elliptic geometry

1 جالل الحاج عبد جيةل اإلهليمفاهيم الهندسة و الدوال

نشعر بالدهشة و الغرآبة عندما نسمع بوجود هندسآت غير إقليدية ، و أحيانًا تأخذنا الغيرة

طالعنا و جّربنا و شاهدنا الخطوط ! على الهندسة و نقوم بنفي آّل ما هو ال إقليدي

. مفهوم التوازي نفي ال يعنيةنفي الخطوط الموازي. الموازية ، و من الصعب نفيها

حار يصعب عليها قبول حقيقة العيش خارجه ، لكن ال وجودات التي تعيش تحت البالمف

.طالق إليمكنها نفي العيش با

لن يستسلم العقل البشري للمسلمة الخامسة إلقليدس ، و سعى لبرهانها ، فشل البراهين

ي أجبره للبحث عن فضاءآت ال تصدق فيها هذه المسلمة ، فتوصل للهندسة الهذلولية الت

يمكن فيها رسم ما ال نهاية من الخطوط الموازية مع خط من نقطة خارجه ، أو الوصول

لكن على رغم تباين صيغة . الى الهندسة اإلهليلجية التي ال يمكن فيها رسم خطوط موازية

تبنى الهندسة الهذلولية على سطح . فيما بينها) وئآم(في هذه الهندسآت يوجد تواؤم التوازي

لب ، و تبنى الهندسة اإلهليلجية على سطح إنحنائه موجب ، لكن عندما يسعى إنحنائه سا

و بما أن اإلنحناء عدد . اإلنحناء في هذه الهندستين نحو الصفر تصبح الهندسة إقليدية

. متغير إذن يمكن البحث في عدد ال متناهي من الهندسآت تدخل في بحث الهندسة الريمانية

بســـم اهللا الرحـــمن الرحـــيم


ندسه الال إقليديهالهندسه اإلقليديه و اله

تعتمد هذه الهندسة على المسلمات التي وضعها إقليدس في آتابه : 1الهندسه اإلقليديه

، أهّم مسلمات هذه الهندسه هي مسلمة التوازي ، أو بديهية ) قبل الميالد300(العناصر

من : الخامسه ، و أحدى صيغ هذه المسلمة هي2التوازي و تعرف أيضًا بمسلمة إقليدس

ة ال على مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد يمّر بتلك النقطة و يوازي المستقيم نقط

.المعلوم

:تبنى هذه الهندسه على الصفحه لذلك أهم مميزات هذه الهندسه هي

k = 0 التقّوس في هذه الهندسه صفر-

.علوم من نقطه ال على مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد يوازي المستقيم الم-

. درجه 180 مجموع زوايا المثلث في هذه الهندسه يساوي -

. نسبة محيط الدائره الى قطرها في هذه الهندسه يساوي النسبه الثابته -

هناك نوعان من الهندسه ! آّل هندسه غير إقليديه فهي ال إقليديه : 3الهندسه الال إقليديه

، و )5هندسه الزائديه، أو هندسة لوباتشفسكيأو ال( 4الال إقليديه هما الهندسه الهذلوليه

).7سة ريماندأو الهندسه الناقصه ، أو هن ( 6جيهلالهندسه اإلهلي

من نقطه ال تقع على : فيها تستبدل بمسلمة التوازي المسلمه التاليه : الهندسه الهذلوليه

.م المعلوم مستقيم معلوم يمكن رسم أآثر من مستقيم يمّر بتلك النقطة و يوازي المستقي

: تبنى هذه الهندسه على سطح شبه الكره و من أهّم مميزات هذه الهندسه هي

k < 0 التقّوس في هذه الهندسه دائمًا سالب -

1- Euclidean geometry 2- Euclidean postulate 3- non-Euclidean geometry

4- hyperbolic geometry 5- Loba chevskian geometry 6-elliptic geometry

7-Riemannin geometry


من نقطه ال على مستقيم معلوم يمكن رسم ماالنهايه من المستقيمات التي توازي المستقيم -

.المعلوم

.ات على سطح شبه الكره المستقيم في هذه الهندسه هي منحني-

. درجه 180 مجموع زوايا المثلث في هذه الهندسه أقّل من -

. نسبة محيط الدائره الى قطرها أقّل من النسبه الثابته -

من نقطة ال : تستبدل بمسلمة التوازي المسلمه التاليه ةهذه الهندسفي : جيه لالهندسه اإلهلي

