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Matematica dai 6 ai 99 anni
e Origami
Emma FrigerioDipartimento di Matematica
Università degli Studi di Milanonel CDO dal 1986
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Già Froebel aveva riconosciuto le molteplici valenze educative dell’origami…sviluppo di varie abilitàabitudine alla concentrazione e alla pazienzacooperazione e lavoro individualerecupero di alcuni handicap
...e la sua potenzialità per fare matematicale pieghe più comuni sono assi e bisettricil’approccio multisensoriale favorisce l’interiorizzazione e
la memoria a lungo termine.
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Idee- base
Foglio = Piano
Piega = Retta
Ogni piega realizza una simmetria
Se con una o più pieghe due “cose” si sovrappongono esattamente, queste due “cose” sono uguali.
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Un esempio
Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?
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Un esempio
Riaprendo il foglio, che cosa vedremo?
Un rombo, con le sue diagonali.
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Scuola primaria
Usiamo il rombo per piegare un modello
Pappagallomodello di Emma Frigerio
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Scuola secondaria di primo grado
Osservazioni sulle diagonali:
sono tra loro perpendicolari e si tagliano a metà;sono anche bisettrici.
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Scuola secondaria di secondo grado
Quale teorema (o teoremi) abbiamo dimostrato?
Se le diagonali di un quadrilatero Q sono perpendicolari tra loro e si tagliano scambievolmente a metà, allorai lati di Q sono congruenti e a due a due paralleli, dunque Q è un rombo.le diagonali bisecano gli angoli.
NON abbiamo dimostrato che in un rombo le diagonali sono perpendicolari e si tagliano a metà.
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Un nuovo teorema (Justin)
Pieghiamo un triangolo solo lungo le sue bisettrici in modo da ottenere una figura piatta.
Allora i tre vertici risultano allineati.
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E le pieghe curve?
Sono possibili, ma…
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E le pieghe curve?
Sono possibili, ma… si ottengono oggetti 3D.
Eric e Martin Demaine David Huffman
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Un po’ di storia 1
Costruzioni geometriche
Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893Costruzioni di Euclide piegando la carta.
Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!
Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), … anni ’80
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Un po’ di storia 1
Costruzioni geometriche
Sundara Row, Geometric Exercises in Paper-Folding, 1893Costruzioni di Euclide piegando la carta.
Si possono fare tutte le costruzioni, anzi… si può fare di più!
Margherita Piazzolla Beloch (Ferrara), anni ’30
Abe (Giappone), Justin (Francia), Messer (USA), Huzita e Scimemi (Padova), Hatori (Giappone), … anni ’80
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Un po’ di storia 2
Piegando la carta si possono risolvere alcuni problemi di costruzione impossibili con riga e compasso:Duplicazione del cuboTrisezione di un angolo
La caratterizzazione delle costruzioni possibili con l’origami, dovuta a Scimemi, si fonda su uno strumento algebrico sofisticato (la teoria di Galois), esattamente come quella delle costruzioni possibili con riga e compasso.
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Origami, matematica e tecnologia
Matematica dell’origami
Origami computazionale (algoritmi e teorie per risolvere matematicamente problemi di origami)
Lang, E. Demaine (USA)
Tecnologia dell’origami (applicazione dell’origami alla soluzione di problemi che nascono nell’ingegneria, nel design, e nella tecnologia in generale).
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Esempi 1
Map folding (K. Miura) Prototipo di “Eyeglass” Lawrence Livermore National Laboratory, Livermore, California
R. Lang
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Esempi 2Stent origami (prototipo)
Trasporto di medicinali
Protein Folding
Piegatura di airbags
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Nella lezione di matematica 1
Geometria piana: riconoscimento e proprietà di figure piane, aree, teoremi di Pitagora e di Euclide, …
Geometria solida: poliedri
Ma anche…
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Nella lezione di matematica 2
Problem solvingProblemi di colorazioneCalcolo combinatorioTrigonometriaConicheLimitiFrattali
Spugna di Menger (J. Mosley)
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Modello di van Hiele
Piet e Dina van Hiele (Olanda, dalla fine degli anni ’50) distinguono 5 livelli nell’apprendimento della geometria
Visualizzazione (figure come un tutto)Analisi (proprietà)Astrazione (argomentazioni, relazioni tra figure)Deduzione (teoremi, c.n.s.)Rigore (geometrie non euclidee)
L’origami può utilmente accompagnare tutti questi livelli.
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Miri Golan e l’Origametria
In Israele lezioni di Origametria per migliaia di ragazzi (6 – 14 anni), tenute da persone appositamente formate, con un progetto creato da Miri Golan.
Da qualche anno ha creato il programmaKindergarten Origametria, che è stato approvato dal Ministero per l’Educazione.
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Thomas Hull
Corsi nelle università degli Stati Uniti e un libro, dal titolo
Project Origamiin cui presenta dettagliatamente molte e varie attività matematiche adatte a studenti delle superiori.
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Per finire…
La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli
argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi
aspetti, al saper nuotare o all’andare in bicicletta, due
abilità che non possono essere raggiunte stando fermi.
H.S.M. Coxeter
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Grazie per l’attenzione !