emprestitos 2

Leccin 50: Emprstitos: Introduccin

El emprstito es una modalidad de financiacin por la que una entidad (empresa, organismo pblico, etc.) que necesita fondos, acude directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera.La entidad divide el prstamo en un gran nmero de pequeas partes iguales (participaciones), que coloca entre multitud de inversores. Estas partes del emprstito vienen representadas por "ttulos-valores".Todos los "ttulos-valores" correspondientes a una misma emisin presentan las mismas caractersticas: importe, tipo, vencimiento, etc.La entidad que emite los ttulos se denomina "emisor", mientras que el inversor que los suscribe se denomina "obligacionista".Los "ttulos-valores" ofrecen al inversor los siguientes derechos:a) Recibir peridicamente intereses por los fondos prestadosb) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del emprstitoLos emprstitos se clasifican segn diversos criterios:a) Segn el emisor: deuda pblica (emitida por entidades pblicas) y deuda privada (emitida por empresas).b) Segn el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento; no obstante, el emisor se suele reservar el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).c) Segn la modalidad de amortizacin: con vencimientos peridicos parciales (en cada periodo se amortizan, bien un nmero determinado de ttulos, bien una parte de todos los ttulos) y con una nica amortizacin al vencimiento.d) Segn el valor de emisin de los ttulos: ttulos emitidos a la par (se emiten por su valor nominal), ttulos bajo la par (se emiten a un precio inferior a su valor nominal) y ttulos sobre la par (se emiten a un precio superior a su valor nominal).e) Segn su valor de amortizacin: reembolsables por el nominal (su precio de amortizacin coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortizacin (su precio de amortizacin es superior a su valor nominal).f) Segn el pago de intereses: pago de intereses peridicos (peridicamente el inversor va recibiendo sus intereses) y "cupn cero" (un nico pago de intereses en la fecha de vencimiento final del emprstito).g) En funcin de la duracin del emprstito: Pagars (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 aos) y obligaciones (vencimiento normalmente a ms de 5 aos).Leccin 53: Emprstitos con amortizaciones parciales de capital

Este tipo de emprstitos se va amortizando con reducciones parciales de capital.Dentro de esta categora, el caso ms frecuente es aqul en el que las amortizaciones de capital son constantes a lo largo de la vida de la operacin.Las amortizaciones parciales de capital se calculan:AMs = Co / n

Siendo, Co: el importe inicial del emprstito

Siendo, n: el nmero de periodos

Asimismo, es fcil calcular la evolucin del saldo vivo y del capital amortizado:Saldo vivoSs = Co - AM

Capital amortizadoCAs = AM

La carga de intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente frmula:Is = Ss-1 * i * t

Siendo, Ss-1: el saldo vivo al final del periodo anterior

Siendo, t: la duracin del periodo

Conocido el importe que se amortiza en cada periodo, as como los intereses, se conoce el importe de la cuota peridica:Ms = AMs + Is

La cuota peridica Ms es una cuota decreciente, ya que AMs es constante, pero el importe de los intereses Is va disminuyendo.Ejemplo:

Se emite un emprstito de 10.000 millones de pesetas, representados por 1 milln de ttulos de 10.000 ptas. de valor nominal cada uno. El plazo es de 5 aos y cada ao se amortiza el mismo importe de principal. El tipo de inters es el 8%.Calcular el cuadro de amortizacin:Solucin:

Cada ao se amortiza:AMs = 10.000 / 5 = 2.000 millones de ptas.

El cuadro de amortizacin es el siguiente:Periodo Saldo vivo Amortizacin de capital Capital amortizado Intereses Cuota N de ttulos Valor nominal de cada ttulo

(Millones ptas) (Millones ptas.) (Millones ptas.) (Millones ptas.) (Millones ptas.) (ptas.)

ao 0 10.000 0 0 0 0 1.000.000 10.000

ao 1 8.000 2.000 2.000 800 2.800 1.000.000 8.000

ao 2 6.000 2.000 4.000 6402.640 1.000.000 6.000

ao 3 4.000 2.000 6.000 4802.480 1.500.000 4.000

ao 4 2.000 2.000 8.000 3202.320 1.000.000 2.000

ao 5 0 2.000 10.000 1602.160 0 0

Leccin 54: Emprstitos sin vencimiento

Estos emprstitos no tienen vencimiento, son perpetuos. No obstante, las entidades pblicas (que son las nicas que los emiten) se suelen reservar el derecho de poder amortizarlos en cualquier momento futuro.La cuota peridica est integrada exclusivamente por los intereses, ya que no hay amortizacin de principal:Ms = Is

Siendo Ms la cuota peridica y Is los intereses del periodo

La carga de los intereses ser siempre la misma, ya que el saldo vivo no vara (suponiendo, tambin, un tipo de inters constante durante toda la vida de la operacin).Is = Co * i * t

Siendo Co el importe inicial del emprstito

Ejemplo: Se realiza una emisin de obligaciones de 50.000 millones de ptas., sin vencimiento, con tipo de inters anual del 7%. Calcular el importe de la cuota peridica:Ms = Is

Siendo, Is = Co * i * t

Luego, Is = 50.000 * 0,07 * 1

Luego, Is = 3.500 millones ptas.

