Ian Stewart dispensa apresentaes. Ele , possivelmente, o mais bem-sucedido autor de divulgao cientfica da atualidade. A qualidade de sua narrativa consegue tornar acessveis assuntos que seriam, em princpio, ridos. Samuel Jurkiewicz Professor da Coppe / UFRJCom mais de 100 ilustraes, Em busca do infinito desmistifica as ideias essenciais da matemtica, explicando um tema fundamental de cada vez. Entre diagramas, fotos e pinturas alm de quadros destacando o que cada descoberta fez por sua poca e tambm suas aplicaes hoje em dia , Stewart revela a natureza fascinante desta cincia e sua presena em todos os aspectos de nossa vida.

Prefcio

A matemtica no surgiu completamente formada. Ela cresceu apartirdeesforosacumuladosdemuitaspessoas,demuitasculturas,quefalavammuitosidiomas.Ideiasmatemticasqueaindasousadasatualmenteremontamamaisde4milanos.

MuitasdescobertashumanassoefmerasodesenhodasrodasdabigafoimuitoimportantenoImprioNovodoEgito,masnoexatamenteumatecnologiadepontanosdiasdehoje.Amatemtica,aocontrrio,emgeralpermanente. Uma vez feita uma descoberta matemtica, ela se tornaacessvelparaquequalquerumpossaus-la,eassimadquirevidaprpria.Boas ideias matemticas raramente saem de moda, embora suaimplantaopossamudardramaticamente.Mtodosderesolverequaes,descobertospelosantigosbabilnios,aindaestoemusoatualmente.Nsnoempregamosanotaodeles,masovnculohistricoinegvel.De fato, a maior parte da matemtica ensinada nas escolas tem pelo

menos duzentos anos de idade. O advento dos currculos dematemticamoderna na dcada de 1960 fez o tema entrar no sculo XIX. Mas,contrariando as aparncias, amatemtica no permaneceu parada. Hoje,cria-se mais matemtica nova a cada semana do que os babilniosconseguiramem2milanos.A ascenso da civilizao humana e a ascenso da matemtica tm

andado de mos dadas. Sem as descobertas gregas, rabes e hindus emtrigonometria, a navegao atravs do oceano aberto teria sido umempreendimento ainda mais arriscado do que foi quando as grandesnavegaes descobriram os seis continentes. Rotas comerciais da ChinaparaaEuropa,oudaIndonsiaparaasAmricas,semantinhamunidasporuminvisvelfiomatemtico.A sociedade de hoje no poderia funcionar sem a matemtica.

Virtualmente tudo que agora consideramos como algo absolutamentenormal da televiso aos telefones celulares, de gigantescos jatos depassageiros a sistemas de navegao por satlite em automveis, dehorriosdetrensaexamesmdicosporimagem,temcomobaseideiase

mtodosmatemticos.svezesamatemticatemmilharesdeanos;outras,foidescobertanasemanapassada.Amaioriadensnuncasedcontadeque ela est presente, trabalhando nos bastidores para possibilitar essesmilagresdatecnologiamoderna.Issolamentvel:leva-nosapensarqueatecnologiafuncionaporsis,

fazendo com que esperemos novos milagres a cada dia. Por outro lado,tambm algo inteiramente natural: queremos usar esses milagres daformamaisfcilpossvel,pensandoomenospossvel.Ousurionodeveser sobrecarregado de informao desnecessria acerca dos artifciossubjacentesquetornamosmilagrespossveis.Secadapassageirodeumaviagemareaprecisassepassarporumexamede trigonometria antesdeembarcarnoavio,poucosdenschegaramosalevantarvoo.Ese,porumlado,issopudessereduziranossaemissodecarbono,tambmtornariaonossomundomuitopequenoeprovinciano.Escrever uma histria realmente ampla damatemtica praticamente

impossvel. O tema hoje to vasto, to complicado e to tcnico quemesmoumespecialistajulgariainvivelaleituradeumlivroassimsemcontar a impossibilidadede algumvir a escrev-lo.MorrisKline chegoupertocomseupicoMathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes.Olivrotemmaisde1.200pginas,emletrapequena,edeixadeforaquasetudoqueaconteceunosltimoscemanos.Este livro muitomais curto, o que significa que tive de ser seletivo,

especialmentenoquesereferesmatemticasdossculosXXeXXI.Estoumuitoconscientedetodosostpicosimportantesquefuiobrigadoaomitir.Noh geometria algbrica, nem teoria da co-homologia, nemanlise deelementosfinitos,nemondaletas.Alistadoqueestfaltandomuitomaislongadoquealistadoqueestincludo.Asminhasescolhasforamguiadaspeloconhecimentoprvioqueosleitoresprovavelmentetm,epornovasideiasquepodemserexplicadasdeformasucinta.Ahistriasegueumaordemcronolgicadentrodecadacaptulo,masos

captulosestoorganizadosportpicos.necessrioquesejaassimparaque haja algum tipo de narrativa coerente; se pusesse tudo em ordemcronolgica, a anlise pularia aleatoriamente de um tpico a outro, semqualquersensodedireo.Issopoderiaestarmaisprximodahistriareal,mas tornaria o livro impossvel de ser lido. Assim, cada novo captulocomea com um retorno ao passado, e menciona alguns marcosfundamentaisqueforamsuperadosmedidaqueotemaiaevoluindo.Osprimeiroscaptulosparamnumpontodistantenopassado;osltimos,s

vezes,percorremtodoocaminhoatopresente.Procureidarumgostinhodamatemticamodernaecomissomerefiro

aqualquercoisafeitanosltimoscemanosmaisoumenos,selecionandotpicosdosquaisosleitorespossamterouvidofalarerelacionando-oscomastendnciashistricasgerais.Aomissodeumtpiconoimplicafaltadeimportncia, mas penso que fazmais sentido dedicar algumas pginas aAndrew Wiles e sua prova do ltimo Teorema de Fermat do qual amaioria dos leitores certamente j ouviu falar do que, digamos, degeometrianocomutativa,cujabasehistricaeconceitualapenasocupariadiversoscaptulos.Emsuma,estaumahistria,noahistria.Ehistrianosentidode

que narra uma histria sobre o passado. No dirigida a historiadoresprofissionais,nofazasmeticulosasdistinesqueelesjulgamnecessrias,eamidedescreveasideiasdopassadopeloolhardopresente.Esteltimoaspecto um pecado capital para o historiador, pois faz parecer que osantigos se empenhavam, de alguma forma, num caminho rumo ao nossomododepensaratual.Maspensoqueissodefensveleessencialquandooobjetivobsicocomearpeloquesabemosagoraeperguntardeondeessas ideias vieram. Os gregos no estudaram a elipse no intuito depossibilitar a teoria das rbitas planetrias de Kepler, e Kepler noformulou suas trs leis do movimento planetrio no intuito de Newtontransform-las em sua lei da gravitao. No entanto, a histria da lei deNewton se apoia firmemente no trabalho grego relativo elipse e naanlisededadosobservacionaisfeitaporKepler.Umsubtemado livroousoprticodamatemtica.Aqui forneouma

amostra bastante ecltica de aplicaes, tanto passadas como presentes.Maisumavez,aomissodequalquer tpicono indicaqueelecareadeimportncia.A matemtica tem uma histria longa, gloriosa, mas de algum modo

negligenciada, e a sua influncia sobre o desenvolvimento da culturahumana temsido imensa. Seo livro cobrir aindaqueumapequenapartedessahistria,teratingidooobjetivoaquemepropus.

Coventry,maiode2007

1.Tokens,entalhesetabletesOnascimentodosnmeros

A matemtica comeou com nmeros, e os nmeros ainda sofundamentais, ainda que o assunto no se limite mais a clculosnumricos. Construindo conceitos mais sofisticados com base nosnmeros, a matemtica evoluiu para uma ampla e variada rea dopensamento humano, indo muito alm de qualquer coisa queencontremosnumcurrculoescolartpico.Amatemticadehojetratamuitomais de estrutura, padro e formadoquedenmeros em si.Seus mtodos so muito genricos, e muitas vezes abstratos. Suasaplicaes abrangem cincia, indstria, comrcio e at mesmo asartes.Amatemticauniversaleonipresente.

Comeoucomnmeros

Ao longodemilharesdeanos,matemticosdemuitasculturasdiferentescriaram uma vasta superestrutura sobre os alicerces do nmero:geometria,clculo,dinmica,probabilidade,topologia,caos,complexidade,e assimpordiante.A revistaMathematicalReviews, queacompanha todanovapublicaomatemtica, classificao temaemaproximadamenteumacentena de reas principais, subdivididas em vrios milhares deespecialidades.Hmaisde50milpesquisadoresmatemticosnomundo,quepublicamacadaanomaisde1milhodepginasdenovamatemtica.Matemtica genuinamente nova, isto , no s pequenas variaes dosresultadosexistentes.Osmatemticos tambmse aprofundaramnos fundamentos lgicosdo

seu tema, descobrindo conceitos ainda mais bsicos que os nmeros lgicamatemtica,teoriadosconjuntos.Porm,maisumavez,aprincipalmotivao,opontodepartidadeondetudoflui,oconceitodenmero.Os nmeros parecem simples e diretos, mas as aparncias enganam.

Clculos com nmeros podem ser duros; obter o nmero certo pode serdifcil.E,mesmoassim,mais fcilusarosnmerosdoqueespecificaroque realmente so. Nmeros contam coisas, mas no so coisas, porquevoc pode pegar na mo duas xcaras, mas no pode pegar na mo onmero dois.Nmeros so representados por smbolos,mas diferentesculturas usam smbolos diferentes para o mesmo nmero. Nmeros soabstratos, todavia nossa sociedade baseia-se neles, e sem eles nofuncionaria. Nmeros so uma espcie de constructo mental, pormsentimosqueelescontinuariamtendosignificadomesmoseahumanidadefossevarridadomapaporalgumacatstrofeglobalenosobrassementealgumaparacontempl-los.

Escrevernmeros

Ahistriadamatemticacomeacomainvenodesmbolosescritosparadesignarnmeros.Nossosistemafamiliardealgarismos0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9 para representar todos os nmeros concebveis, por maiores quesejam,umainvenorelativamentenova;elaveioaexistircercade1.500anosatrs,esuaextensoscasasdecimais,quenospermiterepresentarvalores com alta preciso, no tem mais de 450 anos de idade. Oscomputadores, que embutiram os clculos matemticos de forma toprofunda na nossa cultura que nem notamosmais a sua presena, estoconosco h meros cinquenta anos; computadores potentes e rpidos osuficienteparaseremteisemnossoslareseescritrios,hcercadevinteanosapenas.Sem os nmeros, a civilizao como agora a conhecemos no poderia

existir. Os nmeros esto em toda parte, servos ocultos que correm spressas nos bastidores levandomensagens, corrigindo a nossa redaoenquanto digitamos, reservando nossos voos de frias para o Caribe,mantendo o controle de nossos bens, assegurando que nossosmedicamentos sejamseguros e eficazes.E, para equilibrar, possibilitandoarmasnucleareseguiandobombasemsseisparaosseusalvos.Nemtodaaplicaodamatemticatemservidoparamelhoraracondiohumana.Como foi que surgiu essa enorme indstria numrica? Tudo comeou

comminsculosobjetosdeargila,10milanosatrsnoOrientePrximo.Mesmo naqueles tempos, contadores mantinham controle sobre quem

possua o qu e quanto mesmo que a escrita ainda no tivesse sido

inventadaenohouvessesmbolosparaosnmeros.Emlugardesmbolosnumricos, esses contadores antigos usavam pequenos objetos de argila,tokens.a Alguns eram cones, outros eram esferas e outros, ainda, tinhamformatodeovo.Havia cilindros, discos epirmides.A arquelogaDeniseSchmandt-Besserat deduziu que esses tokens representavam gnerosbsicos da poca. Pequenas esferas de argila representavam volumes degros, cilindros significavam animais, os que tinham formato de ovoreferiam-sea jarrosdeleo.Ostokensmaisantigosdatamde8000a.C.,eforamdeusocomumdurante5milanos.Comopassardotempo,elesforamsetornandomaiselaboradosemais

especializados.Haviaconesdecoradospararepresentarunidadesdepoetokensachatadosemformadelosangopararepresentarcerveja.Schmandt-Besseratpercebeuqueessestokenserammuitomaisdoqueumdispositivode contagem. Eram um primeiro passo vital no trajeto para smbolosnumricos, aritmticos ematemticos. Mas foi um passo inicial bastanteestranho,epareceterocorridoporacaso.Aconteceuporqueos tokens eramusadosparamanter registros, talvez

com propsitos tributrios ou financeiros, ou como prova legal depropriedade. A vantagem dos tokens era que os contadores podiamarrum-los rapidamente em padres, para calcular quantos animais ouquantogroalgumpossuaoudevia.Adesvantagemeraquepodiamserfalsificados.Paraassegurar-sedequeningum interferissenas contas,oscontadores os embrulhavam em invlucros de argila na verdade, umaespcie de lacre. Assim podiam descobrir rapidamente quantos tokenshavia dentro de um determinado invlucro, e de que tipo eram,simplesmente abrindo o invlucro. E podiam sempre fazer um invlucronovoparavoltaraguard-los.Noentanto,quebrar repetidamenteum invlucroparadepois refaz-lo

constitua uma maneira bastante ineficiente de descobrir o que haviadentro,eosburocratasdaantigaMesopotmiapensaramemalgomelhor:inscreveram smbolos sobre o invlucro, listando os tokens que elecontinha.Sedentrohouvesseseteesferas,oscontadoresdesenhavamsetefigurasdeesferasnaargilamolhadadoinvlucro.Em algum momento os burocratas da Mesopotmia perceberam que,

umavezdesenhadosossmbolosnoexteriordoinvlucro,noprecisavammaisdocontedo,eassimnotinhamdequebr-loparadescobrirquetipodetokenhaviadentro.Essepassobvio,mascrucial,criouefetivamenteumconjunto de smbolos numricos escritos, com formatos diferentes para

diferentestiposdegneros.Todososoutrossmbolosnumricos,inclusiveos que usamos hoje, so os descendentes intelectuais desse antigodispositivoburocrtico.Naverdade,asubstituiodetokensporsmbolospodeterconstitudoonascimentodaprpriaescrita.

