c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1

Energa almacenada

en el campo magntico.

Consideremos una espira conductora, modelada mediante la cur-

va , por la que circula una corriente estacionaria de intensidad I .

Sea em el ujo magntico estacionario creado por la espira a travs

de su propia supercie, y sea A(r) el potencial vector magntico

creado por la espira conductora en todos los puntos del espacio. La

energa magntica almacenada en la espira conductora viene dada

por:

Um =1

2Iem =

I

2

A(r) dr = 12

IA(r) dr (1)donde dr es un vector desplazamiento innitesimal denido en cada

punto de la espira en el sentido de la corriente.

Consideremos ahora un conduc-

tor no liforme que ocupa un vo-

lumen acotado en el espacio, y

consideremos un sistema de coor-

denadas con origen en el centro

geomtrico de . Por el conduc-

tor circula una corriente estacio-

naria de densidad volumtrica de

corriente J(r). Sean A(r) y B(r)

el potencial vector magntico y el

campo magntico creados en todos

los puntos del espacio por el con-

ductor no liforme.

Para obtener la energa magntica almacenada en el conductor

no liforme, basta descomponer dicho conductor en tubos de co-

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rriente de seccin transversal innitesimal que pueden ser tratados

como conductores liformes. Mediante la ecuacin (1) se puede

obtener una expresin para la energa magntica innitesimal al-

macenada en cada uno de esos tubos de corriente, y si se integra

dicha expresin para todos los tubos de corriente que se pueden

denir en el conductor no liforme, se llega a que la energa mag-

ntica almacenada en el conductor vendr dada por:

Um =1

2

J(r) A(r)d (2)

Sea ahora esfera un volumen es-

frico centrado en el origen de coor-

denadas de radio R +, y seaSesfera la supercie esfrica que limi-

ta a esfera. Dado que J(r) es un

campo vectorial que slo toma va-

lores no nulos en (ya que la densi-

dad volumtrica de corriente es nula

fuera de ), podemos extender el do-

minio de integracin de la ecuacin

(2) a todo el volumen esfera, esto es:

Um =1

2

esfera

J(r) A(r)d (3)

Por otro lado, dado que la corriente que circula por el conductor

no liforme es estacionaria, se cumple que B(r) = 0J(r), yen consecuencia, la ecuacin (3) se puede reescribir:

Um =1

20

esfera

(B(r)) A(r)d (4)

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3

Si ahora hacemos uso de la identidad vectorial (AB) =(A) B(B) A y utilizamos que A = B, se obtieneque el integrando de la ecuacin (4) se puede escribir:

(B) A = (A) B (AB) = B2 (AB) (5)y si sustituimos la ecuacin (5) en la ecuacin (4), se obtiene la

siguiente expresin para la energa magntica almacenada en el

conductor no liforme:

Um =1

20

esfera

B2d 120

esfera

(AB) d (6)

Si aplicamos ahora el teorema de la divergencia a la segunda

integral de volumen de la ecuacin (6), se llega a que:esfera

(AB) d =Sesfera

(AB) dS (7)

Dado que la supercie Sesfera est situada en el innito, desde los

puntos de Sesfera el conductor no liforme se va a ver como si fuera

un dipolo magntico puntual situado en el origen de coordenadas,

con lo cual, se va a cumplir que A]Sesfera 1R2y que B]Sesfera

1R3

(tngase en cuenta que el potencial vector creado por un dipolo

puntual decae como el inverso del cuadrado de la distancia al dipo-

lo, y el campo magntico, como el inverso del cubo de la distancia

al dipolo). Y como dS]Sesfera = R2senddur, se vericar que la

integral de supercie de la ecuacin (7) se anula ya que:Sesfera

(AB) dS 1R3

0 si R (8)

Si ahora hacemos uso de las ecuaciones (7) y (8) en la ecuacin

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(6), la expresin para la energa magntica almacenada por el con-

ductor no liforme puede reescribirse de la siguiente manera:

Um = lmR

(1

20

esfera

B2d

)=

1

20

todo el espacio

B2d (9)

La ecuacin (9) tambin se puede escribir:

Um =

todo el espacio

wm(r)d (10)

donde el campo escalar wm(r) representa la densidad volumtrica

de energa magntica, dada por:

wm(r) =1

20B(r) B(r) (11)

Aunque la ecuacin (9) ha sido deducida para conductores no

liformes, dicha ecuacin tambin permite obtener la energa mag-

ntica almacenada en conductores laminares y liformes por los

que circulan corrientes estacionarias. No obstante, hay que tener

en cuenta que en el caso de los conductores liformes, la ecuacin

(9) da un valor innito de la energa magntica cuando dichos con-

ductores se modelan mediante una curva cuya seccin transversal

tiene rea nula (esto es lgico si se piensa que la energa magntica

de un conductor liforme tambin se puede calcular mediante la

ecuacin Um =12LI

2L es la autoinduccin del conductor e I la

intensidad que lo atraviesa, y que L toma un valor innito cuando

el conductor liforme se modela mediante una curva).

