enefa proceedings año 2011 proceedings del xxvii encuentro

Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA Proceedings – Vol. 4, año 2011

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7.03 ANÁLISIS DE LA EFICIENCIA ECONÓMICA EN LAS ESCUELAS RURALES DEL

PAÍS MEDIANTE ÍNDICES DE MALMQUIST.

AUTORES:

JUAN CARLOS MIRANDA CASTILLO

[email protected]

LUIS OJEDA SILVA

[email protected]

GASTÍN VERGARA DÍAZ

[email protected]

Universidad Austral de Chile

Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas

Instituto de Estadística

Casilla Nº 567 – Valdivia - Chile

Teléfono: 56-63-221202

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RESUMEN

El objetivo de esta investigación fue analizar la eficiencia económica de un conjunto de

escuelas rurales ubicadas en diferentes Regiones de Chile: la técnica utilizada consistió en la

aplicación de modelos del análisis envolvente de datos (DEA), con aplicación de los Índices de

Malmquist y su descomposición, considerando la prueba SIMCE como variables relevante sobre

los indicadores.

Palabras Claves: Análisis envolvente de datos (DEA), Índice de Malmquist, eficiencia, Escuela

Rural, SIMCE

ABSTRACT

The objective of this research was to analyze the economic efficiency of a set of rural

schools located in different regions of Chile: the technique used was the application of models

of data envelopment analysis (DEA), with application of Malmquist Index and their

decomposition, considering the relevant variables SIMCE on indicators.

Key Words: Data envelopment analysis (DEA), Malmquist Index, efficiency, Rural School, SIMCE

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1. Introducción

La política educacional del Estado de Chile se ha constituido en un tema de País, por su

rol como herramienta insustituible para promover tanto el desarrollo social como el

económico, así como la competitividad de los países en un mundo cada vez más globalizado, lo

que obliga a medir con mayor precisión los recursos que se asignan y las contribuciones que

por esa vía se alcanzan (Donoso et al, 1999). Se busca de esta forma mejorar la calidad de la

educación, lograr equidad y proponer la participación de todos los jóvenes en el proceso

educativo (Araya y Miranda, 2002).

Una distinción urbano-rural tiene una proyección referida a los logros de aprendizajes

registrados por el sistema nacional de medición del rendimiento escolar. Las escuelas rurales

muestran niveles de logro inferior a las urbanas. Los puntajes más bajos se observan en

pequeñas escuelas multigrado, caracterizadas por el aislamiento geográfico y su instalación en

comunidades rurales de difícil acceso y contextos culturales de carácter tradicional.

Estas escuelas, tradicionalmente excluidas de iniciativas pedagógicas, representan unos

de los sectores más críticos respecto de la calidad de las prácticas pedagógicas y sus resultados,

así, como de mayor inequidad en el sistema educacional chileno subvencionado por el Estado

(Miranda, y Araya 2003).

En lo que respecta a la prueba SIMCE (Sistema de Medición de Calidad de la

Educación), este es un Sistema Nacional de Evaluación de resultados de aprendizaje del

Ministerio de Educación de Chile. El SIMCE es un estimador parcial de la calidad educacional de

un establecimiento ya que provee antecedentes acerca del grado de incidencia de algunos

factores sobre los estimadores de calidad de la educación. Por lo que resulta de interés

conocer cómo estas escuelas mejoran sus posibilidades de obtener buenos resultados en ella.

Su propósito principal es contribuir al mejoramiento de la calidad y equidad de la educación,

informando sobre el desempeño de los estudiantes en diferentes subsectores del currículum

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nacional, y relacionándolos con el contexto escolar y social en el que ellos aprenden. El

Ministerio de Educación es el responsable de su diseño, aplicación y procesamiento de la

información, entregando orientaciones de apoyo a los establecimientos educacionales. A partir

del año 1988, alternadamente, se aplica el SIMCE a los 4º y 8º años básicos de todo el país que

tienen ocho alumnos o más en el curso. (SIMCE, 2010)

Hasta el año 2005, la aplicación de las pruebas se alternó entre 4º Básico, 8° Básico y 2°

Medio. A partir del año 2006, se evalúa todos los años a 4° Básico y se alternan 8° Básico y 2°

Medio. Desde el año 2010 se incorpora la evaluación en 3° Medio del subsector Inglés. (SIMCE,

2010)

Una vez contextualizado el estudio señalamos que en esta investigación se aplicó el

modelo de Análisis Envolvente de Datos (DEA) y el Índice de Malmquist para la medición de la

productividad del sector educacional, específicamente en lo que respecta al programa

MECE/RURAL y utilizando como variable básica de interés, los resultados de la prueba SIMCE.

De lo anteriormente señalado, se puede señalar que la técnica DEA permitió medir e identificar

las unidades escolares más eficientes en la aplicación de una política pública.

A continuación se explica la metodología aplicada y los fundamentos teóricos de los

modelos que se utilizan. Luego, se presentan los resultados obtenidos y las conclusiones sobre

la aplicabilidad de estas herramientas para la medición de la productividad en el sector

educacional, específicamente de las escuelas rurales insertas en el programa MECE/RURAL de

nuestro País. (MINEDUC, 1998)

2. Material y metodología de análisis

El proceso de evaluación de la eficiencia a través del modelo DEA se inicia con la

selección de las unidades de decisión que serán objeto de análisis, que en este estudio

corresponden a una parte de la matriz de datos levantada en el “Estudio de Evaluación de la

Línea de Educación Rural del Programa MECE” que fuera realizado por investigadores de la

Universidad Austral de Chile (1997).

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Los datos utilizados en el análisis provienen de una muestra probabilística de escuelas

rurales que forman parte de toda la población distribuida en las regiones del país. El total de la

muestra que fue de 504 escuelas se obtuvo a través de un muestreo estratificado con afijación

proporcional, bajo los criterios de 95% de confianza, con un error del 4% y asumiendo una

varianza teórica del 0,25.

Del total de escuelas señaladas anteriormente y después de la depuración de las bases

de datos consideradas en el análisis en el período 1999-2009 se consideraron para el estudio,

sólo 19 registros (escuelas) del total País.

En relación con los indicadores, las variables de entrada y los resultados del programa

MECE/RURAL, estimados para realizar la aplicación del método, estos son atribuibles a la

puesta en marcha del programa MECE/RURAL (endógena) y otras son propias del proceso

educativo, como los resultados de la Prueba SIMCE (exógena) tal y como se muestra en el

cuadro 1.

Cuadro 1: Indicadores de Input y Output educativos

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Fuente: Elaboración propia a partir de Miranda (2003)

El tratamiento metodológico del modelo que se utilizó para la obtención de los

resultados que a continuación se muestran, fue el Análisis Envolvente de Datos (DEA) y el

Índice de Malmquist en una aplicación al sector educacional, específicamente a las escuelas

rurales del programa MECE/RURAL. Con el objetivo de analizar la eficiencia interna de las

escuelas dentro de la muestra.