Entalhes

Essasmarcasnaargilanoforamdemodoalgumosprimeirosexemplosdenmeros escritos,mas todos os exemplos anteriores so poucomais querabiscos, marcas entalhadas, registrando nmeros como uma srie deriscostaiscomo|||||||||||||pararepresentaronmero13.Asmarcasmaisantigasdesse tipo29 traosentalhadosnumossodepatadebabunotmcercade37milanosdeidade.OossofoiencontradonumacavernanasmontanhasLebombo,nafronteiraentreaSuazilndiaeafricadoSul,demodo que a caverna conhecida como Caverna da Fronteira, e o osso conhecidocomoossodeLebombo.Naausnciadeumamquinadotempo,no h meio de saber ao certo o que as marcas representavam, maspodemosfazeralgumassuposies.Omslunarcontm28dias,demodoqueosentalhespodemestarrelacionadoscomasfasesdaLua.

Marcasentalhadastmavantagemdepoderserfeitasumadecadavez,nodecorrerdeperodoslongos,semalterarouapagarentalhesanteriores.Aindasousadasnosdiasdehoje,comfrequncia

emgruposdecinco,comoquintotraocortandodiagonalmenteosquatroanteriores.

Apresenadeentalhesaindapodeservistanosnmerosmodernos.Nossossmbolos1,2,3derivam,respectivamente,deumtraonicohorizontal,dedoistraoshorizontaisligadosporum

traoinclinadoedetrstraoshorizontaisligadospordoistraosinclinados.

Existem relquias semelhantes da Europa antiga. Um osso de loboencontrado na ex-Checoslovquia tem 57 entalhes dispostos em onzegrupos de cinco com dois excedentes, e tem cerca de 30mil anos. Duasvezes2856,demaneiraque isso talvezsejaumregistrodedoismeseslunares.Maisumavez,parecenohavermeiodetestaressasugesto.Masasmarcasparecempropositais,edevemtersidofeitasporalgumarazo.Outra inscriomatemticaantiga,oossode Ishango,noZaire, tem25

mil anos (estimativasanterioresde6mil a9mil anos foramrevistasem1995).primeiravistaasmarcasaolongodabordadoossoparecemestardispostas quase ao acaso, mas pode haver padres ocultos. Uma fileiracontm os nmeros primos entre 10 e 20, ou seja, 11, 13, 17 e 19, cujasomasessenta.Outra fileiracontm9,11,19e21,quetambmsomam60. A terceira fila assemelha-se a um mtodo s vezes usado paramultiplicar dois nmeros entre si duplicando e dividindo ao meio. Noentanto,ospadresaparentespodemsersimplescoincidncia,e tambmjsesugeriuqueoossodeIshangoumcalendriolunar.

OossodeIshangomostrandoospadresdosentalheseosnmerosqueelespodemrepresentar.

Osprimeirosnumerais

A trajetria histrica a partir dos tokens dos contadores at os numeraismodernos longa e indireta. Com o passar dos milnios, o povo daMesopotmiadesenvolveu a agricultura e seumodode vidanmadedeulugar a assentamentos permanentes, numa srie de cidades Babilnia,Eridu,Lagash,Sumria,Ur.Osprimeirossmbolosinscritosemtabuletasdeargila molhada transformaram-se em pictografias smbolos que

representam palavras por meio de figuras simplificadas daquilo que apalavra significa. E as pictografias foram aindamais simplificadas, sendoagregadas a partir de uma pequena quantidade demarcas em forma decunhasimpressasnaargilacomumbambusecodepontaachatadaeafiada.Diferentes tipos de cunha podiam ser feitos segurando-se o bambu emdiferentes posies. Por volta de 3000 a.C., os sumrios haviamdesenvolvido uma elaborada forma de escrita, agora chamada escritacuneiformeemformadecunha.Ahistriadesseperodocomplicada,comdiversascidadesdominando

em diferentes pocas. A cidade da Babilnia, em especial, adquiriuproeminncia, e cerca de um milho de tabuletas de argila babilnicasforamescavadasdasareiasmesopotmicas.Algumascentenasdelastratamdematemticaeastronomia,emostramqueoconhecimentobabilnicodeambos os assuntos era extenso. Em particular, os babilnios eramexcelentes astrnomos, tendo desenvolvido um simbolismo sistemtico esofisticadoparaosnmeros,capazderepresentardadosastronmicoscomelevadapreciso.Ossmbolosnumricosbabilnicosvobemalmdeumsimplessistema

de entalhes, e so os mais antigos smbolos conhecidos a faz-lo. Sousados dois tipos de cunha: uma cunha vertical fina para representar onmero1,eumacunhahorizontalgrossaparaonmero10.Essascunhassodispostasemgruposparaindicarosnmeros2-9e20-50.Noentanto,esse padro cessa em 59, e a cunha fina adquire ento um segundosignificado,passandoarepresentar60.

Smbolosbabilnicosparaosnmeros1-59.

Diz-se, portanto, queo sistemanumricobabilnicode base60, ousexagesimal. Ou seja, o valor de um smbolo pode ser um determinadonmero, ou 60 vezes esse nmero, ou 60 vezes 60 esse nmero,dependendodaposiodosmbolo.Istosemelhanteaonossoconhecidosistemadecimal,noqualovalordeumsmbolomultiplicadopor10,oupor 100, ou por 1.000, dependendo da sua posio.No nmero 777, porexemplo,oprimeiro7significasetecentos,osegundo7significasetentaeoterceirosignificasete.Paraumbabilnio,umasriedetrsrepeties

do smbolo para 7 teria um significado diferente, pormbaseado no mesmo princpio. O primeiro significaria 7 60 60, ou25.200;osegundosignificaria760=420;oterceirosignificaria7.Logo,ogrupode trs smbolos iguais significaria25.200+410+7, oqueperfaz25.627nanossanotao.Relquiasdosistemababilnicodebase60aindapodemserencontradasnosdiasdehoje.Os60segundosemumminuto,os60minutosnahoraeos360grausnumcrculocompletotudoissodatadostemposdaantigaBabilnia.

O que os nmeros faziam por eles

Os babilnios usavam seu sistema numrico para a contabilidade e o comrcio cotidianos,mas tambm o empregavam com um propsito mais sofisticado: a astronomia. Aqui suacapacidade de representar nmeros fracionrios com alta preciso era essencial. Vriascentenas de tabletes registram dados planetrios. Entre eles h um nico tablete, bastantedanificado, que detalha o movimento dirio do planeta Jpiter durante um perodo de cercade quatrocentos dias. Foi escrito na prpria Babilnia, por volta de 163 a.C. Uma entradatpica deste tablete lista os nmeros

126 8 16;6,46,58 0;0,45,180;0,11,42 +0;0,0,10

que correspondem s vrias grandezas empregadas para calcular a posio do planeta nocu. Note que os nmeros so especificados com trs casas sexagesimais um poucomelhor que cinco casas decimais.

Como a composio grfica de smbolos cuneiformes complicada, osestudiosos escrevem os numerais babilnicos usando uma mistura danossanotaodebase10edanotaodebase60.Assim,astrsrepetiesdosmbolocuneiformepara7seriamescritas7,7,7.Ealgocomo23,11,14indicaria os smbolos babilnicos para 23, 11 e 14 escritos nessa ordem,comumvalornumricode(236060)+(1160)+14,queresultaem83.474nanossanotao.

Smbolosparanmerospequenos

Nsnosomenteusamosdezsmbolospararepresentarnmerosgrandes,sem limite de tamanho: tambm usamos os mesmos smbolos para

representararbitrariamenteosnmerospequenos.Paraisso,empregamosumavrguladecimal.Dgitosesquerdadavrgularepresentamnmerosinteiros;osqueestodireitarepresentamfraes.Fraesdecimaissomltiplas de umdcimo, um centsimo, e assimpor diante. Ento 25,47,por exemplo, significaduasdezenasmais cincounidadesmais4dcimosmais7centsimos.Osbabilniosconheciamessetruque,eoutilizaramcombonsresultados

emsuasobservaesastronmicas.Estudiososrepresentamoequivalentebabilnico vrgula decimal por um ponto e vrgula (;), mas trata-se deuma vrgula sexagesimal e os nmeros sua direita so mltiplos de

, eassimpordiante.Comoexemplo,asequnciadenmeros12,59;57,17significa:

queaproximadamente779,955.So conhecidos aproximadamente 2 mil tabletes com informao

astronmica, embora grande parte deles seja bastante rotineira,consistindoemdescriesdemodosdepredizereclipses,tabelasdefatosastronmicosregulareseexcertosmaisbreves.Cercadetrezentostabletesso mais ambiciosos e mais empolgantes: tabulam observaes sobre omovimentodeMercrio,Marte,JpitereSaturno,porexemplo.Por mais fascinante que seja, a astronomia babilnica um tanto

tangencial nossa histria central, que a matemtica pura babilnica.Maspareceprovvelqueaaplicaonaastronomiaeraumestmuloparaabusca das reas mais cerebrais desse tema. Assim, uma boa ideiareconhecer simplesmente quo precisos eram os astrnomos babilniosquandosetratavadeobservareventoscelestes.Porexemplo,descobriramqueoperodoorbitaldeMarte(estritamente,otempodecorridoentreduasapariessucessivasnamesmaposionocu)erade12,59;57,17diasem sua notao aproximadamente 779,955 dias na nossa, como foinotadoacima.Onmeromodernode779,936dias.

Osantigosegpcios

TalvezamaiordascivilizaesantigastenhasidoadoEgito,quefloresceus margens e no Delta do Nilo entre 3150 e 31 a.C., com um extensoperodo pr-dinstico estendendo-se at 6000 a.C., e um gradualenfraquecimentosobosromanosde31a.C.emdiante.Osegpcios foramexcelentes construtores, com um sistema altamente desenvolvido decrenasecerimniasreligiosas,eeramobsessivosnoquediziarespeitomanuteno de registros. Mas suas realizaes matemticas forammodestasemcomparaocomasalturasatingidaspelosbabilnios.O sistema egpcio antigo para escrever nmeros inteiros simples e

direto.Hsmbolosparaosnmeros1,10,100,1.000,eassimpordiante.Repetindo esses smbolos at nove vezes e combinando os resultados,podemosrepresentarqualquernmerointeiro.Porexemplo,paraescreveronmero5.724,osegpciosagrupariamcincodeseussmbolospara1.000,setedeseussmbolospara100,doisdeseussmbolospara10equatrodeseussmbolospara1.

Smbolosnumricosegpcios.

Onmero5.724emhierglifosegpcios.

Fraes causavam aos egpcios srias dores de cabea. Em perodosdiversos eles utilizaram vrias notaes diferentes para fraes. NoImprio Antigo (2700-2200 a.C.), uma notao especial para as nossasfraes eraobtidaporsucessivadivisoaomeio.Esses smbolos usavampartes do hierglifo olho deHrus ou olho deWadjet.

FraesespeciaisformadasapartirdoolhodeHrus.

