elmozdulásmódszer alapjai - kiegészítő anyag

7/26/2019 Elmozdulásmódszer Alapjai - Kiegészítő Anyag

http://slidepdf.com/reader/full/elmozdulasmodszer-alapjai-kiegeszito-anyag 1/21

Papp Ferenc

Ph.D., Dr.habil

Elmozdulás-módszer a mérnökigyakorlatban

Tartószerkezetek statikája I.tantárgy elő adásait kiegészítő anyag különleges érdeklő désű hallgatók

számára

Győ r 2014



1. A nyomott rúdelem merevsége

1.1 A mereven befogott rúdelem

1.1.1 Az elfordítási merevségHatározzuk meg a1a ábrán látható mereven befogott nyomott-hajlított rugalmas

rúdelem elfordítási merevségét, ha a rúdelem keresztmetszete ( A, EI ) és a rúdelemre hatóP nyomóerő állandó. A rúdelem két végét jelöljük j és k betű kkel. Legyen a rúd j végénekelfordítása (befogással együtt)θ j. Az elfordításhoz az állandóP nyomóerő mellett M j és M k rúdvégi nyomaték ésV nyíróerő tartozik. Határozzuk meg aθ j rúdvégi elfordításhoz tartozó

M j és M k nyomatékokat és aV nyíróerő t!

1. ábra. A nyomott-hajlított rúdelem elfordítási merevségének meghatározása:a) modell; b) egyensúlyi feltétel.

A feladat megoldása érdekében helyezzük a rúdelemet az ( x;z) koordináta rendszerbe.Legyenw=w(x) a meggörbült rúd z irányú elmozdulását (görbe alakját) leíró függvény. Írjukfel a rúdelem egyensúlyi egyenletét az x koordináta által meghatározott pontra (1b ábra ):

0 xV M wP' ' w EI j =−++ (1)

A (1) egyenletben EI w” a rúd görbületébő l származó belső nyomaték. AV nyíróerő ismert,mert kifejezhető a külső nyomatéki egyensúlyi feltételbő l:

L

M M V k j

+= (2)

Osszuk el EI -vel a (1) egyenletet, használjuk fel a (2) kifejezést, és vezessük be a EI

P2 =κ

paramétert:

EI

M x

L

M M

EI

1w' ' w jk j2 −

+=+ κ (3)

A (3) hiányos inhomogén differenciálegyenlet megoldása ismert:

kθ j

M j

M k

L

EI

P P x j

z

b)x

z

a)

x

w

M j EI w”

VV

V



( ) ( )P

M x

L M M

P1

xcos B xsin Aw AB BA AB −+

++= κ κ (4)

A (4) egyenletben az A és B állandók, valamint az M j és M k rúdvégi nyomatékok azismeretlenek. A négy ismeretlen a következő négy független peremfeltételbő lmeghatározható:a) x=0 → w(0)=0

Behelyettesítés és rendezés után:

P

M B j= (5a)

b) x=L → w(L)=0 Behelyettesítés és rendezés után:

( ) ( )

( )( ) ( ) Lsin 1P M Lsin LcosP M A

M P1

LcosP

M Lsin A0

k k

k j

−−=

++=

κ κ κ

κ κ (5b)

c) x=L → w’(L)=0 (zérus rúdvégi lefordulás) Behelyettesítés és rendezés után:

( ) ( ) 0 L

M M

P1

Lsin B Lcos A) L(' w k j =+

+−= κ κ κ κ

Az A és B állandó a (5a) és (5b) alapján ismert. Legyenc a rúdvégi nyomatékok aránya:

( )( ) ( )α α α

α α −

−==

2cos22sin2sin2

M M

c

j

k (5c)

ahol

2

2

E

E

L EI

P

PP

22 L

=

=

==

π

ρ

ρ α

d) x=0 → w’(0)= θ j (ismert rúdvégi lefordulás)

Behelyettesítés és rendezés után: j

k j

L

M M

P1

A)0(' w θ κ =+

+=

Fejezzük ki az M j rúdvégi nyomatékot a rúdvégi elfordítás függvényében:

j j k s M θ = ahol

( )( )α α

α α α θ −

−==

tan2cot 21

k

M s

j

j (5d)

L

EI k =

A (5a-d ) képletek alapján a következő megállapításokat tehetjük:



A mereven befogott rúdelem j végénekθ j elfordításáhozállandó P nyomóerő

mellett az alábbi rúdvégi nyomatékra van szükség (1a ábra ):

j j k s M θ =

A kifejezésbens azelfordítási stabilitási függvény:( )( )α α

α α −

−=

tan2cot 21

s

Az α paraméter kifejezhető a ρ fajlagos nyomóerő vel:

2

2

E

E

L

EI P

PP2

=

=

=

π

ρ

ρ π

α

Továbbá: L

EI k =

A rúd befogott végén az alábbi rúdvégi nyomaték keletkezik:

jk k cs M θ = A kifejezésbenc a nyomaték átviteli stabilitási függvény:

