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EM34B
Transferência de Calor 2Prof. Dr. André Damiani Rocha
Aula 12 – Convecção Natural – Parte I
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Aula 12Convecção Natural
Introdução
Até o momento, consideramos a transferência de calor
por convecção sob a condição de escoamento
forçado;
Será considerado agora situações nas quais não há
velocidade forçada, porém existem correntes de
convecção no interior do fluido;
Tais situações são conhecidas por convecção natural
ou livre e surgem quando uma força de corpo atua
sobre um fluido no qual existem gradientes de massa
específica.
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Aula 12Convecção Natural - Introdução
O efeito líquido é uma força de empuxo, que induz
correntes de convecção natural;
No caso mais comum, o gradiente de massa específica
é devido a um gradiente de temperatura e a força de
campo é devida ao campo gravitacional;
Como as velocidade em escoamento de convecção
natural são muito menores do que aquelas associadas
à convecção forçada, as taxas de transferência de
calor por convecção correspondentes serão menores;
Entretanto, os processos de convecção natural não
devem ser subestimados.
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Aula 12Convecção Natural - Introdução
Em muitos sistemas envolvendo diversos tipos de
transferência de calor, a convecção natural fornece a
maior resistência à transferência de calor e,
consequentemente, assume um papel importante no
projeto ou no desempenho do sistema;
Além disso, quando é desejável minimizar taxas de
transferência de calor ou custos operacionais, a
convecção natural é usualmente preferida em
detrimento à convecção forçada.
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Aula 12Convecção Natural - Aplicações
Existem, obviamente, muitas aplicações
A convecção natural influencia significativamente as
temperaturas de operação em dispositivos de geração
de potência e eletrônicos;
Ela desempenha papel importante em aplicações de
processamento térmico;
Na distribuição de temperatura no interior de
edificações;
Nas perdas de calor e cargas térmicas em sistemas de
aquecimento, ventilação e condicionamento de
ambientes.
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Aula 12Convecção Natural
Considerações Físicas
Na convecção natural, o movimento do fluido é devido
às forças de empuxo no sei interior, enquanto que na
convecção forçada este movimento é imposto
externamente;
O empuxo é devido à presença combinada de um
gradiente de massa específica no fluido e de uma força
de campo que é proporcional à massa específica.
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
Na transferência de calor por convecção natural, a
força de campo é a gravitacional e o gradiente de
massa específica é devido à presença de um gradiente
de temperatura;
A presença de um gradiente de massa específica em
um fluido em um campo gravitacional não garante a
existência de correntes de convecção natural.
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
Considere o fluido confinado entre duas grandes placas
horizontais a diferentes temperaturas
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
Instável: a temperatura da placa inferior é maior do que a
temperatura da placa superior, e a massa específica
diminui no sentido da força gravitacional
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Se a diferença de
temperaturas é superior a
um valor crítico, as
condições são instáveis e
as forças de empuxo são
capazes de superar a
influência retardadora das
forças viscosas
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
A força gravitacional no fluido mais denso nas camadas
superiores excede aquela que atua no fluido mais leve
nas camadas inferiores;
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Irá ocorrer um certo
padrão de circulação: o
fluido mais pesado irá
descer, sendo aquecido
durante o processo,
enquanto o fluido mais leve
irá subir, resfriando-se à
medida que se desloca.
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
A transferência de calor ocorre então por convecção
natural da superfície inferior para a superfície superior
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
Estável: T1 > T2, este padrão de circulação não irá
acontecer, e a massa específica não diminui no sentido
da força gravitacional;
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As condições são estáveis e
não há movimento global
no fluido.
A transferência de calor (do
topo para a base) irá
ocorrer por condução.
