л) ( ) ;11lg

lg−=

+xx

м) ;0264lg 4 462=

− xx

н) ;2154lg

2lg=

−xx

о) ;021lg 2

2=

−+

−−

xxxx

п) ( ) .329log2 xx −=−


а) ;45lglglg 242 −=− xx б) ;lg4lg4

lg17 xx

x=

−

в) ( )( ) ( ) ;1

1lg11

1lg11lg1

2 =−−

+−−

−+xx

x г) ( )( )

;9lg

36

9lg2−

=−

xx

д) ;3515 2lg4lg5lg21lg3lg 22 +−+−+ ⋅= xxxxx е) ( )( ) ( )( ) ;3lg1,0lg10lg 3 −=⋅ xxx

ж) ;1lg12

lg51

=+

+− xx

з) ( ) ;03logloglog 2343 =−x

и) ;21lg2lg3 =+x

x к) ( ) ( ) ;251lg1lg 3224 =−+− xx

л) 5lglg2lg

lg1 42

22+=

−− x

xxx ; м) ;12log4log 2coscos =⋅ xx

н) ;42log4log 2sinsin =⋅ xx о) ( ) ( ) .22cos1logsinlog3 222 =−+ xx


а) ;1=xx б) ;21 yy yy =

в) ;10000 lg xx= г) ;813log3 =+xx


ПУ

39

д) ;2562log 2 =+xx е) ;104lg =xx

ж) ;100lg xx x = з) ;01,0lg1 =− xx

и) ;1lg =xx к) ( ) xx

x lg55lg31

10 ++= ;

л) .27 310

log27 xx x =

3.039. Решить уравнения: а) ;4log 2

2 =x

б) ( ) ;504 5log3log 264 =+−x

в) ( ) ;921log =−xxx

г) ;5,5logloglog 2793 =++ xxx

д) ( ) ( ) ;3ln12ln211ln 23 =++−+ xxx

е) ;1373log1

17log 22 −

−=−

−−

xx

xx

ж) ;logloglogloglogloglogloglog 355443543 xxxxxxxxx ++=

з) ( ) ( ) ;02lglglglg 3 =−+ xx

и) ( ) ;4log27log 92 += xxx x

к) ;1log3log1 2,004,0 =+++ xx

л) ;log5,0log 22 xx =−

м) ;2921loglog 93 xx x =

++

н) ( ) ( );12lg194lg2lg 22 ++=++ −− xx

о) ( ) ( );124lg5lg1 −=− xx

п) ;2128log2 −=

− xx

р) ( ) ( ) ( );11001 1lg +=+ + xx x

с) ;11 3lglg 22−=− − xx xx

т) ( ) ;07lg393 9,32,72=−⋅

−+− xxx

у) ;07 7lglg =− xx


ПУ

40

ф) ;987 7lglg xx −=

х) ;2504,0

52,0 5,0 xx

=+

ц) ;242104 1 =⋅− −xx

ч) ;0162129 =⋅−+ xxx

ш) ( ) ( ) 8154154 =−++xx .


а) ;683 2 =⋅ +xx

x

б) ;543 xxx =+

в) ;13 3103 2=− +− xxx

г) ( )( ) ;172log1log 33 =−+ x

д) ;1653 30loglog2 45 =+ xx

е) ;103lg1lg3

=−

xx

x

ж) ( ) ;2412

81 2

1822

x

x

−−−

⋅=⋅

з) ( ) ;072325 3513 =+⋅−⋅ −− xx

и) ;2222 221121122 −++−+ ⋅+=+⋅ xxxx xx

к) ;212 122

1213

−−

+−

=− xx

xx

л) ( )

;1323 24 log2log=⋅−

−+− xxxx

м) ;1001

3

lg311 2

=− x

x

н) ( ) ( ) ;10245245 22 =−++xx

о) ( ) ( ) ;13log2log 22 =−+− xx xx п) ( ) ( ) ( ) ;122log1log1log

21

21

21 =−−++− xxx


ПУ

41

р) ;022tg22cos 12 =+− −xx

с) ;log73log 755 xx =+

т) ;777333 2121 ++++ ++=++ xxxxxx

у) ;3255459 2842 =⋅+⋅ −− xx

ф) ;964111xxx

−−−=+

х) ;964 xxx =+

ц) ;469111xxx =+

ч) .042105252 =⋅+⋅−⋅ xxx

3.041. Решить системы уравнений:

а)

=−−=+

;9lglg,3lg2lg

23 yxyx

б)

=−=−

;0256,0365

yy

x

x в)

=+=+

;6loglog,34

22 yxyx

г)

==

;4,40

lg yxxy

д)

−=−

=⋅+⋅

;4332

,4

113223

yx

yx

е)

=⋅=⋅

;43223,64832

yx

yx

ж)

=⋅

=+

;9832

,91832

yx

yx

з)

=+=−−− ;2055

,1005511 yx

yx и)

==−

−−

;93,34349

2

11

yxy

yx

к)

=⋅=⋅

;4553,7553

xy

yx л)

=⋅=⋅

;1832,1654

x

yx м)

=−=⋅+ ;055

,1642743 yx

yx

н)

=+=⋅;4157

,1562527yx

yx о)

=⋅+⋅=⋅−⋅

−+

−−

;1465226,30927955

51

14

yx

xy п)

==−−

+

;13,7299

1yx

yx

р)

=⋅=⋅

;2005125,36643

xy

xy с)

=⋅=⋅

;1832,40054

x

yx т)

=⋅=⋅

;5432,2432

xy

yx

у)

=+=+−

;6,11272

yxy xx

ф)

==

+

−

;3,5

2

12

y

y

xx х)

=

=

;2324,9

2xxy

y


ПУ

42

ц)

==

;,

23 yxyxy x

ч)

==

;,

yx

xy

yxyx ш)

+==−

;3lg1lg,8132

xy

yx

щ)

==

;2log,100lg

xx

y

x ь)

=−=

;16log,45

yxx

x

y ъ)

==

;19log,0logloglog 2

x

xx y

ы)

=−

=+

;5,1loglog

,28

919

22

yxx

yy

x

э)

=

=−

;16

,38loglog

xy

yx xy ю)

=+=+

.5;2lglglg

22 yxyx

3.042. Найти все значения k, при которых уравнение ( )( ) 2

1lglg

=+x

kx

имеет только один корень.

3.043. Решить неравенства:

а) ;913 >x б) ;273 >x

в) ;12 63 >− x г) ;499

73

<

x

д) ;23 >x е) ;41

41 56 2

>

−xx

ж) ;91

31

2

<

−xx з) ;

4412

ππ>

−

+xx

и) ;455 12 +>+ xx к) ;4loglog 32

3 >x л) ( ) ;015log

31 >−x м) ( ) ( );44lg1lg 2 +≥− xx

н) ( ) ( );5lg1lg xx −>+ о) ( ) ;47log21 >−x

п) ( ) ;log62log71

71 xx <− р) ( ) ( );3lg3lg 2 −>− xx

с) ;08lg2lg2 ≤−− xx т) ( ) ;16125,0 4

xx

≤−


ПУ

43

у) ;1213log

21 <

+−

xx ф) .112log3 <−x


а) ( );5lg6lg +> xx

б) ( ) ( ) ;3log3log8log 5,05,05,0 xxx +−>+

в) ( ) ;0123

17log2

23 <

−

+

xx г) ;08274 >−⋅− xx

д) ;01839 21 >−+ ++ xx е) ;0162104 >+⋅− xx

ж) ;22255 43221 +++++ −−<− xxxxx з) ( ) ( ) ;323log2log2 88 >−−− xx

и) ;12,0 263loglog 22

31

>+

+

xx

к) ;22log >xx л) ( ) ;123log 2 >− xx м) ;1125loglog2 5 <− xx

н) ;1log 232 <+ xx о) ( ) ;186

32 <+−−x

xx

п) ( ) ;12 862>− +− xxx р) ( ) ;13 3

53<− −

−x

xx

с) ( )( ) ;02log 52 >+−− xxx т) ( ) ;034log 23 <+−− xxx

у) ;0107

5lg 2 >−−

−

xxx ф) .1

21loglog 22 −>

−−

xx


а) ;02

12lglg >−−x

x б) ;12

23log2 <−−

xx

в) ;11lg3 <−x г) ;1)96(log 24 <+− xx

д) ( )( ) ;1

8lg86lg 2<

−+−

xxx е) ;1

23loglog 42 −>

−+

xx

ж) ( )( ) ;0

3log2log

2

3 <−+

xx з) ( ) ;176log 2

2 <+− xx

и) ;1lg11

lg1

>−

+xx

к) ;6logloglog 3313 <++ xxx

л) ;63 323 loglog <+ xx x м) ( ) ;1124loglog 2 ≤−x

x


ПУ

44

н) ;255 6128log

>−−x

xx

о) ;211

121

1−−>

− xx

п) ( ) ;121log21 −>+ x р) ( )( ) ;11loglog 22 <−x

с) ( ) ;288log 253 >+++ xxx т) ;1

5654log −<

−+

xx

x

у) ;17111log 3 <−x ф) ;3

8tg

8tg <

−

−xx ππ

х) ( ) ;264log 2

21 −<+− xx ц) ( ) .09143log 2

21 <+− xx

3.046. Решить системы неравенств:

а)

>+−−

≤

;021

21

,13,0 cos

xx

x

б)

<

>

⋅

−−

−

;282

,6427

98

32

5,362 xx

xx

в) ( )

+<−−

>+−

+

;7lg225lg

,06416

52

2

xxxx

x г)

( )

>

>−−++ .12

,022log252

222 xx

xx

§ 4. Производная функции и ее применения

4.001. Дана функция ( ) .3cos23

xa

xxf ++

= Найти множество значений

параметра а, при которых уравнение ( ) 0=′ xf имеет решение.

4.002. Решите уравнение ( ) ( ),xgxf ′=′ если ( ) ( ) .4cos21,2sin3 xxgxxf ==

4.003. При каких значениях x производная функции ( ) xxxxf 2cossin 44 ++= равна 1?

4.004. Определить точки, в которых производная функции xxf 2sin)( = принимает положительные значения.

4.005. Определите точки, в которых производная функции

xxg 2cos)( = принимает отрицательные значения.


ПУ

45

4.006. Определить абсциссы точек, в которых график функции xxh 4sin)( = расположен выше графика производной этой функции.

4.007. Найти абсциссы точек пересечения графика функции xxxf cossin4)( −= и графика ее производной.

4.008. Составить уравнение касательной к графику функции xxy tgsin= в

точке с абсциссой .30π

=x

4.009. Составить уравнение касательной к графику функции 2

cos2 xy = в

точке с абсциссой .23

0 π=x

4.010. Составить уравнение касательной к графику функции xxy 2cos= в


=x

4.011. Составить уравнение касательной к графику функции xy 2cos= в


=x

4.012. Определить точки, в которых касательная к графику функции xxxf cossin)( += образует тупой угол с осью абсцисс.

4.013. Найти все значения х, при каждом из которых касательные к графикам функций ( ) xxy 5cos3= и ( ) 23cos5 += xxy параллельны.

4.014. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ) xxxf −= 2cos на отрезке [ ].;0 π

4.015. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ) xxxf += 2sin

на отрезке .0;4

−

π

4.016. Точка движется прямолинейно по закону .)( 3 2ttS = Показать, что ее ускорение обратно пропорционально квадрату пройденного расстояния.


ПУ

46

4.017. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 16

4)(2 +

=x

xy

на промежутке [ ]3;3− .

4.018. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

( ) xxxy +−= 3 213)( на промежутке [ ]0;7− .

4.019. Определить точки, в которых касательная к графику функции

xxxg −= 2)( образует острый угол с осью абсцисс.

4.020. Определить точки, в которых касательная к графику функции xxxf −=)( образует тупой угол с осью абсцисс.

4.021. Записать уравнение прямой, проходящей через точку K(0,5; 2),

касающейся графика функции 25,0)( 2 +−= xxf и пересекающей в двух

различных точках график функции .4)( 2xxg −=

4.022. Найти площадь треугольника, образованного касательной, проведенной к графику функции xy 413 −= в точке с абсциссой 20 −=x и осями координат.

4.023. Найти абсциссу точки пересечения касательной к графику функции 22,5 −−= xy с угловым коэффициентом k = – 1,3 и осью абсцисс.

4.024. Найти тангенс угла между касательными, проведенными к графикам функций 12 −= xy и 2−= xy в точке их пересечения.

4.025. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат и касательными к графику функции 24 +−= xy , проходящими через точку (2; – 4).

4.026. Какое наименьшее значение может принимать на промежутке [0; 2]

производная функции ( ) 122 +−= xxxf ?

4.027. Найти наименьшее значение функции xxy +−= 21 на отрезке [0; 4].

4.028. Найти абсциссу точки пересечения касательной к графику функции 32,4)( += xxf , имеющей угловой коэффициент k = 0,7, с осью Ox.

4.029. Найти абсциссу точки пересечения касательной к графику функции 54,5)( +−= xxf , имеющей угловой коэффициент k = – 0,9, с осью Ox.


ПУ

47

4.030. Найти абсциссу точки пересечения касательной к графику функции 48)( −−= xxf , имеющей угловой коэффициент k = – 0,8, с осью Ox.

Дополнительные задания Найтите производные функций (4.031 – 4.032):

4.031. а) ;xx)x(f 12 24 −+= б) ;315)( 67 +−= xxxf

в) );1()1()( +−⋅+= xxxxf г) ;sin)( xxxf ⋅=

д) ;)2()3()( 22 −⋅+= xxxf е) ;cos)(2x

xxf =

ж) ;11)(

+=

xx

xxf з) ;

2

)(

21

21

23

x

xxxf −=

и) ;)(5 23

xxxxf ⋅

= к) ;3)( 2 −= xxf

л) y = ;3sin x м) ;5

cos xy =

н) ;cossin xxy −= о) ;cossin xxxy ⋅+=

п) ;3

sin 3 xy = р) ;tgctg xxy +=

c) ;sin2 xy = т) ;3

tg31

+=

πxy

у) ;1cos2x

xy = ф) .tg6 xy =

4.032.

а) ;2

cos xy = б) ;cos1

sinx

xy+

=

в) ;2

sin2

cos 44 xxy −= г) ;sin1sin1

xxy

−+

=

д) ;sin

1tgx

xy += е) ;)

32

2(sin)( 3xxf −=

π

ж) );43cos()( −= xxf з) );3tg(2)( 2 −+−= xxxf


ПУ

48

и) ;12

cos)6

2sin(5cos)( ππ+++= xxxf к) .

