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Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-
sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.
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Geometria espacial
Nesta aula vamos estudar um dos assuntos mais importantes da Matemá-tica: a geometria espacial, mais especificamente, a geometria dos sólidos.
Um sólido geométrico é uma figura tridimensional, ou seja, uma figura que no espaço pode ser observada em três dimensões. Para nos familia-rizarmos com os sólidos geométricos, vamos iniciar nosso estudo com os prismas.
Prismas Mas, o que é um prisma?
Para que possamos compreender exatamente o que vem a ser um prisma, vamos considerar dois planos paralelos distintos (α e β), e uma reta r que in-tersecta os planos e um polígono qualquer contido em um dos planos:
r
α
β
Denomina-se prisma o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade na região poligonal e a outra no outro plano paralelo.
r
α
β
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356
Geometria espacial
Essa definição de prisma indica que os prismas estão presentes no nosso cotidiano de forma intensa. As caixas nas quais são vendidos os calçados, por exemplo, têm a forma prismática.
Os elementos mais importantes de um prisma podem ser observados na ilustração:
r
α
β
h
D
D’
Base
Face lateral
Diagonal
Aresta da base
Aresta lateral
Bases: são as regiões D e D´, contidas nos planos α e β, respectivamente. Elas são caracterizadas por polígonos congruentes.
Arestas das bases: são os lados das regiões D e D´.
Altura (h): é a distância entre os planos α e β.
Arestas laterais: são os segmentos paralelos à reta r que unem vértices correspondentes das regiões D e D´.
Faces laterais: são paralelogramos determinados por dois vértices con-secutivos da região D e os respectivos vértices correspondentes da região D´.
Diagonais: é todo segmento de reta que une dois vértices não perten-centes a uma mesma face.
Os prismas podem ser classificados em retos ou oblíquos.
No prisma reto as arestas laterais são perpendiculares às bases. Conse-quentemente, as faces laterais são retangulares, observe:
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Geometria espacial
357
Prisma reto.
No prisma oblíquo as arestas laterais não são perpendiculares às bases.
Prisma oblíquo.
Neste capítulo estudaremos apenas os prismas retos, devido à sua ex-tensa utilização nas mais diversas formas geométricas encontradas no dia a dia.
De acordo com a quantidade de lados das bases, existem formas dife-rentes de se denominar um prisma. Por exemplo, se as bases de um prisma são triângulos, ele é chamado de prisma triangular; se são quadriláteros, o prisma é quadrangular, e assim sucessivamente.
Um prisma é chamado regular quando satisfizer duas condições: for reto e apresentar bases formadas por polígonos regulares. Observe alguns exemplos:
Prisma triangular regular.
Prisma hexagonal regular.
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358
Geometria espacial
Existem duas medidas principais que precisamos saber calcular quando estamos observando um prisma: a medida de sua área e a medida de seu volume.
Para entendermos como podemos obter a medida da área de um prisma, considere como exemplo uma caixa de bombons na forma de um prisma quadrangular, cujas dimensões são apresentadas na ilustração:
8cm
10cm
20cm
Se a base é um retângulo de dimensões 20cm e 10cm, e a altura mede 8cm, qual a quantidade de material utilizada para a construção dessa caixa?
Vamos desmontá-la e planificá-la para visualizar quais faces compõem o prisma.
10cm
10cm10cm 20cm
20cm
20cm
8cm
Para calcular a medida da superfície da caixa, basta adicionar as medidas das áreas dos dois retângulos das bases com a área de um retângulo forma-do pela junção das faces laterais.
Assim, lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela altura, e sendo St a medida da superfície total do prisma reto que representa a caixa de bombons, temos:
St = (10 . 20) . 2 + (20 + 10 + 10 + 20) . 8
St = 400 + 480
St = 880cm2
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Geometria espacial
359
Portanto, são necessários 880cm2 de material para confeccionar essa caixa.
Observe que a superfície lateral de um prisma reto é sempre um retân-gulo no qual uma das dimensões é a altura do prisma e a outra é a soma dos comprimentos dos lados da base, ou seja, o perímetro dessa base.
Quanto ao volume, podemos dizer que volume de um corpo é o espaço ocupado por ele. Da mesma maneira que para medir o comprimento da sua sala podemos usar o metro como unidade de medida, o volume também precisa de uma unidade de medida.
