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Enrique [email protected]
Grupo de Modelización y Diseño
de Dispositivos Fotónicos
Fundamentos,técnicas de análisis y de diseñoen fibras de cristal fotónico
Esquema general
Modelación de fibras de cristal fotónico (FCF)
Diseño de fibras de cristal fotónico
Introducción a las fibras ópticas con envoltura de cristal fotónico
Introducción a las fibras ópticas con envoltura de cristal fotónico
• descripción
• mecanismo de guiado
• tipos de fibras
• propiedades más relevantes
Esquema general
Modelación de fibras de cristal fotónico (FCF)
Diseño de fibras de cristal fotónico
Descripción
Fibras de cristal fotónico (FCF) Fibras microestructuradas
Photonic crystal fibers (PCF) Holey fibers Microstructured fibers
FCF triangular con núcleo de aire.Blazed Photonics
FCF en panal de miel.Crystal Fiber A/S
FCF triangular con núcleo de sílice.
Universidad de Valencia
distribución de índice
Descripción
Fibra convencional
Descripción
Fibra de cristal fotónico
distribución de índice
Fibra de cristal fotónico Fibra convencional
Comparación
Fibra de cristal fotónico (‘triangular’)
Descripción
Distribución de intensidad calculada
Fotografía de campo lejano
Fotografía de microscopio electrónico
Distribución de campo
razón a/
factor de escala M
Estructura versátil
‘Triangular’ Cuadrada Panal de miel
Estructura versátil
Primera preformaPrimera preforma
~ 1 cm
Proceso de estirado
SegundaSegundapreformapreforma ~ 1 mm
Proceso de estirado
FibraFibra ~ 100 m
capilares
Fabricación de FCF
Mecanismo de guiado
Fibra de cristal fotónico Fibra convencional
Reflexión de Bragg Reflexión total (interna)
Reflexión y transmisión
Conservación de la componente de k paralela a la interfaz, con fija: Snell
‘externa’ ‘interna’
Reflexión total (interna)
antes del ángulo límitetras el ángulo límite
Superficies de índices
J. M. Cabrera et al., Óptica electromagnética (2000)
Materiales isótropos y anisótropos —uniáxicos y biáxicos—
Superficies de índices
Multicapa periódica
D.M. Atkin et al., J. Mod. Opt., 43, 1035 (1996)
Reflexión total
interna ‘externa’
B.T. Schwartz et al., J. Opt. Soc. Am. B, 20, 2448 (2003)
Reflexión total ‘externa’
Reflexión total ‘externa’
B.T. Schwartz et al., J. Opt. Soc. Am. B, 20, 2448 (2003)
Guiado por reflexión total
Guiado por reflexión de Bragg
E. Silvestre et al., J. Opt. Soc. Am. A, 15, 3067 (1998)
Lámina homogénea con envoltura de cristal fotónico
Un modelo simple de FCF
E. Silvestre et al., J. Opt. Soc. Am. A, 15, 3067 (1998)
Lámina homogénea con envoltura de cristal fotónico
Un modelo simple de FCF
(materiales no dispersivos)
Un modelo simple de FCF
Un modelo simple de FCF
E. Silvestre et al., J. Opt. Soc. Am. A, 15, 3067 (1998)
Constancia asintótica del número de modos guiados
Un modelo simple de FCF
Diagrama de bandas de un cristal fotónico 2D
(red hexagonal centrada)
Diagrama de bandas proyectado en eje
FCF triangular
= 2.3 m, a = 0.3 m
FCF monomodo
índice efectivo de la envoltura
Relación de dispersión de FCF
(medios no dispersivos)
A. Ferrando, et al., Opt. Lett. 24, 276 (1999)
J.C. Knight et al., Opt. Lett. 21, 1547 (1996)
Relación de dispersión de fibras convencionales
2 2co clV a n n
c
