ensayo de simulación de pilas de lixiviación
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Ensayo de simulación de pilas de lixiviación.TRANSCRIPT
Contenidos1 INTRODUCCIÓN........................................................................................................................................3
1.1 Introducción a la lixiviación de mineral en pilas................................................................................3
1.2 Descripción de los aspectos constructivos de una pila de mineral para lixiviación............................4
2.1 Compuestos de cobre reaccionando con ácido sulfúrico...................................................................6
2.2 Compuestos de fierro reaccionando con ácido sulfúrico...................................................................6
2.3 Compuestos de cobre reaccionando con sulfato férrico...................................................................7
2.4 Limitación del trabajo de titulación...................................................................................................7
3.1 Consideraciones iníciales...................................................................................................................8
3.2 Otras consideraciones y limitaciones.................................................................................................9
3.3 Especies químicas involucradas en la simulación............................................................................12
3.4 Ecuaciones.......................................................................................................................................13
5.1 Caudales de solución salientes de los pisos.....................................................................................20
5.2 Masas de solución en los pisos........................................................................................................20
5.3 Masas de ácido en los pisos.............................................................................................................21
5.4 Masas de sulfato en los pisos..........................................................................................................22
5.5 Masas de agua en los pisos..............................................................................................................23
7.1 Sobre el modelado...........................................................................................................................25
7.2 Sobre el lenguaje de simulación......................................................................................................25
7.3 Sobre los resultados........................................................................................................................26
Figuras
Figura 1: Esquema de pila de lixiviación: masas y caudales de solución, volúmenes de las secciones horizontales y dimensiones de la pirámide truncada..........................................................................................................................8
Figura 2: Sistema planta de lixiviación. Caudal de riego qsol,0(t) como entrada del sistema y caudal másico de la sección I como salida del sistema qsol,I(t)....................................................................................................................10Figura 3: Sistema planta de lixiviación con recirculación de caudal másico de la sección I qsol,i(t)...............................10
1 INTRODUCCIÓN
Actualmente, la investigación y la aplicación de técnicas de extracción minera buscan alternativas para aprovechar minerales de leyes bajas y recuperar desechos de extracciones anteriores, a los que se llama "gangas".
Dentro del ámbito de la minería de recuperación de gangas aparecen los procesos de lixiviación, que consisten en la obtención de metales insolubles contenidos en los minerales de desecho, constituyendo con ellos compuestos solubles en presencia de soluciones que se hacen escurrir a través de los minerales gracias a la porosidad de estos últimos, sin producir en cambios físicos perceptibles en tal porosidad.
El objetivo de este trabajo de titulación es construir simulaciones que describan el comportamiento de los procesos de lixiviación, con limitaciones y consideraciones que se detallarán posteriormente, y con miras al diseño de sistemas de control que están fuera del alcance del trabajo mismo.
Las simulaciones contempladas comprenden dos reacciones de óxido-reducción puntuales y son construidas mediante el lenguaje de programación Python, en conjunción con una librería para fines de cálculo numérico.
La primera de las simulaciones describe un proceso de lixiviación desde su riego con una solución nueva, por encima, hasta el afloramiento de la solución resultante, por debajo. La segunda incluye una recirculación; es decir, un riego con la solución resultante.
Las dos reacciones involucradas en las simulaciones, son de cuprita y de tenorita reaccionando con ácido sulfúrico.
1.1 Introducción a la lixiviación de mineral en pilas
La lixiviación es la extracción selectiva de algunas especies químicas de una mezcla sólida, mediante reacciones capaces de producir esas especies y un solvente capaz de disolver tanto los reactivos como las especies.
La cinética de las reacciones es un factor determinante en la lixiviación, y es determinada a su vez por propiedades como las siguientes:
la granulometría de la mezcla sólida; la concentración de cada una de las especies en la mezcla sólida; la concentración de los reactivos en la solución.
Si bien existen otros factores determinantes de la cinética de las reacciones, como la temperatura y las condiciones ambientales en general, esos otros factores pueden considerarse secundarios.