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
Escoamento de convecção natural podem ser
classificados conforme o fato de estarem ou não
limitados por uma superfície;
Na ausência de uma superfície adjacente, podem
ocorrer escoamento de fronteiras livres na forma de
uma pluma ou de jato livre;
A diferença entre uma pluma e um jato livre é feita
geralmente com base na velocidade inicial do fluido;
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
Nossa atenção será voltada aos escoamentos de
convecção natural limitados por uma superfície;
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A placa encontra-se
imersa em um fluido
extenso e quiescente
e, com Ts > T, o fluido
próximo à placa é
menos denso do que
o fluido dela afastado;
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
Consequentemente, as forças de
empuxo induzem uma camada-
limite de convecção natural na
qual o fluido aquecido ascende
verticalmente, arrastando o fluido
da região quiescente.
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Aula 12
Convecção Natural – Considerações Físicas
A distribuição de velocidades resultante é diferente da
associada às camadas-limite de convecção forçada.
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Em particular, a velocidade é zero
quando y = 0 e y .
Uma camada-limite de convecção
natural também se desenvolve se Ts < T.
Neste caso, entretanto, o movimento será
descendente.
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Aula 12Convecção Natural
Equações
Como para a convecção forçada, as equações que
governam as transferências de momentum e de
energia na convecção natural são originadas nos
princípios de conservação correspondentes;
A diferença entre os dois escoamentos é que, na
convecção natural, as forças de empuxo
desempenham um papel importante São essas forças
que, na realidade, sustentam o escoamento.
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Considere um escoamento de camada-limite laminar
que seja movido por forças de empuxo;
Admite-se condições bidimensionais, em regime
permanente e com propriedades constantes, nas quais
a força da gravidade atua no sentido negativo da
direção x;
Além disso, com uma exceção, considere o fluido
incompressível
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Aula 12Convecção Natural - Equações
A Equação de Quantidade de Movimento na direção x
é expressa por,
A exceção envolve levar em conta o efeito da massa
específica variável naa força de empuxo, uma vez que
é essa variação que induz o movimento do fluido;
20
𝜌 𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥− 𝜌𝑔 + 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Suponha que as aproximações de camada-limite sejam
válidas,
A equação de Quantidade de Movimento na direção
x, pode ser reescrita como,
21
𝑢 ≫ 𝑣𝜕2𝑢
𝜕𝑥2≪
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2𝜕𝑝
𝜕𝑥≈𝜕𝑝∞𝜕𝑥
𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= −
1
𝜌
𝜕𝑝∞𝜕𝑥
− 𝑔 + 𝜈𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
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Aula 12Convecção Natural - Equações
onde 𝑑𝑝∞ 𝑑𝑥 é o gradiente de pressão na corrente livre
na região quiescente fora da camada-limite;
Nessa região, u = 0 e a Equação de Quantidade de
Movimento se reduz a,
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𝜕𝑝∞𝜕𝑥
= −𝜌∞𝑔
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Aula 12Convecção Natural - Equações
E então,
onde ∆𝜌 = 𝜌∞ − 𝜌. Essa expressão é válida a cada ponto
na camada-limite de convecção natural
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𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝑔
∆𝜌
𝜌+ 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
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Aula 12Convecção Natural - Equações
O 1º termo do lado direito é a força de empuxo e o
escoamento é gerado em função de a massa
específica ser variável
Se a variação de massa específica for somente devida
à variação de temperatura, essa parcela pode ser
relacionado a uma propriedade do fluido conhecida
como coeficiente de expansão térmica;
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𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝑔
∆𝜌
𝜌+ 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Coeficiente de Expansão Térmica
Essa propriedade termodinâmica do fluido fornece uma
medida da variação da massa específica em resposta