En lo que respecta al tratamiento informático de los datos, éste se realizó por medio

del programa DEAP (A Data Envelopment Analysis computer program) versión 2.1, desarrollado

por Tim Coelli, Centre for Efficiency and Productivity Analysis University of Queensland.

3. Marco de referencia del estudio

En la literatura pueden encontrarse diversas aserciones respecto a terminologías

importantes que se tratarán en este estudio. Según lo que señala Álvarez (2002) y citado por

Chirinos y Urdaneta (2007), la idea de comparar empresas según su comportamiento es de

indudable interés para el análisis económico. En este sentido surgen conceptos como los de

productividad y eficiencia, a los que recientemente se ha unido el de competitividad, por lo que

es de fundamental importancia la definición de estos conceptos, destacando sus diferencias.

Por lo cual debemos referirnos al trabajo de Farrell (1957), considerado el precursor de las

medidas modernas de la eficiencia. De acuerdo con Farrell, la eficiencia técnica nos indicará si

los recursos y la tecnología disponibles están siendo aprovechados de manera adecuada.

Por tanto, para cuantificar la eficiencia técnica será necesario considerar alguno de los

siguientes enfoques:

Orientación al producto: en este enfoque se tendrá como objetivo primordial medir la

eficiencia considerando la máxima producción alcanzable dada cierta cantidad de

insumos (eficiencia centrada en el producto).

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Orientación al insumo: la medida de la eficiencia debe estar en relación con la mínima

combinación de insumos posible para una cantidad de producción (eficiencia centrada

en el insumo).

La eficiencia es uno de los determinantes de la productividad: mientras que la eficiencia se

refiere a qué tan bien se desempeña una unidad productiva con la tecnología existente, la

productividad se refiere a la cantidad producida por insumo.

Según Álvarez (2002) y citado por Chirinos y Urdaneta (2007), la maximización del beneficio

exige que una empresa tome correctamente las tres decisiones siguientes:

Debe elegir la producción (Output) que maximice el beneficio, de todos los niveles de

producción posibles.

Debe elegir la combinación de insumos (inputs) que minimiza el costo de producción,

de entre todas las combinaciones de insumos que permiten obtener el producto

anterior.

La empresa debe producir el bien o servicio elegido con la cantidad mínima de insumos

posible, lo que es lo mismo, optimizar el uso de los recursos.

En este sentido establece el autor tres tipos de eficiencia:

Eficiencia de escala: cuando una empresa está produciendo en una escala de tamaño

óptima, que es la que le permite maximizar el beneficio.

Eficiencia asignativa: cuando la empresa combina los insumos en la proporción que

minimiza el costo de producción.

Eficiencia técnica: cuando la empresa obtiene el máximo de producción posible con la

combinación de insumos empleada.

En lo que concierne a Productividad esta se entiende como el ratio entre productos generados

e insumos utilizados por una unidad productiva (Sanin y Zimet, 2003). Por ende, la misma

puede variar tanto por diferencias en la tecnología existente, recogida en la función de

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producción, como por diferencias en la eficiencia del proceso productivo o por diferencias en el

entorno en que se produce.

Álvarez (2002) y citado por Chirinos y Urdaneta (2007), señala que estos términos son

usados en el sentido de que es bueno para las empresas una mejora en cualquiera de ellos, lo

que induce a que en ocasiones se usen de forma indistinta. Sin embargo, según este autor, eso

es un error, ya que no sólo los conceptos hacen referencia a aspectos diferentes de la

producción, sino que no es cierto que siempre sea bueno un aumento de los mismos. No

siempre una mejora en la eficiencia lleva asociada una mejora en la productividad y viceversa.

La clave está en entender que fijando una de las variables (input o output) ambos conceptos

son equivalentes, pero cuando ambos varían, la productividad se ve afectada necesariamente

por un efecto tamaño que incorpora la ley de los rendimientos decrecientes; esto implica que

mayores producciones, manteniendo la tecnología constante, sólo pueden alcanzarse a costa

de una menor productividad.

Para comprender mejor lo expuesto anteriormente, nos referiremos a lo que señalan

Guerrero y Rivera (2009) los cuales indican que resulta útil considerar un proceso de

producción en que solo se emplea un insumo para elaborar un producto.

La relación entre la cantidad del producto y la cantidad del insumo puede interpretarse

gráficamente, como se muestra en el gráfico 1, donde la curva OB representa la frontera de

producción. La eficiencia quedará definida al comparar la producción observada con respecto a

esa frontera, es decir, que a las empresas que operen por sobre la frontera se las considerará

técnicamente eficientes.

Por ejemplo, si una empresa opera en el punto A del gráfico 1 se puede deducir

fácilmente que es ineficiente, pues podría incrementar su producción hasta el punto B

empleando la misma cantidad de insumos, o bien producir lo mismo usando menos insumos

(punto C). De acuerdo a la definición de productividad analizada anteriormente, esta quedaría

representada por la pendiente de la recta que parte del origen y pasa por el punto en cuestión.

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De esta manera, se puede observar que las empresas eficientes son también más productivas,

pues, como se aprecia en el gráfico 1, las pendientes de las rectas OB ó OC (puntos eficientes)

son mayores que las de la recta OA.

Figura 1: Métodos de Estimación Frontera de Producción

Fuente: Esteban, J. y Coll, V. (2003)

Después de haber establecido lo que se entenderá por eficiencia y productividad se

revisará los modelos de frontera que son útiles para el análisis de la eficiencia relativa. En

estudios empíricos sobre análisis de fronteras se distinguen tres enfoques: el análisis

envolvente de datos, los modelos de fronteras de producción estocástica y aquellos que usan

las técnicas estadísticas multivariadas (componentes principales y análisis de factores,

principalmente). En tanto los dos primeros fueron desarrollados explícitamente para el estudio

empírico de las fronteras para determinar una jerarquización de las unidades (individuos,

entidades) en términos de las eficacias productivas, el tercero no es sino una utilización de las

características básicas de esas técnicas.

4. Modelos de frontera: Fundamentos teóricos y metodológicos

La metodología frontera parte de la existencia de una frontera que estará representada

por una función que puede ser de producción, de beneficios o de costos y que se puede

estimar a través de técnicas de carácter paramétrico o no paramétrico.

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La Figura 1 siguiente muestra una descomposición del método de Esteban y Coll (2006).

Gráfico 1 Fronteras de producción y eficiencia técnica

Fuente: Revista Cepal-Cambio en la productividad total, Guerrero y Rivera (2009)

A continuación describiremos los modelos no paramétricos que son base fundamental

de nuestro estudio.