( )( ) ( )α α α −

−=

2cos22sin2sin2

c

A fenti összefüggések megértését az alábbi észrevételek alapos átgondolása nagymértékbenmegkönnyítheti: HaP=0 , akkors=4 és c=0,5 , ami az elemi statika (első rendű elmélet) ismert

összefüggéseire vezet:

j2

jk

j j

L

EI 6 V

L EI

2 M

L EI

4 M

θ

θ

θ

=

=

=

Ha ρ =2,042 , akkor s=0 ésc→∞ , azaz a rúdelem kritikus állapotban van, ahol a kritikuserő :

2

2

E cr L EI

PP

==π ρ ρ

A ρ fajlagos nyomóerő és aυ kihajlási hossz között az alábbi kapcsolat áll fenn:

ρ υ

1=

Ha ρ =2,042 (lásd az elő ző pontot), akkorυ =0,7 , ami az egyik végén mereven befogott, a

másik végén szabadon elforduló rúdelem ismert kihajlási hossza.



Amennyiben aP erő húzóerő , a fenti gondolatmenethez hasonlóan levezethetjük azs és c stabilitási függvények megfelelő képleteit, amelyekben azα paraméter hiperbolikusfüggvényei szerepelnek (HORN M.R. - MERCHANT W. 1965).

A mérnöki szemlélet oldaláról elemezve az eredményeket kimondhatjuk, hogy arúdelemre mű ködő nyomóerő csökkenti, a húzóerő pedig növeli a rúdvégi elfordítási

merevséget.1 PéldaHatározzuk meg az alábbi ábrán vázolt rúdszerkezetP cr kritikus terhét! A rúdelemek végeibefogottak, a szerkezet sarokpontjában a rúdvégek mereven kapcsolódnak egymáshoz (merevkeretsarok).

Használjuk a mereven befogott rúdelem elő ző ekben meghatározott elfordítási merevségét!Tételezzük fel, hogy a rudak összenyomódása elhanyagolható, és így a keretsarok csakelfordulni tud. A két rúd elfordítási merevsége a keretsarokban összegző dik, így a keretsarokelfordításához szükséges M ext külső nyomaték az alábbi formában írható fel:

θ +=+= k )ss( M M M 212 , j1 , jext Kritikus állapotban a keretsarok elfordításához M ext → 0 nyomatékra van szükség, ezért

0k )ss( 21 =+ θ

Mivel a modell kihajlott állapotábanθ ≠ 0, ezért0ss 21

=+ Az 1 jelű rúdban a kihajlás pillanatában nem ébred normálerő , ezért s1=4 , és így a kritikusállapot feltétele:

4s2 −=

A 2 jelű rúdban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erő vel, ezért keressük aP erő azon értékét, amelynél a (2-5d) szerintis stabilitásfüggvény-4 értéket vesz fel:

ρ cr =2,877 → s=-4

A 2 jelű rúd Euler-féle kritikus ereje:

kN 2135 L

I E P

m10708 ,3 I ;mkN

101 ,2 E ;m6 L

2

2

E

452

8

==

=== −

π

A kritikus erő : kN 6142PP E cr cr == ρ

Az ábra a szerkezet kihajlott alakját mutatja.

L

L

Keresztmetszet: HEA 200

Anyagminősség:S235 Rúdhossz: L=6,0 m

P cr =?

1

2



1.1.2 Eltolási merevség

Határozzuk meg a2a ábrán látható mereven befogott nyomott-hajlított rugalmasrúdelem eltolási (kilengési) merevégét. Jelöljeδ a j rúdvég z irányú elmozdulását, miközben arúdvég nem fordul el. A feladat megoldásához nem szükséges felírni az egyensúlyi

differenciálegyenletet, mert viszonylag kis elmozdulásokat feltételezve (sin α α ; cos α 1) aprobléma visszavezethető a már ismert elfordulási merevségre (ld. a1.1.1 szakaszt ). A 2bábra szerint az eltolt végű rúdelem úgy tekinthető , mint a két végén = δ /L szöggel elfordítottrúdelem, ahol a rúdvégi erő k megváltozását elhanyagoljuk.

2. ábra. A nyomott-hajlított rúdelem kilengési merevségének meghatározása:a) modell; b) közelítő feltevés.