La lixiviación de especies minerales suele realizarse en pilas, triturando los minerales otrora completos, acopiándolos sobre terrenos impermeables inclinados levemente hacia canaletas, y regándolos en las coronas de las pilas con las soluciones que contienen los reactivos necesarios.
Es posible que las soluciones recolectadas por las canaletas se recirculen; es decir, que se ocupen nuevamente para regar las pilas hasta agotar los reactivos.
1.2 Descripción de los aspectos constructivos de una pila de mineral para lixiviación
1.2.1 TerrenoEl terreno es aplanado, inclinado con una pendiente cercana a 3% en dirección a la canaleta de recolección, compactado para soportar tanto la pila de mineral como el tránsito de los vehículos que acarrean el mineral hacia y desde la pila, despojado de piedras, y cubierto con una capa de arena.
1.2.2 Capa de arenaLa capa de arena que cubre al terreno tiene unos 15 o 20 centímetros de espesor, y es tapada con una capa impermeable.
1.2.3 Capa impermeableLa capa impermeable es de un material plástico inerte a los reactivos químicos involucrados en la lixiviación de la pila, tiene un grosor suficiente para soportar los acarreos de mineral, y es recubierta con otra capa de arena.
1.2.4 Segunda capa de arena.La segunda capa de arena protege a la capa impermeable del contacto directo con los reactivos químicos, y sostiene tuberías de drenaje repartidas por encima.
1.2.5 Tuberías de drenajeLas tuberías de drenaje son hechas de tubos corrugados y perforados, se reparten para proveer evacuación rápida a la solución que escurre por la pila y oxigenación a la base de esta última, y se confinan en una capa de material estéril.
1.2.6 Capa de material estéril La capa de material estéril tiene unos 20 centímetros de espesor, se diferencia visiblemente del mineral de la pila, constituye la protección final de la capa impermeable pues marca el límite inferior para los acarreos, estabiliza las tuberías de drenaje, y sostiene al mineral.
1.2.7 MineralEl mineral es apilado suavemente hasta alcanzar la altura pre-establecida con la forma de una pirámide truncada, evitando tanto su compactación como su disgregación y, una vez concluida la pila, es regado desde encima con la solución necesaria para lixiviarlo.
1.2.8 Riego
El riego se realiza según un caudal prefijado, de manera uniforme, con gotas de tamaño adecuado para que el mineral apilado no se deslave ni sufra la conglomeración de sus partículas finas, y protegido de los vientos para que la solución llegue a la pila con poca evaporación y escurra por la pila hasta ser recolectada en su base.
1.2.9 RecolecciónLa recolección de la solución que escurre por la pila se efectúa mediante una canaleta hecha en la periferia de la base, inclinada con pendiente cercana a 1% hasta estanques de almacenamiento, forrada con una capa impermeable y antecedida por sacos de relleno.
1.2.10 Sacos de rellenoLos sacos de relleno detienen las partículas finas arrastradas por la solución y son medios de protección que se suman a los anclajes de la base de la pila.
1.2.11 AnclajesLos anclajes fijan la capa impermeable al terreno, procurando dejar algún espacio entre ellos y la base del mineral.
2 GENERALIDADES DE LA LIXIVIACIÓN DE ESPECIES MINERALES DE COBRE EN PILAS
Para el caso específico de la lixiviación de minerales de cobre en pilas, es común usar agua como solvente y ácido sulfúrico como reactivo dentro de la solución.
Las reacciones más probables son las descritas en los párrafos siguientes y ocurren, o no, de acuerdo con la composición de la ganga.
2.1 Compuestos de cobre reaccionando con ácido sulfúrico
2.1.1 Azurita
2.1.2 Brochantita
2.1.3 Crisocola
2.1.4 Malaquita
2.1.5 Cuprita
2.1.6 Tenorita
2.2 Compuestos de fierro reaccionando con ácido sulfúrico
2.2.1 Hematita
2.2.2 Magnetita
2.2.3 Siderita
2.2.4 Sulfuro de hierro (II)
2.3 Compuestos de cobre reaccionando con sulfato férrico
2.3.1 Calcosina
2.3.2 Covelina
2.3.3 Cobre nativo
2.4 Limitación del trabajo de titulación
En este trabajo de titulación se supone, simplificadamente, que la ganga está compuesta por cuprita, tenorita y mineral inerte, de modo que sólo ocurren las reacciones descritas en 2.1.5 y 2.1.6.