بعبارة أخرى . تقيم ال يقاطع المستقيم المعلوم تقع على مستقيم معلوم ال يمكن رسم مس

.المستقيمات المتوازيه ال وجود لها في هذه الهندسه

:تبنى هذه الهندسة على سطح الكره و من أهّم مميزات هذه الهندسه هي

k > 0 التقّوس في هذه الهندسه دائمًا موجب -

.يوازي المستقيم المعوم من نقطة ال على مستقيم معلوم ال يمكن رسم مستقيم -

. في هذه الهندسه هي الدوائر العظمى على سطح الكره ات المستقيم-

. درجه 180مجموع زوايا المثلث في هذه الهندسه أآثرمن

. نسبة محيط الدائره الى قطرها في هذه الهندسه أآبر من النسبه الثابته -

الخطوط الموازية في أنواع الهندسات

هذلولية إقليدية إهليلجية


، l يمكن رسم خط واحد يوازي الخط l خارج الخط pهندسة اإلقليدية من نقطة في ال

يمكن مطالعة هندسة أخرى ال يمكن فيها . و في الهندسة الهذلولية يمكن رسم أآثر من خط

. ، هي هندسة تفتقد للخطوط الموازية l رسم خط يوازي pمن النقطة

الفضاء ) . ثالثي األبعاد( عند مطالعة الفضاء )يضويةبال(هليلجية تظهر عظمة الهندسة اإل

البيضوي هو فضاء محدود لكن غير مسدود ، محدود ألن جميع خطوطه محدودة و

في فضاء . دود لها ال حمتناهية آالدائرة ، و في نفس الوقت هو غير متناهي آسطح الكرة

إهليلجية تكون فيه الهندسة بيضوية مسير حرآة األشعة أو الحزم الضوئية خطوط

!أي عند الرؤية من خالل تلسكوب جدًا قوي يمكن رؤية الصورة التي خلفك . )بيضوية(

من السطوح التي تتمتع بهذه الخاصية هو سطح شريط موبيوس فالخط على هذا السطح ال

تضع هذه الخاصية الهندسة . الى نصفين و إنما يلتقي أبتداء الخط بإنتهائه يفصل الصفحة

ليس بالتالي . أمام واقعية جديدة و هي إحتساب نقطتين على أطراف الخط ، نقطة واحدة

.ن أضالع المثلث من خالل رؤسه بالضرورة أن نعّي

لثان متفاوتان رؤسهما واحدةمث شريط موبيوس


لك سنتناول مطالعة ، لذتفاضليهدسة ال بعيدًا عن الهنمن الصعب مطالعة الهندسة الريمانية

شكل أهم محاور الهندسة الال بعض مفاهيم الهندسة التفاضلية و مفهوم التقّوس الذي ي

. إقليدية

إذا آانت هندسة الفضاء هندسة إهليلجية فهذا يعني شدة تقّوس الزمكان في نقطة من

ميع الخطوط في الفضاء الفضاء لدرجة بحيث يلتحق إنتهاء الفضاء بأبتدائه و تصبح ج

. دوائر ، و إذا بدأنا الحرآة من نقطة على هذه الخطوط سنعود لتلك النقطة

تشابه مفاهيم الهندسة الهذلولية مع الهندسة المبنية على سطح شبه الكرة يساعد على فهم و

ية على الهندسة اإلهليلجمع يساعد تشابه الهندسة الكروية آذلك لمس الهندسة الهذلولية ،

المثلث ًال آيف يمكن أن يكون مجموع ضلعّيمث. الهندسة اإلهليلجية أدراك و تجسم

ما األضلع ن بين آيف يمكن أن يكون في مثلث زاويتين متساويتي.أصغر من الضلع الثالث

آيف يمكن أن يكون الضلع األآبر في المثلث ال .ن المقابلة لهذه الزاويتين غير متساويا

! ة األآبر ؟ يقابل الزاوي

يختفي مفهوم الخط الال متناهي في الهندسة اإلهليلجية و يظهر مفهوم الخط الال محدود ،

.الخطان المستقيمان دائمًا متقاطعان: لتصبح مسلمة التوازي في هذه الهندسة بهذه الصورة

في ة المعتاد عليهايتؤثر مسلمة التوازي في الهندسة اإلهليلجية على القضايا الهندس

تأثيرًا يتماشا مع الصفحة اإلهليلجية ، فتصبح هذه القضايا بالشكل الهندسة اإلقليدية ،

