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8/19/2019 Ensayo El aprendizaje de la Multiplicación a través de la Resolución de Problemas en un Alumno con Distrofia Mus…
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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA
ESCUELA NORMAL DE ESPECIALIZACIÓN
DEL ESTADO DE SINALOA
E N S A Y O
EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN COMO OBJETO MATEMÁTICO A
TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN UN ALUMNO CON
DISTROFIA MUSCULAR PROGRESIVA
PRESENTA: HEBER DE JESÚS JIMÉNEZ FLORES
ASESOR: M.C. EUSEBIO VELÁZQUEZ URIÓSTEGUI
CULIACÁN ROSALES SINALOA JUNIO DE !""#
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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA
ESCUELA NORMAL DE ESPECIALIZACIÓN
DEL ESTADO DE SINALOA
E N S A Y O
EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN COMO OBJETO MATEMÁTICO A
TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN UN ALUMNO CON
DISTROFIA MUSCULAR PROGRESIVA
PRESENTA: HEBER DE JESÚS JIMÉNEZ FLORES
PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN ESPECIAL
EN EL ÁREA DE ATENCIÓN MOTRIZ
ASESOR: M.C. EUSEBIO VELÁZQUEZ URIÓSTEGUI
CULIACÁN ROSALES SINALOA JUNIO DE !""#
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PRESENTACIÓN
El presente documento titulado “El aprendizaje de la multiplicación como
objeto matemático a través de la resolución de problemas en un alumno con distrofia
muscular progresiva” se ha elaborado con el propósito de cumplir con los requisitos
establecidos por el plan 200 de la licenciatura en educación especial para obtener el
t!tulo de "icenciado en Educación Especial en el #rea de $tención %otriz&
Este ensa'o cient!fico se encuentra dividido en tres partes( en la primera de
estas se describen los aspectos introductorios del tema( esbozando las hipótesis que
plantea ' las teor!as que retoma&
"a segunda parte se encuentra desarrollado el tema de estudio( defendiendo '
argumentando los planteamientos que se mencionan en la introducción( haciendo un
análisis ' triangulación entre las teor!as establecidas( las suposiciones propuestas '
lo obtenido durante la práctica&
En la tercera ' )ltima parte se e*ponen las variables que dan conclusión al
documento( resaltando las ideas finales al proceso de elaboración del documento&
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INTRODUCCIÓN
“Los problemas no son sólo el lugar en que se aplican los conocimientosmatemáticos, sino la fuente misma de los conocimientos.”
Vergnaud
+entro de la tradición escolar( el saber multiplicar está dictaminado por el
aprendizaje de las tablas ' la utilización del procedimiento e*perto para resolver
problemas de este tipo( que si bien( es el fin mismo de su ense,anza( no significa
sea el medio más conveniente por el cual los alumnos deban iniciarse en el
aprendizaje de un contenido tan importante ' substancial en la ense,anza de las
matemáticas en la escuela primaria&
"a multiplicación constitu'e uno de los saberes matemáticos con ma'or uso
en la vida cotidiana( ' a su vez( es base de muchos otros más complejos hablando
de matemáticas( ' es que( -qué conocimiento matemático no es funcional en nuestra
vida.( a)n cuando no seamos ingenieros e incluso no ha'amos pasado por un
proceso de escolarización( la matemática estará presente en nuestras vidas desde el
momento de la concepción e incluso antes( hasta nuestra muerte ' más allá de ella&
/odemos decir que cualquier cosa e*istente en el universo puede establecer una
relación matemática sin embargo( -cómo es posible que cualquier situación en el
universo pueda relacionarse matemáticamente. 1na respuesta mu' sencilla podr!a
ser que por el sólo hecho de e*istir( o bien( ser un objeto( se ocupa un lugar en el
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hablaremos con detenimiento e intentaremos analizar en torno a las propiedades que
la multiplicación presenta por formar parte de ellos& 7a que los objetos matemáticos
son saberes que requieren de un nivel de abstracción para ser comprendidos&
$bordaremos el supuesto de que un alumno que presenta 3EE que no ha sido
instruido en su proceso de escolarización en el verdadero enfoque de resolución de
problemas( puede acceder al aprendizaje de uno de los objetos matemáticos( el que
llamamos multiplicación( este problema surge de la refle*ión de la actividad
matemática que actualmente se sigue en muchas de las aulas me*icanas( donde la
multiplicación ' otros objetos matemáticos no son adquiridos por los ni,os porque
son transmitidos como saberes establecidos ' no como objetos matemáticos que
tienen sus propias propiedades que deben ser adquiridas en su totalidad para que
pueda considerarse como conocimiento interiorizado&
8omo respuesta a la necesidad del correcto aprendizaje de los objetos
matemáticos( analizaremos el enfoque de resolución de problemas en la ense,anza
de las matemáticas( analizaremos sus planteamientos( sus propósitos(
caracter!sticas ' las cualidades que lo hacen presentarse como una forma mu' eficaz
para que los alumnos las aprendan&
En este ensa'o también será importante e*plicar ampliamente lo que
representan los objetos matemáticos( tanto la naturaleza de los mismos como lo que
implica para un alumno el apropiarse de ellos( destacando cómo es que el enfoque
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de resolución de problemas influ'e directamente este proceso&
9erá importante también que comprendamos lo que la multiplicaciónrepresenta al ser un objeto matemático( por lo que será pertinente que se describan
las propiedades que la caracterizan( ' que son necesarias para que un alumno
adquiera completamente la noción de multiplicar( ' no sólo como procedimiento( sino
como una habilidad que le permita resolver problemas en la vida diaria( tal como se
pretende en la ense,anza de las matemáticas en la escuela primaria& E*plicaremos
el proceso por que persigue un alumno al aprender un contenido que no ha adquirido
de forma funcional en el tercer ciclo de la educación primaria( ' a su vez
encontraremos la una respuesta al porqué ha sido privado de este aprendizaje( ' el
papel que juega la ense,anza tradicional basada en la repetición de ejercicios
memor!sticos privilegiando el cálculo ' la práctica de las operaciones matemáticas(
que en este caso son de tipo multiplicativo&
+entro del proceso que se persiguió para concluir este documento participaron
un gran n)mero de sujetos ' algunas teor!as que pudieron ser puestas en prueba
durante el dise,o( aplicación ' evaluación de la propuesta didáctica que se elaboró
con el fin de responder a las 3EE( estas teor!as e*plican la ense,anza de las
matemáticas mediante el enfoque de resolución de problemas( ' pertenecen a
personas como 8harna'( :ergnaud ' ;osa %ar!a torres respecto a las matemáticas '
a los 'a conocidos
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En resumen( la elaboración de este documento está centrada en la atención a
alumnos con 3EE integrados en escuelas regulares( particularmente en el proceso
de aprendizaje( es por ello que este ensa'o se encuentra dentro de la primera l!neatemática( “/rocesos de ense,anza ' de aprendizaje en los servicios de educación
especial”&
En concreto( la realización del documento está basada en la e*periencia
retomada en el séptimo ' octavo semestres de la licenciatura en educación especial(
en el área de atención motriz& +icha atención fue concebida dentro de una escuela
regular bajo el programa de integración educativa( que cuenta con un equipo de
apo'o perteneciente a la 19$E; 41nidad de 9ervicios de $po'o a la Educación
;egular5( que corresponden a los servicios de apo'o que se brindan a las escuelas
regulares con el fin de facilitar el acceso al curr!culo de educación básica a todos
aquellos alumnos que presentan 3EE( priorizando a las derivadas de una
discapacidad& /ero para adentrarnos en el tema es necesario que desarrollemos las
caracter!sticas tanto de la 19$E; como de la Escuela /rimaria donde se encuentra
el sujeto de estudio( que de ahora en adelante conoceremos con 8ésar $le*is&
8ésar $le*is se encuentra integrado en la “Escuela /rimaria $gustina
;am!rez”( ubicada en la 8iudad de 8uliacán en avenida #lvaro >bregón 3)mero
2?6 8olonia @ierra Alanca pertenece a la Bona 02C de educación( ' tiene como
clave 2=E/;0CC+& $tiende a un total de 2== ni,os inscritos en lista de edades
entre los ? ' C a,os( en su turno matutino( que comprende a una jornada escolar
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desde las D00 hasta las C260 horas&
"a institución se encuentra ubicada en una de las principales avenidas de8uliacán ' en una colonia relativamente mu' cerca del centro de la ciudad( por lo que
es un lugar mu' transitado tanto por personas como por veh!culos( ' por ello( el sitio
cuenta con todos los servicios p)blicos ' privados disponibles en la ciudad
4Electricidad( agua potable( alcantarillado( l!nea telefónica( televisión por cable( por
mencionar algunos5& $l mismo tiempo( al encontrarse en un lugar mu' accesible( '
estar sobre una de las avenidas más transitadas se puede llegar a la escuela por
distintos medios automóvil( motocicleta( bicicleta( a pié ' una gran cantidad de rutas
de transporte p)blico( como algunos ejemplos stesssin( "omitaF8a,adas( "a "ima(
"oma de ;odriguera( entre otros&