O mais conhecido sistema egpcio para fraes foi concebido durante oImprio Mdio (2000-1700 a.C.). O sistema principia com uma notaoparaqualquerfraonaforma ,ondenuminteiropositivo.Osmbolo

(ohierglifoparaaletraR)escritoacimadosmboloegpciopadroparan.Assim,porexemplo, escrito .Outrasfraessoexpressasento somando vrias dessas fraes unitrias. Por exemplo,

.

Smbolosespeciaisparafraesespeciais.

Curiosamente, os egpcios no escreviam como A regrapareciaser:usefraesdiferentes.Haviatambmnotaesdiferentesparaalgumasdasfraesmaissimples,taiscomo, e.A notao egpcia para fraes era desajeitada e adaptada de forma

pobreparaoclculo.Cumpriabemsuafunopararegistrosoficiais,masfoibasicamenteignoradapelasculturasposteriores.

Nmerosegente

Quervocgostedearitmtica,querno,difcilnegarosprofundosefeitosqueosnmerostmtidosobreodesenvolvimentodacivilizaohumana.Aevoluodaculturaeadamatemticavmandandodemosdadasnosltimosquatromilnios. Seriadifcil separar causaeefeitoeuhesitariaemafirmarqueinovaomatemticaprovocamudanasculturais,ouquenecessidades culturais determinam a direo do progresso matemtico.Masambasasafirmaescontmumgrodeverdade,porquematemticaeculturacoevoluem.Existe, porm, uma diferena significativa. Muitas mudanas culturais

so claramente visveis. Novos tipos de habitao, novas formas detransporte, at mesmo novos modos de organizar burocraciasgovernamentais, so relativamente bvios para todo cidado. Amatemtica,noentanto,ocorreemsuamaiorpartenosbastidores.Quandoos babilnios usavam suas observaes astronmicas para predizereclipsessolares,porexemplo,ocidadomdioficavaimpressionadocomaprecisocomqueossacerdotespreviamesseacontecimentoestarrecedor,masmesmo amaioria dos sacerdotes tinhapouca ounenhuma ideia dosmtodosempregados.Sabiamcomolertabletesquelistavamosdadosdoseclipses,masoqueimportavaeracomous-los.Omodocomohaviamsidoelaboradoseraumaartearcana,sendomelhordeix-laparaespecialistas.Algunssacerdotespodiamtertidoboaeducaomatemticatodosos

escribastreinadostinham,esacerdotesemformaorecebiamemgrandeparte as mesmas aulas que os escribas, em seus primeiros anos , masapreciar a matemtica no era realmente necessrio para desfrutar osbenefciosquesurgiamapartirdenovasdescobertassobreoassunto.Foisempre assim, e, sem dvida, assim sempre ser. Os matemticosraramente recebem o crdito pelas mudanas no mundo. Quantas vezesvocvtodotipodemilagresmodernoscreditadosaoscomputadores,sem

amenormenoao fatodequeos computadores s funcionamse foremprogramados para usar sofisticados algoritmos isto , procedimentospara resolver problemas e que a base de quase todos os algoritmos matemtica?Aprincipalmatemticaqueefetivamenteseencontrasobreasuperfcie

a aritmtica. Mas a inveno das calculadoras de bolso, dispositivos quetotalizamquanto voc temquepagar, e os contadores especializados emimpostos que fazem o trabalho para voc, e para isso so pagos, estoempurrando at mesmo a aritmtica cada vez mais para o fundo dosbastidores.Aindaassim,aomenosamaioriadenstemconscinciadequeaaritmticaestl.Somostotalmentedependentesdosnmeros,sejaparamanter controle das nossas obrigaes legais, arrecadar impostos,comunicar-se instantaneamente com o outro lado do planeta, explorar asuperfcie de Marte ou avaliar a ltima droga miraculosa. Todas essascoisas remontam antiga Babilnia e aos escribas e mestres quedescobrirammeiosefetivosderegistrarnmerosefazerclculoscomeles.Esses conhecimentos aritmticos eram empregados com vista a doispropsitosprincipais:assuntoscotidianosdossereshumanoscomuns,taiscomo medidas de terras e contabilidade, e atividades consideradaselevadas,comopredizereclipsesouregistrarosmovimentosdosplanetasatravsdocunoturno.

O que os nmeros fazem por ns

A maioria dos carros de alto nvel modernos atualmente vem equipada com satnav,navegao por satlite. Sistemas de satnav podem ser comprados isoladamente a preorelativamente baixo. Um pequeno dispositivo, preso ao carro, nos diz exatamente ondeestamos num determinado momento e exibe um mapa geralmente com cores grficasextravagantes e em perspectiva mostrando as ruas vizinhas. Um sistema de voz pode atmesmo dizer o melhor caminho para chegar a determinado destino. Se parece algo tiradoda fico cientfica, de fato . O componente essencial, que no faz parte da caixinha presaao carro, o GPS Global Positioning System [Sistema de Posicionamento Global], quecompreende 24 satlites em rbita ao redor da Terra, s vezes mais quando so lanadasunidades de reposio. Esses satlites enviam sinais, e esses sinais podem ser usadospara deduzir a localizao do carro com preciso de poucos metros.

A matemtica entra em jogo sob muitos aspectos numa rede de GPS, mas aquimencionamos apenas uma: como os sinais so usados para descobrir a localizao docarro.

Sinais de rdio viajam velocidade da luz, que , aproximadamente, de 300 milquilmetros por segundo. Um computador a bordo do carro um chip na caixa que voccomprou poder calcular a distncia do seu carro at qualquer satlite dado se souberquanto tempo o sinal levou para viajar do satlite at o seu carro. Isso acontece na ordemde um dcimo de segundo, mas medies precisas de tempo agora so fceis. O truque estruturar o sinal de modo que contenha informao sobre a sincronia dos dados.

O que ocorre que o satlite e o receptor no carro tocam, ambos, a mesma msica ecomparam a sincronia do seu andamento. As notas que chegam do satlite tero umligeiro atraso em relao s produzidas no carro. Nessa analogia, as msicas podiam estar

na seguinte situao:

CARRO no sei por qu, bate feliz, quando te v SATLITE meu corao, no sei por qu, bate feliz

Aqui a cano do satlite est atrasada em cerca de duas palavras em relao mesmacano no carro. Tanto o sistema no carro como o satlite precisam gerar a mesmacano, e notas sucessivas precisam ser distintas, para que a diferena na sincronia damsica seja fcil de observar.

claro que, na verdade, o satnav no usa uma msica. O sinal uma srie de pulsosbreves cuja durao determinada por um cdigo pseudoaleatrio. Este uma srie denmeros, que parece aleatria mas na verdade baseia-se numa regra matemtica. Ambos,satlite e receptor, conhecem a regra, logo podem gerar a mesma sequncia de pulsos.

Ns fazemos a mesma coisa hoje. Usamos matemtica simples, poucomaisdoquearitmtica,paracentenasdepequenastarefasquantosrolosdepapeldeparedecomprarpararevestiroquarto,sevamoseconomizarindomaislongeembuscadegasolinamaisbarata,quantoclorocolocarnapiscina. E a nossa cultura usa a matemtica sofisticada para a cincia,tecnologia e cada vez mais para o comrcio tambm. As invenes danotao numrica e da aritmtica se equiparam s da linguagem e daescritacomoexemplosdasinovaesquenosdiferenciamdemacacosquepodemsertreinados.

adeusoconsagradootermoeminglstoken,quesignificasmbolo,signo,testemunhoeindicaumobjeto,emgeraldepequenasdimenses,quepossuaouadquiraumsignificadoespecficodentrodocontextoaqueserefere.(N.T.)

2.AlgicadaformaPrimeirospassosemgeometria

H dois tipos principais de raciocnio em matemtica: simblico evisual.Oraciocniosimblicooriginou-senanotaonumrica,eembreve veremos como ele levou inveno da lgebra, na qualsmbolos representamnmeros genricos (a incgnita) em vez denmeros especficos (7). Da IdadeMdia emdiante, amatemticapassou a basear-se intensamente no uso de smbolos, como umaolhadarpidaemqualquertextomatemticomodernoconfirmar.

Osprimrdiosdageometria

Assim como usam smbolos, os matemticos usam tambm diagramas,possibilitandovriostiposderaciocniovisual.Figurassomenosformaisdoquesmbolos,eporessemotivosuautilizaosvezes temsidovistacommausolhos.Humasensaodifundidadequeumafigura,dealgummodo,menos rigorosadoqueumclculo simblico, falandodopontodevistalgico.verdadequefigurasdeixammaismargemparadiferenasdeinterpretaes do que os smbolos. Alm disso, as figuras podem conterpremissas ocultas no podemos desenhar um tringulo genrico;qualquer tringulo que desenhemos tem um tamanho e uma formaespecficos,quepodemnoserrepresentativosdeumtringuloarbitrrio.Contudo, a intuio visual uma caracterstica to poderosa do crebrohumano que as figuras desempenham um papel proeminente namatemtica.Naverdade,introduzemumsegundoconceitofundamentalnotema,apsonmero.Referimo-nosforma.O fascnio dos matemticos com as formas vem de longa data. H

diagramas nos tabletes babilnicos. Por exemplo, o tablete catalogadocomo YBC 7289 mostra um quadrado e duas diagonais. Os lados doquadradoestomarcadoscomosnumeraiscuneiformescorrespondentesa

30.Acimadeumadiagonalestmarcado1;24,51,10eabaixodela,42;25,35,queoprodutodoprimeironmeropor30,eportantoocomprimentoda diagonal. Logo, 1; 24, 51, 10 o comprimento da diagonal de umquadradomenor,deladounitrio.OTeoremadePitgorasnosdizqueessadiagonalaraizquadradade2,queescrevemos .Aaproximao1;24,51,10para muitoboa,corretaatasextacasadecimal.

TableteYBC7289eseusnumeraiscuneiformes.

Oprimeirousosistemticodediagramas,juntocomumusolimitadodesmboloseumagrandedosedelgica,ocorrenosescritosdegeometriadeEuclides de Alexandria. A obra de Euclides seguia uma tradio queremontava,nomnimo,aocultopitagrico,quefloresceuporvoltade500a.C., mas Euclides insistia em que qualquer afirmao matemtica deviareceberumaprovalgicaantesdeserconsideradaverdadeira.Assim,seusescritoscombinamduasinovaesdistintas:ousodefiguraseaestruturalgica de provas. Durante sculos, a palavra geometria foi intimamenteassociadaaambas.Neste captulo acompanhamos a histria da geometria a partir de

Pitgoras, passando por Euclides e seu precursor Eudoxo, at o perodoposterior da Grcia clssica e os sucessores de Euclides, Arquimedes eApolnio. Estes primeiros gemetras abriram caminho para todo o

trabalho posterior de pensamento visual em matemtica. E tambmestabeleceram padres de prova lgica que no foram superados pormilnios.

Pitgoras

Hoje em dia damos praticamente como certo que a matemtica forneceuma chave para as leis subjacentes da natureza. O primeiro pensamentosistemtico registrado segundo essa linha provm dos pitagricos, umaseita relativamente mstica que data de cerca de 500 a.C. Seu fundador,Pitgoras,nasceuemSamosporvoltade569a.C.Ondeequandomorreuummistrio,masem460a.C.aseitaqueelefundoufoiatacadaedestruda,seuslocaisdereunio,devastadoseincendiados.Numdeles,acasadeMiloem Crotona, mais de cinquenta pitagricos foram massacrados. Muitossobreviventes fugiramparaTebas,noAltoEgito.PossivelmentePitgorasfoiumdeles,masatissonopassadeconjectura,pois,lendasparte,nosabemos virtualmente nada sobre Pitgoras. Seu nome bem conhecido,principalmente por causa de seu celebrado teorema relativo a tringulosretngulos,masnemsequersabemossePitgorasoprovou.Sabemosmuitosmais acercada filosofia edas crenasdospitagricos.

Elescompreendiamqueamatemticatratadeconceitosabstratos,nodarealidade.Noentanto,acreditavamtambmqueessasabstraesestavam,dealgummodo, corporificadasemconceitos ideais,existindoemalgumestranhoreinodaimaginao.Dessemodo,umcrculodesenhadonaareiacomumgalho,porexemplo,umatentativafalhadeserumcrculoaideal,perfeitamenteredondoeinfinitamentefino.Oaspectomaisinfluentedafilosofiadocultopitagricoacrenadeque

oUniversosefundamentaemnmeros.Elesexpressavamessacrenacomsimbolismo mitolgico, e a sustentavam com observaes empricas. Doladomstico,consideravamonmero1comosendoafonteprimordialdetudonoUniverso.Osnmeros2e3simbolizavamosprincpiosfemininoemasculino. O nmero 4 simbolizava harmonia e tambm os quatroelementos(terra,ar,fogo,gua),dosquaistudoformado.Ospitagricosacreditavamqueonmero10tinhaprofundasignificaomstica,porque10=1+2+3+4,combinandoaunidadeprimeva,oprincpiofeminino,oprincpio masculino e os quatro elementos. Alm disso, esses nmerosformavam um tringulo, e toda a geometria grega se articulava nas

propriedadesdostringulos.

