EN 2702 – Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares

Lista de Exercícios 03: Série de Fourier

Para entregar: 1- Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial:

a2y”(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b2x”(t)+b1x’(t)+b0x(t) onde a2=1, a0=400000, b2=b0=0, b1=1000 e a1 pode ser igual a 50, 500 e 5000.

Para este sistema, obtenha a função de transferência e a sua resposta em freqüência. Considere que este sistema possui como entrada uma função dente de serra periódica com período w e amplitude A (mesma forma de onda do exercício 1c). Usando o Matlab, trace os sinais de entrada e saída deste sistema para os 3 valores possíveis de a1.

Lista: 2- (6.1-1) Para cada um dos sinais periódicos mostrados na fig P6.6-1, determine a

série exponencial de Fourier e trace seu espectro de amplitude e fase. Analise se os coeficientes Dn são pares ou ímpares, reais ou imaginários e explique.

Respostas: D0=0,Dn=2sinc(n/2); D0=0.2,Dn=0.2sinc(n/5); D0=0.5,Dn=j/(2n); D0=0, Dn=-2j/(n22)(n/2cos(n/2)-sin(n/2); D0=1/6,Dn=3/(42n2)[-1+(1+j2n/3)e-j2n/3];D0=0.5,Dn=3/(2n2)[cos(n/3)-cos(2n/3)]

3- (6.1-2) Determine a série exponencial de Fourier para o sinal y(t) mostrado na fig P6.1-2. O sinal y(t) pode ser obtido através da reversão temporal do sinal x(t) usado no exemplo 2 da aula. Compare os espectros obtidos nos dois casos.

Resposta: Dn=0.504/(1-j4n)

4- (6.1-3) Determine a série exponencial de Fourier para o sinal y(t) mostrado na fig. P6.1-3. Este sinal pode ser obtido através da compressão temporal do sinal x(t) usado no exemplo 2 da aula. Compare os espectros (em função de ) obtidos nos dois casos.

Resposta: Dn=0.504/(1+j4n) 5- (6.4-1) Determine a resposta de um sistema LIT com função de transferência:

(ݏ)ܪ =ݏ

ଶݏ + ݏ2 + 3

a entrada periódica usada no exemplo 2 da aula. Resposta: y(t)= -1.008n/(16n3-8n+j(12n2+3))ej2nt

6- (6.4-2) a) Determine a série exponencial de Fourier para o sinal x(t)=cos 5t sen 3t (é possível obtê-la sem calcular nenhuma integral!)

b) Trace o espectro de Fourier c) O sinal x(t) é aplicado a entrada de um sistema LIT com resposta em frequência mostrada abaixo. Obtenha a saída y(t)

Resposta: D1=-1/4j, D-1=1/4j, D4=1/4j, D-4=-1/4j

7- (6.4-3) a) Determine a série exponencial de Fourier para um sinal periódico x(t) mostrado na figura abaixo.

b) O sinal x(t) é aplicado a entrada do sistema LIT mostrado na figura abaixo. Determine a expressão da saída y(t).

Resposta: y(t)=0.504 j4n/(1+j4n)2 ej4nt

8- (6.5-4) Para os sinais x(t) e y(t) mostrados abaixo, obtenha a componente na forma y(t) contido em x(t), ou seja, obtenha o valor ótimo de c na aproximação x(t)cy(t) de tal forma que a energia do erro seja mínima.

Resposta: c=0.5 9- (6.5-6) Represente o sinal x(t) do problema anterior, no intervalo de 0 a 1 pela série

trigonométrica de Fourier com freqüência fundamental 0=2. Calcule a energia do erro na representação de x(t) usando apenas os N primeiros termos da série para N=1,2,3 e 4. Respostas: Ee(1)=1/12, Ee(2)=0.03267, Ee(3)=0.02, Ee(4)=0.014378