Vamos convencionar a unidade de medida de volume como sendo o cubo de aresta unitária, ou seja, o cubo cuja medida da aresta seja igual a 1 unidade de comprimento.
1 u
1 u
1 u
Portanto, se for conveniente utilizarmos o centímetro como unidade de medida de comprimento, o volume será medido em cm3 (centímetros cúbi-cos), se for o metro a unidade de medida de comprimento, o volume será medido em m3 (metros cúbicos), e assim sucessivamente.
Pode-se provar que o volume de um prisma qualquer, cuja altura mede h e cuja superfície da base tem área SB , é dado por:
V = SB . h
Exemplo:
Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3cm e 4cm. Se a altura desse prisma tem a mesma medida da hipo-tenusa do triângulo da base, qual é a medida do seu volume em cm3?
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360
Geometria espacial
A medida da hipotenusa do triângulo retângulo pode ser encontrada por meio do teorema de Pitágoras:
h2 = 32 + 42
h = 9 + 16
h2 = 25
h = 5cm
Assim, o volume do prisma V é dado por:
V = S . h
V = 6 . 5
V = 30cm
B
3
V = æèç
öø÷
3 42
5.
.
Agora que já conhecemos mais os conceitos geométricos, podemos ex-plorar outros sólidos geométricos que se destacam.
Um sólido geométrico de grande importância é o cilindro.
Cilindro Você consegue imaginar algum sólido geométrico
de contato quase que diário possuindo a forma de um cilindro?
A caneca de café que você vê, por exemplo, tem a forma de um cilindro.
Shut
ters
tock
.
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Geometria espacial
361
Para fundamentar melhor o que vem a ser um cilindro, vamos considerar dois planos α e β e uma reta que intersecta esses dois planos determinando entre os planos um segmento AB , em que A é um ponto de α e B um de β.
α
β
A
B
O
Dado um círculo C contido em α, definimos como cilindro circular o con-junto de todos os segmentos de reta paralelos e congruentes ao segmento AB com origem no círculo C e extremidade no plano β.
α
β
A
B
O
Eixo
Geratriz h
Os principais elementos do cilindro são:
Bases: são os círculos contidos nos planos α e β.
Altura (h): é a distância entre os planos α e β.
Geratrizes (g): são os segmentos paralelos ao segmento AB que têm ex-tremidades nos pontos das circunferências que limitam as bases.
Eixo (e): é a reta determinada pelos centros das bases.
Se o eixo for perpendicular aos planos das bases, o cilindro é dito reto. Caso o eixo não seja perpendicular ao plano das bases, o cilindro é oblíquo.
Devido à sua importância, estudaremos apenas os cilindros retos.
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362
Geometria espacial
Área superficial de um cilindro reto
Para entendermos como se pode obter a medida da área de um cilindro reto, considere um cilindro reto e “oco”, feito com cartolina, cuja altura mede 10cm e cujo raio da base mede 5cm:
R = 5cm
h = 10cm
Se você recortasse as bases e “desenrolasse” a superfície lateral, iria obter três figuras planas:
10cm
(2π 5)cm
5cm
5cm
As bases são circulares. Logo, a área de cada uma das bases pode ser obtida por meio de:
SB = πR2
SB = π . 52
SB = 25πcm2
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Geometria espacial
363
A área lateral é um retângulo cuja altura é a do cilindro e cuja base é o perímetro da base do cilindro. Assim, o retângulo que constitui a área lateral tem área igual a:
SL = 2πR . h
SL = 2π . 5 . 10
SL = 100πcm2
Assim, a medida da superfície total de um cilindro reto é igual à soma das medidas das áreas de dois círculos com a medida da área de um retângulo, cujas dimensões são a altura do cilindro e o comprimento da circunferência que limita a base, ou seja:
ST = 2 . πR2 + 2πR . h
ST = 2 . SB + SL
ST = 150πcm2
Em termos de volume, o cilindro pode ser interpretado como um prisma de base circular. Assim, o volume de um prisma é igual ao produto das medi-das da área da base pela altura:
V = πR2 . h
Pirâmides A palavra pirâmide normalmente nos evoca o formato das famosas cons-
truções egípcias, monumentos fantásticos que documentam historicamente a extraordinária capacidade arquitetônica daquela civilização e que vêm en-cantando a humanidade há milhares de anos.