3 MODELADO
3.1 Consideraciones iníciales
En primera instancia, el escurrimiento de la solución por la pila puede ser entendido como el descenso de un líquido afectado por la gravedad, a través de un medio quieto y poroso en el cual tiende a difundirse.
Según eso, para iniciar el modelado conviene rebanar hipotéticamente la pila en pisos horizontales de acuerdo con el esquema puesto a continuación, en la figura 3.1.
Figura 1: Esquema de pila de lixiviación: masas y caudales de solución, volúmenes de las secciones horizontales y dimensiones de la pirámide truncada.
En un trabajo de titulación realizado por César Contreras Sacre hace dos décadas [1], el número de pisos debió ser pequeño (cinco) pues la simulación fue construida mediante el lenguaje Simnon, que imponía una limitación bastante severa al respecto.
Buscando superar esa limitación, en este trabajo se optó por ocupar el lenguaje Python y una librería apropiada para la resolución de problemas numéricos.
La elección permitió aumentar considerablemente el número de pisos; pero, por tratarse de un lenguaje interpretado, Python exhibió un rendimiento notoriamente inferior al que puede alcanzar un lenguaje compilado (incluyendo Simnon).
Para mejorar el rendimiento, se hicieron esfuerzos por generar un código de máquina compilado que redujera el tiempo de cálculo; sin embargo, se encontró que sólo puede generarse un código
así para reducir el tiempo que toma ocupar espacios de memoria al iniciar la simulación, lo cual constituye una reducción irrelevante.
En vista de ese tropiezo, se aceptó la inferioridad del rendimiento y se redirigieron los esfuerzos a ampliar el número de pisos hipotéticos hasta cincuenta (reduciendo el número de reacciones a dos). También se decidió atender concretamente a la forma de pirámide truncada que posee la pila y que el trabajo anterior había simplificado suponiéndola como la de un paralelepípedo recto.
De hecho, como las pilas suelen tener la forma de una pirámide truncada con base cuadrada y lados inclinados según el ángulo de talud de los minerales triturados, si V es el volumen de la pila analizada, en [m3]:
donde h es la altura de la pila en [m], ainf es la longitud y la anchura de su base, en [m] y α es el ángulo de inclinación de sus paredes, en [rad] respecto del plano horizontal; además:
donde asup es la longitud y la anchura de la corona de la pila, en [m].
Nota: para el cálculo del volumen se ha despreciado la inclinación cercana a 3% que tiene la base.
Asimismo, se resolvió efectuar algunos reordenamientos y algunas correcciones respecto a la cinética de las reacciones químicas que ocurren en el interior de la pila (empezando por reponer un producto faltante en el enunciado de la reacción de la Covelina con el sulfato férrico, pese a que la situación descrita en este trabajo de titulación considera sólo las reacciones de la cuprita y de la tenorita con el ácido sulfúrico).
3.2 Otras consideraciones y limitaciones
En pos de la comprensión, los esquemas siguientes son básicos para situar espacialmente los agentes externos involucrados, el proceso, sus partes y sus resultados, y para empezar a establecer los nombres de las variables y los parámetros importantes, sin exponer demasiados detalles.
Figura 2: Sistema planta de lixiviación. Caudal de riego qsol,0(t) como entrada del sistema y caudal másico de la sección I como salida del sistema qsol,I(t).
Figura 3: Sistema planta de lixiviación con recirculación de caudal másico de la sección I
qsol,i(t).
En torno a esos esquemas conviene comentar lo expuesto a continuación.
3.2.1 Tiempo de asentamiento y de operaciónEl proceso suele demorar unas 10 horas en alcanzar el escurrimiento constante de la solución, y suele durar entre 30 y 45 días en cumplir el 95% de su misión.