Fibras (ilimitadamente) monomodo
FCF monomodo
índice efectivo de la envoltura
A. Ferrando, et al., Opt. Lett. 24, 276 (1999)
Fibras (ilimitadamente) monomodo
FCF monomodo
A. Ferrando, et al., Opt. Lett. 24, 276 (1999)
= 632.8 nm
Fibras (ilimitadamente) de pocos modos
a = 0.7 m
= 2.3 m
A. Ferrando, et al., J. Opt. Soc. Am. A 17, 1333 (2000)
= 632.8 nm
Fibras (ilimitadamente) de pocos modos
a = 0.7 m
= 2.3 m
A. Ferrando, et al., J. Opt. Soc. Am. A 17, 1333 (2000)
Fibras de guiado intrabanda
R.F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999)
Mecanismo de guiado ‘alternativo’
Diagrama de bandas proyectado en eje
= 2.3 m , a = 0.66 m
red triangular
b < a
A. Ferrando et al., Opt. Lett 25, 1328 (2000)
Guiado intrabanda
Fibras con defectos ‘dadores’
Guiado intrabanda
= 2.3 m , a = 0.66 m
red triangular
b > a
Fibras con defectos ‘aceptores’
Tipos de FCF
P. Russell, OPN, Jul/Aug, 26 (2007) | http://www.crystal-fibre.com
Tipos de estructuras
Hexagonal centrada (‘triangular’)
W.H. Reeves et al., Opt. Express 10, 609 (2002)
Tipos de estructuras
Tela de araña
Tipos de estructuras
Birrefringente
M. Delgado-Pinar et al., ICTON 2007, We.A2.6 (2002)
Tipos de estructuras
Núcleo hueco
P. Russell, OPN, Jul/Aug, 26 (2007)
diámetro del núcleo: 20 μm
Tipos de estructuras
Hexagonal (no centrada) = panal de miel
Tipos de estructuras
Kagomé
Propiedades más relevantes
Monomodo (o pocos modos) ilimitadamente Birrefringencia enorme Relaciones de dispersión versátiles
• dispersión ajustable• frecuencias de corte superiores
Refuerzo o atenuación de efectos alineales• supercontinuo
Supercontinuo
Comparison of the supercontinuum with other broadband light sources
J.M. Dudley et al., Rev. Mod. Phys. 78, 1134 (2006)
Dispersión ultraplana
A. Ferrando et al., Opt. Express 9, 687 (2001)
Frecuencias de corte superiores
– n ~ 4 .10-3 , LB = 0.5 mm, = 2 µm
– ultrahigh birefringence
– new mechanism of polarizationdiscrimination: single-polarization [1350,1700] nm.
m2.0
1.15
x
x
y
a = 0.7 m
b = 0.5 m
A. Ferrando et al., Appl. Phys. Lett. 78, 3184 (2001)
Tipos de FCF
P. Russell, OPN, Jul/Aug, 26 (2007) | http://www.crystal-fibre.com
Modelación de fibras de cristal fotónico (FCF)
Introducción a las fibras ópticas con envoltura de cristal fotónico
• análisis modal
• propagación de frentes de ondas
Esquema general
Diseño de fibras de cristal fotónico
Problema matemático
Métodos biortogonal e iterativo de Fourier
Análisis de fibras reales
Técnicas de cálculo alternativas
Cálculo analítico de 1, 2, …
Análisis modal
Sistemas con simetría de traslación
Ecuaciones de Maxwell
modos de propagación (campos armónicos en z)
constante de propagación
invariancia en z :
Empalme de soluciones
Ecuaciones de Maxwell + invariancia en z
+
soluciones analíticas a trozos y con fronteras compatibles
ecuación característica del sistema en cuestión : 2t, ( ) 0f n x
Complejidad de las estructuras
Ecuaciones de Maxwell + invariancia en z
ecuaciones maestras
2 2t t t t,h eL L h h e e
ecuaciones en valores propios para ht y et
Problema matemático
2 2t t t t,h eL L h h e e
hL y no son operadores hermíticos,eL
sus vectores propios no forman una base ortogonal.
¿Problemas con las expansiones modales?