5. Modelos no paramétricos

ERIAS REY (1998) explica que los modelos no paramétricos a diferencia de los modelos

paramétricos, pretenden estimar una frontera de producción eficiente sin una forma funcional

explícita previa (Cobb-Douglas, translog, entre otras), con el objeto de identificar la eficiencia

técnica y la eficiencia asignativa del conjunto de observaciones objeto de estudio.

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ÁLVAREZ (2002) señala que la metodología no paramétrica para medir los índices de

eficiencia siguen tres pasos:

Descripción de los supuestos de las propiedades de la tecnología de producción

que permiten establecer aquellos planes de producción que se consideran

realizables;

Definición del tipo de índice que se desea estimar y;

La construcción de un programa matemático que calcule el índice que se desea

estimar.

En cuanto a las propiedades de la tecnología de producción, éstas permiten describir la

tecnología con la que se realiza la actividad de producción, es decir delimitar el conjunto de

planes de producción que se consideran tecnológicamente realizables.

ÁLVAREZ (2002) dice: "La caracterización no paramétrica de la tecnología se completa

formulando una serie de supuestos adicionales acerca de las propiedades teóricas que

satisface la tecnología. Por lo tanto, el hecho de aceptar los supuestos implica incluir en el

Conjunto de Posibilidades de Producción (CPP) algunos procesos productivos que no han sido

realmente observados”.

Algunos de los supuestos definidos son:

1. Es tecnológicamente posible no producir nada.

2. Si dos procesos productivos pertenecen al CPP, todas las combinaciones lineales de estos

dos procesos, también pertenecen al conjunto CPP

3. Hay dos versiones sobre la eliminación de inputs:

a. La versión estricta, que establece que es posible desechar el exceso de inputs a coste

cero. Una unidad productiva es capaz de producir la misma cantidad de Output

utilizando una cantidad mayor de cualquier input.

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b. La versión débil, establece que es posible mantener el nivel de producción siempre que

se produzca un incremento equiproporcional en la cantidad empleada de todos los

inputs.

4. Rendimiento constante de escala, implica re-escalar la actividad de cualquier proceso

productivo perteneciente al conjunto de procesos productivos.

Para ambos casos (paramétrico y no paramétrico) se interpretará como unidades

eficientes aquellas que se localicen sobre la frontera de producción, de beneficios o de costes,

e ineficientes las que se sitúen por debajo de la función de producción y de beneficios o por

encima de la frontera de costes. La frontera de producción es aquella función que determina el

producto máximo que se puede alcanzar dada una cierta combinación de recursos.

La medición de la eficiencia se basa principalmente en comparar la actuación real de

una empresa con respecto a un óptimo, es decir, comparar lo que hace la empresa con lo que

debería haber hecho para maximizar el beneficio.

La técnica de frontera genera una superficie o frontera en un espacio que tiene como

ejes a los recursos o factores productivos y a los productos y servicios que genera como ejes

adicionales.

La técnica de frontera genera una superficie o frontera en un espacio que tiene como

ejes los insumos y los productos, tal y como se muestra en el gráfico 1. En el espacio de entrada

y salida cada punto representa una entidad, la línea segmentada ilustra la frontera eficiente,

generada por un modelo probando cada entidad en particular, en relación con su eficiencia.

Cada vértice de la frontera es una entidad que destaca sobre el resto, el conjunto de

posibilidades de producción; es decir, los puntos ubicados por debajo de ella representan el

espacio en el cual es factible que se sitúen las entidades afines (Mercado et al., 1998).

Las entidades situadas en la frontera tienen valores de eficiencia o productividad en el

modelo de optimización iguales a 1 (100%). Sin embargo sólo se consideran eficientes, si las

restricciones se satisfacen en el sentido estricto.

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Con lo estudiado anteriormente, se ha llegado a definir una frontera eficiente

compuesta de aquellos procesos que permiten obtener el mayor producto dado un conjunto

de inputs, o bien, obtener el mismo producto reduciendo el vector de inputs. Estas dos

orientaciones se las denomina input y output y son las que se emplean para llegar a la frontera

eficiente.

Dentro de los modelos no paramétricos se encuentra el DEA (acróstico de Data

Envelopment Analysis) cuyo marco conceptual-metodológico se desarrollará a continuación.

6. Análisis envolvente de datos (DEA)

La metodología empleada en este estudio para medir las eficiencias comparativas y

determinar cambios de productividad, se denomina Análisis Envolvente de datos y

corresponde a una importante y altamente fructífera herramienta basada en técnicas de

programación lineal con que se producen bienes y se proporcionan servicios. Es una

metodología eminentemente comparativa, ya que entrega medidas de eficiencia para cada

Unidad de toma de decisión (DMU por sus siglas en Inglés) comparándola con cada una de las

restantes DMU que conforman la muestra. Se asume que cada DMU emplea unos recursos

(input) para entregar productos (output) y aquellas DMU que se incluyen en los modelos se

asumen como homogéneas, es decir emplean el mismo tipo de entrada para producir los

mismos tipos de salida.

Las medidas de eficiencia corresponden a la relación de las salidas sobre las entradas,

las cuales se ponderan para cada DMU, logrando para cada una los mejores índices de

eficiencia, lo cual da la ventaja fundamental sobre cualquier otra técnica de las técnicas

tradicionales- Igualmente permite trabajar unidades que producen varias salidas haciendo uso

de diversos insumos.

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Los pesos ponderados asignados a las entradas y salidas, se obtienen a través de

modelos de programación lineal, que a través de restricciones, evitan que las eficiencias

superen el 100%.

La técnica DEA fue desarrollada inicialmente por Charnes, Cooper y Rodhes en 1978,

para calcular el índice de eficiencia técnica, resolviendo un programa matemático de

optimización el cual puede ser considerado como una aplicación al caso de múltiples outputs

del análisis tradicional de ratios propuesto por Farrell en 1957.

El análisis de frontera permite comparar unidades de ejecución en una organización o

sector, basado exclusivamente en las mediciones de entrada (insumos) a la unidad y en su

desempeño medido en sus salidas (productos).

Cuando se tiene un insumo (entrada) para obtener un producto (salida), la eficiencia de

la unidad de decisión, está dada por: EF = Y/X, donde: Y= output; X= input

En caso de que se utilice más de un insumo (entradas) para producir varios productos

(salidas), se deben ponderar tanto las entradas como las salidas, obteniéndose la siguiente

definición para la eficiencia del DMU: EF = aiYi / biXi

La frontera de eficiencia está conformada por aquellas DMU eficientes, es decir, está

determinada por el número máximo de productos que se pueden fabricar utilizando diversas

combinaciones de recursos, con los mínimos costos de producción. Después que se obtiene la

función de producción, se compara cada unidad del conjunto de producción con la frontera,

bajo el supuesto que las desviaciones existentes son comportamientos ineficientes de

producción.