A megoldás érdekében írjuk fel a globális nyomatéki egyensúlyi egyenletet a j rúdvégre:

0P LV M M k j =−−+ δ (6)

Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat a2-2b ábra és a2.1.1.1 szakasz alapján:

jk

k j j

M M

k csk s M

=

+= θ θ (7)

Mivel θ j= θ k = δ /L, ezért

( ) δ +==

L

k c1s M M

k j (8)A V nyíróerő t fejezzük ki a (6) egyensúlyi egyenletbő l:

LP

L

M M V k j δ

−+

= (9)

Használjuk fel, hogy

2

2

E L EI

PP ==

π ρ ρ (10)

és így a (9) az alábbi alakban írható:

( )[ ] δ ρ π −+= 22

Lk

c1s2V (11)

k = δ /L

M j

M k

L

EI

P

P x

j z

b)

a)

V

V

δ

θ j=

θ k =

P P

M j M k V

V



Vezessük be az alábbi stabilitási függvényt:( )

( ) ρ π −+

+=

2c1s2c1s2

m (12)

Fejezzük ki aV nyíróerő t a (12) függvény segítségével:

( ) δ +=2 L

k m

c1s2V (13)

A (8) és (13) képletek alapján a következő megállapításokat tehetjük:

A mereven befogott rúdelem végénekδ eltolásáhozállandó P nyomóerő mellett az alábbi rúdvégi nyomatékok tartoznak (2a ábra ):

( ) δ +== Lk

c1s M M k j (14)

A kifejezésbens és c függvények megfelelnek a1a ábra szerinti feladatnak.

A rúdvégδ eltolásához az alábbiV nyíróerő tarozik:( )

δ +

=2 L

k m

c1s2V (15)

A kifejezésbenm stabilitási függvény az alábbi alakban írható:( )

( ) ρ π −+

+=

2c1s2c1s2

m (16)

A fenti összefüggések megértését az alábbi észrevételek alapos átgondolása nagymértékbenmegkönnyítheti:

Ha P=0 , akkors=4 , c=0.5 és m=1, ami az elemi statika (első rendű elmélet) ismertösszefüggéseire vezet:

δ

δ

=

==

3

2k j

L EI

12V

L EI

6 M M

Ha ρ =1,0 , akkors=2,467 , c=1 , m→∞ és a fajlagos eltolási merevség zérussá válik, amia rúdelem kritikus állapotát jelenti. A kritikus nyomóerő :

( )0

m

c1s→

+ és 2

2

cr

L

EI P

=

π

A ρ fajlagos nyomóerő és a υ kihajlási hossz közötti ismert összefüggés alapján amereven befogott kilengő rúdelem kihajlási hossza:

0 ,11

== ρ

υ



2 PéldaHatározzuk meg az alábbi ábrán vázolt rúdszerkezetP cr kritikus terhét! A függő leges oszlopokalsó végei befogottak, a felső végeket végtelen merev gerenda köti össze. Az oszlopokmereven kötnek be a gerendába.

Mivel a két befogott oszlopot a gerenda mereven köti össze, a két oszlop vízszintes iránybanegyütt tolódik el. Tételezzük fel, hogy az oszlopok összenyomódása elhanyagolható.Használjuk fel a rúdelem elő ző ekben meghatározott eltolási merevségét. A gerenda vízszintesδ eltolásához az alábbi H ext külső erő re van szükség:

( ) ( )δ

++

+=+=

23

3

3

3322

2

2

2232ext L

k m

c1s2 Lk

mc1s2

V V H

Kritikus állapotban az eltoláshoz H ext → 0 erő re van szükség, így

( ) ( )++

+8

m

c1s

m

c1s

3

33

2

22 =0

A 2 jelű oszlopban a kihajlás pillanatában nem ébred nyomóerő , ezérts2=4 , c2=0,5 és m2=1, és így a kritikus állapot feltétele:

( )75 ,0

mc1s

3

33 −=+

Mivel a3 jelű oszlopban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erő vel, ezértkeressük aP erő azon értékét, amelynél teljesül a fenti egyenlet. A megoldás:

ρ cr =1,123

A 3 jelű oszlop Euler-féle kritikus ereje:

kN 540.8 L

I E P

m10708 ,3 I ;mkN 101 ,2 E ;m3 L

2

2

E

452

8

==

=== −

π

A kritikus erő : kN 590.9PP E cr cr == ρ

Az ábra a szerkezet kihajlott alakját mutatja.

L

L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminő sség:S235 Rúdhossz: L=6,0 m

P cr =?

1

2

L/23



2. Különleges kialakítású rúdelemek merevsége

A 1. szakaszban mereven befogott rúdelemek merevségét határoztuk meg másodrendű elmélet alapján. Az irodalomból számos olyan eredmény ismert, amely astabilitásfüggvényeket különleges peremfeltételekre, terhekre és rúdmentén változókeresztmetszetre terjeszti ki. Ebben a szakaszban ezekbő l a különleges esetekbő l mutatunk benéhányat. Hangsúlyozzuk, hogy a modern számítógépek és végeselemes analízis programokelterjedésével ezen ismeretek gyakorlati jelentő sége nagyban csökkent, de didaktikaiszempontból fontosnak tartjuk a rövid ismertetésüket. Az itt megismert gondolatok,módszertani meggondolások jelentő sen segíthetik a mérnöki gondolkodás és a statikusikészség fejlő dését.