:التالي


مجموع الزاويتين األخرتين جية لعلى الصفحة اإلهلي في آل مثلث قائم الزاوية :قضية

.قائمة من أآبر

اويتين األخرتين في آل مثلث قائم الزاوية على الصفحة اإلهليلجية آل من الز:قضية

.) و مجموعهما أآبر من قائمة(أآبر أو أصغر أو تساوي قائمة

. درجة 180 مجموع زوايا المثلث في الهندسة اإلهليلجية أآبر من :قضية

ضالع ذو ثالثة زوايا قائمة على الصفحة اإلهليلجية الزاوية األ في آل رباعي :قضية

.الرابعة منفرجة

. درجة 360 رباعي األضالع في الهندسة اإلهليلجية أآبر من مجموع زوايا:قضية


إلقليدية الخطان الموازيان ال يلتقيان ، ينتقل مفهوم عدم تالقي الخطوط الهندسة افي

الموازية هذا الى الهندسة الهذلولية ، و بما أن الخطوط في هذه الهندسة تخضع لطبيعة

ها تقّوسها و ال نهائية الخط فيها ، فيصبح عدم إلتقاء الخطوط الصفحة الهذلولية التي يعّين

خاصية التوازي في هذه الهندسة لذلك يمكن رسم ما ال نهاية من الخطوط توازي خط من

. نقطة خارجه ، أي ما ال نهاية من الخطوط التي ال تقطع الخط المفروض هذا

موازيان مع حفظ خاصية عدم آذلك في الهندسة اإلقليدية الخطان العمودان على خط

ينتقل مفهوم تعامد الخطوط الموازية على خط الى الهندسة اإلهليلجية و بما أن . التالقي

الخطوط في هذه الهندسة تخضع لطبيعة الصفحة اإلهليلجية التي يعّينها تقّوسها و نهائية

ي في هذه الخط فيها ، يجب أن يصبح تعامد الخطوط الموازية على خط خاصية التواز

اإلهليلجية في نقطة خطوط المتعامدة على خط في الصفحةتلتقي جميع الالهندسة ، لكن

.لخطوط الموازية ها لذلك تفقد الصفحة اإلهليلجية اواحدة ، إلتقائها ينفي توازي

الهذلولية ، و الشكل الذي يرسم على جميع السطوح ذات إنحناء سالب و ثابت هي نموذج لبناء الهندسة

الهندسة الهذلولية ، آذلك السطوح ذات إنحناء موجب و ثابت هي نموذج يخضع لقوانين هذه السطوح

اإلهليلجية ، و الشكل الذي يرسم على هذه السطوح لبناء الهندسة

. الهندسة اإلهليلجية يخضع لقوانين


الهندسة الريمانية

، و من 1اب التينسورتتم مطالعة الهندسة الريمانية من خالل الهندسة التفاضلية و حس

الصعب مطالعة هذه الهندسة بعيدًا عن هذه المفاهيم ، حيث يمكن أحتساب الصفحة

ذات تقّوس سالب ، و ةثنائي) Riemanian manifold (ةريمانيمتنوعة الهذلولية

. ذات تقّوس موجب متنوعة ريمانية ) البيضوية(الصفحة اإلهليلجية

ان و أحد أهم أستنتاجات ريم) . ُبعدn(ء نوني الُبعد فكرة فضا2 عرض ريمان1854عام

. متناهي) بين نقطتينأو المتقاصر، أقصر فاصلة (هي إذا آان التقّوس موجب الجيوديسي

مثل أي تغير مكاني صغير جدًا ، y و xفي الصفحة اإلقليدية إحداثيات آل نقطة هي

xd و ydة يطرأ على هذه النقطة تصبح فيه الفاصلsd وفقًا لمبرهنة فيثاغوروث : 2 2 2ds dx dy= +

ي تغير أل ، و y و xلكن على السطح أحداثيات آل نقطة هي أحداثيات موضعية من

:مكاني تصبح الفاصلة

2 2 22ds Edx Fdxdy Gdy= + +

ة ، و الفاصل مع تغير موضع النقطة على السطح ، يمكن تعين G و F و Eتتغير المعامل

. من خالل هذه المعامل لهذا السطح Kس غاوس تقّوالمساحة و

:في فضاء ثالثي األبعاد تغيرات الفاصلة هي

2 2 2 2

11 22 33 23 31 122 2 2ds g dx g dy g dz g dxdz g dydz g dxdy= + + + + +

لمزيد حول الهندسة التفاضلية و حساب التينسور ، و الهندسة الهذلولية يرجى مطالعة آتابي ل -1 . الموجود على الموقع ية العامة ألنشتاينالنسب نظرية

