enpc baep1 2011 - seance 4 mode de compatibilite

ENPC Module BAEP1 Sance 4 1

Bton arm et prcontraint I FLEXION COMPOSEE DIAGRAMME INTERACTION

Jean Marc JAEGER Setec TPI

E.N.P.C. module B.A.E.P.1


12. FLEXION COMPOSEE - DEFINITION

NM

G

N

G

e

Poutre 0,60 x 1.10ht

1.20m

Poteau 0,60 x 0.80

0.80m

12.0m

Appareil dappui 300x300

0.3m

6m

2m

Semelle 2m x 1m x 0,8m

g = 130 KN/ml et q = 30 KN/ml

.80m


Flexion compose - DfinitionsLe portique reprsent ci-dessus est constitu dune traverse suprieure encastre dans un pidroit. La section droite dencastrement du pidroit dans la traverse est soumise un effort normal de compression N et un moment de flexion M, ces sollicitations sont calcules par rapport au centre de gravit G de la section . Cette section est soumise une flexion compose. Leffort normal peut tre un effort de compression, cest le cas le plus courant en bton arm, ou un effort de traction.Le torseur (N,M) est quivalent celui cr par un unique effort normal N appliqu en un point nomm centre de pression. Lexcentricit e du centre de pression C est dtermine par lexpression e=M/N.En Rsistance des Matriaux (RdM), le noyau central dune section droite est le lieu des centres de pression tels que un point du contour de cette section droite soit soumis une contrainte nulle. Si le centre de pression se trouve lintrieur du noyau central la section est soit totalement comprime soit totalement tendue, dans le cas contraire la section est partiellement comprime et partiellement tendue.En bton arm, lutilisation du noyau central est tout fait justifie en E.L.S. dans le cas dune flexion compose avec compression mais ne sapplique plus dans le cas de traction dans la mesure ou le bton tendu est nglig. Dans ce dernier cas la position du centre de pression par rapport aux nappes darmatures sera llment dterminant.


12. FLEXION COMPOSEE : NOYAU CENTRAL

SECTION RECTANGULAIRE b x h

Aire de la section droite =bhInertie de flexion Iz = bh3/12Inertie de flexion Iy = hb3/12

AXE NEUTREA laxe 1 correspond le centre de pression C1 (-h/3,0)A laxe 2 correspond le centre de pression C2 (h/3,0)

NOYAU CENTRALUn losange de dimensions h/3 et b/3

z

y

b

h

1

2

C1

C2

b/3

h/3


Noyau centralLe noyau central est la zone lintrieure de laquelle doit se trouver le centre de pression pour que la section soit entirement soumise une contrainte normale de mme signe.Un point, centre de pression de coordonnes y0,z0, de son contour est caractris par le fait que laxe neutre qui lui correspond est tangent au contour de la section.Dans le cas gnral dune section soumise des sollicitations N, My, Mz lquation de laxe neutre en fonction de (y0,z0) est la suivante:

Dans le cas dune section rectangulaire le noyau central est un losange de hauteur gale au tiers de la hauteur de la section, on parle du tiers central .

0100

0 N

Mzy0

),(

=

++

=

==

++

=

Iyzz

Izyy

NMy

z

IyMy

zIz

MzyNzy

0)z)(y, que tels points des (lieu neutre axel' de Equation

pression de Centre

RdM usuelles signes de sconvention les selon z)point(y, au normale Contrainte


12. FLEXION COMPOSEE : Diffrents tats de la section

Selon les valeurs de M et de N la section peut tre :

- totalement tendue,- partiellement comprime,- totalement comprime.