2.1 A csuklós végű rúdelem merevsége

Elő ször határozzuk meg a3 ábrán látható csuklós végű nyomott-hajlított rugalmasrúdelemelfordítási merevségét, ha a rúdelem keresztmetszete ( A, EI ) és a rúdelemre hatóP nyomóerő állandó. Fordítsuk el a rúd j végét (befogással együtt)θ j -vel. Az elfordításhozállandóP nyomóerő mellett M j rúdvégi nyomaték ésV nyíróerő tartozik. Határozzuk meg aθ jrúdvégi elfordításhoz tatozó M j nyomatékot ésV nyíróerő t!

3. ábra. A csuklós végű nyomott-hajlított rúdelem elfordítási merevségének meghatározása.

A feladat megoldásához nem szükséges a3 ábrán vázolt modellre felírni az egyensúlyidifferenciálegyenletet, ahogy azt a1a ábrán vázolt esetben tettük. Elegendő felhasználni azeddig levezetett stabilitási függvényeket. Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat az eddigiismereteink alapján:

k j j k csk s M θ θ += (17)

0k sk cs M k jk =+= θ θ (18)A (18) egyenletbő l az alábbi összefüggést kapjuk:

jk c θ θ −= (19)

A (19) kifejezést használjuk fel a (17) egyenletben:( ) j j

2 j

2 j j k " sk c1sk csk s M θ θ θ θ =−=−= (20)

A (20) alapján a csuklós végű rúdelem elfordítási merevségének fajlagos értékét megadóstabilitásfüggvényhez jutunk:

( )2c1s" s −= (21)

A V nyíróerő a globális egyensúlyi feltételbő l adódik:

k

θ j M j

L

EIP P x

jz

VV

θ k



j j

Lk

" s L

M V θ == (22)

Most határozzuk meg a csuklós végű rúdelemeltolási merevségét (4 ábra ).

4. ábra. A csuklós végű nyomott-hajlított rúdelem eltolási merevségének meghatározása.

Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat az eddigi ismereteink alapján:

δ ==

=

2 j

k

L EI

' ' sk ' ' s M

0 M (23)

A V nyíróerő a rúdelem globális nyomatéki egyensúlyából kifejezhető :0P LV M j =−− δ

L1)P M (V j −= δ (24)

Mivel2

2

E L EI

PP ==

π ρ ρ , ezért

( ) δ ρ π δ π

ρ δ −=−=2

23

2

3 Lk

' ' s L

EI L EI

" sV (25)

2.2 Egyéb különleges esetek

Vizsgáljuk az5 ábrán látható rugalmasan befogott nyomott-hajlított rugalmas rúdelemmerevségét. A rúdelem végein képzeljünk el egy-egy lineárisan rugalmas nyomatéki csuklót.A csuklók a rúdelem részei, a rúdelem csomópontjai a „csuklókon túl” helyezkednek el.

5. ábra. A rugalmasan befogott nyomott-hajlított rúdelem merevségének meghatározása.

θ j’

θ k ’P P

M j M k V

V

θ j

θ k

j k

C j

C k

k M j

L

EI

P

P x

jz

V

Vδ

= δ /L



Legyenθ j és θ k a j és ak rúdvégek elfordítása. A rugalmas csuklókban létrejövő relatívelfordulás miatt a csuklók mögötti rúdvégek elfordulásaθ j’ és θ k ’. A csuklók mögöttirúdvégek nyomatékai felírhatóak az eddig megismert stabilitási függvényekkel és merevségikifejezésekkel:

' k

' j j k csk s M θ θ += (26)

' k

' jk k sk cs M θ θ += (27)

A (26) és (27) rúdvégi nyomatékok felírhatóak a csuklók rugalmas karakterisztikájával is:( )'

j j j j k c M θ θ −= (28)( )'

k k k k k c M θ θ −= (29)

A (28) és (29) kifejezésekbenc j=C j /k és ck =C k /k , ahol C j és C k a [kNm/rad ] dimenziójúrugóállandók. Az (26)-(29) egyenletrendszerbő l a rúdvégi nyomatékok kifejezhető ek:

k '

j' j j k )cs(k s M θ θ += (30)

k ' k j

' k k sk )cs( M θ θ += (31)

A (30) és (31) kifejezésekben a vessző vel jelzett módosított stabilitásfüggvények a levezetésmellő zésével a következő k:

( )

−+=

k

22' j c

c1sss β (32)

( )

−+=

j

22' k c

c1sss β (33)

( ) ( )cscs ' = β (34)

A fenti kifejezésekben a β paraméter a következő :

( )k j

22

k j ccc1s

c1

c1

s1

1

−+

++

= β (35)

A szakirodalomból további különleges esetekre vonatkozó megoldások is ismertek.Eredeti angol nyelvű szakirodalomnak tekinthető Horn és Merchant szerző páros híres könyve(HORN M.R. – MERCHANTW. 1965). Több magyar nyelvű szakirodalom is összefoglalja az ismerteseteket (pl. IVÁNYIM. 1995; HALÁSZO. - IVÁNYIM. 2001). A legfontosabb különleges esetek akövetkező k:

Merev végű rúdelem: a modell figyelembe veszi a rúdelemg j és gk hosszú végeinektökéletes merevségét, ami például csomólemez vagy kiékelés modellezését teszilehető vé.