En general( la escuela está mu' deteriorada en su aspecto f!sico( debido a su
antigua construcción e instalaciones de electricidad ' agua( no obstante cuenta con
todos los servicios que ofrecen las escuelas p)blicas( e*isten aulas para cada grupo(
lugares de recreación( sanitarios( ' aulas de computación( apo'o psicopedagógico '
biblioteca& +ebido a que la escuela es de organización completa tiene un maestro
frente a cada grupo( reuniendo CC en aula regular ' G de apo'os e*ternos( donde se
encuentran 6 de educación f!sica( 2 de apo'o psicopedagógico( C de tecnolog!a( C
de art!stica( C de inglés ' C de computación( además por supuesto del personal que
no está frente a grupo ' que pertenecen a las áreas de dirección( intendencia(
psicolog!a( trabajo social ' administración& /ara dar una imagen mental se
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proporcionará a continuación un croquis con las instalaciones de la escuela
En particular( el grupo de =I $( que es donde 8ésar se encuentra integrado(
corresponde a la maestra 3orma /atricia( quien debo decir( se caracteriza por ser
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E*isten algunos estantes donde se guardan distintos tipos de material( en
espec!fico( e*iste uno para el rincón de lecturas( ' a un costado de éste( el enfriador
de agua otro estante para material diverso( otro más con puertas para material depapeler!a como hojas( plumones( papel de ba,o ' otro donde se colocan las gu!as(
el libro comercial que se utiliza normalmente como de tareas& /or otro lado( también
se encuentran instalados en paredes contrarias el pintarrón ' el equipo de
enciclomedia( ' a un costado de éste( la maestra coloca un peque,o periódico mural
de grupo& ;esaltando fechas importantes como cumplea,os( efemérides( eventos(
por mencionar algunos& Kinalmente( el escritorio de la maestra( como todo el
mobiliario movible del aula( no tiene un lugar fijo( ' cambia de posición
constantemente& "a siguiente imagen muestra un ejemplo de la organización del
aula
En lo que respecta a las situaciones didácticas( la maestra 3orma /atricia(
procura siempre variar sus actividades durante todo el d!a( tomando en cuenta las
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asignaturas que se establecieron en un horario pero es frecuente que empiece su
clase con algo de enciclomedia( luego continuar con una clase en el pintarrón '
después alguna otra donde los ni,os se formen en equipo ' realicen alguna actividadmanual como un cartel( alg)n cuestionario u otra actividad en equipos& Es por ello(
que los ni,os no están en el mismo lugar todo el d!a ' cambian de orientación sus
sillas hacia el pintarrón o al equipo de enciclomedia&
En promedio( el grupo está constituido por ni,os de nivel medioFbajo( ' al igual
que en toda la escuela( vienen de la periferia de las comunidades al norte de
8uliacán& Es un grupo mu' calmado( que se respetan entre s! mismos( ' llevan una
relación mu' estrecha entre todos( ' aunque es mu' com)n encontrar subgrupos
dentro del mismo grupo( en éste( no son mu' notorias las subdivisiones algo que le
ha sido mu' favorable para la integración de 8esar $le*is( porque desde que llegaron
a primer grado( los alumnos han tenido este tipo de convivencia( sin distinciones de
unos entre otros&
"a atención de las 3EE de 8ésar $le*is han sido planteadas e intervenidas
por el servicio de educación especial que se encuentra en la escuela( el servicio
corresponde a la 19$E; L C?( quien debo decir( que en mi e*periencia como
estudiante de la licenciatura en educación especial al transcurso de mi formación( la
he considerado como uno de los que llevan a cabo los propósitos ' preceptos en la
atención a los alumnos con 3EE integrados en las aulas&
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8ésar $le*is es un ni,o que tiene +istrofia %uscular @ipo +uchenne( que es la
que avanza con ma'or rapidez( se caracteriza por la pérdida paulatina de la
movilidad del cuerpo( por un problema muscular de origen genético( quedescribiremos más ampliamente en la segunda parte de este documento& $ su edad
de CC a,os( el ni,o se desplaza por medio de una silla de ruedas( ' presenta un claro
retraso en la adquisición de contenidos correspondientes al grado que cursa( en
comparación con sus compa,eros de grupo&
/ara determinar las 3EE del alumno se realizó una evaluación
psicopedagógica rescatando tanto el estatus de las áreas intelectual( social(
emocional( ' comunicativo lingM!stico( como el nivel de competencia curricular e
información relacionada con el entorno inmediato del alumno( que conforman los
conte*tos familiar ' escolar&
9e encontró que en el área intelectual( 8ésar cuenta con muchas capacidades
que le permiten apropiarse de conocimientos de distintas !ndoles& @iene una
memoria e*celente para trabajar( tanto a corto como a largo plazo( retiene mu' bien
la información que se le da( ' puede recordarla después de algunos minutos( pero
también después de d!as( e incluso semanas( siempre ' cuando ha'a prestado la
atención debida cuando sucedió la situación de aprendizaje& 9u problema se
encuentra en la atención a las actividades que se realizan en la jornada escolar( 'a
que constantemente pierde el interés hacia la actividad en curso ' desv!a su atención
en otras cosas como dibujar en su libreta ' aunque en ocasiones( sea cuestión de
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que las actividades no son de temas que le interesen( son demasiadas las ocasiones
en las que se distrae( lo que nos lleva a hablar de su conte*to familiar( puesto que
parte del motivo por el que el alumno no trabaja es por algunas conductas que haadquirido durante su formación en la familia&
El ni,o es el primogénito de 2 hijos( su padre( de 66 a,os( operador de tráiler(
su madre de 62 a,os( ama de casa( su hermana menor de a,os ' él( conforman
una familia joven( que intenta seguir adelante con el problema de su hijo& Es una
familia integrada( lo que quiere decir que están establecidos los roles para cada uno
de los integrantes( donde ha' valores( ' una comunicación estrecha entre los
mismos algo que ha favorecido para el desarrollo de 8ésar&
"a familia ha vivido cada etapa de la enfermedad afrontando los retos que a
ésta conlleva( por la evolución de la discapacidad& Es por ello( que actualmente( el
ni,o ha vivido toda su vida con la ma'or atención posible( de parte de sus padres '
otros familiares& 9e le da un trato especial ' se le cumple la ma'or!a de sus
peticiones( pues los padres conocen la fase terminal de la enfermedad ' desean
brindarle a su hijo una vida feliz ' plena a sus CC a,os de edad& El impacto negativo
que esto produce( es que el alumno( cuando llega a la escuela( se le dificulta
apropiarse de las reglas que se deben acatar dentro del salón de clases( ' que
cuando no quiere hacer algo( simplemente no lo hace( mostrando ma'ormente una
actitud voluntariosa( al querer hacer sólo lo que él quiere o le parezca&
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"a maestra de grupo ha sabido llevar la situación prudentemente( con los
padres del ni,o quienes ho' en d!a cooperan un poco más en el control de la
conducta de 8ésar al no querer realizar los trabajos que se elaboran dentro de lassituaciones didácticas&
El principal problema de $le*is( recae en el poco trabajo que realiza dentro '
fuera de la escuela( pero también está ligado a un estilo de aprendizaje más lento
que el de sus compa,eros necesitando que el tema sea más concreto ' la forma de
e*plicar sea más clara( ' un ma'or tiempo para realizar las actividades ' para
apropiarse de los contenidos que éstas pretenden desarrollar& $s! pues podemos
decir( que el retraso de la adquisición de contenidos del alumno comparado con
alg)n otro alumno de quinto grado( se debe a su ritmo ' estilo de aprendizaje más
calmado ' al problema conductual en el que se encuentra debido al trato especial
que se le ha dado dentro del n)cleo familiar ' algunos otros conte*tos donde se
desenvuelve&
En el nivel de competencia curricular( se rescataron as dos asignaturas con
ma'or peso dentro del programa( espa,ol ' matemáticas& En espa,ol muestra un
buen nivel de conocimientos adquiridos( el alumno es mu' competente
comunicándose oralmente( ofrece e interpreta los mensajes de acuerdo con la
situación de comunicación ' dentro de una conversación& 8onoce ' utiliza las
palabras para marcar el inicio ' el final de una interacción usa saludos ' despedidas(
en general( es mu' comunicativo ' manifiesta libremente sus opiniones( sentimientos
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' emociones& Es capaz de narrar cuentos o relatos que le sean de su interés( tiene
el gusto de contar peque,as historias que le han ocurrido aunque en ocasiones
relata con un tinte algo fantástico& ;econoce algunas de las partes del te*to ma'orportada( !ndice( cap!tulos( contraportada& 7 del te*to menor t!tulos( subt!tulos '
párrafos& 8onoce parcialmente los tipos de te*to ' sus funciones noticia( cuento(
art!culo( historieta( etc& dentifica la relación que e*iste entre una imagen ' un te*to
dentro de los cuentos e historietas& +istingue los relatos fantasiosos de los reales&
dentifica los participantes de una situación comunicativa hablante ' o'ente(
mensaje& 1tiliza correctamente las oraciones afirmativas( negativas( admirativas e