De acuerdo con las características del caso que se desea estudiar, se puede medir la

eficiencia de un DMU: la orientada a la entrada cuando se minimiza la cantidad de insumos

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(recursos) utilizados para obtener el mejor nivel de producción; y, orientada a la salida, cuando

se maximiza la cantidad de productos elaborados usando un nivel fijo de insumos.

Existen tres tipos de estimación disponibles cuando se utiliza un solo insumo y un solo

producto, a saber: retornos constantes a escala, retornos no crecientes a escala y retornos

variables a escala. De ellas debe resaltarse que la forma de estimación más exacta es la de

retornos variables a escala.

A través del DEA se puede construir una frontera o un hiperplano de producción que

permita medir la eficiencia relativa de un conjunto de unidades de decisión que producen

similares productos a partir de un conjunto común de insumos. La eficiencia se puede medir en

términos de insumos, donde la cantidad utilizada de insumos es la variable que se puede

alterar, ya que el nivel del output es considerado como un valor dado; o bien en términos de

producción, interpretándose como la cantidad máxima de producción que se alcanzaría a partir

de un conjunto de insumos dado (Seijas, 2004).

La técnica DEA ofrece información muy completa e individualizada de las unidades de

decisión analizadas y permite conocer aspectos de interés tanto de las empresas eficientes

como de las ineficientes. Junto a esto, permite incorporar variables no discrecionales, de

naturaleza categórica o, incluso, añadir información procedente de opiniones de expertos, para

delimitar el conjunto de empresas eficientes.

De un modo general, se puede establecer que el DEA es una técnica encaminada a la

evaluación de la eficiencia de una serie de elementos objeto de estudio habitualmente

denominados DMU, siendo los elementos de juicio para dicha evaluación múltiples variables de

entrada y de salida para cada una de las DMU consideradas. En contraste con los tradicionales

métodos paramétricos, cuyo propósito es optimizar un ajuste de regresión a los referidos

datos, el DEA realiza una optimización para cada observación individual, con el objetivo de

calcular una frontera constituida por intervalos graduales y delimitados por un conjunto de

DMU´s eficientes.

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En estas condiciones, el DEA produce una superficie de producción extrema de carácter

empírico, la cual en términos económicos representa la que se muestra como la frontera de la

mejor práctica productiva posible; es decir, la máxima salida empíricamente obtenible para

cualquier DMU en la población observada, dado su nivel de entradas. Para cada DMU

ineficiente (cualquiera que se encuentre bajo la frontera), el DEA identifica las fuentes y el nivel

de ineficiencia para cada una de las salidas y de las entradas. El nivel de ineficiencia se

determina por comparación respecto a una DMU de referencia o respecto a una combinación

convexa de otras DMU de referencia situadas en la frontera eficiente, que utilicen el mismo

nivel de entradas, y que produzcan el mismo o un mayor nivel de salidas.

El cuerpo conceptual y metodológico del DEA encuentra su implementación práctica en

una serie de modelizaciones, que en función de sus diferentes concepciones, arrojan

resultados que dan pie a una variedad de posibilidades interpretativas. A la hora de decantarse

por un modelo concreto es preciso fundamentalmente, considerar dos cuestiones. Por un lado

definir la caracterización geométrica de la frontera empírica que determinará la práctica de

mayor eficiencia. Ésta frontera puede ser convexa o no, lo cual es equivalente a decir que el

modelo seleccionado permita la consideración de retornos de escala variables (en el caso de

frontera convexa) o constantes (en el caso de frontera no convexa). La otra cuestión objeto de

consideración es si se debe orientar la formulación del modelo hacia la consecución de una

maximización de las salidas, una minimización de las entradas o bien otorgar el mismo énfasis

al conjunto de entradas-salidas (Chirinos y Urdaneta (2007).

Utilizando técnicas de programación lineal, se traza una frontera de eficiencia (Gráfico

2) que se construye a partir de las DMU´s más eficientes y que define el nivel máximo de

output que pueden conseguir con los inputs utilizados. Las DMU´s más eficientes son aquellas

que se sitúen en la frontera eficiente, previamente calculada por el modelo (Pedraja y Salinas

1994).

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Gráfico 2 Output orientados al DEA

Fuente: Pedraja y Salinas 1994, El Análisis Envolvente de Datos (DEA) y su aplicación al Sector Publico: una nota introductoria

La formulación del modelo matemático DEA, en forma de programación lineal,

considerando la notación de MIRANDA (2003) es la siguiente:

Sujeto a:

(1)

c=1,…,p,…,z y Vi, Wk >0 i y j

Yic y Xkc son respectivamente los valores observados de outputs e inputs de las "j"

DMUs de la muestra; así las variables de ponderación o soluciones del modelo serían Vi y Wk.

La optimización produce un conjunto de valores positivos o nulos que denominaremos V* y

W*, que generarán el óptimo, para la función de máximo igual a 1. Por tanto, la función

objetivo siempre tomará valores entre 0 y 1 para las distintas unidades estudiadas.

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ici XWYV11

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kpi XW

Para resolver la ecuación anterior (1), es necesario convertir el modelo a una forma

lineal equivalente, fijando el denominador a una constante (la unidad) y maximizando el

numerador de la siguiente forma:

Sujeto a: (2)

para c=1,…,p,…,z

y

Vi, Wk >0 i y j

La importancia de los resultados de la metodología propuesta se ve reflejada cuando

esta permite identificar las unidades escolares en las que se están usando eficientemente los

recursos.

Finalmente se señala una clasificación de los modelos DEA, siguiendo a autores como

Coll y Blasco (2006), entre otros.

7. Caracterización de los modelos DEA

Los modelos DEA pueden ser clasificados, básicamente, en función de:

a) El tipo de medida de eficiencia que proporcionan: modelos radiales y no radiales.

b) La orientación del modelo: input orientado, output orientado o input-output

orientado.

c) La tipología de los rendimientos a escala que caracterizan la tecnología de producción,

entendida ésta como la forma (procedimientos técnicos) en que los factores

productivos (inputs) son combinados para obtener un conjunto de productos (outputs),

de tal forma que esa combinación de factores puede caracterizarse por la existencia de

rendimientos a escala: constantes o variables a escala.

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Dentro del contexto anterior, se exponen los modelos DEA básicos, DEA-CCR y DEA-BCC:

Modelos CCR, que supone rendimientos a escala constantes. Fueron establecidos

por Charnes, Cooper y Rhodes (1978) como programas fraccionales lineales que

pueden ser formulados y resueltos como programas lineales.