Képlékeny csomópontú rúdelem: a modell figyelembe veszi a rúdelem végeinesetlegesen kialakuló merev-képlékeny csuklót; a modellnek a képlékeny alapú

tervezésnél alkalmazott eljárásoknál lehet jelentősége (például ilyen aföldrengésvizsgálatnál alkalmazott „ push-over” eljárás).

g j gk L



Keresztirányú megoszló teherrel terhelt rúdelem: a modellre levezetettstabilitásfüggvények alkalmazása esetén nem kell a rúdelemet részekre bontani, és így

nem növekszik az ismeretlenek (szabadságfokok) száma.

Változó keresztmetszetű rúdelem: a hajlító nyomaték változását követő változógerincmagasságú rúdelem alkalmazásával elkerülhető a részekre (pl. állandómagasságú szegmensekre) bontás, ami jelentő sen csökkenti a modell szabadságfokát.

A különleges esetekre levezetett megoldások első sorban a kézi számítás pontosságánaknövelését, illetve a kézi és gépi számítás kapacitás igényének minimalizálását szolgálták. Akülönleges esetek alkalmazásával a szerkezeti modellek szabadságfoka (ismeretlenelmozdulások száma) jelentő sen csökkenthető volt. A mai korszerű számítógépek ésprogramok alkalmazásával a szabadságfokok számának kényszerű csökkentése már nemmérvadó. Ugyanakkor, a fenti modelleknek a kézi ellenő rző számításokban továbbra is

jelentő s szerepe lehet.3 PéldaHatározzuk meg a 1 példában látható modellP cr kritikus terhét, ha a rúdelemek végeirugalmasan befogottak!

A két rúd elfordítási merevsége a keretsarokban összegző dik, így a keretsarok elfordításáhozszükséges M ext külső nyomaték az alábbi formában írható fel:

θ +=+= k )ss( M M M ' 2

' 12 , j1 , jext

Kritikus állapotban a keretsarok elfordításához M ext → 0 nyomatékra van szükség, ezért0k )ss( '

2' 1

=+ θ

L

L

P cr =?

1

2

C

C

g j gk L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminő sség:S235

Rúdhossz: L=6,0 mRugalmas befogás: C=5000 kN m/rad



A modell kihajlott állapotábanθ ≠ 0, ezért

0ss ' 2

' 1

=+ Az 1 jelű rúdban a kihajlás pillanatában nem ébred normálerő , ezért s=4 és c=0,5 . Akeretsarokba a rúdvég mereven köt be, ezértC= ∞ . A (2-29) szerints’1=3,491 , így a kritikus

állapot feltétele:491 ,3s '

2 −=

A 2 jelű rúdban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erő vel, ezért keressük aP erő azon értékét, amelynél a (29) szerintis’ stabilitásfüggvény-3,491 értéket vesz fel:

ρ cr =2,059 → s’=-3,491

A 2 jelű rúd Euler-féle kritikus ereje:

kN 2135 L

I E P

m10708 ,3 I ;mkN

101 ,2 E ;m6 L

2

2

E

452

8

==

=== −

π

A kritikus erő : kN 4396 PP E cr cr == ρ

Az ábra a szerkezet kihajlott alakját mutatja.A kihajlási alakot érdemes összevetni a1 Példa esetén kapott alakkal, ahol a rudak

mereven befogottak voltak.

3. Az összetett szerkezetek stabilitásvizsgálata

A stabilitásfüggvényekkel összetett szerkezetek is vizsgálhatóak. Ehhez célszerű

azelmozdulás-módszernek nevezett mechanikai módszer és a mátrix-módszernek nevezettmatematikai módszer kombinációjából álló eljárás alkalmazása. Az eljárásra a továbbiakbanaz elmozdulás-módszer megnevezést alkalmazzuk. Az elmozdulás-módszer alkalmazásánaklényege, hogy a szerkezetet rúdelemekre bontjuk, ahol az egyes rúdelemek merevsége ismert.Például síkbeli szerkezeti modellek esetében alkalmazhatjuk a 1. és 2. szakaszokbanmeghatározott stabilitásfüggvényeket, de alkalmazhatunk más elven alapuló síkbeli vagytérbeli rúd végeselemeket is. A továbbiakban astabilitásfüggvényekkel leírt rúdelemek alkalmazására szorítkozunk.

2.3.1 A szabadságfokok meghatározása

Amennyiben a rúdelemekre osztott szerkezet minden egyes rúdelme megfelel egyolyan rúdelemnek, amelynek merevsége ismert, akkor meghatározhatjuk a modellszabadságfokát (azaz az ismeretlen elmozdulásokat). Az elmozdulások meghatározásánálalapvető en két módszert követhetünk:

„gépi” módszer; „kézi” módszer.