3tgtg13tgtg)(

xxxxxf

⋅−+

=

4.033. Найти значения производной функций в точке х0:

а) ,6

sin3341)( 45 π

−+−= xxxxf ;20 −=x б) ,cos3)( xxh = ;40π

−=x

в) ,sin2)( xxxh += ;20π

=x г) ,2sin)(x

xxf = .0 π=x


а) ,0)(' =xf если ;2423

3)( 2

3+−−= xxxxf

б) ,0)(' =xf если .)2()3()( 45 −⋅+= xxxf

4.035. Решить неравенство 1≤)x('g)x('f , если ,7)( 2 π−+−= xxxf

105221 2 +−= xx)x(g .

4.036. Решить неравенство 1 + 5 0)('6)( ≥+ xfxf , если x

xf−

=1

1)( .

4.037. Определить точки, в которых производная функций ( )xf принимает положительные значения:

а) );2)(2()( 23

23

−+= xxxf б) .28)( 2

6

−

−=

xxxf

4.038. Определить точки, в которых производная функций принимает отрицательные значения:

а) ;1

1)(23

++−

=xx

xxg б) ).43sin(2)( += xxg

4.039. Найдите точки, в которых равны значения функции и ее производной:

а) ;2)( 23 xxxh −= б ) ).3

2sin()( π−= xxh

4.040. Дана функция 3)53()( axxaxf −−= . Найти все значения a , при которых уравнение 0)(' =xf имеет корни.


ПУ

49

4.041. Найти все значения a , при которых неравенство 0)(' <xf не имеет

действительных решений, если 3)( 35 ++= axxxf .

4.042. При каких значениях параметра a вершина А параболы 1322 ++= axx)x(f лежит на расстоянии 5 единиц от начала координат.

4.043. Написать уравнение касательной к графикам функций )x(y в точке М:

а) 3213

−+

=xxy ; М(2; 7); б) ;

313 +

=xy М(2; 3).

4.044. Написать уравнение касательной к графику функции 3

13 +=

x)x(f в

точке его пересечения с осью абсцисс.

4.045. Найдите угол наклона касательной к графику функции x

x)x(g 44−= в

точке с абсциссой .40 −=x

4.046. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции

xxx)x(f 323

23

+−= в точке с абсциссой 0x =3.

4.047. В какой точке касательная к графику функции

613231 23 −−+= xxx)x(g имеет угловой коэффициент, равный 2?

4.048. При каком значении a парабола 132 −+= axxy в точке пересечения с осью OY имеет угловой коэффициент касательной, равный 2?

4.049. В какой точке параболы 12 2 +−= xxy можно провести касательную, к ней, параллельную прямой .53 += xy

4.050. Показать, что касательные, проведенные к графику функции 24

−−

=xxy

в точках его пересечения с осями координат, параллельны.

4.051. При каком значении a угловой коэффициент касательной к параболе 32 ++= axxy в точке пересечения ее с осью OY равен 2?


ПУ

50

4.052. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 423 +−= xxy в точке пересечения его с графиком функции 3xy = .

4.053. Найти b и c в уравнении параболы cbxxy ++= 2 , если прямая xy = касается параболы в точке М(1; 1).

4.054. Найти b и c в уравнении параболы cbxxy ++= 2 , если прямая bxy 22 += касается параболы в точке, абсцисса которой равна 2.

4.055. В какой точке касательная к графику функции 22)(

−+

=xxxf образует

угол 135° с осью ОХ ? Написать уравнение касательной.

4.056. Найти кратчайшее расстояние от параболы 168)( 2 +−= xxxf до прямой 12 +−= xy .

4.057. Тело движется по закону 8103 23 +−= ttS . Найти скорость движения в конце третьей секунды.

4.058. Тела движутся по законам, заданным уравнениями 5231 23

1 −+= ttS и

13421 2

2 ++= ttS . В какой момент времени скорости движения тел равны?

4.059. Найти точки, в которых скорость изменения функции 12)( 2 += xxf равна скорости изменения функции 3)( 4 −= xxg .

4.060. Точка движется по закону 11255,0)( 234 −+−= ttttS . В какие моменты времени ускорение точки равно нулю?

4.061. Найти силу, действующую на материальную точку массой m кг, движущуюся прямолинейно по закону tttx −= 23)( , в момент времени t = 3 с.

4.062. В момент t после начала движения тело, брошенное вверх с

начальной скоростью 0v , находится на высоте 2

)(2

0gttvth −= . Определить, в

какой момент времени из промежутка [ ]3;1 скорость падения будет наибольшей.

4.063. Найти критические точки функций:

а) ;2sin xy = б) ;2

sin3 xy =


ПУ

51

в) ;cos xxy += г) .2

cos3 xy =

4.064. Найти промежутки возрастания (убывания ) и экстремумы функций:

а) ;44

)(x

xxg −= б) .33 xxy −=

4.065. Найти промежутки возрастания и убывания функций: а) ;cossin3 xxy −= б) ( ) .352sin xxy −−=

4.066. Найти точки экстремума функции 336)( 23 +−+= xxxxf на отрезке

−

51;5 .

4.067. Найти экстремумы функций:

а) ;2coscos2 xxy +−= б) xxy cos21

+−= на .0;2

−

π

4.068. Доказать, что функция xxy sin2 += возрастает на всей числовой оси.

4.069. При каких значениях a функция 1)( −= axxf является убывающей на всей области определения?

4.070. Исследовать функции с помощью производной и построить их графики:

а) ;13)( 23 +−= xxxf б) ;323

)( 23

xxxxf +−=

в) ;12

)( 2

2

+=

xxxf г) ;

22)( 2 +

+=

xxxf

д) ;1)( 2xxxf += е) ;

12)( 2x

xxf+

=

ж) ;2coscos2 xxy −= з) .2sinsin2 xxy +=

4.071. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: а) 142)( 23 +−−= xxxxf на [ ];1;1−

б) 532)( 23 +−= xxxf на [ ];3;1−

в) x

xxf 28

)( += на [ ];6;1


ПУ

52

г) 16

5)(2 +

=x

xf на [ ];3;3−

д) xxxf 2sin3)( −= на ;2

;0

π

е) xxxf −= sin)( на [ ].;0 π

4.072. Найти такое положительное число, чтобы разность между ним и его кубом была наибольшей.

4.073. Из всех прямоугольников площадью 100 м 2 выбрать тот, у которого периметр минимальный.

4.074. Из всех прямоугольников с диагоналями 4 см найти тот, у которого наибольшая площадь.

4.075. Из всех равнобедренных треугольников с периметром р найти треугольник с наибольшей площадью.

4.076. В полукруг радиуса r вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти его высоту и площадь.

§ 5. Задачи по планиметрии

5.001. Доказать равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

5.002. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) медиана АD перпендикулярна биссектрисе СЕ. Найти угол АСВ.

5.003. В треугольнике АВС перпендикуляр, опущенный из центра описанной окружности на биссектрису угла В, проходит через точку пересечения медиан треугольника АВС. Найти величину угла В.

5.004. В треугольнике АВС медианы АА1 и СС1 пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Найти стороны треугольника, если АА1 = 9 см, СС1 = 12 см.

5.005. В остроугольном треугольнике АВС высоты ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Найти угол ОАВ, если ВС = 2ВС1.

5.006. В треугольнике АВС медианы ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Найти ОА, если ВВ1 = 36 см, СС1 = 15 см.

5.007. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон ВС и АС пересекаются в точке О. Найти длину ОС, если АВ = 10 см, а угол ВОА = 120°.


ПУ

53

5.008. Выразить угол ромба через его площадь Q и площадь S вписанного в него круга.

5.009. В треугольнике АВС медиана АТ перпендикулярна медиане ВK. Найти площадь треугольника АВС, если АТ = 3 см, ВK = 4 см.

5.010. Меньшая диагональ параллелограмма с острым углом α равна его меньшей стороне a . Найти площадь параллелограмма.

5.011. Стороны АВ и ВС прямоугольника АВСD равны 12 см и 16 см. Окружности, вписанные в треугольники АВС и АDС, касаются диагонали АС в точках K и Т. Найти расстояние между точками K и Т.

5.012. Длины сторон АВ и ВС прямоугольника АВСD равны 12 см и 5 см соответственно. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей О до центра окружности, вписанной в треугольник АОD.

5.013. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса r . Найти длину стороны ромба.

5.014. Большая диагональ параллелограмма равна 14 см, а меньшая делится перпендикуляром, опущенным на нее из вершины острого угла на отрезки 2 см и 6 см. Найти стороны параллелограмма.

5.015. Биссектриса угла параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке F и продолжение стороны СD в точке Т. Найти стороны параллелограмма, если ВF = 6 см, СТ = 2 см.

5.016. Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 см и 12 см. Найти площадь трапеции.

5.017. Около квадрата, сторона которого равна а, описана окружность, а около окружности – правильный шестиугольник. Определить площадь шестиугольника.

5.018. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной m и n. Определить площадь трапеции.

5.019. Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 4 см.

5.020. В правильный треугольник со стороной, равной а, вписана окружность, а около окружности описан правильный шестиугольник. Найти площадь шестиугольника.

5.021. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 6π .


ПУ

54

5.022. Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см2.

5.023. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60º.

5.024. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найти длины сторон параллелограмма.

5.025. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см, а другое 24 см. Диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь.

5.026. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить радиус этого круга, если угол при основании трапеции равен 30º.

5.027. Основания трапеции равны a и b, углы при большем основании равны 6π и 4π . Найти площадь трапеции.

5.028. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

5.029. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой содержат 16 и 44 см, а непараллельные 17 и 25 см.

5.030. В трапеции, площадь которой равна 594 м2, высота 22 м, а разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из параллельных сторон.

§ 6. Задачи по стереометрии

6.001. Вершины А и D ромба АВСD лежат в плоскости α. Расстояние от вершины В до этой плоскости равно 8 см. Вычислить периметр четырехугольника, вершинами которого являются точки В и С и их проекции на плоскость α, если угол между стороной АВ и ее проекцией равен 60°.

6.002. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС (∠C = 90°) проведена плоскость α, параллельная прямой ВС. Угол между катетом АС и его проекцией на плоскость α равен 60°. АС = 10 см, ВС = 8 см. Вычислить периметр проекции треугольника АВС на плоскость α.

6.003. Плоскость прямоугольного треугольника образует с плоскостью β угол α. Катеты треугольника равны 3 см и 4 см; гипотенуза лежит в плоскости β. Найти величину угла, который образует меньший катет с плоскостью β.

6.004. Основание равностороннего треугольника лежит в плоскости β, а его боковая сторона образует с этой плоскостью угол α. Найти величину угла, который образует плоскость треугольника с плоскостью β.


ПУ

55

6.005. На плоскости α дан прямой угол ВАС. Точка М, не принадлежащая этой плоскости, находится на расстоянии 25 см от точки А, на расстоянии 17 см от АВ и 20 см от АС. Найти расстояние от точки М до плоскости α.

6.006. На плоскости β дан угол KMN, равный 60°. Точка S удалена от вершины угла М на 25 см, от стороны МK на 7 см и от стороны MN на 20 см. Найти расстояние от точки S до плоскости β.

6.007. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол α, а с одним из катетов угол β. Найти угол между этой плоскостью и вторым катетом.

6.008. В прямоугольном треугольнике с острым углом α через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол β. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

6.009. Периметр треугольника АВС равен 190 см. В точке D – серединe стороны ВС, к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр DМ, равный 24 см. Найти расстояние от точки М до вершины В, если точка М удалена от середины стороны АВ на 40 см, а от середины стороны АС – на 30 см.

6.010. Из точки О – точки пересечения диагоналей ромба АВСD, восстановлен перпендикуляр ОМ к плоскости ромба, и точка М соединена отрезками прямых с вершинами ромба. Найти площадь ромба, если АВ = 55 см, МС = 64 см и МD = 57 см.

6.011. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С опущен перпендикуляр СD на гипотенузу АВ и в точке D восстановлен перпендикуляр DМ к плоскости треугольника. Точка М соединена отрезками прямых с вершинами А, В и С. Найти площадь треугольника АВС, если МС = 3 дм, МА = 6 дм, МВ = 21 дм.

6.012. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 см и 28 см. Из точки K гипотенузы, удаленной на 20 см от вершины большего острого угла, проведен перпендикуляр KМ к плоскости треугольника, равный 12 см. Найти расстояния от точки М до катетов треугольника.

6.013. На плоскости α дан угол, равный 60°. Точка М удалена от каждой стороны угла на 7 см, а от его вершины – на 13 см. Найти расстояние от точки М до плоскости α.

6.014. Стороны параллелограмма равны 20 см и 50 см. В точке пересечения диагоналей O к плоскости параллелограмма восстановлен перпендикуляр ОМ,


ПУ

56

причем точка М удалена от сторон параллелограмма на 17 см и 25 см. Найти высоты параллелограмма.

6.015. Из точки О – центра окружности, вписанной в треугольник АВС, к его плоскости проведен перпендикуляр ОМ, и точка М соединена отрезками прямых с вершинами треугольника. Найти длину перпендикуляра ОМ, если АВ = 56 см, АС + ВС = 84 см, МА = 25 см и МВ = 39 см.

6.016. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник со сторонами 20 см, 20 см и 24 см. Сечение, проходящее через основание этого треугольника и противоположную вершину другого основания призмы, наклонена к основанию под углом 30°. Вычислить площадь сечения.

6.017. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Вычислить площадь сечения, если катеты равны 6 и 8 см, а боковое ребро – 10 см.

6.018. Найти боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна а и диагональное сечение равновелико основанию.

6.019. Основание прямого параллелепипеда – ромб. Площади диагональных сечений Q1 и Q2. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

6.020. В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α и равны b. Найти площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

6.021. В основании прямой треугольной призмы – равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ = ВС = а и угол А равен α. Через сторону АС к основанию

проведена плоскость под углом γ (γ < 2π ). Найти площадь сечения, если известно,

что в сечении получился треугольник.

6.022. Площади параллельных боковых граней прямой призмы, в основании которой лежит трапеция, равны 16 см2 и 10 см2. Вычислить площадь сечения, преходящего через средние линии оснований призмы.

6.023. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см и равна половине стороны основания. Определить площадь сечения, проходящего через две апофемы.

6.024. Найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, периметр основания которого равен 84 см, а точка пересечения диагоналей сечения удалена от сторон основания параллелепипеда на 15 см и

212 см.