Modelos BCC, que estiman la frontera de producción con rendimientos variables,

haciendo posible rendimientos a escala constantes, crecientes y decrecientes en

diferentes tramos de aquella. Fueron introducidos por Banker, Charnes y Cooper

(1984).

En ambos tipos de modelos se pueden distinguir dos orientaciones: output e input. La

primera se ocupa del máximo movimiento hacia la frontera vía proporcional aumento de los

outputs, mientras que la segunda se centra en el máximo movimiento hacia la frontera a través

de una reducción proporcional de los inputs.

Por lo tanto, parece razonable suponer que la obtención de mejores niveles de

producción a partir de los recursos disponibles es el objetivo más adecuado. Por otro lado, BCC

o rendimientos variables a escala porque la medida de eficiencia obtenida es una medida de

eficiencia técnica pura, es decir, netas de cualquier efecto escala, aunque también se aplicará

el modelo DEA-CCR para poder descomponer la eficiencia técnica global en eficiencia técnica

pura y eficiencia de escala.

En el gráfico 3 se ilustra el caso de dos unidades A y B que a partir de un único input

obtienen un único output. Se han representado la frontera de rendimientos constantes y la de

rendimientos variables a escala. Considerando una Orientación Output, puede observarse

como la eficiencia de la unidad B viene dada por el cuociente CB/CB2 bajo los supuestos de

rendimientos constantes a escala (RCE), mientras que si la unidad B opera con tecnología de

rendimientos variables, la eficiencia vendría dada por CB/CB1.

Gráfico 3 Rendimientos Constantes y Variables de Escala

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erec

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or Res

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2511

La diferencia entre una medida y otra, es decir, la distancia B2B1, es la eficiencia de

escala (EE), que puede ser interpretada como la parte de la ineficiencia presente en la

eficiencia técnica global (ETG) que obedece a la escala de producción de la unidad que se

evalúa, es decir, es el resultado de descontar a la ETG la eficiencia técnica pura (ETP). Por lo

tanto, ETG = ETP · EE.

Si EE = 1 entonces ETG = ETP, lo que indica que la unidad no presenta ineficiencias de

escala y por lo tanto, opera en una escala óptima.

El modelo DEA- CCR, Orientación Output en su forma envolvente puede expresarse de

la siguiente forma:

Max Zo = + ε (Is+ + Is-)

y

x

B

A

C

B1

B2

RVE

RCE

Fuente : Esteban, J. y Coll, V. (2006)

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2512

Sujeto a:

yo – Y + s+ = 0

(3)

X + s- = xo

,s+, s- ≥ 0

Donde s+ y s- representan las variables de holgura, l es un vector fila cuyas

componentes son todas igual a la unidad y ε es un infinitésimo no-arquímedeo.- La idea de esta

formulación es maximizar la suma de las variables de holgura Is+ + Is- , entre aquellas

soluciones que maximizan . Al multiplicar esta suma por un ε suficientemente pequeño como

para no alterar el valor , se le asigna una prioridad menor a la maximización de las variables

de holgura frente a la maximización de .

Entonces, para determinar la eficiencia de una unidad se examinan todas la

combinaciones lineales de las otras unidades que consumen como máximo tanto como la

unidad que se está analizando en las m dimensiones del input y que a lo largo de las s

dimensiones del output produzcan una cantidad mayor de outputs.

indica la proporción en la que todos los outputs podrían aumentarse mientras se

mantienen los inputs constantes si la unidad analizada actuara también como la unidad

hipotética con la que es comparada. Más aún, podría haber una actuación mejor de algún input

y output si alguna de las variables de holgura fueran positivas. Por lo tanto, una unidad es

eficiente si * = 1 y todas las variables de holgura son cero. Una unidad es ineficiente si * > 1

y/o las variables de holgura son no nulas. La eficiencia técnica output de la unidad evaluada

será igual a 1/.

El modelo DEA-BCC, en su forma envolvente, permite determinar la puntuación de

eficiencia técnica pura (ETP) y su formulación matemática orientación output es la siguiente:

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2513


Sujeto a:

Yo – Y + s+ = 0

(4)

X + s- = Xo

I = 1

,s+, s- ≥ 0

A diferencia del modelo (3) este problema añade una restricción adicional, restricción

de convexidad, I = 1 pero a igual que el modelo (3) en este modelo la eficiencia técnica

output, que en este caso es la eficiencia pura, viene dada por 1/ e indica en qué medida los

niveles outputs de la unidad que se está analizando pueden ser aumentados radialmente dado

sus niveles de inputs. La unidad será evaluada como eficiente si y solo si = 1 y las variables de

holgura son todas nulas. A partir de los valores óptimos de la solución para cada unidad del

modelo (2) pueden determinarse valores objetivos, conjuntos de referencia para las unidades

ineficientes, porcentajes de mejora input/output, porcentajes de contribución input/output,

etc.

Por otro lado, para determinar si los rendimientos a escala son constantes (CRS),

crecientes (IRS) o decrecientes (DRS) se seguirá a Färe et al. (1985) quienes sugieren un

método de dos pasos para estimar los retornos a escala. Si la EE =1 indica que la unidad que se

evalúa tiene rendimientos constantes a escala y si EE < 1 indica que puede tener rendimientos

crecientes o decrecientes. Cuando EE < 1 se resuelve el programa lineal ( 1 ) pero con la

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2514

restricción I ≤ 1 para determinar si la ineficiencia de escala se asocia con IRS o DRS. Este es

el modelo NIRS (Non Incremental Return to Scale), ya que al agregar esta restricción no se

permiten rendimientos crecientes a escala. Por lo tanto, se tienen tres modelos el CRS o

rendimientos constantes a escala, el VRS o rendimientos variables a escala y el NIRS.

Entonces si:

Los modelos CRS, VRS y NIRS producen exactamente la misma medida de

eficiencia, entonces la unidad exhibe rendimientos constantes a escala.

La eficiencia de los modelos CRS y NIRS son iguales y menores que la eficiencia del

modelo VRS, entonces la unidad tiene rendimientos locales crecientes en la región

de la frontera.

La eficiencia de los modelos VRS y NIRS son iguales y mayores que la eficiencia del

modelo CRS entonces la unidad presenta rendimientos locales decrecientes en la

región de la frontera.