A továbbiakban csak a „kézi” módszerrel foglalkozunk, mert vizsgálatainkat csak egyszerű ,kézzel is végrehajtható számításokra kívánjuk korlátozni. Induljunk ki abból, hogy aszerkezeti modelli jelű pontjának a globális (X;Z) síkban bekövetkező elmozdulását a6 ábra szerint három független elmozdulás komponens (szabadságfok; angolul: „degrees of

freedom” , a továbbiakban DOF) írja le. Ezek rendre azu i és wi globális irányú elmozdulások,és aθ i elfordulás (DOF=3). Amennyiben a modell csomópontjainak száman, akkor a modell



szabadságfokainak száma∑DOF=3 n. Ez azt jelenti, hogy még a legegyszerű bb modellekesetén is jelentő s számú szabadságfokkal kellene dolgoznunk. A szabadságfokok számaáltalában jelentő sen csökkenthető , ha élünk az alábbi lehető ségekkel:

a rúdelemek összenyomódásának elhanyagolásából következő en a megfelelő szabadságfokok összevonása;

zérus elmozdulású szabadságfokok kizárása; szimmetriából következő en a megfelelő szabadságfokok összevonása.

6. ábra. Csomópont szabadságfokai (DOF=3).

A 2-7 ábra néhány szerkezeti modell „kézi” számításhoz felvehető szabadságfokait mutatja.A szabadságfokok meghatározásánál éltünk a fent felsorolt egyszerű sítési lehető ségekkel.

6. ábra. Példák a „kézi” számításhoz felvehető szabadságfokok meghatározására.

X

Z

ui

i

wi

θ i

θ

DOF=1 DOF=1 DOF=2 DOF=3

θ θ u1 2

θ 1 θ 2 u

1 2θ 1 θ 2 u

DOF=3 DOF=6 DOF=4

1 2θ 1 θ 2 u12

3 4θ 1 θ 2 u34

1 2 3θ 1 θ 2 u12 θ 3



3.2 A globális egyensúlyi egyenletrendszer összeállítása

Az elmozdulás-módszer alkalmazása általánosságban az alábbi alakú globálisegyensúlyi mátrixegyenletre vezet:

FU K =× (36)A (36) egyenletbenU az ismeretlen elmozdulások vektora, amelynek mérete megegyezik amodell szabadságfokainak számával (∑DOF), F a tehervektor, amelynek mérete azonos azU vektor méretével, továbbá K a merevségi mátrix. A merevségi mátrix négyzetes, és méreteszintén megegyezik a szabadságfokok számával. A merevségi mátrix elemeit a megfelelő rúdelemek merevségeibő l állítjuk össze. A (33) mátrixegyenlet minden sora egy egyensúlyiegyenletet jelent, ahol az adott egyenlet mechanikai tartalmát azU elmozdulás vektormegfelelő elemének mechanikai tartalma határozza meg. Amennyiben az elmozduláseltolódás (u), akkor az egyenleterő egyensúlyi egyenlet, amennyiben az elmozduláselfordulás, akkor az egyenletnyomatéki egyensúlyi egyenlet.

A (36) egyensúlyi mátrixegyenlet felírását egy konkrét példán keresztül mutatjuk be.

Tekintsük a7 ábrán látható szerkezeti modellt, ahol feltüntettük a3.1 szakasz alapján felvettszabadságfokokat.

7. ábra. A három szabadságfokú rúdszerkezeti modell.

Elő ször állítsuk össze azU elmozdulás vektort. Ehhez rendezzük sorba a háromszabadságfokoknak megfelelő ismeretlen elmozdulás komponenst (a sorrend tetsző leges):

U =u

2

1

θ θ

(37)

A (37) elmozdulás vektornak megfelelő tehervektor:

F ==

=

=

H F

0 M

0 M

u

2

1

(38)

A (38) tehervektorban M 1 és M 2 az 1 és a 2 jelű csomópontokban ható (jelen esetben zérusértékű ) külső nyomatékok,F u az u elmozdulás komponens irányában ható külső erő , jelenesetben H . Mivel a modell szabadságfokai között nem szerepelnek a csomópontok függő leges

elmozdulásai (az oszlopok összenyomódás elhanyagolható), aP 1 és P 2 erő k nem szerepelneka tehervektorban.

θ 1 θ 2 u

1

2 3

DOF=3

1 2

P 1 P 2= α P 1

H



A K merevségi mátrix felírása már nagyobb rutint igényel. Az eljárás megértéseérdekében, első lépésben, írjuk fel a három egyensúlyi egyenletet:1. egyenlet:nyomatékiegyensúlyi egyenlet az1 jelű csomóponton:

0uK K K 13212111 =++ θ θ

ahol aK merevségi elemek fizikai tartalma rendre a következő :K 11 - a θ θθ θ 1=1 és θ 2=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó

rúdvégi belső nyomatékok összege a1 jelű csomóponton, az adott példa esetén(8a ábra ) :