Onmerodezformaumtringulo.

Harmonia do mundo

A principal sustentao emprica do conceito pitagrico de um universo numrico provinhada msica, onde eles haviam percebido algumas ligaes notveis entre sons harmoniosose razes numricas simples. Usando experimentos elementares, descobriram que se umacorda vibrada produz uma nota com um tom especfico, ento uma corda com a metade doseu comprimento produz uma nota extremamente harmnica, agora chamada de oitava.Uma corda com dois teros do comprimento produz a nota harmnica seguinte, e outracom trs quartos do comprimento tambm produz uma nota harmnica.

Hoje esses aspectos numricos da msica so atribudos fsica das cordas vibratrias,que se movem em padres de ondas. O nmero de ondas que cabem num determinadocomprimento de corda um nmero inteiro, e esses nmeros inteiros determinam asrazes numricas simples. Se os nmeros no formarem uma razo simples, ento asnotas correspondentes inferem entre si, formando batidas discordantes, que sodesagradveis ao ouvido. A histria toda bem mais complexa, envolvendo os padresaos quais o crebro est acostumado, mas, definitivamente, existe uma explicao fsicapara a descoberta pitagrica.

Arazoa:bigualrazoc:d?

Os pitagricos reconheciam a existncia de nove corpos celestes Sol,Lua,Mercrio,Vnus,Terra,Marte,JpitereSaturno,almdoFogoCentral,que era diferente do Sol. To importante era o nmero 10 em sua visocosmolgica que acreditavam haver um dcimo corpo, a Antiterra,perpetuamenteocultadenspeloSol.bComovimos,osnmerosinteiros1,2,3conduzemnaturalmenteaum

segundo tipo de nmero, as fraes, que os matemticos chamam denmerosracionais.Umnmeroracionalumafrao emqueaeb sonmeros inteiros (com b diferente de zero, pois seno a frao no fazsentido). Fraes subdividem os nmeros inteiros em partesarbitrariamente pequenas, de modo que o comprimento de uma linhanumafigurageomtricapodeseaproximartantoquantosequeiradeumnmero racional. Parece natural imaginar que uma subdiviso suficientefariaamedidaatingirexatamenteonmero;assimsendo,todasasmedidasseriamracionais.Se isso fosse verdade, a geometria seria muito mais simples, pois

quaisquerdois comprimentos seriamnmeros inteirosmltiplos deumamedidacomum(talvezpequena),podendo,assim, serobtidosassociandouma poro dessa medida comum. Isso pode parecer algo sem muitaimportncia,massimplificariamuitotodaateoriadecomprimentos,reas

eespecialmentefigurassemelhantesfigurascomamesmaformamasdediferentes tamanhos. Tudo poderia ser provado usando diagramasformadosapartirdemontesemontesdecpiasdeumaformabsica.Infelizmente,essesonhonopodeserealizar.Segundoa lenda,umdos

seguidores de Pitgoras, Hipaso de Metaponto, descobriu que essaafirmao era falsa. Provou, especificamente, que a diagonal de umquadrado unitrio (um quadrado com lados valendo uma unidade) irracional:noumafraoexata.Conta-seque(asfontessoduvidosas,masahistriaboa)elecometeuoerrodeanunciaressefatoquandoospitagricosestavamatravessandooMediterrneodebarco,eseuscolegasdeseitaficaramtoexasperadosqueolanaramaomareeleseafogou.Omais provvel que tenha sido simplesmente expulso da seita.Qualquerquetenhasidosuapunio,aoquepareceospitagricosnoficaramnadasatisfeitoscomadescoberta.AinterpretaomodernadaobservaodeHipasoque irracional.

Paraospitagricos,esse fatobrutaleraumgolpedecisivoemsuacrenapraticamente religiosa de que o Universo se baseava em nmeros referindo-se aqui a nmeros inteiros. Fraes razes entre nmerosinteiros se encaixavam bastante bem nessa viso de mundo, mas omesmonoaconteciacomnmerosqueprovavelmentenoeramfraes.Eassim,afogadoouexpulso,opobreHipasotornou-seumadasprimeirasvtimasdairracionalidade,porassimdizer,dacrenareligiosa.

Domandoosirracionais

Por fim, os gregos acabaram encontrando uma forma de lidar com osirracionais. Funciona porque qualquer nmero irracional pode ter aaproximaodeumnmeroracional.Quantomelhoraaproximao,maiscomplicado torna-seo racional, e semprehalgumerro.Mas tornandooerrocadavezmenor,humaperspectivadeabordaraspropriedadesdosirracionais explorandopropriedadesanlogasdosnmeros racionaisqueservemdeaproximao.Oproblemaestruturaressaideiademaneiraquesejacompatvelcomaabordagemgregadegeometriaeprovaissoacabaserevelandovivel,emboracomplicado.AteoriagregadosirracionaisfoiinventadaporEudoxoporvoltade370

a.C.Suaideiarepresentarqualquergrandeza,racionalouirracional,comoa razo entre dois comprimentos isto , em termos de um par de

comprimentos. Assim, a frao dois teros representada por doissegmentos, um de comprimento dois e outro de comprimento trs (umarazode2:3).Demaneirasimilar, representadapeloparformadopeladiagonal de um quadrado unitrio e seu lado (uma razo :1). Note-seque ambos os pares de segmentos podem ser construdosgeometricamente.Oponto-chavedefinirquandoduasrazesdessassoiguais.Quando

quea:b=c:d?Semcontarcomumsistemanumricoadequado,osgregosnopodiamfazerissodividindoumcomprimentopelooutroecomparandoa b comc d. Em vez disso, Eudoxo descobriu ummtodo rebuscado,porm preciso, de comparao que podia ser executado dentro dasconvenesdageometriagrega.Aideiatentarcompararaecformandomltiplos inteiros ma e nc. Isso pode ser feito juntandom cpias de a,grudandoumaextremidadenaoutraefazendoomesmocomncpiasdec.Usam-se osmesmos doismltiplosm en para compararmb end. Se asrazesa:bec:dnoforemiguais,dizEudoxo,entodescobrimosquemenexageram a diferena, a tal ponto quema > nc, masmb < nd. De fato,podemosdefinirigualdadederazesdessamaneira.

TeoremadePitgoras:seotringulotemumnguloreto,entooquadradomaior,A,temamesmareaqueosoutrosdois,BeC,somados.

Essadefinio requer quenos acostumemos a ela. Ela adaptada commuitocuidadoparaaslimitadasoperaespermitidasnageometriagrega.No entanto, funciona; ela permitiu aos gemetras gregos pegar teoremasquepodiamserfacilmenteprovadosparaproporesracionaiseestend-losparaproporesirracionais.Elesfrequentementeempregavamummtodochamadoexausto,que

lhespermitiaprovarteoremasqueemnossosdiasprovaramosutilizandoa ideia de limite e clculo. Dessa maneira provaram que a rea de umcrculoproporcional aoquadradode seu raio.Aprovacomeacomumfato simples, encontrado em Euclides: as reas de dois polgonossemelhantes esto na mesma proporo que os quadrados de seusrespectivos lados.Ocrculoapresentaproblemasnovosporquenoumpolgono.Osgregosconsideraram,portanto,duassequnciasdepolgonosregulares cujos vrtices estavam no crculo: um dentro do crculo, outrofora.Ambasassequnciasvoseaproximandomaisemaisdocrculo,eadefiniodeEudoxoimplicaquearazoentreasreasdospolgonosqueseaproximamamesmarazoqueasreasdoscrculos.

Euclides

O mais conhecido gemetra grego, embora provavelmente no omatemticomaisoriginal,EuclidesdeAlexandria.Euclidesfoiumgrandesintetizador, e seu texto de geometria,Os elementos, tornou-se um best-sellerdetodosostempos.Euclidesescreveupelomenosdeztextossobrematemtica, mas apenas cinco deles sobreviveram todos por meio decpias,eapenasemparte.NsnotemosdocumentosoriginaisdaGrciaAntiga. Os cinco sobreviventes euclidianos so Os elementos, Diviso defiguras,Osdados,Osfenmenoseptica.

Os elementos a obra-prima geomtrica de Euclides, e fornece umtratamento definitivo da geometria em duas dimenses (o plano) e trsdimenses (o espao). Diviso de figuras e Os dados contm vriossuplementosecomentriossobregeometria.Osfenmenosdirigidoparaastrnomos, e lida com geometria esfrica, a geometria de figurasdesenhadassobrea superfciedeumaesfera.ptica tambmumaobrasobre geometria, e poderia ser considerada uma investigao precocesobreageometriadaperspectivacomooolhohumanotransformaumacenatridimensionalnumaimagembidimensional.

Talvez amelhormaneiradepensarnaobradeEuclides seja comoumexame da lgica das relaes espaciais. Se uma forma possui certaspropriedades,estaspodemimplicarlogicamenteoutraspropriedades.Porexemplo,seumtringulotemostrsladosiguaisumtringuloequiltero, ento todos os trs ngulos devem ser iguais. Esse tipo de afirmao,listandoalgumaspremissasedaafirmandosuasconsequnciaslgicas,chamadateorema.Esseteoremaespecficorelacionaumapropriedadedosladosdeumtringulocomumapropriedadedeseusngulos.UmexemplomenosintuitivoemaisfamosooTeoremadePitgoras.

Oselementos divide-se em treze livros separados,umseguindoooutroemsequncialgica.Elesdiscutemageometriadoplanoealgunsaspectosda geometria do espao. O clmax a prova de que existem exatamentecincoslidosregulares:o tetraedro,ocubo,ooctaedro,ododecaedroeoicosaedro. As formas bsicas permitidas na geometria plana so linhasretasecrculos,frequentementecombinadosporexemplo,umtringuloformado a partir de trs linhas retas. Em geometria espacial tambmencontramosplanos,cilindroseesferas.Para os matemticos modernos, o mais interessante na geometria de

Euclidesnoseucontedo,massuaestruturalgica.Aocontrriodeseuspredecessores, Euclides no afirma meramente que um teorema verdadeiro.Eleforneceumaprova.

Poliedros regulares

Um slido regular (ou platnico) se formado de faces idnticas, dispostas da mesmaforma em cada vrtice, sendo cada face um polgono regular. Os pitagricos tinhamconhecimento de cinco slidos, como abaixo:

Os cinco slidos platnicos

O tetraedro, formado de quatro tringulos equilteros.O cubo (ou hexaedro), formado de seis quadrados.

O octaedro, formado de oito tringulos equilteros.O dodecaedro, formado de doze pentgonos regulares.O icosaedro, formado de vinte tringulos equilteros.

Eles os associavam com os quatro elementos da Antiguidade terra, gua, ar e fogo ecom eles um quinto elemento, a quintessncia, literalmente quinta essncia.

Oqueumaprova?umaespciedehistriamatemtica,naqualcadapasso uma consequncia lgica de alguns dos passos anteriores. Cadaafirmativa feita precisa ser justificada fazendo referncia a afirmativasanteriores, mostrando que uma consequncia lgica das mesmas.Euclides se deu conta de que esse processo no pode retrocederindefinidamente:eleprecisacomearemalgumlugar,eessasafirmativasiniciais no podem ser provadas elas mesmas ou ento o processo deprovacomea,naverdade,emumlugardiferente.Para dar o chute inicial, Euclides principiou por listar algumas

definies: afirmativas claras e precisas do que significam certos termostcnicos,taiscomoretaoucrculo.Umadefiniotpica:nguloobtusoo ngulo maior que um ngulo reto. As definies lhe davam aterminologiadequenecessitavaparaafirmarsuaspremissasnoprovadas,queele classificouemdois tipos:noescomuns epostulados.Umanoocomumtpica:coisasiguaisaumamesmacoisasoiguaisentresi.Umpostuladotpico:todososngulosretossoiguaisentresi.Hojeemdiansjuntaramososdoistiposeoschamaramosdeaxiomas.