Flexion compose Diffrents tats de la sectionSelon que la section est soumise une flexion compose avec traction ou avec compression et selon la position du centre de pression C la section peut tre soit :- Entirement tendue : leffort normal est un effort de traction, laxe neutre se trouve lextrieur du contour de la section et toute la section est tendue; par hypothse le bton tendu est nglig donc seules les deux nappes dacier hautes et basses vont quilibrer les sollicitations N et M,- Partiellement comprime : laxe neutre partage la section en deux zones, la zone comprime constitue du bton comprim et des armatures comprimes se trouvant dans cette zone, et la zone tendue o seules les armatures tendues seront prises en compte,- Entirement comprime : leffort normal est un effort de compression, laxe neutre se trouve lextrieur du contour de la section et toute la section est comprime ; toute la section bton et les deux nappes darmatures hautes et basses vont participer quilibrer les sollicitations N et M.

La dtermination des armatures mettre en uvre sera effectue selon des principes diffrents en fonction de ces trois tats.


12. FLEXION COMPOSEE : Sollicitations de calcul

Flexion compose avec traction

SOLLICITATIONS CALCULEES SELON LES :

combinaisons caractristiques et quasi-permanentes en ELS combinaisons fondamentales en ELU

Flexion compose avec compression en ELU :

vrification selon lTAT LIMITE DE STABILITE DE FORME (flambement)[lEurocode propose une mthode gnrale et deux mthodes forfaitaires]

en ELS :

combinaisons caractristiques et quasi-permanentes

ENPC Module BAEP1 Sance 410

Flexion compose Combinaisons de calculEn flexion compose avec traction les justifications sont faire aux tats limites ultimes et aux tats limites de service. Les critres de justifications sont les mmes que ceux exposs pour la flexion simple.

En flexion compose avec compression la justification doit prendre en compte la vrification selon les tats limites de stabilit de forme ou la vrification du non flambement. Sous leffet des efforts appliqus une pice lance en bton arm peut tre amene se dformer et subir des sollicitations supplmentaires dites de second ordre, induites par ces dformations. Ces sollicitations supplmentaires augmentent les dformations, si le processus converge vers un tat dquilibre la stabilit de forme est vrifie et ne lest pas dans le cas contraire.


12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement tendue

0.eN-.eNNN Nquilibred' Equations

a2st2a1st1

st2st1

=

=+

Leffort normal est un effort de traction et le centre de pression est situ entre les aciers

21

1

st2

21

2

st1

NA

NA

Rsolution

aa

a

aa

a

ee

e

ee

e

+=

+=


Flexion compose Section entirement tendueLa section est entirement tendue quand leffort normal est un effort de traction et quand le centre de pression est situ entre les deux nappes darmatures hautes et basses. En notant dune part, v la distance entre le centre de gravit G et la fibre suprieure, et v la distance entre le centre de gravit et la fibre infrieure ; et dautre part c la distance entre le barycentre des armatures infrieures et la fibre infrieure et c la distance entre le barycentre des armatures suprieures et la fibre suprieure ; cette condition scrit: -(v-c) e (v-c). Lexcentricit du centre de pression e = M/N, ces deux sollicitations internes tant calcules par rapport au centre de gravit G.

En positionnant le centre de pression C entre les deux nappes dacier basses et hautes par les deux valeurs ea1 et ea2 un simple calcul barycentrique donne leffort de traction quilibrer par ces deux nappes.


12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprime

Flexion compose avec traction Le centre de pression est lextrieur de lemprise des deux nappes darmatures extrmes A1 et A2

Flexion compose avec compression en ELS :

Le centre de pression est lextrieur du noyau central

en ELU :

Le moment de flexion calcul par rapport aux aciers tendus MuA=N*ea est infrieur au moment quilibr par un diagramme de dformation passant simultanment par les pivots B et C

A2

A1

x C

xC

x

x

Pivot B

Pivot C


Flexion compose Section partiellement comprimeLa section peut tre partiellement comprime aussi bien en flexion compose avec traction quen flexion compose avec compression.

Dans le cas de flexion compose avec traction, si le centre de pression est lextrieur des deux nappes dacier hautes et basses, la section est partiellement comprime ; il faut noter que la zone comprime est alors loppos du centre de pression par rapport la section.

