enseigner la géométrie en maternelle : est-ce...
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Enseignerlagéométrieenmaternelle:est-cepossible?
Conférencepédagogique–Bayonne,15février2017
valen<[email protected]
Valen<naCELI–ESPEd’Aquitaine,Lab-E3D,UniversitédeBordeaux
Ladeadellageometria(L.Saffaro)
Unedesbrancheslesplusanciennesdesmathéma<ques• Desexigencespragma<quesdesBabyloniensetdesÉgyp<ens…
– Lespremièresno<onsdegéométriesontliéesàdesbesoinsdelasociété,auxexigencesdelaviepra<que(problèmesd’arpentage,d’architecture…)
• …versl’exigencedémonstra<vedesGrecs– Lagéométriedevientunescienceabstraiteetdéduc<ve,coupéedesesoriginesspa<ales
– Elleacquiertuncaractèrephilosophiques’inscrivantdansunerecherchegénéraledel’explica<ondumonde
– Ellesecons<tuecommemodélisa<ondel’espacesensible
Àpar<rdelafindesannées1970,dansl’enseignementdelagéométrie,oniden<fiedeuxchampsdeconnaissances• ConnaissancesspaEales• Connaissancesgéométriques
BerthelotR.,SalinM.-H.(1993),L’enseignementdelagéométrieàl’écoleprimaire,GrandN,n°53,IREMdeGrenobleBerthelotR.,SalinM.-H.(1999),L’enseignementdel’espaceàl’écoleprimaire,GrandN,n°65,IREMdeGrenoble
• ConnaissancesspaEales– Ellespermeaentdecontrôlerlesrapportsàl’espaceenvironnant,deserepérer,desediriger,demémoriser;decommuniquerdesinforma<onsliéesàuneposi<on,àundéplacementouàlaconstruc<ond’unobjet
– L’enfantdisposedeconnaissancesspa<alesavantmêmequel’onseproposedeluiapprendredesconnaissancesgéométriques
– Ellesdoiventêtredéveloppéesetentraînéescarnécessairesdanslavied’adulte
– Lesespacesévoquésoureprésentéssanslienavecl’espaceréelnesuffisentpaspourconstruireefficacementcesconnaissances
– Ellesrelèventaussid’autreschampsdisciplinaires:EPS,géographie,artsvisuels,technologie
• Connaissancesgéométriques– Ellesdoiventêtreenseignéespourexister– Ellessedéveloppentautourdesixgrandstypesd’ac<vités:reconnaître,décrire,reproduire,vérifier,représenter,construire
– Ellesseréfèrentàunsavoirmathéma<queetpermeaentderésoudredesproblèmesdel’espacephysiqueougraphique§ Lesproblèmesdegéométrieportentsurdesobjetsetdesrela<ons;leurfinalitéconcernel’espaceconceptualisé
o Lesdessinsquel’ontracenesontquedesreprésentantsdesobjetssurlesquelsonraisonne
Unexempleoù…
LECARRÉ• Quellequesoitlaposi<onetsonorienta<ondanslafeuille,uncarréesttoujoursuncarré– Cesontdespropriétésquiportentsurlescôtésetlesanglesquipermeaentdedécidersiunquadrilatèreestuncarréetnonpassaposi<onetorienta<ondanslafeuille
…lesconnaissancesspa<alesetgéométriquess’ar<culent
(CapMathGS,Ha<er2015)
«Lesmathéma<quessou<ennentleprogrèstechnologiqueetfournissentdesprécieuxou<lsd’aideàlaréflexionetàladécision»(VillaniC.,2017)
Pourquoiapprendrelagéométrie?
«Développerlesconnaissancesgéométriquesetspa<alesestunobjec<fimportantdel’enseignementdesmathéma<quesàl’écoleetce,dèsleplusjeuneâge,parcequ’ellessontreconnuescommeessen<ellesàl’Hommepourbieninteragiravecsonenvironnement(lecomprendreetletransformer)»(GentazÉ.etalii,2008;2009)
Pourquoiapprendrelagéométrie?