Os axiomasdeumsistemamatemtico soaspremissas subjacentesquefazemos acerca desse sistema. Pensamosnos axiomas como as regras dojogo, e insistimos para que o jogo seja jogado conforme as regras. Noperguntamosmais se as regras so verdadeiras no achamosmais quehajaapenasumjogoquepossaser jogado.Qualquerumquequeira jogaraquele jogo especfico precisa aceitar as regras; se no aceitar, temliberdadedejogarumjogodiferente,masnoseraqueledeterminadoporaquelasregrasparticulares.NapocadeEuclides,eporaproximadamente2milanosdepoisdele,os

matemticos no pensavam dessa maneira de modo algum. Geralmenteconsideravamosaxiomasverdadesautoevidentes,tobviasqueningumpodia question-las a srio. Ento Euclides fez o melhor que pde paradeixarseusaxiomasbviosepormuitopoucoquaseconseguiu.Masumaxioma, o axioma das paralelas, inusitadamente complicado econtraintuitivo,emuitagentetentoudeduzi-loapartirdepremissasmaissimples.Maisadiante,veremosasnotveisdescobertasaqueissolevou.

A partir desses princpios simples, Os elementos prossegue, passo apasso,demodoafornecerprovasdeteoremasgeomtricoscadavezmaissofisticados. Por exemplo, Livro I, Proposio5, provaqueos ngulosdabase de um tringulo issceles (um tringulo com dois lados iguais) soiguais. Esse teorema era conhecido por geraes de escolares vitorianoscomoponsasinorum oupontedeasnos: odiagramapareceumaponte, eera a primeira barreira sria emque tropeavamos alunos que queriamaprender o tema decorando em vez de entender. Livro I, Proposio 32,provaqueosngulosdeumtringulosomam180.LivroI,Proposio47,oTeoremadePitgoras.

EUCLIDES DE ALEXANDRIA(325-265 a.C.)

Euclides famoso pelo seu livro de geometria Os elementos, que foi um proeminente naverdade, o mais importante texto de ensino matemtico por dois milnios.

Sabemos muito pouco da vida de Euclides. Ele lecionou em Alexandria. Por volta de 45a.C. o filsofo Proclo escreveu:

Euclides viveu na poca do primeiro Ptolomeu, pois Arquimedes, que se seguiuimediatamente ao primeiro Ptolomeu, faz meno a Euclides Ptolomeu certa vezindagou [a Euclides] se havia um caminho mais curto para estudar geometria do que Oselementos, ao que ele respondeu que no havia estrada real para a geometria. Ele ,portanto, mais jovem que o crculo de Plato, porm mais velho que Eratstenes eArquimedes ele era platonista, estando de acordo com essa filosofia, tanto que crioucomo fim de todo Os elementos a construo das assim chamadas figuras platnicas(slidos regulares).

Euclidesdeduziacadateoremadeteoremasanterioresevriosaxiomas.Ele construiuuma torre lgica,que foi seerguendomaisemais rumoaocu, com os axiomas como seus alicerces e as dedues lgicas como aargamassaquemantinhaostijolosunidos.Atualmente nos satisfazemosmenos com a lgica de Euclides, pois ela

temmuitaslacunas.Euclidesconsideravamuitascoisasexistindoapriori;sualistadeaxiomasestlongedesercompleta.Porexemplo,podeparecerbvioqueseumaretapassaporumpontodentrodeumcrculoeladevecortar o crculo em algum lugar pelo menos se for prolongada osuficiente. Certamente parece bvio se voc desenhar a figura, mas hexemplosmostrandoqueissonoconsequnciadosaxiomasdeEuclides.Euclides saiu-se muito bem, mas ele presumia que caractersticasaparentemente bviasdediagramasnoprecisavamnemdeprovasnemdebaseaxiomtica.umaomissomaissriadoquepodeparecer.Existemalgunsexemplos

famosos de raciocnio falacioso surgindo de erros sutis em figuras. Um

delesprovaquetodotringulotemdoisladosiguais.

Arazourea

O Livro V de Os elementos caminha numa direo muito diferente, ebastante obscura, do que os Livros I-IV. No parece geometriaconvencional.Defato,primeiravistasoacomoumjargoininteligvel.Oquedevemosentender,porexemplo,doLivroV,Proposio1?Lest:Secertas grandezas so equimltiplas de outras grandezas, ento qualquerque seja omltiplo de uma dessas grandezas em relao s outras, estetambmseromltiplodetodas.A linguagem(quesimplifiqueiumpouco)noajuda,masaprovadeixa

clarooqueEuclidespretendia.OmatemticoinglsdosculoXIXAugustusDeMorgan explicou a ideia em linguagem simples em seu livro-texto degeometria: Dez ps e dez polegadas equivale a dez vezes um p e umapolegada.OqueEuclides tememmenteaqui?Seriamtrivialidadesemroupagem

deteoremas?Absurdosmsticos?Demaneiraalguma.Essematerialpareceobscuro,masconduzpartemaisprofundadeOselementos:astcnicasdeEudoxo para lidar com propores irracionais. Nos dias de hoje, osmatemticospreferemtrabalharcomnmeros,ecomoestesnossomaisfamiliares,frequentementeinterpretareiasideiasgregasnessalinguagem.Euclidesnopdeevitardefrontar-secomasdificuldadesdosnmeros

irracionais, porque o clmax de Os elementos e, muitos acreditam, seuprincipalobjetivoeraaprovadequeexistemprecisamentecincoslidosregulares:otetraedro,ocubo(ouhexaedro),ooctaedro,ododecaedroeoicosaedro. Euclides provou duas coisas: no existem outros slidosregulares, e esses cinco de fato existem podem ser construdosgeometricamente, e suas faces se encaixam perfeitamente sem o menorerro.Dois dos slidos regulares, o dodecaedro e o icosaedro, envolvem o

pentgonoregular:ododecaedrotemfacespentagonais,eascincofacesdoicosaedro que cercam qualquer vrtice determinam um pentgono.PentgonosregularesestodiretamenterelacionadoscomoqueEuclideschamou de mdia e extrema razo. Num segmentoAB, determinar umpontoC demodo que a razoAB:AC seja igual razoAC:BC. Ou seja, osegmento inicial tem amesmaproporo em relao ao segmentomaior

que o segmento maior tem em relao ao menor. Se voc desenhar umpentgonoeinscreverneleumaestreladecincopontas,osladosdaestrelaestarorelacionadoscomosladosdopentgonoporessarazoespecfica.Atualmente a chamamos de razo urea. Ela vale , e este um

nmero irracional. Seu valor numrico aproximadamente 1,618. Osgregos puderam provar que era irracional explorando a geometria dopentgono.DemodoqueEuclideseseuspredecessoresestavamcientesdeque para uma compreenso adequada do dodecaedro e do icosaedroprecisariamenfrentarosirracionais.

Arazodasdiagonaiscomosladosumarazourea.

Mdiaeextremarazo(agorachamadaderazourea).Arazoentreotraosuperioreotraodomeioigualrazoentreotraodomeioeotraoinferior.

Esta,pelomenos,avisoconvencionaldeOselementos.DavidFowlerargumentaemseulivroTheMathematicsofPlatosAcademyqueexisteumaviso alternativa essencialmente, o ponto de vista contrrio. Talvez oprincipal objetivo de Euclides fosse a teoria dos irracionais, e os slidosregulares fossem apenas uma aplicao clara. A evidncia pode serinterpretada de qualquer uma das maneiras. Mas um aspecto de Oselementos se ajustamais perfeitamente a essa teoria alternativa. Grandeparte do material sobre teoria dos nmeros no necessria para aclassificao dos slidos regulares ento por que Euclides o teriaincludo?Noentanto,omesmomaterialestintimamenterelacionadocom

osnmerosirracionais,oquepoderiaexplicarporquefoiincludo.

Arquimedes

O maior dos matemticos antigos foi Arquimedes. Fez contribuiesimportantes para a geometria, esteve na linha de frente da aplicao damatemticaaomundonaturalefoiumengenheirodesucesso.Masparaosmatemticos Arquimedes ser sempre lembrado pelo seu trabalho comcrculos, esferas e cilindros, que hoje associamos ao nmero (pi),aproximadamente 3,14159. claro que os gregos no trabalhavamdiretamente com : viam-no geometricamente como a razo entre ocomprimentodeumacircunfernciaeseudimetro.Culturasmaisantigashaviampercebidoqueumacircunferncia,alinha

queformaocrculo,sempreomesmomltiplodeseudimetro,esabiamque esse mltiplo era aproximadamente 3, talvez um pouco maior. Osbabilniosusavam3 .MasArquimedesfoimuitoadiante;seusresultadoseramacompanhadosdeprovasrigorosas,noespritodeEudoxo.Atondeosgregossabiam,arazoentreacircunfernciaeseudimetropodiaserumvalor irracional. Sabemos agoraque exatamente esse o caso,mas aprova precisou esperar at 1770, quando Johann Heinrich Lambertconcebeu uma. (O valor de , usado muitas vezes no ensino, conveniente,masaproximado.)Sejacomofor,comoArquimedesnopdeprovarqueeraracional,tevedeadmitirquetalveznofosse.Ageometriagregafuncionavamelhorcompolgonosformascompostas

de linhas retas. Mas um crculo curvo, ento Arquimedes se esgueirouparaelepormeiodepolgonosdeaproximao.Paracalcular,comparouuma circunferncia com os permetros de duas sries de polgonos: umasriesituadadentrodocrculoeaoutra,emtornodele.Ospermetrosdospolgonosdentrodocrculodevemsermenoresqueocrculo,aopassoqueos polgonos externos devem ter permetros maiores. Para facilitar osclculos,Arquimedesconstruiuseuspolgonosbisseccionandoosladosdeum hexgono regular (polgono de seis lados iguais), obtendo polgonosregulares de 12, 24, 48 lados, e assim por diante. Parou em 96. Seusclculos provaram que ou seja, se encontra emalgumpontoentre3,1408e3,1429nanotaodecimaldehoje.

PI com enorme preciso

O valor de agora j foi calculado com vrios bilhes de dgitos, utilizando-se os maissofisticados mtodos. Tais computaes tm interesse pelos seus mtodos para testarsistemas de computadores e por pura curiosidade , mas o resultado em si possui poucosignificado. Aplicaes prticas de geralmente requerem no mais de cinco ou seisdgitos. O recorde atual de 1,24 trilho de casas decimais, computado por YasumasaKanada e uma equipe de nove pessoas em dezembro de 2002. A computao levou 600horas num supercomputador Hitachi SR8000.

O trabalho de Arquimedes com a esfera de especial interesse, poisagora conhecemos no apenas sua prova rigorosa, mas tambm omodocomo ele a encontrou o que, decididamente, e no foi algo rigoroso. Aprova dada em seu livro Sobre a esfera e o cilindro. Ele mostra que ovolumedeumaesferadoisterosdovolumedeumcilindrocircunscrito,equeasreasdas superfciesdaspartesdaesferaedocilindrocontidasentredoisplanosparalelosquaisquerso iguais.Em linguagemmoderna,Arquimedesprovouqueovolumedeumaesfera ,onderoraio,esuareadesuperfcie4r.Essesfatosbsicosestoemusoathoje.A prova um uso bem-sucedido da exausto. Esse mtodo tem uma

limitao importante: necessrio saberqual a resposta antesde ter achance de prov-la. Durante sculos os estudiosos no conseguiram terideia de como Arquimedes adivinhou a resposta. Mas em 1906 opesquisador dinamarqus Heiberg estava estudando um pergaminho dosculoXIII,sobreoqualhaviaprecesescritas,enotoulinhassutisdeumainscrioanterior,queforaapagadaparadarlugarspreces.Edescobriuque o documento original era uma cpia de diversos trabalhos deArquimedes,algunsdelesdesconhecidosatento.Essetipodedocumentochamadopalimpsestoumpedaodepergaminhoquetemumaescritaposterior superposta a um texto mais antigo apagado.(Surpreendentemente, sabe-se agora que o mesmo manuscrito contmtrechosdeobrasperdidasdedoisoutrosautoresantigos.)UmadasobrasdeArquimedes,Omtododeteoremasmecnicos,explicacomoadivinharovolumedeumaesfera.Aideiacortaraesferaemfatiasinfinitamentefinasecoloc-lasnumdospratosdeumabalana;nooutropratosocolocadasfatiassimilaresdeumcilindroedeumconecujosvolumesArquimedesjconhecia. A lei da alavanca produz o valor requerido para o volume. Opergaminho foi vendido por 2 milhes de dlares a um compradorparticularem1998.

ARQUIMEDES DE SIRACUSA(287-212 a.C.)

Arquimedes nasceu em Siracusa, Grcia, filho do astrnomo e escultor Fdias. Visitou oEgito, onde supostamente inventou o Parafuso de Arquimedes, que at pouco tempo erabastante usado para retirar gua do Nilo para irrigao. provvel que tenha visitadoEuclides em Alexandria; e certo que se correspondeu com matemticos daquela cidade.