interrogativas& +a uso pertinente a la concordancia de género( n)mero( persona '
tiempo en las oraciones& 8onoce las partes básicas de la oración sujeto '
predicado& 1sa las palabras conectoras en sus discursos orales ' escritos& 9abe
que los nombres de personas ' ciudades se inician con ma')sculas ' lo utiliza& 1sa
el punto final de un te*to( el puto ' aparte ' el punto ' seguido para separar ideas&
8onoce la coma( el guión ' los signos de admiración e interrogación& Entre las
limitaciones más significativas en la asignatura de espa,ol se encuentra que el
alumno presenta un gran rechazo a las actividades de escritura ' lectura( mostrando
un desagrado hacia ellas&
En la asignatura de matemáticas( el alumno demuestra un menor grado de
apropiación de conocimientos( a)n as!( maneja n)meros de = d!gitos( o bien hasta la
decena de millar& 9uma ' resta con el algoritmo convencional con n)meros de =
d!gitos e incluso más& 8onoce cabalmente las fracciones con denominador C0( C00 '
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C000& Es capaz de realizar comparaciones e inclusive peque,as sumas con
fracciones con el mismo denominador pero de manera arbitraria( sin utilizar el
procedimiento formal& 8onoce a la perfección la ubicación de las fracciones en larecta numérica& 1tiliza las unidades de metro ' cent!metro en la solución de
situaciones problemáticas& 8alcula el per!metro ' área de figuras no mu' grandes
utilizando la cuadr!cula ' tomando en cuenta las mitades( o cuadros no completos&
1sa el calendario ' reloj digital& ;econoce ' describe la ubicación de un lugar
utilizando peque,os croquis& Es capaz de interpretar información proveniente de una
tabla ' de organizar la información de un te*to en tablas o gráficas de barras& $
pesar de contar con todos estos conocimientos( el alumno a)n no ha aprendido a
multiplicar de manera formal( aunque en peque,os momentos puede responder
alguna de las tablas de multiplicar( pero sólo de forma no significativa ' de un modo
casi mecánico& /ara ser un contenido tan importante( es de gran importancia que el
alumno lo adquiera( 'a que forma base de muchos conocimientos que intervienen en
grados superiores( como los cálculos de áreas ' la aplicación de algunas fórmulas
f!sicas ' qu!micas hablando de la escuela secundaria&
@odos los datos anteriormente mencionados( fueron arrojados al aplicarse el
documento de evaluación ' atención psicopedagógica( dando como resultado( la
necesidad de que el alumno consolide los contenidos de multiplicación( marcados
como uno de los principales objetivos de la escuela primaria( ' necesarios para el
ingreso a la escuela secundaria( que al mismo tiempo( propiciarán en el alumno( un
desarrollo de competencias intelectuales ma'ormente eficaces en la resolución de
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problemas no solo matemáticos( sino también de la vida diaria& Es por eso que se
ha decidido elaborar una propuesta didáctica que pretende no solo la utilización del
algoritmo convencional de la multiplicación( sino el comprender el significado de lasoperaciones ' los procesos que se realizan cuando se multiplican cantidades&
"a propuesta didáctica dise,ada ' aplicada lleva por nombre “/ropuesta
didáctica para desarrollar el algoritmo formal de la multiplicación a través de la
resolución de problemas en un alumno con distrofia muscular duchenne”( ' busca
que el alumno adquiera las nociones de la multiplicación como objeto matemático a
través de una actividad guiada por la solución de situaciones problemáticas( algo que
está claro es lo más conveniente al trabajar matemáticas& 9e dividió en = unidades
didácticas que siguen un proceso de aprendizaje basado en el reconocimiento de la
multiplicación como objeto matemático ' no como un procedimiento o algoritmo que
se tiene que transmitir( a su vez( la propuesta está centrada en los planteamientos de
el aprendizaje significativo de $usubel ' el enfoque de resolución de problemas( que
llevan una relación mu' estrecha que abordaremos en el desarrollo de este
documento& "as = unidades didácticas tienen un propósito que llevan
paulatinamente al desarrollo del algoritmo formal( estas unidades se titulan de la
siguiente forma ' tienen como propósito
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CH
N$. N$%&'( P'$)*+,-$
C "a multiplicación conlos primeros n)meros&
/lantear ' resolver problemas peque,os de
multiplicación( privilegiando el uso de
procedimientos informales( introducidos medianteagrupamientos de colecciones de objetos ' el
descubrimiento paulatino de la forma usual para
la representación de la multiplicación&
2"os problemas de
multiplicar&
/lantear ' resolver problemas con el propósito
que el alumno reconozca aquellos que se
resuelven con la multiplicación sin utilizar a)n el
procedimiento e*perto para multiplicar&
6%ultiplicaciones
especiales&
/lantear ' resolver problemas de multiplicaciónque sin la e*igencia de la utilización del algoritmo
convencional que lo lleven al conocimiento de
más procedimientos con los que se puede
resolver un problema de multiplicación( tales
como arreglos rectangulares ' n)meros
terminados en cero&
+escomposición de la
multiplicación&
/lantear ' resolver problemas de multiplicación
de n)meros de dos cifras mediante ladescomposición&
=El algoritmo formal
para multiplicar&
/lantear ' resolver problemas diversos de
multiplicación para que el alumno descubra el
procedimiento formal para multiplicar&
$l aplicar las = unidades didácticas( resultó un proceso de aprendizaje de la
multiplicación significativamente( este proceso está conformado en ? etapas 'claramente se vincula con la propuesta didáctica( llegando a formar las categor!as
residuales que conclu'en este ensa'o( las categor!as son ? ' se muestran en la
siguiente lista
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CD
• 3oción de n)mero&
• "a multiplicación en conjuntos ' repartos de objetos&
• El descubrimiento de la forma usual para representar una
multiplicación&
• El reconocimiento de los problemas de tipo multiplicativo&
• El hallazgo de las multiplicaciones especiales&
•
El procedimiento o algoritmo e*perto para multiplicar&
"as categor!as antes mencionadas guiarán el resultado de la hipótesis de por
qué ' cómo los ni,os con 3EE asociadas a una distrofia muscular progresiva pueden
aprender a resolver problemas multiplicativos en una ambiente basado en los
planteamientos de la resolución de problemas( ' a su vez nos permitirán refle*ionar
acerca de lo que significa ense,ar matemáticas&
Es importante aclarar que durante el proceso de elaboración de este ensa'o
se encontraron un conjunto de situaciones que influ'eron tanto de forma positiva
como negativa la redacción de este documento( sin embargo( las que lo favorecieron
se presentaron en ma'or grado&
/rimeramente( la orientación de la escuela ' del servicio de educación
especial hacia la realidad de los conocimientos que las escuelas normales no ofrecen
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a sus estudiantes fue pieza clave al final de mi proceso de formación como docente(
pero también las facilidades otorgadas contribu'eron positivamente en la
intervención que se realizó con el alumno en cuestión&
"a escuela normal también formó parte esencial del proceso( en tanto que
asumió sus responsabilidades como institución formadora de docentes( mostrando
siempre una visión orientada a la formación de profesionales con valores ' actitudes
que deben estar siempre presentes en la educación de ni,os ' jóvenes con 3EE&
$l hacer esta valoración es necesario también ahondar en las situaciones que
mostraron algunos inconvenientes& Entre estas destacan la insuficiente información
acerca de las teor!as de aprendizaje que son base para la práctica docente( ' a su
vez la falta de bibliograf!a conocida para escribir este ensa'o&
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DESARROLLO
El $prendizaje de la %ultiplicación 8omo >bjeto %atemático a @ravés de la
;esolución de /roblemas en un $lumno 8on +istrofia %uscular /rogresiva
Neneralmente( cuando de matemáticas se habla( suelen surgir un sinf!n de
opiniones encaminadas hacia todas direcciones( que si son aburridas o divertidas(
que si son fáciles o dif!ciles( que si son inaplicables o aplicables( tediosas( in)tiles( en
fin( las matemáticas siempre han sido un tema que como dice
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mismo sucede con este documento donde hablaremos del proceso de aprendizaje de
la multiplicación( pero al hablar de matemáticas( ' en concreto de un proceso de
ense,anza o aprendizaje de ésta( entonces no podemos evitar uno de los másgrandes cuestionamientos de la ciencia matemática( el que nos lleva a los
planteamientos epistemológicos de ella( es decir( el origen del conocimiento
matemático&
9e dice mucho sobre el origen de los conocimientos matemáticos ha' quienes
afirman( que éstos( son saberes que e*isten desde siempre( o bien( que están
establecidos 'a por las le'es de la naturaleza seg)n esta teor!a( todas las fórmulas(
operaciones( algoritmos( ' en general todo conocimiento matemático( ha estado
sujeto al descubrimiento del hombre& /or otra parte( ha' quienes contrariamente a
los anteriores( apuntan a que los conocimientos matemáticos( no están
preestablecidos( por el contrario( dichos conocimientos se originan en el momento en