• Lavisiondansl’espace• Appren<ssageduraisonnement• Lesaspectsculturelsetesthé<quesdelagéométrie
• Lagéométriedanslaviecourante• Lagéométriedanslavieprofessionnelle• Lagéométriedanslesmathéma<quesetdansd’autresdisciplinesscien<fiques
CREM(2002),Enseignementdessciencesmathéma5ques:rapportauMinistredel’Éduca5onNa5onale,(sousladirec<ondeJ.-P.Kahane),OdileJacob,CNDP,Paris
Pourquoiapprendrelagéométrie?
Quellesconnaissancesgéométriquespeut-on
enseignerenmaternelle?
Quellesconnaissancesgéométriquesunélèvede
maternellepeut-ilapprendre?
MariaMontessoriPsychogéométrie(1934)
Lapériode«pré-élémentaire»(4-6ans)Périodedelaviedel’enfantdurantlaquellelesexpériencesensoriellesetmotricessontsensibles
«Nousnenouspréoccuponsnid’analysesnidedéfini5onsmaisdumondeextérieurquiseconcré5seautraversdessensa5onsetd’uneac5vitémotricecon5nuequis’exercesurlesobjetsenvironnants»(p.20)
MariaMontessoriPsychogéométrie(1934)
Lapériode«pré-élémentaire»(4-6ans)Périodedelaviedel’enfantdurantlaquellelesexpériencesensoriellesetmotricessontsensibles
«[…]lesenfantsentrequatreetcinqansacquièrent,parexpérience,l’intui5ondescaractéris5quesanaly5quesdesfigures,côtés,angles,etc.»(p.26)
JeanPiagetetBärbelInhelderLareprésenta<ondel’espacechezl’enfant(1947)
Lareprésenta<ondel’espaceseconstruitenpassantpartroisstades:• L’espacetopologique
– Nilesformes,nilesdistances,nilesdroitesetlesanglesnesontconservés
– L’enfantn’estsensiblequ’àcertainesrela<onsinternesàlafigure:ouvert/fermé,intérieur/extérieur,rela<onsdevoisinage,…
– L’enfantnedis<nguepasaisémentlesfigurescurvilignesdesfiguresrec<lignes
• Lesespacesprojec<feteuclidien
DiekeetPierreVanHieleLescinqniveauxdansledéveloppementdelapenséegéométrique(1957)
• Niveau1:iden<fica<on,visualisa<on• Niveau2:analyse• Niveau3:déduc<oninformelle• Niveau4:déduc<onformelle• Niveau5:rigueur
DiekeetPierreVanHieleLescinqniveauxdansledéveloppementdelapenséegéométrique(1957)
• Niveau1:iden<fica<on,visualisa<on– L’élèvereconnaîtlesfiguresàleuraspectglobal– Lavalida<onsefaitpercep<vement– Confusionentrecarréetlosange– Lesfiguresseclassentdefaçonexclusivelesunesparrapportauxautres
• Niveau2:analyse• Niveau3:déduc<oninformelle• Niveau4:déduc<onformelle• Niveau5:rigueur
DiekeetPierreVanHieleLescinqniveauxdansledéveloppementdelapenséegéométrique(1957)
• Niveau1:iden<fica<on,visualisa<on• Niveau2:analyse
– L’élèveconnaîtlalistedespropriétésdesfigures– Les«défini<ons»sontredondantes
• Niveau3:déduc<oninformelle• Niveau4:déduc<onformelle• Niveau5:rigueur
NicolasRoucheLestroisétapesdelaconceptualisa<on(1999)
Lesconceptssontsuscep<blesd’êtreacquisjusqu’àdesniveauxdiversdesophis<ca<on• Lespréconcepts
– Ac<onetintelligencedessitua5ons• Lesobjetsmentaux
– Intelligencediscursivequidécrit,explique,analyse• Lesconceptsformels
RaymondDuvalAppréhensiondefiguresgéométriques(1994)
Ilyaunfosséentrel’appréhensionpercep<vespontanéed’unefigureetlamanièremathéma<quedelaregarder:commentfranchircefossé?Commentpeut-onappréhenderunefiguredansunedémarchegéométrique?• Appréhensionpercep<ve• Appréhensiondiscursive• Appréhensionséquen<elle• Appréhensionopératoire
• AppréhensionpercepEve– Iden<fica<on,reconnaissanceimmédiated’uneformeetdesespropriétésvisuelles
– Onprivilégielaformeglobaledelafigure
(Duval,1994)
Commentappréhenderunefigure?