ПУ

57

6.025. Угол между боковым ребром и основанием правильной четырехугольной пирамиды равен °60 , боковое ребро равно а. Через середину одного из боковых ребер перпендикулярно ему проведена плоскость. Найти площадь сечения.

6.026. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, сторона основания равна 12 см. Вычислить площадь сечения, проведенного через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.

6.027. Найти полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, у которой сечение, проходящее через боковые ребра и большую диагональ основания, является равносторонним треугольником площадью S.

6.028. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Найти площадь сечения, если площадь основания S, а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом α .

6.029. В правильной треугольной пирамиде SАВС проведены два сечения: одно – через сторону АС и середину ребра SВ; другое – через середины сторон АВ и ВС и вершину S. Найти длину отрезка прямой, по которому эти сечения пересекаются, если АВ = 12 см.

6.030. В кубе ABCDA1B1C1D1, сторона основания которого равна а, проведены два сечения: одно – через вершины D, A1 и C1, другое – через вершины A, B1 и D1. Найти длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

6.031. Сфера вписана в конус, образующая которого равна 12 см, а радиус основания – 3 см. Найти длину линии касания сферы и боковой поверхности конуса.

6.032. Шар вписан в конус, радиус основания которого равен 4 см, а периметр осевого сечения – 40 см. Найти длину линии касания шара и боковой поверхности конуса.

6.033. Образующая конуса равна 4 см, а радиус его основания – 2 см. Найти площадь поверхности шара, вписанного в конус.

6.034. Образующая конуса равна 2 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объем шара, вписанного в конус.

6.035. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен 500.

6.036. Найти объем шара, описанного около конуса, образующая которого равна 4 см и составляет с основанием угол 60°.


ПУ

58

6.037. В усеченный конус вписана сфера. Радиус нижнего основания конуса равен 3 см, а образующие наклонены к нижнему основанию под углом 60°. Найти радиус сферы.

6.038. Около шара описан усеченный конус, площадь одного основания которого в 4 раза больше площади другого основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его большего основания.

6.039. Около шара с радиусом R описан усеченный конус, образующая которого составляет с плоскостью большего основания угол α. Найти боковую поверхность усеченного конуса.

6.040. Высота конуса в 4 раза больше радиуса шара, вписанного в этот конус. Образующая конуса равна L. Найти площадь, боковой поверхности конуса.

6.041. Найти полную поверхность конуса, если радиус вписанного в него шара равен R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом α.

6.042. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α, вписан шар. Объем конуса равен V. Найти площадь поверхности шара.

6.043. В шар с единичным радиусом вписан конус, образующая которого равна 3 . Найти величины углов осевого сечения конуса.

6.044. В конус, длина образующей которого равна 32 , вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади основания конуса как 4 : 3. Найти радиус шара.

6.045. В конус, высота которого равна 12 см, вписан шар радиусом 3 см. Найти объем конуса.

Дополнительные задания

6.046. Две перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Отрезок СD проведен в плоскости α, параллельной АВ, на расстоянии a от нее. Е – точка в плоскости β, удаленная на расстояние b от АВ. Найти расстояние от точки Е до прямой СD.

6.047. Вершины А и В правильного треугольника АВС удалены от некоторой плоскости β на расстояние, равное n, а точка С – на расстояние, равное m (n > m). На каком расстоянии от плоскости β находится центр вписанного в треугольник АВС круга?

6.048. Ромб АВСD, площадь которого равна 24 см2, а диагональ ВD равна 8 см, согнули по диагонали ВD на 90°. Найти расстояние между точками А и С.


ПУ

59

6.049. Квадрат АВСD со стороной 10 см согнули на 90° по диагонали АС. Найти расстояние между точками В и D.

6.050. Основанием пирамиды служили ромб, сторона которого равна а, а острый угол 60°. Боковые грани наклонены к основанию под углом 45°. Найти высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности.

6.051. Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырехугольной пирамиды, и ее боковое ребро равны а. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

6.052. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

6.053. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h. Двугранный угол при основании равен 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

6.054. В кубе с ребром а центр верхней грани соединен с вершинами основания. Найти полную поверхность образовавшейся пирамиды.

6.055. Центр верхнего основания куба с ребром а соединен с серединами сторон нижнего основания, которые также последовательно соединены. Вычислить полную поверхность образовавшейся пирамиды.

6.056. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно l и составляет с плоскостью основания угол α. Найти высоту пирамиды и площадь основания.

6.057. Найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, зная, что его высота равна Н, основание – ромб, диагонали параллелепипеда составляют с основанием углы α и β.

6.058. В основании треугольной пирамиды – равносторонний треугольник АВС со стороной а. Боковое ребро SA перпендикулярно к плоскости основания, а два других наклонены к ней под углом β. Найти угол между плоскостью основания и гранью SCB.

6.059. Основание пирамиды РАВС – прямоугольный треугольник с катетами АВ = 20 см и ВС = 21 см. Грани РАВ и РАС перпендикулярны плоскости основания, а грань РВС образует с ним угол 60°. Найти высоту пирамиды и площадь основания.

6.060. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и образует с плоскостью основания угол α . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна S.


ПУ

60

6.061. Вычислить боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна а и составляет с одной гранью угол 30°, а с другой – 45°.

6.062. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 2, высота равна 2 . Найти расстояние между боковым ребром SA и диагональю BD.

6.063. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная а, составляет угол α с плоскостью другой боковой грани. Найти объем призмы.

6.064. Определить объем прямого параллелепипеда, диагонали которого равны 14 см и 4 10 см, а диагонали боковых граней – 13 см и 173 см.

6.065. Диагональ прямоугольного параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом ϕ , ее длина равна l, острый угол между диагоналями равен β . Определить объем параллелепипеда.

6.066. Доказать, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен полусумме квадратов трех диагоналей граней, выходящих из одной вершины.

6.067. Доказать, что диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме проекций трех его измерений на диагональ параллелепипеда.

6.068. Доказать, что в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 квадрат площади сечения A1BD в 8 раз меньше суммы квадратов площадей граней.

6.069. Доказать, что сумма квадратов площадей боковых граней прямого параллелепипеда равна сумме квадратов площадей его диагональных сечений.

6.070. Основание призмы – квадрат со стороной а. Одна из боковых граней также квадрат, другая – ромб с углом 60°. Вычислить полную поверхность призмы.

6.071. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в а раз больше площади ее основания. Найти плоский угол при вершине этой пирамиды.

6.072. Найти полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, у которой большая диагональ основания а равна боковому ребру.

6.073. Найти плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды, если этот угол равен углу между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.


ПУ

61

6.074. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α . Определить угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

6.075. Найти величину двугранного угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол, образуемый боковой гранью с основанием, равен α .

6.076. В правильной треугольной пирамиде известны высота H и величина двугранного угла α2 , образованного боковыми гранями. Найти длину стороны основания.

6.077. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной 6 см, и острым углом °30 . Двугранные углы при основании равны °60 . Найти полную поверхность пирамиды.

6.078. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны. Определить угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

6.079. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен .α Вычислить угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

6.080. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали основания AC и BD пересекаются в точке М, α=∠AMB . Вычислить площадь боковой поверхности параллелепипеда, если B1М = b, β=∠ 1BMB .

6.081. В основании пирамиды DАВС лежит прямоугольный треугольник АВС, ∠С = 90°, ∠А = 30°, ВС = 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

6.082. Найти высоту правильной треугольной пирамиды с боковым ребром а, которое образует с плоскостью основания угол 60°.

6.083. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны. Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

6.084. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 через вершину В1 и точку D, делящую диагональ АС1 в отношении 4 : 3 (от А к С1), проведена прямая, пересекающая плоскость основания в точке Е. Найти расстояние между точками А и Е, если АВ = 15 см.

6.085. В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 через вершину В1 и точку Е, делящую диагональ DС1 в отношении 3 : 2 (от D к С1), проведена прямая, пересекающая плоскость основания в точке F. Определить расстояние DF, если АВ = 12 см.


ПУ

62

6.086. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 через вершину В1 и середины ребер АА1 и СС1 проведены прямые, пересекающие плоскость основания в точках М и N. Найти расстояние между точками М и N, если АВ = а.

6.087. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 проведена диагональ АВ1 и биссектриса угла АВ1С1 до пересечения с плоскостью основания в точке D. Найти расстояние АD, если АВ = 5 см и АA1 = 12 см.

6.088. Построить сечение куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер СС1 и С1D1.

6.089. Построить сечение куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D1 куба и середину М ребра АА1.

6.090. Построить сечение куба АВСDА1В1С1 D1 плоскостью D1PL, где P ∈ АВ, L ∈ ВС.

6.091. Построить сечение куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью АKМ, где точка K принадлежит ребру ВС, а точка М – грани DCC1D1.

6.092. Дана четырехугольная пирамида АВСDМ, в основании которой лежит трапеция АВСD (АВ || СD). Построить прямые пересечения граней: а) АDМ и ВСМ; б) АВМ и СDМ.

6.093. Дан тетраэдр АВСD и точки K, М, P лежащие на ребрах АD, ВD, СD соответственно. Построить прямую пересечения плоскостей KМP и АВС.

6.094. Ребра АD и ВС четырехугольной пирамиды МАВСD непараллельны. Построить прямую, по которой пересекаются плоскости МАD и ВСМ.

6.095. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Построить точку пересечения прямой D1В с плоскостью АА1С.

6.096. В правильной треугольной пирамиде SАВС через вершину А и середину стороны ВС провести сечение, параллельное ребру SC. Определить, в каком отношении этим сечением разделится отрезок прямой, соединяющий середины ребер АВ и SC.

6.097. В правильной треугольной пирамиде SАВС через середины ребер SА и АС провести сечение, параллельное высоте АD треугольника АВС. Доказать, что сечением является трапеция, определить ее основания, если SА = 24 см.

6.098. Основание пирамиды – квадрат со стороной а. Высота пирамиды равна h и проходит через одну из вершин основания. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

6.099. В правильной треугольной пирамиде SАВС через биссектрисы углов АSВ и SВС проведены сечения пирамиды, параллельные стороне АС. Найти


ПУ

63

отрезок прямой, по которому эти сечения пересекаются, если АВ = 28 см и SА = 35 см.

6.100. В конус, образующие которого наклонены к плоскости основания под углом α, вписан шар. Найти отношение объема шара к объему конуса.

6.101. В конус с образующей L, наклоненной к плоскости основания под углом α, вписан шар; в него вписан куб. Найти поверхность куба.

6.102. Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра. Объем цилиндра равен 64 π2 . Найти ребро тетраэдра.

6.103. Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра. Ребро тетраэдра равно 4 2 . Найти объем цилиндра.

6.104. Сфера касается всех граней правильной треугольной призмы. Ребро основания призмы равно 1. Найти радиус сферы.

6.105. Сфера радиуса 1 касается всех граней правильной шестиугольной призмы. Найти длину ребра основания призмы.

6.106. В прямую призму, основанием которой является ромб с диагоналями 6 и 8, вписан шар. Найти полную поверхность призмы.

6.107. Радиус шара, вписанного в прямой параллелепипед, равен 2. Длина меньшей диагонали основания параллелепипеда равна 5. Найти полную поверхность параллелепипеда.

6.108. Диаметр шара, вписанного в прямой параллелепипед, равен 12. Длина большей диагонали основания параллелепипеда равна 20. Найти объем параллелепипеда.

6.109. Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами 1 см, 2 см и 2 см описан шар. Найти объем шара.

6.110. Сфера радиуса 5 проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 3 и 4. Найти объем параллелепипеда.

6.111. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с периметром 6 и острым углом 30°. Найти боковую поверхность призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.

6.112. В правильную треугольную усеченную пирамиду с боковым ребром a можно поместить шар, касающийся всех граней, и шар, касающийся ребер пирамиды. Найти стороны оснований пирамиды.


ПУ

64

6.113. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Вписанный шар касается боковых ребер

пирамиды и плоскости основания, сторона которого равна π3 . Найти площадь

поверхности шара. 6.114. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а,

двугранный угол при основании равен α. Найти расстояние от центра шара, вписанного в эту пирамиду, до бокового ребра.

6.115. В шар с радиусом R вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол α. Найти объем пирамиды.

6.116. В конус вписана пирамида SABCD, основанием которой служит трапеция ABCD. Угол BAD равен 45°, основания BC = 6, AD = 30, образующая конуса равна 109 . Найти высоту пирамиды.

6.117. В усеченный конус вписан шар, объем которого в 2 раза меньше объема конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания.

6.118. В шар, радиус которого равен R, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти высоту этого цилиндра.

6.119. Найти наибольший из объемов цилиндров, вписанных в данный конус с высотой H и радиусом основания R.

6.120. Около шара, радиус которого равен R, описан конус наименьшего объема. Найти высоту этого конуса.

6.121. На высоте конуса как на диаметре построена сфера, которая пересекает конус по некоторой окружности. Найти радиус этой окружности, если образующая конуса равна L, а угол осевого сечения равен α.

6.122. Центр сферы совпадает с центром основания конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Найти радиус окружности, по которой сфера пересекает поверхность конуса, если длина образующей конуса равна L, а угол его осевого сечения – α.


ПУ

65

II. ТЕСТЫ

Тест № 1. Тригонометрия Часть А

А1. Вычислить без использования калькулятора и таблиц:

−+++ ππππ

417tg

313ctg

613tg5,2sin .

1) 3

322 + ; 2) 2; 3) 0; 4) 3

32 ; 5) верный ответ не указан.

А2. Упростить выражение: ( ) ( )αααα 4466 cossin3cossin2 +−+ . 1) αα cossin2 ; 2) –1; 3) αα cossin2− ; 4) 1; 5) верный ответ не указан. А3. Существуют значения x, при которых истинно равенство (указать номер равенства):

1) ba

abx+

=2sin ; 2)

aax 1cos += ; 3) 1,

1sin >

−= а

aax ;

4) ;05,1cos 3−=x 5) Нет такого равенства.

А4. Определить наименьший положительный период функции .2

3cos2

3sin xxy =

1) π2 ; 2) 2π ; 3) π

32 ; 4)

3π ; 5) верный ответ не указан.

А5. Найти область определения функции: 1gt1 2 ++= x

xy .

1) ;,2

Znnx ∈+≠ ππ 2) ;, Znnx ∈≠π 3) ;,2

Znnx ∈≠π

4) ;,22

Znnx ∈+≠ ππ 5) верный ответ не указан.