el que el hombre( derivado por una necesidad( los constru'e dentro de su mente( '
sólo hasta ese momento es cuando se puede decir que un saber matemático e*iste&
$l pensar detenidamente en las hipótesis que nos presentan las dos corrientes(
podremos darnos cuenta de que es dif!cil elegir cuál postura adoptar( 'a que las dos
ofrecen argumentos mu' atractivos ' verdaderamente coherentes( incluso es posible
que cambiemos muchas veces de postura( pero a fin de adentrarnos en nuestro tema
de estudio( es preciso que e*pliquemos más ampliamente las hipótesis de la
segunda corriente&
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En su libro “ prender !por medio de" la resolución de problemas” 8harna'( hace
un e*tenso análisis sobre los objetos matemáticos que nos es conveniente abordar
para llegar al completo entendimiento de lo que significa ense,ar matemáticas(dentro de sus planteamientos( 8harna' retoma algunas de las aportaciones de +uval
en torno a dos condiciones que nos revelan cuando un alumno se ha apropiado de
un objeto matemático "a primera condición es que el alumno no confunda el objeto
matemático con su representación( ' la segunda es que reconozca al objeto
matemático en todas las representaciones&
"a primera condición nos apunta que jamás ha' que confundir los conceptos '
propiedades de los objetos matemáticos entre las representaciones que se utilizan
en matemática( 'a que como se mencionó anteriormente( las representaciones son
sólo eso( una de las miles de representaciones que tiene un objeto matemático( sin
embargo( como nos dice 8harna' “9e trata de una condición espec!ficamente dif!cil
de cumplir al trabajar en matemática( en virtud de que( como 'a se,alamos( los
objetos matemáticos no son perceptibles a través de los sentidos&” 48harna' CGGD(
pág& 65( ' al ser impalpables e imperceptibles( el )nico medio para percibir los las
propiedades de los objetos matemáticos son sus representaciones& "o anterior tal
tez se presente como una idea ambigua o confusa que se contradiga a s! misma( el
ense,ar los objetos matemáticos sin confundirlos con sus representaciones( siendo
que éstas son el )nico medio que proporciona el acceso a los saberes u objetos
matemáticos&
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En realidad esto no tiene por qué ser confuso( en tanto que la respuesta a esta
dis'untiva se encuentra dentro de ella misma( ' es que al tenerla presente( será
posible organizar las situaciones didácticas de manera que siempre se esténutilizando distintas representaciones del objeto matemático al ense,arlo& /odemos
ejemplificarlo cuando los ni,os adquieren el concepto de n)mero& Osta es una tarea
que se inicia en los primeros a,os de escolarización( ' como todo objeto matemático
es un conocimiento abstracto en tanto a que es un concepto mental que los ni,os
tienen que aprender a construir dentro de sus mentes& En la adquisición de este
concepto los alumnos tienen que apropiarse de todas las propiedades del n)mero '
entre ellas podemos mencionar las siguientes
• 1n n)mero representa una cantidad( as!( el 6 es menor que el ' al mismo
tiempo es ma'or que 2&• "os n)meros tienen un orden( as! del C sigue el 2( del 2 sigue el 6( del 6 sigue
el ' as! sucesivamente&• 8ada n)mero tiene un numeral que los representa( as! por ejemplo el numeral
del uno es C&• 8ualquier objeto es susceptible a ser representado por un n)mero( as! el ni,o
sabrá que puede contar objetos incluso sin ninguna similitud en su apariencia
f!sica&
/ara que los ni,os se apropien de todas propiedades del n)mero( es
necesario que el maestro utilice distintas representaciones de éste( porque si al ni,o
se le ense,ara sólo el conteo de manzanas( por dar una ejemplificación( aprender!a
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un procedimiento o representación del n)mero ' no el objeto matemático con todas
sus propiedades( en consecuencia( el ni,o sólo podr!a contar manzanas ' la )nica
propiedad que conseguir!a adquirir es el orden& 8omo sabemos( los profesores deque están a cargo de ense,ar el concepto de n)mero utilizan muchas estrategias
que les permiten a sus alumnos aprenderlo( ' como muestra están las actividades
dónde se tiene que identificar el antecesor ' sucesor de un n)mero( cuando se define
un n)mero ma'or o menor( cuando se copian planas de n)meros o cuando se utiliza
el conteo& Esto nos da como resultado que los alumnos se apropien de todas las
propiedades del concepto de n)mero ' puedan consecuentemente aprender este
objeto matemático&
En la segunda condición manifiesta que el alumno debe reconocer al objeto
matemático en cada una de las representaciones( como ejemplo( un alumno que 'a
ha adquirido totalmente el concepto de n)mero( podrá identificarlo en todas sus
manifestaciones( por ejemplo tendrá que saber que el n)mero cuatro se representa
de distintas maneras( ( 2P2( C2FD( C?Q( por mencionar algunos( ' ésta segunda
condición se cumple en medida que la primera sea ejecutada& $l hacerlo se puede
decir que el alumno ha aprendido 'a el objeto matemático&
$hora que hemos analizado lo que es un objeto matemático( ' lo que implica
para un alumno apropiarse de él( podemos llegar a imaginarnos realmente lo que
involucra el aprender matemáticas( ' tal vez surjan cuantiosas preguntas -qué tan
será dif!cil aprender matemáticas.( -cuál es la mejor método para ense,ar las
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matemáticas.( -pueden los ni,os con 3EE aprender matemáticas.( -es posible
que nuestros alumnos encuentren agradable estudiar matemáticas. Ostos ' otros
numerosos planteamientos que hondan respecto a la ense,anza o aprendizaje de lasmatemáticas han e*istido desde tiempos lejanos ' elementalmente( al mismo tiempo
han surgido quienes han buscado las respuestas( esto ha dado como resultado la
creación de un gran n)mero de teor!as( métodos( procedimientos o técnicas para la
ense,anza de las matemáticas( pero es posible agrupar a todos ellos en tres
enfoques( los cuales dependen básicamente de la evolución en la forma de concebir
a las matemáticas&
En su libro “#studiar matemáticas. #l eslabón perdido entre enseñanza $
aprendizaje”, 8hevallard se,ala dos de los tres enfoques de ense,anza de las
matemáticas( ' algunos autores como ;esniR ' Kord hablan de la transición entre el
segundo ' el tercero&
8ronológicamente( el primer enfoque se encuentra cuando las matemáticas
eran consideradas como un arte( por ello lo nombraremos rt%stico. +urante este
periodo( el saber matemático era percibido como un privilegio o como algo
estrictamente dirigido a la clase social alta& Este modo casi sagrado de ver a las
matemáticas( las hac!a algo inaccesible ' digamos un tanto intocable( lo que hac!a
fuera casi imposible cuestionar la veracidad de los conocimientos matemáticos( as!
que sólo se transmit!an e*actamente como eran( relegando el uso de la refle*ión ' el
análisis& 8hevallard menciona como el resultado de este enfoque que “el aprendizaje
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de los alumnos depend!a sólo del grado en que el profesor dominase dicho arte '( en
cierto sentido( de la voluntad ' la capacidad de los propios alumnos para dejarse
modelar por el artista&” 48hevallard 2000( pág& HC5& $s! pues( mientras un profesor manejara a la perfección las fórmulas ' procedimientos( estaba capacitado al mismo
tiempo para transmitir ese conocimiento a los que merec!an aprender matemáticas&
/odemos ver que ésta visión carece de muchas variables que pueden tanto
favorecer o delimitar el aprendizaje de los alumnos( ' no cubre con muchos de los
preceptos que ho' consideramos importantes en un proceso de ense,anza o de
aprendizaje( pero mientras las matemáticas formaran parte de las artes( su
ense,anza estar!a confinada a la transmisión de un saber establecido ' sin ninguna
posibilidad de análisis&
%ás tarde( la necesidad del ser humano por comprender e investigar los
fenómenos naturales( transformó esa visión art!stica de las matemáticas en ahora
parte de la ciencia( lo que permit!a analizar ' cuestionar los saberes matemáticos '
buscar nuevas soluciones ' procedimientos que resultaran más eficaces& El inhibir la
cuestión irrefutable de los conocimientos matemáticos( llevó también a cambiar la
forma en que se ense,aban las matemáticas( dando eventualmente la posibilidad al
análisis ' refle*ión( a este enfoque 8hevallard lo denominó &lásico( ' seg)n éste( “el
aprendizaje era considerado como un proceso psicoFcognitivo fuertemente
influenciado por factores motivacionales ' actitudinales del alumnoFaprendiz&”
48hevallard 2000( pág& HC5 8omo podemos ver( ahora se inclu'en algunas variantes
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al proceso de ense,anza de las matemáticas( ' nos queda claro que el aprendizaje
'a no solo depende del dominio del profesor( sino que se reconocen factores
motivacionales ' actitudinales&
$hora bien( es cierto que el enfoque &lásico promueve eventualmente el
análisis ' la refle*ión( pero los métodos que se utilizaron para la ense,anza( segu!an
siendo mu' parecidos a los anteriores( en éste enfoque( son habituales el uso de los
cuadernos de ejercicios( las tarjetas con fórmulas ' procedimientos( las planas ' el
constante ejercicio de las operaciones( 'a que la visión de aprender matemáticas se
encontraba dirigida hacia la utilización precisa de los procedimientos formales( as!