Las ecuaciones (2) y (9) son completamente equivalentes a la

hora de calcular la energa magntica almacenada en un conductor

no liforme que transporta corrientes estacionarias. Sin embargo,

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mientras que la ecuacin (2) parece indicar que la energa est

almacenada en las corrientes que circulan por el conductor (ya que

la integral involucrada en el clculo de la energa slo se extiende al

volumen ocupado por el conductor), la ecuacin (9) parece indicar

que la energa est almacenada en el campo magntico que crean

esas corrientes.

La ecuacin (9) indica que la energa magntica almacenada

por un conductor que transporta corriente estacionaria (o por un

conjunto de conductores que transportan corrientes estacionarias)

siempre es una cantidad mayor o igual que cero (Um 0). Estehecho tiene sus implicaciones.

Consideremos un conjunto de N

espiras por las que circulan corrien-

tes estacionarias de intensidades

Ii (i = 1, . . . , N) (vea la gura ad-

junta), y supongamos que los u-

jos magnticos a travs de las es-

piras valen emi (i = 1, . . . , N). Sea

L = (Lij) (i, j = 1, . . . , N) la matriz

induccin del conjunto de espiras y

sea Z = (Zij) (i, j = 1, . . . , N) la

matriz inversa de L. La energa magntica del conjunto de espiras

puede calcularse mediante las ecuaciones:

Um =1

2

Ni=1

Nj=1

IiLijIj (12)

Um =1

2

Ni=1

Nj=1

emiZijemj (13)

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Dado que Um 0, las ecuaciones (12) y (13) nos indican que laenerga magntica de un conjunto de espiras es una forma cuadrti-

ca denida positiva, tanto de las intensidades que circulan por las

espiras como de los ujos magnticos a travs de las espiras. En el

caso concreto en que slo tenemos dos espiras, la ecuacin (12) se

puede reescribir:

Um =1

2L11I

21 + L12I1I2 +

1

2L22I

22 =

1

2L1I

21 +MI1I2 +

1

2L2I

22

=1

2I22

[L1

(I1I2

)2+ 2M

(I1I2

)+ L2

]

=1

2I22

[(L1

(I1I2

)+

ML1

)2+

(L2 M

2

L1

)](14)

Y en particular, si se cumple que

I1I2= ML1 , entonces se cumpletambin que

(L1

(I1I2

)+ M

L1

)= 0, y en ese caso, la energa

magntica pasa a valer:

Um]I1I2=ML1

=1

2I22

(L2 M

2

L1

)(15)

Ahora bien, cuando

I1I2

= ML1 , se debe seguir cumpliendo queUm 0. Por tanto, de acuerdo con la ecuacin (15), se debe cumplirque:

1

2I22

(L2 M

2

L1

) 0 = L2 M

2

L1 0 =M 2 L1L2

= k2L1L2 L1L2 = k2 1 = 1 k +1 (16)con lo cual, queda demostrado que el valor absoluto del coeciente

de acoplamiento entre dos espiras es menor o igual que 1.

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Ejemplo

Consideremos un solenoide

toroidal de seccin transversal

rectangular. El solenoide se ha cons-

truido con un bobinado uniforme

de N vueltas de un hilo conductor

por el que circula una corriente

estacionaria de intensidad I . La

seccin transversal del solenoide

es un rectngulo de dimensiones

(b a) h (vea la gura adjunta).Si suponemos que el solenoide est

contenido en la regin 0 z h ytomamos como eje z el eje de revolucin del solenoide (vea la gura

adjunta), el campo magntico creado por el solenoide en todos los

puntos del espacio viene dado por:

B =

0NI2pi u a < < b y 0 < z < h

0 en otro caso

De acuerdo con la ecuacin (9), la energa magntica almacenada

por el solenoide toroidal valdr:

Um =1

20

todo el espacio

B2d

=1

20

z=hz=0

=b=a

=2pi=0

20N2I2

4pi22dddz =

04piN 2I2h ln

(b

a

)(17)

Por otro lado, de acuerdo con la ecuacin (12), la energa mag-

ntica del solenoide toroidal est relacionada con su autoinduccin

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L mediante la ecuacin:

Um =1

2LI2 (18)

con lo cual, la autoinduccin del solenoide toroidal puede calcularse

a partir de la energa magntica mediante la ecuacin:

L =2UmI2

=0N

2h

2piln

(b

a

)(19)

La ecuacin (19) proporciona una alternativa para el clculo de la

autoinduccin de un conductor en trminos de la energa magntica

almacenada.