eliminasi gauss
DESCRIPTION
Eliminasi Gauss. Persamaan Linier. Bentuk umum Persamaan Linier: Keterangan: a 1 , a 2 , ..., a n disebut koefisien x 1 , x 2 , ..., x n disebut anu (unknown) b disebut suku konstan Perhatian: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Persamaan Linier
Bentuk umum Persamaan Linier:
Keterangan:a1, a2, ..., an disebut koefisien
x1, x2, ..., xn disebut anu (unknown)
b disebut suku konstan
Perhatian:Pangkat anu hanya 1, tidak ada perkalian antar anu, anu tidak
muncul sebagai argumen dari fungsi
bxaxaxa nn 2211
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Solusi Persamaan Linier
Sehimpunan bilangan terurut yang jika disubtitusikan kedalam Persamaan Linier, bernilai valid
Contoh:
2x – 3 y + z = 5
{x=1, y=2, z=9} solusi
tetapi {x=9, y=1, z=2} bukan solusi
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sehimpunan Persamaan Linier yang menjadi satu kesatuan
SPL dengan n anu dan m persamaan
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Solusi Sistem Persamaan Linier
solusi setiap persamaan linier yang terdapat dalam Sistem Persamaan Linier tersebut
Contoh:
{x=2, y=-9} solusi
{x=0, y=-5} bukan solusi
1223
52
yx
yx
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tiga Kemungkinan Solusi SPL
1. Solusi Tunggal
2. Solusi Tak Hingga banyaknya
3. Tak ada solusi
berpotongan pada satu titik solusi tunggal
berhimpit=berpotongan pada tak hingga banyaknya titik solusi tak hingga banyaknya
sejajar=tak berpotongan pada satu titik pun tak ada solusi
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Istilah2 dalam SPL
konsisten : Sistem Persamaan Linier mempunyai solusi
tak konsisten : Sistem Persamaan Linier tak mempunyai solusi
Jika suku konstan bernilai nol semua disebut SPL Homogen
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan
Manakah dari persamaan dibawah ini yang merupakan persamaan linier?
1. 2x + 4y – 3z = 1
2. –3xy – 2y + 5z = 2
3. (sin 2)x + e-3y + 20z = 3
4. 3x + 2x2 – 5x5 = 8
5. –x1+ 2x2 – 2x3 + x4 – 5x5 = 0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan
Manakah yang menjadi solusi persamaan linier: 2x + 3y – z = -1
1. {x=0, y=-1, z=3}
2. {x=1, y=2, z=9}
3. {x=2, y=1, z=5}
4. {x=-1, y=0, z=-1}
5. {t, sRx=t, y=s, z=1 + 2t +3s}
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan
Manakah dari sehimpunan persamaan di bawah ini yang merupakan sistem persamaan linier?
032
05,0
yx
yx
9tan3cos-6sin
22tan-2cos4sin
33tancos-2sin
5
12
1
32
32
32
xxx
xxx
xxx
13
0sin2
yxy
yx
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Sistem Persamaan Linier ke Matrik
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
=
mb
b
b
2
1
A X = B
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Matrik Lengkap (Augmented Matrix)
Gabungan matrik A dan B membentuk matrik lengkap (augmented matrix)
[A:B] atau
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Eselon Baris Tereduksi
1. Pada setiap baris, bilangan tak nol pertama, adalah satu. Satu ini disebut satu utama
2. Jika ada baris nol diletakkan pada baris paling bawah
3. Letak satu utama pada baris yang lebih bawah, akan terletak lebih ke kanan
4. Pada satu kolom, jika terdapat satu utama, maka entri yang lain bernilai nol
Jika hanya memenuhi 1, 2, dan 3 saja, disebut matrik eselon baris
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan
Manakah yang merupakan matriks eselon
baris tereduksi
21000
10110
20301
D
15000
2100
3010
4001
E
0100
3010
001 32
F
0000
10010
2001
G
21000
1110
20521
21A
15000
2100
3010
4211 31
B
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Subtitusi Mundur
4100
2010
1001 Dengan mengembalikan ke bentuk persamaan linier didapat:
4.1.0.0
2.0.1.0
1.0.0.1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Sehingga solusinya adalah:
4
2
1
3
2
1
x
x
x
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Subtitusi Mundur
Subtitusi x3 dan x4
x2 = 2 + x3 x1 = 2 – 2(2 + x3) – 5x3 = -2 –7x3
Karena x3 sebarang bilangan riil, maka x3 = t
21000
1110
20521
21A
2
1
252
4
421
32
321
x
xxx
xxx
2
1
522
4
421
32
321
x
xxx
xxx
2,,2,72 4321 xtxtxtxRt
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan
Tentukan solusi SPL yang mempunyai matrik eselon baris (tereduksi) berikut:
0100
3010
001 32
F
15000
2100
3010
4001
E
21000
10110
20301
D
0000
10010
2001
G
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Operasi Baris Elementer (OBE)
1. Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol (bi c bi), c0
2. Menukar tempat dua baris (bi bj)
3. Menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain (bi bi + k bj), k0
Ketiga operasi baris elementer ini tidak mengubah solusi dari SPL