que mientras más se practicaban los ejercicios ' las cuentas( ma'or indicios habr!a
de que se estaba aprendiendo matemáticas( porque seg)n ;esniR ' Kord( “cre!an
que los ni,os llegar!an a entender las matemáticas como un conjunto de datos ' de
procedimientos que no se relacionaban entre s!” 4;esniR ' Kord 2000( pág& C2D5
8on lo que hemos analizado( es posible observar que los objetos matemáticos no
están nada cerca de ser un conjunto de datos ' procedimientos no relacionados( al
contrario( los hemos considerado como un conocimiento abstracto que requiere de
ciertos requisitos para ser comprendido totalmente( ' tal como los mismos ;esniR '
Kord nos e*ponen que “cualquier matemático sabe que las matemáticas forman un
sistema unificado de conceptos ' operaciones que e*plican algunos patrones '
relaciones que e*isten en el universo&” 4;esniR ' Kord 2000( pág& C665 por lo tanto(
mientras las matemáticas siguieran siendo vistas como un saber hecho que se
transmite mediante la práctica( su ense,anza estar!a delimitada por ésta&
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El enfoque &lásico también inclu'ó la utilización de situaciones problemáticas(
pero como algo casi impropio de la ense,anza( más bien( los problemas se utilizaban
como medio de evaluación( as! entonces se pensaba que los alumnos primerodeber!an aprender matemáticas ' después aplicar éstos conocimientos en la vida
diaria( sin embargo( al hacer esto( se relaciona directamente al aprendizaje de las
matemáticas con la utilización del procedimiento e*perto( ' por lo tanto a la e*actitud
en los resultados de las operaciones&
+urante este documento( hemos mencionado en varias ocasiones al
procedimiento e*perto( ' es necesario entonces que comprendamos lo que por éste
se entiende& 1n procedimiento se define como “un conjunto de acciones ordenadas
a la consecución de una meta” 4/ozo et& al( CGG( pág& C=5( por lo tanto( un
procedimiento e*perto se puede e*plicar como aquel que da la solución más rápida '
con menor posibilidad de error hacia alg)n problema o tipos de problemas( ' también
podemos referirnos a ellos como procedimiento o algoritmo formal o e*perto& $l
contrario( el procedimiento o algoritmo informal o ine*perto( es aquel que ofrece en
cierto grado menor fiabilidad ' rapidez en la solución de un problema o tipo de
problemas&
+ebemos entender que el atributo de informal o formal no se refiera a que uno
sea correcto ' otro incorrecto( simplemente el procedimiento formal es el más apto
para resolver un problema( 'a que encontramos que un problema puede ser resuelto
de manera formal e informal con un resultado correcto en ambos procedimientos( '
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que un procedimiento formal para un problema puede ser informal para otro como
ejemplo tenemos que para un problema aditivo( el procedimiento formal o e*perto es
obviamente la suma( sin embargo( es posible obtener el mismo resultado mediante elconteo $l mismo tiempo( la suma se convierte en un procedimiento informal al
solucionar un problema multiplicativo( 'a que para éste( el procedimiento formal es la
multiplicación& 1na vez e*plicado el tema del procedimiento formal( podemos
continuar con nuestra breve rese,a de la historia de la ense,anza de las
matemáticas( recordando que analizábamos el segundo enfoque denominado
&lásico&
$l considerar como prioridad la utilización del procedimiento formal( podemos
e*plicar la importancia de la práctica de los algoritmos ' procedimientos formales en
la ense,anza de las matemáticas( ' no fue hasta que las matemáticas comenzaron a
ser consideradas más bien como una habilidad( cuando inició el gran vuelco en su
enfoque de ense,anza( 'a que al ser una habilidad( ésta debe ser usada ' aplicada
en nuestra vida diaria& $s! mismo( el gran revuelo sucedido entre los a,os =0
ocasionado por las nuevas investigaciones de los pedagogos ' psicólogos de esa
época( apuntaban a un gran cambio en la forma de ense,ar& 9eg)n ;esniR ' Kord(
teor!as como la del aprendizaje significativo propuesto por $usubel 4CG?D5( o la del
aprendizaje por descubrimiento por /iaget 4CGCQCG=25 ofrec!an un enfoque más
conceptual que de cálculo( 'a que su centro principal pasaba de ser de las
e*igencias de las matemáticas como disciplina o ciencia a los procesos psicológicos
de los alumnos& Estos sucesos fueron los que vieron nacer el enfoque de
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9e deb!an utilizar( en cambio( métodos de ense,anza que permitiesen a losni,os descubrir por s! mismos ciertas generalizaciones ' principios(permitiéndoles as! gozar del aprendizaje ' participar en algunos de losprocesos creadores con los que han disfrutado los matemáticos a lo largo delos siglos& 4;esniR ' Kord 2000( pág& C6C5
En análisis( la anterior cita nos marca no sólo la idea de que los alumnos
deber!an ser quienes descubrieran por s! mismos( los procedimientos formales ' as!(
pudieran comprenderlos( sino que con esto( cambiar!a totalmente la forma en que los
alumnos ven las matemáticas( hasta desarrollar un goce en la actividad matemática&
+e igual forma que en la conferencia de Soods Jole( en 8ambridge
plantearon cambios mu' significativos( pero esta vez estuvieron dirigidos en la
constitución del curr!culo de matemáticas( los participantes de esta conferencia nos
apuntaron lo siguiente
9e ense,ar!a de forma que cada afirmación o procedimiento tuvieran una razónde ser( ' de forma que las interrelaciones entre conceptos se pudiesendemostrar( ' que se estableciese o se rechazase la validez de cada conceptorefiriéndose a supuestos 'a probados& 4;esniR ' Kord 2000( pág& C605
9iendo breves( lo anterior nos plantea tres ideas( primero que para cada
contenido que se estableciera dentro de los curr!culos( deber!a e*istir una razón por
la cual fue incluida en éste( segundo que fuera sencillo el encontrar las relaciones
entre los conceptos que fueran a formar parte del curr!culo( ' tercero que la elección
de los contenidos estuviera sometida a un proceso donde imperaran teor!as 'a
establecidas&
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encaminadas hacia un aprendizaje significativo que pueda ser utilizado en su vida
diaria& 8omo respuesta a todo esto( tanto ;osa %ar!a @orres( como el programa de
educación primaria de CGG6 apuntan al aprendizaje de las matemáticas mediante elenfoque de 'esolución de problemas&
Jasta aqu! hemos e*puesto una breve rese,a de la evolución del enfoque de
la ense,anza de las matemáticas( ' a)n cuando no somos reconocidos filósofos o
pensadores importantes( podemos compararla e imaginarnos los procedimientos '
métodos que se utilizaron en los distintos enfoques en la ense,anza de cualquier
objeto matemático hasta antes de la llegada de la 'esolución de problemas& $s!