a uma mudança na temperatura, a pressão constante;
Pode ser aproximada por,
25
𝛽 = −1
𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑇𝑝
𝛽 ≈ −1
𝜌
∆𝜌
∆𝑇= −
1
𝜌
𝜌∞ − 𝜌
𝑇∞ − 𝑇
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Aula 12Convecção Natural - Equações
ou ainda,
Essa simplificação é conhecida como Aproximação de
Boussinesq;
Substituindo essa definição na equação de quantidade
de movimento,
26
∆𝜌 = 𝜌∞ − 𝜌 = 𝜌𝛽 𝑇∞ − 𝑇
𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝑔𝛽 𝑇∞ − 𝑇 + 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Como os efeitos do empuxo estão restritos à equação
de Quantidade de Movimento, as equações de
Conservação de Massa e de Energia, permanecem
sem alterações em relação à convecção forçada;
O conjunto de equações governantes da convecção
natural é, então, expressa por:
Conservação da Massa:
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𝜕𝑢
𝜕𝑥+𝜕𝑣
𝜕𝑦= 0
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Quantidade de Movimento (direção x)
Energia
28
𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝑔𝛽 𝑇∞ − 𝑇 + 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝑢𝜕𝑇
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑇
𝜕𝑦= 𝛼
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Note que a dissipação viscosa foi desprezada na
Equação da Energia – uma hipótese certamente
razoável para as baixas velocidades associadas à
convecção natural;
Matematicamente, o surgimento do termo relacionado
ao empuxo na equação de Quantidade de Movimento
complica a questão: não é mais possível que o
problema fluidodinâmico seja desacoplado e resolvido
sem o problema térmico
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Aula 12Convecção Natural - Equações
A solução da equação de Quantidade de Movimento
depende do conhecimento de T, e assim da solução
da equação da Energia;
Consequentemente, as equações governantes da
convecção natural são fortemente acopladas e devem
ser resolvidas simultaneamente
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Os efeitos de convecção natural dependem,
logicamente, do coeficiente de expansão . A forma
pela qual é obtido depende do fluido.
Para um gás ideal 𝜌 = 𝑃/𝑅𝑇, tem-se que,
Sendo T a temperatura termodinâmica absoluta
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𝛽 = −1
𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑇𝑝
=1
𝜌
𝑝
𝑅𝑇2=1
𝑇
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Aula 12Convecção Natural - Equações
Para líquidos e gases não-ideais, o coeficiente de
expansão deve ser obtido em tabelas de
propriedades apropriadas (Apêndice A);
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Aula 12Convecção Natural
Condições de Similaridade
Nesta seção, os parâmetros adimensionais que
governam o escoamento e a transferência de calor por
convecção natural serão analisados;
Como para a convecção forçada, os parâmetros
podem ser obtidos pela adimensionalização das
equações que governam o processo
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Aula 12
Convecção Natural – Condições de
Similaridade
Para tal, define-se que
onde L é um comprimento característico e 𝑢0 é uma
velocidade de referência arbitrária
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𝑋 ≡𝑥
𝐿𝑌 ≡
𝑦
𝐿𝑈 ≡
𝑢
𝑢0𝑉 ≡
𝑣
𝑢0𝜃 ≡
𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑠 − 𝑇∞
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Aula 12
Convecção Natural – Condições de
Similaridade
Aplicando as definições, as equações de quantidade
de movimento e energia ficam,
35
𝑈𝜕𝑈
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝑈
𝜕𝑌=𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿
𝑢02 𝜃 +
1
𝑅𝑒𝐿
𝜕2𝑈
𝜕𝑌2
𝑈𝜕𝜃
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝜃
𝜕𝑌=
1
𝑅𝑒𝐿𝑃𝑟
𝜕2𝜃
𝜕𝑌2
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Aula 12
Convecção Natural – Condições de
Similaridade
Como a velocidade de referência, 𝑢0, é arbitrária, ela
pode ser definida para simplificar a forma da equação
de Quantidade de Movimento. Para tal, define-se 𝑢0como,
de tal forma que,
36
𝑢02 ≡ 𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿
𝑅𝑒𝐿 =𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿3
𝜈2
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Aula 12
Convecção Natural – Condições de
Similaridade
A quantidade dentro da raiz é conhecida como número
de Grashof (Gr),
O número de Grashof, Gr, é uma medida da razão entre
a força de empuxo e as forças viscosas que atuam no
fluido.