Además, cuando se resuelven estos modelos, cada unidad que resulta eficiente obtiene

una puntuación del 100% o la unidad, las unidades ineficientes tienen una puntuación menor

por lo que su ordenación no presenta problema. El método DEA no jerarquiza las unidades que

resultan eficientes por lo que en este trabajo se recurre a dos métodos planteados en la

literatura para poder ordenar las unidades eficientes, ya que no necesariamente todas las

eficientes son igualmente eficientes. Uno de los métodos es el Global Leader y el otro es el de

la Puntuación de Supereficiencia.

i) Global Leader. Este método introducido por Oral y Yolalan (1990) destaca a la unidad

que puede ser considerada como la que presenta mejor rendimiento. Consiste en

detectar las unidades que aparezcan con mayor frecuencia en los conjuntos de

referencia de las unidades ineficientes. Si una unidad eficiente no actúa como

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2515

referencia de ninguna de las restantes unidades ineficientes puede significar que dicha

unidad eficiente solo lo es en un sector o bien que posee una combinación

input/output muy poco común.

ii) Puntuación de Supereficiencia. Propuesto por Andersen y Petersen (1993) consiste en

comparar la unidad que se está analizando, con una combinación lineal de todas las

otras unidades que se están considerando, donde la unidad que se analiza (unidad o)

es excluida.

Este modelo se propone para rendimientos constantes a escala y es el

siguiente:


Sujeto a:

Σ j Xj + s- = xo

jo

(5)

yo-Σ j Xj + s+ = 0

jo

s- ,s+, j ≥ 0

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2516

8. Índice de MALMQUIST

El análisis de rendimiento descansa en el concepto de función de distancia, que por su

capacidad para caracterizar la tecnología de producción, se está convirtiendo en la actualidad

en la piedra angular del análisis de eficiencia y productividad en las actividades. (Álvarez, 2002).

La formulación del modelo se realiza a través del concepto de función de distancias y

su aplicación para definir índices de productividad. La instrumentación empírica exige

caracterizar la tecnología empleando la técnica de optimización del análisis envolvente de

datos (DEA).

Mientras la metodología DEA emplea lo que se denomina, en la literatura, “funciones

distancia”, que representan la inversa de la medición original de Farrell (1957) de eficiencia

técnica. Esta metodología utiliza solamente información sobre cantidades, tanto de los

productos, como de los insumos empleados.

Los Índices Malmquist fueron introducidos originalmente en el ámbito de la teoría del

consumo. Esta propuesta fue posteriormente aplicada a la medición de la productividad, por

Caves, Christensen y Diewert (1982), en un contexto de funciones de producción, y por Färe et

al 1994), en un contexto (DEA) no paramétrico.

Este índice permite medir el crecimiento de la productividad entre dos períodos t y t+1.

La metodología de Índices de Malmquist propuesta por Caves, Christensen y Diewert (1982), se

basa en el cálculo de la distancia que separa a cada DMU de la tecnología de referencia en cada

período utilizando para ello la función distancia (calculada mediante la técnica DEA).

El cálculo del Índice de Malmquist es uno de los métodos más utilizados para analizar la

evolución de la productividad y sus componentes a lo largo del tiempo. Dado que solamente se

necesitan datos relativos a cantidades, no es necesario realizar supuestos sobre la forma

funcional de la función de producción y permite descomponer la productividad total de los

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2517

factores de una unidad productiva en el cambio debido a la mejora de la eficiencia técnica (y

ésta a su vez en eficiencia pura y eficiencia de escala) y el debido al cambio técnico o progreso

tecnológico. Es por ello que ha sido extensamente utilizado en el sector público.

La representación gráfica del Índice de Malmquist es posible si consideramos

nuevamente el proceso de producción de un producto mediante el empleo de un insumo. En el

gráfico 4 se muestran las “distancias” que deberán obtenerse para medir el cambio que existió

entre la productividad desde el punto E (t+1) al D (t), considerando como fronteras las

tecnologías de ambos períodos.

Gráfico 4 Representación gráfica del Índice de Malmquist

Fuente: Coelli, D.S. Prasada Rao y G.E. Battese, An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis, Boston,

Kluwer Academic Publisher, 1998.

Una de las ventajas de esta metodología es que no requiere información sobre precios

y solamente utiliza datos sobre unidades físicas de insumos y de productos.

Tampoco requiere hacer supuestos sobre maximización de beneficios o,

alternativamente, sobre minimización de costos, y está libre de los errores de una mala

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2518

especificación en la forma funcional. Sin embargo, una de sus debilidades es que no distingue

entre “noise” e ineficiencia técnica, como ocurre en las estimaciones realizadas a través de

fronteras estocásticas. Cualquier desviación de la frontera sería considerada, en este caso,

como ineficiencia. Debido a ello, los shocks externos desfavorables, que afecten la

performance de una economía, serían captados como ineficiencias (al no computar los efectos

aleatorios, la metodología DEA podría sobreestimar la medición de aquéllas).

En lo que sigue se emplea la propuesta de Färe et. al. (1994), que hace uso de las

funciones distancia. Estos autores miden el crecimiento de la productividad como una media

geométrica de dos índices de productividad Malmquist. (Caves et. al., 1982)

NAVARRO (1999) explica que el Índice de Malmquist puede establecerse desde dos

enfoques:

1) El Índice de Malmquist de productividad basado en el output y;

2) El Índice de Malmquist de productividad basado en el input

El primer caso; analiza las diferencias de productividad como las diferencias en el máximo

output alcanzable dados unos niveles de inputs. El segundo caso; analiza las diferencias de

productividad como las diferencias en el mínimo nivel de inputs que permite producir unos

niveles de outputs determinados.

CAVES et. al. (1982), quien demuestra que ambos índices proporcionan idénticos

resultados tan sólo en el caso de que los rendimientos a escala sean constantes.

La función de distancia en insumos se define con respecto a dicha tecnología como:

t

CCR

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i TyxyxDC ),(:min),(

(6)

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2519

Donde t

CCRT representa la tecnología CCR que satisface los supuestos formulados en el

trabajo de Charnes, Cooper y Rhodes (1978), el conjunto de procesos productivos que se

consideran factibles bajo dichos supuestos (rendimientos constantes a escala, eliminación

gratuita de insumos y producción). La función de distancia indica la proporción a la que pueden

reducirse todos los inputs para obtener la misma productividad que la empresa más

productiva, siendo por tanto una medida de productividad relativa.

Esta función se define coma la inversa de la expansión proporcional máxima del vector

de outputs yt, dados los inputs xt, para que el individuo (xt,yt) sea eficiente y se encuentre

situado en la frontera del período t. DCt(xt, yt ) toma valores inferiores a la unidad, si y sólo si,

(xt, yt), y toma el valor unitario, si y sólo si, (xt,yt) se sitúa en la frontera de producción. En este

último caso, la unidad evaluada será técnicamente eficiente.

Dado que se trata de comparar la evolución de la productividad, el Índice de Malmquist

precisa funciones de distancia con respecto a diferentes períodos de tiempo. Así, en un período

posterior t+1, la función de distancia se define como:

t

CCR

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i TyxyxDC ),(:min),( 11111

(7)

Esta función mide el máximo cambio proporcional en los outputs necesario para que

(xt+1,yt+1) sea factible con la tecnología del momento t. En este caso, el valor de la función

distancia puede exceder la unidad, debido a que la observación evaluada no es posible con la

tecnología de otro período.