• AppréhensionséquenEelle– Ordredesétapesdanslaréalisa<ond’unefigurequidépenddesespropriétésetdescontraintestechniquesdesinstrumentsu<lisés→modèle
• Onmodifielaconnaissancequel’onadel’objetreprésenté
(Duval,1994)
Commentappréhenderunefigure?
• Appréhensionopératoire– Appréhensiond’unefiguredonnéeensesdifférentesmodifica5onspossibles
• modifica<onsméréologiques(partaged’unefigureenpar<espourlesrecombinerenuneautrefigure)• modifica<onsop5ques(agrandissement,réduc<on,déforma<on)• modifica<onsposi5onnelles(déplacementdansleplan)• déconstruc5ondimensionnelle(vision«surface»è vision«contourdesurface»èvision«réseaudelignesetdepoints»)
(Duval,1994;DuvaletGodin,2005)
Commentappréhenderunefigure?
ÉdouardGentazLamodalitéhap5quemanuelleenmaternelle(2009)
• Lareconnaissanced’unefiguregéométriquedépenddelaquan<tédepropriétésnécessairesàtraiterpourl’iden<fier– Lareconnaissancevisuelled’unefigureestdéterminéeenpar<eparleurnombred’axesdesymétrie
– Lareconnaissancevisuelleestaussidéterminéeparl’orienta<ondesaxesdesymétrieparrapportaucorpsdusujet
• Outrelamodalitévisuelle,lamodalitéhap5quemanuelleaideàmieuxappréhenderlespropriétésessen<ellesdechaquecatégoriedefiguresdebase– Traitementanaly<quedelafigure– Meilleurediscrimina<ondesformesetdesorienta<ons
AiguiserleregarddanslaperspecEved’uneconceptualisaEondesobjetsdelagéométrie
• Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunlot,dansunassemblage
• Désignerdesformes;nommercertainesformes• Passerprogressivementd’unereconnaissanceglobaleàunedescrip<ondubord(droit,arrondi,avecsommetsoulisse;…)
• Décriredesformesenlescomparant• Reproduiredesformesavecgabarits,pochoirs• Reproduiredesassemblagesdeformes(iden<fierdesrela<onsentrelesdifférentesformesquilescomposent)
PS MS GS
Percevoirl’invarianced’uneformeparrapportaudéplacementqu’ellepeutsubirComprendrequelquesmotsduvocabulairespécifique
Percevoirl’invarianced’uneformeparrapportàl’orienta<onetàlatailleSavoirdésignerdesformessimplesAssocieruneformeàunedesesreprésenta<onsReproduiredesformes
ReconnaîtredesformessimplesdansdesassemblagescomplexesNommerdesformessimplesDécrireenénonçantquelquespropriétésgéométriquesdesformes(borddroitouarrondi;pointu… )ReprésenterdesformesReproduiredesassemblagesdeformes
• Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunlot
• Désignerdesformes;nommercertainesformes
• Passerprogressivementd’unereconnaissanceglobaleàunedescrip<ondubord(droit,arrondi,avecsommetsoulisse;…)
Reconnaissance visuelle Montre-moi
untriangle
Comments’appellece\eforme?