No entanto, nosso estudo parte de um conceito mais amplo para pirâmide.
Seja D uma superfície poligonal contida em um plano α e V um ponto não pertencente a esse plano.
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364
Geometria espacial
αD
v
O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra em D é denominado pirâmide.
αD
v
Os principais elementos da pirâmide são:
αD
vVértice
Aresta lateral
Face lateral
h
Aresta da base
Base
Vértice: é o ponto V não pertencente ao plano α.
Base: é a região D contida no plano α.
Arestas da base: são os lados da região D.
Arestas laterais: são os segmentos que unem os vértices da região D e o ponto V.
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Geometria espacial
365
Faces laterais: são triângulos determinados pelo ponto V e dois vértices consecutivos da região D.
Altura(h): é a distância entre o ponto V e o plano α.
De acordo com o número de lados da base de uma pirâmide, esta recebe um nome especial. Se a base for um triângulo, chama-se pirâmide triangular, se for um quadrilátero, a pirâmide é quadrangular, e assim sucessivamente.
Para que uma pirâmide seja denominada regular, é necessário que satis-faça duas condições: a base seja um polígono regular e a projeção ortogonal do ponto V seja um ponto V´ tal que V´ esteja no centro da base.
Apótema da pirâmide
v'
v
Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e, em con-sequência disso, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Nesse caso, costuma-se chamar apótema da pirâmide a altura de cada face lateral.
Para aprendermos como podemos obter a medida da área de uma pirâ-mide, considere, como exemplo, uma pirâmide quadrangular regular, cuja altura e apótema medem 8cm e 10cm, respectivamente.
Qual é a medida da área total dessa pirâmide?
Observe que é possível visualizar um triângulo retângulo cuja hipotenu-sa é o apótema da pirâmide, um dos catetos é a altura e o outro cateto é a metade da aresta da base:
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366
Geometria espacial
10cm
8cm
v
2l
l
2
10cm8cm
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
10 82
2 22
= +æèç
öø÷l
Resolvendo, obtemos:
l =12cm
A base é um quadrado de lado medindo 12cm. Logo, a medida da área da base é igual a:
SB = 122 = 144cm2
Observe que a superfície lateral da pirâmide é formada por quatro triân-gulos isósceles e congruentes. Assim, a medida da superfície lateral da pirâ-mide é igual a:
412 10
2240 2´
´æèç
öø÷
= cm
Assim, a medida da superfície total da pirâmide é igual à soma das medi-das da área da base com a área lateral:
144 + 240 = 384cm2
Para calcular a expressão do volume de uma pirâmide, vamos inicialmen-te decompor um prisma triangular reto em três pirâmides, observe:
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Geometria espacial
367
A B
C
D
I B
E
FF
D
II B
C
D
III
F
As pirâmides I e II têm bases congruentes (ABC e DEF) e alturas congruen-tes ( AD e BE ). Logo, seus volumes são iguais.
Por outro lado, as pirâmides I e III têm bases congruentes (ACD e FDC) e alturas congruentes (distância entre o vértice B e o plano que contém a face ACDF). Portanto, seus volumes também são iguais.
Assim, sendo V1, V2 e V3 os volumes das pirâmides I, II e III, temos:
V1 = V2 = V3
Mas, se o volume do prisma é igual ao produto das medidas da área da base pela altura e as três pirâmides possuem o mesmo volume, então, ne-cessariamente, o volume de cada pirâmide é igual a um terço do volume do prisma que possui a mesma base e a mesma altura:
V S hB=13
. .
Cones Outro sólido geométrico de destaque é o cone. Um cone pode ser inter-
pretado como sendo uma pirâmide de base circular. Evidentemente, algu-mas adaptações nos formulários serão importantes.
Observe a ilustração na qual podemos identificar os principais elementos formadores de um cone:
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368
Geometria espacial
α
v
g
e
h
Vértice: é o ponto V.
Base: é a região circular contida no plano α.
Altura (h): é a distância entre o ponto V e o plano α.