А6. Для функции xxy sinsin −= указать промежутки, на которых .0)( <xy 1) ( ) ;,2;2 Znnn ∈+− πππ 2) ( ) ;,2;2 Znnn ∈++− ππππ

3) ( ) ;,2;2 Znnn ∈+ πππ 4) ;,22

;22

Znnn ∈

++− ππππ

5) верный ответ не указан.

А7. Решить уравнение 2

sin2

cos2sin 44 xxx −= .


ПУ

66

1) ( ) ZkkZnn k ∈+−∈+ ;6

1;,22

ππππ ;

2) ZnnZnn ∈+∈+± ;22

;,26

ππππ ;

3) ( ) ZkkZnn k ∈+−∈+ ;6

1;,2

ππππ ; 4) ∅; 5) верный ответ не указан.

А8. Найти область определения функции .1

2arcsinx

xy+

=

1)

− 1;

31 ; 2) [–1; 1]; 3)

1;31 ;

4)

−−

31;1 ; 5) верный ответ не указан.

А9. Решить уравнение: 6sincos3sin2 22 =+ xxx .

1) ;,3

Znn∈

π 2) ;,23

Znn ∈+± ππ 3) ∅;

4) ( ) ;,6

1 Zkkk ∈+− ππ 5) верный ответ не указан.

А10. Указать корни уравнения xxx cossin31cos2 =+ на отрезке

2;0 π .

1) ;2

;0 π 2) 2

;3

ππ ; 3) 2arctg;4π ; 4)

2;3arctg π ;

5) верный ответ не указан. А11. Упростить выражение: xxxx 4cos2coscossin .

1) ;8sin2 x 2) ;6sin81 x 3) x4sin

41 ; 4) ;8sin

81 x 5) верный ответ не указан.

А12. Вычислить .80cos40cos20cos8 °°°

1) ;81 2) ;

161 3) 1; 4) ;

41 5) верный ответ не указан.

А13. При каких значениях а уравнение 26

23cos

aax −

= имеет решение?

1) ( ) ( )0;33; −∪−∞− ; 2) а – любое; 3) ( ) ( )∞+∪−∞− ;33; ; 4) ( ] [ )∞+∪−∞− ;23; ; 5) верный ответ не указан.

А14. Указать решение неравенства 21cos >x на промежутке [ ]π;0 .

1)

3;0 π ; 2)

ππ ;

32 ; 3)

ππ

32;

3; 4)

∪

πππ ;

32

3;0 ;


ПУ

67

5) верный ответ не указан. А15. Выразить α3tg через тангенс угла α .

1) ;tg31

tgtg32

3

ααα

−

− 2) ;tg1

tgtg2

3

ααα

−

+ 3) ;tg31

tgtg2 2

ααα

−−

4) ;tg1

tgtg3 32

ααα

++ 5) верный ответ не указан.

А16. Решить уравнение xxx cos2sinsin += .

1) Znn ∈+ ,22

ππ ; 2) Znn ∈+− ,24

ππ ; Znn ∈+ ,22

ππ ;

3) Znn ∈+ ,24

ππ ; 4) Znn ∈+− ,22

ππ ; Znn ∈+− ,24

ππ ;

5) верный ответ не указан. А17. Найти значение выражения °+− 200cos5,05,05,05,02 . 1) °50cos2 ; 2) °50cos4 ; 3) °40sin ;

4) °40sin21 ; 5) верный ответ не указан.

А18. Упростить выражение .10sin15cos25sin2 °−°°

1) °50cos ; 2) °50sin ; 3) °50cos21 ; 4) °50sin2 ;

5) верный ответ не указан. А19. Указать, какие из заданных функций нечетные: 1) xxy cossin2 += ; 2) xxxy 5tg4cos2sin3 += ; 3) xxy 2sintg += ;

4) ;cos3 xxy += 5) нет нечетной функции. А20. Записать наименьший положительный корень в градусах для уравнения:

02sin1

2cos=

− xx .

1) 120°; 2) 135°; 3) 150°; 4) 60°; 5) верный ответ не указан.

Часть В В1. Найти наибольшее значение функции xxy 2sin2cos2 += .

В2. Вычислить 4775cos15cos +°⋅° .

В3. Упростить до числового ответа выражение: .tg)cos21(cos

1cos2 222

2α

ααα

+−

−


ПУ

68

В4. Вычислить 10 αsin , если

∈= ππαα 2;

23,

101

2sin .

В5. Сколько общих точек у графиков функций ( )xy arccoscos= и xy arccos= ?

Тест № 2. Показательная и логарифмическая функции, уравнения и неравенства

Часть А А1. Указать из заданных функций убывающую на всей области определения:

1) ;32 2 += +xy 2) ;2 2log xy = 3) ;21 x

x

y

=

4) ;32

1 3−

=

−xy 5) нет такой функции.

А2. Найти область определения функции: .21

43x

xx

y

−++

=

1) R; 2) );0( ∞+ ; 3) ( ) ( )∞+∪−∞− ;03; ; 4) ( ) [ ];4;30; ∪∞− 5) верный ответ не указан.

А3. Сколько действительных корней имеет уравнение: xx=

31 ?

1) 2; 2) 1; 3) нет корней; 4) бесконечное множество; 5) верный ответ не указан. А4. Какая из заданных функций принимает только отрицательные значения:

1) ;221 2

−

=

+xy 2) ;2 2

12

2

+

++

−= xxx

y 3) ;43 1 −= +xy

4) ;212

32 +

−=

xy 5) нет такой функции.

А5. Если x0 – корень уравнения 81

641

=

x

, то 3

3 0 43

+x равно

1) 2; 2) 8; 3) 0; 4) 1; 5) верный ответ не указан. А6. Если k – число корней уравнения 81093 12 =+ ++ xx , а x0 – его

положительный корень, то 324 0xk − равно

1) 0; 2) 2; 3) 3; 4) 1; 5) верный ответ не указан.


ПУ

69

А7. Среднее арифметическое корней уравнения

023851523823 =⋅+−⋅++ − xxxx

равно 1) 0; 2) 3; 3) 2; 4) 6; 5) верный ответ не указан.

А8. Найти значение выражения 31213 0 +x , где x0 – корень уравнения

.24252 5,0 =⋅− xx 1) 18; 2) 16; 3) 21; 4) 30; 5) верный ответ не указан. А9. Найти сумму корней уравнения: 2112 416164 xx xx +⋅=+⋅ −− . 1) 5; 2) 1; 3) 0; 4) –3; 5) верный ответ не указан. А10. Вычислить 16log169log3 138 ⋅⋅ .

1) 16; 2) 1; 3) 75; 4) ;23 5) верный ответ не указан.

А11. Указать сумму всех целых значений из области определения функции: ( )xxy

x

−++= 23log2

1 .

1) –1; 2) 0; 3) 2; 4) 1; 5) верный ответ не указан. А12. Если [ ]15;5∈x , то множеством значений функции 3

273 log5log xy −= является промежуток: 1) [0; 1]; 2) [–1; 0]; 3) (–1; 0); 4) [1; 5]; 5) верный ответ не указан. А13. Если x0 – корень уравнения 21 322 −− ⋅= xx , то ( )300 +xx равно: 1) 8; 2) 4; 3) 10; 4) –4; 5) верный ответ не указан. А14. Корень уравнения 0loglogloglog 222

21 =x принадлежит промежутку:

1) [0; 18]; 2) [–1; 15]; 3) [0; 15]; 4) [20; 66]; 5) другой промежуток. А15. Сумма корней уравнения 13log4log 9

33 =− xx равна:

1) ;313 2) 29; 3) 30; 4) 84; 5) верный ответ не указан.

А16. Произведение корней уравнения 104lg =xx равно:

1) 10; 2) ;101 3) 2; 4) 100; 5) верный ответ не указан.

А17. Найти значения выражения 21

21 10xx

xx−++ , если x1 и x2 – корни уравнения:


ПУ

70

.6

25ctg25loglog 25

π=+ xx


А18. Суммы yx + каждой пары решений системы ( )

−=++−=++

5lg2)lg()lg(,5010 lg1

yxyx

yx

равны 1) 0; 2) 4; 3) 3; 4) 5; 5) верный ответ не указан.

А19. Если );( 00 yx – решение системы

=⋅

=⋅

,1243

,632yx

yx то 00 yx каждой пары равно:

1) 1; 1; 2) 1; 4; 3) 1; 4) 4; 5) верный ответ не указан.

А20. Если );( 00 yx – решение системы

+=

=−

,3lg1lg

,8132

xy

yx то 00 yx − каждой пары

равно: 1) 10; 11; 2) 11; 3) 10; 4) 11; 12; 5) верный ответ не указан.

Часть В В1. Указать наименьшее натуральное решение неравенства:

.32)3(log)2(log2 88 >−−− xx

В2. Записать сумму целых решений неравенства: ( ) .13,02263

2log

31log

>+

+

x

x

В3. Указать наименьшее целое решение неравенства: .52824)2(

32

)1(2 >+−−− xxx

В4. Сколько целых решений имеет неравенство: ( )

065

1log2

23 <

+−

+

xx

x?

В5. Найти число целых решений неравенства: .13

153

11 −

<+ +xx

Тест № 3. Производная и ее применение

Часть А А1. Указать верное утверждение: 1) если производная функции в некоторой точке равна 0, то эта точка

является точкой экстремума;


ПУ

71

2) если функция недифференцируема в некоторой точке, то она не является

непрерывной в этой точке; 3) производная четной функции является нечетной функцией; 4) свое наибольшее значение функция может принимать только в точке

максимума; 5) верное утверждение не указано.

А2. Продифференцировать функцию sin7 cos7

y x π= .

1)7

cos7cos7 πx ; 2) 17cos7 cos sin sin77 7 7

x xπ π− ; 3)cos 7

7x π +

;

4) cos7 sin7

x π− ; 5) верный ответ не указан.

А3. Найти y '(0), если .1

2)(2 +

=x

xyx

1) ln 2; 2) ln 2 – 0,5; 3) – 0,5; 4) 1; 5) верный ответ не указан. А4. Указать количество целых решений неравенства ( ) ( ) 0f x x′ ′+ ϕ ≤ , если

3 2 2( ) 2 12 , ( ) 9 72f x x x x x x= + ϕ = + . 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) нельзя определить; 5) верный ответ не указан.

А5. Материальная точка движется по закону 2( ) 2S t t t= + . В какой момент времени t скорость движения v = 3?

1) 2; 2) 1; 3) 0,5; 4) 1,5; 5) верный ответ не указан.

А6. Найти сумму экстремумов функции .253)( 35 +−= xxxy 1) 0; 2) 6; 3) 2; 4) 4; 5) верный ответ не указан.

А7. Указать длину промежутка убывания функции .422

5)(2

3 +−−= xxxxy

1) 53

; 2) 73

; 3) 7; 4) 5; 5) верный ответ не указан.

А8. Точками максимума функции ( ) (1 cos )sinf x x x= + являются точки:

1) 2 ,3

x n n Zπ= − + π ∈ ; 2) 2 ,

3x n n Zπ= + π ∈ ; 3) ,

3x n n Zπ= + π ∈ ;

4) 5 2 ,3

x n n Zπ= + π ∈ ; 5) верный ответ не указан.

А9. Найти критические точки функции .253)( 35 +−= xxxy

1) х = 7 и х = 0; 2) х = 7; 3) х = 1; 4) 71

=x и х = 0;



ПУ

72

А10. Третий член и разность арифметической прогрессии соответственно

равны наибольшему и наименьшему значению функции 212x

xy += на отрезке

[0,5; 2]. Найти сумму шести членов этой прогрессии. 1) 30; 2) 45; 3) 39; 4) 42; 5) верный ответ не указан.

А11. Найти абсциссу точки на кривой 2ln += xy , если ее касательная, проведенная в этой точке, наклонена к оси ОХ под углом 45о.

1) 0; 2) 2 ; 3) 2 2− ; 4) 1; 5) верный ответ не указан.

А12. В какой точке угол между касательной к кривой 252 +−= xxy и осью ОХ равен углу наклона прямой у = х к оси ОХ?

1) (3; – 4); 2) (2; – 4); 3) 5 17;2 4

−

; 4) (3; 1); 5) верный ответ не указан.

А13. Найти больший корень уравнения ( ) 2 ( )f x f x′ = , если 2( ) ( 3 1)xf x e x x−= + + .

1) 2; 2) 1; 3) 0; 4) – 1; 5) верный ответ не указан. А14. Решить неравенство ( ) ( )f x g x′ ′> , если ( ) ln( 5), ( ) ln( 1)f x x x g x x= + − = − . 1) (5; );x∈ + ∞ 2) ( ;1) (5; );x∈ −∞ ∪ + ∞ 3) (1; 5);x∈ 4) (1; 3) (5; );x∈ ∪ +∞ 5) верный ответ не указан. А15. Вычислить сумму b + с, если прямая у = 2х + 2b касается параболы

у=х2 + bх + с в точке М(2; 0). 1) 0; 2) – 2; 3) – 6; 4) 2; 5) верный ответ не указан. А16. Определить углы треугольника, образованного осями координат и

касательной к графику функции 232 −−= xxy в точке пересечения этого графика с осью ординат.

1) 90о, 60о, 30о; 2) 90о, 45о, 45о; 3) 60о, 60о, 60о; 4) 120о, 30о, 30о; 5) верный ответ не указан.

А17. Дана функция x

xy 1+= . Найти площадь треугольника, отсекаемого

осями координат и касательной к графику этой функции в точке (0,5; 2,5).

1) 8 ;3

2) 16 ;3

3) 4 ;3

4) 2 ;3


А18. В треугольник с основанием 4 см и высотой 3 см вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на основании треугольника. Какова наибольшая площадь такого прямоугольника?



ПУ

73

А19. В шар радиуса R вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, при которой цилиндр имеет наибольшую боковую поверхность.

1) ;2

R 2) 2R; 3) 0,5R; 4) 2;R 5) верный ответ не указан.

А20. Найти наименьшее из расстояний от точки М с координатами (0; –2) до

точек кривой ).0(,2316

3 >−= xx

y

1) 4; 2) 3 ; 3) 2; 4) 43

; 5) верный ответ не указан.

Часть В

В1. Записать количество точек экстремума функции 2

42−

+−=x

xy .

В2. Дано ( ) sin4 cos 4f x x x= ⋅ . Найти 3

f π ′

.

В3. Найти сумму абсцисс точек пересечения графика функции у = х3 + 3х2 и графика ее производной.

В4. При каком наименьшем значении параметра b функция

bxxxy −+−= 23 234 убывает на всей числовой прямой?