Por lo tanto, Ms = 3.500 millones ptas.

El valor de mercado de este tipo de emprstito, en cualquier momento su vida, viene determinado por la siguiente frmula:Vm = Is / im

Siendo, Vm el valor del emprstito

Siendo, im el tipo de mercado para emisiones de caractersticas similares en el momento de la valoracin.

Ejemplo: transcurridos 3 aos de la anterior emisin, el tipo de inters para emisiones similares ha subido al 8%. Calcular el valor actual de este emprstito:Vm = Is / im

Luego, Vm = 3.500 / 0,08 = 43.750 millones ptas.

Por lo tanto, el valor del emprstito es ahora de 43.750 millones ptas., significativamente menor que su valor nominal (50.000 millones ptas.)

Leccin 55: Emprstitos: amortizacin por sorteo (I)

En este tipo de emprstitos, muy utilizados, se realizan peridicamente amortizaciones de un nmero determinado de ttulos, que son elegidos por sorteo.Las cuotas peridicas incluyen, por tanto, dos conceptos:- El pago de los intereses del periodo- La amortizacin de aquellos ttulos seleccionadosa) Pago peridico de intereses y cuotas peridicas constantesDentro de este tipo de emprstitos, destaca un modelo particular que se caracteriza porque las cuotas peridicas son constantes durante toda la vida del emprstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo de inters tambin es constante durante toda la operacin).Para calcular el importe de la cuota peridica se aplica la ley de equivalencia financiera:Co = Ms * Ao


Siendo Ms el importe de la cuota peridica

Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aqu podemos despejar el valor de Ms. Para calcular que parte de esta cuota peridica corresponde a amortizacin de capital se calcula la correspondiente al primer periodo:M1 = (Co * i * t) + (A1 * Vn)

El primer parntesis (Co * i * t) corresponde a los intereses del periodo, mientras que el segundo parntesis (A1 * Vn) corresponde a la amortizacin de capital (siendo A1 el nmero de ttulos que se amortiza y Vn el valor nominal de cada ttulo)

El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuacin se puede deducir el importe de la amortizacin de capital (y con ella, el nmero de ttulos amortizados).A partir del nmero de ttulos que se amortiza en el primer periodo, se puede calcular el calendario de amortizaciones:As = Ai * (1 + i)^s-1

Siendo As el nmero de ttulos que se amortiza en el periodo s

La parte de cada cuota peridica que corresponde a intereses se calcula aplicando la frmula:Ms = AMs + Is

Por lo que, Is = Ms - AMs

Ejemplo: Se realiza una emisin de obligaciones de 20.000 millones ptas., distribuida en 1.000.000 de ttulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a un plazo de 5 aos y tipo de inters del 8%. Las cuotas son anuales y constantes.Calcular el cuadro de amortizaciones:Solucin:

Se comienza por calcular el importe constante de la cuota peridicaCo = Ms * Ao

luego, Co = Ms * ((1 - (1 + i)^-n) / i)

luego, 20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08)

luego, Ms = 5.009,13 millones ptas.

A continuacin se calcula el nmero de ttulos que se amortiza en el primer periodo:Ms = (Co * i * t) + (A1 * Vn)

luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor nominal del ttulo est expresado en millones de ptas.)

luego, A1 = 170.456 ttulos

Ya podemos hallar el nmero de ttulos que se amortiza en cada uno de los periodos:A2170.456 * (1 + 0,08)184.092 ttulos

A3170.456 * (1 + 0,08)^2198.820 ttulos

A4170.456 * (1 + 0,08)^3 214.725 ttulos

A5170.456 * (1 + 0,08)^4 231.904 ttulos

Conociendo el nmero de ttulos amortizados, simplemente se multiplican por su valor nominal para ver el importe del emprstito amortizado en cada periodo.Los intereses se calculan por diferencia: Is = Ms - AMsYa se puede completar el cuadro de amortizaciones:N de ttulos Cuota peridica Saldo vivo del emprstito

Periodo Vivos Amortizados en periodo Amortiz. acumulados Amortiz. de capital Intereses Cuota peridica

(Millones ptas.) (Millones ptas.) (Millones ptas.) (Millones ptas.)