37
𝐺𝑟𝐿 =𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿3
𝜈2
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Aula 12
Convecção Natural – Condições de
Similaridade
As equações de Quantidade de Movimento e Energia
pode então ser reescritas como,
38
𝑈𝜕𝑈
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝑈
𝜕𝑌= 𝜃 +
1
𝐺𝑟𝐿1/2
𝜕2𝑈
𝜕𝑌2
𝑈𝜕𝜃
𝜕𝑋+ 𝑉
𝜕𝜃
𝜕𝑌=
1
𝐺𝑟𝐿1/2
𝑃𝑟
𝜕2𝜃
𝜕𝑌2
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Aula 12
Convecção Natural – Condições de
Similaridade
Portanto, o número de Grashof (ou, mais precisamente,
𝐺𝑟𝐿1/2
) desempenha na convecção natural o mesmo
papel que o número de Reynolds desempenha na
convecção forçada;
Com base na forma das equações anteriores, espera-se
correlações para transferência de calor por convecção
natural na forma,
39
𝑁𝑢𝐿 = 𝑓 𝐺𝑟𝐿 , 𝑃𝑟
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
Numerosas soluções para as equações de camada-limite
da convecção natural em regime laminar foram obtidas;
Um caso especial que recebeu muita atenção dos
pesquisadores envolveu a convecção natural em uma
superfície vertical isotérmica em meio extenso e
quiescente.
40
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
Nessa geometria, as equações governantes do processo
de convecção natural devem ser resolvidas sujeitas a
condições de contorno;
41
Em y = 0:
u = v = 0, T = Ts
Em y 0
u 0 e T T
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
Uma solução por similaridade para este problema foi
obtida por Ostrach (1952)
A solução envolve uma transformação de variáveis com
a introdução de um parâmetro de similaridade que tem
a forma
42
𝜂 ≡𝑦
𝑥
𝐺𝑟𝑥4
1/4
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
E a representação das componentes da velocidade em
termos de uma função corrente definida como
E a componente da velocidade na direção x pode ser
escrita como,
43
𝜓 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑓 𝜂 4𝜈𝐺𝑟𝑥4
1/4
𝑢 =𝜕𝜓
𝜕𝑦=𝜕𝜓
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦=2𝜈
𝑥𝐺𝑟𝑥
1/2𝑓′ 𝜂
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
Componente da velocidade na direção y
As 03 EDP’s originais podem, então, ser reduzidas a duas
EDO’s nas formas
44
𝑓′′′ + 3𝑓𝑓′′ − 2 𝑓′ 2 + 𝜃
𝑣 =𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜃′′ + 3𝑃𝑟𝑓𝜃′ = 0
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
Condições de contorno
45
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
46
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
O número de Nusselt local pode ser representado por
47
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Aula 12
Convecção Natural, Laminar, Superfície
Vertical
O número de Nusselt médio pode ser representado por
48
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Aula 12
Convecção Natural – Efeitos da Turbulência
É importante ressaltar que as camadas-limite de
convecção natural não estão restritas ao escoamento
laminar;
Como na convecção forçada, instabilidades
fluidodinâmicas podem aparecer. Isto é, distúrbios no
escoamento podem ser amplificados, levando à
transição de escoamento laminar para turbulento;
49
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Aula 12
Convecção Natural – Efeitos da Turbulência
50
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Aula 12
Convecção Natural – Efeitos da Turbulência
A transição na camada-limite de convecção natural
depende da magnitude relativa das forças de empuxo e
das forças viscosas no fluido;
´Comum correlacionar a sua ocorrência em termos do
número de Rayleigh, Ra = Gr Pr;
Para placas verticais:
51
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Aula 12
Convecção Natural – Efeitos da Turbulência
Como na convecção forçada, a transição para o regime
turbulento tem um grande efeito sobre a transferência de
calor;
Dessa forma, os resultados anteriores se aplicam somente
se RaL 109.
Para obtenção de correlações apropriadas para o
escoamento turbulento, a ênfase será voltada para os
resultados experimentais.
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Referências INCROPERA, F. P., DEWITT, D. P., BERGMAN, T. L., LAVINE, A.,
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6ª Edição,
Rio de Janeiro, Editora LTC, 2008.
53