Geratrizes (g): são os segmentos com extremidades no ponto V e em um ponto da circunferência que limita a base.
Eixo (e): é a reta determinada pelo ponto V e pelo centro da base.
Se o eixo for perpendicular ao plano da base, o cone é dito reto. Caso o eixo não seja perpendicular ao plano da base, o cilindro é oblíquo. Estudare-mos aqui apenas os cones retos.
Para calcular a medida da superfície total de um cone reto, podemos rea-lizar um procedimento análogo àquele realizado para um cilindro reto.
Considere um cone reto e “oco”, cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm:
8cm
6cm
Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos obter a medida da geratriz do cone:
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Geometria espacial
369
g2 = 82 + 62
g2 = 64 + 36
g2 = 100
g = 10cm
Se planificássemos esse sólido, separando a base da área lateral e “abrin-do” essa área lateral, teríamos as seguintes figuras planas:
6cm
10cm
(2π. 6)cm
10cm
Se a base é um círculo de 6cm de raio, a medida da área da base é dada por:
SB = πR2
SB = π . 62
SB = 36πcm2
A planificação da área lateral determina um setor circular cujo arco tem comprimento igual ao perímetro da base do cone. Assim, a área lateral de um cone é dada por:
A r gl = × ×p
Resolvendo, obtemos:
A
A cm
l
l
= × ×
=
p
p
6 10
60 2
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370
Geometria espacial
A conclusão é a de que a medida da superfície total de um cone é igual à soma da medida da área de um setor circular, cujo raio é igual à geratriz do cone e cujo comprimento do arco é igual ao perímetro da base do cone, com a medida da área do círculo da base.
Da mesma forma que relacionamos prismas e cilindros, podemos relacio-nar pirâmides com cones. O volume de um cone pode ser obtido conside-rando-o como sendo uma pirâmide regular em que a base é um círculo e o apótema da pirâmide é a geratriz do cone.
O volume de um cone qualquer, cuja altura mede h e cujo raio da base mede R, é dado por:
V R h=13
2p. .
Esferas O formato esférico está presente nas bolas da maioria dos esportes, em
algumas frutas e em diversas situações. Até mesmo nosso planeta é aproxi-madamente esférico.
Para compreendermos o conceito de esfera, vamos considerar um ponto P do espaço e um segmento de medida R.
Chama-se esfera com centro no ponto P e raio de medida R o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto P é menor do que ou igual a R.
R O Esfera de centro O e raio R
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Geometria espacial
371
Pode-se provar que a medida da área de uma esfera de raio R e a medida do volume de uma esfera são dadas, respectivamente, por:
S = 4 R2p
pV R=43
3.
Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos O objetivo desse conteúdo é desenvolver as relações espaciais entre dois
sólidos geométricos em que um deles está inscrito em outro.
Esfera e cubo
Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas têm medida a.
a
R
Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, loca-lizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.
a = 2R
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372
Geometria espacial
Em uma outra situação, considere um cubo cujas arestas medem A, inscri-to em uma esfera cujo raio tem medida R
R A
Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica. Assim, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.
D = 2R ou cubo a R3 2=
Esfera e cilindro
Considere uma esfera, cujo raio mede R, inscrita em um cilindro circular reto.
R
Como a superfície esférica intersecta as bases do cilindro nos seus centros e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as me-didas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja, o cilindro é equilátero.
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Geometria espacial
373
Vamos analisar agora outra situação. Observe a figura a seguir:
R
Rr
h
Nesse caso, como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro?
A partir do triângulo retângulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r são as medidas da altura e do raio do cilindro, e de hipotenusa medindo 2R, podemos escrever:
2 2
4 4
2 2 2
2 2 2
R r h
R r h
( ) =( ) +
= +
Esfera e cone reto
Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em um cone também é pos-sível inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.
R
r
r
g
h - r
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374
Geometria espacial
Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma seme-lhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção:
rR
h rg
=-
Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção ante-
rior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual a 13
da medida da
altura do cone, ou seja, h = 3r. A figura a seguir ilustra essa situação:
R
r
2r 2R
Assim, por meio do teorema de Pitágoras, temos:
2 3 4 9
3 9 3
2 2 2 2 2 2
2 2
R R r R R r
R r R r
( ) = +( ) ® = + ®
= ® =
Em uma nova situação, considere agora uma esfera de raio R, circunscre-vendo um cone de raio r e altura h.