vemos que por ejemplo dentro de la multiplicación( en el primer enfoque que
llamamos rt%stico, el procedimiento e*perto para multiplicar se transmit!a como si
fuera una fecha( o un dato cualquiera( sin analizarse ni ponerse a discusión ante los
alumnos( era asimilado directamente sin ofrecer actividades previas de preparación
para la inclusión de éste procedimiento( era como si quisiéramos copiar un archivo
e*actamente igual de una computadora a las otras&
En el enfoque &lásico que estaba basado en el cálculo( fue donde se daba
prioridad a la práctica( ' el modo en que se presentaba este objeto matemático era
e*actamente igual al anterior( el algoritmo formal se e*plicaba desde el primer
momento( solo que ahora se agregaron los problemas al final del proceso de
ense,anza aprendizaje( porque cre!an que los ni,os deber!an aprender matemáticas
para después aplicarlas& En otras palabras( era como si entrenaran un equipo de
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básquetbol dentro de un gimnasio por mucho tiempo ' luego lo sacaran para que se
enfrentaran a otro equipo sin ning)n partido de preparación&
El enfoque de 'esolución de problemas por su parte( ofrece resanar los
agujeros que dejaban los anteriores enfoques( introduciendo el algoritmo formal
mediante el descubrimiento ' aplicándolo en situaciones reales incluso en los
algoritmos informales( antes de adquirir el formal&
Es necesario ahora que e*tendamos la e*plicación del enfoque de 'esolución
de problemas( 'a que éste nos presenta muchas caracter!sticas que son
provechosas para la ense,anza de las matemáticas&
9i cuestionamos a nuestros alumnos sobre lo que piensan cuando se
menciona la resolución de problemas más de uno pensará en las matemáticas 4que
para muchos representa en s! el problema5( pero debe quedar claro que la resolución
de problemas se e*tiende más allá de las matemáticas( en virtud de que ésta es una
habilidad que se puede aplicar a cualquier campo ' circunstancia&
"a resolución de problemas tiene como esencia el planteamiento de
situaciones problemáticas( por lo que es posible confundirla con un simple ejercicio(
pero debemos entender que la resolución de problemas involucra más acciones que
la de sólo responder un cuestionamiento como pasa con los ejercicios ' es que al
tratarse de un problema( éste debe representar un reto que comprometa la b)squeda
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de un procedimiento del que no dispongamos( ' para lo cual debamos pasar por un
proceso donde refle*ionemos para tomar una serie de decisiones que nos llevarán
hasta encontrar la solución al problema que nos ha sido planteado& Esto nos lleva aque los problemas deben tener caracter!sticas espec!ficas para que sirvan como
elemento de ense,anza ' no se conviertan en un simple ejercicio que nos lleven al
enfoque &lásico de la ense,anza de las matemáticas( donde el cálculo ' la práctica
constitu!an la acción de aprender& /or ello debemos establecer los requisitos que
debe tener un problema para percibirse como parte del enfoque de 'esolución de
problemas&
• $sertivo• ;efle*ivo• :ersátil• /ersuasivo
El primer requisito está relacionado con la idea de que un problema no debe
ser tan fácil( que no represente un reto para el alumno( pero tampoco debe ser tan
dif!cil( que no pueda ser resuelto& En consecuencia( un problema debe tomar en
cuenta los conocimientos previos que el alumno posee( lo que nos lleva a definir el
segundo requisito( 'a que el carácter refle*ivo se refiere a que los problemas
deberán ser dise,ados pensando en que los alumnos deban refle*ionar para
encontrar un procedimiento que los lleve a resolver el problema utilizando las
nociones matemáticas que posee& El tercer requisito está dirigido a que las
situaciones problemáticas no deben de presentarse e*actamente iguales( siempre
debe agregarse una variable distinta que cambie la estructura del problema( ' no nos
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distinta que implica un cuestionamiento más impl!cito dentro del problema( -8uántas
ruedas tiene una bicicleta. $simismo( esta variable puede conducirnos al cuarto
requisito que es la persuasión( 'a que podemos aprovecharla dándole un tinte demisterio a las situaciones problemáticas ' as! involucrar a los alumnos en el
problema de tal forma que les surja la necesidad propia de resolverlo( esto hará que
busquen con más entusiasmo la solución( ' una vez que la encuentren( les dará un
cierto grado de satisfacción personal llevándolos a que paulatinamente puedan
apreciar las matemáticas&
ndependientemente si el problema cumple o no con los requisitos( al
resolverlo el alumno se enfrenta a una tarea que implica la transición de etapas
propuestas por /ol'a( las cuales podemos encontrar en el libro “La solución de
problemas” de
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antiguo conocimiento( el alumno se inmiscu'a en un proceso que le lleve a comparar
' analizar los dos conocimientos ' llegue a la conclusión de que el nuevo
conocimiento es más eficaz que el anterior( por ello es que las situacionesproblemáticas deben incluir en su dise,o esta idea&
"a primera etapa para la resolución de un problema consiste en la
comprensión del mismo problema( 'a que ser!a imposible resolver una tarea que no
ha'a sido comprendida totalmente( sin embargo debemos saber que no solo conlleva
que el alumno deba entender el significado de las palabras que conforman el
problema( por as! decirlo( por ello /o'la nos se,ala que “comprender un problema no
sólo significa entender las palabras( el lenguaje o los s!mbolos en los que está
planteado( sino también asumir la situación como tal problema ' adquirir una
disposición de b)squeda de esa solución&” 4como se cita en /ozo et al& CGG( pág&
2=5& 8uando esto ocurre( el alumno ha entrado 'a en un proceso donde le es posible
percibir las dificultades que tendrá que sobrepasar para resolver el problema( '
deberá organizar sus e*periencias previas para determinar cuáles le son )tiles para
solucionar la tarea que se le ha encomendado( lo cual corresponde al primer
requisito que se analizó con anterioridad( la refle*ión ' da pauta para continuar con la
etapa siguiente&
"a segunda etapa es la concepción de un plan( donde el alumno debe tener
mu' claro la distancia que ha' entre la situación actual que presenta ' lo que plantea
el problema ' qué procedimientos son más eficaces para disminuir o eliminar esa
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distancia& En esta etapa el alumno deberá encargarse de dise,ar las estrategias que
le permitan resolver el problema o bien( utilizar sus conocimientos previos para crear
una solución que dé respuesta a la necesidad que plantea&
8omo el alumno a)n no ha adquirido el nuevo conocimiento( que en este caso
ser!a el procedimiento e*perto( tendrá que resolverlo mediante un procedimiento
informal& Este procedimiento informal se inclina hacia la importancia de los
conocimientos previos en el aprendizaje significativo( que deben ser el punto de
partida para los nuevos aprendizajes ' al dise,ar el plan que se utilizará para
resolver el problema( Krida +!azFAarriga nos dice que “9e realiza un juicio de
pertinencia para decidir cuáles de las ideas que 'a e*isten en la estructura cognitiva
del aprendiz son las más relacionadas con las nuevas ideas o contenidos por
aprender&” 4+!azFAarriga 200C( pág& 05 es decir que el alumno tendrá que hacer una
organización de todos los saberes que ha adquirido a lo largo de su vida '
seleccionar aquellos que puedan servirle para solucionar el problema que se le
plantea( por esto es que el docente siempre debe tener en claro cuál es el
conocimiento que actualmente poseen sus alumnos( para que al dise,ar las
situaciones problemáticas siempre tenga la visión de que deben atender al requisito
de la acertividad para lograr que sus alumnos puedan en verdad resolver el problema
mediante sus propios medios&
"a tercera etapa consiste en la ejecución del plan( donde el alumno pondrá en
marcha el procedimiento que ha concebido para dar solución al problema planteado(
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esta etapa suele ser la más rápida 'a que el alumno sólo tendrá que utilizar el
procedimiento que ha dise,ado con sus conocimientos previos& En ocasiones el
alumno suele percatarse durante la ejecución del plan que el procedimiento quehab!a formulado no es el indicado( lo que lo lleva nuevamente a dise,ar un nuevo
plan&
"a cuarta etapa es la visión retrospectiva( donde el alumno verificará si el
resultado obtenido es el correcto( en ésta /ol'a nos menciona que tiene dos
objetivos
/or un lado( la persona que soluciona problemas eval)a si ha alcanzado o nola meta ' si debe( por tanto( revisar su procedimiento& /or otro( desde el puntode vista didáctico( puede servir para a'udar al alumno a hacerse consciente delas estrategias ' reglas empleadas '( de esta forma( mejorar su capacidadheur!stica& 4como se cita en /ozo et al& CGG( pág& 6C5
En estos dos objetivos( es donde se encuentra en s! la acción de aprender( 'a
que el alumno debe llegar a refle*ionar si el procedimiento que utilizó es el más
eficaz para resolver el problema( comparando ' analizando todos los procedimientos
que se utilizaron o pudieron haber utilizado para resolver el problema( ' aqu! es
donde el docente deberá introducir el procedimiento formal que está establecido 'a
por las matemáticas ' bajo este planteamiento( se inclu'en las ideas del aprendizaje
significativo en el sentido de que “9e determinan las discrepancias( contradicciones
' similitudes entre las ideas nuevas ' las previas& 8on base al procesamiento
anterior( la información nueva vuelve a reformularse para poderse asimilar en la
estructura del sujeto&” 4+!azFAarriga 200C( pág& 05& $s! es como el alumno deberá
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comparar ahora el procedimiento formal ' el informal para llegar a la conclusión de
cuál es el procedimiento que él utilizará cuando se le presenten problemas de éste
tipo( ' más allá del cuál( llegará a entender porqué ese procedimiento le puedebrindar una m!nima posibilidad de fallo ' una ma'or rapidez( para que lo adopte 'a
en su estructura cognitiva&
8laramente podemos observar que en la resolución de problemas no es tan
necesaria la respuesta correcta( por el contrario( lo que se busca es que el alumno
refle*ione acerca de los procedimientos que está utilizando para resolver los
problemas( as! el error no es considerado como un fallo( más bien( éste se convierte
en una oportunidad de refle*ión( que llevará a que paulatinamente el alumno llegue a
las conceptualizaciones propias de las matemáticas( o en otras palabras al
descubrimiento del algoritmo convencional o procedimiento formal ' al compartir
algunas de las hipótesis con el aprendizaje significativo( la resolución de problemas
ofrece muchos aspectos positivos para los alumnos con 3ecesidades Educativas
Especiales( incluso es posible que una actividad matemática en el aula regular
orientada por la resolución de problemas bien fundamentada ' aplicada( pueda
satisfacer e incluso eliminar las 3EE de menor grado&
En particular( la estancia dentro de un servicio de educación especial durante
un ciclo escolar ' la aplicación de una propuesta didáctica( permitieron reunir un
conjunto de pruebas que pueden afirmar la anterior hipótesis( no obstante( para
desarrollarla necesitamos primero tratar algunos puntos que nos permitirán percibir
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más claramente la situación&
niciemos retomando el caso que se analizó durante el ciclo escolar 200DF200G& ;ecordemos que el alumno tiene por nombre 8ésar $le*is( está en =I de
primaria ' desde los = a,os fue diagnosticado con +istrofia %uscular +uchenne
4+%+5( que pertenece a la categor!a de +iscapacidad %otriz& E*isten varios tipos de
distrofia( pero ésta en espec!fico cuenta con la siguiente definición propuesta por
Kitzgerald
"a +%+ es una patolog!a genética hereditaria de los m)sculos concaracter!sticas cl!nicas( histológicas ' bioqu!micas propias( causada por unaanormalidad del gen de la distrofina( una prote!na asociada con la membrana(que genera la ausencia total de distrofina en los m)sculos además de otrostejidos productores& 4Kitzergerald 200( pág& 265
Esta definición nos describe la +istrofia %uscular +uchenne de un modo un
tanto médico( pero podemos distinguir dentro de ella algunas caracter!sticas
• Es una enfermedad de origen genético&• Es hereditaria&• Es causada por una anormalidad en el gen de la distrofina&
"a +istrofia %uscular +uchenne( se da solo en los varones( ' normalmente no
es diagnosticado en el nacimiento( 'a que no presenta caracter!sticas particulares a
esa edad& 3o es hasta que los ni,os inician con un ligero retraso en el desarrollo
motor( cuando se comienzan a distinguir las caracter!sticas del padecimiento& 1na
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caracter!stica más de esta distrofia es la progresividad( es por ello que se le nombre
en ocasiones +istrofia %uscular /rogresiva +uchenne( porque va degradando el
aparato muscular del cuerpo( remplazando el m)sculo funcional por tejidofibroadiposo llevando a la persona a la pérdida paulatina de las capacidades motrices
' un conjunto de complicaciones que más tarde provocarán el deceso del individuo
que la padece& +entro de la +%+ se puedes distinguir etapas que se clasifican por
edades +e 0 a a,os( de a D a,os( de D a C2 a,os ' de C2 en adelante( estas
etapas muestran notoriamente una serie de caracter!sticas que se van agravando tal
como lo e*plica Kitzgerald en su obra 6rtopedia.