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Eliminasi Gauss(-Jordan)
SPL Matrik Lengkap
Matrik Eselon Baris
Matrik Eselon Baris Tereduksi
Solusi SPL
OBE
OB E
Subtitusi Mundur
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss-Jordan
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
~
313202
112130
021123
252211 1b
Contoh (1/ 4)
3322
123
0223
232
5431
5432
54321
54321
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
~
313202
112130
021123
231112 21 bb
Tentukan solusi dari SPL disamping
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh (2/ 4)
~
2
3
313202
112130
021123
252211
14
12
bb
bb
~
7111220
112130
6135510
252211
2b
~
2
3
7111220
112130
6135510
252211
24
23
bb
bb
~
5159800
1738171600
6135510
252211
3
4
b
b
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
~9
5
2
781000
5159800
6135510
252211
43
42
41
bb
bb
bb
Contoh (3/ 4)
~
21738171600
5159800
6135510
252211
34 bb
~
781000
68870800
41530510
16210211
381 b
~5
2
781000
0100
41530510
16210211
32
31
868
887
bb
bb
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh (4/ 4)
~
781000
0100
0010
10011 21
868
887
8135
811
86 bb
781000
0100
0010
0001
868
887
8135
811
8127
85
78 54
868
5887
3
8135
5811
2
8127
585
1
xx
xx
xx
xx
karena x5 dapat bernilai sebarang bilangan riil, maka dapat diganti dengan parameter bilangan riil, misalkan t,
txtxtxtxtxRt 548
878
6838
118
13528
58
1271 ,87,,,
Sampai di sini telah didapat matrik eselon baris tereduksi. Solusi didapat dengan mengembalikan matrik eselon baris tereduksi menjadi SPL dan dilakukan subtitusi mundur
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 1
1. Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari solusi Sistem Persamaan Linier berikut:a.
b.
423
432
yx
yx
032
625
23
zyx
zyx
zyx
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 2
c.
d.
534
41993
423
16161025
421
4321
421
4321
xxx
xxxx
xxx
xxxx
1252
2332
15322
3364
5321
54321
54321
5431
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
SPL Homogen
Matrik lengkap
SPL homogen selalu konsisten, minimal mempunyai solusi nol , yang disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi yang lain, disebut solusi tak trivial
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh (1/ 2)
04433
03322
022
02233
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
~
4433
3322
1122
2233 21 bb
~
3
2
2
4433
3322
1122
3311
14
13
12
bb
bb
bb
~
5500
9900
7700
3311
271 b
~
5
9
5500
9900
1100
3311
24
23
bb
bb
~
3
0000
0000
1100
3311 21 bb
0000
0000
1100
0011
Tentukan solusi SPL Homogen disamping
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh (2/ 2)
0
0
43
21
xx
xx43
21
xx
xx
karena x2 dan x4 bernilai sebarang bilangan riil, maka dapat diganti dengan parameter, misalkan, x2=t dan x4=s, sehingga solusi SPL homogen tersebut:
sxsxtxtxRst 4321 ,,,,
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Sifat SPL Homogen
Sistem Persamaan Linier Homogen selalu mempunyai solusi tak trivial, jika banyaknya anu lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 1
a. d.
b.
c. e.
23
21
100
011
011
000
024
012
1100
3300
2211
1122
432
321
321
1. Jika matrik lengkap SPL homogen (suku konstan dihilangkan) dinyatakan di bawah ini, tentukan solusinya:
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 2
3. Tentukan , sehingga SPL homogen mempunyai solusi tak trivial
02
032
zyx
zyx
02
032
yx
yx
034
032
02
zyx
zyx
zyx
03
02
0
zyx
zyx
zyx
0 2
0 2
02
yx
zyx
zyx
2. Tentukan solusi SPL Homogen berikut:
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 3
9tan3cos-6sin
22tan-2cos4sin
33tancos-2sin
4. Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan nilai , dan , dengan syarat 0 , , 2.
5. Tentukan nilai a, sehingga Sistem Persamaan Linier berikut mempunyai: solusi tunggal, solusi tak hingga banyaknya, ataupun tidak mempunyai solusi.
3)5(22
123
4242
0
2
awazy
zyx
wyx
wzyx
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 4
0
03
04
kzyx
zyx
zyx
bazyx
zx
zyx
33
2
823
6. Tentukan k, sehingga Sistem Persamaan Linier Homogen berikut mempunyai solusi tak trivial
7. Tentukan syarat bagi a dan b agar Sistem Persamaan Linier : memiliki solusi tunggal, memiliki solusi jamak atau tidak memiliki solusi.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 5
0)3(
0)3(
yx
yx
33
12
33
czyax
czbyx
zbyax
8.Tentukan syarat untuk sehingga SPL homogen di bawah ini mempunyai solusi trivial:
9.Diberikan SPL di bawah ini, tentukan nilai a, b, dan c, jika SPL mempunyai solusi tunggal: {x = 1, y=-1, z = 2}
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 5
026
33423
0254
1323
wzy
wzyx
wyx
wzyx
10.Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan solusi sistem persamaan linier berikut: