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ENERGIA POTENCIAL DE LA DEFORMACION
DEFORMACION DE FUERZA NORMAL
Si acta la fuerza normal N, solose ro!uce el esfuerzo normal
z=N
A """# $%&
Se tiene 'ue(
z=z
E """"""## $)&
*or lo tanto
Wu=12
z z= z
2
2E """ $+&
Remlazan!o $)& en $+& e interan!o#
WN=0
L
ds N2
2E A2
dA """""## $-&
*ero N, E, A son constantes en una secci.n trans/ersal 0
dA=A """# $1&
Finalmente#
WN=0
LN
2
2E Ads
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Es el tra2a3o !e !eformaci.n or fuerza normal#
PROBLEMA.
Se !e2e escoer uno !e los tornillos !e acero !e altaresistencia, A 0 4 !e la 5ura %- 6 7, ara soortar una carareentina !e tensi.n# *ara eleir es necesario !eterminar lam89ima canti!a! !e ener:a !e !eformaci.n el8stica 'ueue!e a2sor2er ca!a tornillo# El tornillo A es !e ;#7
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Ui= N
2L
2AE
0.875pulg /2
[ 29 (103
) klbpulg
2 ]
2(18.47 klb)
2
(2pulg)
0.731pulg /2
29(103)klb /pulg2
2(18.47 klb)2(0.25pulg)
;#;)+%ul#Bl2
Tornillo B# en este caso se suone 'ue el tonillo tiene un !i8metro uniforme!e ;#
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En donde Ix es el momento de inercia de la seccin con respecto al ee x, e y es la
distancia del punto donde se calcula el esfuerzo al ee neutro!ee sin compresin nitensin.
Se cumple la ec. (1) y teni endo e n cuenta (2)
WMx=0
L
dxA
Mx
2
2E Ix2
y2
dA
"ero Mx , E , I x son constantes en una seccion
A
y2
dA=Ix
"or lo tanto
WMx=0
LMx
2
2EIxdx
Es la energa por momento flexionante
a) Efecto de #uerza $ortante
=Ty Q
Ix by(a)
%& momento est'tico de 'rea limitada entre la fira de estudio y la fira m's aleada
de la seccin
by=ac!"d# la $ib%a# #s&udi"
Se tiene
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='
(
En donde * es el mdulo de elasticidad trans+ersal y +ara entre,.- E y ,. E.
/eniendo en cuenta 0ue
Wu=1
2'=
'2
2( .()
Sustituyendo ( a) en () e inte1rando
WTx=0
L
dxA
Ty2
Q2
2( Ix2
by2
dA
ecordando 0ue
Ix=A)2
En donde ) es el radio de iro de la seccin, se tiene
WTy=0
L
dxA
T
y
2
2(A Q
2
)2Ix by
2dA
En donde Ty , * y 3 son constantes en una seccin, y
k=A
Q2
)2Ix by
2dA
Solo depende de la forma de la seccin (0ue puede camiar a lo laro de la arra) y se
denomina el coeficiente de forma 4. En eneral, la forma de la seccin se conser+aan para secciones +ariales a lo laro de la pieza.
"or lo tanto
WTy=0
L
k Ty
2
2(Adx
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Es el traa!o por "eforma#i$n por f%er&a #ortante
El coeficiente de la forma 4 +ale 1.2 para secciones rectanulares y trianulares 156
para secciones circulares y A s#cci"/A sima para perfiles laminados.
'(OBLEMA (E*ELTO
1) 7allar la eneria de deformacion por momento flexionante
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2) 7alle la enera deformacin por fuerza cortante en funcin a sus +ariales
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AA*=(2d)2
2=
d4
2
A *+=d
2
4
WTy=0
L
k Ty
2
2(Adx
u&=0
L
2
k T
2
2(Adx+
L
2
L
k T
2
2(Adx u&=
0
L
2
k T
2
2((d
2
2)
dx+L
2
L
k T
2
2((d
2
4)
dx
u&=k T
2
( ( d2 ),
l
2
0+k
T2
(
(
d2
2
)
,l
l
2
dx
u&=k T
2
( ( d2 )l
2+k
T2
((d2
2)lk
T2
((d2
2)l
2
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u&=k T
2
( ( d2 )l
2+k
T2
((d2
2)lk
T2
( ( d2 )l
u&=k T
2
l( ( d2 ) [
1
2+21]
u&=k T
2l
( ( d2 )[1.5]
ENERGHA *OENCIAL DE DEFORMACIN
ORSIN
a# 4arra rism8tica#
U= T
2L
2( IP
2# 4arra escalona!a#
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%
) +
L% L) L+
U=-T(i )
2L(i)
2( Ip(i)
c# 4arra !e secci.n /aria2le#
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L
U=0
L
T(x)
2dx
2( Ip(x)
+#JDetermine la ener:a otencial !e !eformaci.n !e la 2arra escalona!a enfunci.n a sus /aria2les#
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E3ercicios
*or secciones(
Secc%J%
0x1
L
- mT=0
mx1
=m
Secc)J)
Lx22.5L
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- mT=0
mx2
+3m=m
mx2
=2m
Secc )J) 2.5Lx24L
- mT=0
mx3
+m+3m=m
mx3
=3m
Ener:a otencial
U1=mx
1
2x1
2( Ip
U1=
m2
x1
2( Ip
.i x1=0
U1=0
.i x1=L
U1=m
2L
2( Ip=16
m2L
(d4
U2=mx
2
2x2
2( Ip
U2=
2m2
x2
2( Ip .i x2=L U2=
4 m2L
(d4
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.i x 2=2.5L U2=10m
2L
( d4
U3=
9m2
x3
2( Ip
#
.i x3=2.5L U3=
40m2L
9 ( d4
.i x3=4L U3=
64 m2L
9 ( d4
-#JDetermine una f.rmula ara la ener:a !e !eformaci.n !e la 2arra circularmostra!a en la 5ura# El momento torsor es !istri2ui!o emieza en ; 0 termina
en un /alor m89imo !e &0 en el emotramiento#
U=0
LTx
2dx
2( IP
&x
x=
&0
L :&x=
&0x
L
Tx=1
2(x )(&x)=
1
2(x )(
&0x
L
)
Tx=&0x
2
2L
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U=0
L ( &0x2
2L)dx2( IP
= &
0
2L
3
40( Ip