2- Bernhard Riemann


المعامل الموجودة في هذه من خالل . هذه الوضعية هي مشابة لوضعيتنا على األرض

إنحناء ريمان ت قيمةإذا آان. ريمان يمكن تعين تينسور التقّوس ، أو إنحناءالرابطة

الهندسة تنظر . للصفر فهندسة ذلك الفضاء هي هندسة غير إقليدية ة مخالف فضاءل

بمترية ةمجهزمتنوعة و آل )manifold(الريمانية للشكل الهندسي على أنه متنوعة

)metric (حة و سطح الخط و الدائرة متنوعة أحادية األبعاد ، الصف.تعرف بمترية ريمان

.ل الكون متنوعة ثالثية األبعاد شكالنموذج الفيزيائي ل. الكرة متنوعة ثنائية األبعاد

ال تقتصر الهندسة الريمانية على السطوح المنتظمة فهي تشمل جميع السطوح بما فيها

: توجد قضية تقول . ذات ثقب واحد أو أآثر ) torus(السطوح المثقوبة آسطح الطارة

.س خالية من الثقوب لموجبة التّقّوا، السطوح


1التقّوس

آذلكيعتبر التقّوس أو اإلنحناء من أهم مفاهيم الهندسة و بخصوص الهندسة الحديثة

ال . من خالل التقّوس يمكن تعين نوع الهندسة و نوع الفضاء ف ،فيزياء النسبية العامة

. مفهوم التقّوس للعة دقيقة و معمقة يمكن مطالعة الهندسة الال إقليدية بدون مطا

هي الدائرة التي لها نفس المماس و التقّوس آمنحن معلوم عند نقطة :2دائرة التقوس

معطاة و يكون نصف قطر التقّوس للمنحني عند تلك النقطة، و يساوي معكوس تقوسها

ى من التالصق بعبارة أخرى دائرة التقّوس لنقطة على منحني، هي دائرة في الحّد األقص

فهو آذلك نصف قطر rإذا آان نصف قطر هذه الدائره . مع المنحني في تلك النقطة

kالتقّوس، و تقّوس المنحن في هذه النقطة هو معكوس نصف القطر و يرمز له بالحرف

:و قيمته

k

1r

. نصف قطر دائرة تقّوس المستقيم، ماالنهايه إذن تقّوس المستقيم يساوي صفر

1- curvature 2- osculating circle


لتعّين تقّوس السطوح من على نقطة معطاة، نرسم صفحتان متعامدتان من تلك النقطة،

تقاطع هاتين الصفحتين مع هذا السطح عبارة عن منحني في آّل صفحة ، إذا آان نصف

: فإن تقّوس هذا السطح في هذه النقطة هو2r و 1rقطر دائرة التقّوس لكّل منحني هو

k

1r1 r2⋅

هو المنحنيان الحاصالن من تقاطع صفحتين ، Rتقّوس آره نصف قطرها : تقّوس الكره

: إذن تقّوس الكره Rمتعامدتين مع سطح الكره هما دائرتان نصف قطر آّل منهما

k

1

R2:=

هو السطح الناتج عن دوران منحن متساوي ) trumpet(أو البوق : 1شبه الكره

ينتج هذا سطحًا تقّوسه الكّلي عند آّل نقطة ثابتًا و سالبًا ، و ال حول مقاربه،2المماسات