Biortogonalidad
† †,h e e hL L L L Pero son adjuntos uno del otro :
vectores propios ‘biortogonales’ y valores propios complejo conjugados
Propiedad de biortogonalidad = propiedad de ‘ortogonalidad del campo e-m’
Expansiones modales
Dos posibles resoluciones de la identidad
P.M. Morse y H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics (1953)
Aplicación al caso electromagnético
Sistema problema :
Sistema auxiliar :
E. Silvestre et al., J. Lightwave Technol. 16, 923 (1998)
Aplicación al caso electromagnético
Representación del sistema problema en la(s) base(s) proporcionada(s) por el sistema auxiliar
Sistema problema :
Sistema auxiliar :
(campos)
(ecuación)
E. Silvestre et al., J. Lightwave Technol. 16, 923 (1998)
Aproximación modal Condiciones de frontera
Ecuación de valores propios algebraica
Método biortogonal
Método biortogonal
(con condiciones de frontera periódicas)
D = N
Método biortogonal
a = 0.7 m
= 2.3 m
FCF triangular
Desarrollo modal Condiciones de frontera periódicas
t2
ttt
2
22t hh
c
S.G. Johnson et al., Opt. Express 8, 173 (2001)
Método iterativo de Fourier
espacio de momentos espacio de posicionesFFT
Actuación sin representación explícita de L
Ventajas:
procedimiento ultrarrápido y muy preciso.
inclusión trivial de la dispersión material.
distribución espacial de arbitraria.
materiales anisótropos.
condiciones de frontera absorbentes tipo PML.
anisotropía efectiva de las interfaces.
E. Silvestre et al., Opt. Lett. 30, 453 (2005)
Método iterativo de Fourier
Q
con
D. Aspnes, Am. J. Phys. 50, 704 (1981)
Anisotropía efectiva de las interfaces
FCF triangular
m
ma
050,1
230,0(a)m
ma
778,0
236,0(b) (c)m
ma
653,0
257,0
Estudio eficiente de nuevas configuraciones
Análisis de fibras reales
Análisis de fibras reales
5 µm
Análisis de fibras reales
Técnicas de cálculo alternativas
A. Bjarklev et al., Photonic Crystal Fibres (2003)
A. Bjarklev et al., Photonic Crystal Fibres (2003)
Técnicas de cálculo alternativas
Cálculo analítico de 1
método semi-analítico(interpolación y derivación)
aproximación puramente analítica
Cálculo analítico de 2
2122 22
2
1
LLLL
hh
hLh
2
hLhL 22
Cálculo analítico de 2
Propagación de frentes de onda
Light propagation in a taper
Sistemas con variación longitudinal suave
Ecuaciones de Maxwell
ecuaciones maestras para ht o et
2
t t2L
z
h h
ref( , , ) ( , , ) i zx y z x y z e H Ψ+
aproximación de envolvente suave2
ref22
z z
Ψ Ψ
2tref 2 2 t
ref
1
2L I
z i
Ψ
Ψ
(ec. dif. hiperbólica)
(ec. dif. parabólica)Runge-Kutta / Adams
A. Ortega-Moñux et al., IEEE Photon. Technol. Lett. 18, 1128 (2006)
Aproximaciones respecto a la polarización
Light propagation in a taper
ttM
z
Ψ
Ψ
tt
tt
S
vectorial
0semivectorial
0
escalar
xx xy
yx yy
xx
yy
M M
M Mz
M
Mz
Mz
ΨΨ
ΨΨ
Modelación de fibras de cristal fotónico (FCF)
Diseño de fibras de cristal fotónico
Introducción a las fibras ópticas con envoltura de cristal fotónico
• expresiones empíricas
• propiedades de simetría aproximadas
• herramientas diferenciales para el diseño
Esquema general
Expresiones empíricas
Frecuencia de corte
Índice modal normalizado
Radio modal
Pérdidas por microcurvaturas, por macrocurvaturas, por empalmes, …
Fibras convencionales de salto de índice
2 2co clV a n n
c
2.405CV
20.9960
1.1428 , 1.5 2.4b VV
3 2 6
1.619 2.8790.650 , 1.5 2.5
wV
a V V
Cálculo del parámetro V en FCF
M.D. Nielsen et al., Opt. Express 11, 2762 (2003)
FM : ‘fundamental mode’
FSM : ‘fund. space filling mode’
Frecuencia de corte :
Fórmula empírica :
error 3%
Propiedades de simetría aproximadas
Cálculo aproximado de la dispersión de la vg
Propiedades de escalado de , 1, 2, …
Propiedades de escalado el radio modal
Cálculo aproximado de la dispersión de la vg
2
2
d nD
c d
0
, mnn
k
g mD D D
2
2
gg
d nD
c d
0gn
k
2
2m
m
d nD
c d
D. Davidson, en Optical Fiber Transmission (1987)
Dispersión geométrica (sin disp. material) Dispersión material
Dispersión ‘total’ (con disp. material)