Montre-moiuneformequin’estpaspareilleàcelle-ci
(DanslaclassedeMyriamSemmarty,Pau)
Pourtraverserlarivière,onvamarchersurdescaillouxenformedecarré(derectangle,detriangle,delosange)…oubiensurdesformeschoisiesaufuretàmesureparl’enseignant(e)
Leparcours
desformes
hap://psicogeo
m.jimdo
.com
/
Leparcoursdesformes
Pourallerrendrevisiteàl’escargot,lagrenouilledoittraverserlarivière.Pourcela,ellenepeutsauterquesurdescaillouxenformede…Colorielescaillouxsurlesquelsellepourrasauter
hap://psicogeo
m.jimdo
.com
/
Reconnaissance haptique Sorsun
rectangle
Choisisuneformeetnomme-la
avantdelasorEr
Sorsuneformecommecelle-ci(ouquin’estpaspareilleàcelle-ci)
Chercher une forme identique à une forme donnée
§ Lemodèleestaccessibleounon
§ Àlamêmeéchelleounon
§ Posi<ondumodèleparrapportàl’élève(affichéaumur/posésurunetable)
§ Lesformesnécessairessontàchoisirdansunlotplusoumoinsimportantdeformes
§ Lesformesenjeuappar<ennentàunemêmecatégorieounon
§ Laposi<ondumodèleparrapportauxformescons<tuantlelot;laposi<ondesformesdulot
§ Formesdelamêmecouleurounon
Reproduire une collection de formes identique à une
collection donnée
§ Lacollec<ondonnéeestcons<tuéedeformesaccessiblesounon
§ Lacollec<ondonnéeestcons<tuéedeformesmanipulablesoudessinées(contour),demêmecouleurounon
§ Àlamêmeéchelleounon§ Posi<ondelacollec<ondonnée
parrapportàl’élève(éloigné/proche;affichéaumur/posésurunetable)
§ Lesformesnécessairessontàchoisirdansunlotplusoumoinsimportantdeformes
§ Lesformesenjeuappar<ennentàunemêmecatégorieounon
• Reconnaîtredesformesdansdiversesposi<onsetorienta<ons
• Passerprogressivementd’unereconnaissanceglobaleàunedescrip<ondubord(droit,arrondi,avecsommetsoulisse;…)
Oùsontlescarrés?Formessuperposables
• Legabaritd’uncarré– Moyenderéussiteoudevalida<on
• Unlotdequadrilatères(tracéducontour):– Carréssuperposablesaugabarit,dansdifférentesposi<ons
– Rectanglespresquecarrés,dansdifférentesposi<ons
– Losangespresquecarrés,dansdifférentesposi<ons
• Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunassemblage
• Passerprogressivementd’unereconnaissanceglobaleàunedescrip<ondubord(droit,arrondi,avecsommetsoulisse;…)
• Reproduiredesassemblagesdeformes(iden<fierdesrela<onsentrelesdifférentesformesquilescomposent)
Assemblages de formes
• Reproduiredesassemblagesdeformes– Modèleproche,éloigné– Àlamêmeéchelleounon– Lespiècespour
reproduiresontdonnéesouàchoisir
– Naturedumodèle:incidencedecôtés,desommets,alignements
– …
hap://psicogeo
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• Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunlot,dansunassemblage
• Passerprogressivementd’unereconnaissanceglobaleàunedescrip<ondubord(droit,arrondi,avecsommetsoulisse;…)
• Reproduiredesformesavecgabarits,pochoirs,…• Reproduiredesassemblagesdeformes(iden<fierdesrela<onsentrelesdifférentesformesquilescomposent)
Àpar<rd’untableaudePaulKlee
«VoiciuntableaudupeintrePaulKlee.Quereprésente-t-ild’aprèsvous?»