Esto último motiva una norma de facto en la industria de recuperación de cobre mediante lixiviación. Tal norma es de negocios pues, a medida que se riega una ganga, disminuye la obtención de sulfato de cobre y, pasado un umbral, los egresos de dinero por compra de ácido sulfúrico superan a los ingresos por venta del sulfato de cobre. Por consecuencia, la norma es que el proceso suele desmantelarse, reemplazando el mineral de la pila por otro nuevo, al cabo de un tiempo de operación cercano al señalado antes.
3.2.2 Volumen disponible para la solución.Mientras dura, la pila mantiene poros distribuidos entre el mineral, desde la corona hasta el terreno impermeable.
El volumen total de esos poros suele variar poco, ya que la pila suele acopiarse y regarse con cuidado para que conserve su tamaño, y las concentraciones de las especies minerales reaccionantes con la solución suelen ser pequeñas.
Como ese volumen es el disponible para la solución, no puede pretenderse que ésta alcance un volumen mayor sin desviarse horizontalmente hasta aflorar por las paredes laterales de la pila, alterando las cualidades pretendidas del proceso.
El trabajo presente omite esa alteración.
3.2.3 Evaporación de la soluciónLa solución sufre evaporaciones parciales en la zona de riego y en las paredes laterales de la pila.
Sin embargo, así como este trabajo evita el afloramiento lateral de la solución por haberse excedido el volumen disponible para ella en la pila, también omite las evaporaciones parciales y supone que, estacionariamente, el caudal de solución recolectado por la canaleta es el aportado por el riego, menos el de los reactivos de las reacciones químicas y más el de sus productos (que son mucho menores).
3.2.4 Temperatura de la pilaEstrictamente, la temperatura de la pila cambia a causa de los desprendimientos de calor durante las reacciones químicas y de la exposición de la pila misma al ambiente, cuyos cambios térmicos son grandes entre el día y la noche en los lugares desérticos y cordilleranos.
Sin embargo, para concluir en un plazo razonable, este trabajo ignora los cambios de temperatura de la pila; o, más bien, supone que los efectos de la temperatura en la cinética de las reacciones no son significativos.
La suposición se ampara en que la cinética es lentificada por la difusión del ácido sulfúrico a través de la solución infiltrada entre los poros de la pila, cuya morfología es difícil de detallar.
Así, la difusión del ácido, que la dificultad mencionada recién obliga a dejar pendiente, termina imponiendo un ritmo que resta importancia al de la temperatura
3.2.5 Ecuación de ArrheniusLa ecuación de arrhenius describe la dependencia de la velocidad (k) de una reacción química respecto de la temperatura (T) en kelvin. Considera además un factor (A), (E a) representa la energía de activación para la reacción y (R) es entendida como al constante universal de los gases. (k) es una medida de la cantidad de colisiones que son reacciones efectivas por unidad de tiempo (entre los pares de moléculas involucrados en la reacción), (A) es el número total de colisiones (que resultan o no en uan reacción) por unidad de tiempo y la exponencial es la probabilidad que una colisión dada resulte en una reacción.
En el trabajo presente se desestima los efectos de la temperatura sobre la reacción y, por lo tanto, sobre la constante de reaccion (k). Sus efectos son desestimados frente a la difusión de las moléculas de ácido sulfúrico al interior de la pila de la lixiviación. Dentro de la pila, cualquier reacción efectiva entre ácido sulfúrico y la especie mineral, por ejemplo, Cuprita, ocurre de manera casi instantánea, independiente de la temperatura, cuando es comparada con el tiempo que toma a moléculas de ácido sulfúrico nuevas difundirse para reaccionar nuevamente con el mineral de cobre.
Vale la pena comentar que tanto (k) como (Ea) son variables macroscópicas, es decir, son una medida de las colisiones efectivas de todas las colisiones realizadas del universo de colisiones posibles dados los reactivos. Además ambas variables son determinadas empíricamente.