لذلك فإن أمكانية بناء السطح يوفر تخضع الخطوط على هذا السطح لمسلمة التوازي،

برهانًا للتواؤم النسبي لهندسه ال إقليديه

1- pseudo-sphere 2- tractrix

:أنواع التقّوس

. تقّوس موجب R: k = 1/R2تقّوس آره نصف قطرها

. تقّوس صفر k = 0 :تقّوس الصفحه

.قّوس سالب ت R: k = -1/R2تقّوس شبه آره نصف قطرها

آرة نصف شبه آرة

شبه آرة


من ، سنستطرق لمفهوم التقّوس بصورة عامة و ذلك من خالل مطالعة إنحناء السطوح

. بين السطوح الهندسية ، السطح الدوراني هو األبسط و ذلك لتناظر شكله و معادلته

هو السطح الناتج من دوران منحن مسطح Surface of revolutionي السطح الدواران

.) تناظره (حول محور

: هي X,Y,Zالدالة التي يرسم بهذا هذا النوع من السطوح على إحداثي

( ) cos

( ) sin

( )

x f

y f

z h

θ φ

θ φ

θ

=

=

=

⎧⎪⎨⎪⎩

:نماذج من السطوح الدوارانيه

Sphere الكرةcos coscos sinsin

x Ry Rz R

θ φθ φθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

Pseudosphere آرةشبه

sin cossin sin

(cos ln tan )2

x Ry R

z R

θ φθ φ

θθ

⎧⎪ =⎪

=⎨⎪⎪ = +⎩


الشكل األساسي األول للسطح

أبدأ من السطوح الدوارانيةوال أدخل في عمومية الموضوع

:نفرض ان السطح دوراني و معادلته هي

( ) cos

( ) sin

( )

x f u v

y f u v

z h u

=

=

=

⎧⎪⎨⎪⎩

2الشكل األساسي األول للسطح هو هندسيًا ji

ijds g du du= الصيغه العموميه و آذلك هي

012مع العلم أن في السطوح الدورانيه . للسطوح 21g g= =

في معادلة السطحu في هذه الرابطه و uيجب التميز بين 2 1 1 1 2 2 1 2 2

11 12 21 22ds g du du g du du g du du g du du= + + +

في هذه الرابطه يمكن آتابة

1

2

du du

du dv

=

=

. بمعنى أس2 و 1 فقط أثنان، ليس هنا ألن المتغيران هنا

:للسطح الدواراني

( ) ( )

( )

2 2

11

12 21

2

22

' '

0

g f h

g g

g f

= +

= =

=


:ممّيزة الشكل األساسي األول

( ) ( ) ( )2 22 ' '11 1221 22

g gg f f h

g g= = +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

:هذه بعض األمثله

الكره cos cos

( ) cos sincos sin

( ) sin cossin

x Rf R f R

y Rh R h R

z R

θ φθ θ θ

θ φφ θ θ

θ

=⎧′= = −⎧ ⎧⎪ = ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ′= =⎩ ⎩⎪ =⎩

2 2 22 2 2

1 22 2 222

2 2 2 2 2 21111 22cos

cosg f h R

ds g dx g dxg f R

ds R d R dθ

θ θ φ′ ′ ⎫= + = ⎪⇒ = + ⇒⎬

= = ⎪⎭= +

1dx في هذه الرابطة dθ= 2 وdx dφ= . 2آذلك هناds هي الفاصلة بين نقطتين على

، و هي أقصر فاصلة بين 2R و على أقواس من دوائر بقطر 2Rسطح آرة بقطر

.نقطتين على سطح الكرة

رهشبه الك

sin cos ( ) sin cossin sin

1( ) (cos ln tan ) ( sin )(cos ln tan )2 sin2

x R f R f Ry R

h R h Rz R

θ θ θ θθ

θθ θ θ θθθ

φφ

⎧⎫⎪⎪ ′= = ⇒ =⎪⎪

= ⇒⎬ ⎨⎪ ⎪

′⎪ ⎪ = + ⇒ = − += +⎭ ⎩

2 2 2 2 2 2 2cot sinds R d R dθ θ θ φ= +


الشكل األساسي الثاني للسطح

jiهندسيًا الشكل األساسي الثاني للسطح هو بهذه الصورة ij

II b du du= و هو عبارة عن

. عن الصفحة المماّسة على السطح في تلك النقطةفي نقطة إنحراف السطح

:دلة العامة للسطح الدوراني آما ذآرناها هيالمعا

( ) cos

( ) sin

( )

x f u v

y f u v

z h u

=

=

=

⎧⎪⎨⎪⎩

: معامل الشكل األساسي الثاني للسطح

' '' ' ''

11 '2 '2

012 21'