В5. Найти наибольшее значение функции 3( ) 4 2f x x x x= − − на отрезке [0; 3].

Тест № 4. Стереометрия

Часть А А1. Если дан параллелограмм ABCD и непересекающая его плоскость, и

через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках A1, B1, C1, D1, и BB1 = 5 см, CC1 = 4 см, DD1 = 7 см, то АА1 равно

1) 5 см; 2) 8 см; 3) 1 см; 4) 10 см; 5) верный ответ не указан. А2. Если высота правильной шестиугольной призмы равна b, а диагонали

двух смежных боковых граней, проведенные из одной вершины, взаимно перпендикулярны, то полная поверхность призмы равна

1) 210 3b ; 2) 212b ; 3) ( )326 2 +b ; 4) 26b ; 5) верный ответ не указан.


ПУ

74

А3. Если основание параллелепипеда – квадрат со стороной а, и боковое ребро b образует с двумя смежными ребрами основания углы по 60º, то объем параллелепипеда равен

1) 2 2 ;

2a b 2)

2 2 ;3

ab 3) 2 3 ;2

ab 4) 2 2 ;3

a b 5) верный ответ не указан.

А4. Если в прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b, а угол между ними равен 60º, и большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда, то объем параллелепипеда равен

1) 2 6 ;

2a b 2) 6 ;

2ab ab 3) 3 ;

2ab ab 4) 2 ;

3ab ab

5) верный ответ не указан. А5. Если боковые грани пирамиды взаимно перпендикулярны, а их площади

равны 2 2 2, ,a b c , то объем пирамиды равен

1) 2 ;3

abc 2) ;3

abc 3) 3 ;2

abc 4) 2abc ;

5) верный ответ не указан. А6. Если около конуса описана правильная четырехугольная пирамида,

каждое ребро которой а, то площадь осевого сечения конуса равна

1) 2 2 ;2

a 2) 2 3 ;2

a 3) 2 3 ;6

a 4) 2

;2a 5) верный ответ не указан.

А7. Если стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды a и b (a > b), а острый угол боковой грани равен α, то объем этой пирамиды равен…

1)3 3

1 cos26cosa b−

− αα

; 2) 3 3

cos26cosa b−

− αα

; 3) 3 3

sina b+

α; 4)

3 3

cosa b+

α;

5) верный ответ не указан. А8. Если в правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что

стороны его верхнего основания лежат в боковых гранях пирамиды, и сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α, то объем куба равен

1)( )3

33

tg2

tg

α

α

+

a ; 2) ( )

3 2

2ctg ;

1 tga α

+ α 3)

( )3

2tg ;

2 tg

a α

+ α

4) 3 2tg ;

1 tga α+ α



ПУ

75

А9. Если высота цилиндра 6 дм, а радиус основания 5 дм, и концы отрезка длиной 10 дм лежат на окружностях обоих оснований, то кратчайшее расстояние от отрезка до оси цилиндра равно

1) 4 3 дм; 2) 4 дм; 3) 3 дм; 4) 5 дм; 5) верный ответ не указан. А10. Если осевым сечением конуса является треугольник с площадью Q, и

образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α, то длина окружности основания равна

1) ;tg

Qπα

2) 2 ;tgQ

πα

3) ;ctg

Qπ

α 4) 2 ;

sinQ

πα

5) верный ответ не указан. А11. Если в усеченном конусе образующая равна l и составляет с

плоскостью большего основания угол α и перпендикулярна к диагонали осевого сечения, то радиусы оснований этого конуса равны

1) ;

coscos2 ;2cos

lR

lr

=αα

=α

2) ;

2coscos2 ;2cos

lR

lr

=αα

= −α

3) ;

sincos2 ;2sin

lR

lr

=α

α= −

α

4) ;

coscos ;

2cos2

lR

lr

=α

α= −

α


А12. Если на поверхности шара даны три точки, прямолинейные расстояния между которыми равны 6 см, 8 см и 10 см, и радиус шара 13 см, то расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки, равно

1) 8 см; 2) 10см; 3) 12 см; 4) 14 см; 5) верный ответ не указан.

А13. Если шар вписан в куб с диагональным сечением площадью 2 2 , то объем шара равен

1) 23π ; 2) 2

6π ; 3) 2π ; 4) 2 ;

3π 5) верный ответ не указан.

А14. Если поверхность шара, вписанного в конус, равна Q и угол при вершине его осевого сечения α, то поверхность конуса равна

1) 2sin ctg 454 2 4Q α α ° − π

; 2) sin4 2Q απ

; 3) 2sin ctg 452 4

Q α α ° − π ;


ПУ

76

4) 2cos ctg 452 2 4Q α α ° − π

; 5) верный ответ не указан.

А15. Если по разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения, площади которых равны 25π м2 и 9π м2, и расстояние между ними 16 м, то поверхность шара равна

1) 320π м2; 2) 280π м2; 3) 300π м2; 4) 325π м2; 5) верный ответ не указан. А16. Если в конус вписана правильная треугольная пирамида со стороной

основания а и боковая грань которой наклонена к плоскости основания под углом α, то площадь осевого сечения конуса равна

1) 2 sin ;24

a α 2) 6tg2 αa ; 3)

2 ctg ;24

a α 4) 2 ctg ;12

a α

5) верный ответ не указан. А17. Если в правильной треугольной призме через сторону нижнего

основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, которая образует с плоскостью нижнего основания угол 45º, а площадь сечения равна Q, то объем призмы равен

1) 4 6 ;

2Q Q 2) 6 ;

2Q Q⋅ 3) 1 ;

2Q Q 4)

4 6 ;4

Q Q

5) верный ответ не указан. А18. Если боковая поверхность конуса S и r – расстояние от центра

основания до образующей, то объем конуса равен

1) Sr; 2) ;3

Sr 3) ;4

Sr 4) 3;Sr

5) верный ответ не указан. А19. Если ребро правильного тетраэдра а, то его объем равен

1) 33 2 ;8

a 2) 3 2 ;4

a 3) 3 3 ;8

a 4) 3 2 ;12

a

5) верный ответ не указан. А20. Если высота конуса 4, а его образующая 5, и в него вписан полушар,

основание которого лежит на основании конуса, то объем вписанного полушара равен

1) 11π; 2) 1152 ;125

π 3) 10π; 4) 12π;



ПУ

77

Часть В В1. Если плоскости двух равнобедренных треугольников с общим

основанием 16 см образуют угол 60º и боковые стороны одного взаимно перпендикулярны, а другого равны по 17 см, то расстояние между вершинами треугольников равно …

В2. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 15 см, ее высота 4 см, а все боковые ребра равны. Найти площадь ее боковой поверхности.

В3. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 16 см. Найти радиус шара, если площади этих сечений 185π см2 и 320π см2.

В4. Прямоугольник со сторонами 5 3 см и 8 см вращается вокруг большей стороны. В образовавшемся цилиндре через середину радиуса основания перпендикулярно ему проведена плоскость. Найти площадь образовавшегося сечения.

В5. В цилиндр с периметром осевого сечения 20 см вписан конус, вершина которого лежит в центре верхнего основания, а основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра. Определить объем конуса с наименьшей

образующей. В ответ записать произведение Vπ3 , где V – объем конуса.

Тест № 5. Итоговый Часть А

А1. Имеется два куска меди и цинка с массовым процентным содержанием меди 10 % и 5 % соответственно. В каком соотношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 6 % меди?

1) 1/3; 2) 1/5; 3) 2/5; 4) 1/4; 5) верный ответ не указан. А2. Результатом упрощения выражения

1 1

1 1

x y

x y

x xy y

y yx x

+ − + −

является

1) x yy

x

−

; 2) 1 yxyx+

; 3) 11

xyxy

+−

;

4) ;x y

xy

+


А3. Найти число, если 25 % его равны ( )5 2 6 3 2+ −


ПУ

78

1) 10; 2) 4; 3) 1; 4) 3; 5) верный ответ не указан. А4. Найти сумму целых отрицательных чисел из области определения

функции 2

42

1 122 9

x xyx x− −

= − ++ −

.

1) –9; 2) –12; 3) –14; 4) –11; 5) верный ответ не указан. А5. Сумма корней уравнения 2 1 2 4x x x x− −+ + + = равна 1) –2; 2) 1; 3) 2; 4) –1; 5) верный ответ не указан. А6. Найти сумму целых решений неравенства

2

24 3 0.

3 2 2x x x

x x x− +

⋅ ≥− + −

1) 3; 2) 4; 3) 0; 4) 2; 5) верный ответ не указан. А7. Значение выражения 2 2 2log cos20 log cos 40 log cos80° + ° + ° равно 1) –2; 2) –3; 3) 3; 4) 4; 5) верный ответ не указан.

А8. Сумма корней уравнения 2 2 3 1 3 0x x x+ − + + = равна 1) –5; 2) –6; 3) –4; 4) 1; 5) верный ответ не указан. А9. Площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных

углов и касательной к кривой 2 5y x= − в точке М(3; 2) равна 1) 5; 2) 7; 3) 4; 4) 6; 5) верный ответ не указан. А10. Сумма числа целых отрицательных решений и наименьшего целого

положительного решения неравенства 2

0,3 6log log 04

x xx+

<+

равна

1) 6; 2) 9; 3) 10; 4) 8; 5) верный ответ не указан. А11. Среднее арифметическое всех корней уравнения tg tg2 tg3 0x x x+ − = ,

принадлежащих промежутку 30;2

π , равна

1) 23π ; 2) 7

9π ; 3)

3π ; 4) 5

9π ; 5) верный ответ не указан.

А12. Какому из указанных промежутков принадлежат корни уравнения ( ) ( )lg5 1 lg 2 1 lg6xx − = + − ?

1) ( ]3; 0− ; 2) [ ]1; 0,75− ; 3) [ ]1; 5 ; 4) ( )6; + ∞ ; 5) ни одному из указанных промежутков.

А13. Число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3; 12 и 3072, равно



ПУ

79

А14. Какому из указанных промежутков принадлежит корень (корни)

уравнения: ( )( )2lg 21lg 10 2 lg lg25x x−− = − ?

1) [–1; 8]; 2) (8; 10); 3) [–2; 6]; 4) (1; 5); 5) другой промежуток. А15. Указать сумму всех целых решений неравенства 2 13 3 0.x xx +− ≤ 1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) –1; 5) верный ответ не указан.

А16. Если x0 – корень уравнения 32 3 2 0x x+ − + = , то 02

0

3 6xx+ равно

1) 9; 2) 3; 3) 53

; 4) 1; 5) верный ответ не указан.

А17. Если около квадрата описана окружность, которая вписана в квадрат с диагональю а, то площадь меньшего квадрата равна

1) 2

;2a 2)

2

;4a 3)

2 2 ;2

a 4) 2 2;a 5) верный ответ не указан.

А18. Если центр верхнего основания куба с ребром а соединен с серединами сторон нижнего основания, которые также соединены в последовательном порядке, тогда полная поверхность полученной пирамиды равна

1) 2;a 2) 2

;2a 3) 24 ;a 4) 22 ;a 5) верный ответ не указан.

А19. Если конус и полушар имеют общее основание, радиус которого равен R, а объем конуса равен объему полушара, то боковая поверхность конуса равна

1) 22 ;Rπ 2) 23 ;Rπ 3) 2 3;Rπ 4) 2 5;Rπ 5) верный ответ не указан. А20. Если расстояние от диагонали куба до непересекающегося с ней ребра

равно d, то объем куба равен

1) 3 22

d ; 2) 32 2d ; 3) 3 2d ; 4) 3 24

d ; 5) верный ответ не указан.

Часть В В1. При каком значении параметра а корни x1 и x2 уравнения

2 2 0x x a− + = удовлетворяют условию 2 17 4 47x x− = ?

В2. Указать корень (сумму корней) уравнения ( ) ( )21/51/3

log 2 1log 19 5 .xx ++ = В3. Если стороны прямоугольного треугольника составляют

арифметическую прогрессию, а периметр треугольника равен 24 см, то площадь треугольника равна …


ПУ

80

В4. Результат упрощения выражения 6 6 2 2

2

sin cos 3sin cos cos

2cos2

α + α + α α + αα

равен … В5. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее боковой стороны AD и

вдвое длиннее основания CD. Длина диагонали АС равна 12, а длина боковой стороны ВС равна 15. Тогда площадь трапеции равна …

Таблицы ответов к тестам

Т е с т № 1 . « Т р и г о н о м е т р и я »

Т е с т № 2 . « П о к а з а т е л ь н ы е и л о г а р и ф м и ч е с к и е ф у н к ц и и , у р а в н е н и я и н е р а в е н с т в а »

Номер

задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10

Номер правильного

ответа 4 2 1 2 4 1 1 3 2 1

Номер задания А11 А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18 А19 А20


ответа 5 2 3 1 4 4 1 4 3 2

Номер задания В1 В2 В3 В4 В5

Правильный ответ 5 1 4 0 1



ответа 4 2 1 3 3 1 3 1 3 3



ответа 4 3 4 4 1 2 1 1 2 2


Правильный ответ 2 2 –1 – 6 1


ПУ

81

Т е с т № 3 . « П р о и з в о д н а я и е е п р и м е н е н и е »



ответа 3 1 1 3 3 4 2 2 2 3



ответа 4 1 3 1 2 1 1 3 4 4


Правильный ответ 2 – 2 0 1 105

Т е с т № 4 . « С т е р е о м е т р и я »



ответа 2 3 1 2 1 5 2 1 3 2



ответа 2 3 4 1 4 2 1 2 4 2


Правильный ответ 13 126 21 120 32

Т е с т № 5 . И т о г о в ы й



ответа 4 4 2 1 1 1 2 3 1 2

Номер А11 А12 А13 А14 А15 А16 А17 А18 А19 А20


ПУ

82

задания Номер

правильного ответа

1 3 4 1 3 2 2 4 4 2


Правильный ответ –15 2 24 1 135

III. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Градусное и радианное измерение углов Для измерения углов и дуг могут использоваться градусы и радианы. Один градус (обозначается: 1º) – это угол, который описывает начальный

радиус, совершая 360

1 часть полного оборота вокруг своей начальной точки

против часовой стрелки (180

1 часть развернутого угла). 601 часть градуса

называется минутой (обозначается: 1′), 601 часть минуты – секундой

(обозначается: 1″). 1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина

которой равна ее радиусу (1 рад. ≈ 57º).

Радианная мера 1º равна 180360

2 ππ= .