3.3 Especies químicas involucradas en la simulación
Las especies involucradas en las dos reacciones químicas que considera este trabajo, tienen las características siguientes:
la cuprita (CuO) es sólida e insoluble en agua (H2O); la tenorita (Cu2O) es sólida e insoluble en agua; el ácido sulfúrico (H2SO4) es líquido y soluble en agua; el sulfato de cobre (CuSO4) es sólido y soluble en agua; el cobre puro (Cu) es sólido e insoluble en agua.
Atendiendo a ello, el esquema expuesto a continuación, que corresponde a tres de los pisos hipotéticos de la pila, sugiere los caudales de las especies que entran al piso central y los de las especies que salen de él, como partes de la solución que escurre por la pila.
Fig. 3.4: Flujos entrantes y salientes del el corte i, masas en el instante t para el corte i. Área y volumen del corte i.
3.4 Ecuaciones
3.4.1 Caudales de interésSi las variables de respuesta que interesan son los caudales másicos de sulfato de cobre y de ácido sulfúrico salientes del piso inferior de la pila, qCuSO4,I y qH2SO4,I respectivamente, se puede plantear:
y, reconociendo que esos caudales son casos extremos de otros salientes de pisos intermedios, se puede generalizar:
3.4.2 Masas, y caudales de soluciónComo 1) a 4) exigen conocer las masas de sulfato de cobre, de ácido sulfúrico y de solución en los pisos, mCuSO4,i, mH2SO4,i y mSol,i 1iI respectivamente, se puede plantear:
Y como 1) a 4) también exigen conocer los caudales de solución salientes de los pisos, qSol,i 0iI, hay que postular una aproximación
En primera instancia, como se dijo, el escurrimiento de la solución por la pila puede ser entendido como el descenso de un líquido afectado por la gravedad, a través de un medio quieto y poroso en el cual tiende a difundirse.
Sin embargo, sabiendo que el escurrimiento involucra un volumen de la solución y otro de los poros distribuidos entre el mineral, conviene reflexionar antes de plantear ecuaciones.
Existe una ecuación de Fanning respecto al escurrimiento en condiciones parecidas parcialmente a la descrita.
Para el piso i de la pila en estudio, esa ecuación sería:
donde es la altura del líquido contenido en el piso, es un coeficiente de ajuste, es
la altura del piso, es la velocidad de descenso del líquido, Rh,i es el radio hidráulico medio y
es la aceleración de gravedad.
Considerando que:
donde es el caudal másico del líquido, es su densidad, es el área transversal del piso
y k es la porosidad de la pila, en tanto por uno de volumen, la ecuación de Fanning se puede reescribir así:
donde:
En la última expresión para qSol,i se reconoce una similitud con el caudal saliente por la base de un estanque que contiene una columna de líquido.
De hecho, la situación supuesta por la ecuación es la de un líquido distribuido (con altura dh) por un conjunto de tubos delgados (con radio medio Rh), cuyas paredes internas rozan al líquido mientras éste desciende; y no alude a la difusión.
Por otro lado, la penúltima expresión para qSol,i equivale a:
y supone que qSol,i crece según la raíz cuadrada de dhSol,i ilimitadamente, pese a que el volumen disponible para la solución es limitado por el de los poros del mineral.
Para poner una cota superior al caudal descendente qSol,i suponiendo que la difusión de la solución es poco significativa verticalmente (aunque debiera ser significativa horizontalmente, por donde la homogeneidad hipotética de los pisos no la reconoce), se puede conjeturar que qSol,i depende del cuociente entre el volumen de la solución y el de los poros según una función de la familia de los arcos tangentes.
[¿¿¿Gráfico en el plano cartesiano, familia de ecuaciones a mostrar: atan, raíz cuadrada. Eje ordenadas: Vsolución/Vi?? GRAFICA CON CUIDADO QSOL,I/AI VERSUS ((MSOL,I/)/(KVI) SEGÚN LOS NÚMEROS EN 8), COMPARA CON LO QUE TENÍA CÉSAR, Y GUARDA COMENTARIOS PARA LAS CONCLUSIONESFig. 3.5: PON UN TÍTULO
Algunos datos empíricos indican que, cuando la granulometría del mineral es de diámetros menores que 1 centímetro, la solución queda retenida con caudal saliente casi nulo hasta que su volumen alcanza al 30% del de los poros, y queda con caudal saliente hacia abajo casi constante desde que su volumen alcanza al 100% del de los poros.