22112 ,1 ,11 ,1 ,111 k sk s M M K +=+=

K 12 - a θ θθ θ 2=1 és θ 1=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származórúdvégi nyomaték az1 jelű csomóponton, az adott példa esetén (8b ábra ):

1111 ,2 ,112 k cs M K ==

K 13 - az u=1 és θ 1= θ 2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származórúdvégi nyomatékok összege az1 jelű csomóponton, az adott példa esetén(8c ábra ):

2

2222 ,3 ,113 L

k )c1(s M K +==

2. egyenlet:nyomatékiegyensúlyi egyenlet a 2 jelű csomóponton:0uK K K 23222121

=++ θ θ ahol aK merevségi elemek fizikai tartalma rendre a következő :K 21 = K 12 K 22 - a θ θθ θ 2=1 és θ 1=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó

rúdvégi belső nyomatékok összege a2 jelű csomóponton, az adott példa esetén(2-8d ábra ) :

3" 3113 ,2 ,21 ,2 ,222 k sk s M M K +=+=

K 23 - az u=1 és θ 1= θ 2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származórúdvégi nyomaték a2 jelű csomóponton, az adott példa esetén (8e ábra ):

3

3" 33 ,3 ,223 L

k s M K ==

3. egyenlet:erő

egyensúlyi egyenlet az „összevont”1-2 jelű

csomópontokon: H uK K K 33232131

=++ θ θ ahol aK merevségi elemek fizikai tartalma rendre a következő :K 31 = K 13 K 32 = K 23 K 33 - az u=1 és θ 1= θ 2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó

rúdvégi nyíróerő k összege az1 és 2 jelű csomópontokon, az adott példa esetén(8f ábra ):

( ) ( ) 2

3

32" 2

2

2

2

223 ,3 ,32 ,3 ,333 L

k s

Lk

mc1s2

V V K −++

=+= ρ π



A fenti kifejezésekben és a 8 ábrán a belső M és V erő k indexelése a következő szabálytköveti:els ő index az igénybevétel helyét,második index az igénybevételt kiváltó elmozdulást,harmadik index a rúdelemet jelöli. A fentiek alapján felírhatjuk a (36) egyensúlyi egyenletmátrix alakját:

( )

( ) ( ) ( )

=

−++

+

+

++

H

0

0

u

Lk

s Lk

mc1s2

Lk

s Lk

c1s

Lk

sk sk sk cs

Lk

c1sk csk sk s

2

1

23

32" 22

2

2

22

3

3" 3

2

222

3

3" 33

" 311111

2

2221112211

θ θ

ρ π

(39)

A (39) egyensúlyi egyenletrendszer megoldásával a következő szakaszban foglalkozunk.

8. ábra. A belső nyomatékok és nyíróerő k egységnyi elmozdulásokból.

3.3 Egyensúlyi egyenletrendszer megoldása

A (39) egyensúlyi egyenletrendszer szimmetrikus és nemlineáris, ugyanis a K merevségi mátrix elemei a rudakban ébredő normálerő ktő l függenek. Amennyiben a jobb

M 1,1,2 =s 2 k 2

θ 1=1

M 1,1,1 =s 1 k 1 M 1,2,1 =s 1 c1 k 1

θ 2=1

M 1,3,2 =s 2 (1+c 2) k 2 /L2

u=1

M 2,2,3 =s” 3 k 3

M 2,2,1 =s 1 k 1

M 2,3,3 =s” 3 k 3 /L3

a) b) c)

d) e)

M

( )22

2

2

222 ,3 ,3

Lk

mc1s2

V +

=

( )23

323 ,3 ,3 L

k " sV −= ρ π



oldalon az F tehervektor nem zérus, akkor a teherparaméter növelésével a modell elmozdulása(deformációja) is növekszik, ami a normálerő k eloszlásának változásával jár. Ebben azesetben a modell viselkedése a5 ábrán vázolthatárpontos viselkedéshez hasonlít. Mivel azegyensúlyi egyenletrendszert a kis elmozdulások elve alapján írtuk fel, az egyensúlyi útvonalvégtelenhez tartó elmozdulásnál tart azF max tehermaximumhoz (9 ábra ). A modellek ilyen

típusú nemlineáris vizsgálatával a továbbiakban nem foglalkozunk.

9. ábra. A rúdszerkezeti modell nemlineáris viselkedése és a kritikus terhe.

Amennyiben a (39) egyensúlyi egyenletrendszer jobb oldalán a tehervektor zérus,azaz a példánk esetében H → 0, akkor a

0U K = (40)mátrixegyenlet nem triviális (U ≠ 0) megoldása a

0)det( = K (41)feltételre vezet. Amennyiben az egyparaméteres teherrendszer teljesíti a (42) feltételt,akkor a teher megfelel a szimmetrikus stabilis elágazáshoz tartózókritikus tehernek.A rugalmas stabilitásvizsgálat (41) szerint történő végrehajtása során feltételezhetjük,hogy kritikus állapotban a rudakban ébredő normálerő k megegyeznek a kezdeti(első rendű ) normálerő kkel. A számítás néhány (legfeljebb három) szabadságfokigkézzel is könnyen végrehajtható (4 Példa).