ao 0 1.000.000 0 0 0 0 0 20.000

ao 1 829.544 170.456 170.456 3.409,12 1.600,00 5.009,13 16.590,88

ao 2 645.452 184.092 354.548 3.681,841.327,29 5.009,13 12.909,04

ao 3 446.632 198.820 553.368 3.796,401.032,73 5.009,13 8.932,64

ao 4 231.904 214.725 768.093 4.294.50714,63 5.009,13 4.638,08

ao 5 0 231.904 1.000.000 4.638,08371,05 5.009,13 0

Leccin 56: Emprstitos: amortizacin por sorteo (II)

b) Pago peridico de intereses y amortizacin de capital constanteEsta es otra modalidad de emprstitos muy utilizada.El nmero de ttulos que se amortiza en cada periodo viene determinado por la frmula:A = n / p

Siendo A el nmero de ttulos que se amortiza en cada periodo

Siendo n el nmero total de ttulos emitidos

Siendo p el nmero de periodos

Conociendo el nmero de ttulos que se amortiza en cada periodo, es inmediato ver como evoluciona el nmero de ttulos en circulacin y con ello el saldo vivo del emprstito.El importe de los intereses de cada periodo viene determinado por:Is = Ss-i * i * t

Siendo Ss-1 el saldo vivo del emprstito al final del periodo anterior

Y el importe de la cuota peridica:Ms = (A * Vn) + Is

Siendo Vn el importe nominal de cada ttulo

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 30.000 millones de pesetas, a 5 aos y con un tipo de inters del 7%. La emisin se compone de 1.000.000 de ttulos, con un valor nominal de 30.000 ptas. cada uno. Se amortiza el mismo nmero de ttulos en cada periodo.Calcular el cuadro de amortizaciones:N de ttulos Cuota peridica Saldo vivo del emprstito



ao 0 1.000.000 0 0 0 0 0 30.000

ao 1 800.000 200.000 200.000 6.000 2.100 8.100 24.000

ao 2 600.000 200.000400.000 6.0001.680 7.680 18.000

ao 3 400.000 200.000600.000 6.0001.260 7.260 12.000

ao 4 200.000 200.000800.000 6.000840 6.840 6.000

ao 5 0 200.0001.000.000 6.000420 6.420 0

Leccin 57: Emprstitos: cupn cero (I) En algunos tipos de emprstitos se realiza un nico pago de intereses en el momento de amortizacin de los ttulos. Estas emisiones se denominan de "cupn cero".Dentro de esta categora se distinguen diversas variantes, destacando:a) Cuotas peridicas constantesb) Amortizacin del mismo nmero de ttulos en cada periodoCuotas peridicas constantes

El esquema es similar al de los emprstitos con pago de intereses peridicos y cuota constante. La diferencia est en que en aquel modelo, la cuota peridica inclua intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupn cero) slo incluye los intereses acumulados de los ttulos que se amortizan en ese periodo.A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de inters es constante durante toda la vida del emprstito.La cuota peridica se calcula:Co = M * Ao


Siendo M el importe de la cuota peridica

Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aqu se despeja M.Para calcular el nmero de ttulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del primer periodo:M = (A1 * Vn) + (1 + i)

Siendo A1 el nmero de ttulos amortizados en el primer periodo

Siendo Vn el valor nominal de cada ttulo

Los ttulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente frmula:As = A1 * (1 + i)^-(s-1)

Siendo As el nmero de ttulos que se amortiza en el periodo s

La parte de la cuota peridica que corresponde a intereses de los ttulos amortizados se calcula fcilmente:Is = Ms - (A1 * Vn)

Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo

Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortizacin.Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de ttulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duracin es de 5 aos y tipo de inters constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento de amortizacin de cada ttulo.Calcular el cuadro de amortizaciones:La cuota peridica se calcula:Co = M * Ao

Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i)

Luego, 50.000 = M * 4,2123

Luego, M = 11.869,82 millones ptas.

A continuacin se calcula el nmero de ttulos que se amortiza en el primer periodo:M = (A1 * Vn) * (1 + i)

Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del ttulo est expresado en millones de ptas.)