/or su edad de CC a,os( 8ésar $le*is se encuentra en la tercera etapa de la
enfermedad( durante este periodo( los ni,os se fatigan con facilidad ' pierden la
capacidad de mantenerse en pie ' caminar por s! solos( debido al bajo tono muscular
de los cuadriceps( presentan también una posición equina del pie( lo que dificulta el
uso de calzado ' para esta edad( los pacientes deben utilizar una silla de ruedas
permanentemente para desplazarse&
$l alumno le resta un a,o para entrar la )ltima etapa de la enfermedad( donde
los trastornos musculares aumentan a tal grado que surgen un conjunto de
alteraciones secundarias escoliosis ' lordosis que acrecientan la curvatura de la
columna vertebral( que evolucionaran causando a su vez la disminución progresiva
de la función pulmonar algunos ni,os afectados también pueden presentar
problemas gastrointestinales asociados a la falta de distrofina en el m)sculo liso del
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intestino& "a capacidad vital del ni,o irá empeorando a menudo que la debilidad
muscular progresa ' con ésta las complicaciones antes mencionadas& Kinalmente(
entre los C? ' 2C a,os( las personas con +%+ fallecen por infecciones pulmonaresque no pueden superar por su insuficiencia respiratoria progresiva&
+esafortunadamente( no e*iste cura para esa enfermedad( ' podemos
imaginarnos el gran golpe emocional que llegan a sufrir los padres al conocer el
desenlace del padecimiento( esto en parte ha provocado un gran sentimiento de los
padres hacia complacer a 8ésar ' tratar de brindarle la ma'or cantidad de felicidad
que puedan a su vida( evitando todas aquellas e*periencias que puedan propiciarle
un conflicto de cualquier tipo( dentro de ellas( están las e*igencias de que implica
cualquier proceso de escolarización( lo que lleva a un desinterés en la cantidad '
calidad de los aprendizajes escolares( causando un bajo aprovechamiento escolar(
un tema de debate en el que es necesario inmiscuirnos&
"a capacidad intelectual de los ni,os con +istrofia %uscular +uchenne es una
interrogante a)n turbia que no ha conseguido una clara respuesta( pero e*isten
algunos documentos que debaten este tema ' entre ellos destaca un art!culo
electrónico nombrado “#l &erebro en la Distrofia (uscular Duc7enne” publicado por
la %uscular +istroph' $ssociation 4%+$5 de E1$ o bien( $sociación de +istrofia
%uscular de los Estados 1nidos de $mérica( por %argaret Sahl 4CGGH5& El art!culo
hace un e*tenso análisis sobre las capacidades intelectuales de los ni,os con
+istrofia %uscular +uchenne que debemos retomar( debido a que ratifica muchas de
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D
un poco diferente& $unque a)n no ha'a concluido el estudio de la prote!na en el
cerebro( los investigadores se atreven a especular que si esa prote!na cerebral fuera
defectuosa en la +%+( esto podr!a e*plicar los problemas cognitivos observados( 'el hecho de que las personas tienen distintos defectos en el mismo gen( podr!a
entonces e*plicar la variabilidad encontrada en estos problemas& $ctualmente ésta
teor!a ha sido adoptada por los cient!ficos ' médicos( aunque no restan valor a la
importancia de los factores emocionales ' sociales en las capacidades intelectuales
de los ni,os con +%+&
El mismo art!culo que analizamos( nos apunta que conjuntamente a las
anteriores investigaciones( también e*isten las realizadas por %arR %ehler( profesor
de neurolog!a ' neurociencia del 8olegio de %edicina $lbert Einstein en 3ueva 7orR(
quien nos dice que la vasta ma'or!a de los ni,os con +uchenne no tienen un clásico
deterioro intelectual( lo que ellos presentan es una incapacidad al comunicar su
saber e interactuar con el mundo e*terior& %ehler piensa que los resultados de las
evaluaciones de 8 se deben a una clara dificultad para concentrarse que presentan
los pacientes con +%+ que ha e*aminado( 'a que para empezar( las evaluaciones
de 8 se centran en la entrada ' salida de información del cerebro al medir la
inteligencia( ' al tener problema en la percepción( la evaluación del ni,o se verá
afectada por éste& 1na prueba de esto se encuentra en los ni,os que ha evaluado el
mismo %ehler( en ellos se ha percatado que tienen problemas en tres áreas
• $tención ' concentración&
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G
• $prendizaje :erbal ' memoria&• nteracción Emocional&
/ara iniciar %ehler encuentra que los ni,os con +uchenne muestran una gran
tendencia a la falta de concentración siendo +éficit de $tención la ma'or causa( 'a
que un ni,o con estas caracter!sticas puede encontrar una cosa un objeto lo más
interesante del mundo( ' un segundo más tarde comienzan a hacer otras siete cosas
más( ' al cabo de tres segundos( han olvidado por completo el primer objeto&
/articularmente en el caso de 8esar $le*is( se han observado estas conductas
propuestas por %ehler( pero no se puede corroborar el +éficit de $tención como
problema genético porque no ha' un estudio que lo avale( sin embargo( su falta de
concentración ' priorización de las tareas que realiza es notoriamente clara cuando
se trabaja con él( 'a que tiende a cambiar con frecuencia su centro de atención&
En el área de aprendizaje verbal ' memoria( 8ésar $le*is no presenta
dificultades en ésta 'a que como se ha descrito en la introducción de éste
documento( la comunicación ' transmisión de ideas es uno de las áreas que más se
aprovechan para el aprendizaje del alumno( ' hablando de memoria también ha sido
aclarada su funcionalidad&
"a tercer área de nteracción emocional( es afectada en virtud de que el ni,o
pasa por un proceso de degradación que le lleva algunos problemas emocionales '
de falta de autoestima( al observar él mismo( cómo su cuerpo va perdiendo la fuerza
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=C
+esde ese momento el ni,o cursó la primaria sólo con ese objetivo( ' su
aprendizaje en todas las materias ha sido desigual a la de sus compa,eros de aula(
pero en matemáticas presenta un claro retraso en comparación con las otrasasignaturas( ' es que ha arrivado al quinto grado sin llegar a la comprensión de la
multiplicación( ' es notable que en ocasiones pueda responder alguna tabla de
multiplicar( pero de forma casi inconsciente o como si fuera una frase( sin darle
significación alguna&
+ebido a los resultados obtenidos mediante la evaluación psicopedagógica '
al claro hecho de que en un tiempo determinado el alumno tendrá que ingresar a la
escuela secundaria( se planteó la necesidad de que el alumno adquiriera las
nociones de la multiplicación( uno de los contenidos más importantes en la
asignatura de matemáticas dentro de la Educación /rimaria& /ara ello se creó una
propuesta didáctica para el aprendizaje de la multiplicación a través de la resolución
de problemas( un tema que hemos abordado 'a desde el inicio&
8omo hemos e*puesto 'a( recordemos que la multiplicación es un objeto
matemático( pero para entrar en el tema( presentaremos primero la definición de la
multiplicación seg)n “La biblia de las matemáticas” 8armen 8hávez ' $driana "eón
“"a multiplicación es una composición cu'o objeto( dados los n)meros llamados
multiplicando ' multiplicador( es hallar un n)mero llamado producto que sea respecto
del multiplicando lo que del multiplicador es respecto de la unidad&” 48hávez ' "eón
2006( pág& D5
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+e acuerdo a la idea de los objetos matemáticos que anteriormente
analizamos( ésta definición de la multiplicación( es una simple descripción del
procedimiento formal para multiplicar( ' 'a sabemos lo que sucede cuando seconfunde a un objeto matemático con una de sus representaciones( por ello
debemos de establecer las propiedades de la multiplicación que han sido rescatadas
de los libros “Lo que cuentan las cuentas de multiplicar $ di8idir” 9E/ 4CGG5( “0*u+
es la multiplicación1” +elia "erner 4como se cita en 9E/( CGDD5 ' “#l niño, las
matemáticas $ la realidad. 4roblemas de la enseñanza de las matemáticas en la
escuela primaria” :ergnaud 4CGGC5&
• En la multiplicación( el cero es un elemento absorbente&• El uno es el elemento neutro de la multiplicación&• "a multiplicación se utiliza para obtener el resultado de un conjunto de un
mismo n)mero de objetos&• "a multiplicación tiene una propiedad llamada conmutativa&