Seus talentos matemticos eram insuperveis e muito amplos. Ele os direcionou parausos prticos, e construiu gigantescas mquinas de guerra baseadas em sua lei daalavanca, capazes de lanar enormes rochas contra o inimigo. Suas mquinas foramusadas com bom resultado no cerco romano a Alexandria em 212 a.C. Ele chegou a utilizara geometria da reflexo ptica para focar os raios do sol sobre uma frota romana invasora,incendiando os navios.

Seus livros sobreviventes (apenas em cpias posteriores) so Sobre o equilbrio doplano, A quadratura da parbola, Sobre a esfera e o cilindro, Sobre espirais, Sobreconoides e esferoides, Sobre corpos flutuantes, Medio de um crculo e O contador deareia, juntamente com O mtodo, encontrado em 1906 por Johan Heiberg.

O Parafuso de Arquimedes.

OpalimpsestodeArquimedes.

Problemasparaosgregos

A geometria grega tinha limitaes, algumas das quais foram superadascom a introduo de novos mtodos e conceitos. Euclides, efetivamente,restringiu as construes geomtricas permitidas s que podiam ser

executadas usando uma borda reta sem marcao (rgua) e um par decompassos(dacompassoapalavrapartecnicamentenecessria,pelomesmo motivo que cortamos papel com um par de tesouras, mas nosejamospedantes).svezesdiz-sequeelefezessaexigncia,maselaestimplcita em suas construes, no uma regra explcita. Cominstrumentos adicionais idealizados da mesma maneira que a curvadesenhada por um compasso idealizada como um crculo perfeito ,novasconstruessopossveis.

Umaesferaeseucilindrocircunscrito.

Porexemplo,Arquimedessabiaquepossvel trisseccionarumngulousando-se uma aresta reta com duas marcas fixas nela. Os gregoschamavamesseprocedimentodeconstruespornusis.Sabemosagora(como os gregos devem ter suspeitado) que uma trisseco exata de umngulo com rgua e compasso impossvel, ento a contribuio deArquimedesampliagenuinamenteoquepossvel.Doisoutrosproblemasfamososdoperodo soduplicar o cubo (construir um cubo cujo volumesejaodobrodeumcubodado)equadrarocrculo(construirumquadradocom a mesma rea que um crculo dado). Sabe-se que esses problemastambmsoimpossveisusando-serguaecompasso.Umaampliaodelongoalcancedasoperaespermitidasemgeometria

que gerou frutos no trabalho rabe com a equao cbica por volta de800 a.C. e teve importantes aplicaes emmecnica e astronomia foi aintroduodeumanovaclassedecurvas,assees cnicas. Essas curvas,que so extraordinariamente importantes na histria damatemtica, soobtidas cortando-se um cone duplo com um plano. Hoje abreviamos onomeparacnicas.Elassodetrstipos:

Aelipse,umacurvaovalobtidaquandooplanocortaapenasumametadedocone.Oscrculossoelipsesespeciais.Ahiprbole,umacurvacomdoisramosinfinitos,obtidaquandooplanocortaambasasmetadesdocone.Aparbola,umacurvadetransioqueseencontraentreelipsesehiprboles,nosentidodequeparalelaaalgumaretaquepassapelovrticedoconeeestnasuperfciedomesmo.Aparbolatemapenasumramo,masestende-seatoinfinito.

As sees cnicas foram estudadas em detalhe por Apolnio de Perga,que viajou de Perga, na sia Menor, a Alexandria para estudar sob aorientaodeEuclides.Suaobra-prima,Seescnicas,decercade230a.C.,contm 487 teoremas. Euclides e Arquimedes haviam estudado algumaspropriedadesdoscones,masserianecessrioumlivrointeiropararesumiros teoremas de Apolnio. Uma ideia importantemerece sermencionadaaqui. a noo de focos de uma elipse (ou hiprbole). Os focos so doispontosespeciaisassociadosaessesdoistiposdecnicas.Entresuasmuitaspropriedades, ressaltamos apenas uma: a distncia de um dos focos daelipseaqualquerpontodela,edevoltaaooutrofoco,constante(eigualaoeixomaiordaelipse).Osfocosdahiprbolepossuemumapropriedadesimilar,masaquiconsideramosadiferenaentreasduasdistncias.

Seescnicas.

Osgregossabiamcomotrisseccionarnguloseduplicarocubousandocnicas. Com o auxlio de curvas especiais, em especial a quadratriz,podiamtambmquadrarocubo.Os matemticos gregos contriburam com duas ideias cruciais para o

desenvolvimentohumano.Amaisbvia foiacompreensosistemticadageometria.Usandoageometriacomoferramenta,osgregosentenderamotamanho e a forma do nosso planeta, sua relao com o Sol e a Lua, atmesmoosmovimentoscomplexosdorestantedosistemasolar.Usaramageometria para cavar tneis partindo de ambas as extremidades,encontrando-se no meio, o que diminuiu pela metade o tempo deconstruo. Construram mquinas gigantescas e potentes, baseadas emprincpiossimplescomoa leidaalavanca, compropsitos tantopacficoscomo blicos. Exploraram a geometria na construo de navios e naarquitetura,enestaedifcioscomooPartenonnosprovamquematemticae beleza no esto to distantes entre si. A elegncia visual do Partenonderivadeumsem-nmerodetruquesmatemticos,usadospeloarquitetoparasuperaras limitaesdosistemavisualhumanoeas irregularidadesnoprpriosoloemqueoedifcioseassentava.

HIPTIA DE ALEXANDRIA(370-415 d.C.)

Hiptia a primeira mulher matemtica no registro histrico. Era filha de Ton deAlexandria, ele prprio um matemtico, e provvel que tenha aprendido com ele. Porvolta de 400 ela se tornara chefe da escola platonista em Alexandria, lecionando filosofia ematemtica. Diversas fontes histricas afirmam que ela era uma professora brilhante.

No sabemos se Hiptia fez alguma contribuio original para a matemtica, mas elaajudou Ton a redigir um comentrio sobre o Almagesto de Ptolomeu, e pode tambm t-loajudado a preparar uma nova edio de Os elementos, na qual basearam-se todas asedies posteriores. Escreveu comentrios sobre a Aritmtica, de Diofanto, e As cnicas,de Apolnio.

Entre os discpulos de Hiptia estavam vrias figuras proeminentes do cristianismo,ento uma religio crescente, como Sinsio de Cirene. Algumas de suas cartas a ela estoregistradas, e louvam as suas habilidades. Infelizmente muitos dos primeiros cristosconsideravam a filosofia e a cincia de Hiptia por demais enraizadas no paganismo,fazendo com que alguns desaprovassem sua influncia. Em 412 o novo patriarca deAlexandria, Cirilo, desentendeu-se politicamente com o prefeito romano Orestes. Hiptiaera boa amiga de Orestes, e seus talentos como professora e oradora eram vistos comouma ameaa pelos cristos. Acabou por se tornar foco de inquietao poltica, e foiesquartejada por uma turba. Uma das fontes histricas culpa uma seita poltica, os mongesnitrianos, que apoiavam Cirilo. Outra culpa uma turba de Alexandria. Uma terceira fontealega que ela fazia parte de uma rebelio poltica, e sua morte foi inevitvel.

A morte de Hiptia foi brutal, esquartejada por uma multido com ladrilhos afiados(outros dizem que eram conchas de ostras). Seu corpo, em pedaos, foi ento queimado.Essa punio pode ser uma evidncia de que Hiptia foi condenada por bruxaria naverdade, a primeira bruxa famosa a ser queimada pelos antigos cristos , pois a pena por

bruxaria, determinada por Constncio II, era de que a carne deveria ser arrancada dosossos com ganchos de ferro.

O que a geometria fez por eles

Por volta de 250 a.C. Eratstenes de Cirene usou a geometria para avaliar o tamanho daTerra. Ele notou que ao meio-dia, no solstcio de vero, o sol estava quase exatamente apino em Siene (hoje em dia, Assu), pois brilhava diretamente no fundo de um poovertical. No mesmo dia do ano, a sombra de uma alta coluna indicava que a posio do solem Alexandria estava um quinquagsimo de crculo inteiro (cerca de 7,2) afastada davertical. Os gregos sabiam que a Terra esfrica, e Alexandria estava ao norte de Sienepraticamente em linha reta. Logo, a geometria de uma seo circular de esfera implicavaque a distncia de Alexandria a Siene era de um quinquagsimo da circunferncia daTerra.

Eratstenes sabia que as caravanas de camelos levavam 50 dias para ir de Alexandria aSiene, e que viajavam uma distncia de 100 estdios por dia. Logo, a distncia deAlexandria a Siene de 5.000 estdios, fazendo com que a circunferncia da Terra seja de250.000 estdios. Infelizmente no sabemos ao certo o valor de um estdio, mas umaestimativa de 157m, levando a uma circunferncia de 39.250km. O nmero moderno 39.840km.

Como Eratstenes mediu o tamanho da Terra.

A segunda contribuio foi o uso sistemtico da deduo lgica paraassegurar que aquilo que estava sendo afirmado pudesse ser tambmjustificado. A argumentao lgica emergiu da filosofia dos gregos, masencontrou sua forma mais explcita e desenvolvida na geometria deEuclides e seus sucessores. Sem fundaes lgicas slidas, a matemticaposteriorjamaisteriasurgido.As duas contribuies permanecem vitais at hoje. A engenharia

moderna projeto e produo, por exemplo repousa firmemente nosprincpiosgeomtricosdescobertospelosgregos.Todoprdioprojetadoparanocairporseuprpriopeso;muitossoprojetadospara resistiraterremotos. Cada torre, cada ponte, cada estdio de futebol um tributoaosgemetrasdaGrciaAntiga.Pensamentoracional,argumento lgico isso igualmentevital.Nosso

mundo complexo demais, potencialmente perigoso demais, para quebaseemosasnossasdecisesnaquiloemquequeremosacreditar,emlugarde faz-lo com base no que de fato ocorre. O mtodo cientfico deliberadamente construdo para superar um desejo humano muitoarraigadodepresumirqueaquiloquequeremosquesejaverdadeoquealegamosconhecerdefatoverdade.Emcincia,anfasecolocadanoesforo de provar que aquilo que voc acredita ser profundamenteverdadeiro est errado. Ideias que sobrevivem a rigorosas tentativas deneg-lassoasmaisprovveisdeestarcorretas.

O que a geometria faz por ns

A expresso de Arquimedes para o volume da esfera ainda til nos dias de hoje. Uma desuas aplicaes, que requer um conhecimento de alta preciso de , o padro deunidade de massa para toda a cincia. Por muitos anos, por exemplo, um metro foi definidocomo sendo o comprimento de uma barra de determinado metal quando medido a umadeterminada temperatura.

Muitas unidades bsicas de medida so atualmente definidas em termos de coisas comoo tempo que um tomo de um elemento especfico leva para vibrar um nmero enorme devezes. Mas algumas ainda se baseiam em objetos fsicos e a massa um desses casos. Aunidade padro de massa o quilograma. Um quilograma atualmente definido pelamassa de uma esfera particular, feita de silcio puro e guardada em Paris. A esfera foi feitacom uma preciso de altssimo grau, assim como a densidade do silcio. A frmula deArquimedes necessria para calcular o volume da esfera, que relaciona densidade emassa.

Princpio do trajeto de raios.

Outro uso moderno da geometria ocorre em computao grfica. O cinema tem utilizadolargamente imagens produzidas por computador, e muitas vezes necessrio gerarimagens que incluam reflexos num espelho, numa taa de vinho, qualquer coisa quecapte a luz. Sem esses reflexos a imagem no parece realista. Um modo eficiente de fazerisso por meio do trajeto dos raios. Quando se olha determinada cena de uma direoespecfica, o olho detecta um raio de luz que se refletiu pelos objetos na cena e, por acaso,penetra no olho vindo dessa direo. Podemos seguir o trajeto desse raio indo de trs paraa frente. Em qualquer superfcie refletora, a reflexo tal que o raio incidente e o raiorefletido formam ngulos iguais com a superfcie. Traduzir esse fato geomtrico emclculos numricos permite ao computador refazer o trajeto do raio de trs para a frente,seja qual for o nmero de reflexes que ele tiver sofrido antes de encontrar algo opaco.(Vrias reflexes sero necessrias se, por exemplo, a taa de vinho estiver diante de umespelho.)

a Preferimos manter aqui o termo crculo do original em ingls; circunferncia seria oestritamentecorreto.(N.R.T.)bOutrasfontesnoconsideramoFogoCentralumdosdezcorposcelestes;seriam,sim,dezcorposgirandoaoredordoFogoCentral,eodcimocorposeriaoCudeEstrelasFixas.(N.T.)