Чтобы перевести величину угла α из градусной меры в радианную,

пользуются формулой: 180πα ⋅ , для перевода из радианной меры в градусную

используется формула: π

α °⋅180 .

O

Pα

α P0 x

Рассмотрим единичную окружность (т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На этой окружности отметим точку P0(1; 0), которая при повороте начального радиуса около центра O на угол α радиан перейдет в точку Pα(xα; yα).

Синусом угла α называется отношение ординаты точки Pα к радиусу окружности (так как R = 1, то sin α = y).

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки Pα к радиусу

окружности (так как R = 1, то cos α = х).

y РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

83

Каждому углу α соответствует единственная точка Pα(xα; yα) и,

следовательно, единственное значение синуса и косинуса этого числа. Тангенсом числа α называется отношение ординаты точки Pα к ее абсциссе

(xy

=αtg ).

Котангенсом числа α называется отношение абсциссы точки Pα к ее ординате

(yx

=αсtg ).

Знаки значений функций по четвертям + + – + – +

– – – + + –

а) б) в)

а) для синуса; б) для косинуса; в) для тангенса и котангенса.

Значения тригонометрических функций некоторых чисел (углов)

0 (0˚) 6π (30˚)

4π (45˚)

3π (60˚)

2π (90˚) π(180˚) π

23 (270˚) 2π(360˚)

αsin 0

21

22

23 1 0 –1 0

αcos 1

23

22 2

1 0 –1 0 1

αtg 0 33 1 3 не сущ. 0 не сущ. 0

αctg не сущ. 3 1

33 0 не сущ. 0 не сущ.

Основные тригонометрические тождества

1. ;1cossin 22 =+ αα

2. ;,2

;cossintg Znn ∈+≠= ππα

ααα

3. ;,;sincosctg Znn ∈≠= πα

ααα


ПУ

84

4. ;,2

;1ctgtg Znn ∈≠=⋅πααα

5. ;,2

;cos

1tg1 22 Znn ∈+≠=+ ππα

αα

6. .,;sin

1ctg1 22 Znn ∈≠=+ πα

αα

Формулы, выражающие зависимость между тригонометрическими функциями противолежащих углов

);sin()sin( αα −=− ;tg)tg( αα −=−

;cos)cos( αα =− .ctg)ctg( αα −=−

Формулы приведения Формулами приведения называют соотношения, с помощью которых

значения тригонометрических функций аргументов απ±k

2 выражаются через

значения .ctg,tg,cos,sin αααα Правило:

1. Функция

±απ kf

2 меняется на кофункцию при 12 += nk (нечетном) и

не меняется, если nk 2= (четное). 2. Знак правой части определяется по знаку левой для рассматриваемого

угла, если считать α острым углом.

Например, ααπ cos23sin −=

+ (т.к. 3=k – нечетное, то функция синус

меняется на сходную – косинус; угол находится в IV четверти, если считать α острым углом). Следовательно, получаем αcos− .

Таблица формул приведения Функция απ

−2

απ+

2 απ − απ + απ

−2

3 απ

+2

3 απ −2 απ +2

sin α cos α cos α sin α –sin α –cos α –cos α –sin α sin α

cos α sin α –sin α –cos α –cos α –sin α sin α cos α cos α

tg α ctg α –ctg α –tg α tg α ctg α –ctg α –tg α tg α

ctg α tg α –tg α –ctg α ctg α tg α –tg α –ctg α ctg α


ПУ

85

Формулы сложения и вычитания

;sinsincoscos)cos(.4;sinsincoscos)cos(.3;sincoscossin)sin(.2;sincoscossin)sin(.1

βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα

+=−−=+−=−+=+

;,2

;,;,;1ctgctg

ctgctg)tg(.6

;,2

;,2

;,2

;tgtg1tgtg)tg(.5

ZmmZnnZkk

ZmmZnnZkk

∈+≠+∈≠∈≠−

+=+

∈+≠+∈+≠∈+≠−

+=+

ππβαπβπαβαβαβα

ππβαππβππαβαβαβα

;,2

;,2

;,2

;tgtg1tgtg)tg(.7 ZmmZnnZkk ∈+≠−∈+≠∈+≠

+−

=− ππβαππβππαβαβαβα

;,2

;,;,;1tgtg

tgtg)tg(.8 ZmmZnnZkkcc∈+≠−∈≠∈≠

+−

=− ππβαπβπααβ

αββα

( ) ;,;,2

;,2

;tgtgtgtg1ctg.9 ZmmZnnZkk ∈≠+∈+≠∈+≠

+−

=+ πβαππβππαβαβαβα

( ) ;,;,;,;tgtgtgtg1ctg.10 ZmmZnnZkk ∈≠+∈≠∈≠

+−

=+ πβαπβπαβαβαβα

( ) ;,;,2

;,2

;tgtgtgtg1ctg.11 ZmmZnnZkk ∈≠−∈+≠∈+≠

−+

=− πβαππβππαβαβαβα

( ) .,;,;,;tgtgtgtg1ctg.12 ZmmZnnZkk ∈≠−∈≠∈≠

−+

=− πβαπβπαβαβαβα

Формулы двойного и половинного аргумента ;cossin22sin.1 ααα =

;1cos2sin21sincos2cos.2 2222 −=−=−= ααααα

;,2

;,24

;tg1tg22tg.3 2 ZnnZkk

∈+≠∈+≠−

= ππαππαα

αα

;,2

;2

tgctgtg2tg1

ctg21ctg2ctg.4

22Zkk

∈≠−

=−

=−

=πααα

αα

ααα


ПУ

86

.,2;cos1cos1

2tg.9

;,;sin

cos12

tg.8

;,2;cos1

sin2

tg.7

;2cos1

2sin;

2sin2cos1.6

;2cos1

2cos;

2cos2cos1.5

2

2

Zkk

Zkk

k

∈+≠+−

=

∈≠−

=

+≠+

=

−==−

+==+

ππαααα

παααα

ππαα

αα

αααα

αααα


ПУ

87

Формулы тройного аргумента ;sin4sin33sin.1 3ααα −=

;cos3cos43cos.2 3 ααα −=

;,36

;tg31

tgtg33tg.3 2

3Zkk

∈+≠−

−=

ππααααα

.3

;1ctg3

ctg3ctg3ctg.4 2

3 kπαα

ααα ≠−

−=

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

[ ];)cos()cos(21sinsin.1 βαβαβα +−−=

[ ]

[ ];)sin()sin(21cossin.3

;)cos()cos(21coscos.2

βαβαβα

βαβαβα

−++=

++−=

;,;,2

;,2

;ctgctgtgtgtgtg.4 ZmmZnnZkk ∈≠+∈≠∈≠

++

=⋅ πβαπβπαβαβαβα

;,;,2

;,2

;ctgctgtgtgtgtg.5 ZmmZnnZkk ∈≠−∈≠∈≠

−−

−=⋅ πβαπβπαβαβαβα

;,;,2

;,2

;tgtgtgctgctgctg.6 ZmmZnnZkkcб ∈≠+∈≠∈≠

++

=⋅ πβαπβπαβαβαβ

;,;,2

;,2

;tgtgctgctgctgctg.7 ZmmZnnZkkб ∈≠−∈≠∈≠

−−

−=⋅ πβαπβπαβαβαβ

;,;,2

;,2

;tgctg

ctgtgctgtg.8 ZmmZnnZkk ∈≠−∈≠∈≠++

=⋅ πβαπβπαβαβαβα

.,2

;,2

;,2

;tgctg

ctgtgctgtg.9 ZmmZnnZkk ∈+≠+∈≠∈≠−−

−=⋅ ππβαπβπαβαβαβα

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

;2

cos2

cos2coscos.3

;2

sin2

cos2sinsin.2

;2

cos2

sin2sinsin.1

βαβαβα

βαβαβα

βαβαβα

−+=+

−+=−

−+=+


ПУ

88

;2

sin2

sin2coscos.4 βαβαβα −+−=−

( )

( ) ;;2

;,2

,coscos

sintgtg.6

;;2

;,2

;coscos

sintgtg.5

ZnnZkk

ZnnZkk

∈+≠∈+≠−

=−

∈+≠∈+≠+

=+

ππβππαβαβαβα

ππβππαβαβαβα

;,;,,sinsin

)sin(ctgctg.7 ZnnZkk ∈≠∈≠+

=+ πβπαβαβαβα

;,;,,sinsin

)sin(ctgctg.8 ZnnZkk ∈≠∈≠−

=− πβπαβααββα

( ) .cos;sin, где,sinsincos.11

;4

sin24

cos2sincos.10

;4

cos24

sin2cossin.9

22rq

rpqprrqp ==+=+=+

−=

+=−

−=

+=+

γγγααα

απαπαα

απαπαα

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

( )

( )

( )

.,,

2tg2

2tg1

ctg.4

;,12;,2

,

2tg1

2tg2

tg.3

;,12,

2tg1

2tg1

cos.2

;,12,

2tg1

2tg2

sin.1

2

2

2

2

2

Zkk

ZnnZkk

Zkk

Zkk

∈≠−

=

∈+≠∈+≠−

=

∈+≠+

−=

∈+≠+

=

παα

α

α

παππαα

α

α

παα

α

α

παα

α

α


ПУ

89

Основные тригонометрические функции и их свойства I. y = sin x. D(y) = R; E(y) = [–1; 1]. Функция нечетная, периодическая. =T 0,,2 ≠∈ nZnnπ . Наименьший положительный период: 2π. Нули функции: ., Znnx ∈=π Точка пересечения с осью OY: (0; 0). Промежутки знакопостоянства:

( ) ;,2;2:0sin Znnnx ∈+> πππ ( ) .,2;2:0sin Znnnx ∈+−< πππ

Функция возрастает на промежутках: ;,22

;22

Znnn ∈

++− ππππ

убывает: .,22

3;22

Znnn ∈

++ ππππ

Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках

.,22

Znnx ∈+= ππ

Минимальное значение функции равно –1, оно принимается в точках

.,22

Znnx ∈+−= ππ

График функции: II. xy cos= . D(y) = R; E(y) = [–1; 1]. Функция четная, периодическая. =T 0,,2 ≠∈ nZnnπ . Наименьший положительный период: 2π.

Нули функции: .,2

Znnx ∈+= ππ

-2-1012

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

y = sin x


ПУ

90

Точка пересечения с осью OY: (0; 1). Промежутки знакопостоянства:

;,22

;22

:0cos Znnnx ∈

++−> ππππ

.,223;2

2:0cos Znnnx ∈

++< ππππ

Функция возрастает на промежутках: [ ] ;,2;2 Znnn ∈+− πππ убывает: [ ] .,2;2 Znnn ∈+ πππ Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках

.,2 Znnx ∈= π Минимальное значение функции равно –1, оно принимается в точках

.,2 Znnx ∈+= ππ График функции:

III. xy tg= .

D(y) = все действительные числа, кроме Znnx ∈+= ,2

ππ .

E(y) = R. Функция нечетная, периодическая. =T 0,, ≠∈ nZnnπ . Наименьший положительный период: π. Нули функции: ., Znnx ∈=π Точка пересечения с осью OY: (0; 0). Промежутки знакопостоянства:

;,2

;:0tg Znnnx ∈

+> πππ

.,;2

:0tg Znnnx ∈

+−< πππ

Функция возрастает на промежутках: .,2

;2

Znnn ∈

++− ππππ

-2-1012

-6 -4 -2 0 2 4 6

y = cos x


ПУ

91

График функции: y = tg x

IV. xy сtg= . D(y) = все действительные числа, кроме Znnx ∈= ,π . E(y) = R. Функция нечетная, периодическая. =T 0,, ≠∈ nZnnπ . Наименьший положительный период: π.

Нули функции: .,2

Znnx ∈+= ππ

График не пересекает ось OY. Промежутки знакопостоянства:

;,2

;:0сtg Znnnx ∈

+> πππ

.,;2

:0сtg Znnnx ∈

++< ππππ

Функция убывает на промежутках: ( ) .,; Znnn ∈+πππ График функции:

y = ctg x

Обратные тригонометрические функции

Функция y = sin x на отрезке

−

2;

2ππ возрастает, непрерывна и принимает

значения из отрезка [ ]1;1− , следовательно, на этом отрезке определена функция,

y

x π –π 0

y

y

x O


ПУ

92

обратная функции y = sin x. Обратную функцию называют арксинусом и обозначают y = arcsin x.

Арксинусом числа а, где [ ]1;1−∈a , называется

число (угол) из промежутка

−

2;

2ππ , синус

которого равен а.

.arcsin)arcsin(

;2

arcsin2

;1,)sin(arcsin

aa

a

aaa

−=−

≤≤−

≤=

ππ

На отрезке [ ]π;0 функция y = cos x непрерывна и монотонна, убывает, следовательно, на этом отрезке определена функция,

обратная функции y = cos x, ко торую называют арккосинусом и обозначают xy arccos= .

Арккосинусом числа а, где [ ]1;1−∈a , называется число (угол) из промежутка [ ]π;0 , косинус которого равен а.

).arccos()arccos(;arcsin0

;1,)cos(arccos

aaa

aaa

−=−≤≤

≤=

ππ

Функция y = tg x на промежутке

−

2;

2ππ

принимает все значения из промежутка );( ∞+−∞ , возрастает монотонно и непрерывна, следовательно, на этом промежутке определена обратная функция, которую называют арктангенсом и обозначают

xy arctg= . Арктангенсом числа а

называют число (угол) из

промежутка

−

2;

2ππ , тангенс

которого равен а.

.arctg)arctg(

;2

arctg2

;,)tg(arctg

aa

a

Raaa

−=−

<<−

∈=ππ

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 -1 0 1 2

y = arcsin x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-2 -1 0 1 2

y = arccos x

-2

-1

0

1

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

y = arctg x


ПУ

93

Функция y = ctg x на промежутке ( )π;0 принимает все числовые значения из

промежутка ( )∞+∞− ; , она непрерывна на этом промежутке и монотонно убывает, значит, имеет обратную функцию, которую называют арккотангенсом и обозначают: y = arcctg x.

Арктангенсом числа а называют угол (число) из промежутка ( )π;0 , котангенс которого равен а.