R
R
r
h - R
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Geometria espacial
375
No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever:
R2 = r2 + (h – R)2
Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera, do raio da base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porém, não existe necessidade de conhecê-las, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer outras medidas.
Se o cone é equilátero, a medida do raio da esfera é igual a 23
da medida
da altura do cone, ou seja, hR
=32
.
r
2r23R
Logo, por meio do teorema de Pitágoras, temos:
232
49
4
39
4
2 22
2 22
22
2
r rR
r rR
rR
r
( ) = +æèç
öø÷
® = + ®
= ®
== ® =3
43
2
2Rr
R
Cilindro e cone retos
Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:
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376
Geometria espacial
R
h
Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Sendo assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.
Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H:
H
hh
H - h
G - g
R - rr
R
g
Gr
Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escre-ver as seguintes proporções:
rR
H hH
gG
rR r
H hh
gG g
R rR
hH
G gG
=-
=
-=
-=
-
-= =
-
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Geometria espacial
377
Resolução de questões 1. (Esaf ) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5cm de raio está
encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5cm e 5cm de altura. De quantos centímetros é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?
a) 5.
b) 7,5.
c) 5 5 22
+ .
d) 5 2 .
e) 10.
2. (UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano α e uma esfera S de raio 10cm é uma circunferência de raio 6cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano α é igual a:
a) 4cm.
b) 5cm.
c) 7cm.
d) 8cm.
3. (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5cm, altura 20cm e contém água até a altura de 19cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1cm de raio cada, que podemos colo-car no vaso a fim de que a água não transborde.
a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 17.
e) 18.
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378
Geometria espacial
4. (UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone cir-cular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4cm e o volume do cone é 16πcm3, o raio da esfera é dado por:
a) 3cm.
b) 2cm.
c) 3cm.
d) 4cm.
e) 4 + 2 cm.
5. (UFPE) Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode confeccionar com esse ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve perda de ouro durante o derretimento.
a) 3.
b) 9.
c) 18.
d) 21.
e) 27.
6. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura é h, é seccionado, por um plano paralelo à base, em duas partes: um cone cuja medida da altura
é h5
e um tronco de cone, conforme a figura.
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Geometria espacial
379
A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor é:
a) 15.
b) 45.
c) 90.
d) 125.
7. (UECE) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio 4cm.
4cm
Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro é:
a) 18p 2cm3.
b) 24p 2cm3.
c) 32p 2cm3.
d) 36p 2cm3.
8. (Fatec) A intersecção de um plano α com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura a seguir.
G
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380
Geometria espacial
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano α ao centro O é igual a:
a) R5
.
b) R4
.
c) R3
.
d) 25R.
e) 23R.
9. (MACK) A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é:
a) pR2 32
.
b) pR2 33
.
c) 34
2pR .
d) 32
2pR .
e) 3 2pR .
10. (PUC-Campinas) Considerando-se a Terra como uma esfera cujo diâmetro equatorial é 12 800km, e a Lua também uma esfera cujo diâmetro equato-rial é 27% do da Terra, a razão entre as superfícies terrestre e lunar, nessa ordem, é um número:
a) maior que 13,9.
b) compreendido entre 13,8 e 14,1.
c) compreendido entre 13,5 e 13,6.
d) compreendido entre 13,6 e 13,8.
e) inferior a 13,5.
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Geometria espacial
381
Dica de estudo A maioria dos problemas relacionados com a Geometria, quer seja no
plano, quer seja no espaço, requer sempre do estudante a resolução de uma boa dose de exercícios para que a “visão espacial” e a habilidade em “observar” as relações geométricas sejam desenvolvidas. Para iniciar, procure dominar a geometria plana, sobretudo as figuras geométricas elementares (triângulo retângulo, triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular e cír-culo). Procure entender a origem das fórmulas e pratique resolvendo muitos exercícios. Em seguida, estude a geometria espacial, principalmente as figu-ras desta aula. Não é raro ocorrer de a solução de uma questão de geometria espacial estar baseada na geometria plana.
Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
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382
Geometria espacial
Gabarito 1. Observe a ilustração:
A B
C D
T
O triângulo CDT é retângulo, pois a tangente à circunferência forma ângulo reto com o raio ( CT ) no ponto de tangência T. O triângulo CDT é isósceles, pois os ângulos TCD˘ e TDC˘ têm a mesma medida. Como CT = 5, então DT = 5. Logo, CD pode ser obtido por meio do teorema de Pitágoras no triângulo CTD:
(CD) = (CT) + (DT) (CD) = 5 + 5
(CD) = 25 + 25 (CD)
2 2 2 2 2 2
2
® ®
® 22 = 50 ®
= ® = ®
=
CD CD
CD
50 5 2
5 2
2 .
Como BD = AC, necessariamente, AB = CD. Assim, a distância entre o cen-tro da base do cone e o ponto em que a esfera toca a superfície plana é igual a 5 2 cm.
Resposta: D
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Geometria espacial
383
2.
C
BA r = 6
r = 10
Sendo d a distância do centro da esfera ao plano α, temos:
102 = 62 + h2
d2 = 64
h = 8cm
Resposta: D
3. O volume não ocupado pela água no interior do cilindro é igual a p p. .5 1 252 3= cm
O volume de cada esfera é igual a 43
143
3 3. .pp
= cm
Assim, a maior quantidade de esferas que podem ser colocadas no vaso
sem que a água transborde é igual a 2543
253
4754
18 75pp
pp
= = =. ,
Resposta: E
4. Sendo h a medida da altura do cone, temos que:
1613
4 32p p= ® =. . . h h cm
Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g2 = 32 + 42 → g = 5cm
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384
Geometria espacial
Sendo R a medida do raio da esfera, temos que:
4 4 4 5
4 5 3
2 2
2
. . . . .p p pR
R R cm
= +
= + ® =
Resposta: C
5. O volume de uma esfera cujo raio mede R é igual a 43
3. .p R
O volume de uma esfera cujo raio mede R3
é igual a
43 3
43 27
3 3
. . . .p pR Ræ
èçöø÷
=
Assim, podem ser feitas 27 peças com o ouro derretido.
Resposta: E
6. Toda secção em um cone reto, efetuada por meio de um plano paralelo à base, determina um cone reto menor, semelhante ao primeiro. Utilizando o conceito de semelhança entre figuras geométricas, observadas no cone maior e no menor, é possível provar que a razão entre os volumes dos cones maior e menor é igual ao cubo da razão entre as medidas corres-pondentes das alturas dos cones. Dessa forma, sendo V e v os volumes dos cones maior e menor, respectivamente, temos:
Vv
hh
Vv
=
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
® =
5
125
3
Resposta: D
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Geometria espacial
385
7. Observe a figura a seguir:
2R
2R8cm
Por meio do teorema de Pitágoras, temos:
82 = (2R)2 + (2R)2
64 = 8R2
R2 = 8
R = 2 2
Assim, o volume do cilindro é igual a p p. ( ) .2 2 4 2 32 22 3= cm .
Resposta: C
8. O volume do cone maior é igual ao dobro do volume do cone menor. Sendo d a distância do plano ao centro da esfera e r a medida do raio da base comum dos dois cones, temos:
13
213
2 2 33
2 2. . . ( ) . . . . ( )p pr R d r R d
R d R d d R dR
+ = -
+ = - ® = ® =
Resposta: C
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386
Geometria espacial
9. Sendo h a medida da altura do cone equilátero, g a medida da geratriz do cone e r a medida do raio da sua base, temos:
(2r) = r + 3r r = r =2 2 2 232
94
34
32
2 2 2R R R Ræèç
öø÷
® ® ®
Assim, a área lateral do cone é igual a
p p pp
. . . . . .r g r rR R R
= = =23
22 3
23
2
2
Resposta: D
10. A medida do raio da Terra é aproximadamente igual a 6 400km e a me-dida do raio da lua é aproximadamente igual a 0,27 . 6 400 = 1 728 km. Assim, a razão entre as áreas das superfícies terrestre e lunar é igual a
4 6 400
4 1 7283 7 13 69
2
2
2. .
. ., ,
p
p
( )( )
@( ) =
Resposta: D
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