3.NotaesenmerosDeondevmosnossossmbolosnumricos

Estamos to acostumados ao sistema numrico de hoje, com suautilizaodosdezalgarismosdecimais0,1,2,3,4,5,6,7,8e9(nospases ocidentais), que praticamente um choque perceber queexistemmodosinteiramentediferentesdeescrevernmeros.Mesmohoje, muitas culturas rabe, chinesa, coreana usam smbolosdiferentes para os dez algarismos, embora todas combinem essessmbolos para formar nmeros maiores usando o mesmo mtodoposicional (centenas, dezenas, unidades). Mas diferenas emnotaopodemsermaisradicaisdoqueisso.Nohnadadeespecialnonmero10.Poracasoonmerodededoshumanos,oqueidealpara contar, mas se tivssemos desenvolvido sete dedos, ou doze,sistemasmuitossimilaresteriamfuncionadoigualmentebem,talvezmelhoremalgunscasos.

Numeraisromanos

Amaioria dos ocidentais conhece pelomenos um sistema alternativo, osnumeraisromanos,nosquaisporexemplooano2012escritoMMXII.Amaioriadenstambmtemconscincia,seformoslembradosdisso,dequeempregamosdoismtodosdistintosdeescrevernmerosquenosointeiros fraes como e decimais como 0,75. Todavia, outra notaonumrica,encontradaemcalculadoras,anotaocientficaparanmerosmuitograndesoumuitopequenos taiscomo5109 para cincobilhes(muitasvezesvistacomo5E9emvisoresdecalculadoras)ou5106paracincomilionsimos.Esses sistemas simblicos desenvolveram-se ao longo de milhares de

anos, e muitas alternativas floresceram em vrias culturas. J vimos osistema sexagesimal babilnico (que seria natural para qualquer criatura

que tivesse sessenta dedos) e osmais simples emais limitados smbolosnumricos egpcios, com seu estranho tratamento para fraes.Posteriormente, nmeros com base 20 eram usados na Amrica Centralpela civilizaomaia. Apenas recentemente a humanidade se firmou nosmtodos correntes para escrever nmeros, e seu uso estabeleceu-semedianteumamisturade tradioeconvenincia.Amatemtica tratadeconceitos,nodesmbolosmasescolherbemumsmbolopodesermuitoproveitoso.

Numeraisgregos

Ns pegamos a histria dos smbolos numricos com os gregos. Ageometriagregafoiumgrandeavanosobreageometriababilnica,masaaritmtica grega at onde podemos afirmar em vista das fontessobreviventesnofoi.Osgregosderamumgrandepassoparatrs:nousavam a notao posicional. Em vez disso, usavam smbolos especficosparamltiplosde10ou100,demodoque,porexemplo,osmbolopara50notinhanenhumarelaoparticularcomosmbolopara5ou500.Amaisantigaevidnciadenumeraisgregosdatadecercade1.100a.C.

Porvoltade600a.C.ossmboloshaviammudado,eemtornode450a.C.haviammudadodenovo,comaadiodosistematico,queseassemelhaaosnumeraisromanos.Osistematicousava|,||,|||e||||paraosnmeros1, 2, 3 e 4. Para o 5 era empregada a letra grega pi maiscula (),provavelmente por ser a primeira letra de penta.Damesmamaneira, 10eraescrito,aprimeiraletradedeca;100eraescritoH,aprimeiraletradehecaton;1.000eraescrito,aprimeiraletradechilioi;e10.000eraescritoM, a primeira letra demirioi. Mais tarde foi mudado para . Assim, onmero2.178,porexemplo,eraescrito

|||

Emboraospitagricostenhamfeitodosnmerosabasedesuafilosofia,nosesabecomoelesosescreviam.Seuinteresseemnmerosquadradose triangulares sugere que talvez tenham representado os nmeros porpadresdepontos.Napocadoperodoclssico,600-300a.C., o sistemagregohaviamudadonovamente,eas27diferentes letrasdeseualfabetoeramusadaspararepresentarnmerosde1a900,daseguintemaneira:

Estas so letras gregas minsculas, acrescentadas de trs letras doalfabetofencio: (stigma), (koppa)e (sampi).Usar letras para representar nmeros podia causar ambiguidade, de

modoquesecolocavaumalinhahorizontalacimadossmbolosnumricos.Para nmeros maiores que 999, o valor de um smbolo podia sermultiplicadopor1.000colocando-seumtraodiantedonmero.Os vrios sistemas gregos eram razoveis comomtodo para registrar

resultadosdeclculos,masnoparaexecutarosclculosemsi. (Imaginetentarmultiplicar por , por exemplo.) Os clculos propriamenteditos eram provavelmente executados utilizando-se um baco, talvezrepresentadoporpedrasnaareia,especialmentenosprimeirostempos.Os gregos escreviam fraes de diversas maneiras. Uma delas era

escrever o numerador seguido de aspas simples (), e depois odenominadorseguidodeaspasduplas().Frequentementeodenominadoreraescritoduasvezes.Assim, seriaescrito

onde21e47.Elesusavamtambmfraesnoestiloegpcio,ehavia um smbolo especial para . Alguns astrnomos gregos,especialmente Ptolomeu, empregavam o sistema sexagesimal babilnicopor preciso, mas usando smbolos gregos para os dgitos componentes.Eratudodiferentedoqueusamoshoje.Naverdade,eraumabaguna.

Smbolosnumricosindianos

Os dez smbolos correntemente usados para representar os algarismosdecimaissomuitasvezescitadoscomonumeraisindo-arbicos,porteremseoriginadonandia,sendoincorporadosedesenvolvidospelosrabes.Osmaisantigosnumerais indianoserammaisparecidoscomosistema

egpcio.Porexemplo,osnumeraisKhasrosthi,usadosde400a.C.at100d.C.,representavamosnmerosde1a8como

||||||X|X||X|||XXX

comumsmboloespecialpara10.Osprimeirostraosdoqueacabariasetornandoomoderno sistema simblico apareceramporvoltade300a.C.nosnumerais brahmis. Inscries budistas da poca incluemprecursoresdosposterioressmboloshinduspara1,4e6.Noentanto,osistemabrahmiusava smbolos diferentes paramltiplos de 10 oumltiplos de 100, demodo que era semelhante ao simbolismo numrico grego, exceto porutilizarsmbolosespeciaisemvezdeletrasdoalfabeto.Osistemabrahmino era posicional. Existem registros datados de cerca de 100 d.C. dosistemabrahmicompleto.InscriesemgrutasemoedasmostramqueelecontinuouemusoatosculoIV.EntreossculosIVeVI,oImprioGuptaadquiriucontrolesobregrande

partedandia,eosnumeraisbrahmisevoluramparaosnumeraisguptas.Dali, evoluram para os numerais nagaris. A ideia era a mesma, mas ossmbolos,diferentes.Os indianos podem ter desenvolvido a notao posicional por volta do

sculo I, mas a mais antiga evidncia documentada datvel coloca essanotao em 594. um documento legal que traz a data de 346 nocalendriochedii,masalgunsestudiososacreditamqueessadatapodetersido falsificada.H, entretanto, um consensodeque anotaoposicionalestavaemusonandiaapartirdecercade400.Humproblemacomousodossmbolosapenasde1a9;anotao

ambgua. O que significa 25, por exemplo? Pode significar (na nossanotao) 25, ou 205, ou 2005, ou 250 etc.Na notao posicional, onde osignificadodeumsmbolodependedalocalizao,importanteespecificara localizaosemambiguidade.Hojens fazemos issousandoumdcimosmbolo, o zero (0).Mas as civilizaes antigas levaramum longo tempopara reconhecer o problema e resolv-lo dessa maneira. Ummotivo era

filosfico: como 0 pode ser um nmero quando um nmero umaquantidade de coisas? Ser nada uma quantidade? Outro era prtico:geralmente ficava claro pelo contexto se 25 significava 25 ou 250 ouqualqueroutracoisa.

Numeraisbrahmisde1a9.

Emalgummomentoanteriora400a.C.adataexatadesconhecidaosbabilniosintroduziramemsuanotaonumricaumsmboloespecialparamostrarumaposioausente. Issopoupouaosescribasoesforodedeixar em branco um espao cuidadosamente escolhido, possibilitandodescobrir o que um nmero queria dizer mesmo se estivesse escrito deformadesleixada.Essainvenofoiesquecida,ounotransmitidaaoutrasculturas, e acabou sendo redescoberta pelos hindus. O manuscritoBakhshali,cujadatadiscutidamassesituaemalgumpontoentre200e1100d.C.,utilizaumpontoforte,.OtextojainLokavibhaaga,de458d.C.,usa o conceito de zero,mas no um smbolo. Um sistema posicional quecarecia do numeral zero foi introduzido por Aryabhata por volta de 500d.C.Matemticosindianosposteriorestinhamnomesparaozero,masnousavam um smbolo. O primeiro uso indiscutvel do zero em notao deposioocorrenumatabuletadepedraemGwaliornoano876d.C.

Aryabhata,Brahmagupta,MahaviraeBhaskara

Os principais matemticos indianos foram Aryabhata (nascido em 476d.C.),Brahmagupta(nascidoem598d.C.),Mahavira(sculoIX)eBhaskara(nascidoem1114).Naverdadedeveriamserdescritoscomoastrnomos,porque amatemtica era ento considerada uma tcnica astronmica. Amatemticaexistenteeraregistradanoscaptulosdostextosastronmicos;noeravistacomoumtemaemsi.Aryabhata nos conta que seu livro Aryabhatiya foi escrito quando ele

tinha23anos.Pormaisbrevequesejaaseodematemticadolivro,elacontm uma riqueza de material: um sistema alfabtico para numerais,regras aritmticas, mtodos de resoluo para equaes lineares e

quadrticas, trigonometria (incluindo a funo seno e o seno verso 1 cos).Htambmumaexcelenteaproximaode,3,1416.Brahmaguptafoiautordedoislivros:BrahmaSputaSiddhantaeKhanda

Khadyaka.Oprimeiroomaisimportante;umtextodeastronomiacomvriasseessobrematemtica,comaritmticaeoequivalenteverbaldalgebrasimples.Osegundolivroincluiummtodonotvelparainterpolartabelasdesenosisto,acharosenodeumnguloapartirdossenosdeumngulomaioreumngulomenor.Mahavira era jain, e incluiu uma poro de matemtica jain em seu

Ganita Sara Sangraha. Esse livro inclui a maior parte do contedo doslivrosdeAryabhataeBrahmagupta,masdeuumgrandepassoadiantee,deforma geral, bem mais sofisticado. Inclui fraes, permutaes ecombinaes, a soluode equaesquadrticas, tringulospitagricos eumatentativadeacharareaeopermetrodeumaelipse.

O que a aritmtica fazia por eles

O mais antigo texto matemtico chins sobrevivente o Chiu Chang, que data de cerca de100 d.C. Um problema tpico : dois piculs e meio de arroz so comprados por de umtael de prata. Quantos piculs podem ser comprados por 9 taels? A soluo proposta usa oque os matemticos medievais j chamavam de regra de trs. Na notao moderna, sejax a quantidade que queremos calcular.

Logo, x = 52 piculs. Um picul tem cerca de 65 quilogramas.

Bhaskara(conhecidocomoomestre)escreveutrsobrasimportantes:Lilavati,BijaganitaeSiddhanta Siromani. SegundoFyzi, poetada cortedeAkbar,imperadordeMogul,LilavatieraonomedafilhadeBhaskara.Opaifez o horscopo da filha e determinou a pocamais propcia para o seucasamento.Paradramatizarapreviso,psumaxcaracomumfurodentrode uma bacia de gua; a xcara foi construda demaneira que afundassequando chegasse omomento propcio. Mas Lilavati debruou-se sobre abaciaeumaproladesuasroupascaiudentrodaxcaraetapouofuro.Axcara no submergiu, o que significava que Lilavati jamais poderia secasar.Paraanim-la,Bhaskaraescreveuumlivro-textomatemticoparaafilhamasahistrianocontaoqueelaachoudisso.

Lilavaticontmideiassofisticadasemaritmtica, inclusiveomtododaprova dos nove, criada para conferir clculos, na qual os nmeros sosubstitudos pela soma de seus dgitos. E contm regras similares dedivisibilidadepor3,5,7 e11.Opapeldo zero comoumnmeroemsi deixado claro. Bijaganita trata da resoluo de equaes. SiddhantaSiromani trata de geometria: tabelas de senos e vrias relaestrigonomtricas. A reputao de Bhaskara foi to grande que suas obrasaindaeramcopiadasporvoltade1800.