22 '2 '2

f h h fb

f hb b

f hb

f h

−=

+

= =

=

+

:ممّيزة الشكل األساسي الثاني

11 1221 22

b bb

b b=


:بعض األمثله للشكل األساسي الثاني للسطح

الكره cos coscos sinsin

x Ry Rz R

θθθ

φφ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

2 2 2cosII Rd R dθ θ φ= +

شبه الكره

sin cossin sin

(cos ln tan )2

x Ry R

z R

θθ

θθ

φφ

⎧⎪ =⎪

=⎨⎪⎪ = +⎩

2 2cot sin cosII R d R dθθ θ θ φ= − +


إنحناء غاوس

الشكل األساسي الثاني، ممّيزةإنحناء غاوس في اإلحداثيات المنحنيه، يساوي النسبه بين

: الشكل األساسي األول أيممّيزةالى

( )( )

11 22 1211 22 12 21

11 22 12 21 11 22 12

2

2

b b bb b b b b bK Kg g g g g g g g g

−−= = ⇒ = =− −

: غاوس الكرهإنحناء2 2

4 2 2

cos 1cos

RKR R

θθ

= =

: غاوس شبه الكرهإنحناء2 2

4 2 2

cos 1cos

RKR R

θθ

−= = −

:الصفحه في اإلحداثيات الكارتيزية

2 2 2

00 01

ds dx dyII

K

= +=

= =

:إنحناء غاوس للسطوح الدورانية هو2

2 2 2

( ) cos( )sin

( )( )

x f u vh f f h hy f u v Kf f h

z h u

= ⎫′ ′′ ′ ′ ′′− +⎪= ⇒ =⎬ ′ ′+⎪= ⎭


، و )عالمته زائد( موجب )البيضويه(اإلهليلجية اإلنحناء الغاوسي علي السطوح : نتيجه

.و على سطح مستوي صفر) عالمته ناقص(على السطوح الهذلوليه سالب

طول المتقاصر أو الجيوديسي على سطوح ذات إنحناء موجب متناهي، و على سطوح

. ذات إنحناء سالب المتناهي

هما القيمة العظمى و 2k و principal curvature (1k(اإلنحنائان الرئيسيان

اإلنحناء . عند نقطة في سطح) normal curvature(الصغرى لإلنحناء الناظمي

:الغاوسي في هذه النقطة يساوي حاصل ضرب هذان اإلنحنائان أي

1 2K k k=

عند أي نقطة على سطح، إنحناء المنحنيان الحاصالن من تقاطع صفحتان متعامدتان مع

.2k و 1kهذا السطح في تلك النقطة هما

: الَسرجيفي هذا الشكل

0 <1kهذلولي

0 >2kمكافئ

إذن إنحناء هذا السطح

0 < K

http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_curvature: مصدر هذه الصورة


و الدوال اإلهليلجيةالمثلثات اإلهليلجية

من المواضيع المتقدمة في الرياضيات ، و تشكل بحث أو البيضوية المثلثات اإلهليلجية

و لها أستعماالت عديدة و أحد أهم خاص في المعادالت التفاضلية و الدوال اإلهليلجية

أستعماالت الدوال اإلهليلجية حّل مبرهنة فيرما األخيرة التي عجزت عن برهانها الدوال

هو بحث جامع و مبسط لهذا الموضع المتقدم في هذا البحث الذي بين أيديكم. التقليدية

.الرياضيات

: هي1معادلة اإلهليلج

2 2

1x ya b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1bنفرض : تصبح المعادلة =2

2 1x ya

⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2: معادلة الدائرة هي 2 2x y r+ =

:ال مرآزية اإلهليلج هي2

21 ba

ε = أو −2

22 1b

aε= −

1bبما أن : لذلك =2

2 2

11 1ba a

ε κ κ≡ = − ⇒ = −

. معيار κ (modulus)في هذه الروابط

1- ellipse

1b =


: من الشكل Q

P

rdμ θ≡ ليست μهنا . Q الى النقطة Pتكامل من النقطة ال ∫

عنصر يطبق عليه مؤثر أو دالة أو (متغير ) argument(طول القوس و ال زاوية و إنما

0κفي حالة عبارة عن طول قوس أو زاوية μ. ) مستند 1a أو → و هي →

.عندما يصبح اإلهليلج دائرة

: اإلهليلج نصل لهذه الروابط المثلثاتية (modulus) و )argument(من

( , )sn yμ κ =

( , ) xcna

μ κ =

( , ) rdna

μ κ =

و تكتب κ الرابطة الثانية هي جيب تمام إهليلجي ، يهمل ب إهليلجي والرابطة األولى جي :هكذا