Dans le cas de flexion compose avec compression la situation diffre en E.L.S. et en E.L.U. :- En tat limite de service, si le centre de pression est lextrieur du noyau central, la section est partiellement comprime; il faut noter que la zone comprime est alors situe du ct du centre de pression.

- En tat limite ultime la section sera partiellement comprime si le moment de flexion calcul par rapport aux aciers tendus MELU/At est infrieur au moment quilibr par un diagramme de dformation qui passe la fois par le pivot B et le pivot C.


12. FLEXION COMPOSEE : Centre de pression

flexion compose avec compression

flexion compose avec tractione = excentricit du centre de pression par rapport au centre de gravit :

NM

e =

ea = excentricit du centre de pression par rapport aux aciers tendus


Flexion compose Excentricit du centre de pression par rapport aux aciers tendusLes deux diagrammes ci-dessus reprsentent deux cas de sections partiellement comprimes :- Un cas en flexion compose avec compression ou le centre de pression est situ au-dessus du contour de la section, la zone comprime se trouve du ct du centre de pression, lexcentricit du centre de pression par rapport aux aciers tendus a pour valeur ea= (v-c) + e,- Un cas en flexion compose avec traction ou le centre de pression est galement situ au-dessus du contour de la section, la zone comprime se trouve du ct oppos au centre de pression et les armatures tendues sont situes du ct du centre de pression par rapport la section ; lexcentricit du centre de pression par rapport aux aciers tendus a pour valeur ea= e (v-c).



)'(

)'(

)(0

'

ddzM

ddzM

NA

bA

A

AA+=

+=

+=

++=

+=+=

scb

stscb

A

scb

stst

scb

stscbstscb

NNN0

M de actionl' sous simple flexion en quilibred' EquationsNN

A'N

A-A'NN-NNNC en N de actionl' sous quilibred' Equations

Mthode par assimilation la flexion simple


Section partiellement comprime calcul des armaturesLa dtermination des armatures dans le cas dune section partiellementcomprime en flexion compose seffectue en se ramenant ltude dune flexionsimple par identification de deux systmes dquations.Dune part les deux quations dquilibre exprimant que le torseur des sollicitations internes (N,M/A) appliqu au point A barycentre des aciers tendus est gal au torseur des efforts internes bton arm (Nc rsultante des contraintes de compression dans le bton, Nst rsultante des contraintes de traction dans les aciers tendus et Nsc rsultante des contraintes de compression dans les aciers comprims) au mme point A.Dautre part les deux quations dquilibre exprimant lquilibre de la mme section soumise une flexion simple est caractrise par le moment M/A = Nea.

Ces deux systmes tant quivalents le calcul des armatures procde des tapes suivantes :- Calcul du moment par rapport aux acier tendus M/A = Nea,- Calcul en flexion simple des sections dacier mettre en place en zone tendue Ast et en zone comprime Asc,- Calcul final de la section mettre en place en zone tendue Ast = Ast - N/st.

A noter quen flexion avec compression N est positif et quil est ngatif en cas de flexion compose avec traction.



Le thorme de superposition permet de retrouver les quations prcdentes


Section partiellement comprime calcul des armaturesUne autre manire plus directe permettant de comprendre cette assimilation la flexion simple consiste dcomposer ltat de flexion compos en la somme de deux tats : un premier tat ou la section nest soumise qu leffort normal mais appliqu au droit des aciers tendus et un second tat o la section nest soumise qu une flexion simple caractrise par le moment M/A .La somme des sollicitations (N,M) exprimes par rapport G dans ces deux tats redonne bien les sollicitations de ltat de flexion compos. Par exemple en flexion compose avec compression :N = N (tat 1) + 0 (tat 2) M/G = -N (v-c) (tat 1) + M/A (tat 2) = -N (v-c) + N ea= Ne en effet en flexion compose avec compression ea= (v-c) + e.


Section totalement comprime en ELS :

Le centre de pression est dans le noyau central

en ELU :

Le moment de flexion calcul par rapport aux aciers tendus MuA=N*ea est suprieur au moment quilibr par un diagramme de dformation passant simultanment par les pivots B et C

Mthode de calcul

Mthode dassimilation la flexion simple ou utilisation du diagramme dinteraction

12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement comprime


Section totalement comprime calcul des armaturesLa section est totalement comprime en flexion compose avec compression et en tat limite de service si le centre de pression se trouve dans le noyau central de la section.

En tat limite ultime, une section soumise une flexion compose aveccompression est entirement comprime si le moment de flexion calcul parrapport aux aciers tendus M/A est suprieur au moment quilibr par undiagramme de dformation qui passe la fois par le pivot B et le pivot C.

Le calcul des aciers dans ce cas se fait soit par assimilation la flexion simple,soit par utilisation du diagramme dinteraction qui est loutil le plus efficace pourtudier une flexion compose.


45

3.52

Traction pure

Compression pure

0

Pivot A

Pivot B

Pivot CPivot AB

Pivot BC

Section 6 6.1

13. DIAGRAMME DINTERACTION : PIVOTS A, B et C


Diagramme dinteraction Pivots A, B et CLe diagramme dinteraction dune section en bton arm est le lieu des points (N,M) correspondants un tat limite ultime de la section.Pour construire ce diagramme on envisage les diagrammes de dformation relative sur la hauteur de la section qui passent par lun des trois pivots : A, B ou C.

Le pivot A correspond latteinte, par lacier passif tendu situ en partie basse dune section soumise un moment de flexion positif, de sa limite de dformation relative en traction, en se rappelant que celle-ci nest limite quavec la branche incline du diagramme contrainte dformation ud = 45. Le pivot B correspond latteinte, par le bton comprim situ en fibre suprieure de la section, de sa limite de dformation relative en compression cu2 = 3,5. Le pivot C correspond la limite de dformation relative du bton en compression pure; il sobtient en faisant lintersection des deux diagrammes [csup = 3,5 , cinf = 0] et [c(y)= 2 ].


13. DIAGRAMME DINTERACTION

Quand le diagramme des dformations lmentaires tourne successivement autour des trois pivots le point (M,N) correspondant dcrit le diagramme dinteraction.


Diagramme dinteraction Construction du diagrammeUn diagramme de dformation relative sur la hauteur de la section est dfini par deux valeurs : c raccourcissement du bton et st allongement des aciers (ou cinfdformation relative de la fibre infrieure en pivot C). La donne de ces deux valeurs permet de trouver la position de laxe neutre [= c/(c+ st)] et de dfinir la zone comprime.La variation des contraintes de compression sur la hauteur de la zone comprime rsulte directement de lapplication du diagramme contrainte-dformation du bton, de mme les contraintes dans les aciers tendus et comprims sont donnes par la loi contrainte-dformation des aciers passifs. Lintgration de ces tats de contrainte sur les aires de bton ou darmatures concernes permet daboutir aux rsultantes N et M correspondant un point (N,M) du diagramme dintgration. Celui-ci est construit en envisageant successivement les diagrammes de dformations limites qui tournent autour du pivot A [st = 45 et c 3,5 ] en commenant par un diagramme vertical [(y) = 45] et en terminant par le diagramme passant par les pivots A et B puis les diagrammes qui tournent autour du pivot B [st 45 et c = 3,5 ] jusqu atteindre le diagramme passant par B et C [csup = 3,5 et cinf = 0] et en terminant par les diagrammes qui tournent autour du pivot C. Le dernier diagramme est vertical et correspond [c(y)= 2 ]. Le problme est symtris en supposant ensuite la fibre suprieure tendue. Lintrieur du diagramme dinteraction correspond au domaine rglementaire respectant les limites admissibles et lextrieur nest pas autoris.