(LeGénéralenChefdesBarbares,1977)
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P : C’est un bonhomme avec la tête carrée, il se promène L : On dirait un bonhomme qui va à la pêche, il a aussi des cannes à pêche T : C’est celui qui a fait le tableau A : Il joue au golf F : Il ressemble à un robot M : Pourquoi ? En quoi ressemble-t-il à un robot ? A : Car il a la tête carrée et son chapeau est carré aussi N : Il a les mains carrées aussi, deux carrés plus petits F : Non, le chapeau est un triangle L : Comme un toit N : Il a le ventre carré
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• «Ladéfini5ondoitêtrepostérieureàlaconnaissanceetnonl’inverse»(Montessori,1934,p.28)
• SelonVanHiele(1957),ilfautaaeindreleniveau4pourqu’unindividuapprenneàreconnaîtrelecaractère«minimaliste»d’unedéfini<ongéométrique
• Rouche(1999)ditque,quelqu’unquiestaustadedespréconcepts,«n’estguèrecapabled’enparler[durectangle],d’expliquercertainsdesescaractères»;austadedesobjetsmentaux,«lacapacitédeparlerd’unrectangle…impliquelamaîtrised’unlangageapproprié,pasnécessairementlelangagemathéma5que»
• Danslestextesofficielsdesprogrammesscolairesdel’écoleprimaire– onparlede«descrip5on»etnonpasde«défini5on»
• Notamment,àl’écolematernelle(MEN,2015):– «L’enseignant(e)u<liseunvocabulaireprécisquelesenfantssontentraînésainsiàcomprendred’abordpuisàu<liser,àbonescient,maislamanipula<onduvocabulairemathéma<quen’estpasunobjec<fdel’écolematernelle»
Lesmotspour…
• …décrirelesobjets:– lesnomsdesfiguresmaisaussi– bord,droit,arrondi,sommet,côtéetencore– plus(moins)pe<t(grand)que,pareil,égal,plus(moins)hautque,plus(moins)longque,…
Lesmotspour…• …décrirelesobjets:
– desmotsspécifiques• Rectangle,triangle,carré,losange,…
– desmotscourantsquiontunusagespécifiqueenmathéma<ques(etquinecoïncidepascomplétementavecl’usagecourant)
• Sommet,côté,…– desmotscourantsquiontunsensprochedeceluidesmathéma<ques
• Carré,arrondi,courbe,courbé,angle,bord,…• …décrirelesac<onssurlesobjets
– Superposer,glisser,tourner,retourner,plier,comparer,mearecôteàcôte,mearebordàbord,…
DisqueOUcercle?!
• Danslesprogrammesantérieurs,enmaternelle,onparlaitde«rond»:«savoirdessinerunrond».
• Lesprogrammesenvigueurdepuislarentrée2015parlentde«cercleOUdisque(àpréférerà«rond»)»
• Sion«impose»deneplusuEliserlemot«rond»,…
• Danslaperspec<ved’uneconceptualisa<ondesobjetsdelagéométrie– envisagerunegrandevariétédeformesetd’assemblagesdeformes
– aiderlesélèvesàaiguiserleurregardsurlesformes
– introduireprogressivementunvocabulaireapproprié,mêmes’iln’estpasencoremathéma<que
– proposerdesac<vitésoùmodalitésvisuelleethap<ques’ar<culentous’alternent
Be�nelliB.(1993),Lamoissondesformes,AléasCharnayR.(2015),CapMathsGS,Ha<erCoutat,S.&Vendeira,C.(2015).Despointes,despicsetdesarrondisen1P-2P,Math-École,n.223DuvalR.(1994),Lesdifférentsfonc<onnementsd’unefiguredansunedémarchegéométrique,Repères-IREM,n.17DuvalR.,GodinM.(2005),Leschangementsderegardnécessairessurlesfigures,GrandNn°76,IREMdeGrenobleGentazÉ.(2009),Lamain,lecerveau,letoucher,DunodGrelierJ.-F.(2009),DevenirÉlèveParLesAppren5ssagesGéométriquesAuCycle1,Scéren,CRDPMidi-PyrénéesMEN(2005),Verslesmathéma<ques.Queltravailenmaternelle?,Documentd’accompagnementdesprogrammes,Mathéma5ques,Écoleprimaire,Scéren,CNDPMontessori,M.(2005),Psychogéométrie,AMIDescléedeBrouwerPiagetJ.,InhelderB.(1947),Lareprésenta<ondumondechezl’enfant,PUFPerrin-GlorianM.-J.(2015),Joueravecdesformesenmaternelle:premierspasverslagéométrie<hal-01296515>RoucheN.(1999),Formesetmouvements.Perspec5vespourl’enseignementdelagéométrie,CREMVanHieleP.M.(1959).Lapenséedel’enfantetlagéométrie,Bulle5ndel’APMEP,n.198