Luego, A1 = 223.959 ttulos

Ya se puede calcular el resto del calendario de amortizacin:A2223.959 * (1 + 0,06)^-1211.282 ttulos

A3223.959 * (1 + 0,06)^-2 199.323 ttulos

A4223.959 * (1 + 0,06)^-3 188.040 ttulos

A5223.959 * (1 + 0,06)^-4 177.396 ttulos

Y se puede completar el cuadro de amortizaciones:N de ttulos Cuota peridica Saldo vivo del emprstito



ao 0 1.000.000 0 0 0 0 0 50.000

ao 1 776.041 223.959 223.959 11.197,9 671,9 11.869,8 38.802,1

ao 2 564.759 211.282 435.241 10.564,11.305.7 11.869,828.238,0

ao 3 365.436 199.323 634.564 9.966,11.903,6 11.869,818.271,9

ao 4 177.396 188.040 822.604 9.402,02.467,8 11.869,88.869,8

ao 5 0 177.396 1.000.000 8.869,83.000,0 11.869,80

Leccin 58: Emprstitos: cupn cero (II) Amortizacin del mismo nmero de ttulos en cada periodo

En este tipo de emprstitos en cada periodo se amortiza el mismo nmero de ttulos:A = n / p

Siendo A el nmero de ttulos que se amortiza en cada periodo

Siendo n el nmero total de ttulos emitidos

Siendo p el nmero de periodos

Conociendo este dato, se conoce el calendario de amortizacin y la evolucin del saldo vivo del emprstito.Y el importe de la cuota peridica se calcula:Ms = (A * Vn) * (1 + i)^s

Si a la cuota del periodo se le resta la parte de amortizacin de capital (A * Vn) hallamos los intereses pagados en ese periodo.Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de ttulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duracin es de 5 aos y el tipo de inters es el 6%. Se amortiza el mismo nmero de ttulos en cada periodo y los intereses se pagan en el momento de amortizacin de cada ttulo.Calcular el cuadro de amortizaciones.El nmero de ttulos que se amortiza en cada periodo:A = n / p

luego, A = 1.000.000 / 5

luego, A = 200.000 ttulos en cada periodo

Veamos el cuadro de amortizaciones:N de ttulos Cuota peridica Saldo vivo del emprstito



ao 0 1.000.000 0 0 0 0 0 50.000

ao 1 800.000 200.000 200.000 10.000 600 10.600 40.000

ao 2 600.000 200.000400.000 10.0001.236 11.236 30.000

ao 3 400.000 200.000600.000 10.0001.910 11.910 20.000

ao 4 200.000 200.000800.000 10.0002.625 12.625 10.000

ao 5 0 200.0001.000.000 10.0003.382 13.382 0

Leccin 60: Rentabilidad de un emprstito

La rentabilidad efectiva de una obligacin para el obligacionista (inversor) es el tipo de inters que iguala en el momento inicial el valor de la prestacin (precio pagado por dicho ttulo) y el valor de la contraprestacin (intereses recibidos y amortizacin final).En aquellas obligaciones que se amortizan por sorteo y que presentan distintos tipos de ventajas (primas de emisin, de amortizacin, etc.), la rentabilidad efectiva va a depender del momento en que se amortice cada ttulo.Normalmente, la rentabilidad ser superior en aquellos ttulos que se amorticen antes, ya que el efecto positivo de las distintas primas de emisin y/o de amortizacin ser ms significativo.En inversor no va a saber a priori cual ser la rentabilidad efectiva de sus ttulos, pero si puede conocer como evolucionar sta en funcin de en qu momento sean amortizados.Para calcular la rentabilidad de un ttulo se aplica la ecuacin de equivalencia financiera:Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)

Siendo Pc el precio de compra del ttulo

Siendo (Vn * i *Ao) el valor actualizado de los intereses recibidos del emprstito

Siendo ie la tasa de rentabilidad efectiva

Siendo Pa el precio de amortizacin

Ejemplo:

Se emiten obligaciones de 10.000 ptas. cada ttulo, con el 7% de inters y vencimiento en 5 aos. Tiene un descuento en la suscripcin del 5% (se compran los ttulos por 9.500 ptas.) y una prima de amortizacin del 2% (se cobra en el vencimiento 10.200 ptas. por cada ttulo). Los ttulos se amortizan mediante sorteos anuales.Calcular el rendimiento efectivo de esta obligacin.Solucin:

Se aplica la frmula de equivalencia financiera:Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)

Luego, 9.500 = (10.000 * 0,07 * Ao) + (10.200 * (1+ie)^-k)

Si la obligacin se amortizara en el primer ao, la ecuacin de equivalencia financiera sera:9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-1)/ie)) + (10.200 * (1 + ie)^-1)

Si la obligacin se amortizara en el 2 ao. esta ecuacin quedara de la forma:9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-2)/ie)) + (10.200 (1 + ie)^-2)

Y as sucesivamente, hasta el ao 5. Podemos completar el siguiente cuadro, indicando como evoluciona la rentabilidad efectiva segn el momento de amortizacin de los ttulos:Periodo Rentabilidad efectiva

ao 1 14,737%

ao 2 10,863%

ao 3 9,603%

ao 4 8,980%

ao 5 8,609

La rentabilidad calculada es bruta (no considera el coste impositivo). Para tener en cuenta esto, slo hay que sustituir los ingresos brutos por los ingresos netos (despus de impuestos).

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