工業数学

12． Z変換

フーリエ級数展開

10 2sin2cos

nnn t

Tnbt

Tnaatf

　na 　nb

　0a ： 直流成分

， ： 係 数

は正弦波と余弦波の合成として表現される

tf

・・・ ①

フーリエ級数係数

2/

2/0 )(1 T

Tdttf

Ta

①式を整理することで求められる

2/

2/2cos2 T

Tn dttTntf

Ta

2/

2/2sin2 T

Tn dttTntf

Tb

フーリエ変換

dtetftfF tj 　　　　　F

deFFtf tj

211 　　F

フーリエ変換

フーリエ逆変換

フーリエ変換からラプラス変換へ

ja

ja

stdsesXj

tx 21

　ラプラス逆変換

0 dtetxtxsX st　　　　L

ラプラス変換

z変換

離散時間系のおさらい

連続時間信号 tx

インパルス列

T

サンプル値信号 txs

×

t

t

t

連続時間信号 tx

インパルス列

サンプル値信号 txs

T

×

t

t

t

T

0

n

s nTtnTxtx

nTxnTt

tx時刻 では

⇒

ラプラス変換のおさらい

ja

ja

stdsesXj

tx 21

　ラプラス逆変換

0 dtetxtxsX st　　　　L

ラプラス変換

サンプル値信号のラプラス変換

0

0n

stss dtenTtnTxtxsX 　　　　L

0

0n

stdtenTtnTx 　

0n

nsTenTx　

とおくとsTez

nTt 1 nTt

時刻 の時のみ

zT

s ln1，

0

ln1n

nz

Tss znTxzXsX 　　　

ntxZ　

C

n- dzzzXj

zXnx 11

21

　　Z

ｚ変換

逆ｚ変換

C ： z C平面状の曲線 に沿っての積分

⇒ 複素積分

ｚ変換の例

離散時間単位デルタ関数

n

0n

1 n0: n10: n0

10 　　　　　 nZ

0n

nznTxnTx 　Z

離散時間単位ステップ関数

0 1 2 3 4 5 6 7n

1

nu

nu0: n10: n0

211 zznu 　　　　Z

0n

nznTxnTx 　Z

111

1

z

zz

　　　　

321 3210 zzznx 　　Z

221

1

11

zz

zznx 　　　　　Z

0 1 2 3 4 5 n

nx

nnx

　　　　　 1

13211

1 1

zzzzznxz- Z

4321 321 zzznxz- 　　　Z

関数

上式 － 下式

0n

nznTxnTx 　Z

0cos cos

n

nzTnTn 　　　Z

Tnnx cos関数

　　　

0 2

n

nTjnTjn

zee

0

11

21 n

nTjnTj zeze 　　　

11 1

11

121

zeze TjTj 　　　

21

1

12

21

zzeezee

TjωTjω

TjTj

　　　

21

1

cos21cos1

zzT

zT

　

n 1

na

nu 111

z

111

az

nx zX

21zz

nx zX 21

1

cos21sin

zzTzT

21

1

cos21cos1

zzTzT

ｚ変換の例

n

221

1

cos21sin

zezTezTe

aTaT

aT

221

1

cos21cos1

zezTezTe

aTaT

aT

sin

cos

ｚ変換の性質

ｚ変換の性質

zXnTx 11 　Z

１）線形性

zXnTx 22 　Z，

のとき

zbXzaXnTbxTnax 2121 　Z

01

azXanTx a 　　　　　　Z

２）相似性

ｚ変換の性質

0　nTx３）推移性

0n で のとき

1

0

m

n

nm znTxzXzmTTnx 　　　Z

1zは任意の整数

zXzmTTnx m 　　　Zm

を乗算するz 空間で

⇒ 離散時間系で信号が1サンプル遅延する

ｚ変換の性質

４） による乗算na

zaXTnxan 1　　　Z

dzzdXTzTnxnT 　　　Z

５）微分

ｚ変換の性質６）たたみ込み

zXnTx 11 　Z zXnTx 22 　Z

として zGnTg 　Z

　

n

kkTnTxkTxnTg

021

n

kkTxkTnTx

021 とおいたとき

　zXzXzG 21

ｚ変換の性質

８）最終値定理

　　　　　 zXxz

lim0

７）初期値定理

　　　　　 zXznTxzn

1

11limlim

逆ｚ変換

逆ｚ変換では

zX

3

32

21

1 azzc

azzc

azzczX

を部分分数に展開して

と係数　　a極 を求める

　　naz

nn zX

zazc

逆ｚ変換の例

入力 出力

伝達関数

23107

2

2

zzzz

zX

21 21

zzc

zzc

21

10723

1072

2

zzzz

zzzzzX

　　　　2

22

z

zXzzc

3211017

　　　　

　　　　1

11

z

zXzzc

　　121

1071

zzz

zzzz

4121027

　　　　

　

2211072

zzz

zzzz

　　naz

nn zX

zazc

nnunx 243

31 11 ca 　，　

42 22 ca 　，　

11 214

13

24

13

zzzz

zzzX 　　

111

znuZ

111

azanZ

21 21

zzc

zzczX

ディジタル信号処理の基礎として

・ フーリエ級数展開

（連続時間系のフーリエ変換）

・ 離散時間系のフーリエ変換（DFT）

・ ラプラス変換

・ ｚ変換

は覚えておきましょう