13. DIAGRAMME DINTERACTION Poteau 60*60 C50

section d'acier At 14,041ferraillage pratique Ac 3HA25

At 3HA253. Diagramme d'interaction

allongement acier epsst -0,0100raccourcissement bton epsb 0,0035

hauteur de bton comprim hx 0,1400raccourcissement acier comprims epssc 0,0020contrainte bton 33,33contrainte acier tendus -434,78contrainte aciers comprims 400,00

effort de compression bton Fb 2,240bras de levier 0,244moment bton Mb 0,547

effort de compression Ac Fsc 0,589bras de levier 0,240moment Ac Msc 0,141

effort de traction At Fst -0,640bras de levier -0,240moment At Mst 0,154

effort resultant N 2,189moment resultant M 0,842

c= 3.5

st= 10

sc= 2.0Ac= 14,01cm

At= 14,01cm

Fb= 2,24MNFsc= 0,59MN

Fst= 0,64MN

Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC2

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00

N (MN)

M

(

M

N

m

)


Diagramme dinteraction ExempleConsidrons un poteau en bton C50 de 60cm x 60cm arm par 3 HA25 sur chacune de ses deux faces hautes et basses avec un barycentre 6cm du parement. Une simple feuille de calcul permet de constituer point par point le diagramme dinteraction de ce poteau. Aprs les lignes de donnes concernant la gomtrie de la section, les matriaux utiliss et les sections dacier mises en place deux cellules contiennent la valeur du raccourcissement du bton et de lallongement de lacier infrieur pour un tat limite de dformation donn (c = 3,5 st = 10 )

La hauteur de bton comprim d = c/(c+ st), d est gal 3,5/13,5*0,53=0,137m.Le raccourcissement des aciers comprims a pour valeur sc=(d-c)/ d*3,5 =2.La contrainte bton a pour valeur c=50/1,5MPa, celle des aciers tendus st=435MPa (aciers plastifis ; branche horizontale) et celle des aciers comprims sc=400MPa (aciers en phase lastique ; = E )La rsultante des compressions dans le bton Fb=0,8 db c= 2,24MN situe 0,4d de la fibre suprieure soit 0,056m, le moment rsultant au CdG vaut M=Fb(h/2-0,4 d)= 0,55MNm.La rsultante des compressions dans les aciers comprims a pour valeurAc sc=0,59MN, elle est situe 6cm de la fibre suprieure do un moment Msc=0,14MNm.La rsultante des tractions dans les aciers tendus a pour valeur As st=0,64MN, elle est situe 6cm de la fibre infrieure do un moment rsultant au CdG Mst=0,15MNm.Leffort normal quilibr par la section a pour valeur N = 2,24+0,59-0,64= 2,19MN.Le moment de flexion a pour valeur M=0,55+0,14+0,15=0,84MNm.Le point (N=2,19MN et M=0,84MNm) est un point du diagramme dinteraction.

En modifiant les cellules contenant c et st on dtermine les autres points du diagramme.


13. DIAGRAMME DINTERACTION EXEMPLE 1 (fin)b = 0.60 mh = 0.60 md = 0.54 m

A inf = 14.70 cmc = 0.060 mA sup = 14.70 cmc' = 0.060 m

fck = 50.00 MPafcd = 33.3 MPacu2 = 0.0035c1 = 0.0020

fyk = 500.00 MPafyd = 434.8 MPaud = 0.0450k-1 = 0.08

NELU = 3.00 MNMELU = 0.800 MN


-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00

N (MN)

M

(

M

N

m

)


13. DIAGRAMME DINTERACTION - EXEMPLEb = 0.50 mh = 0.70 md = 0.64 m

A inf = 24.55 cmc = 0.060 mA sup = 0.00 cmc' = 0.060 m

fck = 50.00 MPafcd = 33.3 MPacu2 = 0.0035c1 = 0.0020

fyk = 500.00 MPafyd = 434.8 MPaud = 0.0450k-1 = 0.08

NELU = 0.60 MNMELU = 0.600 MN


-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

N (MN)

M

(

M

N

m

)

enpc baep1 2011 - seance 4 mode de compatibilite

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