A partir de estas funciones de distancia, Caves, Christensen y Diewert (1982) definen el

índice de productividad de Malmquist el cual mide la variación acontecida en la productividad

relativa de una empresa entre dos períodos, manteniendo fija la tecnología; es decir, la escuela

que se utiliza como referencia óptima:

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2520

),(

),( 11

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

it

CCDyxDC

yxDCM

(8)

Un índice t

CCDM > 1 indica que la productividad en el período t+1 es superior a la del

período t, puesto que la expansión necesaria en los outputs del período t+1 para que la

observación sea factible en t es inferior a la aplicable a los outputs del período t. Por el

contrario, un t

CCDM < 1 indica que la productividad ha descendido entre los períodos t y t+1.

De la misma manera se puede definir este índice referido al período t+1, para lo cual se

deben utilizar las correspondientes funciones distancia, de forma que:

),(

),(1

1111

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

it

CCDyxDC

yxDCM

(9)

Con el fin de evitar caer en la arbitrariedad de optar por mantener el periodo de

referencia en t o en t+1, es habitual tomar la media geométrica de los dos índices

anteriormente expresados.

2

1

1

1111111

),(),(

),(),(),,,(

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

it

i

t

i

t

i

t

iCCDyxDCyxDC

yxDCyxDCyxyxM

(10)

En el caso de que ),,,( 11 t

i

t

i

t

i

t

iCCD yxyxM , ese incremento en la productividad relativa

de la empresa puede deberse a varias causas. En primer lugar es posible que la empresa haya

mejorado de hecho su eficiencia relativa, la empresa ha mejorado más que la empresa óptima.

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2521

En segundo lugar, es posible que la tecnología disponible haya mejorado, pero se debe

recordar que se ha mantenido fijo el referente tecnológico. Färe et. al. (1994) propusieron una

descomposición del índice que permite separar ambas fuentes de variación en la

productividad:

21

1

11111

1

11111

),(),(

),(),(

),(

,(),,,(

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

it

i

t

i

t

i

t

iCCDyxDCyxDC

yxDCyxDC

yxDC

yxDCyxyxM

1,

,

1,

11

*

* ),,,(

tt

iCCR

tt

i

t

i

t

i

t

i

t

iCCD

EF

técnicocambioeficiencialaencambioyxyxM

(11)

El primer cociente de la expresión refleja el cambio que se ha producido en la eficiencia

relativa de la empresa, variación en la distancia que la separa de su frontera contemporánea;

mientras que el segundo término (entre corchetes) refleja el cambio en la productividad que

puede atribuirse al movimiento de la frontera CCR de la empresa de comparación entre los

periodos t y t+1. Nótese que, aunque este último componente se refiere al cambio técnico,

aparece con el indicador de la empresa i, puesto que para su cálculo se parte de los vectores de

actividad de dicha empresa. Por tanto, el índice de cambio técnico mide el desplazamiento de

la frontera al nivel de output producido por la empresa evaluada definiéndose como una media

geométrica con el fin de evitar decidir el nivel de actividad de referencia. Si han existido

mejoras tecnológicas, tendrá un valor superior a uno.

Por lo tanto, un Índice de Malmquist superior a la unidad indica mejoras de la

productividad, mientras que si toma valores inferiores a la unidad, implica pérdidas.

Además, debe tenerse en cuenta que, aunque el producto del cambio en la eficiencia

técnica y el cambio técnico debe ser, por definición, igual al Índice de Malmquist, estas dos

componentes pueden tener comportamientos en direcciones opuestas.

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2522

El índice de cambio en la eficiencia puede ser a su vez descompuesto en un índice de

cambio en la eficiencia pura calculado con respecto a la tecnología con rendimientos variables

y un índice residual de cambio en eficiencia de escala. Siendo,

t

CCR

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i TyxyxDV ),(:min),(

(12)

La función de distancia definida con respecto a la tecnología TtBCC, que corresponde con

los supuestos formulados en Banker, Charnes y Cooper (1984). Al abandonar el supuesto de

rendimientos constantes, es posible construir un índice de eficiencia de escala comparando las

dos funciones de distancia definidas anteriormente,

),(

),(),(

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

it

i

t

i

t

iyxDV

yxDCyxEE

(13)

Y por lo tanto,

1,1,111111111

1 *),(

),(

),(

),(

),(

),(

tt

i

tt

it

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

it

i EEEPyxEE

yxEE

yxDV

yxDV

yxDC

yxDCEF

(14)

Con lo que el Índice de Malmquist queda descompuesto en tres índices que miden la

variación en la eficiencia pura (relativa a la frontera con rendimientos variables), en la

eficiencia de escala (posición relativa del referente en la frontera con rendimientos variables

con respecto al óptimo en la frontera con rendimientos constantes) y un índice de cambio

técnico (que refleja el desplazamiento de la frontera de rendimientos constantes).

Es posible mejorar la descomposición de Färe et al.(1994) separando dos componentes

del índice de cambio técnico. Ray y Desli (1997) propusieron calcular el índice de cambio

técnico utilizando como referencia la tecnología de rendimientos variables. La diferencia entre

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2523

los índices de cambio técnico de Färe et al. (1994) y de Ray y Desli (1997) puede recogerse en

un índice residual de cambio de escala (en qué medida la posición del referente sobre la nueva

frontera con rendimientos variables se acerca más al tamaño óptimo reflejado en la frontera

con rendimientos constantes), como sugieren Simar y Wilson (1996) y Zofío y Lovell (1998),

quedando de la siguiente forma.

1tt,

i

1tt,

iBCC,

1tt,

i

1tt,

i

21

1111

11

21

1111

11111111

21

1111

1111111

E*T*EE*EP

),(),(

),(),(

*),(),(

),(),(

),(

),(

),(

),(

),(),(

),(),(

),(

),(),,,(

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

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i

t

i

t

i

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i

t

i

t

i

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i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

it

i

t

i

t

i

t

iCCD

yxEEyxEE

yxEEyxEE

yxDVyxDV

yxDVyxDV

yxEE

yxEE

yxDV

yxDV

yxDCyxDC

yxDCyxDC

yxDC

yxDCyxyxM

(15)

Para calcular el Índice de Malmquist es necesario resolver las funciones de distancia

correspondientes a través del DEA. Así, el cálculo del Índice de Malmquist requiere buscar la

solución de cuatro programas de optimización para las n unidades productivas. En notación

matricial tenemos que:

Programas Programación Lineal (PL)

PL 1: max,(1

0

tt

t YXDC

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2524

Sujeto a:

0

0

0

0

0

tt

tt

Xx

Yy

(16)

Donde x0t y y0t son los vectores de inputs y outputs asociados a la unidad 0 y λ es un

vector de pesos que de forma flexible ponderan las matrices Xt y Yt. El parámetro indica la

máxima proporción en la que los outputs de la unidad 0 pueden ser expandidos tal que

(x0t,y0t/) siga siendo factible tomando en consideración el desempeño del resto de unidades

(Xt,Yt).