Según esos datos y los números que los acompañan, la conjetura de la función de la familia de los arcos tangentes se puede ajustar planteando:
3.4.3 Cinéticas químicasComo 5), 6) y 7) exigen conocer los caudales transferidos de los reactivos a los productos por las reacciones químicas de la cuprita y la tenorita ante el ácido sulfúrico, qrp0,i y qrp1,i 1iI respectivamente, se puede plantear:
3.4.4 Volúmenes y áreas
Como 8) exige conocer los volúmenes de los diversos pisos de la pila, Vi , se puede plantear:
)
Y como 12) exige conocer las áreas transversales de los pisos se puede plantear:
)
3.4.5 Condiciones iníciales, parámetros macroscópicos, y masas molaresComo 1) a 12) aún exigen conocer condiciones iníciales y parámetros, se puede plantar lo siguiente.
Condiciones iníciales de las masas13)
14)
15)
Parámetros de la pila 16) (por ejemplo)
17) (por ejemplo)
18) (por ejemplo)
19) (por ejemplo)
20)
21) (por ejemplo) 22) (por ejemplo)23) (por ejemplo)
Parámetros de la solución24)
Parámetros de la cinética química (incluyendo las influencias de la temperatura y de las áreas efectivas de contacto entre los reactivos)25)
26)
Masas moleculares27)
28)
29)
30)
31)
32)
3.4.6 Otras masas
33)
34)
35)
36)
4 DISCRETIZACIÓN SEGÚN EULER, Y REORGANIZACIÓN.
Para simular el proceso de lixiviación, las ecuaciones fueron re-escritas usando la aproximación de Euler con paso temporal dt= 3600 [s] en las integrales involucradas. Luego, las ecuaciones fueron reorganizadas dentro del código para la simulación según su orden de precedencia en los cálculos, incluyendo entre ellas las de definición de las variables y parámetros.
Se hicieron consideraciones para reducir operaciones superfluas, asegurar convergencias y disminuir el número de ciclos de máquina que necesitaba la simulación, reconociendo que esto no cuenta en el objetivo principal del trabajo desarrollado y, por lo mismo, abriendo posibilidades de extender el trabajo en esa dirección.
Se cuidó que las ecuaciones no excedan las limitaciones del proceso de lixiviación, especialmente respecto a las masas de solución en los diversos pisos hipotéticos de la pirámide, y a los caudales salientes de esos pisos.
Como ya se dijo, se puso una cota superior al caudal de solución descendente, conjeturando que depende del cuociente entre el volumen de la solución y el de los poros de la pila según la función arco tangente expuesta en 8).
Además, se prestó atención a que así las masas de solución calculadas por 7) no se exceden.
También se tomó en cuenta que las masas de solución no deben acercarse a 0, pues se usan como divisores en las ecuaciones 1) a 4) con que se calcula los caudales salientes de sulfato de cobre y ácido sulfúrico.
De hecho, el acercamiento de las masas de solución a 0 produjo ruidos numéricos (seguramente a causa del paso temporal de la aproximación de Euler), ante los cuales se optó por agregar en el programa cotas para los caudales mencionados recién.
Para más detalles se puede leer el anexo del final de la memoria presente, donde aparece el código fuente de la simulación.
5 RESULTADOS
Los resultados de la simulación se ajustan razonablemente al comportamiento macroscópico descrito por César.
PON PRIMERO LAS EVOLUCIONES DE LAS VARIABLES DE RESPUESTA QUE INTERESAN: LOS CAUDALES MÁSICOS DE SULFATO DE COBRE Y DE ÁCIDO SULFÚRICO SALIENTES DEL PISO 50.Y ARREGLA LA NUMERACIÓNLAS EVOLUCIONES DE OTRAS VARIABLES SON ADICIONES COMPLEMENTARIAS
5.1 Caudales de solución salientes de los pisos.
La figura 5.1 muestra los comportamientos de los caudales de solución que descienden de los primeros diez pisos, arrastrando ácido sulfúrico y sulfato de cobre.