.arcctg)arcctg(;arcctg0

;,)ctg(arcctg

aaa

Raaa

−=−<<

∈=

ππ

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций

;11

arctg1arccosarcsin2

2 <≤−

=−= aa

aaa 0 при

;11

arcctg1arcsinarccos2

2 <≤−

=−= aa

aaa 0 при

;1,arcsinsin ≤= aaa

;22

,)arcsin(sin ππ≤≤−= aaa

;1,arccoscos ≤= aaa ;0,)arccos(cos π≤≤= aaa

;arctgtg aa =

;2

;2

,)arctg(tg

−∈=

ππaaa

;arctgctg aa = ( ) ;;0,)ctg(ctgarc π∈= aaa

;0;1)tg(arcctg ≠= aa

a

;0,1

1arccos1

arcsin1arcctgarctg22

>+

=+

== aaa

aa

a

;2

arccosarcsin π=+ aa

0

1

2

3

4

-10 -5 0 5 10

y = arcctg x


ПУ

94

;2

arcctgarctg π=+ aa

;1;1

)tg(arcsin2

<−±

= aa

aa

;0,1;1)tg(arccos2

≠≤−±

= aaa

aa

;1;1)sin(arccos 2 ≤−±= aaa

;1;1)cos(arcsin 2 ≤−±= aaa

;1

)sin(arctg2a

aa+±

=

;0,1;1)ctg(arcsin2

≠≤−±

= aaa

aa

( ) ;1;1

arccosctg2

<−±

= aa

aa

.1

)cos(arcctg2a

aa+±

=

Тригонометрические уравнения

1. .sin ax = Если 1>a – решений нет.

Если 1<=a , то ( ) .,arcsin1 Zkkax k ∉+−= π Частные случаи:

;1sin =x ;,22

Znnx ∈+= ππ

;1sin −=x ;,22

Znnx ∈+−= ππ

;0sin =x ., Znnx ∈=π 2. .cos ax =

Если 1>a – решений нет. Если 1≤a , то .,2arccos Znnax ∉+±= π Частные случаи:

;1cos =x ;,2 Znnx ∈= π ;1cos −=x ;,2 Znnx ∈+= ππ


ПУ

95

;0cos =x .,2

Znnx ∈+= ππ

3. .tg ax = .,arctg Znnax ∈+= π

4. .ctg ax = .,arcctg Znnax ∈+= π

Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений 1. Уравнения вида:

≠=++

=++

=++

,0,0)(tg)(tg

,0)(cos)(cos

,0)(sin)(sin

2

2

2

acxfbxfa

cxfbxfa

cxfbxfa

где т.д., и

(1)

являются квадратными относительно одной тригонометрической функции одного аргумента.

2. Уравнения вида: ,0)(cos)(sin2 =++ cxfbxfa

0)(sin)(cos2 =++ cxfbxfa и т.д., где ,0≠a

приводятся с помощью замены )(sin2 xf на )(cos1 2 xf− и )(cos2 xf на

)(sin1 2 xf− к виду (1). 3. Однородные уравнения:

а) 0)(sin и 0)(cos;0)(cos)(sin ≠≠=+ xfxfxfbxfa

приводятся к виду abxfbxfa −=−= )(tg,)(tg делением обеих частей на

.0)(cos ≠xf

б) ,0)(cos)(cos)(sin)(sin 22 =++ xfcxfxfbxfa если 0≠a и 0≠c , то 0)(cos ≠xf и 0)(sin ≠xf , то уравнения делением

обеих частей на 0)(cos2 ≠xf приводятся к уравнению:

0)(tg)(tg2 =++ cxfbxfa , которое является квадратным относительно ).(tg xf Если а = 0, то уравнение решается разложением левой части на множители:

( ) .0)(cos)(sin)(cos =+ xfcxfbxf Если с = 0, уравнение решается аналогично. 4. Уравнения, содержащие тригонометрические функции различных углов. Необходимо выразить все тригонометрические функции через функции

одного и того же аргумента.


ПУ

96

5. Уравнения вида ,cossin cxbxa =+ где .022 ≠+ ba

Обе части уравнения делением на 22 ba + обеих частей уравнения приводятся к виду:

.cossin222222 ba

cxba

bxba

a

+=

++

+

Далее вводится вспомогательный угол φ:

,cos,sin2222 ba

a

ba

b

+=

+= ϕϕ

получаем

,)sin(22 ba

cx+

=+ϕ

затем находят x + φ и выражают x, считая 22

arcsinba

b+

=ϕ или

.arccos22 ba

a+

=ϕ

Показательная функция

Определение. Функция, заданная формулой ,xay = где a > 0, a ≠ 1, называется показательной.

Если a = 1, то xay = – постоянная y = 1, и ее свойства отличны от свойств показательной функции.

Свойства: 1) ( ) ;RaD x =

2) ( ) ( ) ;;0 ∞+=xaE 3) Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая. 4) ;1)0( =f

5) Если а > 1, то xay = возрастает на всей области определения,

при x > 0 1>xa , при x < 0 10 << xa . Если 10 << a , то xay = убывает на всей области определения,

при x > 0 10 << xa , при x < 0 1>xa .


ПУ

97

6) Графики:

Если a = e, то xey = . Эта функция называется экспонентой. е ≈ 2,71828 – иррациональное число.

Показательные уравнения и некоторые способы их решения Показательным называется уравнение, содержащее переменную в показателе

степени. Основные методы решения: 1. .1,0,0)(1 0)()( ≠>=⇔=⇔= aaxfaaa xfxf

2. .1,0),()()()( ≠>=⇔= aaxxfaa xxf ϕϕ

3. Уравнения вида 0,1,0,)( >≠>= baaba xf решаются при помощи логарифмирования обеих частей: .log)( bxf a=

4. Уравнение вида 0)( =xaf при помощи замены переменной xat = сводится к решению равносильной ему совокупности простейших показательных уравнений ;...;; 21 k

xxx tatata === где kttt ...,, 21 – корни уравнения 0)( =tf .

Так, уравнение 02 =+⋅+⋅ CaBaA xx с помощью подстановки yax = сводится к

квадратному уравнению .02 =++ CByAy

5. 022 =⋅+⋅+⋅ xyxx bCbaBaA решается почленным делением обеих частей уравнения на 02 ≠xb .

Определение логарифма. Свойства логарифмов Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где

a > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b.

Обозначение: .log ba Если а = 10, то записывают: lg b (десятичный логарифм). Если а = е, то обозначение: ln b (натуральный логарифм).

a > 1

1

0 < а < 1

1


ПУ

98

ba ba =log – основное логарифмическое тождество 0,1,0( >≠> baa ). Свойства: 1. .1,0,1log ≠>= aaaa 2. .1,0,01log ≠>= aaa 3. ( ) .1,0,0,0 где,logloglog ≠>>>+=⋅ aayxyxyx aaa

4. .1,0,0,0 где,logloglog ≠>>>−= aayxyxyx

aaa

5. .0,1,0,loglog >≠>= baabpb ap

a

6. .0,0,1,0,log1log ≠>≠>= nbaabn

b aan

7. .0,,log1logloglog ≠∈=== pRpbp

bpbb paaa

pa pp

8. .1,0,log2log 2 ≠>= aabkb ak

a Формулы перехода к новому основанию.

.1,0,0,1,0,logloglog ≠>>≠>= ccbaa

abb

c

ca

В частности, .1,1,0,0,log

1log ≠≠>>= babaa

bb

a

Логарифмическая функция Определение. Логарифмической функцией называется функция вида

xy alog= , где 1,0 ≠> aa (обратная к функции xay = ). 1. ( )∞+= ,0)(log xD a . 2. .)(log RxE a = 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая. 4. 01log =a (график функции проходит через точку (1; 0)). 5. Если a > 1, то функция возрастает на всей области определения.

При x > 1 y > 0. При 0 < x < 1 y < 0.

6. Если a < 1, то функция убывает на всей области определения. При x > 1 y < 0. При 0 < x < 1 y > 0.


ПУ

99

7. Графики:

Логарифмические уравнения и некоторые способы их решения Определение. Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма,

называются логарифмическими. Основные методы решения: 1. Метод, основанный на определении логарифма.

1,0,log ≠>= aabxa

bax = . 2. Метод введения новой переменной. Уравнение вида ( ) 0)(log =xfp a , где 0)(,1,0 >≠> xfaa решается введением

новой переменной yxfa =)(log . Уравнение сводится к совокупности уравнений ,log...;log;log 21 naaa yxyxyx === где iy – корни уравнения 0)( =yp .

3. Метод приведения логарифмов к одному основанию. Приведение всех логарифмов к одному основанию дает возможность

дальнейшего выполнения преобразований с использованием свойств логарифмов. 4. Метод логарифмирования. Используется для решения уравнений, в показателях которых содержатся

логарифмы, а также уравнений вида )(3

)(1 42 )()( xgxg xgxg = .

Логарифмирование – запись выражений под знаком логарифма. Обратное действие – потенцирование – переход от выражения, содержащего логарифмы, к выражению без них.

5. Метод потенцирования. Уравнение вида 1,0),(log)(log ≠>= aaxgxf aa равносильно системе:

0 < a < 1

1

а > 1

1


ПУ

100

>>=

.0)(,0)(

),()(

xgxf

xgxf

6. Уравнение вида AA xgxf )()( loglog = равносильно системе

=≠>

)()(,1)(,0)(

xgxfxgxg

или

=≠>

).()(,1)(,0)(

xgxfxfxf

Выбор системы определяется тем, какое из неравенств: 0)( >xf или 0)( >xg решается проще.

7. Уравнение вида bxfxg =)(log )( равносильно системе:

=

≠>

).()(

,1)(,0)(

xgxf

xgxg

b

8. Уравнение вида )(log)(log )()( xhxg xfxf = равносильно системе:

=≠>>

)()(,1)(,0)(,0)(

xhxgxfxfxg

или

=≠>>

).()(,1)(,0)(,0)(

xhxgxfxfxh

Выбор системы зависит от того, какое из неравенств: 0)( >xg или 0)( >xh решается проще.

9. Уравнения вида )(log)(log )()( xhxh xgxf = равносильно системе:

=>≠>

)()(,0)(,1)(,0)(

xgxfxhxfxf

или

=>≠>

).()(,0)(,1)(/0)(

xgxfxhxgxg

Выбор системы определяется тем, какое из неравенств решается проще: 0)( >xf или 0)( >xg .

Показательные неравенства Решение простейших неравенств основано на свойствах монотонности

степени:


ПУ

101

а)

>>

⇔

>>

;1),()(

1,)()(

axhxf

aaa xhxf

б)

<<<

⇔

<<>

.10),()(

10,)()(

axhxf

aaa xhxf

Основные методы решения: 1. Приведение обеих частей неравенств к одному основанию. 2. Неравенства вида 0)( ≥xaf при помощи замены переменной xat =

сводятся к решению системы неравенств:

≥>

.0)(,0

tft

Так, с помощью этой подстановки решается неравенство 1,0,0)0(0 22 ≠>≠≥++≤++ aaACBaAaCBaAa xxxx .

3. Неравенство вида 0,1,0,)( >≠>> baaba xf решается при помощи логарифмирования (так как обе части неравенства положительные). Если 0≤b , то неравенство справедливо для любого x из ОДЗ переменной.

Логарифмические неравенства Решение логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности

логарифмической функции:

а)

>>>

⇔

>>

;1),()(

,0)(

1),(log)(log

axhxf

xh

axhxf aa

б)

<<<>

⇔

<<>

).()(,10,0)(

10),(log)(log

xhxfa

xf

axhxf aa

Имеют место следующие равносильности:

1.

>>

⇔

>>

.1,1)(

1,0)(log

axf

axfa

2.

<<<<

⇔

<<>

.10,1)(0

10,0)(log

axf

axfa

3.

><<

⇔

><

.1,1)(0

1,0)(log

axf

axfa


ПУ

102

4.

<<>

⇔

<<<

.10,1)(

10,0)(log

axf

axfa

5. Неравенство вида ( ) ( ) )0log(0log <> xfxf aa , где f – некоторая функция, при помощи замены xt alog= сводится к решению неравенства

0)( ≥tf с последующим решением соответствующих простейших логарифмических неравенств.

6.

>>

<<<<

⇔>

.1)(,1)(

;1)(0,1)(0

0)(log )(

xgxf

xgxf

xgxf

7.

<<>

><<

⇔<

.1)(0,1)(

;1)(,1)(0

0)(log )(

xgxfxg

xf

xgxf

8.

<<><

>>>

⇔>

.1)(0,0)(

),()(

;1)(,0)(

),()(

)(log)(log )()(

xhxf

xgxf

xhxg

xgxf

xgxf xhxh

ПРОИЗВОДНАЯ Определение. Производной функции f(x) в точке х0 называется число, к

которому стремится разностное отношение x

xfxxfxf

∆−∆+

=∆∆ )()( 00 при ∆х,

стремящемся к нулю. Для нахождения производной необходимо:

1)Найти f(x0 + ∆x) и f(x0). 2) Вычислить соответствующее приращение функции:

∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0). 3)Составить отношение приращения функции к приращению аргумента:

xxfxxf

xy

∆−∆+

=∆∆ )()( 00 .

4)Определить, к какому числу стремится разностное отношение xy

∆∆ при

∆х→0.


ПУ

103

Функция f называется дифференцируемой в точке x0, если она имеет производную в этой точке.

Правила вычисления производных: 1) (u +v)′ = u′ + v′ ; 2) (uv)′= u′v+uv′ ; 3) (cu)′= cu′ ;

4) 2vvuvu

vu ′−′

=′

.

Формулы дифференцирования 1. (xp)′ = px p-1;

2. (sin x)′= cos x; (cos x)′= – sin x; (tg x)′= x2cos

1 ; (ctg x)′= – x2sin

1 ;

3. (ex)′= ex; (ax)′= ax ln a;

4. (ln x)′ = x1 ; (logax)′ =

ax ln1 .

Производная сложной функции

Теорема. Если функция g имеет производную в точке x0, функция f имеет производную в точке u0 = g(x0) , то сложная функция y = f(g(x)) имеет производную в точке x0, причем y′ (x0) = f ′(u0)g′(x0)= f ′(g(x0))g′(x0).

Касательная к графику функции

Касательная к графику дифференцируемой в точке x0 функции f – это прямая, проходящая через точку (x0, f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x0).

Уравнение касательной: y = f(x0) + f ′(x0)(x – x0).

Физический смысл производной Если функция x = f(t) описывает зависимость от времени координаты

материальной точки, движущейся прямолинейно, то ее производная в момент времени t0 есть мгновенная скорость в этот момент времени, т.е. v(t0) = f ′(t0).

Применение производной к исследованию функций

Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Если f ′(x) > 0 (f′(x) < 0) в каждой точке интервала J, то функция f(x) возрастает (убывает) на J.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Если точка x0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ′, то она равна нулю: f ′(x0) = 0.