F cr

u

F max

F

„harmadrendű ” megoldás

„másodrendű ” megoldás

Lineáris stabilitásvizsgálat eredménye



4 PéldaHatározzuk meg az ábrán vázolt szerkezeti modell kritikus terhét!

A modell viselkedése (kihajlása) az alábbi két független elmozdulással (szabadságfokkal)

írható le, aholθ a sarokcsomópont elfordulása ésu a gerenda csomópontjainak összevonteltolódása:

A modell merevségi mátrixa a 2.1 szakasz alapján az alábbi ábra segítségével állathatóössze:

Kezdetben az1 jelű rúdban nem ébred normálerő , ezért

3s" 1

= A két rúd azonos keresztmetszetű és hosszú, ezért

L L L

k k k

21

21

==

==

A merevségi mátrix a2-es index elhagyásával az alábbi formában írható:

L

L

P cr =?

1

2 Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminő sség:S235 Rúdhossz: L=6,0 m

θ u

=u

θ U

u=1 ; θ =0

s” 1 k 1s” 2 k 2 s” 2 k 2 /L2 (s” 2-π 2 ρ 2)k 2 /L2

2

θ =1 ; u=0

( )−

+

=

22

22

2" 2

2

2" 2

2

2" 22

" 21

" 1

Lk

s Lk

s

Lk

sk sk s

ρ π K



A kritikus állapot feltétele, hogy a merevségi mátrix determinánsa zérus értéket vegyen fel:

( ) ( )[ ] 0 Lk ss3s)det( 2

22"

cr 2" " =−−+= ρ π K

Tehát keressük a ρ cr értékét, ahol a kapcsos zárójelben lévő kifejezés zérus értéket vesz fel. A számítás például próbálgatással (try & error ) is elvégezhető :

ρ s c s” π 2 ρ det( K )0,120 3,840 0,532 2,755 1,184 1,4480,130 3,826 0,534 2,733 1,283 0,8440,140 3,812 0,537 2,712 1,382 0,2440,150 3,799 0,540 2,691 1,480 -0,3530,144 3,807 0,538 2,703 1,421 0,004

A számítás szerint a ρ cr =0,144 értéknél a merevségi mátrix determinánsa közelítő leg zérusértéket vesz fel, azaz a modell kritikus állapotba kerül. A kritikus erő :

==

==

==

635 ,21

kN 307 PP

kN 2135 L

I E P

cr

E cr cr

2

2

E

ρ υ

ρ

π

A kihajlás alakját az ábra mutatja.

4. Összefoglalás

A fejezetben nyomóerő vel terhelt és síkban elmozduló rúdelemek merevségéthatároztuk meg egyensúlyi differenciálegyenlet segítségével, a másodrendű elmélet közelítő feltevései alapján. A fajlagos merevségeket a normálerő tő l függő stabilitásfüggvényekkelfejeztük ki. Az így meghatározott merevségek amásodrendű elmélet keretein belülérvényesek. Amennyiben a normálerő t zérusnak választjuk, akkor a stabilitásfüggvényekértékei az első rendű elmélet szerinti merevségi konstansokat adják meg.

A másodrendű merevségeket befogott és csuklós végű rúdelemre is meghatároztuk.Bemutattuk, hogy a másodrendű merevségek számoskülönleges esetre is meghatározhatóak,és a megfelelő kifejezések a szakirodalomban megtalálhatóak. Megállapítottuk, hogy az egyreösszetettebb megoldásokat a számítás kapacitásigényének minimalizálása, azaz azismeretlenek számának csökkentése kényszeríttette ki. Kimondtuk, hogy a mai számításikapacitás mellett a stabilitásfüggvényes megoldások gyakorlati jelentő sége jelentő sencsökkent. Ugyanakkor azt is megállapítottuk, hogy a mérnökképzésben didaktikaiszempontból fontosnak tartjuk az alapesetek ismeretét és kézi számításban történő alkalmazását.

Bemutattuk az összetett rúdszerkezeti modellek vizsgálatának általános módszertanát„kézi” számítás esetére. Az eljárást a matematikából ismertmátrix-módszer és amechanikából ismertelmozdulás-módszerkombinációjára alapoztuk. Bemutattuk, hogy azeljárás két alapfeladatra vezet. Amennyiben a tehervektor nem zérus, akkorhatárpontos

( )−

+

=

22" "

" "

Lk

s Lk

s

Lk

sk )3s(

ρ π K



elágazási feladatra jutunk, amely nemlineáris egyenletrendszer megoldására vezet.Amennyiben a tehervektor zérus, akkor a tökéletes modellkritikus elágazásának feladatára jutunk, ami a merevségi mátrix determinánsa első gyökének meghatározását jelenti. Amódszer alkalmazását számpéldával illusztráltuk.

elmozdulásmódszer alapjai - kiegészítő anyag

Documents