Fig. 5.1: PON UN TÍTULO y especifica de alguna manera los ejes (1.0 y 1200... ¿qué?); ESTO NO VIENE DE LA ECUACIÓN DE FANNING, QUE SE FUE A LA BASURA
5.2 Masas de solución en los pisos
La figura 5.2 muestra los comportamientos de las masas de solución en los primeros diez pisos. La masa en el piso 00 se comporta de manera singular porque ese piso está en contacto directo con el riego y carece de un piso por encima. El aumento paulatino de las masas estacionarias en los demás pisos, se explica considerando que tales pisos son paulatinamente más grandes, por la forma piramidal de la pila.
Fig. 5.2: PON UN TÍTULO y especifica de alguna manera los ejes (12000 y 1200... ¿qué?)
5.3 Masas de ácido en los pisos
La figura 5.3 muestra los comportamientos de las masas de ácido sulfúrico disuelto en los primeros diez pisos. En dichos comportamientos se advierte la influencia de los caudales que arrastran el ácido, y que son los expuestos en la figura 5.2. También se advierte ruidos numéricos mientras las masas de solución de los pisos respectivos (que se usan como divisores en las ecuaciones para calcular los caudales de ácido) están bajas y exageran los cómputos hechos por la aproximación de Euler con el paso dt prefijado.
Fig. 5.3: PON UN TÍTULO y especifica de alguna manera los ejes (1200 y 1200... ¿qué?)
5.4 Masas de sulfato en los pisos.
La figura 5.4 muestra los comportamientos de las masas de ácido sulfúrico disuelto en los primeros diez pisos. En dichos comportamientos se vuelve a advertir tanto la influencia de los caudales que arrastran el ácido, como los ruidos numéricos mientras las masas de solución son bajas.
Fig. 5.4: PON UN TÍTULO y especifica de alguna manera los ejes (1200 y 1200... ¿qué?)
5.5 Masas de agua en los pisos
La figura 5.5 muestra los comportamientos de las masas de agua en los primeros diez pisos. ¿CÓMO LAS CALCULASTE CON TANTO ZAPATEO? ¿Y PARA QUÉ?¿¿¿???
Fig. 5.5: PON UN TÍTULO y ¿qué de qué?
6 RECIRCULACIÓN DEL CAUDAL DE SALIDA, Y REFORMULACIÓN DEL MODELADO.
Como el ácido sulfúrico tiene un costo económico y repercusiones químicas, no conviene dejarlo ir en el caudal que sale por debajo de la pila. Por eso se busca recircular ese caudal reingresándolo como riego, hasta que la concentración del ácido sea suficientemente pequeña.
La recirculación del caudal que sale por debajo de la pila exige reformular el modelado en algunas ecuaciones específicas; en particular exige cambiar las ecuaciones para los caudales de sulfato de cobre, ácido sulfúrico y solución salientes del piso 0 (el riego); o sea, exige cambiar 3), 4) y 8) por:
3')
4')
8')
Obviamente, la recirculación del caudal que sale por debajo de la pila debe esperar a que ese caudal exista, y lo deseable es que coincida globalmente con el caudal aportado antes por el riego sin recirculación.
Eso exige efectuar algunos cambios en las condiciones iniciales, si se quiere reinterpretar como "inicio" algún instante en que la recirculación ya está funcionando; o sea, exige cambiar 13), 14) y 15) declarando otras masas iniciales.
7 CONCLUSIONES
7.1 Sobre el modelado
Los resultados obtenidos sugieren que el modelado tiene la dirección correcta.
Sin embargo, falta validar varios de sus parámetros y supuestos antes de confiar en él tanto como para diseñar alguna estrategia de control basada en modelos.
Por ejemplo, aunque hay indicios positivos al respecto, falta verificar mejor acaso la difusión del ácido sulfúrico en la solución infiltrada entre los poros de la pila lentifica, o no, la cinética de las reacciones de manera que resta importancia a los cambios de la temperatura.