sn yμ = ، xcna

μ = ، rdna

μ =

:هذه بعضها دالة إهليلجية 12توجد

1ns

snμ

μ=

1nccn

μμ

= 1nd

dnμ

μ=

snsccnμμμ

= dndccnμμμ

= cncssnμμμ

=

dndssnμμμ

= snsddnμμμ

= cncddnμμμ

=


:بعض الروابط األخرى 2 2 1sn cnμ μ+ =

2 2 2 1dn snμ κ μ+ =

2: على سبيل المثال نبرهن الرابطة 2 2 1dn snμ κ μ+ =

2 2 2

22

2 2 22 21

22

2

1

11, ,

11

dn sn

x ya

x y r r yr x a asn y dn cna a

a

μ κ μ

μ μ μ

κ

+ =

⎫⎛ ⎞ + = ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪

⎪+ =⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + −⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = ⎪⎪⎪

= − ⎪⎭

22 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2

11 1x y x y y xy y ya a a a a a+ ⎛ ⎞+ − = + + − = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2إذن تحققنا من صحة 2 2 1dn snμ κ μ+ =

:الدوال اإلهليلجية ) تفاضل(إشتقاق

12

1tan ( ) ( )y d xdy ydxx r

θ θ−= ⇒ = −

d ، 18من الشكل الموجود في الصفحة rdμ θ= إذن :

2

1 ( ) 0xd xdy ydx dx ydyr a

μ = − ⇒ + =


2

2 2

2 2 2

1 ( )

1 ( )

x xdy dx d y dxa y r a y

a y a ydx dy d x dyx r x

μ

μ

⎧⎫= − = − −⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⇒⎬ ⎨

⎪ ⎪⎪ ⎪= − = +⎪ ⎪⎭ ⎩

:إذن

d sn cn dnd

μ μ μμ

=

d cn sn dnd

μ μ μμ

= −

2d dn sn cnd

μ κ μ μμ

= −

d: نبرهن على الرابطة sn cn dnd

μ μ μμ

=

2 2

2 2 2 22

2

1 1 1( )1 ( ) ( )

d dsn yd d

a y dy dyd x dya y a xr x d dx y

r x xr a

μμ μ

μμ μ

⎧ =⎪⎪⎨

= + ⇒ = ⇒ =⎪⎪ + +⎩

22

2 1

2 2 22

2

1

( )

x yady dy xr dy x r cn dn

a xd d a d a ayxr a

μ μμ μ μ

+ =

= ⇒ = ⇒ = =+

:إذن

d sn cn dnd

μ μ μμ

=


:المعادالت التفاضليه اإلهليلجية

2 2 21 1d dsn cn dn sn sn snd d

μ μ μ μ μ κ μμ μ

= ⇒ = − −

22 2 2 2 2 21 1 (1 )(1 )dy dyy y y y

d dκ κ

μ μ⎛ ⎞

= − − ⇒ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

المعادلة التفاضلية 2

2 2 2(1 )(1 )dy y yd

κμ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ تعرف بالمعادلة التفاضلية

.ل الدوال اإلهليلجية آما الحظنااإلهليلجية و ال يمكن حلها بالدوال التقليدية و تحل من خال

بعض المقادير الخاصة للدوال اإلهليلجية

0 0sn = ، 0 1cn = ، 0 1dn =

تكامل الدوال اإلهليلجية

1 ln( )sn d dn cnμ μ μ κ μκ

= −∫ 11 cos ( )cn d dnμ μ μ

κ−=∫

ةيمتسلسلة الدوال اإلهليلج3 5 7

2 2 4 2 4 6(1 ) (1 14 ) (1 135 135 )3! 5! 7!

sn μ μ μμ μ κ κ κ κ κ κ= − + + + + − + + + + ⋅⋅ ⋅

2 4 62 2 41 (1 4 ) (1 44 16 )

2! 4! 6!cn μ μ μμ κ κ κ= − + + − + + + ⋅⋅ ⋅

2 4 62 2 2 2 2 41 (4 ) (16 44 )

2! 4! 6!dn μ μ μμ κ κ κ κ κ κ= − + + − + + + ⋅⋅ ⋅

جالل الحاج عبد

21-5-2009

��ل ا��ج ��

www.jalalalhajabed.com

�� :ا�� $� ا#�"! و

[email protected]

[email protected]

elliptic geometry

Documents