Los otros tres programas son:

PL 2: max,(1

11

1

0

tt

t YXDC

Sujeto a:

0

0

0

1)1(0

1)1(0

tt

tt

Xx

Yy

(17)

PL 3: max,(1

110

tt

t YXDC

Sujeto a:

0

0

0

)1(0

)1(0

tt

tt

Xx

Yy

(18)

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2525

PL 4: max,(11

0

tt

t YXDC

Sujeto a:

0

0

0

10

10

tt

tt

Xx

Yy

(19)

En los últimos dos programas la eficiencia se calcula con las unidades de un período

pero tomando como referencia la frontera productiva de otro período. Ello puede suponer que

pueda tomar valores menores que la unidad, lo que no se produciría en datos de sección

cruzada. Para el cálculo de la eficiencia de escala los dos primeros programas deben ser

calculados también asumiendo rendimientos variables a escala añadiendo la restricción de que

Σ λn = 1.

9. Resultados

Con la finalidad de calcular el Índice de productividad de Malmquist, se determinaron

en primer lugar los índices de eficiencia de cada una de las escuelas rurales analizadas para los

períodos estudiados (T0=1999y T1=2009), mediante el análisis envolvente de datos (DEA). Se

utilizó una orientación a la salida (maximización de outputs) y se analizaron los modelos de

rendimientos constantes a escala (CRS, por sus siglas en inglés) propuesto por Charnes, Cooper

y Rhodes (1978) y de rendimientos variables a escala (VRS, por sus siglas en inglés) propuesto

por Banker, Charnes y Cooper (1984).

Tomando como base las distancias de cada uno de los períodos con respecto a la

frontera de rendimientos constantes y rendimientos variables a escala, calculadas mediante el

DEAP, se determinó el Índice de Malmquist según fórmula original y posteriormente se realizó

la descomposición de este índice en los índices de eficiencia técnica y eficiencia relativa y este

a su vez en eficiencia pura y eficiencia de escala, según lo propuesto por Färe et al (1994).

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2526

10. Medición de la eficiencia en las escuelas rurales

En el Cuadro 4 se puede notar que en los dos períodos estudiados las escuelas que

alcanzaron la eficiencia de escala fueron las DMU´s 3,6 8, 12, 15 y 17. Estas escuelas fueron las

únicas que resultaron eficientes al considerar tanto la frontera de rendimientos constantes

como la de rendimientos variables a escala. (Ver apéndice 1 para visualizar los DMU asociados

a cada una de las escuelas)

En el caso de las escuelas señaladas, se puede notar que su eficiencia de escala es igual

a su eficiencia global, ya que su eficiencia técnica es del 100%. Esto significa que su ineficiencia

se debe al nivel de escala en el cual operan.

Cuadro 2 Eficiencias de escala

Fuente: Elaboración propia

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Después de haber determinado y analizado las distancias con respecto a las fronteras

eficientes en los dos períodos estudiados, se calculó el Índice de Malmquist para evaluar la

mejora o desmejora de la eficiencia de cada una de las escuelas de un período a otro.

El cuadro siguiente, muestra el Índice de Malqmist y los Índices de eficiencia relativa y técnica,

respectivamente.

Cuadro 3 Índices de Malmquist e Índices de eficiencia relativa y técnica


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La causa que origina que se mantenga la mejora del índice de productividad de las

escuelas 12, 15, 17 y 19 es su eficiencia técnica. Esta afirmación se fundamenta en el hecho que

estas escuelas se ubican en la frontera eficiente en los dos períodos, por lo que su índice de

eficiencia relativa es igual o superior a 1. En el resto de las escuelas se observa una mejoría de

la Productividad, causada mayormente por el incremento de su eficiencia relativa.

El índice de eficiencia relativa, a su vez, se descompuso en dos índices más -

considerando la frontera con rendimientos variables a escala-, a saber: el de eficiencia pura y el

de eficiencia de escala. Los resultados se muestran en el Cuadro 4

Cuadro 4 Descomposición del índice de Eficiencia Relativa


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Como puede observarse en el cuadro anterior, aunque algunas de las escuelas

mejoraron su eficiencia relativa, sólo las DMU 2, 5 y 14 mejoraron su eficiencia pura (en

relación con la frontera variable). La mejoría que se observa en el resto de las granjas

corresponde a que incrementaron su eficiencia de escala, lo cual evidencia que el tamaño de

escala al cual operan se ha acercado al óptimo de escala.

Por su parte, la DMU 10 fue la única que desmejoró tanto su eficiencia pura como su

eficiencia de escala, teniendo esta última (el alejamiento del nivel de escala más productivo),

un mayor impacto en la disminución de su eficiencia relativa.

11. Conclusiones

El análisis de los modelos DEA y los índices de eficiencia resultan útiles para la medición

de la productividad del sector educacional, especialmente de las escuelas rurales. Al

determinar cuáles son las escuelas más eficientes de la integración, se puede realizar un

análisis sobre cuáles son los mecanismos utilizadas en ellas, con el fin de aplicarlos al resto de

las escuelas que muestran algún nivel de ineficiencia.

En el análisis realizado de 19 escuelas rurales asociadas a un programa MECE/RURAL,

mediante la aplicación de los Modelos DEA se determinó que las escuelas que utilizan más

eficientemente sus recursos son las DMU´s 3, 6, 8, 12, 15 y 17, por cuanto en los dos períodos

analizados resultaron tener el mayor porcentaje de eficiencia y sirvió de parámetro de

comparación para el resto de las escuelas.

Mediante la descomposición realizada del índice de Malmquist, además de conocer la

evolución de la productividad de un período a otro, se pudo determinar cuáles fueron las

principales causas que originaron el incremento o la disminución de la productividad en cada

una de las escuelas analizadas.

Se observó que la mayoría de las escuelas, mejoraron su eficiencia de un período a

otro, debido mayormente al acercamiento a la escala óptima de producción. Esta circunstancia

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se tradujo en la mejora de su eficiencia relativa, así como en el progreso de la tecnología

utilizada, que se observa en el índice de eficiencia técnica.

La disminución de la eficiencia de la DMU 10 se debió principalmente a la desmejora de

su eficiencia pura, lo cual evidencia que los recursos no están siendo utilizados adecuadamente

por esta escuela.

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