Cálculo aproximado de la dispersión de la vg
Magnification M
Ratio a
Cálculo aproximado de la dispersión de la vg
1; , ; , 1g gD f M D f M
M M
Dispersión ultraplana
A. Ferrando et al., Opt. Lett. 26, 790 (2000)
g mD D D
FCF triangular
A. Ferrando et al., Opt. Express 9, 687 (2001)
Dispersión aplanada
FCF triangular
A. Ferrando et al., Opt. Express 9, 687 (2001)
Dispersión ultraplana
J. Opt. Soc. Am. 68, 1196 (1978). Science 289, 415 (2000).
Opt. Express 11, 1400 (2003). Opt. Express 9, 813 (2001).
Fibras de Bragg
a) = 1170 nm a = 266 nmb) = 1190 nm a = 248 nmc) = 1210 nm a = 232 nm
a) = 4900 nm a = 115 nmb) = 4210 nm a = 94 nmc) = 3600 nm a = 82 nm
J.A. Monsoriu et al., Opt. Express 11, 1400 (2003)
Dispersión de la vg de fibras de Bragg
Propiedades de escalado de , 1, 2, …
1; , ; , 1g gD f M D f M
M M
effnc
1
d
d
2
12 2
d d
d d
…
Propiedades de escalado de , 1, 2, …
Ecuación maestra
xn
refn
Hipótesis t ref( , ) ( ) 0n n
x
eff ref( , ) ( ) ( )n n
ref ref
1( , ) ( , ) ( ) ( )M M M
M
d
d
1 1 1,ref 1,ref( , ) ( , ) ( ) ( )M M M
2 2 2,ref 2,ref( , ) ( , ) ( ) ( )M M M M
ref ref
1( , ) , ( )D M D D D
M M M
E. Silvestre et al., Opt. Lett. 31, 1190 (2006)
d
d
effnc
(círculos : exacto; línea : fórmula aproximada)
2
2
2
c
D
c
neff
1cng
Propiedades de escalado de , 1, 2, …
Propiedades de escalado de
Suposición inicial ( , ) ( )M f † 2t t2
†t t
r
h h
h h
H. Matsumura et al., Appl. Opt. 19, 3151 (1980)
( , ) ( , )M M M Anchura modal
Herramientas diferenciales para el diseño
Evaluación analítica de pi
Gradientes de ng y de D
Procedimientos de diseño
Análisis de tolerancias de fabricación
Gradiente de
T
t1
t2
2T
ttTtt ˆˆ zzc
L
Evaluación analítica de pi
Gradientes de ng y de D
Gradientes de ng y de D
2target
2 DPDP
N
iii
i
ppp
PDPDPD
10,
00
P2
P
Algoritmo basado en el gradiente
0P E. Silvestre et al., Opt. Lett. 31, 1190 (2006)
Función de mérito a minimizar
Procedimiento de diseño
FCF de dispersión ultraplana
02010 ,, rrMP
m845.0m305.0m103.2 21 r,r,
Simulaciones numéricas
m331.0m268.0m310.0m968.0 321 r,r,r,
28SMF40 D
FCF compensadora de la dispersión de ancho espectro (BDCF)
0302010 ,,, rrrMP
Simulaciones numéricas
Análisis de tolerancias de fabricación
BDCF
N
ip
iD ip
PD
1
2
2
2
E. Silvestre et al., Opt. Lett. 31, 1190 (2006)
Enrique [email protected]
Grupo de Modelización y Diseño
de Dispositivos Fotónicos
Fundamentos,técnicas de análisis y de diseñoen fibras de cristal fotónico