También falta corroborar que las evaporaciones son pequeñas y se reflejan poco en el comportamiento hidráulico, pese a los cambios de temperatura ya mencionados.
Indudablemente, si se las realiza, las validaciones pendientes servirán para mejorar el modelo y afinar sus parámetros.
7.2 Sobre el lenguaje de simulación
Simnon y Python son lenguajes coincidentes en su incapacidad de resolver ecuaciones diferenciales parciales y su necesidad de improvisar aproximaciones.
Hace dos décadas, Simnon ponía limitaciones severas al número de pisos de la pila mediante los cuales, en el fondo, se programa una aproximación de Euler espacial, con paso dx fijo. Por otro lado, tenía implementada una aproximación de Runge, Kutta y Fehlberg temporal, con paso dt variante. Así, las simulaciones demandaban bastante tiempo: para simular 10 horas de lixiviación con 13 reacciones en 5 pisos de una pila (recurriendo a unas 100 variables de estado), demoraba cerca de 45 minutos con los computadores personales de la época.
Python permite aumentar considerablemente el número de pisos, para programar una aproximación espacial más fina. Pero no tiene implementada una aproximación como la de Runge, Kutta y Fehlberg, y, en ausencia de una implementación semejante, requiere que también se programe una aproximación de Euler temporal. Así, para que la aproximación temporal también resulte fina, demanda bastantes cómputos y un tiempo considerable: para simular ¿¿¿??? horas con 2 reacciones en 50 pisos de una pila (recurriendo a unas 250 variables de estado), demora ¿¿¿??? minutos con los computadores actuales. Python tiene una ventaja ante algunos otros lenguajes porque sus instrucciones son más fáciles de organizar que las de aquéllos; pero no es imbatible en esa ventaja. Por otro lado, interpreta las instrucciones durante la ejecución, sin una compilación previa, lo cual le confiere una desventaja
en términos de rendimiento de cómputo de operaciones matemáticas (no siendo imbatible en esa desventaja, tampoco).
De todas maneras, Python permitiría extender la simulación haciendo un tramado no sólo en pisos horizontales, sino también en aposentos verticales, sometiendo cada espacio resultante a un análisis de masas y de caudales tanto entrantes como salientes, con una cinética de reacciones químicas incluida.
Matlab, C++ y otros lenguajes comunes, también podrían hacerlo; pero Simnon estaría en aprietos.
7.3 Sobre los resultados
Los resultados de las simulaciones respecto a los caudales de sulfato de cobre y ácido sulfúrico, muestran que los parámetros primordiales en el desempeño de la lixiviación son, sin sorpresa, las concentraciones iniciales de las especies minerales pertinentes en la pila y del ácido sulfúrico en la solución; además, dejan ver que la altura de la pila (entre 1 y 3 metros) es determinante en el tiempo de operación del proceso.
Los resultados también dejan entrever que la recirculación de la solución saliente por debajo de la pila mejora el rendimiento, ya que basta efectuarla mediante una bomba capaz de levantar la solución hasta la corona de la pila, para usar plenamente el ácido sulfúrico y mitigar sus repercusiones químicas en el ambiente.
Los resultados inicialmente tuvieron un comportamiento que se asemeja a un ruido de medición, lo cual no tiene cabida en simulaciones por computador. El problema de estos resultados reside en la naturaleza de la ecuación que determina el flujo en cada instante de la simulación. El flujo entre secciones es calculado como un cuociente, donde el denominador es la masa de la especie que compone el flujo en el instante anterior, es decir, en el paso anterior de la simulación. Lo anterior sumado a las condiciones iniciales definidas para la simulación, es decir, la masa de cada una de las especies que generan un flujo en los instantes iniciales de simulación.
Específicamente masas cercanas a 0, en conjunción con un paso de simulación de una hora multiplicando este cuociente, provoca picos de flujo altísimos de ancho estrechos. Una vez que los valores para la masa se han estabilizado en tornos a valores comparables con el paso de simulación, los flujos se estabilizan y describen el comportamiento esperado sin picos.
8 ANEXO