ПУ

104

Точки, в которых производная функции f равна нулю или не существует,

называются критическими. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0, а

f ′(x) > 0 на интервале (a; x0) и f ′(x) < 0 на интервале (x0; b) , то точка x0 является точкой максимума функции f. (Если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума.)

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0, а f ′(x) < 0 на интервале (a;x0) и f ′(x) > 0 на интервале (x0; b), то точка x0 является точкой минимума функции f. (Если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 есть точка минимума.)

Общая схема построения графика функции 1. Найти область определения функции, точки ее разрыва. 2. Исследовать изменение функции при стремлении х к концам промежутка

области определения и точкам разрыва. 3. Исследовать функцию на периодичность, четность, нечетность. 4. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания. 5. Найти точки пересечения графика с координатными осями.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на

отрезке [a; b], которая имеет на интервале (a; b) конечное число критических точек, достаточно найти значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (a; b), а также на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Практические задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений решаются по следующему плану:

1. Выбирают одну из переменных и выражают через нее ту переменную, для которой находится наибольшее (наименьшее) значение, т.е. составляют функцию.

2. Определяют промежуток изменения аргумента. 3. Исследуют данную функцию на наибольшее (наименьшее) значение на

определенном промежутке.


ПУ

105

МНОГОГРАННИКИ

1. ПРИЗМА 1. Произвольная призма (рис. 1, а)

Обозначения: l – боковое ребро; Р – периметр основания; S'осн – площадь основания; Н – высота; Рсеч – периметр перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой поверх-ности; Sполн – площадь полной поверхности; Q – площадь перпендикулярного сечения; V – объем.

1) Sбок = Рсеч ⋅ l; 2) Sполн = Sбок + 2 S'осн; 3) V = S'осн ⋅ H; 4) V = Q ⋅ l.

Свойства: • n-угольная призма имеет n + 2 грани, 3n ребра,

2n вершин, n(n – 3) диагонали; • основания призмы – равные многоугольники,

лежащие в параллельных плоскостях; • диагональными сечениями являются

параллелограммы.

2. Прямая призма (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, рис. 1,б).

Обозначения: Р – периметр основания; l - боковое ребро. Sбок = Р ⋅ l.

Свойства: • все боковые грани являются прямоугольниками; • все диагональные сечения прямой призмы являются

прямоугольниками; • высота прямой призмы равна боковому ребру.

2. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ

Параллелепипедом называется призма, основанием которой является парал-лелограмм.

Рис. 1

а

б

а б

Рис. 2


ПУ

106

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2, а).

Параллелепипед называется наклонным, если его боковые ребра не перпен-дикулярны к основаниям (рис. 2, б).

Прямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольником, называется прямоугольным.

1. Произвольный параллелепипед

Обозначения: l – боковое ребро; Р – периметр основания; Sосн – площадь основания; Н – высота; Рсеч – периметр сечения, перпендикулярного боковым ребрам; Sбок – площадь боковой поверхности; Sполн – площадь полной поверх-ности; V – объем.

1) Sбок = Pсеч ⋅ l; 2) Sполн = 2Sосн + Sбок; 3) V = Sосн ⋅ H .

Свойства: • противоположные грани параллелепипеда равны и лежат в

параллельных плоскостях; • диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею

пополам; • сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов

всех его ребер.

2. Прямой параллелепипед Обозначения: l – боковое ребро; Р – периметр основания.

Sбок = P ⋅ l . Свойства:

• боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники; • диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:

αcos222221 abcbad −++= и ,cos22222

2 αabcbad +++= где α – острый угол между смежными ребрами параллелепипеда при его основании.

3. Прямоугольный параллелепипед Обозначения: a, b, с – измерения параллелепипеда; d – диагональ; Р –

периметр основания; Н – высота; V – объем. 1) Sбок = P ⋅ H;


ПУ

107

2) ;2222 cbad ++= 3) V = abc.

Свойства:

• все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками;

• все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

4. Куб Обозначения: а – ребро куба; d – диагональ; V – объем.

1) V = a3; 2) .3ad =

3. ПИРАМИДА

1. Произвольная пирамида Обозначения: Sосн – площадь основания; Sбок – площадь

боковой поверхности; Sполн – площадь полной поверхности; Н – высота; V – объем.

1) HSV осн ⋅=31 ;

2) Sполн = Sосн + Sбок.

Свойства: • если все боковые ребра пирамиды равны или

наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности;

• если все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания или высоты боковых граней равны, то вершина проектируется в центр вписанной в основание

окружности; • если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то в

сечении получится многоугольник, подобный основанию, плоскость этого сечения разбивает боковые ребра и высоту на пропорциональные отрезки, а площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды.

Рис.3

а

б РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

108

2. Правильная пирамида (в основании правильный n-угольник и вершина проектируется в центр этого n-угольника, рис. 3, а).

Обозначения: Р – периметр основания; l – апофема (высота боковой грани); Sосн – площадь основания; Sбок – площадь боковой поверхности; V -объем.

1) ;21 PlSбок =

2) .31 HSV осн ⋅=

Свойства: • все боковые ребра равны; • все боковые грани – равные равнобедренные треугольники; • все двугранные углы при ребрах основания равны; • все двугранные углы при боковых ребрах равны; • все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем

же углом.

4. Произвольная усеченная пирамида (рис. 3, б).

Обозначения: S1, S'2 – площади оснований; h – высота; V – объем.

( )221131 SSSShV ++= .

Свойства: • боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями; • многоугольники, являющиеся основаниями усеченной пирамиды,

подобны.

5. Правильная усеченная пирамида Обозначения: P1, Р2 – периметры оснований; l – апофема; Sбок – площадь

боковой поверхности.

( )lPPSбок 2121

+= .

Свойства: • основаниями правильной усеченной пирамиды являются правильные

многоугольники; • боковые грани правильной усеченной пирамиды являются

равнобедренными трапециями.


ПУ

109

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

1. Цилиндр (рис. 4). Обозначения: R. – радиус основания; Н – высота; Sбок –

площадь боковой поверхности; Sполн – площадь полной поверхности; V – объем.

1) ;2 RHSбок π=

2) ;22 2RRHSполн ππ +=

3) .2HRV π=

Свойства: • все образующие цилиндра параллельны и равны; • образующая цилиндра равна его высоте; • осевым сечением цилиндра является прямоугольник, сторонами

которого являются две образующие и диаметры оснований; • сечением цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, является

прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды основания;

• сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, является круг, равный основанию цилиндра.

Цилиндр, описанный около призмы. Для того, чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.

Цилиндр, вписанный в призму. Для того, чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и в

основание ее можно было вписать окружность.

2. Конус (рис. 5, а). Обозначения: R – радиус основания; Н – высота;

l – образующая; Sбок – площадь боковой поверхности; V – объем; Sполн – площадь полной поверхности.

1) ;RlSбок π=

2) ;31 2HRV π=

3) ( ))lRRSполн +=π .

Свойства: • все образующие конуса равны между собой;

Рис. 4

Рис. 5

а б


ПУ

110

• осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник,

основанием которого является диаметр основания, а боковыми сторонами – образующие конуса;

• сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является круг.

Конус, описанный около пирамиды. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды были равны.

Конус, вписанный в пирамиду. Для того, чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а вершина пирамиды ортогонально проектировалась в центр этой окружности.

3. Усеченный конус (рис. 5, б). Обозначения: R, r – радиусы оснований; Sбок – площадь боковой

поверхности; Sполн – площадь полной поверхности, l – образующая; Н – высота; V – объем.

( ) ;lrRSбок ⋅+=π Свойства:

• все образующие усеченного конуса равны между собой; • осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная

трапеция. 4. Сферой называется поверхность, состоящая из всех

точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.

Данная точка О называется центром сферы, а данное расстояние R – радиусом сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.

Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле 24 RSсферы π= .

Свойства: • всякое сечение сферы плоскостью, пересекающей ее, есть окружность; • линия пересечения двух сфер есть окружность.

Сфера, вписанная в призму. Для того, чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности.

•

O

Рис. 6. РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

111

Центр вписанной в призму сферы лежит на прямой, проведенной параллельно боковым ребрам через центр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, и является серединой отрезка, отсекаемого на этой прямой основаниями призмы.

Сфера, описанная около призмы. Для того, чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и чтобы около ее основания можно было описать окружность.

Центр сферы, описанной около призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы.

Сфера, вписанная в правильную призму. Для того, чтобы в правильную призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы ее высота равнялась диаметру окружности, вписанной в основание.

Сфера, описанная около правильной призмы. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

Сфера, описанная около параллелепипеда. Для того, чтобы около параллелепипеда можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы это был прямоугольный параллелепипед.

Сфера, вписанная в параллелепипед. Для того, чтобы в параллелепипед можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы перпендикулярное сечение параллелепипеда являлось ромбом и чтобы высота параллелепипеда была равна диаметру окружности, вписанной в ромб.

Сфера, описанная около пирамиды. 1) для того, чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо

и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность;

2) около всякого тетраэдра можно описать сферу.

Сфера, вписанная в пирамиду. 1) если в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина

пирамиды ортогонально проецируется в центр этой окружности, то в пирамиду можно вписать сферу;

2) в любую правильную пирамиду можно вписать сферу; 3) в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Сфера, описанная около цилиндра. Около любого цилиндра можно описать сферу.


ПУ

112

Сфера, вписанная в цилиндр. Для того, чтобы в цилиндр можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы его высота равнялась диаметру основания.

Конус, вписанный в сферу. Около любого конуса можно описать сферу.

Конус, описанный около сферы. В любой конус можно вписать сферу.

Усеченный конус, вписанный в сферу. Около всякого усеченного конуса можно описать сферу.

Усеченный конус, описанный около сферы. В усеченный конус можно вписать сферу только в том случае, когда образующая конуса равна сумме радиусов оснований конуса.

5. Шар. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не превосходящем данного R, от некоторой фиксированной точки О, называемой центром шара.

Обозначения: R – радиус шара, r – радиус сечения, d – расстояние до секущей плоскости.

1) 334 RVш π= ;

2) 22 dRr −= . Свойства:

• всякое сечение шара плоскостью, плоскостью, пересекающей его, есть круг, центр которого – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость;

• диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

6. Шаровой сегмент. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Любая плоскость, пересекающая шар, рассекает его на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов.

Если высота сегмента равна h, а радиус шара равен R, то объем шарового сегмента вычисляется по формуле

−= hRhV

312π ,

а площадь RhS π2= .


ПУ

113

7. Шаровой слой. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя.

8. Шаровой сектор. Шаровым сектором называется тело, состоящее из суммы или разности шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара, имеющих общее основание: сумма, если шаровой сегмент меньше полушара, разность, если больше.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле

hRV сектш2

.. 32π= .


ПУ

114

Литература 1. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. матер.: Кн. для

учащихся. – М.: Просвещение, 1988. 2. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и

начал анализа. – М.: Просвещение, 1990. 3. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. –

М.: Просвещение, 1992. 4. Математика в экзаменационных вопросах и ответах: Справочник для

учителей, репетиторов и абитуриентов / Василюк Л. И., Куваева Л. А. – Мн.: БелЭН, 2000.

5. Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач: Пособие для учащихся общеобр. учреждений/ В. П. Супрун. – Мн.: Аверсэв, 2003.

6. Математика для старшеклассников: Методы решения алгебраических уравнений, неравенств и систем: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общ. средн. образования/ А. И. Азаров, С. А. Барвенов. – Мн.: Аверсэв, 2004.

7. Математика для старшеклассников: Методы решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств, систем: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общ. средн. образования/ А. И. Азаров, С. А. Барвенов. – Мн.: Аверсэв, 2005.

8. Математика для старшеклассников: Методы решения тригонометрических задач: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общ. средн. образования/ А. И. Азаров и др. – Мн.: Аверсэв, 2005.

9. Математика для старшеклассников: Функциональные и графические методы решения экзаменационных задач: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования / А. И. Азаров, С. А. Барвенов. – Мн.: Аверсэв, 2004.

10. Математика: Пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию за курс средней школы / А. И. Азаров и др. – Мн.: Аверсэв, 2003.

11. Математика. Типичные ошибки на централизованном тестировании и экзамене/ О. Н. Пирютко. – Мн.: Аверсэв, 2005.

12. Математика: учимся быстро решать тесты: Пособие для подготовки к тестированию и экзамену/ В. В. Веременюк, Е. А. Крушевский, И. Д.Беганская. – Мн.: ТетраСистемс, 2005.

13. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф, 2001.

14. Планиметрия. Итоговое повторение: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общ. средн. образования/ М. И. Лисова, О. Н. Пирютко. – Мн.: Аверсэв, 2004.


ПУ

115

15. Ткачук В. В. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО,2001. 16. Шарыгин И. Ф. Математика. Для поступающих в вузы. Учебное

пособие. – М.: Дрофа, 1995. 17. Шлыков В. В. Геометрия. Планиметрия: Шк. учебн. пособие. – Мн.: ООО

«Асар», 2003. 18. Шлыков В. В., Валаханович Т. В. Геометрия. Стереометрия: Шк. учебн.

пособие. – Мн.: ООО «Асар», 2003.


ПУ

116

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................................................. 3

Инструкция по выполнению домашних контрольных работ ............ Ошибка! Закладка не определена.

I. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ КОНТРОЛИРУЕМОЙ РАБОТЫ6 § 1. Тригонометрия .............................................................................................. 6 § 2. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства ....................... 18 § 3. Показательная и логарифмическая функции ........................................... 29 § 4. Производная функции и ее применения .................................................. 44 § 5. Задачи по планиметрии .............................................................................. 52 § 6. Задачи по стереометрии ............................................................................. 54

II. ТЕСТЫ ....................................................................................................................... 65 Тест № 1. Тригонометрия ................................................................................. 65 Тест № 2. Показательная и логарифмическая функции, уравнения и

неравенства ................................................................................................................. 68 Тест № 3. Производная и ее применение ........................................................ 70 Тест № 4. Стереометрия .................................................................................... 73 Тест № 5. Итоговый ........................................................................................... 77 Таблицы ответов к тестам ................................................................................. 80

III. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ................................................................................ 82 Литература ........................................................................................................ 114


ПУ

elib.bspu.byelib.bspu.by/bitstream/doc/3467/1/Упр_сам_раб_11_кл.pdf · 2 УДК...

Documents