Osistemahindu

Osistemahinducomeoua seespalharpelomundorabeantesdeestartotalmentedesenvolvidoemseupasdeorigem.OeruditoSeverusSebokhtescreve sobre seu uso na Sria em 662: Omitirei toda discusso sobre acincia dos indianos de suas descobertas sutis em astronomia e deseus valiosos mtodos de clculos Desejo apenas dizer que essacomputaofeitapormeiodenovesignos.Em776umviajantedandiaapareceunacortedocalifaedemonstrou

sua maestria no mtodo siddhanta de clculos, juntamente comtrigonometria e astronomia. A base para os mtodos computacionaisparecetersidooBrahmasphutasiddhanta,deBrahmagupta,escritoem628,mas qualquer que tenha sido o livro foi prontamente traduzido para orabe.No incio os numerais hindus eram usados sobretudo por eruditos;

mtodosmais antigos conservaram o uso difundido entre a comunidadecomercial rabe e na vida cotidiana, at cerca do ano 1000. Mas a obraSobre clculos com numerais hindus, de Al-Khwarizmi, em 825, tornou osistema hindu amplamente conhecido no mundo rabe. O tratado emquatrovolumesdomatemticoAl-Kindi,Sobreousodenumerais indianos(Ketab fi Istimal al-Adad al-Hindi), de 830, fez crescer a conscincia dapossibilidade de se executar todos os clculos numricos usando apenasdezdgitos.

IdadedasTrevas?

Enquanto Arbia e ndia faziam avanos significativos em matemtica ecincia, a Europa, em comparao, estava estagnada, embora o perodomedievalnotenhasidoexatamenteaIdadedasTrevas imaginadapelosenso comum. Alguns progressos foram feitos, mas eram lentos e noespecialmenteradicais.OritmodemudanacomeouaacelerarquandooconhecimentodasdescobertasorientaischegouEuropa.AItliaficamaispertodomundorabedoqueamaiorpartedaEuropa,

ento provavelmente foi inevitvel que os progressos rabes emmatemtica tenham aberto caminho na Europa atravs da Itlia. Veneza,Gnova e Pisa eram importantes centros mercantis, e os mercadoreszarpavamdessesportosparaonortedafricaeaextremidadeorientaldoMediterrneo,trocandolemadeiraeuropeiasporsedaeespeciarias.Assimcomohaviaocomrcioliteraldebens,haviatambmumcomrcio

metafrico de ideias. As descobertas rabes em cincia e matemticaviajarampelasrotasdecomrcio,muitasvezesdebocaemboca.medidaqueocomrcio foideixandoaEuropamaisprspera,aspermutasderamlugaraodinheiro,emantercontasepagar impostosfoi ficandoalgomaiscomplexo.Oequivalenteaumacalculadoradebolsodaquelapocaeraobaco, um dispositivo no qual contas que se movem sobre aramesrepresentamnmeros.Noentanto,essesnmerostambmprecisavamseranotadosempapel,parapropsitoslegaisemanutenogeralderegistros.Entoosmercadoresprecisavamdeumaboanotaonumrica,bemcomomtodosdefazerclculosrpidoseacurados.

Evoluodossmbolosnumricosocidentais.

Uma figura influente foi Leonardo de Pisa, tambm conhecido comoFibonacci,cujaobraLiberAbbacifoipublicadaem1202.(Apalavraitaliana

abbaco,emgeral,significaclculo,enoimplicanecessariamenteousodobaco,um termo latino.) Leonardoapresentouos smbolosnumricosindo-arbicosparaaEuropa.OLiberAbbaci inclua, epromovia, umdispositivonotacional adicional

quepermaneceemusoathoje:o traohorizontalemumafrao,comoparatrsquartos.Oshindusempregavamumanotaosimilar,mas

semotrao;otraoparecetersidointroduzidopelosrabes.Fibonaccioempregavalargamente,masseuusodiferiadodehojesobalgunsaspectos.Por exemplo, ele usava o mesmo trao como parte de vrias fraesdiferentes.

LEONARDO DE PISA (FIBONACCI)(1170-1250)

Leonardo nasceu na Itlia e cresceu no norte da frica, onde seu pai, Guilielmo, trabalhavacomo diplomata representando os mercadores que comerciavam em Bugia (a Argliamoderna). Acompanhou o pai em suas numerosas viagens, encontrou o sistema rabepara escrever nmeros e compreendeu sua importncia. Em seu Liber Abbaci, de 1202, eleescreve: Quando meu pai que fora nomeado por seu pas como notrio pblico naalfndega de Bugia, atuando em nome dos mercadores de Pisa que iam para l estavano cargo, ele me levou junto ainda criana e, tendo um olho para a utilidade e aconvenincia futura, quis que eu permanecesse l e recebesse instruo na escola decontabilidade. Ali, quando fui apresentado para a arte dos nove smbolos indianos por meiode um notvel ensino, o conhecimento dessa arte logo me agradou mais do que qualqueroutra coisa.

O livro apresentava a notao indo-arbica para a Europa e formava um texto aritmticoabrangente, contendo uma riqueza de material relacionado com o comrcio e a conversode moedas. Embora tenha levado vrios sculos para a notao indo-arbica tomar o lugardo baco tradicional, as vantagens de um sistema de clculo puramente escrito logo setornou visvel.

Leonardo frequentemente conhecido pelo apelido, Fibonacci, que significa filho deBonaccio, mas esse nome no registrado antes do sculo XVIII e provavelmente foiinventado por Guillaume Libri.

Comoasfraessomuitoimportantesnanossahistria,talvezvalhaapenaacrescentaralgunscomentriossobreanotao.Numafraocomo

o4embaixonosmandadividiraunidadeemquatropartesiguais,eo3emcimanosdizparaescolhertrsdessespedaos.Maisformalmente,4odenominador e 3 onumerador. Por convenincia tipogrfica, as fraessofrequentementeescritasusandoumtraonico,como3/4,ousvezesna forma harmnica . O trao horizontal se transforma num traoinclinado.De modo geral, porm, raramente usamos a notao de fraes em

trabalho prtico. Namaioria das vezes usamos decimais escrevendo

como 3,14159, por exemplo, o que no exato, mas aproximado osuficiente para amaioria dos clculos. Historicamente, temos de dar umpequenosaltoparachegaraosdecimais,masestamosseguindocadeiasdeideias, e no cronologia, e sermais simples dar o salto agora. Pulamosento para 1585, quando Guilherme, o Taciturno, escolheu o holandsSimonStevincomotutorprivadoparaseufilhoMaurciodeNassau.A partir desse reconhecimento, Stevin construiu para si uma bela

carreira,tornando-seinspetordediques,general-contramestredoExrcitoe, finalmente, ministro das Finanas. Logo percebeu a necessidade deprocedimentoscontbeisacurados,eatentouparaosaritmticositalianosdoperododaRenascenaeparaanotaoindo-arbicatransmitidaparaaEuropa por Leonardo de Pisa. Stevin considerou os clculos fracionriosincmodos, e teria preferido a preciso e a elegncia dos sexagesimaisbabilnicos,no fossepelousodabase60.Tentouencontrarumsistemaque combinasse o melhor de ambos, e inventou um anlogo do sistemababilnicocombase10:osdecimais.Publicou seu novo sistema de notao, deixando claro que fora

experimentado, testado e considerado inteiramente prtico por homensinteiramenteprticos.Almdisso,ressaltousuaeficciacomoferramentade negcios: Todos os clculos com que nos deparamos nos negciospodemserexecutadosapenasporinteiros,semauxliodefraes.

Nmerosnegativos

Os matemticos chamam o sistema dos nmeros inteiros positivos denmeros naturais. Incluindo tambm os negativos obtemos os nmerosinteiros. Os nmeros racionais (ou meramente racionais) incluem asfraespositivasenegativas,osnmerosreais(oumeramentereais)soosdecimaispositivosenegativos, inclusivedecimaisquecontinuamparasempre,senecessrio.Comofoiqueosnmerosnegativosentraramnahistria?Nocomeodoprimeiromilnio,oschinesesempregavamumsistemade

contagem por varetas, em vez do baco. Dispunham as varetas suafrenteempadrespararepresentarnmeros.

Varetasdecontagemchinesas.

A fileira de cima da figura mostra varetas heng, que representavamunidades,centenas,dezenasdemilhares,eassimpordiante,segundosuaposio numa fila para esses smbolos. A fileira de baixomostra varetastsung,querepresentamdezenas,milhares,eassimpordiante.Portanto,osdois tipos de vareta, se alternavam. Os clculos eram realizadosmanipulando-seasvaretasdeformassistemticas.Ao resolver um sistema de equaes lineares, os calculistas chineses

arrumariamasvaretassobreumamesa.Usavamvaretasvermelhasparaostermosquesupostamentedeveriamsersomadosevaretaspretasparaostermos que supostamente deveriam ser subtrados. Para resolver asequaesqueescrevemoscomo

3x2y=4x+5y=7

eles montariam as duas equaes em duas colunas sobre a mesa: umacoluna com os nmeros 3 (vermelho), 2 (preto) e 4 (vermelho); e outracolunacom1(vermelho),5(vermelho)e7(vermelho).Anotaopreto/vermelhonotratavarealmentedenmerosnegativos,

mas de operaes de subtrao. No entanto, ela montou a cena para oconceitodenmerosnegativos,cheng fu shu.Agoraumnmeronegativoera representado usando o mesmo arranjo de varetas que ocorrespondente nmero positivo, colocando-se outra varetahorizontalmenteacimadonmero.Para Diofanto, todos os nmeros deviam ser positivos, e ele rejeitava

solues negativas para equaes. Os matemticos hindus achavam osnmerosnegativosteispararepresentardvidasemclculosfinanceiros

deverumaquantiadedinheiroaalgumerapior,financeiramente,doqueno ter dinheiro nenhum, demodoqueumadvida devia ser claramentemenosquezero.Sevoctem3 librasepaga2,restaavoc32=1.Damesmaforma,sevoctemumadvidade2libraseconsegue3,seuvalorlquido2+3=1.Bhaskaracomentaqueumproblemaparticulartinhaduassolues,50e5,masficavanervosocomasegundasoluo,dizendoque no deve ser considerada; as pessoas no aprovam soluesnegativas.

Montandoequaes,estilochins.Asvaretasmaisclarassovermelhas.

Apesardessescontratempos,osnmerosnegativosforamgradualmentesendoaceitos.Suainterpretao,numclculoreal,necessitavadecuidado.svezesnofaziamsentido,svezespodiamserdvidas,svezespodiamsignificar um movimento descendente em vez de ascendente. Mas,interpretaoparte,suaaritmticafuncionavaperfeitamentebem,eeramtoteiscomoferramentadeclculoqueteriasidotolicenous-los.

Aaritmticasegueviva

Nossosistemanumricotofamiliarquetemosatendnciadesuporqueonicopossvel,oupelomenosonicosistemasensato.Naverdadeele

evoluiu,demodoexaustivoecomumaporodebecossemsada,durantemilhares de anos. H muitas alternativas; algumas foram usadas porculturasmaisantigas,comoosmaias.Diferentesnotaesparaosnumerais0-9sousadashojeemalgunspases.Enossoscomputadoresrepresentaminternamente os nmeros em notao binria, no decimal: seusprogramadores asseguram que os nmeros sejam retransformados emdecimalantesdeapareceremnatelaounafolhaimpressa.

Numerais maias

Um sistema numrico notvel, que usava a notao de base 20 em vez da notao debase 10, foi desenvolvido pelos maias, que viveram na Amrica Central por volta do ano1000. No sistema de base 20, os smbolos equivalentes ao nosso 347 significariam 3 400+ 4 20 + 7 1 (j que 20 20 = 400), que 1.287 na nossa notao. Os smbolos reaisso mostrados aqui.

Civilizaes antigas que utilizaram a base 10 provavelmente o fizeram porque oshumanos tm dez dedos. Foi sugerido que os maias contavam tambm os dedos dos ps,sendo por isso o sistema de base 20.

Considerandoqueagoraoscomputadoressoonipresentes,existealgumsentido em continuar ensinando aritmtica? Sim, por diversas razes.Algum precisa ser capaz de projetar e construir calculadoras e

computadores,efazercomquetrabalhemdireito;issorequercompreensoaritmticacomoeporqueelafunciona,noapenascomofazer.Eseasuanica habilidade aritmtica ler o que est na calculadora, vocprovavelmente no notar se o supermercado errar na sua conta. Seminternalizarasoperaesbsicasdaaritmticatodaamatemticalheserinacessvel.Podeserquevocnosepreocupecomisso,masacivilizaomoderna desabaria rapidamente se parssemos de ensinar aritmtica,porquenosepodemidentificarfuturosengenheirosecientistasaoscincoanosdeidade