• "a multiplicación es una relación cuaternaria entre cuatro cantidades( dos
cantidades son de un cierto tipo ' el resto son medidas de otro tipo&
"a primera propiedad habla de la función del cero en la multiplicación( ' es
planteada por +elia "erner( quien nos dice “En la multiplicación el cero es el
elemento absorbente( es decir( el elemento que( al combinarse con cualquier otro( lo
convierte en s! mismo&” 4como se cita en 9E/ CGDD( pág& C2G5& 9abemos que
cualquier n)mero multiplicado por cero es igual a cero( pero para los ni,os es dif!cil
comprenderlo en un principio( 'a que sus e*periencias con las sumas ' las restas(
les han ense,ado que el cero es un elemento que no representa transformación( es
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decir que mantiene igual la cantidad inicial& En el problema de multiplicación “
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"a tercera propiedad se encuentra en el libro 9Lo que cuentan las cuentas de
multiplicar $ di8idir”, donde nos apunta que “"a multiplicación permite e*presar el
total de objetos que se obtienen al reunir colecciones que tienen la misma cantidad&”
49E/ CGG( pág CH5 es decir que los ni,os deben aprender que la multiplicación
puede utilizarse para calcular el total objetos en un determinado n)mero de
colecciones que pertenecen a la misma clase( por ejemplo = paquetes con 6 pelotas
son = colecciones que pertenecen a la clase del n)mero 6 4:éase en la ilustración
que se presenta a continuación5&
Esta propiedad corresponde al sustrato de que la multiplicación es una suma
abreviada( ' recordando también lo que hablamos de los procedimientos informales(
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la suma no es el procedimiento formal para la multiplicación( sin embargo( es
totalmente válido que los alumnos la utilicen siempre ' cuando lo decidan ellos&
"a cuarta es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación( que nos
narra lo siguiente “8uando en una multiplicación se cambia el orden de los factores(
el producto no cambia&” 49E/ CGG( pág& ?5 Estaremos seguros que todos hemos
o!do esa frase anteriormente( ' no es necesario e*plicarla tan a fondo( el orden de
los factores no altera el producto se dirige a que resulta la misma cantidad multiplicar
= * que * =( ' en efecto( el resultado de las dos operaciones es 20&
Kinalmente( la quinta propiedad es propuesta por :ergnaud es un poco
complicada en virtud de que los ni,os hasta esa edad están acostumbrados a
realizar operaciones donde sólo interviene una sola clase( es decir( siempre que han
sumado pelotas con pelotas o manzanas con manzanas en ésta operación(
intervienen dos clases de objetos( retomando el ejemplo de las = cajas con 6 pelotas(
podemos observar claramente las clases( una de cajas ' otra de pelotas 4véase la
ilustración que se presenta a continuación5&
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=?
9obre los problemas de este tipo( :ergnaud nos dice que “todos pueden ser
representados por un esquema análogo( que no presenta ning)n tipo de dificultad
para los ni,os ' que muestra mu' claramente que son cuatro las cantidades puestas
en relación * designa la cantidad buscada&” 4:ergnaud CGGC( pág& CGD5 En el
siguiente esquema hemos adaptado los datos del problema que estamos analizando
en correspondencia con el propuesto por :ergnaud
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El autor nos dice que este esquema es una tabla de correspondencia entre los
dos tipos de cantidades que representa el problema( ' que a!sla sólo a cantidades
particulares que son las que se utilizan para la resolución del problema demultiplicación( pero en realidad( este cuadro proviene de uno más completo al que
pertenecen( el cuadro se presenta en la siguiente ilustración( donde se han resaltado
las cantidades se,aladas
$l evaluar al sujeto de estudio en todas las propiedades de la multiplicación
que mencionamos( se encontró lo siguiente En la primera propiedad con respecto al
cero( se le presentó al alumno la operación C0 * 6( operación que ni siquiera intentó
solucionar porque argumentó que no sab!a( aunque también influ'ó que esta
evaluación se realizó en los primeros d!as cuando a)n no hab!a una relación más
cercana al alumno&
En la segunda propiedad referida a la función del n)mero C( el alumno
respondió correctamente a la operación C * H( aunque más tarde en la aplicación de
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=D
algunas actividades se pudo concluir que lo hab!a hecho satisfactoriamente porque
respondió mediante la tabla de multiplicar del n)mero C&
En la tercera propiedad que se relaciona con la funcionalidad o el uso del
procedimiento formal( al evaluar esta propiedad( se presentó ante el alumno un
dibujo con cuatro colecciones de 6 objetos( ' se le cuestionó el total( al resolverlo(
realizó un conteo( por lo que podemos concluir que a)n no hab!a descubierto la
funcionalidad de la multiplicación&
En la cuarta propiedad( que corresponde a la conmutativa( se descubrió que
tampoco estaba adquirida( porque después de presentarle el mismo dibujo se le dio
ahora uno con tres colecciones con objetos( ' volvió a contar los objetos dando
sólo el resultado sin hacer otro comentario comparativo entre el anterior problema&
"a quinta ' )ltima propiedad que corresponde al algoritmo formal de la
multiplicación se evaluó con una operación que corresponde a 6 * 2?=( obteniendo
la misma respuesta que en la primera( que no sab!a cómo resolverla&
$l analizar todos los datos se llegó a la conclusión de que el alumno no hab!a
adquirido totalmente ninguna de las propiedades de la multiplicación( ' que sólo
conoc!a algunas tablas de multiplicar de manera mecánica sin ninguna
significatividad( producto de la constante e*posición a la actividad de repetición en
clase( por lo tanto( 8ésar se deb!a de iniciar un proceso donde se buscara que el
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=G
alumno adquiriera todas las bases para que finalmente pudiera utilizar el
procedimiento e*perto para multiplicar&
Jemos analizado 'a las propiedades de la multiplicación( 'a conocemos el
caso del alumno con +istrofia %uscular +uchenne que se abordó( conocemos
también los planteamientos del enfoque de resolución de problemas( ' sabemos los
requisitos que se necesitan para que un alumno adquiera o conceptualice los objetos
matemáticos& $hora es tiempo de que e*pliquemos el proceso de intervención que
se persiguió con la propuesta didáctica que se dise,ó ' aplicó durante el séptimo '
octavo semestres&
/ara elaborar la propuesta( se tomaron los planteamientos que indican el /lan
' /rogramas de Estudio de Educación /rimaria de CGG6( es importante destacar que
también se tomó en cuenta la revisión del nuevo /lan de Estudios( Educación
Aásica( /rimaria 9E/ 4200D5( pero encontré propuestas no mu' diferentes a las 'a
planteadas por el plan CGG6 en cuanto a la metodolog!a ' el enfoque didáctico& "a
solución de problemas sigue siendo el enfoque de ense,anza( pero el nuevo plan
ahora inclu'e elementos motivacionales como una llamada actitud positiva hacia el
estudio de las matemáticas( generada por una actividad matemática refle*iva ' un
tanto entretenida dentro del aula( pero por motivo de que plan vigente en la escuela
donde el alumno está integrado( los propósitos( contenidos ' enfoque didáctico
seguidos pertenecen al plan de CGG6&
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El enfoque que se maneja dentro del plan de CGG6 consiste en
Tbrindar situaciones en las que los ni,os utilicen los conocimientos que 'atienen para resolver ciertos problemas ' que( a partir de soluciones iniciales(comparen sus resultados ' sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos ' las conceptualizaciones propias de las matemáticas&49E/ CGG6( pág& =65
En resumen( el enfoque parte de la idea de que los alumnos deberán aprender
matemáticas a través de situaciones problemáticas( donde en un principio( tengan
que utilizar los procedimientos informales( para después encaminarlos poco a poco al
descubrimiento del algoritmo formal mediante un análisis comparativo ' refle*ivo
entre los procedimientos que se pueden utilizar para la resolución de un mismo
problema& "os alumnos deberán aprender as! las matemática